sawiki - Вклад участника [ru]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-14T12:26:02Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$. Матрицы $A(t), B(t), q(t), Q(t) $ - непрерывны на $[t_0, t_1] $.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в n-мерном вещественном пространстве можно определить как множество:''
\begin{equation} \label{ellips_l}
\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}, \; \forall l \in \mathbb{R}^n\},
\end{equation}

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(q_-, Q_-),
\]
где в правой части равенства рассматривается объединение по всем $l$, таким, что $\parallel l \!\parallel = 1$, эллипсоидов, представленных в виде \eqref{ellips_l}, с центром в $q_- = \sum\limits_{i=1}^n q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum\limits_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}.

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = t+\frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}_-(q_-, Q_-) = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$, и для любого $ l$ выбирается матрица $S$, что в неравенстве для опорных функций будет выполняться равенство и, следовательно, существовать точка, в которой будет происходить касание эллипсоидов в силу вложенности одного множества в другое. В более явном виде эта зависимость показана в подразделе про [[ Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки#Вычислительная часть | построение внутренней оценки]] .

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel = 1$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким образом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 сингулярного разложения векторов ]:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а красным — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-14T12:25:29Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$. Матрицы $A(t), B(t), q(t), Q(t) $ - непрерывны на $[t_0, t_1] $.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в n-мерном вещественном пространстве можно определить как множество:''
\begin{equation} \label{ellips_l}
\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}, \; \forall l \in \mathbb{R}^n\},
\end{equation}

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(q_-, Q_-),
\]
где в правой части равенства рассматривается объединение по всем $l$, таким, что $\parallel l \!\parallel = 1$, эллипсоидов, представленных в виде \eqref{ellips_l}, с центром в $q_- = \sum\limits_{i=1}^n q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum\limits_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}.

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = t+\frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}_-(q_-, Q_-) = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$, и для любого $ l$ выбирается матрица $S$, что в неравенстве для опорных функций будет выполняться равенство и, следовательно, существовать точка, в которой будет происходить касание эллипсоидов в силу вложенности одного множества в другое. В более явном виде эта зависимость показана в подразделе про [[ Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки#Вычислительная часть#Построение внутренней оценки | построение внутренней оценки]] .

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel = 1$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким образом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 сингулярного разложения векторов ]:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а красным — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-14T12:25:01Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-14T12:22:29Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$. Матрицы $A(t), B(t), q(t), Q(t) $ - непрерывны на $[t_0, t_1] $.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в n-мерном вещественном пространстве можно определить как множество:''
\begin{equation} \label{ellips_l}
\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}, \; \forall l \in \mathbb{R}^n\},
\end{equation}

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(q_-, Q_-),
\]
где в правой части равенства рассматривается объединение по всем $l$, таким, что $\parallel l \!\parallel = 1$, эллипсоидов, представленных в виде \eqref{ellips_l}, с центром в $q_- = \sum\limits_{i=1}^n q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum\limits_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}.

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = t+\frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}_-(q_-, Q_-) = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$, и для любого $ l$ выбирается матрица $S$, что в неравенстве для опорных функций будет выполняться равенство и, следовательно, существовать точка, в которой будет происходить касание эллипсоидов в силу вложенности одного множества в другое. В более явном виде эта зависимость показана в подразделе про [[ Вычислительная часть | построение внутренней оценки]] .

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel = 1$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким образом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 сингулярного разложения векторов ]:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а красным — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-14T12:22:10Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$. Матрицы $A(t), B(t), q(t), Q(t) $ - непрерывны на $[t_0, t_1] $.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в n-мерном вещественном пространстве можно определить как множество:''
\begin{equation} \label{ellips_l}
\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}, \; \forall l \in \mathbb{R}^n\},
\end{equation}

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(q_-, Q_-),
\]
где в правой части равенства рассматривается объединение по всем $l$, таким, что $\parallel l \!\parallel = 1$, эллипсоидов, представленных в виде \eqref{ellips_l}, с центром в $q_- = \sum\limits_{i=1}^n q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum\limits_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}.

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = t+\frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}_-(q_-, Q_-) = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$, и для любого $ l$ выбирается матрица $S$, что в неравенстве для опорных функций будет выполняться равенство и, следовательно, существовать точка, в которой будет происходить касание эллипсоидов в силу вложенности одного множества в другое. В более явном виде эта зависимость показана в подразделе про [[ | построение внутренней оценки]] .

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel = 1$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким образом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 сингулярного разложения векторов ]:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а красным — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-14T12:21:18Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$. Матрицы $A(t), B(t), q(t), Q(t) $ - непрерывны на $[t_0, t_1] $.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в n-мерном вещественном пространстве можно определить как множество:''
\begin{equation} \label{ellips_l}
\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}, \; \forall l \in \mathbb{R}^n\},
\end{equation}

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(q_-, Q_-),
\]
где в правой части равенства рассматривается объединение по всем $l$, таким, что $\parallel l \!\parallel = 1$, эллипсоидов, представленных в виде \eqref{ellips_l}, с центром в $q_- = \sum\limits_{i=1}^n q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum\limits_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}.

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = t+\frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}_-(q_-, Q_-) = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$, и для любого $ l$ выбирается матрица $S$, что в неравенстве для опорных функций будет выполняться равенство и, следовательно, существовать точка, в которой будет происходить касание эллипсоидов в силу вложенности одного множества в другое. В более явном виде эта зависимость показана в разделе про [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки | построение внутренней оценки]] .

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel = 1$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким образом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 сингулярного разложения векторов ]:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а красным — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-14T12:19:33Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$. Матрицы $A(t), B(t), q(t), Q(t) $ - непрерывны на $[t_0, t_1] $.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в n-мерном вещественном пространстве можно определить как множество:''
\begin{equation} \label{ellips_l}
\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}, \; \forall l \in \mathbb{R}^n\},
\end{equation}

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(q_-, Q_-),
\]
где в правой части равенства рассматривается объединение по всем $l$, таким, что $\parallel l \!\parallel = 1$, эллипсоидов, представленных в виде \eqref{ellips_l}, с центром в $q_- = \sum\limits_{i=1}^n q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum\limits_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}.

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = t+\frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}_-(q_-, Q_-) = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$, и для любого $ l$ выбирается матрица $S$, что в неравенстве для опорных функций будет выполняться равенство и, следовательно, существовать точка, в которой будет происходить касание эллипсоидов в силу вложенности одного множества в другое. В более явном виде эта зависимость показана в разделе про [[Вычислительная часть | построение внутренней оценки]] .

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel = 1$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким образом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 сингулярного разложения векторов ]:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а красным — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-14T12:19:11Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$. Матрицы $A(t), B(t), q(t), Q(t) $ - непрерывны на $[t_0, t_1] $.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в n-мерном вещественном пространстве можно определить как множество:''
\begin{equation} \label{ellips_l}
\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}, \; \forall l \in \mathbb{R}^n\},
\end{equation}

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(q_-, Q_-),
\]
где в правой части равенства рассматривается объединение по всем $l$, таким, что $\parallel l \!\parallel = 1$, эллипсоидов, представленных в виде \eqref{ellips_l}, с центром в $q_- = \sum\limits_{i=1}^n q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum\limits_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}.

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = t+\frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}_-(q_-, Q_-) = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$, и для любого $ l$ выбирается матрица $S$, что в неравенстве для опорных функций будет выполняться равенство и, следовательно, существовать точка, в которой будет происходить касание эллипсоидов в силу вложенности одного множества в другое. В более явном виде эта зависимость показана в разделе про [[Построение внутренней оценки | построение внутренней оценки]] .

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel = 1$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким образом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 сингулярного разложения векторов ]:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а красным — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-14T12:18:50Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$. Матрицы $A(t), B(t), q(t), Q(t) $ - непрерывны на $[t_0, t_1] $.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в n-мерном вещественном пространстве можно определить как множество:''
\begin{equation} \label{ellips_l}
\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}, \; \forall l \in \mathbb{R}^n\},
\end{equation}

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(q_-, Q_-),
\]
где в правой части равенства рассматривается объединение по всем $l$, таким, что $\parallel l \!\parallel = 1$, эллипсоидов, представленных в виде \eqref{ellips_l}, с центром в $q_- = \sum\limits_{i=1}^n q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum\limits_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}.

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = t+\frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}_-(q_-, Q_-) = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$, и для любого $ l$ выбирается матрица $S$, что в неравенстве для опорных функций будет выполняться равенство и, следовательно, существовать точка, в которой будет происходить касание эллипсоидов в силу вложенности одного множества в другое. В более явном виде эта зависимость показана в разделе про [[Фундаментальная матрица Коши | построение внутренней оценки]] .

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel = 1$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким образом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 сингулярного разложения векторов ]:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а красным — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-14T12:17:49Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$. Матрицы $A(t), B(t), q(t), Q(t) $ - непрерывны на $[t_0, t_1] $.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в n-мерном вещественном пространстве можно определить как множество:''
\begin{equation} \label{ellips_l}
\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}, \; \forall l \in \mathbb{R}^n\},
\end{equation}

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(q_-, Q_-),
\]
где в правой части равенства рассматривается объединение по всем $l$, таким, что $\parallel l \!\parallel = 1$, эллипсоидов, представленных в виде \eqref{ellips_l}, с центром в $q_- = \sum\limits_{i=1}^n q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum\limits_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}.

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = t+\frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}_-(q_-, Q_-) = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$, и для любого $ l$ выбирается матрица $S$, что в неравенстве для опорных функций будет выполняться равенство и, следовательно, существовать точка, в которой будет происходить касание эллипсоидов в силу вложенности одного множества в другое. В более явном виде эта зависимость показана в разделе про построение внутренней оценки.

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel = 1$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким образом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 сингулярного разложения векторов ]:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а красным — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-14T12:16:58Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$. Матрицы $A(t), B(t), q(t), Q(t) $ - непрерывны на $[t_0, t_1] $.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в n-мерном вещественном пространстве можно определить как множество:''
\begin{equation} \label{ellips_l}
\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}, \; \forall l \in \mathbb{R}^n\},
\end{equation}

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(q_-, Q_-),
\]
где в правой части равенства рассматривается объединение по всем $l$, таким, что $\parallel l \!\parallel = 1$, эллипсоидов, представленных в виде \eqref{ellips_l}, с центром в $q_- = \sum\limits_{i=1}^n q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum\limits_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}.

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = t+\frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}_-(q_-, Q_-) = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$, и для любого $ l$ выбирается матрица $S$, чтобы в неравенстве для опорных функций будет выполняться равенство и, следовательно, существовать точка, в которой будет происходить касание эллипсоидов в силу вложенности одного множества в другое. В более явном виде эта зависимость показана в разделе про построение внутренней оценки.

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel = 1$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким образом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 сингулярного разложения векторов ]:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а красным — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-14T12:14:38Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$. Матрицы $A(t), B(t), q(t), Q(t) $ - непрерывны на $[t_0, t_1] $.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в n-мерном вещественном пространстве можно определить как множество:''
\begin{equation} \label{ellips_l}
\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}, \; \forall l \in \mathbb{R}^n\},
\end{equation}

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(q_-, Q_-),
\]
где в правой части равенства рассматривается объединение по всем $l$, таким, что $\parallel l \!\parallel = 1$, эллипсоидов, представленных в виде \eqref{ellips_l}, с центром в $q_- = \sum\limits_{i=1}^n q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum\limits_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}.

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = t+\frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}_-(q_-, Q_-) = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$, и для любого /(l/) выбирается матрица /(S/), чтобы в неравенстве для опорных функций будет выполняться равенство и, следовательно, существовать точка, в которой будет происходить касание эллипсоидов в силу вложенности одного множества в другое. В более явном виде эта зависимость показана в разделе про построение внутренней оценки.

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel = 1$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким образом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 сингулярного разложения векторов ]:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а красным — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-10T13:52:26Z

Alexander2: /* Построение внутренней оценки */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в m-мерном вещественном пространстве можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^m \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l),
\]
где $\mathcal{E}_-(l) = \mathcal{E}(q_i, Q_-)$ — эллипсоид, построенный в направлении $l$, с центром в $q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать $m=n$ (при $m<n$ можно расширить вектор $u$ и матрицу $B$, дополнив их соответствующими нулями).

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = \frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости в направлении $l$:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$.

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка в направлении $l$ задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким об-
разом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 сингулярного разложения векторов ]:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычисления ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а голубым — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-10T13:49:34Z

Alexander2: /* Оптимизация вычислений внутренней оценки */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в m-мерном вещественном пространстве можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^m \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l),
\]
где $\mathcal{E}_-(l) = \mathcal{E}(q_i, Q_-)$ — эллипсоид, построенный в направлении $l$, с центром в $q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать $m=n$ (при $m<n$ можно расширить вектор $u$ и матрицу $B$, дополнив их соответствующими нулями).

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = \frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости в направлении $l$:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(·)$ – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени $t$ зависит от $\tau$, а $S(t_1) = I$.

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка в направлении $l$ задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

Касание достигается в случае:
\[ S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)X'(t,\tau)^{\frac{1}{2}}l(t) = \lambda(\tau) S_1 X_1^{\frac{1}{2}}X'(t,t_1)l(t), \]
где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t_1].$
Заметим, что в полученном равенстве есть зависимость от $t$ и $\tau$ , т.e. $ S(\tau) = S_t(\tau), \ \lambda(\tau) = \lambda_t(\tau)$. Таким об-
разом мы не можем для фиксированного $l$ построить хорошей оценки, так как для каждого отдельного $t$
придётся делать пересчет, что влечёт большую вычислительную сложность. Избавится от этой трудности
можно особым выбором зависимости $l(t)$, а именно:

\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из сингулярного разложения векторов:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычисления ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а голубым — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-07T12:38:12Z

Alexander2: /* Утверждение 2 */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в m-мерном вещественном пространстве можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^m \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l),
\]
где $\mathcal{E}_-(l) = \mathcal{E}(q_i, Q_-)$ — эллипсоид, построенный в направлении $l$, с центром в $q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать $m=n$ (при $m<n$ можно расширить вектор $u$ и матрицу $B$, дополнив их соответствующими нулями).

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = \frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости в направлении $l$:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = [X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(\tau)$ ортогональная матрица.

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка в направлении $l$ задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

В соответствии с $S_iQ_i^{\frac{1}{2}}l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l, \forall i = \overline{2,n}$ и $S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l $ где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t] \ $(см. доказательство '''теоремы 1'''), матрица $S(\tau)$ вычисляется из уравнения:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)l = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)l.\]

Т.к. матрица $S$, найденная из этого выражения, будет зависеть от $t$, то обозначим:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из сингулярного разложения векторов:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а голубым — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-07T12:37:48Z

Alexander2: /* Построение внутренней оценки */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в m-мерном вещественном пространстве можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^m \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l),
\]
где $\mathcal{E}_-(l) = \mathcal{E}(q_i, Q_-)$ — эллипсоид, построенный в направлении $l$, с центром в $q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать $m=n$ (при $m<n$ можно расширить вектор $u$ и матрицу $B$, дополнив их соответствующими нулями).

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = \frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости в направлении $l$:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = [X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(\tau)$ ортогональная матрица.

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка в направлении $l$ задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

В соответствии с $S_iQ_i^{\frac{1}{2}}l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l, \forall i = \overline{2,n}$ и $S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l $ где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t] \ $(см. доказательство '''теоремы 1'''), матрица $S(\tau)$ вычисляется из уравнения:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)l = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)l.\]

Т.к. матрица $S$, найденная из этого выражения, будет зависеть от $t$, то обозначим:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

==== Утверждение 2 ====
''Для произвольных векторов $a,b \in \mathbb{R}^{m\times 1}$, таких, что $||a|| \,=\, ||b|| $, существует матрица ортогонального преобразования, переводящего $a$ в $b$.''

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из сингулярного разложения векторов:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а голубым — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-07T12:34:49Z

Alexander2: /* Оптимизация вычислений внутренней оценки */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в m-мерном вещественном пространстве можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^m \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l),
\]
где $\mathcal{E}_-(l) = \mathcal{E}(q_i, Q_-)$ — эллипсоид, построенный в направлении $l$, с центром в $q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать $m=n$ (при $m<n$ можно расширить вектор $u$ и матрицу $B$, дополнив их соответствующими нулями).

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = \frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости в направлении $l$:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = [X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(\tau)$ ортогональная матрица.

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка в направлении $l$ задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

В соответствии с $S_iQ_i^{\frac{1}{2}}l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l, \forall i = \overline{2,n}$ и $S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l $ где $ \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t] \ $(см. доказательство '''теоремы 1'''), матрица $S(\tau)$ вычисляется из уравнения:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)l = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)l.\]

Т.к. матрица $S$, найденная из этого выражения, будет зависеть от $t$, то обозначим:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q_i l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}}, \forall i = \overline{2,n} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

==== Утверждение 2 ====
''Для произвольных векторов $a,b \in \mathbb{R}^{m\times 1}$, таких, что $||a|| \,=\, ||b|| $, существует матрица ортогонального преобразования, переводящего $a$ в $b$.''

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из сингулярного разложения векторов:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а голубым — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-07T12:21:48Z

Alexander2: /* Оптимизация вычислений внутренней оценки */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_1$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в m-мерном вещественном пространстве можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^m \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l),
\]
где $\mathcal{E}_-(l) = \mathcal{E}(q_i, Q_-)$ — эллипсоид, построенный в направлении $l$, с центром в $q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать $m=n$ (при $m<n$ можно расширить вектор $u$ и матрицу $B$, дополнив их соответствующими нулями).

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = \frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости в направлении $l$:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = [X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(\tau)$ ортогональная матрица.

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка в направлении $l$ задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

В соответствии с $S_iQ_i^{\frac{1}{2}}l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l, \forall i = \overline{2,n}$ (см. доказательство '''теоремы 1'''), матрица $S(\tau)$ вычисляется из уравнения:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)l = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)l.\]

Т.к. матрица $S$, найденная из этого выражения, будет зависеть от $t$, то обозначим:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q_i l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}}, \forall i = \overline{2,n} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

==== Утверждение 2 ====
''Для произвольных векторов $a,b \in \mathbb{R}^{m\times 1}$, таких, что $||a|| \,=\, ||b|| $, существует матрица ортогонального преобразования, переводящего $a$ в $b$.''

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из сингулярного разложения векторов:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а голубым — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-06T17:14:03Z

Alexander2: /* Внутренняя оценка множества разрешимости */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_0$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_0 = \mathcal{E}(x_0, X_0) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

==== Утверждение 1 ====
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l),
\]
где $\mathcal{E}_-(l) = \mathcal{E}(q_i, Q_-)$ — эллипсоид, построенный в направлении $l$, с центром в $q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать $m=n$ (при $m<n$ можно расширить вектор $u$ и матрицу $B$, дополнив их соответствующими нулями).

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
, где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = \frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости в направлении $l$:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = [X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где $S(\tau)$ ортогональная матрица.

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка в направлении $l$ задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

В соответствии с $S_iQ_i^{\frac{1}{2}}l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l, \forall i = \overline{2,n}$ (см. доказательство '''теоремы 1'''), матрица $S(\tau)$ вычисляется из уравнения:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)l.\]

Т.к. матрица $S$, найденная из этого выражения, будет зависеть от $t$, то обозначим:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q_i l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}}, \forall i = \overline{2,n} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

==== Утверждение 2 ====
''Для произвольных векторов $a,b \in \mathbb{R}^{m\times 1}$, таких, что $||a|| \,=\, ||b|| $, существует матрица ортогонального преобразования, переводящего $a$ в $b$.''

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из сингулярного разложения векторов:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а голубым — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-2}.\]

[[Файл:Pr1setnew.png|700px|мини|центр | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]

=== Пример 2 ===

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-2}.\]

[[Файл:Pr2setnew.png|700px|мини|центр | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-06T09:58:08Z

Alexander2: /* Построение внутренней оценки */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_0$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_0 = \mathcal{E}(x_0, X_0) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

==== Утверждение 1 ====
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l),
\]
где $\mathcal{E}_-(l) = \mathcal{E}(q_i, Q_-)$ — эллипсоид, построенный в направлении $l$, с центром в $q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать $m=n$ (при $m<n$ можно расширить вектор $u$ и матрицу $B$, дополнив их соответствующими нулями).

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
, где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = \frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости в направлении $l$:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = [X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S_t(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S_t(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка в направлении $l$ задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

В соответствии с $S_iQ_i^{\frac{1}{2}}l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l, \forall i = \overline{2,n}$ (см. доказательство '''теоремы 1'''), матрица $S(\tau)$ вычисляется из уравнения:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)l.\]

Т.к. матрица $S$, найденная из этого выражения, будет зависеть от $t$, то обозначим:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q_i l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}}, \forall i = \overline{2,n} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

==== Утверждение 2 ====
''Для произвольных векторов $a,b \in \mathbb{R}^{m\times 1}$, таких, что $||a|| \,=\, ||b|| $, существует матрица ортогонального преобразования, переводящего $a$ в $b$.''

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где $V_a,V_b$ ортогональные матрицы из сингулярного разложения векторов:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а голубым — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-2}.\]

[[Файл:Pr1setnew.png|700px|мини|центр | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]

=== Пример 2 ===

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-2}.\]

[[Файл:Pr2setnew.png|700px|мини|центр | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-06T09:27:48Z

Alexander2: /* Перебор по всем направлениям */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_0$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_0 = \mathcal{E}(x_0, X_0) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

==== Утверждение 1 ====
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l),
\]
где $\mathcal{E}_-(l) = \mathcal{E}(q_i, Q_-)$ — эллипсоид, построенный в направлении $l$, с центром в $q_i$ и матрицей $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, где $Q_*(t) = \sum_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)$, а $S_i(t)$ — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать $m=n$ (при $m<n$ можно расширить вектор $u$ и матрицу $B$, дополнив их соответствующими нулями).

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$ — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
, где $\{\tau_i\}$ — разбиение отрезка $[t, t_1]$ на $N$ частей (т.е. $\tau_i = \frac{(t_1-t)i}{N}$), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости в направлении $l$:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = [X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S_t(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S_t(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные векторы $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка в направлении $l$ задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

В соответствии с $S_iQ_i^{\frac{1}{2}}l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l, \forall i = \overline{2,n}$ (см. доказательство '''теоремы 1'''), матрица $S(\tau)$ вычисляется из уравнения:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)l.\]

Т.к. матрица $S$, найденная из этого выражения, будет зависеть от $t$, то обозначим:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, векторы $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q_i l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}}, \forall i = \overline{2,n} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*(t)$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице $Q_*(t)$ построим матрицу $Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычислений ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а голубым — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-2}.\]

[[Файл:Pr1setnew.png|700px|мини|центр | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]

=== Пример 2 ===

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-2}.\]

[[Файл:Pr2setnew.png|700px|мини|центр | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-01T16:18:23Z

Alexander2:

'''''Внутренние оценки''''' множества разрешимости позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками использовать и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то полученная аппроксимация будет точнее.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],$ а множества $\mathcal{X}_0$ и $\mathcal{P}(t)$ являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_0 = \mathcal{E}(x_0, X_0) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут $x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}$.

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

=== Утверждение 1 ===
''$A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA')$.''

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Теорема 1 ===
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
''\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l).
\]''

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать $m=n$ (при $m<n$ можно расширить вектор $u$ и матрицу $B$, дополнив их соответствующими нулями).

Для системы \eqref{1} справедлива формула Коши:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где $X(t,\tau)$ - фундаментальная матрица, удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества $\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)$~--- эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости в направлении $l$:
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где $Q_- = Q'_*(t)Q_*(t)$, и матрица $Q_*$ определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = [X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S_t(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S_t(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]

== Вычислительная часть ==

==== Теорема 2 ====
''Для суммы эллипсоидов по Минковскому можно получить внешнюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
''\[\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcap_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_+(l).\]''

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в Теоремах 1 и 2, при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям $l$, таким что $\parallel\! \ l \ \!\parallel$, т.е. провести перебор по $n$-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться гиперсферической системой координат с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}$ равномерно распределены по отрезку $[0,\,\pi]$. Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

Поскольку требуется построить проекцию множества разрешимости на плоскость, достаточно проводить перебор по единичной окружности:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x = \cos{\alpha}, \\
& y = \sin{\alpha},
\end{aligned}\right.
\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha \in [0,\,2\pi).
\]

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю и внешнюю оценки множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс $\mathcal{E}(q,Q)$ на плоскость $\pi$, задаваемую неколлинеарными векторами $l^0_1,l^0_2$.

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости $\pi$:
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку $q$ на плоскость $\pi$. Пусть $pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.$ Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости $\pi$ единичные вектора $l$. Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида $\mathcal{E}(q, Q)$ в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка в направлении $l$ задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица $Q_*(t)$ определяется следующим образом:
\begin{equation}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\label{Q_with_minus}
\end{equation}

В соответствии с $S_iQ_i^{\frac{1}{2}}l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l, \forall i = \overline{2,n}$, матрица $S(\tau)$ вычисляется из уравнения:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)l.\]

Т.к. матрица $S$, найденная из этого выражения, будет зависеть от $t$, то обозначим:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку $X'(t_1,t)$ является невырожденным линейным оператором, он переводит $r$-мерное подпространство в $r$-мерное подпространство. Следовательно, вектора $\{l_1\}$, лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены вектора , так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для $S$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства фундаментальной матрицы, получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица $S(\tau)$ уже не зависит от $t$, поэтому можно посчитать $S(\tau)$ один раз для всего отрезка $[t,\,t_1]$.

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое $l_1 \in \pi$. Выразим из (\ref{s_without_t}) и $ \lambda = \frac{\langle l , Q_i l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}}, \forall i = \overline{2,n} $ матрицу $S(\tau)$:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор $b(\tau)$ удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица $S(\tau)$ вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

Продифференцируем (\ref{Q_with_minus}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица $Q_*$ определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу $Q_*(t)$ в системе {\bf Matlab} можно найти с помощью численного интегрирования функцией {\bf ode45}. По матрице $Q_*$ построим матрицу $Q_- = Q_*'Q_*$ и соответствующий эллипсоид $\mathcal{E}_-$. При этом центр $q_\varepsilon(t)$ эллипсоида $\mathcal{E}_-$ удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов $l_1 \in \pi$, получим внутреннюю оценку.

== Примеры ==
В этой секции приведены некоторые графики возможных внутренних оценок множества разрешимости.

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-11-08T14:14:53Z

Alexander2:

Рассматривается система с дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $$A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m},$$ а множества $$\mathcal{X}_0$$ и $$\mathcal{P}(t)$$ являются эллипсоидами:

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-11-08T14:12:27Z

Alexander2:

Рассматривается система с дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где $A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m},$ а множества $\mathcal{X}_0$ и $\mathcal{P}(t)$ являются эллипсоидами:

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-11-01T11:28:55Z

Alexander2: Новая страница: «Как отличить самца зайца от самки зайца? Берешь за уши, ставишь на землю, отпускаешь. Если...»

Как отличить самца зайца от самки зайца? Берешь за уши, ставишь на землю, отпускаешь. Если побежал - значит самец, если побежала - самка.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-12T18:59:43Z

Alexander2:

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы <math>- \ x(\cdot)</math>, если управление <math>- \ u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math> t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8,_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BD Каратеодори].

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [3] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать <math> AC[t_0-a, t_0+a] </math> (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ \text{Lip}[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [3].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: \ \forall t', t'' \in [t_0-h,t_0+h], \ t'\leq t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s, x^{(n-1)}(s))ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = \text{const} >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = \text{const} > 0.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta > 0. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L =\text{const}</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = \text{const} > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>

== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-12T18:55:38Z

Alexander2: /* Условия Каратеодори */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы <math>- \ x(\cdot)</math>, если управление <math>- \ u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math> t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8,_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BD].

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [3] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать <math> AC[t_0-a, t_0+a] </math> (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ \text{Lip}[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [3].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: \ \forall t', t'' \in [t_0-h,t_0+h], \ t'\leq t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s, x^{(n-1)}(s))ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = \text{const} >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = \text{const} > 0.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta > 0. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L =\text{const}</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = \text{const} > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>

== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-12T18:53:26Z

Alexander2: /* Условия Каратеодори */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы <math>- \ x(\cdot)</math>, если управление <math>- \ u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math> t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [3] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать <math> AC[t_0-a, t_0+a] </math> (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ \text{Lip}[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [3].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: \ \forall t', t'' \in [t_0-h,t_0+h], \ t'\leq t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s, x^{(n-1)}(s))ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = \text{const} >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = \text{const} > 0.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta > 0. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L =\text{const}</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = \text{const} > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>

== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-12T18:47:54Z

Alexander2:

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы <math>- \ x(\cdot)</math>, если управление <math>- \ u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [3] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать <math> AC[t_0-a, t_0+a] </math> (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ \text{Lip}[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [3].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: \ \forall t', t'' \in [t_0-h,t_0+h], \ t'\leq t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s, x^{(n-1)}(s))ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = \text{const} >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = \text{const} > 0.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta > 0. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L =\text{const}</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = \text{const} > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>

== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-10T12:23:04Z

Alexander2:

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы <math>- \ x(\cdot)</math>, если управление <math>- \ u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать <math> AC[t_0-a, t_0+a] </math> (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ \text{Lip}[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: \ \forall t', t'' \in [t_0-h,t_0+h], \ t'\leq t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s, x^{(n-1)}(s))ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = \text{const} >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = \text{const} > 0.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta > 0. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L =\text{const}</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = \text{const} > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>

== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T20:38:39Z

Alexander2:

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы <math>- \ x(\cdot)</math>, если управление <math>- \ u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать <math> AC[t_0-a, t_0+a] </math> (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ \text{Lip}[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = \text{const} >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = \text{const} > 0.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L =\text{const}</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = \text{const} > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>

== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T20:32:11Z

Alexander2:

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы <math>- \ x(\cdot)</math>, если управление <math>- \ u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = \text{const} >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = \text{const} > 0.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L =\text{const}</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = \text{const} > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>

== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T18:09:43Z

Alexander2: /* Продолжимость решения */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы <math>- \ x(\cdot)</math>, если управление <math>- \ u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = const > 0.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>

== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T18:09:07Z

Alexander2: /* Продолжимость решения */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы <math>- \ x(\cdot)</math>, если управление <math>- \ u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq A||x|| + B, \ A,B = const > 0.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>

== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T17:56:46Z

Alexander2:

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы <math>- \ x(\cdot)</math>, если управление <math>- \ u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>

== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T17:51:40Z

Alexander2: /* Итоговые условия на f(t,x,u) */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>

== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T17:50:36Z

Alexander2: /* Продолжимость решения */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T17:49:38Z

Alexander2: /* Существование решения по Каратеодори */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T17:34:19Z

Alexander2:

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают. 
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math> 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T17:30:23Z

Alexander2:

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation}\label{syst}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана. 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана. 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T10:16:08Z

Alexander2:

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation*}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)</math> решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]]. Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана. 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (3). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана. 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T10:10:54Z

Alexander2: /* Продолжимость решения */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation*}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Где <math>x(\cdot)<math> решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]]. Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана. 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (3). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> [[Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана. 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T10:01:56Z

Alexander2: /* Список литературы */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation*}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана. 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (3). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана. 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-05T10:00:43Z

Alexander2: /* Продолжимость решения */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что:
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
\end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation*}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа [4] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 

Введём следующие определения: 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] (от англ. ''absolutely continuous'').
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна. 
''Доказательство''. Можно найти в [4].
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
измерима.<math>\blacksquare</math>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon): \forall t', t'': |t'-t''| \in [t_0-h,t_0+h], t'\leq t'':\leq \delta</math>
\begin{equation*}
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
\end{equation*}
Для нашей последовательности
\begin{equation*}
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
\end{equation*}
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). </math>
При этом
\begin{equation*}
|| x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
\end{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана. 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (3). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана. 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
[2] А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Издательство "ФИЗМАТЛИТ". 2019 
[3] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. 
[4] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-02T15:42:21Z

Alexander2: /* Продолжимость решения */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что
<math> ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]; </math>

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation*}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> выолнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0,
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что решение системы <math> x \equiv 0</math>. Но такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \epsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\epsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z: \mu Z \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \epsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 
Введем важное определение 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1) 2) 3') и 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] от англ. ''absolutely continuous''.
В курсе математического анализа, это определение вводиться по-другому 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \epsilon > 0 </math> существует <math> \delta(\epsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} \leq \tau_1^{''} \dots \leq \tau_k^{'} \leq \tau_k^{''} \leq \tau_1
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}| \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \epsilon </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений.

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subseteq AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\epsilon) = \frac{\epsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0} </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) -- </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \epsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K-- $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t)--</math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K -- </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна.
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из Scorza Dragoni следует существования универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)--
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) --</math> измерима по <math> t</math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) -- </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \epsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K -- </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot)-- </math>
измерима.
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]--
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0--$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \geq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \epsilon > 0 \exists \delta(\epsilon): \forall t;, t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
<math> \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \epsilon?</math>
Для нашей последовательности
<math> ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \epsilon </math>
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)}\rightleftharpoons x(\cdot). </math>
При этом
<math> || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, </math>
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C.</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h-</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h- </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau}- </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана. 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (3). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана. 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r- </math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
1) Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
2) А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Издательство "ФИЗМАТЛИТ". 2019

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-02T15:36:25Z

Alexander2:

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что
<math> ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]; </math>

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation*}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> выолнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0,
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что решение системы <math> x \equiv 0</math>. Но такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \epsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\epsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z: \mu Z \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \epsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 
Введем важное определение 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1) 2) 3') и 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] от англ. ''absolutely continuous''.
В курсе математического анализа, это определение вводиться по-другому 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \epsilon > 0 </math> существует <math> \delta(\epsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} \leq \tau_1^{''} \dots \leq \tau_k^{'} \leq \tau_k^{''} \leq \tau_1
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}| \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \epsilon </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений.

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subseteq AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\epsilon) = \frac{\epsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0} </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) -- </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \epsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K-- $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t)--</math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K -- </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна.
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из Scorza Dragoni следует существования универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)--
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) --</math> измерима по <math> t</math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) -- </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \epsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K -- </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot)-- </math>
измерима.
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]--
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0--$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \geq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \epsilon > 0 \exists \delta(\epsilon): \forall t;, t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
<math> \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \epsilon?</math>
Для нашей последовательности
<math> ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \epsilon </math>
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)}\rightleftharpoons x(\cdot). </math>
При этом
<math> || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, </math>
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C.</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h-</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h- </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau}- </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана. 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (3). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана. 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r- </math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
1) Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
2) А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Издательство "ФИЗМАТЛИТ". 2019

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-02T14:43:52Z

Alexander2: /* Список литературы */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что
<math> ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]; </math>

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation*}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> выолнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0,
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что решение системы <math> x \equiv 0</math>. Но такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \epsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\epsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z: \mu Z \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \epsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 
Введем важное определение 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1) 2) 3') и 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] от англ. ''absolutely continuous''.
В курсе математического анализа, это определение вводиться по-другому 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \epsilon > 0 </math> существует <math> \delta(\epsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} \leq \tau_1^{''} \dots \leq \tau_k^{'} \leq \tau_k^{''} \leq \tau_1
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}| \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \epsilon </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений.

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subseteq AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\epsilon) = \frac{\epsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0} </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) -- </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \epsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K-- $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t)--</math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K -- </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна.
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из Scorza Dragoni следует существования универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)--
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) --</math> измерима по <math> t</math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) -- </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \epsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K -- </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot)-- </math>
измерима.
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]--
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0--$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \geq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \epsilon > 0 \exists \delta(\epsilon): \forall t;, t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
<math> \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \epsilon?</math>
Для нашей последовательности
<math> ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \epsilon </math>
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)}\rightleftharpoons x(\cdot). </math>
При этом
<math> || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, </math>
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C.</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h-</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h- </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau}- </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана. 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (3). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана. 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r- </math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^n </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^n </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
1) Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021. 
2) А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Издательство "ФИЗМАТЛИТ". 2019

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-02T14:43:41Z

Alexander2: /* Список литературы */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что
<math> ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]; </math>

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation*}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> выолнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0,
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что решение системы <math> x \equiv 0</math>. Но такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \epsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\epsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z: \mu Z \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \epsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 
Введем важное определение 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1) 2) 3') и 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] от англ. ''absolutely continuous''.
В курсе математического анализа, это определение вводиться по-другому 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \epsilon > 0 </math> существует <math> \delta(\epsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} \leq \tau_1^{''} \dots \leq \tau_k^{'} \leq \tau_k^{''} \leq \tau_1
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}| \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \epsilon </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений.

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subseteq AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\epsilon) = \frac{\epsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0} </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) -- </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \epsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K-- $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t)--</math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K -- </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна.
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из Scorza Dragoni следует существования универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)--
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) --</math> измерима по <math> t</math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) -- </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \epsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K -- </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot)-- </math>
измерима.
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]--
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0--$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \geq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \epsilon > 0 \exists \delta(\epsilon): \forall t;, t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
<math> \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \epsilon?</math>
Для нашей последовательности
<math> ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \epsilon </math>
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)}\rightleftharpoons x(\cdot). </math>
При этом
<math> || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, </math>
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C.</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h-</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h- </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau}- </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана. 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (3). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана. 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r- </math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^n </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^n </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
1) Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021.
2) А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. Издательство "ФИЗМАТЛИТ". 2019

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-02T14:40:50Z

Alexander2: /* Продолжимость решения */

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что
<math> ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]; </math>

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation*}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> выолнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0,
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что решение системы <math> x \equiv 0</math>. Но такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \epsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\epsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z: \mu Z \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \epsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 
Введем важное определение 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1) 2) 3') и 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] от англ. ''absolutely continuous''.
В курсе математического анализа, это определение вводиться по-другому 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \epsilon > 0 </math> существует <math> \delta(\epsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} \leq \tau_1^{''} \dots \leq \tau_k^{'} \leq \tau_k^{''} \leq \tau_1
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}| \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \epsilon </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений.

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subseteq AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\epsilon) = \frac{\epsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0} </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) -- </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \epsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K-- $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t)--</math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K -- </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна.
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из Scorza Dragoni следует существования универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)--
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) --</math> измерима по <math> t</math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) -- </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \epsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K -- </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot)-- </math>
измерима.
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]--
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0--$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \geq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \epsilon > 0 \exists \delta(\epsilon): \forall t;, t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
<math> \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \epsilon?</math>
Для нашей последовательности
<math> ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \epsilon </math>
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)}\rightleftharpoons x(\cdot). </math>
При этом
<math> || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, </math>
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C.</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h-</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h- </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau}- </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана. 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.''' 
''Пусть выполнено условие (3). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана. 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r- </math> из условий теоремы существования решения).

== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^n </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^n </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
1) Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021.

Решения ОДУ в смысле Каратеодори

2021-12-02T11:35:58Z

Alexander2:

Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.

== Условия Каратеодори ==
Введем обозначение
$$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:

# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) </math> интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a, t_0+a]</math> такая, что
<math> ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]; </math>

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

== Абсолютно непрерывные функции ==
Мы бы хотели найти решение задачи Коши
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
x(t_0) = x^0,
\end{cases}
\end{equation*}
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> выолнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot x(t) = 0,\\
x(0) = 0,
\end{cases}
\end{equation*}
Очевидно, что решение системы <math> x \equiv 0</math>. Но такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> : $$ x(\cdot) $$ решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
\begin{equation*}
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
\end{equation*}

Из курса функционального анализа известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \epsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\epsilon) > 0: </math>
\begin{equation*}
\forall Z: \mu Z \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \epsilon,\\
\end{equation*}
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега. 
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два: 
3') <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу; 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> 
Введем важное определение 

''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1) 2) 3') и 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] от англ. ''absolutely continuous''.
В курсе математического анализа, это определение вводиться по-другому 

''Определение 1'''. Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
</math> если для любого <math> \epsilon > 0 </math> существует <math> \delta(\epsilon) > 0: </math> <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math> \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что
\begin{equation*}
\tau_0 \leq \tau_1^{'} \leq \tau_1^{''} \dots \leq \tau_k^{'} \leq \tau_k^{''} \leq \tau_1
\end{equation*}
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}| \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \epsilon </math>
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений.

''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что
$$ Lip[\tau_0, \tau_1] \subseteq AC[\tau_0, \tau_1], $$
поскольку
\begin{equation*}
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\epsilon) = \frac{\epsilon}{L}.
\end{equation*}
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 
С учетом этих определений сформулируем новое определение. 

''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0} </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>

== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем. 
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть <math> g(t,x) -- </math>
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
Тогда $$\forall \epsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K-- $$ компакт, такой что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и <math> g(t,x) </math> суженная на <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по <math>(t,x) </math>
 
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t)--</math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K -- </math> компакт такой, что
\begin{equation*}
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon
\end{equation*}
и <math>z(t) </math> суженная на <math> K </math> непрерывна.
 
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
существует <math>K(x)</math>, а из Scorza Dragoni следует существования универсального <math>K</math>(на шаре).
 
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)--
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) --</math> измерима по <math> t</math>
 
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) -- </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \epsilon </math>
и <math> u </math> при сужении на <math> K -- </math> непрерывна.
Тогда
\begin{equation*}
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
\end{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot)-- </math>
измерима.
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
\begin{equation*}
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.
\end{equation*}
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]--
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
\begin{equation*}
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
\end{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0--$$)
аналогично):
<math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \geq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \epsilon > 0 \exists \delta(\epsilon): \forall t;, t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
<math> \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \epsilon?</math>
Для нашей последовательности
<math> ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \epsilon </math>
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)}\rightleftharpoons x(\cdot). </math>
При этом
<math> || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, </math>
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math> x(\cdot) \in C.</math>
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
<math> x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.

== Единственность решения ==
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| </math>
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу. 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): 
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца. 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори). 
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.'' 
''Доказательтво:'' Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
== Продолжимость решения ==
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет. 
Мы рассматриваем систему на отрезке времени <math> [t_{0} - a, t_{0} + a]. </math> Зафиксируем <math>h_{1} < a</math> и проинтегрируем исходную систему на <math> [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. </math> При этом <math>||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.</math> Переобозначим полученное значение в точке <math> \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) </math> и запишем новую задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
\dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\
x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1}
\end{cases}
</math>
Таким образом, мы продвинулись на <math>h_{1}</math> вправо по времени. 
Далее аналогичным образом выберем <math>h_{2},h_{3} </math> и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую <math> m(\cdot) </math> и варьировать соответствующее ей значение <math>r</math>, устремляя таким образом <math>h \rightarrow a</math> и <math> h \rightarrow +\infty</math>. При этом <math>r</math> не будет ограничено, если <math> h_{1} + h_{2} + \ldots < a. </math> 
'''Пример 1.'''
\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\
x(t) = 1
\end{cases}
\end{equation*}
Проинтегрировав систему:
\begin{equation*}
\int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt
\end{equation*}
получим решение <math> x(t) = \frac{1}{1 - t} </math>, неограниченно растущее в окрестности <math>t = 1</math>. 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
\begin{equation}
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [t_{0}, \tau]\},
\end{equation}
\begin{equation}
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{решение [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|ЗК]] при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
\end{equation}
Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны). 
'''Теорема 5.''' 
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math> 
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) </math> верно
\begin{equation*}
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math> 
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math> 
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h-</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h- </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau}- </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. 
Теорема доказана. 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
\end{equation}
\begin{equation*}
(-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta).
\end{equation*}
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation*}
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
\end{equation}
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math> 
'''Теорема 6.'''
''Пусть выполнено условие (3). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] продолжимо вправо.'' 
''Доказательство.'' 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta.
\end{equation*}
Домножим на <math>exp\{-2\alpha t \}: </math>
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta
e^{-2\alpha s}ds.
\end{equation*}
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть. 
Теорема доказана. 
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r- </math> из условий теоремы существования решения).
== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^n </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^n </math>);
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L = const</math>;
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
== Список литературы==
1) Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021.