sawiki - Вклад участника [ru]

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-29T08:16:00Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется '''фазовым пространством''' этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^1(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ — фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t, u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек $$\{ t, u(t, u_0) \}$$
называется '''интегральной кривой системы''' \eqref{eq:0}, а множество точек $$\{ u(t, u_0)\}$$ называется '''фазовой кривой системы''' \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
'''Свойство 1.'''
Пусть $$u = u(t)$$ — решение задачи \eqref{eq:0}. Тогда $$u = u(t + c)$$, где $$c$$ —
любая постоянная, — также решение задачи \eqref{eq:0}.

'''Доказательство.''' Доказательство следует из следующей цепочки равенств:
\begin{equation}
\frac{du(t + c)}{dt} = \frac{du(t + c)}{d(t + c)} = f(u(t + c)).
\end{equation}
'''Свойство 2.''' Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

'''Доказательство.''' Пусть $$\phi , \psi$$ — интегральные кривые, и соответствующие им фазовые кривые пересекаются в точке $$u_0$$. Это означает, что существуют такие решения $$u_1 = \phi(t, u_0)$$ и $$u_2 = \psi(t, u_0)$$ и такие $$t_1$$ и $$t_2$$, что $$\phi (t_1,u_0) = \psi (t_2,u_0).$$ Пусть $$\chi (t, u_0) = \psi (t + (t_1 − t_2), u_0).$$ Из первого свойства следует, что $$u = \chi (t, u_0)$$ есть решение системы \eqref{eq:0}. С другой стороны, $$\chi (t_2, u_0) = \phi(t_1, u_0) = \psi(t_2, u_0)$$. Следовательно, две интегральные кривые $$\chi$$ и $$\psi$$ проходят через одну и ту же точку $$u_0$$ в момент времени $$t_2$$. Из
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Коши_—_Ковалевской теоремы] существования и единственности решения задачи Коши для системы \eqref{eq:0}, следует, что эти кривые совпадают. Но
фазовая траектория, соответствующая интегральной кривой $$\chi$$, та же самая, что и
соответствующая интегральной кривой $$\phi$$. Следовательно, фазовые траектории $$\phi$$ и
$$\psi$$ совпадают.

'''Свойство 3.''' Если точка $$u^*$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

'''Доказательство.''' $$u^*$$ — неподвижная точка системы \eqref{eq:0}, значит, что $$f(u^*) = 0$$. Тогда система \eqref{eq:0} преобразуется в вид $$\frac{du}{dt} = 0$$. Решением этого дифференциального уравнения является $$u(t) =$$ const, возьмем const $$= u^*$$. Получается, что $$u = u^*$$ является решением системы \eqref{eq:0}, а значит и фазовой кривой.

'''Свойство 4.''' Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

'''Доказательство.''' Предположим, что фазовая траектория удовлетворяет системе \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$.
Теорема о существовании и единственности решений задачи Коши утверждает, что если $$f(u)$$ является непрерывной функцией, то существует единственное решение этого уравнения, проходящее через точку $$u_0$$. Более того, это решение будет гладким, дифференцируемым и иметь непрерывно зависящий касательный вектор в каждой точке. Таким образом, фазовая траектория, отличная от точки, будет представлена гладкой кривой, так как она будет являться решением дифференциального уравнения и удовлетворять условиям теоремы о существовании и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

'''Свойство 5.''' Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл — периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0, u_0) = u(t, u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.

'''Доказательство.''' Если фазовая траектория не есть точка, то она, в силу предыдущего пункта, является гладкой кривой, гладкая кривая либо замкнута, либо незамкнута.
==Примеры==
Для рассмотрения примеров нам понадобится определение фазового потока.

Пусть фазовое пространство $$U$$ представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка $$u$$ фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости $$f(u)$$. Тогда траектория точки $$u_0\in U$$ будет решением автономного дифференциального уравнения $$\frac{du}{dt}=f(u)$$ с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Заданная таким образом динамическая система называется '''фазовым потоком''' для автономного дифференциального уравнения.

'''Пример 1.'''
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Пример 1. Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы \eqref{eq:1}. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая системы при начальном условии $$u(0) = u_0$$, она является неподвижной точкой $$(0,0)$$ и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$, указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где $$C$$ и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$.

'''Пример 2.'''
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Пример 2. Интегральные кривые уравнения \eqref{eq:2} для различных значений $$N_0$$ в плоскости $$(t, N)$$. На оси $$N$$ также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси $$N$$. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой $$N$$, движение по которым происходит в направлении точки с координатой $$K$$.

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-29T08:13:46Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется '''фазовым пространством''' этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^1(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ — фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t, u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек $$\{ t, u(t, u_0) \}$$
называется '''интегральной кривой системы''' \eqref{eq:0}, а множество точек $$\{ u(t, u_0)\}$$ называется '''фазовой кривой системы''' \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
'''Свойство 1.'''
Пусть $$u = u(t)$$ — решение задачи \eqref{eq:0}. Тогда $$u = u(t + c)$$, где $$c$$ —
любая постоянная, — также решение задачи \eqref{eq:0}.

'''Доказательство.''' Доказательство следует из следующей цепочки равенств:
\begin{equation}
\frac{du(t + c)}{dt} = \frac{du(t + c)}{d(t + c)} = f(u(t + c)).
\end{equation}
'''Свойство 2.''' Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

'''Доказательство.''' Пусть $$\phi , \psi$$ — интегральные кривые, и соответствующие им фазовые кривые пересекаются в точке $$u_0$$. Это означает, что существуют такие решения $$u_1 = \phi(t, u_0)$$ и $$u_2 = \psi(t, u_0)$$ и такие $$t_1$$ и $$t_2$$, что $$\phi (t_1,u_0) = \psi (t_2,u_0).$$ Пусть $$\chi (t, u_0) = \psi (t + (t_1 − t_2), u_0).$$ Из первого свойства следует, что $$u = \chi (t, u_0)$$ есть решение системы \eqref{eq:0}. С другой стороны, $$\chi (t_2, u_0) = \phi(t_1, u_0) = \psi(t_2, u_0)$$. Следовательно, две интегральные кривые $$\chi$$ и $$\psi$$ проходят через одну и ту же точку $$u_0$$ в момент времени $$t_2$$. Из
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Коши_—_Ковалевской теоремы] существования и единственности решения задачи Коши для системы \eqref{eq:0}, следует, что эти кривые совпадают. Но
фазовая траектория, соответствующая интегральной кривой $$\chi$$, та же самая, что и
соответствующая интегральной кривой $$\phi$$. Следовательно, фазовые траектории $$\phi$$ и
$$\psi$$ совпадают.

'''Свойство 3.''' Если точка $$u^*$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

'''Доказательство.''' $$u^*$$ — неподвижная точка системы \eqref{eq:0}, значит, что $$f(u^*) = 0$$. Тогда система \eqref{eq:0} преобразуется в вид $$\frac{du}{dt} = 0$$. Решением этого дифференциального уравнения является $$u(t) =$$ const, возьмем const $$= u^*$$. Получается, что $$u = u^*$$ является решением системы \eqref{eq:0}, а значит и фазовой кривой.

'''Свойство 4.''' Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

'''Доказательство.''' Предположим, что фазовая траектория удовлетворяет системе \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$.
Теорема о существовании и единственности решений задачи Коши утверждает, что если $$f(u)$$ является непрерывной функцией, то существует единственное решение этого уравнения, проходящее через точку $$u_0$$. Более того, это решение будет гладким, дифференцируемым и иметь непрерывно зависящий касательный вектор в каждой точке. Таким образом, фазовая траектория, отличная от точки, будет представлена гладкой кривой, так как она будет являться решением дифференциального уравнения и удовлетворять условиям теоремы о существовании и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

'''Свойство 5.''' Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл — периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0, u_0) = u(t, u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.

'''Доказательство.''' Если фазовая траектория не есть точка, то она, в силу предыдущего пункта, является гладкой кривой, гладкая кривая либо замкнута, либо незамкнута.
==Примеры==
Для рассмотрения примеров нам понадобится определение фазового потока.

Пусть фазовое пространство $$U$$ представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка $$u$$ фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости $$f(u)$$. Тогда траектория точки $$u_0\in U$$ будет решением автономного дифференциального уравнения $$\frac{du}{dt}=f(u)$$ с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Заданная таким образом динамическая система называется '''фазовым потоком''' для автономного дифференциального уравнения.

'''Пример 1.'''
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Пример 1. Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы \eqref{eq:1}. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая системы при начальном условии $$u(0) = u_0$$, она является неподвижной точкой $$(0,0)$$ и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$, указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где $$C$$ и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$.

'''Пример 2.'''
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Пример 2. Интегральные кривые уравнения \eqref{eq:2} для различных значений $$N_0$$ в плоскости $$(t, N)$$. На оси $$N$$ также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси $$N$$. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой $$N$$, движение по которым происходит в направлении точки с координатой $$K$$.

==Список литературы==

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T19:47:37Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется '''фазовым пространством''' этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^1(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ — фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t, u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек $$\{ t, u(t, u0) \}$$
называется '''интегральной кривой системы''' \eqref{eq:0}, а множество точек $$\{ u(t, u0)\}$$ называется '''фазовой кривой системы''' \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
'''Свойство 1.'''
Пусть $$u = u(t)$$ — решение задачи \eqref{eq:0}. Тогда $$u = u(t + c)$$, где $$c$$ —
любая постоянная, — также решение задачи \eqref{eq:0}.

'''Доказательство.''' Доказательство следует из следующей цепочки равенств:
\begin{equation}
\frac{du(t + c)}{dt} = \frac{du(t + c)}{d(t + c)} = f(u(t + c)).
\end{equation}
'''Свойство 2.''' Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

'''Доказательство.''' Пусть $$\phi , \psi$$ — интегральные кривые, и соответствующие им фазовые кривые пересекаются в точке $$u_0$$. Это означает, что существуют такие решения $$u_1 = \phi(t, u_0)$$ и $$u_2 = \psi(t, u_0)$$ и такие $$t_1$$ и $$t_2$$, что $$\phi (t_1,u_0) = \psi (t_2,u_0).$$ Пусть $$\chi (t, u_0) = \psi (t + (t_1 − t_2), u_0).$$ Из первого свойства следует, что $$u = \chi (t, u_0)$$ есть решение системы \eqref{eq:0}. С другой стороны, $$\chi (t_2, u_0) = \phi(t_1, u_0) = \psi(t_2, u_0)$$. Следовательно, две интегральные кривые $$\chi$$ и $$\psi$$ проходят через одну и ту же точку $$u_0$$ в момент времени $$t_2$$. Из
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Коши_—_Ковалевской теоремы] существования и единственности решения задачи Коши для системы \eqref{eq:0}, следует, что эти кривые совпадают. Но
фазовая траектория, соответствующая интегральной кривой $$\chi$$, та же самая, что и
соответствующая интегральной кривой $$\phi$$. Следовательно, фазовые траектории $$\phi$$ и
$$\psi$$ совпадают.

'''Свойство 3.''' Если точка $$u^*$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

'''Доказательство.''' $$u^*$$ — неподвижная точка системы \eqref{eq:0}, значит, что $$f(u^*) = 0$$. Тогда система \eqref{eq:0} преобразуется в вид $$\frac{du}{dt} = 0$$. Решением этого дифференциального уравнения является $$u(t) =$$ const, возьмем const $$= u^*$$. Получается, что $$u = u^*$$ является решением системы \eqref{eq:0}, а значит и фазовой кривой.

'''Свойство 4.''' Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

'''Доказательство.''' Предположим, что фазовая траектория удовлетворяет системе \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$.
Теорема о существовании и единственности решений задачи Коши утверждает, что если $$f(u)$$ является непрерывной функцией, то существует единственное решение этого уравнения, проходящее через точку $$u_0$$. Более того, это решение будет гладким, дифференцируемым и иметь непрерывно зависящий касательный вектор в каждой точке. Таким образом, фазовая траектория, отличная от точки, будет представлена гладкой кривой, так как она будет являться решением дифференциального уравнения и удовлетворять условиям теоремы о существовании и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

'''Свойство 5.''' Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл — периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0, u_0) = u(t, u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.

'''Доказательство.''' Если фазовая траектория не есть точка, то она, в силу предыдущего пункта, является гладкой кривой, гладкая кривая либо замкнута, либо незамкнута.
==Примеры==
Для рассмотрения примеров нам понадобится определение фазового потока.

Пусть фазовое пространство $$U$$ представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка $$u$$ фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости $$f(u)$$. Тогда траектория точки $$u_0\in U$$ будет решением автономного дифференциального уравнения $$\frac{du}{dt}=f(u)$$ с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Заданная таким образом динамическая система называется '''фазовым потоком''' для автономного дифференциального уравнения.

'''Пример 1.'''
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Пример 1. Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая системы при начальном условии $$u(0) = u_0$$, она является неподвижной точкой $$(0,0)$$ и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$, указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где $$C$$ и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$.

'''Пример 2.'''
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Пример 2. Интегральные кривые уравнения (3) для различных значений $$N_0$$ в плоскости $$(t, N)$$. На оси $$N$$ также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси $$N$$. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой $$N$$, движение по которым происходит в направлении точки с координатой $$K$$.

==Список литературы==

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T15:23:28Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется '''фазовым пространством''' этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^1(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ — фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t, u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек $$\{ t, u(t, u0) \}$$
называется '''интегральной кривой системы''' \eqref{eq:0}, а множество точек $$\{ u(t, u0)\}$$ называется '''фазовой кривой системы''' \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
'''Свойство 1.'''
Пусть $$u = u(t)$$ — решение задачи \eqref{eq:0}. Тогда $$u = u(t + c)$$, где $$c$$ —
любая постоянная, — также решение задачи \eqref{eq:0}.

'''Доказательство.''' Доказательство следует из следующей цепочки равенств:
\begin{equation}
\frac{du(t + c)}{dt} = \frac{du(t + c)}{d(t + c)} = f(u(t + c)).
\end{equation}
'''Свойство 2.''' Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

'''Доказательство.''' Пусть $$\phi , \psi$$ — интегральные кривые, и соответствующие им фазовые кривые пересекаются в точке $$u_0$$. Это означает, что существуют такие решения $$u_1 = \phi(t, u_0)$$ и $$u_2 = \psi(t, u_0)$$ и такие $$t_1$$ и $$t_2$$, что $$\phi (t_1,u_0) = \psi (t_2,u_0).$$ Пусть $$\chi (t, u_0) = \psi (t + (t_1 − t_2), u_0).$$ Из первого свойства следует, что $$u = \chi (t, u_0)$$ есть решение системы \eqref{eq:0}. С другой стороны, $$\chi (t_2, u_0) = \phi(t_1, u_0) = \psi(t_2, u_0)$$. Следовательно, две интегральные кривые $$\chi$$ и $$\psi$$ проходят через одну и ту же точку $$u_0$$ в момент времени $$t_2$$. Из
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Коши_—_Ковалевской теоремы] существования и единственности решения задачи Коши для системы \eqref{eq:0}, следует, что эти кривые совпадают. Но
фазовая траектория, соответствующая интегральной кривой $$\chi$$, та же самая, что и
соответствующая интегральной кривой $$\phi$$. Следовательно, фазовые траектории $$\phi$$ и
$$\psi$$ совпадают.

'''Свойство 3.''' Если точка $$u^*$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

'''Доказательство.''' $$u^*$$ — неподвижная точка системы \eqref{eq:0}, значит, что $$f(u^*) = 0$$. Тогда система \eqref{eq:0} преобразуется в вид $$\frac{du}{dt} = 0$$. Решением этого дифференциального уравнения является $$u(t) = const$$, возьмем $$const = u^*$$. Получается, что $$u = u^*$$ является решением системы \eqref{eq:0}, а значит и фазовой кривой.

'''Свойство 4.''' Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

'''Доказательство.''' Предположим, что фазовая траектория удовлетворяет системе \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$.
Теорема о существовании и единственности решений задачи Коши утверждает, что если $$f(u)$$ является непрерывной функцией, то существует единственное решение этого уравнения, проходящее через точку $$u_0$$. Более того, это решение будет гладким, дифференцируемым и иметь непрерывно зависящий касательный вектор в каждой точке. Таким образом, фазовая траектория, отличная от точки, будет представлена гладкой кривой, так как она будет являться решением дифференциального уравнения и удовлетворять условиям теоремы о существовании и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

'''Свойство 5.''' Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл — периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0, u_0) = u(t, u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.

'''Доказательство.''' Если фазовая траектория не есть точка, то она, в силу предыдущего пункта, является гладкой кривой, гладкая кривая либо замкнута, либо незамкнута.
==Примеры==
Для рассмотрения примеров нам понадобится определение фазового потока.

Пусть фазовое пространство $$U$$ представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка $$u$$ фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости $$f(u)$$. Тогда траектория точки $$u_0\in U$$ будет решением автономного дифференциального уравнения $$\frac{du}{dt}=f(u)$$ с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Заданная таким образом динамическая система называется '''фазовым потоком''' для автономного дифференциального уравнения.

'''Пример 1.'''
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Пример 1. Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая системы при начальном условии $$u(0) = u_0$$, она является неподвижной точкой (0,0) и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$, указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где $$C$$ и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$.

'''Пример 2.'''
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Пример 2. Интегральные кривые уравнения (3) для различных значений $$N_0$$ в плоскости $$(t, N)$$. На оси N также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси $$N$$. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой $$N$$, движение по которым происходит в направлении точки с координатой $$K$$.

==Список литературы==

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T15:22:14Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется '''фазовым пространством''' этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^1(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ — фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t, u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек $$\{ t, u(t, u0) \}$$
называется '''интегральной кривой системы''' \eqref{eq:0}, а множество точек $$\{ u(t, u0)\}$$ называется '''фазовой кривой системы''' \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
'''Свойство 1.'''
Пусть $$u = u(t)$$ — решение задачи \eqref{eq:0}. Тогда $$u = u(t + c)$$, где $$c$$ —
любая постоянная, — также решение задачи \eqref{eq:0}.

'''Доказательство.''' Доказательство следует из следующей цепочки равенств:
\begin{equation}
\frac{du(t + c)}{dt} = \frac{du(t + c)}{d(t + c)} = f(u(t + c)).
\end{equation}
'''Свойство 2.''' Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

'''Доказательство.''' Пусть $$\phi , \psi$$ — интегральные кривые, и соответствующие им фазовые кривые пересекаются в точке $$u_0$$. Это означает, что существуют такие решения $$u_1 = \phi(t, u_0)$$ и $$u_2 = \psi(t, u_0)$$ и такие $$t_1$$ и $$t_2$$, что $$\phi (t_1,u_0) = \psi (t_2,u_0).$$ Пусть $$\chi (t, u_0) = \psi (t + (t_1 − t_2), u_0).$$ Из первого свойства следует, что $$u = \chi (t, u_0)$$ есть решение системы \eqref{eq:0}. С другой стороны, $$\chi (t_2, u_0) = \phi(t_1, u_0) = \psi(t_2, u_0)$$. Следовательно, две интегральные кривые $$\chi$$ и $$\psi$$ проходят через одну и ту же точку $$u_0$$ в момент времени $$t_2$$. Из
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Коши_—_Ковалевской теоремы] существования и единственности решения задачи Коши для системы \eqref{eq:0}, следует, что эти кривые совпадают. Но
фазовая траектория, соответствующая интегральной кривой $$\chi$$, та же самая, что и
соответствующая интегральной кривой $$\phi$$. Следовательно, фазовые траектории $$\phi$$ и
$$\psi$$ совпадают.

'''Свойство 3.''' Если точка $$u^*$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

'''Доказательство.''' $$u^*$$ — неподвижная точка системы \eqref{eq:0}, значит, что $$f(u^*) = 0$$. Тогда система \eqref{eq:0} преобразуется в вид $$\frac{du}{dt} = 0$$. Решением этого дифференциального уравнения является $$u(t) = const$$, возьмем $$const = u^*$$. Получается, что $$u = u^*$$ является решением системы \eqref{eq:0}, а значит и фазовой кривой.

'''Свойство 4.''' Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

'''Доказательство.''' Предположим, что фазовая траектория удовлетворяет системе \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$.
Теорема о существовании и единственности решений задачи Коши утверждает, что если $$f(u)$$ является непрерывной функцией, то существует единственное решение этого уравнения, проходящее через точку $$u_0$$. Более того, это решение будет гладким, дифференцируемым и иметь непрерывно зависящий касательный вектор в каждой точке. Таким образом, фазовая траектория, отличная от точки, будет представлена гладкой кривой, так как она будет являться решением дифференциального уравнения и удовлетворять условиям теоремы о существовании и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

'''Свойство 5.''' Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл — периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0, u_0) = u(t, u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
Для рассмотрения примеров нам понадобится определение фазового потока.

Пусть фазовое пространство $$U$$ представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка $$u$$ фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости $$f(u)$$. Тогда траектория точки $$u_0\in U$$ будет решением автономного дифференциального уравнения $$\frac{du}{dt}=f(u)$$ с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Заданная таким образом динамическая система называется '''фазовым потоком''' для автономного дифференциального уравнения.

'''Пример 1.'''
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Пример 1. Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая системы при начальном условии $$u(0) = u_0$$, она является неподвижной точкой (0,0) и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$, указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где $$C$$ и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$.

'''Пример 2.'''
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Пример 2. Интегральные кривые уравнения (3) для различных значений $$N_0$$ в плоскости $$(t, N)$$. На оси N также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси $$N$$. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой $$N$$, движение по которым происходит в направлении точки с координатой $$K$$.

==Список литературы==

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T15:21:26Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется '''фазовым пространством''' этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^1(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ — фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t, u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек $$\{ t, u(t, u0) \}$$
называется '''интегральной кривой системы''' \eqref{eq:0}, а множество точек $$\{ u(t, u0)\}$$ называется '''фазовой кривой системы''' \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
'''Свойство 1.'''
Пусть $$u = u(t)$$ — решение задачи \eqref{eq:0}. Тогда $$u = u(t + c)$$, где $$c$$ —
любая постоянная, — также решение задачи \eqref{eq:0}.

'''Доказательство.''' Доказательство следует из следующей цепочки равенств:
\begin{equation}
\frac{du(t + c)}{dt} = \frac{du(t + c)}{d(t + c)} = f(u(t + c)).
\end{equation}
'''Свойство 2.''' Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

'''Доказательство.''' Пусть $$\phi , \psi$$ — интегральные кривые, и соответствующие им фазовые кривые пересекаются в точке $$u_0$$. Это означает, что существуют такие решения $$u_1 = \phi(t, u_0)$$ и $$u_2 = \psi(t, u_0)$$ и такие $$t_1$$ и $$t_2$$, что $$\phi (t_1,u_0) = \psi (t_2,u_0).$$ Пусть $$\chi (t, u_0) = \psi (t + (t_1 − t_2), u_0).$$ Из первого свойства следует, что $$u = \chi (t, u_0)$$ есть решение системы \eqref{eq:0}. С другой стороны, $$\chi (t_2, u_0) = \phi(t_1, u_0) = \psi(t_2, u_0)$$. Следовательно, две интегральные кривые $$\chi$$ и $$\psi$$ проходят через одну и ту же точку $$u_0$$ в момент времени $$t_2$$. Из
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Коши_—_Ковалевской теоремы] существования и единственности решения задачи Коши для системы \eqref{eq:0}, следует, что эти кривые совпадают. Но
фазовая траектория, соответствующая интегральной кривой $$\chi$$, та же самая, что и
соответствующая интегральной кривой $$\phi$$. Следовательно, фазовые траектории $$\phi$$ и
$$\psi$$ совпадают.

'''Свойство 3.''' Если точка $$u^*$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

'''Доказательство.''' $$u^*$$ — неподвижная точка системы \eqref{eq:0}, значит, что $$f(u^*) = 0$$. Тогда система \eqref{eq:0} преобразуется в вид $$\frac{du}{dt} = 0$$. Решением этого дифференциального уравнения является $$u(t) = const$$, возьмем $$const = u^*$$. Получается, что $$u = u^*$$ является решением системы \eqref{eq:0}, а значит и фазовой кривой.

'''Свойство 4.''' Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

'''Доказательство.''' Предположим, что фазовая траектория удовлетворяет системе \eqref{eq:0} с начальным условием %%u(0) = u_0$$.
Теорема о существовании и единственности решений задачи Коши утверждает, что если $$f(u)$$ является непрерывной функцией, то существует единственное решение этого уравнения, проходящее через точку $$u_0$$. Более того, это решение будет гладким, дифференцируемым и иметь непрерывно зависящий касательный вектор в каждой точке. Таким образом, фазовая траектория, отличная от точки, будет представлена гладкой кривой, так как она будет являться решением дифференциального уравнения и удовлетворять условиям теоремы о существовании и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

'''Свойство 5.''' Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл — периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0, u_0) = u(t, u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
Для рассмотрения примеров нам понадобится определение фазового потока.

Пусть фазовое пространство $$U$$ представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка $$u$$ фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости $$f(u)$$. Тогда траектория точки $$u_0\in U$$ будет решением автономного дифференциального уравнения $$\frac{du}{dt}=f(u)$$ с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Заданная таким образом динамическая система называется '''фазовым потоком''' для автономного дифференциального уравнения.

'''Пример 1.'''
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Пример 1. Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая системы при начальном условии $$u(0) = u_0$$, она является неподвижной точкой (0,0) и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$, указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где $$C$$ и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$.

'''Пример 2.'''
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Пример 2. Интегральные кривые уравнения (3) для различных значений $$N_0$$ в плоскости $$(t, N)$$. На оси N также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси $$N$$. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой $$N$$, движение по которым происходит в направлении точки с координатой $$K$$.

==Список литературы==

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T15:13:43Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется '''фазовым пространством''' этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^1(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ — фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t, u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек $$\{ t, u(t, u0) \}$$
называется '''интегральной кривой системы''' \eqref{eq:0}, а множество точек $$\{ u(t, u0)\}$$ называется '''фазовой кривой системы''' \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
'''Свойство 1.'''
Пусть $$u = u(t)$$ — решение задачи \eqref{eq:0}. Тогда $$u = u(t + c)$$, где $$c$$ —
любая постоянная, — также решение задачи \eqref{eq:0}.

'''Доказательство.''' Доказательство следует из следующей цепочки равенств:
\begin{equation}
\frac{du(t + c)}{dt} = \frac{du(t + c)}{d(t + c)} = f(u(t + c)).
\end{equation}
'''Свойство 2.''' Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

'''Доказательство.''' Пусть $$\phi , \psi$$ — интегральные кривые, и соответствующие им фазовые кривые пересекаются в точке $$u_0$$. Это означает, что существуют такие решения $$u_1 = \phi(t, u_0)$$ и $$u_2 = \psi(t, u_0)$$ и такие $$t_1$$ и $$t_2$$, что $$\phi (t_1,u_0) = \psi (t_2,u_0).$$ Пусть $$\chi (t, u_0) = \psi (t + (t_1 − t_2), u_0).$$ Из первого свойства следует, что $$u = \chi (t, u_0)$$ есть решение системы \eqref{eq:0}. С другой стороны, $$\chi (t_2, u_0) = \phi(t_1, u_0) = \psi(t_2, u_0)$$. Следовательно, две интегральные кривые $$\chi$$ и $$\psi$$ проходят через одну и ту же точку $$u_0$$ в момент времени $$t_2$$. Из
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Коши_—_Ковалевской теоремы] существования и единственности решения задачи Коши для системы \eqref{eq:0}, следует, что эти кривые совпадают. Но
фазовая траектория, соответствующая интегральной кривой $$\chi$$, та же самая, что и
соответствующая интегральной кривой $$\phi$$. Следовательно, фазовые траектории $$\phi$$ и
$$\psi$$ совпадают.

'''Свойство 3.''' Если точка $$u^*$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

'''Доказательство.''' $$u^*$$ — неподвижная точка системы \eqref{eq:0}, значит, что $$f(u^*) = 0$$. Тогда система \eqref{eq:0} преобразуется в вид $$\frac{du}{dt} = 0$$. Решением этого дифференциального уравнения является $$u(t) = const$$, возьмем $$const = u^*$$. Получается, что $$u = u^*$$ является решением системы \eqref{eq:0}, а значит и фазовой кривой.

'''Свойство 4.''' Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

'''Свойство 5.''' Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл — периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0, u_0) = u(t, u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
Для рассмотрения примеров нам понадобится определение фазового потока.

Пусть фазовое пространство $$U$$ представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка $$u$$ фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости $$f(u)$$. Тогда траектория точки $$u_0\in U$$ будет решением автономного дифференциального уравнения $$\frac{du}{dt}=f(u)$$ с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Заданная таким образом динамическая система называется '''фазовым потоком''' для автономного дифференциального уравнения.

'''Пример 1.'''
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Пример 1. Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая системы при начальном условии $$u(0) = u_0$$, она является неподвижной точкой (0,0) и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$, указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где $$C$$ и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$.

'''Пример 2.'''
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Пример 2. Интегральные кривые уравнения (3) для различных значений $$N_0$$ в плоскости $$(t, N)$$. На оси N также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси $$N$$. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой $$N$$, движение по которым происходит в направлении точки с координатой $$K$$.

==Список литературы==

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T15:04:51Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется '''фазовым пространством''' этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^1(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ — фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t, u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек $$\{ t, u(t, u0) \}$$
называется '''интегральной кривой системы''' \eqref{eq:0}, а множество точек $$\{ u(t, u0)\}$$ называется '''фазовой кривой системы''' \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
'''Свойство 1.'''
Пусть $$u = u(t)$$ — решение задачи \eqref{eq:0}. Тогда $$u = u(t + c)$$, где $$c$$ —
любая постоянная, — также решение задачи \eqref{eq:0}.

'''Доказательство.''' Доказательство следует из следующей цепочки равенств:
\begin{equation}
\frac{du(t + c)}{dt} = \frac{du(t + c)}{d(t + c)} = f(u(t + c)).
\end{equation}
'''Свойство 2.''' Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

'''Доказательство.''' Пусть $$\phi , \psi$$ — интегральные кривые, и соответствующие им фазовые кривые пересекаются в точке $$u_0$$. Это означает, что существуют такие решения $$u_1 = \phi(t, u_0)$$ и $$u_2 = \psi(t, u_0)$$ и такие $$t_1$$ и $$t_2$$, что $$\phi (t_1,u_0) = \psi (t_2,u_0).$$ Пусть $$\chi (t, u_0) = \psi (t + (t_1 − t_2), u_0).$$ Из первого свойства следует, что $$u = \chi (t, u_0)$$ есть решение системы \eqref{eq:0}. С другой стороны, $$\chi (t_2, u_0) = \phi(t_1, u_0) = \psi(t_2, u_0)$$. Следовательно, две интегральные кривые $$\chi$$ и $$\psi$$ проходят через одну и ту же точку $$u_0$$ в момент времени $$t_2$$. Из
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Коши_—_Ковалевской теоремы] существования и единственности решения задачи Коши для системы \eqref{eq:0}, следует, что эти кривые совпадают. Но
фазовая траектория, соответствующая интегральной кривой $$\chi$$, та же самая, что и
соответствующая интегральной кривой $$\phi$$. Следовательно, фазовые траектории $$\phi$$ и
$$\psi$$ совпадают.

'''Свойство 3.''' Если точка $$u^*$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

'''Свойство 4.''' Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

'''Свойство 5.''' Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл — периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0, u_0) = u(t, u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
Для рассмотрения примеров нам понадобится определение фазового потока.

Пусть фазовое пространство $$U$$ представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка $$u$$ фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости $$f(u)$$. Тогда траектория точки $$u_0\in U$$ будет решением автономного дифференциального уравнения $$\frac{du}{dt}=f(u)$$ с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Заданная таким образом динамическая система называется '''фазовым потоком''' для автономного дифференциального уравнения.

'''Пример 1.'''
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Пример 1. Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая системы при начальном условии $$u(0) = u_0$$, она является неподвижной точкой (0,0) и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$, указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где $$C$$ и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$.

'''Пример 2.'''
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Пример 2. Интегральные кривые уравнения (3) для различных значений $$N_0$$ в плоскости $$(t, N)$$. На оси N также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси $$N$$. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой $$N$$, движение по которым происходит в направлении точки с координатой $$K$$.

==Список литературы==

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T15:02:29Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется '''фазовым пространством''' этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^1(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ — фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t, u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек $$\{ t, u(t, u0) \}$$
называется '''интегральной кривой системы''' \eqref{eq:0}, а множество точек $$\{ u(t, u0)\}$$ называется '''фазовой кривой системы''' \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
'''Свойство 1.'''
Пусть $$u = u(t)$$ — решение задачи \eqref{eq:0}. Тогда $$u = u(t + c)$$, где $$c$$ —
любая постоянная, — также решение задачи \eqref{eq:0}.

'''Доказательство.''' Доказательство следует из следующей цепочки равенств:
\begin{equation}
\frac{du(t + c)}{dt} = \frac{du(t + c)}{d(t + c)} = f(u(t + c)).
\end{equation}
'''Свойство 2.''' Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

'''Доказательство.''' Пусть $$\phi , \psi$$ — интегральные кривые, и соответствующие им фазовые кривые пересекаются в точке $$u_0$$. Это означает, что существуют такие решения $$u_1 = \phi(t, u_0)$$ и $$u_2 = \psi(t, u_0)$$ и такие $$t_1$$ и $$t_2$$, что $$\phi (t_1,u_0) = \psi (t_2,u_0).$$ Пусть $$\chi (t, u_0) = \psi (t + (t_1 − t_2), u_0).$$ Из первого свойства следует, что $$u = \chi (t, u_0)$$ есть решение системы \eqref{eq:0}. С другой стороны, $$\chi (t_2, u_0) = \phi(t_1, u_0) = \psi(t_2, u_0)$$. Следовательно, две интегральные кривые $$\chi$$ и $$\psi$$ проходят через одну и ту же точку $$u_0$$ в момент времени $$t_2$$. Из
теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы \eqref{eq:0}, следует, что эти кривые совпадают. Но
фазовая траектория, соответствующая интегральной кривой $$\chi$$, та же самая, что и
соответствующая интегральной кривой $$\phi$$. Следовательно, фазовые траектории $$\phi$$ и
$$\psi$$ совпадают.

'''Свойство 3.''' Если точка $$u^*$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

'''Свойство 4.''' Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

'''Свойство 5.''' Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл — периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0, u_0) = u(t, u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
Для рассмотрения примеров нам понадобится определение фазового потока.

Пусть фазовое пространство $$U$$ представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка $$u$$ фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости $$f(u)$$. Тогда траектория точки $$u_0\in U$$ будет решением автономного дифференциального уравнения $$\frac{du}{dt}=f(u)$$ с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Заданная таким образом динамическая система называется '''фазовым потоком''' для автономного дифференциального уравнения.

'''Пример 1.'''
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Пример 1. Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая системы при начальном условии $$u(0) = u_0$$, она является неподвижной точкой (0,0) и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$, указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где $$C$$ и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$.

'''Пример 2.'''
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Пример 2. Интегральные кривые уравнения (3) для различных значений $$N_0$$ в плоскости $$(t, N)$$. На оси N также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси $$N$$. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой $$N$$, движение по которым происходит в направлении точки с координатой $$K$$.

==Список литературы==

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T15:01:11Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется '''фазовым пространством''' этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^1(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ — фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t, u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек $$\{ t, u(t, u0) \}$$
называется '''интегральной кривой системы''' \eqref{eq:0}, а множество точек $$\{ u(t, u0)\}$$ называется '''фазовой кривой системы''' \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
'''Свойство 1.'''
Пусть $$u = u(t)$$ — решение задачи \eqref{eq:0}. Тогда $$u = u(t + c)$$, где $$c$$ —
любая постоянная, — также решение задачи \eqref{eq:0}.

'''Доказательство.''' Доказательство следует из следующей цепочки равенств:
\begin{equation}
\frac{du(t + c)}{dt} = \frac{du(t + c)}{d(t + c)} = f(u(t + c)).
\end{equation}
'''Свойство 2.''' Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

'''Доказательство.''' Пусть $$\phi , \psi$$ — интегральные кривые, и соответствующие им фазовые кривые пересекаются в точке $$u_0$$. Это означает, что существуют такие решения $$u_1 = \phi(t, u_0)$$ и $$u_2 = \psi(t, u_0)$$ и такие $$t_1$$ и $$t_2$$, что $$\phi (t_1,u_0) = \psi (t_2,u_0).$$ Пусть $$\chi (t, u_0) = \psi (t + (t_1 − t_2), u_0).$$ Из первого свойства следует, что $$u = \chi (t, u_0)$$ есть решение системы \eqref{eq:0}. С другой стороны, $$\chi (t_2, u_0) = \phi(t_1, u_0) = \psi(t_2, u_0)$$. Следовательно, две интегральные кривые $$\chi$$ и $$\psi$$ проходят через одну и ту же точку $$u_0$$ в момент времени $$t_2$$. Из
теоремы существования и единственности следует, что эти кривые совпадают. Но
фазовая траектория, соответствующая интегральной кривой $$\chi$$, та же самая, что и
соответствующая интегральной кривой $$\phi$$. Следовательно, фазовые траектории $$\phi$$ и
$$\psi$$ совпадают.

'''Свойство 3.''' Если точка $$u^*$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

'''Свойство 4.''' Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

'''Свойство 5.''' Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл — периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0, u_0) = u(t, u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
Для рассмотрения примеров нам понадобится определение фазового потока.

Пусть фазовое пространство $$U$$ представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка $$u$$ фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости $$f(u)$$. Тогда траектория точки $$u_0\in U$$ будет решением автономного дифференциального уравнения $$\frac{du}{dt}=f(u)$$ с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Заданная таким образом динамическая система называется '''фазовым потоком''' для автономного дифференциального уравнения.

'''Пример 1.'''
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Пример 1. Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая системы при начальном условии $$u(0) = u_0$$, она является неподвижной точкой (0,0) и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$, указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где $$C$$ и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$.

'''Пример 2.'''
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Пример 2. Интегральные кривые уравнения (3) для различных значений $$N_0$$ в плоскости $$(t, N)$$. На оси N также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси $$N$$. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой $$N$$, движение по которым происходит в направлении точки с координатой $$K$$.

==Список литературы==

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:52:46Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:38:29Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:30:21Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:24:50Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:23:37Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:23:06Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:21:39Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:21:15Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:19:42Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:18:31Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:17:06Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется $$\textbf{фазовым пространством}$$ этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ - фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл - периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0; u_0) = u(t; u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
$$\textbf{Пример 1.}$$
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Пример 1. Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая системы при начальном условии $$u(0) = u_0$$, она является неподвижной точкой (0,0) и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$, указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где C и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$.

$$\textbf{Пример 2.}$$
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Пример 2. Интегральные кривые уравнения (3) для различных значений $$N_0$$ в плоскости $$(t, N)$$. На оси N также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси N. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой N, движение по которым происходит в направлении точки с координатой K.

==Список литературы==

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:16:53Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-28T14:12:54Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T20:08:34Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется $$\textbf{фазовым пространством}$$ этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ - фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл - периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0; u_0) = u(t; u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
$$\textbf{Пример 1.}$$
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая (цикл), и указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где C и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$. На рисунке 1 представлены интегральная и фазовая кривые системы \eqref{eq:1} при начальном условии $$u(0) = u_0$$, фазовая кривая является неподвижной точкой (0,0) и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$.

$$\textbf{Пример 2.}$$
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Интегральные кривые уравнения (3). На оси N также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. На рисунке 2 в плоскости $$(t, N)$$ показаны графики интегральных кривых для различных значений $$N_0$$. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси N. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой N, движение по которым происходит в направлении точки с координатой K.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T20:08:02Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется $$\textbf{фазовым пространством}$$ этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ - фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл - периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0; u_0) = u(t; u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
$$\textbf{Пример 1.}$$
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая (цикл), и указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где C и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$. На рисунке 1 представлены интегральная и фазовая кривые системы \eqref{eq:1} при начальном условии $$u(0) = u_0$$, фазовая кривая является неподвижной точкой (0,0) и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$.

$$\textbf{Пример 2.}$$
[[Файл:Пример 2.png|мини|справа|Интегральные кривые уравнения (3). На оси N также изображены неподвижные точки (жирные точки) и направления фазового потока.]]
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}
Решение системы при начальном условии $$N=N_0$$ представляется следующим образом:
\begin{equation}
\label{eq:3}
N(t) = \dfrac{N_0 K e^{rt}}{N_0 (e^{rt} - 1) + K} .
\end{equation}
Фазовое пространство в этом случае одномерно. На рисунке 2 в плоскости $$(t, N)$$ показаны графики интегральных кривых для различных значений $$N_0$$. Стрелками отмечено направление движения фазового потока на оси N. Фазовые траектории системы представляют собой отрезки прямой N, движение по которым происходит в направлении точки с координатой K.

Файл:Пример 2.png

2023-12-23T20:06:53Z

Akbar23:

логистическое уравнение

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T20:00:07Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется $$\textbf{фазовым пространством}$$ этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ - фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл - периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0; u_0) = u(t; u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
$$\textbf{Пример 1.}$$
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая (цикл), и указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где C и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$. На рисунке 1 представлены интегральная и фазовая кривые системы \eqref{eq:1} при начальном условии $$u(0) = u_0$$, фазовая кривая является неподвижной точкой (0,0) и циклом, обозначенным как $$\gamma(u_0)$$.
$$\textbf{Пример 2.}$$
Рассмотрим одномерную динамическую систему, задаваемую [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Логистическое_уравнение_и_его_свойства логистическим уравнением]
\begin{equation}
\label{eq:2}
\dfrac{dN}{dt} = rN \left( 1 - \dfrac{N}{K} \right).
\end{equation}

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T19:15:16Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется $$\textbf{фазовым пространством}$$ этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ - фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл - периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0; u_0) = u(t; u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
$$\textbf{Пример 1.}$$
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая (цикл), и указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где C и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$. На рисунке 1 представлены интегральная и фазовая кривые системы \eqref{eq:1} при начальном условии $$u(0) = u_0$$, фазовая кривая является циклом и обозначена как $$\gamma(u_0)$$.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T19:14:56Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется $$\textbf{фазовым пространством}$$ этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ - фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл - периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0; u_0) = u(t; u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
$$\textbf{Пример 1.}$$
[[Файл:Пример 1.png|300px|справа|Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая (цикл), и указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где C и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$. На рисунке 1 представлены интегральная и фазовая кривые системы \eqref{eq:1} при начальном условии $$u(0) = u_0$$, фазовая кривая является циклом и обозначена как $$\gamma(u_0)$$.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T19:00:54Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется $$\textbf{фазовым пространством}$$ этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ - фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл - периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0; u_0) = u(t; u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
$$\textbf{Пример 1.}$$
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ системы из примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая (цикл), и указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где C и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$. На рисунке 1 представлены интегральная и фазовая кривые системы \eqref{eq:1} при начальном условии $$u(0) = u_0$$, фазовая кривая является циклом и обозначена как $$\gamma(u_0)$$.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T18:59:25Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется $$\textbf{фазовым пространством}$$ этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ - фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл - периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0; u_0) = u(t; u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
$$\textbf{Пример 1.}$$
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ для примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая (цикл), и указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где C и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$. На рисунке 1 представлены интегральная и фазовая кривые системы \eqref{eq:1} при начальном условии $$u(0) = u_0$$, фазовая кривая является циклом и обозначена как $$\gamma(u_0)$$.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T18:59:04Z

Akbar23:

Множество всевозможных состояний [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамической системы] называется $$\textbf{фазовым пространством}$$ этой системы.

Пусть дана динамическая система:
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ - фазовое пространство системы \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.
__TOC__
==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Цикл - периодическая траектория, не являющаяся положением равновесия, каждая точка которой удовлетворяет условию $$u(t + T_0; u_0) = u(t; u_0)$$ для некоторого $$T_0 > 0$$ и всех $$t \in \mathbb{R}$$.
==Примеры==
$$\textbf{Пример 1.}$$
[[Файл:Пример 1.png|мини|справа|Интегральная кривая в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$ для примера 1. На плоскости $$(u_1, u_2)$$ изображена фазовая кривая (цикл), и указано направление фазового потока.]]

Рассмотрим следующую динамическую систему
\begin{equation*}
\label{eq:1}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = u_2 ,\\
\dot{u}_2 = -u_1.
\end{cases}
\end{equation*}
Общее решение имеет вид $$u_1(t) = C\ \sin(t + \alpha_0), u_2(t) = C\ \cos(t + \alpha_0)$$, где C и $$\alpha_0$$ — постоянные, определяемые начальными условиями. Интегральная кривая представляет собой винтовую линию, намотанную на цилиндр $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в пространстве $$(u_1, u_2, t)$$. Фазовые кривые системы \eqref{eq:1} являются окружностями $$u_1^2+u_2^2 = C^2$$ в фазовом пространстве $$(u_1, u_2)$$. На рисунке 1 представлены интегральная и фазовая кривые системы \eqref{eq:1} при начальном условии $$u(0) = u_0$$, фазовая кривая является циклом и обозначена как $$\gamma(u_0)$$.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T18:55:58Z

Akbar23:

Файл:Пример 1.png

2023-12-23T18:53:59Z

Akbar23:

Интегральная кривая в пространстве $(u_1, u_2, t)$ для примера 1. На плоскости $(u_1, u_2)$ изображена фазовая кривая (цикл), и указано направление фазового потока.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T18:46:31Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T18:44:54Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T18:43:17Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-23T18:37:03Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-19T21:40:13Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-19T21:39:25Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-19T21:37:19Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-19T21:29:54Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-19T21:21:41Z

Akbar23:

Пусть дана [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамическая система]
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ называется $$\textbf{фазовым пространством системы}$$ \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.

==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-19T21:18:09Z

Akbar23:

Пусть дана динамическая система
\begin{equation}
\label{eq:0}
\frac{du}{dt} = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ называется $$\textbf{фазовым пространством системы}$$ \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.

==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-19T21:16:55Z

Akbar23:

Пусть дана система автономных дифференциальных уравнений
\begin{equation}
\label{eq:0}
\dot u = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ называется $$\textbf{фазовым пространством системы}$$ \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.

==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижная точка] системы \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-19T21:14:15Z

Akbar23:

Пусть дана система автономных дифференциальных уравнений
\begin{equation}
\label{eq:0}
\dot u = f(u),\ u \in U \subseteq \mathbb{R}^n,\ f:U \rightarrow \mathbb{R}^n,\ f \in C^2(U).
\end{equation}
Множество $$U$$ возможных состояний $$u$$ называется $$\textbf{фазовым пространством системы}$$ \eqref{eq:0}.

Обозначим за $$u = u(t; u_0)$$ решение системы \eqref{eq:0} с начальным условием $$u(0) = u_0$$. Множество точек {t, u(t; u0)}
называется $$\textbf{интегральной кривой системы}$$ \eqref{eq:0}, а множество точек {u(t; u0)} называется $$\textbf{фазовой кривой системы}$$ \eqref{eq:0}.

Интегральные кривые дают полную информацию о поведении решений системы \eqref{eq:0}, а вот фазовые кривые эту информацию не дают, так как являются лишь проекциями интегральных кривых на фазовое пространство. Но в большинстве случаев достаточно изучить фазовые кривые.

==Свойства фазовых кривых==
$$\textbf{Свойство 1.}$$ Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство означает, что фазовое пространство расслаивается на непересекающиеся фазовые кривые.

$$\textbf{Свойство 2.}$$ Если точка $$u^*$$ -- положение равновесия \eqref{eq:0}, то точка $$u = u^*$$ есть фазовая кривая.

$$\textbf{Свойство 3.}$$ Фазовая кривая, отличная от точки, есть гладкая кривая, то есть в каждой точке имеется ненулевой касательный вектор, непрерывно зависящий от длины дуги.

$$\textbf{Свойство 4.}$$ Всякая фазовая кривая принадлежит одному из трех типов: гладкая кривая без самопересечений; замкнутая гладкая кривая (цикл); точка.

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-17T20:00:10Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-17T19:54:09Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-17T19:53:56Z

Akbar23:

Фазовые и интегральные кривые. Фазовое пространство

2023-12-17T19:53:02Z

Akbar23: