sawiki - Вклад участника [ru]

Измеримые функции и их свойства

2025-10-17T15:57:13Z

Alex25:

== Понятие измеримой функции ==
Мы будем рассматривать вещественнозначные функции, определённые на некотором множестве <math>X</math> с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Мера_Лебега мерой] <math>\mu</math>. Пусть также <math>\mathfrak{S}_\mu</math> — <math>\sigma</math>-[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Системы_множеств алгебра] измеримых относительно <math>\mu</math> подмножеств <math>X</math>.

'''Определение 1'''

Функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> называется <math>\mu</math>-'''измеримой''' (или просто '''измеримой'''), если для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
принадлежит <math>\mathfrak{S}_\mu</math> (то есть является измеримым).

== Вспомогательные утверждения и некоторые примеры ==
Сперва докажем лемму, которая в дальнейшем поможет нам в доказательствах некоторых свойств измеримых функций.

'''Лемма 1'''

Следующие условия эквивалентны:
# <math>f:X\to\mathbb{R}</math> — измеримая функция,
# Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}</math> измеримо,
# Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid f(x)>c\}</math> измеримо,
# Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}</math> измеримо,
# Для любых <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо,
# Для любых <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Для любых <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Для любых <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо.

'''Доказательство'''

<math>1)\Rightarrow2)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}=\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \left\{x\in X~\middle\vert~f(x)< c+\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного пересечения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
<math>2)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f(x)\leqslant c-\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть мы представили множество в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно является измеримым. 
<math>1)\Rightarrow4)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<c\}}_{\text{измеримое}},</math>
а значит множество является измеримым. 
<math>4)\Rightarrow1)</math> 
Аналогично предыдущему пункту 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}}_{\text{измеримое}},</math>
значит множество является измеримым. 
<math>2)\Leftrightarrow3)</math> 
Доказывается аналогично предыдущим двум пунктам. 
<math>1)\Rightarrow7)</math> 
:<math>\{x\in X \mid c_1<f(x)<c_2\}=\{x\in X \mid f(x)>c_1\}\cap\{x\in X \mid f(x)<c_2\},</math>
то есть множество представимо в виде пересечения двух измеримых множеств, следовательно, оно само является измеримым множеством. 
<math>7)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;c-\frac{k+1}{2}<f(x)<c-\frac{k-1}{2}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
Эквивалентность остальных пунктов доказывается аналогичным образом. ∎

Теперь установим связь некоторых классов функций с измеримыми функциями.

'''Утверждение 1'''

Всякая непрерывная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Как известно, функция <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> непрерывна тогда и только тогда, когда для любого открытого множества <math>U\in\mathbb{R}</math> его полный прообраз
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in U\}</math>
будет открытым множеством. В нашем случае, для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> мы получим
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in(-\infty,c)\},</math>
то есть полный прообраз открытого множества. Тогда, в силу ранее сказанного, он является открытым множеством, а значит измеримым множеством. Тем самым мы получили, что функция <math>f</math> — измеримая. ∎

'''Утверждение 2'''

Всякая монотонная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим неубывающую функцию <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Пусть величина <math>a</math> определяется следующим образом
:<math>a=\sup\,\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)<c\}.</math>
Тогда мы получим, что полным прообразом множества <math>(-\infty,c)</math> будет либо <math>(-\infty,a)</math>, либо <math>(-\infty,a]</math>. Оба множества являются измеримыми, а значит и функция <math>f</math> — измерима. ∎

Эти два утверждения показывают, что весьма значительный класс отображений лежит во множестве измеримых функций. Тогда вполне уместным будет привести пример неизмеримой функции.

'''Пример 1'''

Рассмотрим индикаторную функцию <math>\mathbb{I}_E:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>, действующую по принципу
:<math>\mathbb{I}_E(x)=\begin{cases}
1, & x\in E,\\
0, & x\notin E.
\end{cases}</math>

Тогда
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid \mathbb{I}_E(x)<c\} = \begin{cases}
\mathbb{R}, & c > 1,\\
\varnothing, & c\leqslant 0,\\
\mathbb{R}\setminus E, & 0 < c \leqslant1.
\end{cases}</math>

Тем самым мы получаем, что индикаторная функция будет измерима тогда и только тогда, когда будет измеримо множество <math>E</math>. Соответственно, если <math>E</math> — неизмеримое, то мы получим пример функции, которая не является измеримой.

Отметим, что мы привели пример не только неизмеримой функции, но и измеримой разрывной функции (в том случае, если <math>E</math> — измеримое множество). Возникает вопрос: можно ли привести пример измеримой функции, которая была бы разрывна всюду? Ответ на этот вопрос дал крупный немецкий математик [https://ru.wikipedia.org/wiki/Дирихле,_Петер_Густав_Лежён Дирихле] в 1829 году.

'''Пример 2'''

Рассмотрим функцию Дирихле
:<math>D(x)=\begin{cases}
1, & x\in\mathbb{Q},\\
0, & x\notin\mathbb{Q}.
\end{cases}</math>

Данная функция является индикаторной функцией множества рациональных чисел, которое, в свою очередь, измеримо. А значит, согласно сказанному выше, она измерима.

== Действия над измеримыми функциями ==

Здесь и далее мы будем предполагать выполненным условие полноты меры (то есть, если <math>A</math> — измеримое множество меры нуль, то всякое его подмножество <math>\tilde{A}</math> измеримо и <math>\mu(\tilde{A})=0</math>).

'''Лемма 2'''

Пусть даны измеримая функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> и непрерывная функция <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Тогда их композиция
:<math>g\circ f:X\to\mathbb{R}</math>
измерима.

'''Доказательство'''

Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> рассмотрим множество <math>U=\{x\in\mathbb{R} \mid g(x)<c\}</math>. Данное множество является полным прообразом открытого множества, тогда, в силу непрерывности функции <math>g</math>, мы получим, что <math>U</math> — открытое множество. Его мы представим в следующем виде
:<math>U = \bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k).</math>

Теперь рассмотрим непосредственно композицию <math>g\circ f</math>
:<math>\{x\in X \mid g(f(x))<c\}=\{x\in X \mid f(x)\in U\} = \{x\in X \mid f(x)\in\bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k)\}=</math>
:<math>= \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\{x\in X \mid f(x)\in(a_k,b_k)\}.</math>

Тогда, в силу измеримости <math>f</math>, используя [[#Лемма_1|лемму 1]], мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое, в свою очередь, является измеримым множеством. Тем самым мы получили, что <math>g\circ f</math> — измеримая функция. ∎

'''Следствие'''

Если функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> измерима, то функции
#<math>\lambda f,~\lambda\in\mathbb{R}</math>,
#<math>|f|</math>,
#<math>f^2</math>,
#<math>\frac{1}{f}</math> (при условии, что <math>f(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

Возникает вопрос: будет ли композиция двух измеримых функций измерима? Покажем, что это, вообще говоря, неверно.

'''Пример 3'''

Рассмотрим отрезок <math>[0,1]</math>. На нём возьмём функцию
:<math>\varphi(x)=\frac{1}{2}(K(x)+x),</math>
где <math>K(x)</math> — канторова лестница. Данная функция является строго возрастающей и непрерывной на <math>[0,1]</math>. Более того, будет выполнено
:<math>\varphi([0,1])=[0,1],</math>
а значит, у неё существует строго возрастающая и непрерывная на <math>[0,1]</math> обратная функция <math>f = \varphi^{-1}</math>. Далее
:<math>[0,1]=C\cup G,</math>
где <math>C</math> — канторово множество, <math>G</math> — совокупность интервалов, "выбрасываемых" на каждой итерации при построении канторова множества. Заметим, что функция <math>\varphi</math> переводит каждый из интервалов, входящих в множество <math>G</math>, в интервал в два раза меньшей длины. То есть
:<math>\mu(\varphi(G))=\frac{1}{2},</math>
а значит
:<math>\mu(\varphi(C))=\frac{1}{2}.</math>
В множестве <math>\varphi(C)</math> мы можем найти неизмеримое подмножество <math>Q</math>. Рассмотрим его полный проообраз
:<math>P=\varphi^{-1}(Q).</math>
Очевидно, что <math>P\subset C</math>. Так как <math>\mu(C)=0</math>, то, в силу полноты меры, <math>\mu(P)=0</math>, то есть <math>P</math> — измеримое множество. Возьмём его индикаторную функцию
:<math>g = \mathbb{I}_{P}.</math>
Как мы установили выше, она будет измеримой. Теперь рассмотрим композицию <math>g\circ f</math>
:<math>g(f(x))=\begin{cases}1, & x\in Q,\\0, & x\notin Q.\end{cases}</math>
Тем самым мы получили, что
:<math>g\circ f = \mathbb{I}_Q,</math>
то есть их композиция является индикаторной функцией неизмеримого множества, а значит, она является неизмеримой функцией.

Покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно арифметических операций.

'''Теорема 1 (Арифметические действия над измеримыми функциями)'''

Пусть даны измеримые функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math>. Тогда функции
# <math>f+g</math>,
# <math>fg</math>,
# <math>\dfrac{f}{g}</math> (при условии, что <math>g(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

'''Доказательство'''
<ol>
<li> Сперва отметим, что
:<math>f(x)+g(x) < c \Leftrightarrow f(x) < c - g(x) \Leftrightarrow</math>
:<math>\Leftrightarrow\exists\, q\in\mathbb{Q}:\begin{cases}
f(x) < q,\\
g(x) < c - q.
\end{cases}</math>
Таким образом, мы имеем
:<math>\{x\in X \mid f(x)+g(x)<c\}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<q\}}_{\text{измеримое}}\cap\underbrace{\{x\in X \mid g(x)<c-q\}}_{\text{измеримое}}),</math>
тогда, в силу измеримости функций <math>f</math> и <math>g</math>, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое само является измеримым множеством, а значит функция <math>f+g</math> является измеримой.
</li>
<li> Воспользуемся тождеством
:<math>fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}.</math>
Выше мы показали, что <math>f+g</math> и <math>f-g</math> будут измеримыми функциями, а согласно следствию из [[#Лемма_2|леммы 2]] мы получим, что квадрат от измеримой функции — измеримая функция, а значит и <math>fg</math> будет измерима.
</li>
<li> Возьмём функцию <math>\frac{1}{g}</math>. Согласно следствию из [[#Лемма_2|леммы 2]] она будет измеримой. Тогда непосредственно из предыдущего пункта следует, что <math>\frac{f}{g}</math> будет измеримой. ∎
</li>
</ol>

Теперь покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно операции предельного перехода.

'''Теорема 2'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Покажем, что
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k}\bigcup_{n}\bigcap_{m>n}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f_m(x)<c-\frac{1}{k}\right\}.</math>

Действительно, если <math>f(x)<c</math>, то
:<math>\exists\,k\in\mathbb{N}:f(x)<c-\frac{2}{k}.</math>

В свою очередь, при этом <math>k</math> можно найти столь большое <math>n</math>, что при <math>m\geqslant n</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k}.</math>

Обратно, если <math>x</math> лежит в правой части равенства, то существует <math>k</math> такое, что при всех достаточно больших <math>m</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k},</math>
но тогда <math>f(x)<c</math>, то есть <math>x</math> принадлежит левой части равенства.

Так как функции <math>f_n(x)</math> — измеримые, то все множества в правой части равенства будут измеримыми. А в силу того, что измеримые множества образуют <math>\sigma</math>-алгебру, то множества
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
будут измеримыми для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>. Таким образом, функция <math>f</math> будет измеримой. ∎

== Эквивалентность функций ==

'''Определение 2'''

Две функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> называются '''эквивалентными''', если
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\} = 0.</math>
Обозначение : <math>f\sim g</math>.

'''Теорема 3'''

Пусть даны функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> такие, что <math>g</math> измерима и <math>f\sim g</math>. Тогда функция <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = \{x\in X \mid f(x)=g(x),\,g(x)<c\}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}=</math>
:<math>= \{x\in X \mid g(x)<c\}\cap\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\}^\mathsf{c}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Введём обозначения
:<math>A = \{x\in X \mid g(x)<c\},</math>
:<math>B = \{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\},</math>
:<math>\tilde{B}=\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Заметим, что <math>A</math> — измеримое множество в силу измеримости функции <math>g</math>; <math>\mu(B)=0</math> т. к. <math>f\sim g</math>; <math>\tilde{B}\subseteq B</math>, а значит <math>\mu(\tilde{B})=0</math> в силу полноты меры <math>\mu</math>.

Таким образом, множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = A \cap B^{\mathsf{c}} \cup \tilde{B}</math>
измеримо для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>, а значит <math>f</math> — измеримая функция. ∎

== Теорема Егорова ==

Сперва введём необходимые определения.

'''Определение 3'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''равномерно сходящейся к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{x\in X}{\sup}|f_n(x)-f(x)|\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>
Обозначение : <math>f_n\rightrightarrows f</math>.

'''Определение 4'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''сходящейся почти всюду к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x)</math> для почти всех <math>x\in X</math>.

Теперь, мы можем несколько обобщить [[#Теорема_2|теорему 2]].

'''Теорема 4'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x).</math>
По условию <math>\mu(X\setminus A) = 0</math>. Это значит, что <math>A</math> — измеримое множество и функции <math>\mathbb{I}_A f_n</math> — измеримы. В силу того, что
:<math>\mathbb{I}_A f_n \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \mathbb{I}_A f,</math>
мы получим, что <math>\mathbb{I}_A f</math> — измерима. Осталось заметить, что <math>\mathbb{I}_A f \sim f</math>, из чего следует измеримость <math>f</math>. ∎

Теперь рассмотрим важную теорему, доказанную в 1911 г. крупным русским математиком [https://ru.wikipedia.org/wiki/Егоров,_Дмитрий_Фёдорович Д. Ф. Егоровым], устанавливающую связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости.

'''Теорема 5 (Теорема Егорова)'''

Пусть <math>X</math> — множество конечной меры и последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций сходится на <math>X</math> почти всюду к <math>f</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такое измеримое подмножество <math>X_\varepsilon\subset X</math>, что
# <math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)<\varepsilon</math>;
# <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>.

'''Доказательство'''

Согласно предыдущей теореме функция <math>f</math> будет измеримой. Положим
:<math>X^m_n=\bigcap_{i=n}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>

Пусть также
:<math>X^m = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X^m_n.</math>

В силу того, что <math>\sigma</math>-аддитивная мера непрерывна, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для любого <math>\varepsilon>0</math> найдётся такое натуральное <math>n_0=n_0(m)</math>, что
:<math>\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Положим
:<math>X_\varepsilon=\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}=\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcap_{i=n_0}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>
и покажем, что построенное множество удовлетворяет условиям теоремы.

Сначала покажем, что <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>. Действительно, если <math>x\in X_{\varepsilon}</math>, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для всех <math>i>n_0(m)</math> будет выполнено
:<math>|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}.</math>

Теперь оценим меру множества <math>X\setminus X_\varepsilon</math>. Для начала заметим, что для всех натуральных <math>m</math> мы имеем <math>\mu(X\setminus X^m) = 0</math>. Действительно, если <math>x_0\in X\setminus X^m</math>, то для любого <math>n\in\mathbb{N}</math> существуют <math>i>n</math>, при которых
:<math>|f_i(x_0)-f(x_0)|\geqslant\frac{1}{m},</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> в точке <math>x_0</math> не сходится к <math>f</math>, а такие точки, согласно условию теоремы, образуют множество меры нуль. Отсюда следует, что
:<math>\mu(X\setminus X^m_{n_0})=\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Таким образом, мы получим
:<math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)=\mu\left(X\setminus\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}\right)=\mu\left(\bigcup_{m=1}^{\infty}(X\setminus X^m_{n_0})\right)\leqslant\sum_{m=1}^{\infty}\mu(X\setminus X^m_{n_0})<\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^m}=\varepsilon.</math> ∎

== Сходимость по мере ==

'''Определение 5'''

Говорят, что последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций, определённых на <math>X</math>, '''сходится по мере к функции''' <math>f</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math>
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\}=0.</math>

'''Теорема 6'''

Если последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится почти всюду к некоторой функции <math>f</math>, то она сходится к той же самой предельной функции <math>f</math> по мере.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>. Введём также следующие обозначения
:<math>E_k(\varepsilon)=\{x\in X \mid |f_k(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\},</math>
:<math>R_n(\varepsilon)=\bigcup_{k=n}^{\infty}E_k(\varepsilon),</math>
:<math>M = \bigcap_{n=1}^{\infty}R_n(\varepsilon).</math>

Отметим, что из [[#Теорема_4|теоремы 4]] следует измеримость функции <math>f</math>. Тогда все указанные выше множества будут измеримыми.

Так как
:<math>R_1(\varepsilon)\supset R_2(\varepsilon)\supset \ldots\supset R_n(\varepsilon)\ldots,</math>
то в силу свойства непрерывности меры будет выполнено
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(M).</math>

Теперь проверим, что
:<math>M\subset A.</math>

Действительно, если <math>x_0\in M</math>, то для любого натурального <math>n</math> найдётся <math>k\geqslant n</math> такое, что
:<math>|f_k(x_0)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon,</math>
а значит в точке <math>x_0</math> последовательность <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>, то есть <math>x_0\in A</math>. Но, согласно условию, <math>\mu(A)=0</math>. Тогда, в силу полноты меры, <math>\mu(M)=0</math>, следовательно
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>

Так как <math>E_n(\varepsilon)\subset R_n(\varepsilon)</math>, то мы получим, что
:<math>\mu(E_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к <math>f</math>. ∎

Мы установили, что из сходимости почти всюду следует сходимость по мере. Покажем, что обратное к этому утверждению, вообще говоря, неверно.

'''Пример 4 (Пример Рисса)'''

Представим каждое <math>n\in\mathbb{N}</math> в виде
:<math>n=2^k + m,~0\leqslant m < 2^k,~k=0,1,\ldots.</math>
Тогда <math>k</math> и <math>m</math> однозначно определяются числом <math>n</math>. Положим <math>f\equiv 0</math> и рассмотрим последовательность <math>\{f_n\}</math>, определённую следующим образом
:<math>f_n(x)=\begin{cases}
1, & x\in\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right],\\
0, & x\notin\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right].
\end{cases}</math>

Заметим, что
:<math>n\to\infty\Leftrightarrow k\to\infty.</math>

Тогда, для любого <math>\varepsilon>0</math> мы получим
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\} = \frac{1}{2^k}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к нулю. Но, при этом, ни для какой точки <math>x\in[0,1]</math> нет сходимости <math>\{f_n(x)\}</math>, так как в любой такой точке бесконечно много членов этой последовательности равно <math>0</math> и бесконечно много членов равно <math>1</math>.

Хотя приведённый выше пример показывает, что из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, тем не менее будет справедлива следующая теорема.

'''Теорема 7 (Теорема Рисса)'''

Пусть последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится по мере к <math>f</math>. Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность <math>\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}</math>, сходящуюся к <math>f</math> почти всюду.

'''Доказательство'''

Пусть <math>\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\infty</math> — некоторая последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\varepsilon_n=0,</math>
и пусть <math>\{\eta_n\}_{n=1}^\infty</math> — последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k < \infty.</math>
Построим последовательность
:<math>n_1<n_2<\ldots<n_k<\ldots</math>
следующим образом : в силу сходимости по мере последовательности <math>\{f_n\}</math> к <math>f</math> выберем <math>n_1</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_1}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_1\}<\eta_1.</math>
Далее выберем <math>n_k>n_{k-1}</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon_k\}<\eta_k.</math>

Покажем, что построенная последовательность <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> почти всюду. Действительно, пусть
:<math>R_i=\bigcup_{k=i}^\infty\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
:<math>Q = \bigcap_{i=1}^{\infty}R_i.</math>
Сразу заметим, что
:<math>R_1\supset R_2\supset\ldots\supset R_n\supset\ldots.</math>
Тогда, в силу непрерывности меры, будет выполнено
:<math>\mu(R_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(Q).</math>
При этом, в силу построения, мы имеем
:<math>\mu(R_i)<\sum_{k=i}^{\infty}\eta_k,</math>
а так как ряд <math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k</math> — сходится, то мы получим
:<math>\mu(R_i)\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\mu(Q)=0</math>. Теперь осталось проверить, что <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> на множестве <math>X\setminus Q</math>. Пусть <math>x_0\in X\setminus Q</math>. Тогда существует такое <math>i_0</math>, что <math>x_0\notin R_{i_0}</math>. Это означает, что для всех <math>k\geqslant i_0</math>
:<math>x_0\notin\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
то есть
:<math>|f_{n_k}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon_k.</math>
Но, согласно условию, <math>\varepsilon_k\to 0</math>, а значит
:<math>\underset{k\to\infty}{\lim}f_{n_k}(x_0)=f(x_0).</math> ∎

== Теорема Лузина ==
Теперь мы будем рассматривать измеримые функции, заданные на отрезке. Для них имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913 г. одним из крупнейших математиков XX века [https://ru.wikipedia.org/wiki/Лузин,_Николай_Николаевич Н. Н. Лузиным].

'''Теорема 8 (Теорема Лузина)'''

Для того, чтобы функция <math>f</math>, заданная на отрезке <math>[a,b]</math>, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого <math>\varepsilon>0</math> существовала такая функция <math>\varphi\in C[a,b]</math>, что
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq\varphi(x)\} < \varepsilon.</math>

==Литература==
* ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2023. — 576 с.
* ''Гелбаум Б., Олмстед Дж.'' Контрпримеры в анализе: Пер. с англ./ Под ред. и с предисл. П. Л. Ульянова Изд. 3-е. — М.: Издательство ЛКИ, 2010. — 248 с.

Измеримые функции и их свойства

2025-10-16T17:51:57Z

Alex25:

== Понятие измеримой функции ==
Мы будем рассматривать вещественнозначные функции, определённые на некотором множестве <math>X</math> с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Мера_Лебега мерой] <math>\mu</math>. Пусть также <math>\mathfrak{S}_\mu</math> — <math>\sigma</math>-[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Системы_множеств алгебра] измеримых относительно <math>\mu</math> подмножеств <math>X</math>.

'''Определение 1'''

Функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> называется <math>\mu</math>-'''измеримой''' (или просто '''измеримой'''), если для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
принадлежит <math>\mathfrak{S}_\mu</math> (то есть является измеримым).

== Вспомогательные утверждения и некоторые примеры ==
Сперва докажем лемму, которая в дальнейшем поможет нам в доказательствах некоторых свойств измеримых функций.

'''Лемма 1'''

Следующие условия эквивалентны:
# <math>f:X\to\mathbb{R}</math> — измеримая функция,
# Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}</math> измеримо,
# Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid f(x)>c\}</math> измеримо,
# Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}</math> измеримо,
# Для любых <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо,
# Для любых <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Для любых <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Для любых <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо.

'''Доказательство'''

<math>1)\Rightarrow2)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}=\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \left\{x\in X~\middle\vert~f(x)< c+\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного пересечения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
<math>2)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f(x)\leqslant c-\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть мы представили множество в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно является измеримым. 
<math>1)\Rightarrow4)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<c\}}_{\text{измеримое}},</math>
а значит множество является измеримым. 
<math>4)\Rightarrow1)</math> 
Аналогично предыдущему пункту 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}}_{\text{измеримое}},</math>
значит множество является измеримым. 
<math>2)\Leftrightarrow3)</math> 
Доказывается аналогично предыдущим двум пунктам. 
<math>1)\Rightarrow7)</math> 
:<math>\{x\in X \mid c_1<f(x)<c_2\}=\{x\in X \mid f(x)>c_1\}\cap\{x\in X \mid f(x)<c_2\},</math>
то есть множество представимо в виде пересечения двух измеримых множеств, следовательно, оно само является измеримым множеством. 
<math>7)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;c-\frac{k+1}{2}<f(x)<c-\frac{k-1}{2}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
Эквивалентность остальных пунктов доказывается аналогичным образом. ∎

Теперь установим связь некоторых классов функций с измеримыми функциями.

'''Утверждение 1'''

Всякая непрерывная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Как известно, функция <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> непрерывна тогда и только тогда, когда для любого открытого множества <math>U\in\mathbb{R}</math> его полный прообраз
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in U\}</math>
будет открытым множеством. В нашем случае, для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> мы получим
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in(-\infty,c)\},</math>
то есть полный прообраз открытого множества. Тогда, в силу ранее сказанного, он является открытым множеством, а значит измеримым множеством. Тем самым мы получили, что функция <math>f</math> — измеримая. ∎

'''Утверждение 2'''

Всякая монотонная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим неубывающую функцию <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Пусть величина <math>a</math> определяется следующим образом
:<math>a=\sup\,\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)<c\}.</math>
Тогда мы получим, что полным прообразом множества <math>(-\infty,c)</math> будет либо <math>(-\infty,a)</math>, либо <math>(-\infty,a]</math>. Оба множества являются измеримыми, а значит и функция <math>f</math> — измерима. ∎

Эти два утверждения показывают, что весьма значительный класс отображений лежит во множестве измеримых функций. Тогда вполне уместным будет привести пример неизмеримой функции.

'''Пример 1'''

Рассмотрим индикаторную функцию <math>\mathbb{I}_E:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>, действующую по принципу
:<math>\mathbb{I}_E(x)=\begin{cases}
1, & x\in E,\\
0, & x\notin E.
\end{cases}</math>

Тогда
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid \mathbb{I}_E(x)<c\} = \begin{cases}
\mathbb{R}, & c > 1,\\
\varnothing, & c\leqslant 0,\\
\mathbb{R}\setminus E, & 0 < c \leqslant1.
\end{cases}</math>

Тем самым мы получаем, что индикаторная функция будет измерима тогда и только тогда, когда будет измеримо множество <math>E</math>. Соответственно, если <math>E</math> — неизмеримое, то мы получим пример функции, которая не является измеримой.

Отметим, что мы привели пример не только неизмеримой функции, но и измеримой разрывной функции (в том случае, если <math>E</math> — измеримое множество). Возникает вопрос: можно ли привести пример измеримой функции, которая была бы разрывна всюду? Ответ на этот вопрос дал крупный немецкий математик [https://ru.wikipedia.org/wiki/Дирихле,_Петер_Густав_Лежён Дирихле] в 1829 году.

'''Пример 2'''

Рассмотрим функцию Дирихле
:<math>D(x)=\begin{cases}
1, & x\in\mathbb{Q},\\
0, & x\notin\mathbb{Q}.
\end{cases}</math>

Данная функция является индикаторной функцией множества рациональных чисел, которое, в свою очередь, измеримо. А значит, согласно сказанному выше, она измерима.

== Действия над измеримыми функциями ==

Здесь и далее мы будем предполагать выполненным условие полноты меры (то есть, если <math>A</math> — измеримое множество меры нуль, то всякое его подмножество <math>\tilde{A}</math> измеримо и <math>\mu(\tilde{A})=0</math>).

'''Лемма 2'''

Пусть даны измеримая функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> и непрерывная функция <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Тогда их композиция
:<math>g\circ f:X\to\mathbb{R}</math>
измерима.

'''Доказательство'''

Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> рассмотрим множество <math>U=\{x\in\mathbb{R} \mid g(x)<c\}</math>. Данное множество является полным прообразом открытого множества, тогда, в силу непрерывности функции <math>g</math>, мы получим, что <math>U</math> — открытое множество. Его мы представим в следующем виде
:<math>U = \bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k).</math>

Теперь рассмотрим непосредственно композицию <math>g\circ f</math>
:<math>\{x\in X \mid g(f(x))<c\}=\{x\in X \mid f(x)\in U\} = \{x\in X \mid f(x)\in\bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k)\}=</math>
:<math>= \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\{x\in X \mid f(x)\in(a_k,b_k)\}.</math>

Тогда, в силу измеримости <math>f</math>, используя [[#Лемма_1|лемму 1]], мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое, в свою очередь, является измеримым множеством. Тем самым мы получили, что <math>g\circ f</math> — измеримая функция. ∎

'''Следствие'''

Если функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> измерима, то функции
#<math>\lambda f,~\lambda\in\mathbb{R}</math>,
#<math>|f|</math>,
#<math>f^2</math>,
#<math>\frac{1}{f}</math> (при условии, что <math>f(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

Возникает вопрос: будет ли композиция двух измеримых функций измерима? Покажем, что это, вообще говоря, неверно.

'''Пример 3'''

Рассмотрим отрезок <math>[0,1]</math>. На нём возьмём функцию
:<math>\varphi(x)=\frac{1}{2}(K(x)+x),</math>
где <math>K(x)</math> — канторова лестница. Данная функция является строго возрастающей и непрерывной на <math>[0,1]</math>. Более того, будет выполнено
:<math>\varphi([0,1])=[0,1],</math>
а значит, у неё существует строго возрастающая и непрерывная на <math>[0,1]</math> обратная функция <math>f = \varphi^{-1}</math>. Далее
:<math>[0,1]=C\cup G,</math>
где <math>C</math> — канторово множество, <math>G</math> — совокупность интервалов, "выбрасываемых" на каждой итерации при построении канторова множества. Заметим, что функция <math>\varphi</math> переводит каждый из интервалов, входящих в множество <math>G</math>, в интервал в два раза меньшей длины. То есть
:<math>\mu(\varphi(G))=\frac{1}{2},</math>
а значит
:<math>\mu(\varphi(C))=\frac{1}{2}.</math>
В множестве <math>\varphi(C)</math> мы можем найти неизмеримое подмножество <math>Q</math>. Рассмотрим его полный проообраз
:<math>P=\varphi^{-1}(Q).</math>
Очевидно, что <math>P\subset C</math>. Так как <math>\mu(C)=0</math>, то, в силу полноты меры, <math>\mu(P)=0</math>, то есть <math>P</math> — измеримое множество. Возьмём его индикаторную функцию
:<math>g = \mathbb{I}_{P}.</math>
Как мы установили выше, она будет измеримой. Теперь рассмотрим композицию <math>g\circ f</math>
:<math>g(f(x))=\begin{cases}1, & x\in Q,\\0, & x\notin Q.\end{cases}</math>
Тем самым мы получили, что
:<math>g\circ f = \mathbb{I}_Q,</math>
то есть их композиция является индикаторной функцией неизмеримого множества, а значит, она является неизмеримой функцией.

Покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно арифметических операций.

'''Теорема 1 (Арифметические действия над измеримыми функциями)'''

Пусть даны измеримые функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math>. Тогда функции
# <math>f+g</math>,
# <math>fg</math>,
# <math>\dfrac{f}{g}</math> (при условии, что <math>g(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

'''Доказательство'''
<ol>
<li> Сперва отметим, что
:<math>f(x)+g(x) < c \Leftrightarrow f(x) < c - g(x) \Leftrightarrow</math>
:<math>\Leftrightarrow\exists\, q\in\mathbb{Q}:\begin{cases}
f(x) < q,\\
g(x) < c - q.
\end{cases}</math>
Таким образом, мы имеем
:<math>\{x\in X \mid f(x)+g(x)<c\}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<q\}}_{\text{измеримое}}\cap\underbrace{\{x\in X \mid g(x)<c-q\}}_{\text{измеримое}}),</math>
тогда, в силу измеримости функций <math>f</math> и <math>g</math>, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое само является измеримым множеством, а значит функция <math>f+g</math> является измеримой.
</li>
<li> Воспользуемся тождеством
:<math>fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}.</math>
Выше мы показали, что <math>f+g</math> и <math>f-g</math> будут измеримыми функциями, а согласно следствию из [[#Лемма_2|леммы 2]] мы получим, что квадрат от измеримой функции — измеримая функция, а значит и <math>fg</math> будет измерима.
</li>
<li> Возьмём функцию <math>\frac{1}{g}</math>. Согласно следствию из [[#Лемма_2|леммы 2]] она будет измеримой. Тогда непосредственно из предыдущего пункта следует, что <math>\frac{f}{g}</math> будет измеримой. ∎
</li>
</ol>

Теперь покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно операции предельного перехода.

'''Теорема 2'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Покажем, что
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k}\bigcup_{n}\bigcap_{m>n}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f_m(x)<c-\frac{1}{k}\right\}.</math>

Действительно, если <math>f(x)<c</math>, то
:<math>\exists\,k\in\mathbb{N}:f(x)<c-\frac{2}{k}.</math>

В свою очередь, при этом <math>k</math> можно найти столь большое <math>n</math>, что при <math>m\geqslant n</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k}.</math>

Обратно, если <math>x</math> лежит в правой части равенства, то существует <math>k</math> такое, что при всех достаточно больших <math>m</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k},</math>
но тогда <math>f(x)<c</math>, то есть <math>x</math> принадлежит левой части равенства.

Так как функции <math>f_n(x)</math> — измеримые, то все множества в правой части равенства будут измеримыми. А в силу того, что измеримые множества образуют <math>\sigma</math>-алгебру, то множества
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
будут измеримыми для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>. Таким образом, функция <math>f</math> будет измеримой. ∎

== Эквивалентность функций ==

'''Определение 2'''

Две функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> называются '''эквивалентными''', если
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\} = 0.</math>
Обозначение : <math>f\sim g</math>.

'''Теорема 3'''

Пусть даны функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> такие, что <math>g</math> измерима и <math>f\sim g</math>. Тогда функция <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = \{x\in X \mid f(x)=g(x),\,g(x)<c\}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}=</math>
:<math>= \{x\in X \mid g(x)<c\}\cap\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\}^\mathsf{c}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Введём обозначения
:<math>A = \{x\in X \mid g(x)<c\},</math>
:<math>B = \{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\},</math>
:<math>\tilde{B}=\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Заметим, что <math>A</math> — измеримое множество в силу измеримости функции <math>g</math>; <math>\mu(B)=0</math> т. к. <math>f\sim g</math>; <math>\tilde{B}\subseteq B</math>, а значит <math>\mu(\tilde{B})=0</math> в силу полноты меры <math>\mu</math>.

Таким образом, множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = A \cap B^{\mathsf{c}} \cup \tilde{B}</math>
измеримо для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>, а значит <math>f</math> — измеримая функция. ∎

== Теорема Егорова ==

Сперва введём необходимые определения.

'''Определение 3'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''равномерно сходящейся к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{x\in X}{\sup}|f_n(x)-f(x)|\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>
Обозначение : <math>f_n\rightrightarrows f</math>.

'''Определение 4'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''сходящейся почти всюду к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x)</math> для почти всех <math>x\in X</math>.

Теперь, мы можем несколько обобщить [[#Теорема_2|теорему 2]].

'''Теорема 4'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x).</math>
По условию <math>\mu(X\setminus A) = 0</math>. Это значит, что <math>A</math> — измеримое множество и функции <math>\mathbb{I}_A f_n</math> — измеримы. В силу того, что
:<math>\mathbb{I}_A f_n \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \mathbb{I}_A f,</math>
мы получим, что <math>\mathbb{I}_A f</math> — измерима. Осталось заметить, что <math>\mathbb{I}_A f \sim f</math>, из чего следует измеримость <math>f</math>. ∎

Теперь рассмотрим важную теорему, доказанную в 1911 г. крупным русским математиком [https://ru.wikipedia.org/wiki/Егоров,_Дмитрий_Фёдорович Д. Ф. Егоровым], устанавливающую связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости.

'''Теорема 5 (Теорема Егорова)'''

Пусть <math>X</math> — множество конечной меры и последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций сходится на <math>X</math> почти всюду к <math>f</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такое измеримое подмножество <math>X_\varepsilon\subset X</math>, что
# <math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)<\varepsilon</math>;
# <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>.

'''Доказательство'''

Согласно предыдущей теореме функция <math>f</math> будет измеримой. Положим
:<math>X^m_n=\bigcap_{i=n}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>

Пусть также
:<math>X^m = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X^m_n.</math>

В силу того, что <math>\sigma</math>-аддитивная мера непрерывна, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для любого <math>\varepsilon>0</math> найдётся такое натуральное <math>n_0=n_0(m)</math>, что
:<math>\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Положим
:<math>X_\varepsilon=\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}=\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcap_{i=n_0}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>
и покажем, что построенное множество удовлетворяет условиям теоремы.

Сначала покажем, что <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>. Действительно, если <math>x\in X_{\varepsilon}</math>, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для всех <math>i>n_0(m)</math> будет выполнено
:<math>|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}.</math>

Теперь оценим меру множества <math>X\setminus X_\varepsilon</math>. Для начала заметим, что для всех натуральных <math>m</math> мы имеем <math>\mu(X\setminus X^m) = 0</math>. Действительно, если <math>x_0\in X\setminus X^m</math>, то для любого <math>n\in\mathbb{N}</math> существуют <math>i>n</math>, при которых
:<math>|f_i(x_0)-f(x_0)|\geqslant\frac{1}{m},</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> в точке <math>x_0</math> не сходится к <math>f</math>, а такие точки, согласно условию теоремы, образуют множество меры нуль. Отсюда следует, что
:<math>\mu(X\setminus X^m_{n_0})=\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Таким образом, мы получим
:<math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)=\mu\left(X\setminus\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}\right)=\mu\left(\bigcup_{m=1}^{\infty}(X\setminus X^m_{n_0})\right)\leqslant\sum_{m=1}^{\infty}\mu(X\setminus X^m_{n_0})<\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^m}=\varepsilon.</math> ∎

== Сходимость по мере ==

'''Определение 5'''

Говорят, что последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций, определённых на <math>X</math>, '''сходится по мере к функции''' <math>f</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math>
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\}=0.</math>

'''Теорема 6'''

Если последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится почти всюду к некоторой функции <math>f</math>, то она сходится к той же самой предельной функции <math>f</math> по мере.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>. Введём также следующие обозначения
:<math>E_k(\varepsilon)=\{x\in X \mid |f_k(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\},</math>
:<math>R_n(\varepsilon)=\bigcup_{k=n}^{\infty}E_k(\varepsilon),</math>
:<math>M = \bigcap_{n=1}^{\infty}R_n(\varepsilon).</math>

Отметим, что из [[#Теорема_4|теоремы 4]] следует измеримость функции <math>f</math>. Тогда все указанные выше множества будут измеримыми.

Так как
:<math>R_1(\varepsilon)\supset R_2(\varepsilon)\supset \ldots\supset R_n(\varepsilon)\ldots,</math>
то в силу свойства непрерывности меры будет выполнено
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(M).</math>

Теперь проверим, что
:<math>M\subset A.</math>

Действительно, если <math>x_0\in M</math>, то для любого натурального <math>n</math> найдётся <math>k\geqslant n</math> такое, что
:<math>|f_k(x_0)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon,</math>
а значит в точке <math>x_0</math> последовательность <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>, то есть <math>x_0\in A</math>. Но, согласно условию, <math>\mu(A)=0</math>. Тогда, в силу полноты меры, <math>\mu(M)=0</math>, следовательно
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>

Так как <math>E_n(\varepsilon)\subset R_n(\varepsilon)</math>, то мы получим, что
:<math>\mu(E_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к <math>f</math>. ∎

Мы установили, что из сходимости почти всюду следует сходимость по мере. Покажем, что обратное к этому утверждению, вообще говоря, неверно.

'''Пример 4 (Пример Рисса)'''

Представим каждое <math>n\in\mathbb{N}</math> в виде
:<math>n=2^k + m,~0\leqslant m < 2^k,~k=0,1,\ldots.</math>
Тогда <math>k</math> и <math>m</math> однозначно определяются числом <math>n</math>. Положим <math>f\equiv 0</math> и рассмотрим последовательность <math>\{f_n\}</math>, определённую следующим образом
:<math>f_n(x)=\begin{cases}
1, & x\in\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right],\\
0, & x\notin\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right].
\end{cases}</math>

Заметим, что
:<math>n\to\infty\Leftrightarrow k\to\infty.</math>

Тогда, для любого <math>\varepsilon>0</math> мы получим
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\} = \frac{1}{2^k}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к нулю. Но, при этом, ни для какой точки <math>x\in[0,1]</math> нет сходимости <math>\{f_n(x)\}</math>, так как в любой такой точке бесконечно много членов этой последовательности равно <math>0</math> и бесконечно много членов равно <math>1</math>.

Хотя приведённый выше пример показывает, что из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, тем не менее будет справедлива следующая теорема.

'''Теорема 7 (Теорема Рисса)'''

Пусть последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится по мере к <math>f</math>. Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность <math>\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}</math>, сходящуюся к <math>f</math> почти всюду.

'''Доказательство'''

Пусть <math>\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\infty</math> — некоторая последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\varepsilon_n=0,</math>
и пусть <math>\{\eta_n\}_{n=1}^\infty</math> — последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k < \infty.</math>
Построим последовательность
:<math>n_1<n_2<\ldots<n_k<\ldots</math>
следующим образом : в силу сходимости по мере последовательности <math>\{f_n\}</math> к <math>f</math> выберем <math>n_1</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_1}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_1\}<\eta_1.</math>
Далее выберем <math>n_k>n_{k-1}</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon_k\}<\eta_k.</math>

Покажем, что построенная последовательность <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> почти всюду. Действительно, пусть
:<math>R_i=\bigcup_{k=i}^\infty\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
:<math>Q = \bigcap_{i=1}^{\infty}R_i.</math>
Сразу заметим, что
:<math>R_1\supset R_2\supset\ldots\supset R_n\supset\ldots.</math>
Тогда, в силу непрерывности меры, будет выполнено
:<math>\mu(R_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(Q).</math>
При этом, в силу построения, мы имеем
:<math>\mu(R_i)<\sum_{k=i}^{\infty}\eta_k,</math>
а так как ряд <math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k</math> — сходится, то мы получим
:<math>\mu(R_i)\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\mu(Q)=0</math>. Теперь осталось проверить, что <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> на множестве <math>X\setminus Q</math>. Пусть <math>x_0\in X\setminus Q</math>. Тогда существует такое <math>i_0</math>, что <math>x_0\notin R_{i_0}</math>. Это означает, что для всех <math>k\geqslant i_0</math>
:<math>x_0\notin\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
то есть
:<math>|f_{n_k}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon_k.</math>
Но, согласно условию, <math>\varepsilon_k\to 0</math>, а значит
:<math>\underset{k\to\infty}{\lim}f_{n_k}(x_0)=f(x_0).</math> ∎

== Теорема Лузина ==
Теперь мы будем рассматривать измеримые функции, заданные на отрезке. Для них имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913 г. одним из крупнейших математиков XX века [https://ru.wikipedia.org/wiki/Лузин,_Николай_Николаевич Н. Н. Лузиным].

'''Теорема 8 (Теорема Лузина)'''

Для того, чтобы функция <math>f</math>, заданная на отрезке <math>[a,b]</math>, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого <math>\varepsilon>0</math> существовала такая функция <math>\varphi\in C[a,b]</math>, что
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq\varphi(x)\} < \varepsilon.</math>

==Литература==
* ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2023. — 576с.
* ''Гелбаум Б., Олмстед Дж.'' Контрпримеры в анализе: Пер. с англ./ Под ред. и с предисл. П. Л. Ульянова Изд. 3-е. — М.: Издательство ЛКИ, 2010. — 248 с.

Измеримые функции и их свойства

2025-10-16T17:32:08Z

Alex25:

== Понятие измеримой функции ==
Мы будем рассматривать вещественнозначные функции, определённые на некотором множестве <math>X</math> с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Мера_Лебега мерой] <math>\mu</math>. Пусть также <math>\mathfrak{S}_\mu</math> — <math>\sigma</math>-[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Системы_множеств алгебра] измеримых относительно <math>\mu</math> подмножеств <math>X</math>.

'''Определение 1'''

Функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> называется <math>\mu</math>-'''измеримой''' (или просто '''измеримой'''), если для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
принадлежит <math>\mathfrak{S}_\mu</math> (то есть является измеримым).

== Вспомогательные утверждения и некоторые примеры ==
Сперва докажем лемму, которая в дальнейшем поможет нам в доказательствах некоторых свойств измеримых функций.

'''Лемма 1'''

Следующие условия эквивалентны:
# <math>f:X\to\mathbb{R}</math> — измеримая функция,
# Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}</math> измеримо,
# Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid f(x)>c\}</math> измеримо,
# Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}</math> измеримо,
# Для любых <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо,
# Для любых <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Для любых <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Для любых <math>c_1, c_2\in\mathbb{R}</math> множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо.

'''Доказательство'''

<math>1)\Rightarrow2)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}=\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \left\{x\in X~\middle\vert~f(x)< c+\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного пересечения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
<math>2)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f(x)\leqslant c-\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть мы представили множество в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно является измеримым. 
<math>1)\Rightarrow4)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<c\}}_{\text{измеримое}},</math>
а значит множество является измеримым. 
<math>4)\Rightarrow1)</math> 
Аналогично предыдущему пункту 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}}_{\text{измеримое}},</math>
значит множество является измеримым. 
<math>2)\Leftrightarrow3)</math> 
Доказывается аналогично предыдущим двум пунктам. 
<math>1)\Rightarrow7)</math> 
:<math>\{x\in X \mid c_1<f(x)<c_2\}=\{x\in X \mid f(x)>c_1\}\cap\{x\in X \mid f(x)<c_2\},</math>
то есть множество представимо в виде пересечения двух измеримых множеств, следовательно, оно само является измеримым множеством. 
<math>7)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;c-\frac{k+1}{2}<f(x)<c-\frac{k-1}{2}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
Эквивалентность остальных пунктов доказывается аналогичным образом. ∎

Теперь установим связь некоторых классов функций с измеримыми функциями.

'''Утверждение 1'''

Всякая непрерывная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Как известно, функция <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> непрерывна тогда и только тогда, когда для любого открытого множества <math>U\in\mathbb{R}</math> его полный прообраз
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in U\}</math>
будет открытым множеством. В нашем случае, для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> мы получим
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in(-\infty,c)\},</math>
то есть полный прообраз открытого множества. Тогда, в силу ранее сказанного, он является открытым множеством, а значит измеримым множеством. Тем самым мы получили, что функция <math>f</math> — измеримая. ∎

'''Утверждение 2'''

Всякая монотонная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим неубывающую функцию <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Пусть величина <math>a</math> определяется следующим образом
:<math>a=\sup\,\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)<c\}.</math>
Тогда мы получим, что полным прообразом множества <math>(-\infty,c)</math> будет либо <math>(-\infty,a)</math>, либо <math>(-\infty,a]</math>. Оба множества являются измеримыми, а значит и функция <math>f</math> — измерима. ∎

Эти два утверждения показывают, что весьма значительный класс отображений лежит во множестве измеримых функций. Тогда вполне уместным будет привести пример неизмеримой функции.

'''Пример 1'''

Рассмотрим индикаторную функцию <math>\mathbb{I}_E:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>, действующую по принципу
:<math>\mathbb{I}_E(x)=\begin{cases}
1, & x\in E,\\
0, & x\notin E.
\end{cases}</math>

Тогда
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid \mathbb{I}_E(x)<c\} = \begin{cases}
\mathbb{R}, & c > 1,\\
\varnothing, & c\leqslant 0,\\
\mathbb{R}\setminus E, & 0 < c \leqslant1.
\end{cases}</math>

Тем самым мы получаем, что индикаторная функция будет измерима тогда и только тогда, когда будет измеримо множество <math>E</math>. Соответственно, если <math>E</math> — неизмеримое, то мы получим пример функции, которая не является измеримой.

Отметим, что мы привели пример не только неизмеримой функции, но и измеримой разрывной функции (в том случае, если <math>E</math> — измеримое множество). Возникает вопрос: можно ли привести пример измеримой функции, которая была бы разрывна всюду? Ответ на этот вопрос дал крупный немецкий математик [https://ru.wikipedia.org/wiki/Дирихле,_Петер_Густав_Лежён Дирихле] в 1829 году.

'''Пример 2'''

Рассмотрим функцию Дирихле
:<math>D(x)=\begin{cases}
1, & x\in\mathbb{Q},\\
0, & x\notin\mathbb{Q}.
\end{cases}</math>

Данная функция является индикаторной функцией множества рациональных чисел, которое, в свою очередь, измеримо. А значит, согласно сказанному выше, она измерима.

== Действия над измеримыми функциями ==

Здесь и далее мы будем предполагать выполненным условие полноты меры (то есть, если <math>A</math> — измеримое множество меры нуль, то всякое его подмножество <math>\tilde{A}</math> измеримо и <math>\mu(\tilde{A})=0</math>).

'''Лемма 2'''

Пусть даны измеримая функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> и непрерывная функция <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Тогда их композиция
:<math>g\circ f:X\to\mathbb{R}</math>
измерима.

'''Доказательство'''

Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> рассмотрим множество <math>U=\{x\in\mathbb{R} \mid g(x)<c\}</math>. Данное множество является полным прообразом открытого множества, тогда, в силу непрерывности функции <math>g</math>, мы получим, что <math>U</math> — открытое множество. Его мы представим в следующем виде
:<math>U = \bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k).</math>

Теперь рассмотрим непосредственно композицию <math>g\circ f</math>
:<math>\{x\in X \mid g(f(x))<c\}=\{x\in X \mid f(x)\in U\} = \{x\in X \mid f(x)\in\bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k)\}=</math>
:<math>= \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\{x\in X \mid f(x)\in(a_k,b_k)\}.</math>

Тогда, в силу измеримости <math>f</math>, используя [[#Лемма_1|лемму 1]], мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое, в свою очередь, является измеримым множеством. Тем самым мы получили, что <math>g\circ f</math> — измеримая функция. ∎

'''Следствие'''

Если функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> измерима, то функции
#<math>\lambda f,~\lambda\in\mathbb{R}</math>,
#<math>|f|</math>,
#<math>f^2</math>,
#<math>\frac{1}{f}</math> (при условии, что <math>f(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

Возникает вопрос: будет ли композиция двух измеримых функций измерима? Покажем, что это, вообще говоря, неверно.

'''Пример 3'''

Рассмотрим отрезок <math>[0,1]</math>. На нём возьмём функцию
:<math>\varphi(x)=\frac{1}{2}(K(x)+x),</math>
где <math>K(x)</math> — канторова лестница. Данная функция является строго возрастающей и непрерывной на <math>[0,1]</math>. Более того, будет выполнено
:<math>\varphi([0,1])=[0,1],</math>
а значит, у неё существует строго возрастающая и непрерывная на <math>[0,1]</math> обратная функция <math>f = \varphi^{-1}</math>. Далее
:<math>[0,1]=C\cup G,</math>
где <math>C</math> — канторово множество, <math>G</math> — совокупность интервалов, "выбрасываемых" на каждой итерации при построении канторова множества. Заметим, что функция <math>\varphi</math> переводит каждый из интервалов, входящих в множество <math>G</math>, в интервал в два раза меньшей длины. То есть
:<math>\mu(\varphi(G))=\frac{1}{2},</math>
а значит
:<math>\mu(\varphi(C))=\frac{1}{2}.</math>
В множестве <math>\varphi(C)</math> мы можем найти неизмеримое подмножество <math>Q</math>. Рассмотрим его полный проообраз
:<math>P=\varphi^{-1}(Q).</math>
Очевидно, что <math>P\subset C</math>. Так как <math>\mu(C)=0</math>, то, в силу полноты меры, <math>\mu(P)=0</math>, то есть <math>P</math> — измеримое множество. Возьмём его индикаторную функцию
:<math>g = \mathbb{I}_{P}.</math>
Как мы установили выше, она будет измеримой. Теперь рассмотрим композицию <math>g\circ f</math>
:<math>g(f(x))=\begin{cases}1, & x\in Q,\\0, & x\notin Q.\end{cases}</math>
Тем самым мы получили, что
:<math>g\circ f = \mathbb{I}_Q,</math>
то есть их композиция является индикаторной функцией неизмеримого множества, а значит, она является неизмеримой функцией.

Покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно арифметических операций.

'''Теорема 1 (Арифметические действия над измеримыми функциями)'''

Пусть даны измеримые функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math>. Тогда функции
# <math>f+g</math>,
# <math>fg</math>,
# <math>\dfrac{f}{g}</math> (при условии, что <math>g(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

'''Доказательство'''
<ol>
<li> Сперва отметим, что
:<math>f(x)+g(x) < c \Leftrightarrow f(x) < c - g(x) \Leftrightarrow</math>
:<math>\Leftrightarrow\exists\, q\in\mathbb{Q}:\begin{cases}
f(x) < q,\\
g(x) < c - q.
\end{cases}</math>
Таким образом, мы имеем
:<math>\{x\in X \mid f(x)+g(x)<c\}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<q\}}_{\text{измеримое}}\cap\underbrace{\{x\in X \mid g(x)<c-q\}}_{\text{измеримое}}),</math>
тогда, в силу измеримости функций <math>f</math> и <math>g</math>, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое само является измеримым множеством, а значит функция <math>f+g</math> является измеримой.
</li>
<li> Воспользуемся тождеством
:<math>fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}.</math>
Выше мы показали, что <math>f+g</math> и <math>f-g</math> будут измеримыми функциями, а согласно следствию из [[#Лемма_2|леммы 2]] мы получим, что квадрат от измеримой функции — измеримая функция, а значит и <math>fg</math> будет измерима.
</li>
<li> Возьмём функцию <math>\frac{1}{g}</math>. Согласно следствию из [[#Лемма_2|леммы 2]] она будет измеримой. Тогда непосредственно из предыдущего пункта следует, что <math>\frac{f}{g}</math> будет измеримой. ∎
</li>
</ol>

Теперь покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно операции предельного перехода.

'''Теорема 2'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Покажем, что
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k}\bigcup_{n}\bigcap_{m>n}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f_m(x)<c-\frac{1}{k}\right\}.</math>

Действительно, если <math>f(x)<c</math>, то
:<math>\exists\,k\in\mathbb{N}:f(x)<c-\frac{2}{k}.</math>

В свою очередь, при этом <math>k</math> можно найти столь большое <math>n</math>, что при <math>m\geqslant n</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k}.</math>

Обратно, если <math>x</math> лежит в правой части равенства, то существует <math>k</math> такое, что при всех достаточно больших <math>m</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k},</math>
но тогда <math>f(x)<c</math>, то есть <math>x</math> принадлежит левой части равенства.

Так как функции <math>f_n(x)</math> — измеримые, то все множества в правой части равенства будут измеримыми. А в силу того, что измеримые множества образуют <math>\sigma</math>-алгебру, то множества
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
будут измеримыми для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>. Таким образом, функция <math>f</math> будет измеримой. ∎

== Эквивалентность функций ==

'''Определение 2'''

Две функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> называются '''эквивалентными''', если
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\} = 0.</math>
Обозначение : <math>f\sim g</math>.

'''Теорема 3'''

Пусть даны функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> такие, что <math>g</math> измерима и <math>f\sim g</math>. Тогда функция <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = \{x\in X \mid f(x)=g(x),\,g(x)<c\}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}=</math>
:<math>= \{x\in X \mid g(x)<c\}\cap\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\}^\mathsf{c}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Введём обозначения
:<math>A = \{x\in X \mid g(x)<c\},</math>
:<math>B = \{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\},</math>
:<math>\tilde{B}=\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Заметим, что <math>A</math> — измеримое множество в силу измеримости функции <math>g</math>; <math>\mu(B)=0</math> т. к. <math>f\sim g</math>; <math>\tilde{B}\subseteq B</math>, а значит <math>\mu(\tilde{B})=0</math> в силу полноты меры <math>\mu</math>.

Таким образом, множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = A \cap B^{\mathsf{c}} \cup \tilde{B}</math>
измеримо для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>, а значит <math>f</math> — измеримая функция. ∎

== Теорема Егорова ==

Сперва введём необходимые определения.

'''Определение 3'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''равномерно сходящейся к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{x\in X}{\sup}|f_n(x)-f(x)|\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>
Обозначение : <math>f_n\rightrightarrows f</math>.

'''Определение 4'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''сходящейся почти всюду к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x)</math> для почти всех <math>x\in X</math>.

Теперь, мы можем несколько обобщить [[#Теорема_2|теорему 2]].

'''Теорема 4'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x).</math>
По условию <math>\mu(X\setminus A) = 0</math>. Это значит, что <math>A</math> — измеримое множество и функции <math>\mathbb{I}_A f_n</math> — измеримы. В силу того, что
:<math>\mathbb{I}_A f_n \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \mathbb{I}_A f,</math>
мы получим, что <math>\mathbb{I}_A f</math> — измерима. Осталось заметить, что <math>\mathbb{I}_A f \sim f</math>, из чего следует измеримость <math>f</math>. ∎

Теперь рассмотрим важную теорему, доказанную в 1911 г. крупным русским математиком [https://ru.wikipedia.org/wiki/Егоров,_Дмитрий_Фёдорович Д. Ф. Егоровым], устанавливающую связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости.

'''Теорема 5 (Теорема Егорова)'''

Пусть <math>X</math> — множество конечной меры и последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций сходится на <math>X</math> почти всюду к <math>f</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такое измеримое подмножество <math>X_\varepsilon\subset X</math>, что
# <math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)<\varepsilon</math>;
# <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>.

'''Доказательство'''

Согласно предыдущей теореме функция <math>f</math> будет измеримой. Положим
:<math>X^m_n=\bigcap_{i=n}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>

Пусть также
:<math>X^m = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X^m_n.</math>

В силу того, что <math>\sigma</math>-аддитивная мера непрерывна, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для любого <math>\varepsilon>0</math> найдётся такое натуральное <math>n_0=n_0(m)</math>, что
:<math>\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Положим
:<math>X_\varepsilon=\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}=\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcap_{i=n_0}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>
и покажем, что построенное множество удовлетворяет условиям теоремы.

Сначала покажем, что <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>. Действительно, если <math>x\in X_{\varepsilon}</math>, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для всех <math>i>n_0(m)</math> будет выполнено
:<math>|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}.</math>

Теперь оценим меру множества <math>X\setminus X_\varepsilon</math>. Для начала заметим, что для всех натуральных <math>m</math> мы имеем <math>\mu(X\setminus X^m) = 0</math>. Действительно, если <math>x_0\in X\setminus X^m</math>, то для любого <math>n\in\mathbb{N}</math> существуют <math>i>n</math>, при которых
:<math>|f_i(x_0)-f(x_0)|\geqslant\frac{1}{m},</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> в точке <math>x_0</math> не сходится к <math>f</math>, а такие точки, согласно условию теоремы, образуют множество меры нуль. Отсюда следует, что
:<math>\mu(X\setminus X^m_{n_0})=\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Таким образом, мы получим
:<math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)=\mu\left(X\setminus\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}\right)=\mu\left(\bigcup_{m=1}^{\infty}(X\setminus X^m_{n_0})\right)\leqslant\sum_{m=1}^{\infty}\mu(X\setminus X^m_{n_0})<\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^m}=\varepsilon.</math> ∎

== Сходимость по мере ==

'''Определение 5'''

Говорят, что последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций, определённых на <math>X</math>, '''сходится по мере к функции''' <math>f</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math>
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\}=0.</math>

'''Теорема 6'''

Если последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится почти всюду к некоторой функции <math>f</math>, то она сходится к той же самой предельной функции <math>f</math> по мере.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>. Введём также следующие обозначения
:<math>E_k(\varepsilon)=\{x\in X \mid |f_k(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\},</math>
:<math>R_n(\varepsilon)=\bigcup_{k=n}^{\infty}E_k(\varepsilon),</math>
:<math>M = \bigcap_{n=1}^{\infty}R_n(\varepsilon).</math>

Отметим, что из [[#Теорема_4|теоремы 4]] следует измеримость функции <math>f</math>. Тогда все указанные выше множества будут измеримыми.

Так как
:<math>R_1(\varepsilon)\supset R_2(\varepsilon)\supset \ldots\supset R_n(\varepsilon)\ldots,</math>
то в силу свойства непрерывности меры будет выполнено
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(M).</math>

Теперь проверим, что
:<math>M\subset A.</math>

Действительно, если <math>x_0\in M</math>, то для любого натурального <math>n</math> найдётся <math>k\geqslant n</math> такое, что
:<math>|f_k(x_0)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon,</math>
а значит в точке <math>x_0</math> последовательность <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>, то есть <math>x_0\in A</math>. Но, согласно условию, <math>\mu(A)=0</math>. Тогда, в силу полноты меры, <math>\mu(M)=0</math>, следовательно
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>

Так как <math>E_n(\varepsilon)\subset R_n(\varepsilon)</math>, то мы получим, что
:<math>\mu(E_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к <math>f</math>. ∎

Мы установили, что из сходимости почти всюду следует сходимость по мере. Покажем, что обратное к этому утверждению, вообще говоря, неверно.

'''Пример 4 (Пример Рисса)'''

Представим каждое <math>n\in\mathbb{N}</math> в виде
:<math>n=2^k + m,~0\leqslant m < 2^k,~k=0,1,\ldots.</math>
Тогда <math>k</math> и <math>m</math> однозначно определяются числом <math>n</math>. Положим <math>f\equiv 0</math> и рассмотрим последовательность <math>\{f_n\}</math>, определённую следующим образом
:<math>f_n(x)=\begin{cases}
1, & x\in\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right],\\
0, & x\notin\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right].
\end{cases}</math>

Заметим, что
:<math>n\to\infty\Leftrightarrow k\to\infty.</math>

Тогда, для любого <math>\varepsilon>0</math> мы получим
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\} = \frac{1}{2^k}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к нулю. Но, при этом, ни для какой точки <math>x\in[0,1]</math> нет сходимости <math>\{f_n(x)\}</math>, так как в любой такой точке бесконечно много членов этой последовательности равно <math>0</math> и бесконечно много членов равно <math>1</math>.

Хотя приведённый выше пример показывает, что из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, тем не менее будет справедлива следующая теорема.

'''Теорема 7 (Теорема Рисса)'''

Пусть последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится по мере к <math>f</math>. Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность <math>\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}</math>, сходящуюся к <math>f</math> почти всюду.

'''Доказательство'''

Пусть <math>\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\infty</math> — некоторая последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\varepsilon_n=0,</math>
и пусть <math>\{\eta_n\}_{n=1}^\infty</math> — последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k < \infty.</math>
Построим последовательность
:<math>n_1<n_2<\ldots<n_k<\ldots</math>
следующим образом : в силу сходимости по мере последовательности <math>\{f_n\}</math> к <math>f</math> выберем <math>n_1</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_1}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_1\}<\eta_1.</math>
Далее выберем <math>n_k>n_{k-1}</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon_k\}<\eta_k.</math>

Покажем, что построенная последовательность <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> почти всюду. Действительно, пусть
:<math>R_i=\bigcup_{k=i}^\infty\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
:<math>Q = \bigcap_{i=1}^{\infty}R_i.</math>
Сразу заметим, что
:<math>R_1\supset R_2\supset\ldots\supset R_n\supset\ldots.</math>
Тогда, в силу непрерывности меры, будет выполнено
:<math>\mu(R_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(Q).</math>
При этом, в силу построения, мы имеем
:<math>\mu(R_i)<\sum_{k=i}^{\infty}\eta_k,</math>
а так как ряд <math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k</math> — сходится, то мы получим
:<math>\mu(R_i)\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\mu(Q)=0</math>. Теперь осталось проверить, что <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> на множестве <math>X\setminus Q</math>. Пусть <math>x_0\in X\setminus Q</math>. Тогда существует такое <math>i_0</math>, что <math>x_0\notin R_{i_0}</math>. Это означает, что для всех <math>k\geqslant i_0</math>
:<math>x_0\notin\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
то есть
:<math>|f_{n_k}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon_k.</math>
Но, согласно условию, <math>\varepsilon_k\to 0</math>, а значит
:<math>\underset{k\to\infty}{\lim}f_{n_k}(x_0)=f(x_0).</math> ∎

== Теорема Лузина ==
Теперь мы будем рассматривать измеримые функции, заданные на отрезке. Для них имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913 г. одним из крупнейших математиков XX века [https://ru.wikipedia.org/wiki/Лузин,_Николай_Николаевич Н. Н. Лузиным].

'''Теорема 8 (Теорема Лузина)'''

Для того, чтобы функция <math>f</math>, заданная на отрезке <math>[a,b]</math>, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого <math>\varepsilon>0</math> существовала такая функция <math>\varphi\in C[a,b]</math>, что
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq\varphi(x)\} < \varepsilon.</math>

==Литература==
* ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2023. — 576с.
* ''Гелбаум Б., Олмстед Дж.'' Контрпримеры в анализе: Пер. с англ./ Под ред. и с предисл. П. Л. Ульянова Изд. 3-е. — М.: Издательство ЛКИ, 2010. — 248 с.

Измеримые функции и их свойства

2025-10-14T15:33:20Z

Alex25:

== Понятие измеримой функции ==
Мы будем рассматривать вещественнозначные функции, определённые на некотором множестве <math>X</math> с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть также <math>\mathfrak{S}_\mu</math> — <math>\sigma</math>-алгебра измеримых относительно <math>\mu</math> подмножеств <math>X</math>.

'''Определение 1'''

Функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> называется <math>\mu</math>-'''измеримой''' (или просто '''измеримой'''), если для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
принадлежит <math>\mathfrak{S}_\mu</math> (то есть является измеримым).

== Вспомогательные утверждения и некоторые примеры ==
Сперва докажем лемму, которая в дальнейшем поможет нам в доказательствах некоторых свойств измеримых функций.

'''Лемма 1'''

Следующие условия эквивалентны:
# <math>f:X\to\mathbb{R}</math> — измеримая функция,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)>c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо.

'''Доказательство'''

<math>1)\Rightarrow2)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}=\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \left\{x\in X~\middle\vert~f(x)< c+\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного пересечения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
<math>2)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f(x)\leqslant c-\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть мы представили множество в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно является измеримым. 
<math>1)\Rightarrow4)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<c\}}_{\text{измеримое}},</math>
а значит множество является измеримым. 
<math>4)\Rightarrow1)</math> 
Аналогично предыдущему пункту 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}}_{\text{измеримое}},</math>
значит множество является измеримым. 
<math>2)\Leftrightarrow3)</math> 
Доказывается аналогично предыдущим двум пунктам. 
<math>1)\Rightarrow7)</math> 
:<math>\{x\in X \mid c_1<f(x)<c_2\}=\{x\in X \mid f(x)>c_1\}\cap\{x\in X \mid f(x)<c_2\},</math>
то есть множество представимо в виде пересечения двух измеримых множеств, следовательно, оно само является измеримым множеством. 
<math>7)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;c-\frac{k+1}{2}<f(x)<c-\frac{k-1}{2}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
Эквивалентность остальных пунктов доказывается аналогичным образом. ∎

Теперь установим связь некоторых классов функций с измеримыми функциями.

'''Утверждение 1'''

Всякая непрерывная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Как известно, функция <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> непрерывна тогда и только тогда, когда для любого открытого множества <math>U\in\mathbb{R}</math> его полный прообраз
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in U\}</math>
будет открытым множеством. В нашем случае, для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> мы получим
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in(-\infty,c)\},</math>
то есть полный прообраз открытого множества. Тогда, в силу ранее сказанного, он является открытым множеством, а значит измеримым множеством. Тем самым мы получили, что функция <math>f</math> — измеримая. ∎

'''Утверждение 2'''

Всякая монотонная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим неубывающую функцию <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Пусть величина <math>a</math> определяется следующим образом
:<math>a=\sup\,\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)<c\}.</math>
Тогда мы получим, что полным прообразом множества <math>(-\infty,c)</math> будет либо <math>(-\infty,a)</math>, либо <math>(-\infty,a]</math>. Оба множества являются измеримыми, а значит и функция <math>f</math> — измерима. ∎

Эти два утверждения показывают, что весьма значительный класс отображений лежит во множестве измеримых функций. Тогда вполне уместным будет привести пример неизмеримой функции.

'''Пример 1'''

Рассмотрим индикаторную функцию <math>\mathbb{I}_E:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>, действующую по принципу
:<math>\mathbb{I}_E(x)=\begin{cases}
1, & x\in E,\\
0, & x\notin E.
\end{cases}</math>

Тогда
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid \mathbb{I}_E(x)<c\} = \begin{cases}
\mathbb{R}, & c > 1,\\
\varnothing, & c\leqslant 0,\\
\mathbb{R}\setminus E, & 0 < c \leqslant1.
\end{cases}</math>

Тем самым мы получаем, что индикаторная функция будет измерима тогда и только тогда, когда будет измеримо множество <math>E</math>. Соответственно, если <math>E</math> — неизмеримое, то мы получим пример функции, которая не является измеримой.

Отметим, что мы привели пример не только неизмеримой функции, но и измеримой разрывной функции (в том случае, если <math>E</math> — измеримое множество). Возникает вопрос: можно ли привести пример измеримой функции, которая была бы разрывна всюду? Ответ на этот вопрос дал крупный немецкий математик Дирихле в 1829 году.

'''Пример 2'''

Рассмотрим функцию Дирихле
:<math>D(x)=\begin{cases}
1, & x\in\mathbb{Q},\\
0, & x\notin\mathbb{Q}.
\end{cases}</math>

Данная функция суть индикаторная функция множества рациональных чисел, которое, в свою очередь, является измеримым. А значит, согласно сказанному выше, она измерима.

== Действия над измеримыми функциями ==

Здесь и далее мы будем предполагать выполненным условие полноты меры (то есть, если <math>A</math> — измеримое множество меры нуль, то всякое его подмножество <math>\tilde{A}</math> измеримо и <math>\mu(\tilde{A})=0</math>).

'''Лемма 2'''

Пусть даны измеримая функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> и непрерывная функция <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Тогда их композиция
:<math>g\circ f:X\to\mathbb{R}</math>
измерима.

'''Доказательство'''

Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> рассмотрим множество <math>U=\{x\in\mathbb{R} \mid g(x)<c\}</math>. Данное множество суть полный прообраз открытого множества, тогда, в силу непрерывности функции <math>g</math>, мы получим, что <math>U</math> — открытое множество. Его мы представим в следующем виде
:<math>U = \bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k).</math>

Теперь рассмотрим непосредственно композицию <math>g\circ f</math>
:<math>\{x\in X \mid g(f(x))<c\}=\{x\in X \mid f(x)\in U\} = \{x\in X \mid f(x)\in\bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k)\}=</math>
:<math>= \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\{x\in X \mid f(x)\in(a_k,b_k)\}.</math>

Тогда, в силу измеримости <math>f</math>, используя лемму 1, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое, в свою очередь, является измеримым множеством. Тем самым мы получили, что <math>g\circ f</math> суть измеримая функция. ∎

'''Следствие'''

Если функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> измерима, то функции
#<math>\lambda f,~\lambda\in\mathbb{R}</math>,
#<math>|f|</math>,
#<math>f^2</math>,
#<math>\frac{1}{f}</math> (при условии, что <math>f(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

Возникает вопрос: будет ли композиция двух измеримых функций измерима? Покажем, что это, вообще говоря, неверно.

'''Пример 3'''

Рассмотрим отрезок <math>[0,1]</math>. На нём возьмём функцию
:<math>\varphi(x)=\frac{1}{2}(K(x)+x),</math>
где <math>K(x)</math> — канторова лестница. Данная функция является строго возрастающей и непрерывной на <math>[0,1]</math>. Более того, будет выполнено
:<math>\varphi([0,1])=[0,1],</math>
а значит, у неё существует строго возрастающая и непрерывная на <math>[0,1]</math> обратная функция <math>f = \varphi^{-1}</math>. Далее
:<math>[0,1]=C\cup G,</math>
где <math>C</math> — канторово множество, <math>G</math> — совокупность интервалов, "выбрасываемых" на каждой итерации при построении канторова множества. Заметим, что функция <math>\varphi</math> переводит каждый из интервалов, входящих в множество <math>G</math>, в интервал в два раза меньшей длины. То есть
:<math>\mu(\varphi(G))=\frac{1}{2},</math>
а значит
:<math>\mu(\varphi(C))=\frac{1}{2}.</math>
В множестве <math>\varphi(C)</math> мы можем найти неизмеримое подмножество <math>Q</math>. Рассмотрим его полный проообраз
:<math>P=\varphi^{-1}(Q).</math>
Очевидно, что <math>P\subset C</math>. Так как <math>\mu(C)=0</math>, то, в силу полноты меры, <math>\mu(P)=0</math>, то есть <math>P</math> — измеримое множество. Возьмём его индикаторную функцию
:<math>g = \mathbb{I}_{P}.</math>
Как мы установили выше, она будет измеримой. Теперь рассмотрим композицию <math>g\circ f</math>
:<math>g(f(x))=\begin{cases}1, & x\in Q,\\0, & x\notin Q.\end{cases}</math>
Тем самым мы получили, что
:<math>g\circ f = \mathbb{I}_Q,</math>
то есть их композиция является индикаторной функцией неизмеримого множества, а значит, она является неизмеримой функцией.

Покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно арифметических операций.

'''Теорема 1 (Арифметические действия над измеримыми функциями)'''

Пусть даны измеримые функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math>. Тогда функции
# <math>f+g</math>,
# <math>fg</math>,
# <math>\dfrac{f}{g}</math> (при условии, что <math>g(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

'''Доказательство'''
<ol>
<li> Сперва отметим, что
:<math>f(x)+g(x) < c \Leftrightarrow f(x) < c - g(x) \Leftrightarrow</math>
:<math>\Leftrightarrow\exists\, q\in\mathbb{Q}:\begin{cases}
f(x) < q,\\
g(x) < c - q.
\end{cases}</math>
Таким образом, мы имеем
:<math>\{x\in X \mid f(x)+g(x)<c\}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<q\}}_{\text{измеримое}}\cap\underbrace{\{x\in X \mid g(x)<c-q\}}_{\text{измеримое}}),</math>
тогда, в силу измеримости функций <math>f</math> и <math>g</math>, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое само является измеримым множеством, а значит функция <math>f+g</math> является измеримой.
</li>
<li> Воспользуемся тождеством
:<math>fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}.</math>
Выше мы показали, что <math>f+g</math> и <math>f-g</math> будут измеримыми функциями, а согласно следствию из леммы 2 мы получим, что квадрат от измеримой функции суть измеримая функция, а значит и <math>fg</math> будет измерима.
</li>
<li> Возьмём функцию <math>\frac{1}{g}</math>. Согласно следствию из леммы 2 она будет измеримой. Тогда непосредственно из предыдущего пункта следует, что <math>\frac{f}{g}</math> будет измеримой. ∎
</li>
</ol>

Теперь покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно операции предельного перехода.

'''Теорема 2'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Покажем, что
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k}\bigcup_{n}\bigcap_{m>n}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f_m(x)<c-\frac{1}{k}\right\}.</math>

Действительно, если <math>f(x)<c</math>, то
:<math>\exists\,k\in\mathbb{N}:f(x)<c-\frac{2}{k}.</math>

В свою очередь, при этом <math>k</math> можно найти столь большое <math>n</math>, что при <math>m\geqslant n</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k}.</math>

Обратно, если <math>x</math> лежит в правой части равенства, то существует <math>k</math> такое, что при всех достаточно больших <math>m</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k},</math>
но тогда <math>f(x)<c</math>, то есть <math>x</math> принадлежит левой части равенства.

Так как функции <math>f_n(x)</math> — измеримые, то все множества в правой части равенства будут измеримыми. А в силу того, что измеримые множества образуют <math>\sigma</math>-алгебру, то множества
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
будут измеримыми для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>. Таким образом, функция <math>f</math> будет измеримой. ∎

== Эквивалентность функций ==

'''Определение 2'''

Две функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> называются '''эквивалентными''', если
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\} = 0.</math>
Обозначение : <math>f\sim g</math>.

'''Теорема 3'''

Пусть даны функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> такие, что <math>g</math> измерима и <math>f\sim g</math>. Тогда функция <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = \{x\in X \mid f(x)=g(x),\,g(x)<c\}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}=</math>
:<math>= \{x\in X \mid g(x)<c\}\cap\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\}^\mathsf{c}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Введём обозначения
:<math>A = \{x\in X \mid g(x)<c\},</math>
:<math>B = \{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\},</math>
:<math>\tilde{B}=\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Заметим, что <math>A</math> — измеримое множество в силу измеримости функции <math>g</math>; <math>\mu(B)=0</math> т. к. <math>f\sim g</math>; <math>\tilde{B}\subseteq B</math>, а значит <math>\mu(\tilde{B})=0</math> в силу полноты меры <math>\mu</math>.

Таким образом, множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = A \cap \overline{B} \cup \tilde{B}</math>
измеримо для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>, а значит <math>f</math> — измеримая функция. ∎

== Теорема Егорова ==

Сперва введём необходимые определения.

'''Определение 3'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''равномерно сходящейся к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{x\in X}{\sup}|f_n(x)-f(x)|\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>
Обозначение : <math>f_n\rightrightarrows f</math>.

'''Определение 4'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''сходящейся почти всюду к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x)</math> для почти всех <math>x\in X</math>.

Теперь, мы можем несколько обобщить теорему 2.

'''Теорема 4'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x).</math>
По условию <math>\mu(X\setminus A) = 0</math>. Это значит, что <math>A</math> — измеримое множество и функции <math>\mathbb{I}_A f_n</math> — измеримы. В силу того, что
:<math>\mathbb{I}_A f_n \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \mathbb{I}_A f,</math>
мы получим, что <math>\mathbb{I}_A f</math> — измерима. Осталось заметить, что <math>\mathbb{I}_A f \sim f</math>, из чего следует измеримость <math>f</math>. ∎

Теперь рассмотрим важную теорему, доказанную в 1911 г. крупным русским математиком Д. Ф. Егоровым, устанавливающую связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости.

'''Теорема 5 (Теорема Егорова)'''

Пусть <math>X</math> — множество конечной меры и последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций сходится на <math>X</math> почти всюду к <math>f</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такое измеримое подмножество <math>X_\varepsilon\subset X</math>, что
# <math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)<\varepsilon</math>;
# <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>.

'''Доказательство'''

Согласно предыдущей теореме функция <math>f</math> будет измеримой. Положим
:<math>X^m_n=\bigcap_{i=n}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>

Пусть также
:<math>X^m = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X^m_n.</math>

В силу того, что <math>\sigma</math>-аддитивная мера непрерывна, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для любого <math>\varepsilon>0</math> найдётся такое натуральное <math>n_0=n_0(m)</math>, что
:<math>\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Положим
:<math>X_\varepsilon=\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}=\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcap_{i=n_0}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>
и покажем, что построенное множество удовлетворяет условиям теоремы.

Сначала покажем, что <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>. Действительно, если <math>x\in X_{\varepsilon}</math>, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для всех <math>i>n_0(m)</math> будет выполнено
:<math>|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}.</math>

Теперь оценим меру множества <math>X\setminus X_\varepsilon</math>. Для начала заметим, что для всех натуральных <math>m</math> мы имеем <math>\mu(X\setminus X^m) = 0</math>. Действительно, если <math>x_0\in X\setminus X^m</math>, то для любого <math>n\in\mathbb{N}</math> существуют <math>i>n</math>, при которых
:<math>|f_i(x_0)-f(x_0)|\geqslant\frac{1}{m},</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> в точке <math>x_0</math> не сходится к <math>f</math>, а такие точки, согласно условию теоремы, образуют множество меры нуль. Отсюда следует, что
:<math>\mu(X\setminus X^m_{n_0})=\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Таким образом, мы получим
:<math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)=\mu\left(X\setminus\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}\right)=\mu\left(\bigcup_{m=1}^{\infty}(X\setminus X^m_{n_0})\right)\leqslant\sum_{m=1}^{\infty}\mu(X\setminus X^m_{n_0})<\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^m}=\varepsilon.</math> ∎

== Сходимость по мере ==

'''Определение 5'''

Говорят, что последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций, определённых на <math>X</math>, '''сходится по мере к функции''' <math>f</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math>
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\}=0.</math>

'''Теорема 6'''

Если последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится почти всюду к некоторой функции <math>f</math>, то она сходится к той же самой предельной функции <math>f</math> по мере.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>. Введём также следующие обозначения
:<math>E_k(\varepsilon)=\{x\in X \mid |f_k(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\},</math>
:<math>R_n(\varepsilon)=\bigcup_{k=n}^{\infty}E_k(\varepsilon),</math>
:<math>M = \bigcap_{n=1}^{\infty}R_n(\varepsilon).</math>

Отметим, что из теоремы 4 следует измеримость функции <math>f</math>. Тогда все указанные выше множества будут измеримыми.

Так как
:<math>R_1(\varepsilon)\supset R_2(\varepsilon)\supset \ldots\supset R_n(\varepsilon)\ldots,</math>
то в силу свойства непрерывности меры будет выполнено
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(M).</math>

Теперь проверим, что
:<math>M\subset A.</math>

Действительно, если <math>x_0\in M</math>, то для любого натурального <math>n</math> найдётся <math>k\geqslant n</math> такое, что
:<math>|f_k(x_0)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon,</math>
а значит в точке <math>x_0</math> последовательность <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>, то есть <math>x_0\in A</math>. Но, согласно условию, <math>\mu(A)=0</math>. Тогда, в силу полноты меры, <math>\mu(M)=0</math>, следовательно
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>

Так как <math>E_n(\varepsilon)\subset R_n(\varepsilon)</math>, то мы получим, что
:<math>\mu(E_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к <math>f</math>. ∎

Мы установили, что из сходимости почти всюду следует сходимость по мере. Покажем, что обратное к этому утверждению, вообще говоря, неверно.

'''Пример 4 (Пример Рисса)'''

Представим каждое <math>n\in\mathbb{N}</math> в виде
:<math>n=2^k + m,~0\leqslant m < 2^k,~k=0,1,\ldots.</math>
Тогда <math>k</math> и <math>m</math> однозначно определяются числом <math>n</math>. Положим <math>f\equiv 0</math> и рассмотрим последовательность <math>\{f_n\}</math>, определённую следующим образом
:<math>f_n(x)=\begin{cases}
1, & x\in\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right],\\
0, & x\notin\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right].
\end{cases}</math>

Заметим, что
:<math>n\to\infty\Leftrightarrow k\to\infty.</math>

Тогда, для любого <math>\varepsilon>0</math> мы получим
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\} = \frac{1}{2^k}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к нулю. Но, при этом, ни для какой точки <math>x\in[0,1]</math> нет сходимости <math>\{f_n(x)\}</math>, так как в любой такой точке бесконечно много членов этой последовательности равно <math>0</math> и бесконечно много членов равно <math>1</math>.

Хотя приведённый выше пример показывает, что из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, тем не менее будет справедлива следующая теорема.

'''Теорема 7 (Теорема Рисса)'''

Пусть последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится по мере к <math>f</math>. Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность <math>\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}</math>, сходящуюся к <math>f</math> почти всюду.

'''Доказательство'''

Пусть <math>\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\infty</math> — некоторая последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\varepsilon_n=0,</math>
и пусть <math>\{\eta_n\}_{n=1}^\infty</math> — последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k < \infty.</math>
Построим последовательность
:<math>n_1<n_2<\ldots<n_k<\ldots</math>
следующим образом : в силу сходимости по мере последовательности <math>\{f_n\}</math> к <math>f</math> выберем <math>n_1</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_1}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_1\}<\eta_1.</math>
Далее выберем <math>n_k>n_{k-1}</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon_k\}<\eta_k.</math>

Покажем, что построенная последовательность <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> почти всюду. Действительно, пусть
:<math>R_i=\bigcup_{k=i}^\infty\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
:<math>Q = \bigcap_{i=1}^{\infty}R_i.</math>
Сразу заметим, что
:<math>R_1\supset R_2\supset\ldots\supset R_n\supset\ldots.</math>
Тогда, в силу непрерывности меры, будет выполнено
:<math>\mu(R_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(Q).</math>
При этом, в силу построения, мы имеем
:<math>\mu(R_i)<\sum_{k=i}^{\infty}\eta_k,</math>
а так как ряд <math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k</math> — сходится, то мы получим
:<math>\mu(R_i)\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\mu(Q)=0</math>. Теперь осталось проверить, что <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> на множестве <math>X\setminus Q</math>. Пусть <math>x_0\in X\setminus Q</math>. Тогда существует такое <math>i_0</math>, что <math>x_0\notin R_{i_0}</math>. Это означает, что для всех <math>k\geqslant i_0</math>
:<math>x_0\notin\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
то есть
:<math>|f_{n_k}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon_k.</math>
Но, согласно условию, <math>\varepsilon_k\to 0</math>, а значит
:<math>\underset{k\to\infty}{\lim}f_{n_k}(x_0)=f(x_0).</math> ∎

== Теорема Лузина ==
Теперь мы будем рассматривать измеримые функции, заданные на отрезке. Для них имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913 г. одним из крупнейших математиков XX века Н. Н. Лузиным.

'''Теорема 8 (Теорема Лузина)'''

Для того, чтобы функция <math>f</math>, заданная на отрезке <math>[a,b]</math>, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого <math>\varepsilon>0</math> существовала такая функция <math>\varphi\in C[a,b]</math>, что
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq\varphi(x)\} < \varepsilon.</math>

==Литература==
* ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2023. — 576с.
* ''Гелбаум Б., Олмстед Дж.'' Контрпримеры в анализе: Пер. с англ./ Под ред. и с предисл. П. Л. Ульянова Изд. 3-е. — М.: Издательство ЛКИ, 2010. — 248 с.

Измеримые функции и их свойства

2025-10-14T11:30:23Z

Alex25:

== Понятие измеримой функции ==
Мы будем рассматривать вещественнозначные функции, определённые на некотором множестве <math>X</math> с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть также <math>\mathfrak{S}_\mu</math> — <math>\sigma</math>-алгебра измеримых относительно <math>\mu</math> подмножеств <math>X</math>.

'''Определение 1'''

Функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> называется <math>\mu</math>-'''измеримой''' (или просто '''измеримой'''), если для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
принадлежит <math>\mathfrak{S}_\mu</math> (то есть является измеримым).

== Вспомогательные утверждения и некоторые примеры ==
Сперва докажем лемму, которая в дальнейшем поможет нам в доказательствах некоторых свойств измеримых функций.

'''Лемма 1'''

Следующие условия эквивалентны:
# <math>f:X\to\mathbb{R}</math> — измеримая функция,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)>c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо.

'''Доказательство'''

<math>1)\Rightarrow2)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}=\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \left\{x\in X~\middle\vert~f(x)< c+\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного пересечения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
<math>2)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f(x)\leqslant c-\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть мы представили множество в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно является измеримым. 
<math>1)\Rightarrow4)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<c\}}_{\text{измеримое}},</math>
а значит множество является измеримым. 
<math>4)\Rightarrow1)</math> 
Аналогично предыдущему пункту 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}}_{\text{измеримое}},</math>
значит множество является измеримым. 
<math>2)\Leftrightarrow3)</math> 
Доказывается аналогично предыдущим двум пунктам. 
<math>1)\Rightarrow7)</math> 
:<math>\{x\in X \mid c_1<f(x)<c_2\}=\{x\in X \mid f(x)>c_1\}\cap\{x\in X \mid f(x)<c_2\},</math>
то есть множество представимо в виде пересечения двух измеримых множеств, следовательно, оно само является измеримым множеством. 
<math>7)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;c-\frac{k+1}{2}<f(x)<c-\frac{k-1}{2}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
Эквивалентность остальных пунктов доказывается аналогичным образом. ∎

Теперь установим связь некоторых классов функций с измеримыми функциями.

'''Утверждение 1'''

Всякая непрерывная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Как известно, функция <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> непрерывна тогда и только тогда, когда для любого открытого множества <math>U\in\mathbb{R}</math> его полный прообраз
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in U\}</math>
будет открытым множеством. В нашем случае, для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> мы получим
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in(-\infty,c)\},</math>
то есть полный прообраз открытого множества. Тогда, в силу ранее сказанного, он является открытым множеством, а значит измеримым множеством. Тем самым мы получили, что функция <math>f</math> — измеримая. ∎

'''Утверждение 2'''

Всякая монотонная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим неубывающую функцию <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Пусть величина <math>a</math> определяется следующим образом
:<math>a=\sup\,\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)<c\}.</math>
Тогда мы получим, что полным прообразом множества <math>(-\infty,c)</math> будет либо <math>(-\infty,a)</math>, либо <math>(-\infty,a]</math>. Оба множества являются измеримыми, а значит и функция <math>f</math> — измерима. ∎

Эти два утверждения показывают, что весьма значительный класс отображений лежит во множестве измеримых функций. Тогда вполне уместным будет привести пример неизмеримой функции.

'''Пример 1'''

Рассмотрим индикаторную функцию <math>\mathbb{I}_E:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>, действующую по принципу
:<math>\mathbb{I}_E(x)=\begin{cases}
1, & x\in E,\\
0, & x\notin E.
\end{cases}</math>

Тогда
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid \mathbb{I}_E(x)<c\} = \begin{cases}
\mathbb{R}, & c > 1,\\
\varnothing, & c\leqslant 0,\\
\mathbb{R}\setminus E, & 0 < c \leqslant1.
\end{cases}</math>

Тем самым мы получаем, что индикаторная функция будет измерима тогда и только тогда, когда будет измеримо множество <math>E</math>. Соответственно, если <math>E</math> — неизмеримое, то мы получим пример функции, которая не является измеримой.

Отметим, что мы привели пример не только неизмеримой функции, но и измеримой разрывной функции. Возникает вопрос: можно ли привести пример измеримой функции, которая была бы разрывна всюду? Ответ на этот вопрос дал крупный немецкий математик Дирихле в 1829 году.

'''Пример 2'''

Рассмотрим функцию Дирихле
:<math>D(x)=\begin{cases}
1, & x\in\mathbb{Q},\\
0, & x\notin\mathbb{Q}.
\end{cases}</math>

Данная функция суть индикаторная функция множества рациональных чисел, которое, в свою очередь, является измеримым. А значит, согласно сказанному выше, она измерима.

== Действия над измеримыми функциями ==

'''Лемма 2'''

Пусть даны измеримая функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> и непрерывная функция <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Тогда их композиция
:<math>g\circ f:X\to\mathbb{R}</math>
измерима.

'''Доказательство'''

Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> рассмотрим множество <math>U=\{x\in\mathbb{R} \mid g(x)<c\}</math>. Данное множество суть полный прообраз открытого множества, тогда, в силу непрерывности функции <math>g</math>, мы получим, что <math>U</math> — открытое множество. Его мы представим в следующем виде
:<math>U = \bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k).</math>

Теперь рассмотрим непосредственно композицию <math>g\circ f</math>
:<math>\{x\in X \mid g(f(x))<c\}=\{x\in X \mid f(x)\in U\} = \{x\in X \mid f(x)\in\bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k)\}=</math>
:<math>= \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\{x\in X \mid f(x)\in(a_k,b_k)\}.</math>

Тогда, в силу измеримости <math>f</math>, используя лемму 1, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое, в свою очередь, является измеримым множеством. Тем самым мы получили, что <math>g\circ f</math> суть измеримая функция. ∎

'''Следствие'''

Если функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> измерима, то функции
#<math>\lambda f,~\lambda\in\mathbb{R}</math>,
#<math>|f|</math>,
#<math>f^2</math>,
#<math>\frac{1}{f}</math> (при условии, что <math>f(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

Покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно арифметических операций.

'''Теорема 1 (Арифметические действия над измеримыми функциями)'''

Пусть даны измеримые функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math>. Тогда функции
# <math>f+g</math>,
# <math>fg</math>,
# <math>\dfrac{f}{g}</math> (при условии, что <math>g(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

'''Доказательство'''
<ol>
<li> Сперва отметим, что
:<math>f(x)+g(x) < c \Leftrightarrow f(x) < c - g(x) \Leftrightarrow</math>
:<math>\Leftrightarrow\exists\, q\in\mathbb{Q}:\begin{cases}
f(x) < q,\\
g(x) < c - q.
\end{cases}</math>
Таким образом, мы имеем
:<math>\{x\in X \mid f(x)+g(x)<c\}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<q\}}_{\text{измеримое}}\cap\underbrace{\{x\in X \mid g(x)<c-q\}}_{\text{измеримое}}),</math>
тогда, в силу измеримости функций <math>f</math> и <math>g</math>, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое само является измеримым множеством, а значит функция <math>f+g</math> является измеримой.
</li>
<li> Воспользуемся тождеством
:<math>fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}.</math>
Выше мы показали, что <math>f+g</math> и <math>f-g</math> будут измеримыми функциями, а согласно следствию из леммы 2 мы получим, что квадрат от измеримой функции суть измеримая функция, а значит и <math>fg</math> будет измерима.
</li>
<li> Возьмём функцию <math>\frac{1}{g}</math>. Согласно следствию из леммы 2 она будет измеримой. Тогда непосредственно из предыдущего пункта следует, что <math>\frac{f}{g}</math> будет измеримой. ∎
</li>
</ol>

Теперь покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно операции предельного перехода.

'''Теорема 2'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Покажем, что
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k}\bigcup_{n}\bigcap_{m>n}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f_m(x)<c-\frac{1}{k}\right\}.</math>

Действительно, если <math>f(x)<c</math>, то
:<math>\exists\,k\in\mathbb{N}:f(x)<c-\frac{2}{k}.</math>

В свою очередь, при этом <math>k</math> можно найти столь большое <math>n</math>, что при <math>m\geqslant n</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k}.</math>

Обратно, если <math>x</math> лежит в правой части равенства, то существует <math>k</math> такое, что при всех достаточно больших <math>m</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k},</math>
но тогда <math>f(x)<c</math>, то есть <math>x</math> принадлежит левой части равенства.

Так как функции <math>f_n(x)</math> — измеримые, то все множества в правой части равенства будут измеримыми. А в силу того, что измеримые множества образуют <math>\sigma</math>-алгебру, то множества
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
будут измеримыми для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>. Таким образом, функция <math>f</math> будет измеримой. ∎

== Эквивалентность функций ==
Здесь и далее мы будем предполагать выполненным условие полноты меры (то есть, если <math>A</math> — измеримое множество меры нуль, то всякое его подмножество <math>\tilde{A}</math> измеримо и <math>\mu(\tilde{A})=0</math>).

'''Определение 2'''

Две функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> называются '''эквивалентными''', если
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\} = 0.</math>
Обозначение : <math>f\sim g</math>.

'''Теорема 3'''

Пусть даны функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> такие, что <math>g</math> измерима и <math>f\sim g</math>. Тогда функция <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = \{x\in X \mid f(x)=g(x),\,g(x)<c\}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}=</math>
:<math>= \{x\in X \mid g(x)<c\}\cap\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\}^\mathsf{c}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Введём обозначения
:<math>A = \{x\in X \mid g(x)<c\},</math>
:<math>B = \{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\},</math>
:<math>\tilde{B}=\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Заметим, что <math>A</math> — измеримое множество в силу измеримости функции <math>g</math>; <math>\mu(B)=0</math> т. к. <math>f\sim g</math>; <math>\tilde{B}\subseteq B</math>, а значит <math>\mu(\tilde{B})=0</math> в силу полноты меры <math>\mu</math>.

Таким образом, множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = A \cap \overline{B} \cup \tilde{B}</math>
измеримо для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>, а значит <math>f</math> — измеримая функция. ∎

== Теорема Егорова ==

Сперва введём необходимые определения.

'''Определение 3'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''равномерно сходящейся к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{x\in X}{\sup}|f_n(x)-f(x)|\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>
Обозначение : <math>f_n\rightrightarrows f</math>.

'''Определение 4'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''сходящейся почти всюду к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x)</math> для почти всех <math>x\in X</math>.

Теперь, мы можем несколько обобщить теорему 2.

'''Теорема 4'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x).</math>
По условию <math>\mu(X\setminus A) = 0</math>. Это значит, что <math>A</math> — измеримое множество и функции <math>\mathbb{I}_A f_n</math> — измеримы. В силу того, что
:<math>\mathbb{I}_A f_n \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \mathbb{I}_A f,</math>
мы получим, что <math>\mathbb{I}_A f</math> — измерима. Осталось заметить, что <math>\mathbb{I}_A f \sim f</math>, из чего следует измеримость <math>f</math>. ∎

Теперь рассмотрим важную теорему, доказанную в 1911 г. крупным русским математиком Д. Ф. Егоровым, устанавливающую связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости.

'''Теорема 5 (Теорема Егорова)'''

Пусть <math>X</math> — множество конечной меры и последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций сходится на <math>X</math> почти всюду к <math>f</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такое измеримое подмножество <math>X_\varepsilon\subset X</math>, что
# <math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)<\varepsilon</math>;
# <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>.

'''Доказательство'''

Согласно предыдущей теореме функция <math>f</math> будет измеримой. Положим
:<math>X^m_n=\bigcap_{i=n}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>

Пусть также
:<math>X^m = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X^m_n.</math>

В силу того, что <math>\sigma</math>-аддитивная мера непрерывна, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для любого <math>\varepsilon>0</math> найдётся такое натуральное <math>n_0=n_0(m)</math>, что
:<math>\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Положим
:<math>X_\varepsilon=\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}=\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcap_{i=n_0}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>
и покажем, что построенное множество удовлетворяет условиям теоремы.

Сначала покажем, что <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>. Действительно, если <math>x\in X_{\varepsilon}</math>, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для всех <math>i>n_0(m)</math> будет выполнено
:<math>|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}.</math>

Теперь оценим меру множества <math>X\setminus X_\varepsilon</math>. Для начала заметим, что для всех натуральных <math>m</math> мы имеем <math>\mu(X\setminus X^m) = 0</math>. Действительно, если <math>x_0\in X\setminus X^m</math>, то для любого <math>n\in\mathbb{N}</math> существуют <math>i>n</math>, при которых
:<math>|f_i(x_0)-f(x_0)|\geqslant\frac{1}{m},</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> в точке <math>x_0</math> не сходится к <math>f</math>, а такие точки, согласно условию теоремы, образуют множество меры нуль. Отсюда следует, что
:<math>\mu(X\setminus X^m_{n_0})=\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Таким образом, мы получим
:<math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)=\mu\left(X\setminus\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}\right)=\mu\left(\bigcup_{m=1}^{\infty}(X\setminus X^m_{n_0})\right)\leqslant\sum_{m=1}^{\infty}\mu(X\setminus X^m_{n_0})<\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^m}=\varepsilon.</math> ∎

== Сходимость по мере ==

'''Определение 5'''

Говорят, что последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций, определённых на <math>X</math>, '''сходится по мере к функции''' <math>f</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math>
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\}=0.</math>

'''Теорема 6'''

Если последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится почти всюду к некоторой функции <math>f</math>, то она сходится к той же самой предельной функции <math>f</math> по мере.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>. Введём также следующие обозначения
:<math>E_k(\varepsilon)=\{x\in X \mid |f_k(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\},</math>
:<math>R_n(\varepsilon)=\bigcup_{k=n}^{\infty}E_k(\varepsilon),</math>
:<math>M = \bigcap_{n=1}^{\infty}R_n(\varepsilon).</math>

Отметим, что из теоремы 4 следует измеримость функции <math>f</math>. Тогда все указанные выше множества будут измеримыми.

Так как
:<math>R_1(\varepsilon)\supset R_2(\varepsilon)\supset \ldots\supset R_n(\varepsilon)\ldots,</math>
то в силу свойства непрерывности меры будет выполнено
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(M).</math>

Теперь проверим, что
:<math>M\subset A.</math>

Действительно, если <math>x_0\in M</math>, то для любого натурального <math>n</math> найдётся <math>k\geqslant n</math> такое, что
:<math>|f_k(x_0)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon,</math>
а значит в точке <math>x_0</math> последовательность <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>, то есть <math>x_0\in A</math>. Но, согласно условию, <math>\mu(A)=0</math>. Тогда, в силу полноты меры, <math>\mu(M)=0</math>, следовательно
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>

Так как <math>E_n(\varepsilon)\subset R_n(\varepsilon)</math>, то мы получим, что
:<math>\mu(E_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к <math>f</math>. ∎

Мы установили, что из сходимости почти всюду следует сходимость по мере. Покажем, что обратное к этому утверждению, вообще говоря, неверно.

'''Пример 3 (Пример Рисса)'''

Представим каждое <math>n\in\mathbb{N}</math> в виде
:<math>n=2^k + m,~0\leqslant m < 2^k,~k=0,1,\ldots.</math>
Тогда <math>k</math> и <math>m</math> однозначно определяются числом <math>n</math>. Положим <math>f\equiv 0</math> и рассмотрим последовательность <math>\{f_n\}</math>, определённую следующим образом
:<math>f_n(x)=\begin{cases}
1, & x\in\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right],\\
0, & x\notin\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right].
\end{cases}</math>

Заметим, что
:<math>n\to\infty\Leftrightarrow k\to\infty.</math>

Тогда, для любого <math>\varepsilon>0</math> мы получим
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\} = \frac{1}{2^k}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к нулю. Но, при этом, ни для какой точки <math>x\in[0,1]</math> нет сходимости <math>\{f_n(x)\}</math>, так как в любой такой точке бесконечно много членов этой последовательности равно <math>0</math> и бесконечно много членов равно <math>1</math>.

Хотя приведённый выше пример показывает, что из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, тем не менее будет справедлива следующая теорема.

'''Теорема 7 (Теорема Рисса)'''

Пусть последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится по мере к <math>f</math>. Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность <math>\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}</math>, сходящуюся к <math>f</math> почти всюду.

'''Доказательство'''

Пусть <math>\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\infty</math> — некоторая последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\varepsilon_n=0,</math>
и пусть <math>\{\eta_n\}_{n=1}^\infty</math> — последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k < \infty.</math>
Построим последовательность
:<math>n_1<n_2<\ldots<n_k<\ldots</math>
следующим образом : в силу сходимости по мере последовательности <math>\{f_n\}</math> к <math>f</math> выберем <math>n_1</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_1}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_1\}<\eta_1.</math>
Далее выберем <math>n_k>n_{k-1}</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon_k\}<\eta_k.</math>

Покажем, что построенная последовательность <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> почти всюду. Действительно, пусть
:<math>R_i=\bigcup_{k=i}^\infty\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
:<math>Q = \bigcap_{i=1}^{\infty}R_i.</math>
Сразу заметим, что
:<math>R_1\supset R_2\supset\ldots\supset R_n\supset\ldots.</math>
Тогда, в силу непрерывности меры, будет выполнено
:<math>\mu(R_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(Q).</math>
При этом, в силу построения, мы имеем
:<math>\mu(R_i)<\sum_{k=i}^{\infty}\eta_k,</math>
а так как ряд <math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k</math> — сходится, то мы получим
:<math>\mu(R_i)\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\mu(Q)=0</math>. Теперь осталось проверить, что <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> на множестве <math>X\setminus Q</math>. Пусть <math>x_0\in X\setminus Q</math>. Тогда существует такое <math>i_0</math>, что <math>x_0\notin R_{i_0}</math>. Это означает, что для всех <math>k\geqslant i_0</math>
:<math>x_0\notin\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
то есть
:<math>|f_{n_k}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon_k.</math>
Но, согласно условию, <math>\varepsilon_k\to 0</math>, а значит
:<math>\underset{k\to\infty}{\lim}f_{n_k}(x_0)=f(x_0).</math> ∎

== Теорема Лузина ==
Теперь мы будем рассматривать измеримые функции, заданные на отрезке. Для них имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913 г. одним из крупнейших математиков XX века Н. Н. Лузиным.

'''Теорема 8 (Теорема Лузина)'''

Для того, чтобы функция <math>f</math>, заданная на отрезке <math>[a,b]</math>, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого <math>\varepsilon>0</math> существовала такая функция <math>\varphi\in C[a,b]</math>, что
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq\varphi(x)\} < \varepsilon.</math>

==Литература==
* ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2023. — 576с.
* ''Гелбаум Б., Олмстед Дж.'' Контрпримеры в анализе: Пер. с англ./ Под ред. и с предисл. П. Л. Ульянова Изд. 3-е. — М.: Издательство ЛКИ, 2010. — 248 с.

Измеримые функции и их свойства

2025-10-14T08:41:11Z

Alex25:

== Понятие измеримой функции ==
Мы будем рассматривать вещественнозначные функции, определённые на некотором множестве <math>X</math> с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть также <math>\mathfrak{S}_\mu</math> — <math>\sigma</math>-алгебра измеримых относительно <math>\mu</math> подмножеств <math>X</math>.

'''Определение 1'''

Функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> называется <math>\mu</math>-'''измеримой''' (или просто '''измеримой'''), если для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
принадлежит <math>\mathfrak{S}_\mu</math> (то есть является измеримым).

== Вспомогательные утверждения и некоторые примеры ==
Сперва докажем лемму, которая в дальнейшем поможет нам в доказательствах некоторых свойств измеримых функций.

'''Лемма 1'''

Следующие условия эквивалентны:
# <math>f:X\to\mathbb{R}</math> — измеримая функция,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)>c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо.

'''Доказательство'''

<math>1)\Rightarrow2)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}=\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \left\{x\in X~\middle\vert~f(x)< c+\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного пересечения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
<math>2)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f(x)\leqslant c-\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть мы представили множество в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно является измеримым. 
<math>1)\Rightarrow4)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<c\}}_{\text{измеримое}},</math>
а значит множество является измеримым. 
<math>4)\Rightarrow1)</math> 
Аналогично предыдущему пункту 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}}_{\text{измеримое}},</math>
значит множество является измеримым. 
<math>2)\Leftrightarrow3)</math> 
Доказывается аналогично предыдущим двум пунктам. 
<math>1)\Rightarrow7)</math> 
:<math>\{x\in X \mid c_1<f(x)<c_2\}=\{x\in X \mid f(x)>c_1\}\cap\{x\in X \mid f(x)<c_2\},</math>
то есть множество представимо в виде пересечения двух измеримых множеств, следовательно, оно само является измеримым множеством. 
<math>7)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;c-\frac{k+1}{2}<f(x)<c-\frac{k-1}{2}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
Эквивалентность остальных пунктов доказывается аналогичным образом. ∎

Теперь установим связь некоторых классов функций с измеримыми функциями.

'''Утверждение 1'''

Всякая непрерывная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Как известно, функция <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> непрерывна тогда и только тогда, когда для любого открытого множества <math>U\in\mathbb{R}</math> его полный прообраз
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in U\}</math>
будет открытым множеством. В нашем случае, для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> мы получим
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in(-\infty,c)\},</math>
то есть полный прообраз открытого множества. Тогда, в силу ранее сказанного, он является открытым множеством, а значит измеримым множеством. Тем самым мы получили, что функция <math>f</math> — измеримая. ∎

'''Утверждение 2'''

Всякая монотонная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим неубывающую функцию <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Пусть величина <math>a</math> определяется следующим образом
:<math>a=\sup\,\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)<c\}.</math>
Тогда мы получим, что полным прообразом множества <math>(-\infty,c)</math> будет либо <math>(-\infty,a)</math>, либо <math>(-\infty,a]</math>. Оба множества являются измеримыми, а значит и функция <math>f</math> — измерима. ∎

Эти два утверждения показывают, что весьма значительный класс отображений лежит во множестве измеримых функций. Тогда вполне уместным будет привести пример неизмеримой функции.

'''Пример 1'''

Рассмотрим индикаторную функцию <math>\mathbb{I}_E:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>, действующую по принципу
:<math>\mathbb{I}_E(x)=\begin{cases}
1, & x\in E,\\
0, & x\notin E.
\end{cases}</math>

Тогда
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid \mathbb{I}_E(x)<c\} = \begin{cases}
\mathbb{R}, & c > 1,\\
\varnothing, & c\leqslant 0,\\
\mathbb{R}\setminus E, & 0 < c \leqslant1.
\end{cases}</math>

Тем самым мы получаем, что индикаторная функция будет измерима тогда и только тогда, когда будет измеримо множество <math>E</math>. Соответственно, если <math>E</math> — неизмеримое, то мы получим пример функции, которая не является измеримой.

Отметим, что мы привели пример не только неизмеримой функции, но и измеримой разрывной функции. Возникает вопрос: можно ли привести пример измеримой функции, которая была бы разрывна всюду? Ответ на этот вопрос дал крупный немецкий математик Дирихле в 1829 году.

'''Пример 2'''

Рассмотрим функцию Дирихле
:<math>D(x)=\begin{cases}
1, & x\in\mathbb{Q},\\
0, & x\notin\mathbb{Q}.
\end{cases}</math>

Данная функция суть индикаторная функция множества рациональных чисел, которое, в свою очередь, является измеримым. А значит, согласно сказанному выше, она измерима.

== Действия над измеримыми функциями ==

'''Лемма 2'''

Пусть даны измеримая функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> и непрерывная функция <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Тогда их композиция
:<math>g\circ f:X\to\mathbb{R}</math>
измерима.

'''Доказательство'''

Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> рассмотрим множество <math>U=\{x\in\mathbb{R} \mid g(x)<c\}</math>. Данное множество суть полный прообраз открытого множества, тогда, в силу непрерывности функции <math>g</math>, мы получим, что <math>U</math> — открытое множество. Его мы представим в следующем виде
:<math>U = \bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k).</math>

Теперь рассмотрим непосредственно композицию <math>g\circ f</math>
:<math>\{x\in X \mid g(f(x))<c\}=\{x\in X \mid f(x)\in U\} = \{x\in X \mid f(x)\in\bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k)\}=</math>
:<math>= \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\{x\in X \mid f(x)\in(a_k,b_k)\}.</math>

Тогда, в силу измеримости <math>f</math>, используя лемму 1, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое, в свою очередь, является измеримым множеством. Тем самым мы получили, что <math>g\circ f</math> суть измеримая функция. ∎

'''Следствие'''

Если функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> измерима, то функции
#<math>\lambda f,~\lambda\in\mathbb{R}</math>,
#<math>|f|</math>,
#<math>f^2</math>
также будут измеримыми.

Покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно арифметических операций.

'''Теорема 1 (Арифметические действия над измеримыми функциями)'''

Пусть даны измеримые функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math>. Тогда функции
# <math>f+g</math>,
# <math>fg</math>,
# <math>\dfrac{f}{g}</math> (при условии, что <math>g(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

'''Доказательство'''
<ol>
<li> Сперва отметим, что
:<math>f(x)+g(x) < c \Leftrightarrow f(x) < c - g(x) \Leftrightarrow</math>
:<math>\Leftrightarrow\exists\, q\in\mathbb{Q}:\begin{cases}
f(x) < q,\\
g(x) < c - q.
\end{cases}</math>
Таким образом, мы имеем
:<math>\{x\in X \mid f(x)+g(x)<c\}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<q\}}_{\text{измеримое}}\cap\underbrace{\{x\in X \mid g(x)<c-q\}}_{\text{измеримое}}),</math>
тогда, в силу измеримости функций <math>f</math> и <math>g</math>, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое само является измеримым множеством, а значит функция <math>f+g</math> является измеримой.
</li>
<li> Воспользуемся тождеством
:<math>fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}.</math>
Выше мы показали, что <math>f+g</math> и <math>f-g</math> будут измеримыми функциями, а согласно следствию из леммы 2 мы получим, что квадрат от измеримой функции суть измеримая функция, а значит и <math>fg</math> будет измерима.
</li>
<li> Возьмём функцию <math>\frac{1}{g}</math>. Покажем, что она будет измерима. Действительно, если <math>c>0</math>, то
:<math>\left\{x\in X\;\middle\vert\;\frac{1}{g(x)}<c\right\}=\left\{x\in X\;\middle\vert\;g(x)>\frac{1}{c}\right\}\cup\{x\in X \mid g(x)<0\};</math>
если <math>c<0</math>, то
:<math>\left\{x\in X\;\middle\vert\;\frac{1}{g(x)}<c\right\}=\left\{x\in X\;\middle\vert\;\frac{1}{c}<g(x)<0\right\};</math>
если же <math>c=0</math>, то
:<math>\left\{x\in X\;\middle\vert\;\frac{1}{g(x)}<c\right\} = \left\{x\in X \mid g(x)<c\right\}.</math>
Всякий раз справа мы получаем измеримое множество, а значит функция <math>\frac{1}{g}</math> будет измеримой. Тогда из 2) следует, что <math>\frac{f}{g}</math> будет измеримой. ∎
</li>
</ol>

Теперь покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно операции предельного перехода.

'''Теорема 2'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Покажем, что
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k}\bigcup_{n}\bigcap_{m>n}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f_m(x)<c-\frac{1}{k}\right\}.</math>

Действительно, если <math>f(x)<c</math>, то
:<math>\exists\,k\in\mathbb{N}:f(x)<c-\frac{2}{k}.</math>

В свою очередь, при этом <math>k</math> можно найти столь большое <math>n</math>, что при <math>m\geqslant n</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k}.</math>

Обратно, если <math>x</math> лежит в правой части равенства, то существует <math>k</math> такое, что при всех достаточно больших <math>m</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k},</math>
но тогда <math>f(x)<c</math>, то есть <math>x</math> принадлежит левой части равенства.

Так как функции <math>f_n(x)</math> — измеримые, то все множества в правой части равенства будут измеримыми. А в силу того, что измеримые множества образуют <math>\sigma</math>-алгебру, то множества
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
будут измеримыми для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>. Таким образом, функция <math>f</math> будет измеримой. ∎

== Эквивалентность функций ==
Здесь и далее мы будем предполагать выполненным условие полноты меры (то есть, если <math>A</math> — измеримое множество меры нуль, то всякое его подмножество <math>\tilde{A}</math> измеримо и <math>\mu(\tilde{A})=0</math>).

'''Определение 2'''

Две функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> называются '''эквивалентными''', если
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\} = 0.</math>
Обозначение : <math>f\sim g</math>.

'''Теорема 3'''

Пусть даны функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> такие, что <math>g</math> измерима и <math>f\sim g</math>. Тогда функция <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = \{x\in X \mid f(x)=g(x),\,g(x)<c\}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}=</math>
:<math>= \{x\in X \mid g(x)<c\}\cap\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\}^\mathsf{c}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Введём обозначения
:<math>A = \{x\in X \mid g(x)<c\},</math>
:<math>B = \{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\},</math>
:<math>\tilde{B}=\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Заметим, что <math>A</math> — измеримое множество в силу измеримости функции <math>g</math>; <math>\mu(B)=0</math> т. к. <math>f\sim g</math>; <math>\tilde{B}\subseteq B</math>, а значит <math>\mu(\tilde{B})=0</math> в силу полноты меры <math>\mu</math>.

Таким образом, множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = A \cap \overline{B} \cup \tilde{B}</math>
измеримо для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>, а значит <math>f</math> — измеримая функция. ∎

== Теорема Егорова ==

Сперва введём необходимые определения.

'''Определение 3'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''равномерно сходящейся к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{x\in X}{\sup}|f_n(x)-f(x)|\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>
Обозначение : <math>f_n\rightrightarrows f</math>.

'''Определение 4'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''сходящейся почти всюду к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x)</math> для почти всех <math>x\in X</math>.

Теперь, мы можем несколько обобщить теорему 2.

'''Теорема 4'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x).</math>
По условию <math>\mu(X\setminus A) = 0</math>. Это значит, что <math>A</math> — измеримое множество и функции <math>\mathbb{I}_A f_n</math> — измеримы. В силу того, что
:<math>\mathbb{I}_A f_n \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \mathbb{I}_A f,</math>
мы получим, что <math>\mathbb{I}_A f</math> — измерима. Осталось заметить, что <math>\mathbb{I}_A f \sim f</math>, из чего следует измеримость <math>f</math>. ∎

Теперь рассмотрим важную теорему, доказанную в 1911 г. крупным русским математиком Д. Ф. Егоровым, устанавливающую связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости.

'''Теорема 5 (Теорема Егорова)'''

Пусть <math>X</math> — множество конечной меры и последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций сходится на <math>X</math> почти всюду к <math>f</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такое измеримое подмножество <math>X_\varepsilon\subset X</math>, что
# <math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)<\varepsilon</math>;
# <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>.

'''Доказательство'''

Согласно предыдущей теореме функция <math>f</math> будет измеримой. Положим
:<math>X^m_n=\bigcap_{i=n}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>

Пусть также
:<math>X^m = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X^m_n.</math>

В силу того, что <math>\sigma</math>-аддитивная мера непрерывна, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для любого <math>\varepsilon>0</math> найдётся такое натуральное <math>n_0=n_0(m)</math>, что
:<math>\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Положим
:<math>X_\varepsilon=\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}=\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcap_{i=n_0}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>
и покажем, что построенное множество удовлетворяет условиям теоремы.

Сначала покажем, что <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>. Действительно, если <math>x\in X_{\varepsilon}</math>, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для всех <math>i>n_0(m)</math> будет выполнено
:<math>|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}.</math>

Теперь оценим меру множества <math>X\setminus X_\varepsilon</math>. Для начала заметим, что для всех натуральных <math>m</math> мы имеем <math>\mu(X\setminus X^m) = 0</math>. Действительно, если <math>x_0\in X\setminus X^m</math>, то для любого <math>n\in\mathbb{N}</math> существуют <math>i>n</math>, при которых
:<math>|f_i(x_0)-f(x_0)|\geqslant\frac{1}{m},</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> в точке <math>x_0</math> не сходится к <math>f</math>, а такие точки, согласно условию теоремы, образуют множество меры нуль. Отсюда следует, что
:<math>\mu(X\setminus X^m_{n_0})=\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Таким образом, мы получим
:<math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)=\mu\left(X\setminus\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}\right)=\mu\left(\bigcup_{m=1}^{\infty}(X\setminus X^m_{n_0})\right)\leqslant\sum_{m=1}^{\infty}\mu(X\setminus X^m_{n_0})<\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^m}=\varepsilon.</math> ∎

== Сходимость по мере ==

'''Определение 5'''

Говорят, что последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций, определённых на <math>X</math>, '''сходится по мере к функции''' <math>f</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math>
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\}=0.</math>

'''Теорема 6'''

Если последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится почти всюду к некоторой функции <math>f</math>, то она сходится к той же самой предельной функции <math>f</math> по мере.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>. Введём также следующие обозначения
:<math>E_k(\varepsilon)=\{x\in X \mid |f_k(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\},</math>
:<math>R_n(\varepsilon)=\bigcup_{k=n}^{\infty}E_k(\varepsilon),</math>
:<math>M = \bigcap_{n=1}^{\infty}R_n(\varepsilon).</math>

Отметим, что из теоремы 4 следует измеримость функции <math>f</math>. Тогда все указанные выше множества будут измеримыми.

Так как
:<math>R_1(\varepsilon)\supset R_2(\varepsilon)\supset \ldots\supset R_n(\varepsilon)\ldots,</math>
то в силу свойства непрерывности меры будет выполнено
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(M).</math>

Теперь проверим, что
:<math>M\subset A.</math>

Действительно, если <math>x_0\in M</math>, то для любого натурального <math>n</math> найдётся <math>k\geqslant n</math> такое, что
:<math>|f_k(x_0)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon,</math>
а значит в точке <math>x_0</math> последовательность <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>, то есть <math>x_0\in A</math>. Но, согласно условию, <math>\mu(A)=0</math>. Тогда, в силу полноты меры, <math>\mu(M)=0</math>, следовательно
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>

Так как <math>E_n(\varepsilon)\subset R_n(\varepsilon)</math>, то мы получим, что
:<math>\mu(E_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к <math>f</math>. ∎

Мы установили, что из сходимости почти всюду следует сходимость по мере. Покажем, что обратное к этому утверждению, вообще говоря, неверно.

'''Пример 3 (Пример Рисса)'''

Представим каждое <math>n\in\mathbb{N}</math> в виде
:<math>n=2^k + m,~0\leqslant m < 2^k,~k=0,1,\ldots.</math>
Тогда <math>k</math> и <math>m</math> однозначно определяются числом <math>n</math>. Положим <math>f\equiv 0</math> и рассмотрим последовательность <math>\{f_n\}</math>, определённую следующим образом
:<math>f_n(x)=\begin{cases}
1, & x\in\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right],\\
0, & x\notin\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right].
\end{cases}</math>

Заметим, что
:<math>n\to\infty\Leftrightarrow k\to\infty.</math>

Тогда, для любого <math>\varepsilon>0</math> мы получим
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\} = \frac{1}{2^k}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к нулю. Но, при этом, ни для какой точки <math>x\in[0,1]</math> нет сходимости <math>\{f_n(x)\}</math>, так как в любой такой точке бесконечно много членов этой последовательности равно <math>0</math> и бесконечно много членов равно <math>1</math>.

Хотя приведённый выше пример показывает, что из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, тем не менее будет справедлива следующая теорема.

'''Теорема 7 (Теорема Рисса)'''

Пусть последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится по мере к <math>f</math>. Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность <math>\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}</math>, сходящуюся к <math>f</math> почти всюду.

'''Доказательство'''

Пусть <math>\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\infty</math> — некоторая последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\varepsilon_n=0,</math>
и пусть <math>\{\eta_n\}_{n=1}^\infty</math> — последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k < \infty.</math>
Построим последовательность
:<math>n_1<n_2<\ldots<n_k<\ldots</math>
следующим образом : в силу сходимости по мере последовательности <math>\{f_n\}</math> к <math>f</math> выберем <math>n_1</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_1}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_1\}<\eta_1.</math>
Далее выберем <math>n_k>n_{k-1}</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon_k\}<\eta_k.</math>

Покажем, что построенная последовательность <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> почти всюду. Действительно, пусть
:<math>R_i=\bigcup_{k=i}^\infty\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
:<math>Q = \bigcap_{i=1}^{\infty}R_i.</math>
Сразу заметим, что
:<math>R_1\supset R_2\supset\ldots\supset R_n\supset\ldots.</math>
Тогда, в силу непрерывности меры, будет выполнено
:<math>\mu(R_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(Q).</math>
При этом, в силу построения, мы имеем
:<math>\mu(R_i)<\sum_{k=i}^{\infty}\eta_k,</math>
а так как ряд <math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k</math> — сходится, то мы получим
:<math>\mu(R_i)\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\mu(Q)=0</math>. Теперь осталось проверить, что <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> на множестве <math>X\setminus Q</math>. Пусть <math>x_0\in X\setminus Q</math>. Тогда существует такое <math>i_0</math>, что <math>x_0\notin R_{i_0}</math>. Это означает, что для всех <math>k\geqslant i_0</math>
:<math>x_0\notin\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
то есть
:<math>|f_{n_k}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon_k.</math>
Но, согласно условию, <math>\varepsilon_k\to 0</math>, а значит
:<math>\underset{k\to\infty}{\lim}f_{n_k}(x_0)=f(x_0).</math> ∎

== Теорема Лузина ==
Теперь мы будем рассматривать измеримые функции, заданные на отрезке. Для них имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913 г. одним из крупнейших математиков XX века Н. Н. Лузиным.

'''Теорема 8 (Теорема Лузина)'''

Для того, чтобы функция <math>f</math>, заданная на отрезке <math>[a,b]</math>, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого <math>\varepsilon>0</math> существовала такая функция <math>\varphi\in C[a,b]</math>, что
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq\varphi(x)\} < \varepsilon.</math>

==Литература==
* ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2023. — 576с.
* ''Гелбаум Б., Олмстед Дж.'' Контрпримеры в анализе: Пер. с англ./ Под ред. и с предисл. П. Л. Ульянова Изд. 3-е. — М.: Издательство ЛКИ, 2010. — 248 с.

Измеримые функции и их свойства

2025-10-13T18:08:21Z

Alex25:

== Понятие измеримой функции ==
Мы будем рассматривать вещественнозначные функции, определённые на некотором множестве <math>X</math> с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть также <math>\mathfrak{S}_\mu</math> — <math>\sigma</math>-алгебра измеримых относительно <math>\mu</math> подмножеств <math>X</math>.

'''Определение 1'''

Функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> называется <math>\mu</math>-'''измеримой''' (или просто '''измеримой'''), если для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
принадлежит <math>\mathfrak{S}_\mu</math> (то есть является измеримым).

== Вспомогательные утверждения и некоторые примеры ==
Сперва докажем лемму, которая в дальнейшем поможет нам в доказательствах некоторых свойств измеримых функций.

'''Лемма 1'''

Следующие условия эквивалентны:
# <math>f:X\to\mathbb{R}</math> — измеримая функция,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)>c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо.

'''Доказательство'''

<math>1)\Rightarrow2)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}=\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \left\{x\in X~\middle\vert~f(x)< c+\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного пересечения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
<math>2)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f(x)\leqslant c-\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть мы представили множество в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно является измеримым. 
<math>1)\Rightarrow4)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<c\}}_{\text{измеримое}},</math>
а значит множество является измеримым. 
<math>4)\Rightarrow1)</math> 
Аналогично предыдущему пункту 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}}_{\text{измеримое}},</math>
значит множество является измеримым. 
<math>2)\Leftrightarrow3)</math> 
Доказывается аналогично предыдущим двум пунктам. 
<math>1)\Rightarrow7)</math> 
:<math>\{x\in X \mid c_1<f(x)<c_2\}=\{x\in X \mid f(x)>c_1\}\cap\{x\in X \mid f(x)<c_2\},</math>
то есть множество представимо в виде пересечения двух измеримых множеств, следовательно, оно само является измеримым множеством. 
<math>7)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;c-\frac{k+1}{2}<f(x)<c-\frac{k-1}{2}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
Эквивалентность остальных пунктов доказывается аналогичным образом. ∎

Теперь установим связь некоторых классов функций с измеримыми функциями.

'''Утверждение 1'''

Всякая непрерывная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Как известно, функция <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> непрерывна тогда и только тогда, когда для любого открытого множества <math>U\in\mathbb{R}</math> его полный прообраз
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in U\}</math>
будет открытым множеством. В нашем случае, для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> мы получим
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in(-\infty,c)\},</math>
то есть полный прообраз открытого множества. Тогда, в силу ранее сказанного, он является открытым множеством, а значит измеримым множеством. Тем самым мы получили, что функция <math>f</math> — измеримая. ∎

'''Утверждение 2'''

Всякая монотонная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим неубывающую функцию <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Пусть величина <math>a</math> определяется следующим образом
:<math>a=\sup\,\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)<c\}.</math>
Тогда мы получим, что полным прообразом множества <math>(-\infty,c)</math> будет либо <math>(-\infty,a)</math>, либо <math>(-\infty,a]</math>. Оба множества являются измеримыми, а значит и функция <math>f</math> — измерима. ∎

Эти два утверждения показывают, что весьма значительный класс отображений лежит во множестве измеримых функций. Тогда вполне уместным будет привести пример неизмеримой функции.

'''Пример 1'''

Рассмотрим индикаторную функцию <math>\mathbb{I}_E:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>, действующую по принципу
:<math>\mathbb{I}_E(x)=\begin{cases}
1, & x\in E,\\
0, & x\notin E.
\end{cases}</math>

Тогда
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid \mathbb{I}_E(x)<c\} = \begin{cases}
\mathbb{R}, & c > 1,\\
\varnothing, & c\leqslant 0,\\
\mathbb{R}\setminus E, & 0 < c \leqslant1.
\end{cases}</math>

Тем самым мы получаем, что индикаторная функция будет измерима тогда и только тогда, когда будет измеримо множество <math>E</math>. Соответственно, если <math>E</math> — неизмеримое, то мы получим пример функции, которая не является измеримой.

Отметим, что мы привели пример не только неизмеримой функции, но и измеримой разрывной функции. Возникает вопрос: можно ли привести пример измеримой функции, которая была бы разрывна всюду? Ответ на этот вопрос дал крупный немецкий математик Дирихле в 1829 году.

'''Пример 2'''

Рассмотрим функцию Дирихле
:<math>D(x)=\begin{cases}
1, & x\in\mathbb{Q},\\
0, & x\notin\mathbb{Q}.
\end{cases}</math>

Данная функция суть индикаторная функция множества рациональных чисел, которое, в свою очередь, является измеримым. А значит, согласно сказанному выше, она измерима.

== Действия над измеримыми функциями ==

'''Лемма 2'''

Пусть даны измеримая функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> и непрерывная функция <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Тогда их композиция
:<math>g\circ f:X\to\mathbb{R}</math>
измерима.

'''Доказательство'''

Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> рассмотрим множество <math>U=\{x\in\mathbb{R} \mid g(x)<c\}</math>. Данное множество суть полный прообраз открытого множества, тогда, в силу непрерывности функции <math>g</math>, мы получим, что <math>U</math> — открытое множество. Его мы представим в следующем виде
:<math>U = \bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k).</math>

Теперь рассмотрим непосредственно композицию <math>g\circ f</math>
:<math>\{x\in X \mid g(f(x))<c\}=\{x\in X \mid f(x)\in U\} = \{x\in X \mid f(x)\in\bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k)\}=</math>
:<math>= \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\{x\in X \mid f(x)\in(a_k,b_k)\}.</math>

Тогда, в силу измеримости <math>f</math>, используя лемму 1, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое, в свою очередь, является измеримым множеством. Тем самым мы получили, что <math>g\circ f</math> суть измеримая функция. ∎

'''Следствие'''

Если функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> измерима, то функции
#<math>\lambda f,~\lambda\in\mathbb{R}</math>,
#<math>|f|</math>,
#<math>f^2</math>
также будут измеримыми.

Покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно арифметических операций.

'''Теорема 1 (Арифметические действия над измеримыми функциями)'''

Пусть даны измеримые функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math>. Тогда функции
# <math>f+g</math>,
# <math>fg</math>,
# <math>\dfrac{f}{g}</math> (при условии, что <math>g(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

'''Доказательство'''
<ol>
<li> Сперва отметим, что
:<math>f(x)+g(x) < c \Leftrightarrow f(x) < c - g(x) \Leftrightarrow</math>
:<math>\Leftrightarrow\exists\, q\in\mathbb{Q}:\begin{cases}
f(x) < q,\\
g(x) < c - q.
\end{cases}</math>
Таким образом, мы имеем
:<math>\{x\in X \mid f(x)+g(x)<c\}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<q\}}_{\text{измеримое}}\cap\underbrace{\{x\in X \mid g(x)<c-q\}}_{\text{измеримое}}),</math>
тогда, в силу измеримости функций <math>f</math> и <math>g</math>, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое само является измеримым множеством, а значит функция <math>f+g</math> является измеримой.
</li>
<li> Воспользуемся тождеством
:<math>fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}.</math>
Выше мы показали, что <math>f+g</math> и <math>f-g</math> будут измеримыми функциями, а согласно следствию из леммы 2 мы получим, что квадрат от измеримой функции суть измеримая функция, а значит и <math>fg</math> будет измерима.
</li>
<li> Возьмём функцию <math>\frac{1}{g}</math>. Покажем, что она будет измерима. Действительно, если <math>c>0</math>, то
:<math>\left\{x\in X\;\middle\vert\;\frac{1}{g(x)}<c\right\}=\left\{x\in X\;\middle\vert\;g(x)>\frac{1}{c}\right\}\cup\{x\in X \mid g(x)<0\};</math>
если <math>c<0</math>, то
:<math>\left\{x\in X\;\middle\vert\;\frac{1}{g(x)}<c\right\}=\left\{x\in X\;\middle\vert\;\frac{1}{c}<g(x)<0\right\};</math>
если же <math>c=0</math>, то
:<math>\left\{x\in X\;\middle\vert\;\frac{1}{g(x)}<c\right\} = \left\{x\in X \mid g(x)<c\right\}.</math>
Всякий раз справа мы получаем измеримое множество, а значит функция <math>\frac{1}{g}</math> будет измеримой. Тогда из 2) следует, что <math>\frac{f}{g}</math> будет измеримой. ∎
</li>
</ol>

Теперь покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно операции предельного перехода.

'''Теорема 2'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Покажем, что
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k}\bigcup_{n}\bigcap_{m>n}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f_m(x)<c-\frac{1}{k}\right\}.</math>

Действительно, если <math>f(x)<c</math>, то
:<math>\exists\,k\in\mathbb{N}:f(x)<c-\frac{2}{k}.</math>

В свою очередь, при этом <math>k</math> можно найти столь большое <math>n</math>, что при <math>m\geqslant n</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k}.</math>

Обратно, если <math>x</math> лежит в правой части равенства, то существует <math>k</math> такое, что при всех достаточно больших <math>m</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k},</math>
но тогда <math>f(x)<c</math>, то есть <math>x</math> принадлежит левой части равенства.

Так как функции <math>f_n(x)</math> — измеримые, то все множества в правой части равенства будут измеримыми. А в силу того, что измеримые множества образуют <math>\sigma</math>-алгебру, то множества
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
будут измеримыми для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>. Таким образом, функция <math>f</math> будет измеримой. ∎

== Эквивалентность функций ==
Здесь и далее мы будем предполагать выполненным условие полноты меры (то есть, если <math>A</math> — измеримое множество меры нуль, то всякое его подмножество <math>\tilde{A}</math> измеримо и <math>\mu(\tilde{A})=0</math>).

'''Определение 2'''

Две функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> называются '''эквивалентными''', если
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\} = 0.</math>
Обозначение : <math>f\sim g</math>.

'''Теорема 3'''

Пусть даны функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> такие, что <math>g</math> измерима и <math>f\sim g</math>. Тогда функция <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = \{x\in X \mid f(x)=g(x),\,g(x)<c\}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}=</math>
:<math>= \{x\in X \mid g(x)<c\}\cap\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\}^\mathsf{c}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Введём обозначения
:<math>A = \{x\in X \mid g(x)<c\},</math>
:<math>B = \{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\},</math>
:<math>\tilde{B}=\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Заметим, что <math>A</math> — измеримое множество в силу измеримости функции <math>g</math>; <math>\mu(B)=0</math> т. к. <math>f\sim g</math>; <math>\tilde{B}\subseteq B</math>, а значит <math>\mu(\tilde{B})=0</math> в силу полноты меры <math>\mu</math>.

Таким образом, множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = A \cap \overline{B} \cup \tilde{B}</math>
измеримо для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>, а значит <math>f</math> — измеримая функция. ∎

== Теорема Егорова ==

Сперва введём необходимые определения.

'''Определение 3'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''равномерно сходящейся к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{x\in X}{\sup}|f_n(x)-f(x)|\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>
Обозначение : <math>f_n\rightrightarrows f</math>.

'''Определение 4'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''сходящейся почти всюду к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x)</math> для почти всех <math>x\in X</math>.

Теперь, мы можем несколько обобщить теорему 2.

'''Теорема 4'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x).</math>
По условию <math>\mu(X\setminus A) = 0</math>. Это значит, что <math>A</math> — измеримое множество и функции <math>\mathbb{I}_A f_n</math> — измеримы. В силу того, что
:<math>\mathbb{I}_A f_n \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \mathbb{I}_A f,</math>
мы получим, что <math>\mathbb{I}_A f</math> — измерима. Осталось заметить, что <math>\mathbb{I}_A f \sim f</math>, из чего следует измеримость <math>f</math>. ∎

Теперь рассмотрим важную теорему, доказанную в 1911 г. крупным русским математиком Д. Ф. Егоровым, устанавливающую связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости.

'''Теорема 5 (Теорема Егорова)'''

Пусть <math>X</math> — множество конечной меры и последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций сходится на <math>X</math> почти всюду к <math>f</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такое измеримое подмножество <math>X_\varepsilon\subset X</math>, что
# <math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)<\varepsilon</math>;
# <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>.

'''Доказательство'''

Согласно предыдущей теореме функция <math>f</math> будет измеримой. Положим
:<math>X^m_n=\bigcap_{i=n}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>

Пусть также
:<math>X^m = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X^m_n.</math>

В силу того, что <math>\sigma</math>-аддитивная мера непрерывна, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для любого <math>\varepsilon>0</math> найдётся такое натуральное <math>n_0=n_0(m)\in\mathbb{N}</math>, что
:<math>\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Положим
:<math>X_\varepsilon=\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}=\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcap_{i=n_0}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>
и покажем, что построенное множество удовлетворяет условиям теоремы.

Сначала покажем, что <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>. Действительно, если <math>x\in X_{\varepsilon}</math>, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для всех <math>i>n_0(m)</math> будет выполнено
:<math>|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}.</math>

Теперь оценим меру множества <math>X\setminus X_\varepsilon</math>. Для начала заметим, что для всех натуральных <math>m</math> мы имеем <math>\mu(X\setminus X^m) = 0</math>. Действительно, если <math>x_0\in X\setminus X^m</math>, то для любого <math>n\in\mathbb{N}</math> существуют <math>i>n</math>, при которых
:<math>|f_i(x_0)-f(x_0)|\geqslant\frac{1}{m},</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> в точке <math>x_0</math> не сходится к <math>f</math>, а такие точки, согласно условию теоремы, образуют множество меры нуль. Отсюда следует, что
:<math>\mu(X\setminus X^m_{n_0})=\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Таким образом, мы получим
:<math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)=\mu\left(X\setminus\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}\right)=\mu\left(\bigcup_{m=1}^{\infty}(X\setminus X^m_{n_0})\right)\leqslant\sum_{m=1}^{\infty}\mu(X\setminus X^m_{n_0})<\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^m}=\varepsilon.</math> ∎

== Сходимость по мере ==

'''Определение 5'''

Говорят, что последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций, определённых на <math>X</math>, '''сходится по мере к функции''' <math>f</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math>
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\}=0.</math>

'''Теорема 6'''

Если последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится почти всюду к некоторой функции <math>f</math>, то она сходится к той же самой предельной функции <math>f</math> по мере.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>. Введём также следующие обозначения
:<math>E_k(\varepsilon)=\{x\in X \mid |f_k(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\},</math>
:<math>R_n(\varepsilon)=\bigcup_{k=n}^{\infty}E_k(\varepsilon),</math>
:<math>M = \bigcap_{n=1}^{\infty}R_n(\varepsilon).</math>

Отметим, что из теоремы 4 следует измеримость функции <math>f</math>. Тогда все указанные выше множества будут измеримыми.

Так как
:<math>R_1(\varepsilon)\supset R_2(\varepsilon)\supset \ldots\supset R_n(\varepsilon)\ldots,</math>
то в силу свойства непрерывности меры будет выполнено
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(M).</math>

Теперь проверим, что
:<math>M\subset A.</math>

Действительно, если <math>x_0\in M</math>, то для любого натурального <math>n</math> найдётся <math>k\geqslant n</math> такое, что
:<math>|f_k(x_0)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon,</math>
а значит в точке <math>x_0</math> последовательность <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>, то есть <math>x_0\in A</math>. Но, согласно условию, <math>\mu(A)=0</math>. Тогда, в силу полноты меры, <math>\mu(M)=0</math>, следовательно
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>

Так как <math>E_n(\varepsilon)\subset R_n(\varepsilon)</math>, то мы получим, что
:<math>\mu(E_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к <math>f</math>. ∎

Мы установили, что из сходимости почти всюду следует сходимость по мере. Покажем, что обратное к этому утверждению, вообще говоря, неверно.

'''Пример 3 (Пример Рисса)'''

Представим каждое <math>n\in\mathbb{N}</math> в виде
:<math>n=2^k + m,~0\leqslant m < 2^k,~k=0,1,\ldots.</math>
Тогда <math>k</math> и <math>m</math> однозначно определяются числом <math>n</math>. Положим <math>f\equiv 0</math> и рассмотрим последовательность <math>\{f_n\}</math>, определённую следующим образом
:<math>f_n(x)=\begin{cases}
1, & x\in\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right],\\
0, & x\notin\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right].
\end{cases}</math>

Заметим, что
:<math>n\to\infty\Leftrightarrow k\to\infty.</math>

Тогда, для любого <math>\varepsilon>0</math> мы получим
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\} = \frac{1}{2^k}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к нулю. Но, при этом, ни для какой точки <math>x\in[0,1]</math> нет сходимости <math>\{f_n(x)\}</math>, так как в любой такой точке бесконечно много членов этой последовательности равно <math>0</math> и бесконечно много членов равно <math>1</math>.

Хотя приведённый выше пример показывает, что из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, тем не менее будет справедлива следующая теорема.

'''Теорема 7 (Теорема Рисса)'''

Пусть последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится по мере к <math>f</math>. Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность <math>\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}</math>, сходящуюся к <math>f</math> почти всюду.

'''Доказательство'''

Пусть <math>\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\infty</math> — некоторая последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\varepsilon_n=0,</math>
и пусть <math>\{\eta_n\}_{n=1}^\infty</math> — последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k < \infty.</math>
Построим последовательность
:<math>n_1<n_2<\ldots<n_k<\ldots</math>
следующим образом : в силу сходимости по мере последовательности <math>\{f_n\}</math> к <math>f</math> выберем <math>n_1</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_1}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_1\}<\eta_1.</math>
Далее выберем <math>n_k>n_{k-1}</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon_k\}<\eta_k.</math>

Покажем, что построенная последовательность <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> почти всюду. Действительно, пусть
:<math>R_i=\bigcup_{k=i}^\infty\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
:<math>Q = \bigcap_{i=1}^{\infty}R_i.</math>
Сразу заметим, что
:<math>R_1\supset R_2\supset\ldots\supset R_n\supset\ldots.</math>
Тогда, в силу непрерывности меры, будет выполнено
:<math>\mu(R_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(Q).</math>
При этом, в силу построения, мы имеем
:<math>\mu(R_i)<\sum_{k=i}^{\infty}\eta_k,</math>
а так как ряд <math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k</math> — сходится, то мы получим
:<math>\mu(R_i)\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\mu(Q)=0</math>. Теперь осталось проверить, что <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> на множестве <math>X\setminus Q</math>. Пусть <math>x_0\in X\setminus Q</math>. Тогда существует такое <math>i_0</math>, что <math>x_0\notin R_{i_0}</math>. Это означает, что для всех <math>k\geqslant i_0</math>
:<math>x_0\notin\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
то есть
:<math>|f_{n_k}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon_k.</math>
Но, согласно условию, <math>\varepsilon_k\to 0</math>, а значит
:<math>\underset{k\to\infty}{\lim}f_{n_k}(x_0)=f(x_0).</math> ∎

== Теорема Лузина ==
Теперь мы будем рассматривать измеримые функции, заданные на отрезке. Для них имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913 г. одним из крупнейших математиков XX века Н. Н. Лузиным.

'''Теорема 8 (Теорема Лузина)'''

Для того, чтобы функция <math>f</math>, заданная на отрезке <math>[a,b]</math>, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого <math>\varepsilon>0</math> существовала такая функция <math>\varphi\in C[a,b]</math>, что
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq\varphi(x)\} < \varepsilon.</math>

==Литература==
* ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2023. — 576с.
* ''Гелбаум Б., Олмстед Дж.'' Контрпримеры в анализе: Пер. с англ./ Под ред. и с предисл. П. Л. Ульянова Изд. 3-е. — М.: Издательство ЛКИ, 2010. — 248 с.

Измеримые функции и их свойства

2025-10-13T17:38:57Z

Alex25: Новая страница: «== Понятие измеримой функции == Мы будем рассматривать вещественнозначные функции, опред...»

== Понятие измеримой функции ==
Мы будем рассматривать вещественнозначные функции, определённые на некотором множестве <math>X</math> с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть также <math>\mathfrak{S}_\mu</math> — <math>\sigma</math>-алгебра измеримых относительно <math>\mu</math> подмножеств <math>X</math>.

'''Определение 1'''

Функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> называется <math>\mu</math>-'''измеримой''' (или просто '''измеримой'''), если для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
принадлежит <math>\mathfrak{S}_\mu</math> (то есть является измеримым).

== Вспомогательные утверждения и некоторые примеры ==
Сперва докажем лемму, которая в дальнейшем поможет нам в доказательствах некоторых свойств измеримых функций.

'''Лемма 1'''

Следующие условия эквивалентны:
# <math>f:X\to\mathbb{R}</math> — измеримая функция,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)>c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 < f(x)< c_2\}</math> измеримо,
# Множество <math>\{x\in X \mid c_1 \leqslant f(x)\leqslant c_2\}</math> измеримо.

'''Доказательство'''

<math>1)\Rightarrow2)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\leqslant c\}=\bigcap_{k\in\mathbb{N}} \left\{x\in X~\middle\vert~f(x)< c+\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного пересечения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
<math>2)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f(x)\leqslant c-\frac{1}{k}\right\},</math>
то есть мы представили множество в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно является измеримым. 
<math>1)\Rightarrow4)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<c\}}_{\text{измеримое}},</math>
а значит множество является измеримым. 
<math>4)\Rightarrow1)</math> 
Аналогично предыдущему пункту 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=X\setminus\underbrace{\{x\in X \mid f(x)\geqslant c\}}_{\text{измеримое}},</math>
значит множество является измеримым. 
<math>2)\Leftrightarrow3)</math> 
Доказывается аналогично предыдущим двум пунктам. 
<math>1)\Rightarrow7)</math> 
:<math>\{x\in X \mid c_1<f(x)<c_2\}=\{x\in X \mid f(x)>c_1\}\cap\{x\in X \mid f(x)<c_2\},</math>
то есть множество представимо в виде пересечения двух измеримых множеств, следовательно, оно само является измеримым множеством. 
<math>7)\Rightarrow1)</math> 
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{x\in X\;\middle\vert\;c-\frac{k+1}{2}<f(x)<c-\frac{k-1}{2}\right\},</math>
то есть множество представимо в виде счётного объединения измеримых множеств, а значит оно само является измеримым. 
Эквивалентность остальных пунктов доказывается аналогичным образом. ∎

Теперь установим связь некоторых классов функций с измеримыми функциями.

'''Утверждение 1'''

Всякая непрерывная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Как известно, функция <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> непрерывна тогда и только тогда, когда для любого открытого множества <math>U\in\mathbb{R}</math> его полный прообраз
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in U\}</math>
будет открытым множеством. В нашем случае, для всякого <math>c\in\mathbb{R}</math> мы получим
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)\in(-\infty,c)\},</math>
то есть полный прообраз открытого множества. Тогда, в силу ранее сказанного, он является открытым множеством, а значит измеримым множеством. Тем самым мы получили, что функция <math>f</math> — измеримая. ∎

'''Утверждение 2'''

Всякая монотонная на прямой функция измерима.

'''Доказательство'''

Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим неубывающую функцию <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Пусть величина <math>a</math> определяется следующим образом
:<math>a=\sup\,\{x\in\mathbb{R} \mid f(x)<c\}.</math>
Тогда мы получим, что полным прообразом множества <math>(-\infty,c)</math> будет либо <math>(-\infty,a)</math>, либо <math>(-\infty,a]</math>. Оба множества являются измеримыми, а значит и функция <math>f</math> — измерима. ∎

Эти два утверждения показывают, что весьма значительный класс отображений лежит во множестве измеримых функций. Тогда вполне уместным будет привести пример неизмеримой функции.

'''Пример 1'''

Рассмотрим индикаторную функцию <math>\mathbb{I}_E:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>, действующую по принципу
:<math>\mathbb{I}_E(x)=\begin{cases}
1, & x\in E,\\
0, & x\notin E.
\end{cases}</math>

Тогда
:<math>\{x\in\mathbb{R} \mid \mathbb{I}_E(x)<c\} = \begin{cases}
\mathbb{R}, & c > 1,\\
\varnothing, & c\leqslant 0,\\
\mathbb{R}\setminus E, & 0 < c \leqslant1.
\end{cases}</math>

Тем самым мы получаем, что индикаторная функция будет измерима тогда и только тогда, когда будет измеримо множество <math>E</math>. Соответственно, если <math>E</math> — неизмеримое, то мы получим пример функции, которая не является измеримой.

Отметим, что мы привели пример не только неизмеримой функции, но и измеримой разрывной функции. Возникает вопрос: можно ли привести пример измеримой функции, которая была бы разрывна всюду? Ответ на этот вопрос дал крупный немецкий математик Дирихле в 1829 году.

'''Пример 2'''

Рассмотрим функцию Дирихле
:<math>D(x)=\begin{cases}
1, & x\in\mathbb{Q},\\
0, & x\notin\mathbb{Q}.
\end{cases}</math>

Данная функция суть индикаторная функция множества рациональных чисел, которое, в свою очередь, является измеримым. А значит, согласно сказанному выше, она измерима.

== Действия над измеримыми функциями ==

'''Лемма 2'''

Пусть даны измеримая функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> и непрерывная функция <math>g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>. Тогда их композиция
:<math>g\circ f:X\to\mathbb{R}</math>
измерима.

'''Доказательство'''

Для любого <math>c\in\mathbb{R}</math> рассмотрим множество <math>U=\{x\in\mathbb{R} \mid g(x)<c\}</math>. Данное множество суть полный прообраз открытого множества, тогда, в силу непрерывности функции <math>g</math>, мы получим, что <math>U</math> — открытое множество. Его мы представим в следующем виде
:<math>U = \bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k).</math>

Теперь рассмотрим непосредственно композицию <math>g\circ f</math>
:<math>\{x\in X \mid g(f(x))<c\}=\{x\in X \mid f(x)\in U\} = \{x\in X \mid f(x)\in\bigcup_{k\in\mathbb{N}}(a_k,b_k)\}=</math>
:<math>= \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\{x\in X \mid f(x)\in(a_k,b_k)\}.</math>

Тогда, в силу измеримости <math>f</math>, используя лемму 1, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое, в свою очередь, является измеримым множеством. Тем самым мы получили, что <math>g\circ f</math> суть измеримая функция. ∎

'''Следствие'''

Если функция <math>f:X\to\mathbb{R}</math> измерима, то функции
#<math>\lambda f,~\lambda\in\mathbb{R}</math>,
#<math>|f|</math>,
#<math>f^2</math>
также будут измеримыми.

Покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно арифметических операций.

'''Теорема 1 (Арифметические действия над измеримыми функциями)'''

Пусть даны измеримые функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math>. Тогда функции
# <math>f+g</math>,
# <math>fg</math>,
# <math>\dfrac{f}{g}</math> (при условии, что <math>g(x)\neq0</math>)
также будут измеримыми.

'''Доказательство'''
<ol>
<li> Сперва отметим, что
:<math>f(x)+g(x) < c \Leftrightarrow f(x) < c - g(x) \Leftrightarrow</math>
:<math>\Leftrightarrow\exists\, q\in\mathbb{Q}:\begin{cases}
f(x) < q,\\
g(x) < c - q.
\end{cases}</math>
Таким образом, мы имеем
:<math>\{x\in X \mid f(x)+g(x)<c\}=\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}(\underbrace{\{x\in X \mid f(x)<q\}}_{\text{измеримое}}\cap\underbrace{\{x\in X \mid g(x)<c-q\}}_{\text{измеримое}}),</math>
тогда, в силу измеримости функций <math>f</math> и <math>g</math>, мы получим счётное объединение измеримых множеств, которое само является измеримым множеством, а значит функция <math>f+g</math> является измеримой.
</li>
<li> Воспользуемся тождеством
:<math>fg=\frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}.</math>
Выше мы показали, что <math>f+g</math> и <math>f-g</math> будут измеримыми функциями, а согласно следствию из леммы 2 мы получим, что квадрат от измеримой функции суть измеримая функция, а значит и <math>fg</math> будет измерима.
</li>
<li> Возьмём функцию <math>\frac{1}{g}</math>. Покажем, что она будет измерима. Действительно, если <math>c>0</math>, то
:<math>\left\{x\in X\;\middle\vert\;\frac{1}{g(x)}<c\right\}=\left\{x\in X\;\middle\vert\;g(x)>\frac{1}{c}\right\}\cup\{x\in X \mid g(x)<0\};</math>
если <math>c<0</math>, то
:<math>\left\{x\in X\;\middle\vert\;\frac{1}{g(x)}<c\right\}=\left\{x\in X\;\middle\vert\;\frac{1}{c}<g(x)<0\right\};</math>
если же <math>c=0</math>, то
:<math>\left\{x\in X\;\middle\vert\;\frac{1}{g(x)}<c\right\} = \left\{x\in X \mid g(x)<c\right\}.</math>
Всякий раз справа мы получаем измеримое множество, а значит функция <math>\frac{1}{g}</math> будет измеримой. Тогда из 2) следует, что <math>\frac{f}{g}</math> будет измеримой. ∎
</li>
</ol>

Теперь покажем, что совокупность измеримых функций замкнута относительно операции предельного перехода.

'''Теорема 2'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Покажем, что
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}=\bigcup_{k}\bigcup_{n}\bigcap_{m>n}\left\{x\in X\;\middle\vert\;f_m(x)<c-\frac{1}{k}\right\}.</math>

Действительно, если <math>f(x)<c</math>, то
:<math>\exists\,k\in\mathbb{N}:f(x)<c-\frac{2}{k}.</math>

В свою очередь, при этом <math>k</math> можно найти столь большое <math>n</math>, что при <math>m\geqslant n</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k}.</math>

Обратно, если <math>x</math> лежит в правой части равенства, то существует <math>k</math> такое, что при всех достаточно больших <math>m</math> будет выполнено
:<math>f_m(x)<c-\frac{1}{k},</math>
но тогда <math>f(x)<c</math>, то есть <math>x</math> принадлежит левой части равенства.

Так как функции <math>f_n(x)</math> — измеримые, то все множества в правой части равенства будут измеримыми. А в силу того, что измеримые множества образуют <math>\sigma</math>-алгебру, то множества
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\}</math>
будут измеримыми для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>. Таким образом, функция <math>f</math> будет измеримой. ∎

== Эквивалентность функций ==
Здесь и далее мы будем предполагать выполненным условие полноты меры (то есть, если <math>A</math> — измеримое множество меры нуль, то всякое его подмножество <math>\tilde{A}</math> измеримо и <math>\mu(\tilde{A})=0</math>).

'''Определение 2'''

Две функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> называются '''эквивалентными''', если
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\} = 0.</math>
Обозначение : <math>f\sim g</math>.

'''Теорема 3'''

Пусть даны функции <math>f,g:X\to\mathbb{R}</math> такие, что <math>g</math> измерима и <math>f\sim g</math>. Тогда функция <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = \{x\in X \mid f(x)=g(x),\,g(x)<c\}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}=</math>
:<math>= \{x\in X \mid g(x)<c\}\cap\{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\}^\mathsf{c}\cup\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Введём обозначения
:<math>A = \{x\in X \mid g(x)<c\},</math>
:<math>B = \{x\in X \mid f(x)\neq g(x)\},</math>
:<math>\tilde{B}=\{x\in X \mid f(x)\neq g(x),\,f(x)<c\}.</math>

Заметим, что <math>A</math> — измеримое множество в силу измеримости функции <math>g</math>; <math>\mu(B)=0</math> т. к. <math>f\sim g</math>; <math>\tilde{B}\subseteq B</math>, а значит <math>\mu(\tilde{B})=0</math> в силу полноты меры <math>\mu</math>.

Таким образом, множество
:<math>\{x\in X \mid f(x)<c\} = A \cap \overline{B} \cup \tilde{B}</math>
измеримо для всех <math>c\in\mathbb{R}</math>, а значит <math>f</math> — измеримая функция. ∎

== Теорема Егорова ==

Сперва введём необходимые определения.

'''Определение 3'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''равномерно сходящейся к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{x\in X}{\sup}|f_n(x)-f(x)|\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>
Обозначение : <math>f_n\rightrightarrows f</math>.

'''Определение 4'''

Последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> функций, определённых на множестве <math>X</math>, называется '''сходящейся почти всюду к функции''' <math>f</math>, если
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x)</math> для почти всех <math>x\in X</math>.

Теперь, мы можем несколько обобщить теорему 2.

'''Теорема 4'''

Пусть <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на <math>X</math> к функции <math>f</math>. Тогда <math>f</math> также измерима.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}f_n(x)=f(x).</math>
По условию <math>\mu(X\setminus A) = 0</math>. Это значит, что <math>A</math> — измеримое множество и функции <math>\mathbb{I}_A f_n</math> — измеримы. В силу того, что
:<math>\mathbb{I}_A f_n \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} \mathbb{I}_A f,</math>
мы получим, что <math>\mathbb{I}_A f</math> — измерима. Осталось заметить, что <math>\mathbb{I}_A f \sim f</math>, из чего следует измеримость <math>f</math>. ∎

Теперь рассмотрим важную теорему, доказанную в 1911 г. крупным русским математиком Д. Ф. Егоровым, устанавливающую связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходимости.

'''Теорема 5 (Теорема Егорова)'''

Пусть <math>X</math> — множество конечной меры и последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций сходится на <math>X</math> почти всюду к <math>f</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon>0</math> существует такое измеримое подмножество <math>X_\varepsilon\subset X</math>, что
# <math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)<\varepsilon</math>;
# <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>.

'''Доказательство'''

Согласно предыдущей теореме функция <math>f</math> будет измеримой. Положим
:<math>X^m_n=\bigcap_{i=n}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>

Пусть также
:<math>X^m = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X^m_n.</math>

В силу того, что <math>\sigma</math>-аддитивная мера непрерывна, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для любого <math>\varepsilon>0</math> найдётся такое натуральное <math>n_0=n_0(m)\in\mathbb{N}</math>, что
:<math>\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Положим
:<math>X_\varepsilon=\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}=\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcap_{i=n_0}^{\infty}\left\{x\in X\;\middle\vert\;|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}\right\}.</math>
и покажем, что построенное множество удовлетворяет условиям теоремы.

Сначала покажем, что <math>f_n\rightrightarrows f</math> на <math>X_\varepsilon</math>. Действительно, если <math>x\in X_{\varepsilon}</math>, то для любого <math>m\in\mathbb{N}</math> и для всех <math>i>n_0(m)</math> будет выполнено
:<math>|f_i(x)-f(x)|<\frac{1}{m}.</math>

Теперь оценим меру множества <math>X\setminus X_\varepsilon</math>. Для начала заметим, что для всех натуральных <math>m</math> мы имеем <math>\mu(X\setminus X^m) = 0</math>. Действительно, если <math>x_0\in X\setminus X^m</math>, то для любого <math>n\in\mathbb{N}</math> существуют <math>i>n</math>, при которых
:<math>|f_i(x_0)-f(x_0)|\geqslant\frac{1}{m},</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> в точке <math>x_0</math> не сходится к <math>f</math>, а такие точки, согласно условию теоремы, образуют множество меры нуль. Отсюда следует, что
:<math>\mu(X\setminus X^m_{n_0})=\mu(X^m\setminus X^m_{n_0})<\frac{\varepsilon}{2^m}.</math>

Таким образом, мы получим
:<math>\mu(X\setminus X_\varepsilon)=\mu\left(X\setminus\bigcap_{m=1}^{\infty}X^m_{n_0}\right)=\mu\left(\bigcup_{m=1}^{\infty}(X\setminus X^m_{n_0})\right)\leqslant\sum_{m=1}^{\infty}\mu(X\setminus X^m_{n_0})<\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^m}=\varepsilon.</math> ∎

== Сходимость по мере ==

'''Определение 5'''

Говорят, что последовательность <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> измеримых функций, определённых на <math>X</math>, '''сходится по мере к функции''' <math>f</math>, если для любого <math>\varepsilon>0</math>
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\}=0.</math>

'''Теорема 6'''

Если последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится почти всюду к некоторой функции <math>f</math>, то она сходится к той же самой предельной функции <math>f</math> по мере.

'''Доказательство'''

Пусть <math>A</math> — то множество, на котором <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>. Введём также следующие обозначения
:<math>E_k(\varepsilon)=\{x\in X \mid |f_k(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\},</math>
:<math>R_n(\varepsilon)=\bigcup_{k=n}^{\infty}E_k(\varepsilon),</math>
:<math>M = \bigcap_{n=1}^{\infty}R_n(\varepsilon).</math>

Отметим, что из теоремы 4 следует измеримость функции <math>f</math>. Тогда все указанные выше множества будут измеримыми.

Так как
:<math>R_1(\varepsilon)\supset R_2(\varepsilon)\supset \ldots\supset R_n(\varepsilon)\ldots,</math>
то в силу свойства непрерывности меры будет выполнено
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(M).</math>

Теперь проверим, что
:<math>M\subset A.</math>

Действительно, если <math>x_0\in M</math>, то для любого натурального <math>n</math> найдётся <math>k\geqslant n</math> такое, что
:<math>|f_k(x_0)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon,</math>
а значит в точке <math>x_0</math> последовательность <math>\{f_n\}</math> не сходится к <math>f</math>, то есть <math>x_0\in A</math>. Но, согласно условию, <math>\mu(A)=0</math>. Тогда, в силу полноты меры, <math>\mu(M)=0</math>, следовательно
:<math>\mu(R_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0.</math>

Так как <math>E_n(\varepsilon)\subset R_n(\varepsilon)</math>, то мы получим, что
:<math>\mu(E_n(\varepsilon))\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть последовательность <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к <math>f</math>. ∎

Мы установили, что из сходимости почти всюду следует сходимость по мере. Покажем, что обратное к этому утверждению, вообще говоря, неверно.

'''Пример 3 (Пример Рисса)'''

Представим каждое <math>n\in\mathbb{N}</math> в виде
:<math>n=2^k + m,~0\leqslant m < 2^k,~k=0,1,\ldots.</math>
Тогда <math>k</math> и <math>m</math> однозначно определяются числом <math>n</math>. Положим <math>f\equiv 0</math> и рассмотрим последовательность <math>\{f_n\}</math>, определённую следующим образом
:<math>f_n(x)=\begin{cases}
1, & x\in\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right],\\
0, & x\notin\left[\frac{m}{2^k},\frac{m+1}{2^k}\right].
\end{cases}</math>

Заметим, что
:<math>n\to\infty\Leftrightarrow k\to\infty.</math>

Тогда, для любого <math>\varepsilon>0</math> мы получим
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_n(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon\} = \frac{1}{2^k}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\{f_n\}</math> сходится по мере к нулю. Но, при этом, ни для какой точки <math>x\in[0,1]</math> нет сходимости <math>\{f_n(x)\}</math>, так как в любой такой точке бесконечно много членов этой последовательности равно <math>0</math> и бесконечно много членов равно <math>1</math>.

Хотя приведённый выше пример показывает, что из сходимости по мере не следует сходимость почти всюду, тем не менее будет справедлива следующая теорема.

'''Теорема 7 (Теорема Рисса)'''

Пусть последовательность измеримых функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty}</math> сходится по мере к <math>f</math>. Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность <math>\{f_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}</math>, сходящуюся к <math>f</math> почти всюду.

'''Доказательство'''

Пусть <math>\{\varepsilon_n\}_{n=1}^\infty</math> — некоторая последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\underset{n\to\infty}{\lim}\varepsilon_n=0,</math>
и пусть <math>\{\eta_n\}_{n=1}^\infty</math> — последовательность положительных чисел такая, что
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k < \infty.</math>
Построим последовательность
:<math>n_1<n_2<\ldots<n_k<\ldots</math>
следующим образом : в силу сходимости по мере последовательности <math>\{f_n\}</math> к <math>f</math> выберем <math>n_1</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_1}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_1\}<\eta_1.</math>
Далее выберем <math>n_k>n_{k-1}</math> так, чтобы
:<math>\mu\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon_k\}<\eta_k.</math>

Покажем, что построенная последовательность <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> почти всюду. Действительно, пусть
:<math>R_i=\bigcup_{k=i}^\infty\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
:<math>Q = \bigcap_{i=1}^{\infty}R_i.</math>
Сразу заметим, что
:<math>R_1\supset R_2\supset\ldots\supset R_n\supset\ldots.</math>
Тогда, в силу непрерывности меры, будет выполнено
:<math>\mu(R_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\mu(Q).</math>
При этом, в силу построения, мы имеем
:<math>\mu(R_i)<\sum_{k=i}^{\infty}\eta_k,</math>
а так как ряд <math>\sum_{k=1}^{\infty}\eta_k</math> — сходится, то мы получим
:<math>\mu(R_i)\underset{i\to\infty}{\longrightarrow}0,</math>
то есть <math>\mu(Q)=0</math>. Теперь осталось проверить, что <math>\{f_{n_k}\}</math> сходится к <math>f</math> на множестве <math>X\setminus Q</math>. Пусть <math>x_0\in X\setminus Q</math>. Тогда существует такое <math>i_0</math>, что <math>x_0\notin R_{i_0}</math>. Это означает, что для всех <math>k\geqslant i_0</math>
:<math>x_0\notin\{x\in X \mid |f_{n_k}(x)-f(x)|\geqslant\varepsilon_k\},</math>
то есть
:<math>|f_{n_k}(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon_k.</math>
Но, согласно условию, <math>\varepsilon_k\to 0</math>, а значит
:<math>\underset{k\to\infty}{\lim}f_{n_k}(x_0)=f(x_0).</math> ∎

== Теорема Лузина ==
Теперь мы будем рассматривать измеримые функции, заданные на отрезке. Для них имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913 г. одним из крупнейших математиков XX века Н. Н. Лузиным.

'''Теорема 8 (Теорема Лузина)'''

Для того, чтобы функция <math>f</math>, заданная на отрезке <math>[a,b]</math>, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого <math>\varepsilon>0</math> существовала такая функция <math>\varphi\in C[a,b]</math>, что
:<math>\mu\{x\in X \mid f(x)\neq\varphi(x)\} < \varepsilon.</math>