sawiki - Вклад участника [ru]

Метрика Хаусдорфа

2022-12-19T11:17:55Z

Alexander22:

'''Метрика [https://ru.wikipedia.org/wiki/Хаусдорф,_Феликс Хаусдорфа]''' есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства. Она превращает это множество в метрическое пространство. Метрику Хаусдорфа иногда также называют метрикой [https://ru.wikipedia.org/wiki/Помпей,_Димитрие Помпейю]- Хаусдорфа.
== Расстояние по Хаусдорфу ==
Пусть $$(X, \rho) ~- $$ метрическое пространство. Введем понятие '''расстояния по Хаусдорфу''' между двумя непустыми ограниченными множествами. Итак, пусть $$M, N \subset X ~-$$ непустые ограниченные множества. Для них положим
\begin{gather*}
h(M, N) = \inf\left\{ r > 0: O(M, r) \supseteq N, O(N, r) \supseteq M \right\},
\end{gather*}

где $$O(\cdot, r) ~-$$ открытая $$r$$-окрестность множества.

Число $$h(M, N)$$ называется расстоянием по Хаусдорфу между множествами $$M$$ и $$N$$. Кроме того, приведенная выше формула определяет расстояние по Хаусдорфу и для неограниченных множеств $$M$$ и $$N$$, однако при этом $$h(M, N)$$ уже может принимать значение $$+\infty$$.

=== Предложение ===

Для любых $$a_1, a_2 \in X$$ и $$r_1, r_2 > 0$$ справедливо неравенство
\begin{gather}\label{eq1}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) \leqslant \rho(a_1, a_2) + \max\left\{r_1, r_2\right\},
\end{gather}
где $$B(a, r) ~-$$ замкнутый шар метрического пространства в точке $$a$$ с радиусом $$r$$.

'''Доказательство'''

Пусть $$x_1 \in B(a_1, r_1)$$. Тогда имеет место неравенство $$\rho(x_1, a_2) \leqslant r_1 + \rho(a_1, a_2) $$, которое вытекает из следующей цепочки неравенств:
\begin{gather*}
\rho(x_1, a_2) \leqslant \rho(x_1, a_1) + \rho(a_1, a_2) \leqslant r_1 + \rho(a_1, a_2).
\end{gather*}
Таким же образом получаем, что $$\rho(x_2, a_1) \leqslant r_2 + \rho(a_1, a_2)$$ для всех $$x_2 \in B(a_2, r_2)$$. Далее из получившихся неравенств и определения расстояния по Хаусдорфу вытекает формула (\ref{eq1}).

'''Замечание'''

''Если дополнительно предположить, что $$X ~-$$ линейное нормированное пространство, то''
\begin{gather*}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) = \|a_2 - a_1\| + \left|r_2 - r_1 \right|.
\end{gather*}

[[Файл:New ex 2.png|thumb|мини|Иллюстрация примера 2]]

'''Пример 1'''

Данный пример показывает, что доказанное выше неравенство (\ref{eq1}) может превратиться в равенство.
Рассмотрим метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \left\{ -2, -1, 1, 2\right\} ~- $$ множество состоящее из точек на прямой с естественной метрикой расстояния между точками. Тогда при $$a_1 = -1, a_2 = 1, r_1 = r_2 = 1$$ имеет место
\begin{gather*}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) = 3 = \rho(a_1, a_2) + \max(r_1, r_2).
\end{gather*}

'''Пример 2'''

Пусть теперь возьмем на рассмотрение метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \mathbb{R}^2$$ с естественной метрикой расстояния между точками в пространстве $$\mathbb{R}^2$$. Найдем Хаусдорфово расстояние между $$B(2,1)$$ и $$B(-2,1)$$:
\begin{gather*}
h(B(-2, 1), B(2, 1)) = 4.
\end{gather*}

=== Переход к метрике ===

Несложно видеть, что для замкнутых ограниченных множеств расстояние по Хаусдорфу $$h$$ удовлетворяет всем аксиомам метрики. А именно, для любых непустых замкнутых ограниченных множеств $$M, N$$ и $$E$$ имеют место соотношения
\begin{gather*}
h(M, N) = 0 \Leftrightarrow M = N,
\end{gather*}
\begin{gather*}
h(M, N) = h(N, M) \geqslant 0,
\end{gather*}
\begin{gather*}
h(M, N) \leqslant h(M, E) + h(E, N).
\end{gather*}
Таким образом, функция $$h$$ превращает множество всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства $$X$$ в метрическое пространство, которое обозначается через $$H(X)$$. Метрику $$h$$ называют '''метрикой Хаусдорфа'''. Однако в общем случае расстояние Хаусдорфа метрикой не является, так как может равняться нулю между различными множествами. Например, это имеет место для отрезка $$M = \left[a, b\right]$$ и полуинтервала $$N = \left[a, b \right)$$, которые рассматриваются как подмножества числовой прямой. Действительно, для любого $$\varepsilon > 0$$ выполняется, что $$M \subset O(N, \varepsilon)$$ и $$N \subset O(M, \varepsilon)$$, поэтому $$h(M, N) = 0$$.

Наряду с метрическим пространством обычно рассматривается его подпространство $$H_{c}(X)$$, которое состоит из непустых компактных подмножеств $$X$$. Стоит отметить, что если множество $$X$$ ограничено, то функция $$h$$ ограничена на множестве всех подмножеств множества $$X$$.

== Свойства ==
Пусть $$(X, \rho) ~- $$ метрическое пространство, а $$M, N ~-$$ непустые подмножества пространства $$X$$.

1. Для любых $$x \in M$$ и $$\varepsilon > 0$$ существует $$y \in N$$ такое, что $$\rho(x, y) \leqslant h(M, N) + \varepsilon$$.

2. $$h(M, N) = 0$$ тогда и только тогда, когда $$\overline{M} = \overline{N}$$.

3. Пусть $$X = \mathbb{R}^n$$, а $$M, N ~-$$ выпуклые компакты. Тогда
\begin{gather*}
h(M, N) = \max_{\|l \| \leqslant 1}\left|s(l| M) - s(l| N) \right|,
\end{gather*}
где $$s(l| \cdot) ~-$$ опорная функция.

4. Если пространство $$X$$ ограничено, то метрическое пространство $$H(X)$$ сепарабельно.

5. Если пространство $$X$$ полно, то метрические пространства $$H(X)$$ и $$H_{c}(X)$$ тоже полны.

== Альтернативные способы задания расстояния ==
Наряду с расстоянием Хаусдорфа часто используют и другое расстояние между множествами, которое обозначается через dist и определяется следующим соотношением:
\begin{gather*}
\text{dist}(M, N) = \inf\left\{\rho(x, y), x \in M, y \in N\right\}.
\end{gather*}
Для данного расстояния, очевидно, имеет место
\begin{gather*}
\text{dist}(M, N) \leqslant h(M, N),
\end{gather*}
\begin{gather*}
\text{dist}(M, N) = \text{dist}(N, M) \geqslant 0.
\end{gather*}
Также можно рассмотреть еще одну величину, которая характеризует взаимное расположение множеств $$M$$ и $$N$$, лежащих в $$X$$. Это $$~-$$ отклонение множества $$M$$ от множества $$N$$, которое определяется соотношением
\begin{gather*}
h^{+}(M, N) = \inf\left\{ \varepsilon > 0: O(N, \varepsilon) \supset M\right\}.
\end{gather*}
Отклонение $$h^{+}$$ обычно называют '''полуметрикой Хаусдорфа'''. Наряду с $$h^+$$, можно ввести еще одну полуметрику $$h^-$$:
\begin{gather*}
h^{-}(M, N) = h^{+}(N, M).
\end{gather*}
Величину $$h^+$$ можно выразить через dist:
\begin{gather*}
h^{+}(M, N) = \sup\left\{ \text{dist}(x, N), x \in M\right\},
\end{gather*}
а расстояние по Хаусдорфу в свою очередь выражается через $$h^+$$ и $$h^-$$ по формуле
\begin{gather*}
h(M, N) = \max\left\{ h^{+}(M, N), h^{-}(M, N)\right\}.
\end{gather*}
Поэтому для любых множест $$M, N$$ справедливо
\begin{gather*}
\text{dist}(M, N) \leqslant h^{+}(M, N) \leqslant h(M, N).
\end{gather*}

== Список литературы ==
1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014.

Метрика Хаусдорфа

2022-12-19T11:15:16Z

Alexander22:

'''Метрика Хаусдорфа''' есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства. Она превращает это множество в метрическое пространство. Метрику Хаусдорфа иногда также называют метрикой [https://ru.wikipedia.org/wiki/Помпей,_Димитрие Помпейю]-[https://ru.wikipedia.org/wiki/Хаусдорф,_Феликс Хаусдорфа].
== Расстояние по Хаусдорфу ==
Пусть $$(X, \rho) ~- $$ метрическое пространство. Введем понятие '''расстояния по Хаусдорфу''' между двумя непустыми ограниченными множествами. Итак, пусть $$M, N \subset X ~-$$ непустые ограниченные множества. Для них положим
\begin{gather*}
h(M, N) = \inf\left\{ r > 0: O(M, r) \supseteq N, O(N, r) \supseteq M \right\},
\end{gather*}

где $$O(\cdot, r) ~-$$ открытая $$r$$-окрестность множества.

Число $$h(M, N)$$ называется расстоянием по Хаусдорфу между множествами $$M$$ и $$N$$. Кроме того, приведенная выше формула определяет расстояние по Хаусдорфу и для неограниченных множеств $$M$$ и $$N$$, однако при этом $$h(M, N)$$ уже может принимать значение $$+\infty$$.

=== Предложение ===

Для любых $$a_1, a_2 \in X$$ и $$r_1, r_2 > 0$$ справедливо неравенство
\begin{gather}\label{eq1}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) \leqslant \rho(a_1, a_2) + \max\left\{r_1, r_2\right\},
\end{gather}
где $$B(a, r) ~-$$ замкнутый шар метрического пространства в точке $$a$$ с радиусом $$r$$.

'''Доказательство'''

Пусть $$x_1 \in B(a_1, r_1)$$. Тогда имеет место неравенство $$\rho(x_1, a_2) \leqslant r_1 + \rho(a_1, a_2) $$, которое вытекает из следующей цепочки неравенств:
\begin{gather*}
\rho(x_1, a_2) \leqslant \rho(x_1, a_1) + \rho(a_1, a_2) \leqslant r_1 + \rho(a_1, a_2).
\end{gather*}
Таким же образом получаем, что $$\rho(x_2, a_1) \leqslant r_2 + \rho(a_1, a_2)$$ для всех $$x_2 \in B(a_2, r_2)$$. Далее из получившихся неравенств и определения расстояния по Хаусдорфу вытекает формула (\ref{eq1}).

'''Замечание'''

''Если дополнительно предположить, что $$X ~-$$ линейное нормированное пространство, то''
\begin{gather*}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) = \|a_2 - a_1\| + \left|r_2 - r_1 \right|.
\end{gather*}

[[Файл:New ex 2.png|thumb|мини|Иллюстрация примера 2]]

'''Пример 1'''

Данный пример показывает, что доказанное выше неравенство (\ref{eq1}) может превратиться в равенство.
Рассмотрим метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \left\{ -2, -1, 1, 2\right\} ~- $$ множество состоящее из точек на прямой с естественной метрикой расстояния между точками. Тогда при $$a_1 = -1, a_2 = 1, r_1 = r_2 = 1$$ имеет место
\begin{gather*}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) = 3 = \rho(a_1, a_2) + \max(r_1, r_2).
\end{gather*}

'''Пример 2'''

Пусть теперь возьмем на рассмотрение метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \mathbb{R}^2$$ с естественной метрикой расстояния между точками в пространстве $$\mathbb{R}^2$$. Найдем Хаусдорфово расстояние между $$B(2,1)$$ и $$B(-2,1)$$:
\begin{gather*}
h(B(-2, 1), B(2, 1)) = 4.
\end{gather*}

=== Переход к метрике ===

Несложно видеть, что для замкнутых ограниченных множеств расстояние по Хаусдорфу $$h$$ удовлетворяет всем аксиомам метрики. А именно, для любых непустых замкнутых ограниченных множеств $$M, N$$ и $$E$$ имеют место соотношения
\begin{gather*}
h(M, N) = 0 \Leftrightarrow M = N,
\end{gather*}
\begin{gather*}
h(M, N) = h(N, M) \geqslant 0,
\end{gather*}
\begin{gather*}
h(M, N) \leqslant h(M, E) + h(E, N).
\end{gather*}
Таким образом, функция $$h$$ превращает множество всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства $$X$$ в метрическое пространство, которое обозначается через $$H(X)$$. Метрику $$h$$ называют '''метрикой Хаусдорфа'''. Однако в общем случае расстояние Хаусдорфа метрикой не является, так как может равняться нулю между различными множествами. Например, это имеет место для отрезка $$M = \left[a, b\right]$$ и полуинтервала $$N = \left[a, b \right)$$, которые рассматриваются как подмножества числовой прямой. Действительно, для любого $$\varepsilon > 0$$ выполняется, что $$M \subset O(N, \varepsilon)$$ и $$N \subset O(M, \varepsilon)$$, поэтому $$h(M, N) = 0$$.

Наряду с метрическим пространством обычно рассматривается его подпространство $$H_{c}(X)$$, которое состоит из непустых компактных подмножеств $$X$$. Стоит отметить, что если множество $$X$$ ограничено, то функция $$h$$ ограничена на множестве всех подмножеств множества $$X$$.

== Свойства ==
Пусть $$(X, \rho) ~- $$ метрическое пространство, а $$M, N ~-$$ непустые подмножества пространства $$X$$.

1. Для любых $$x \in M$$ и $$\varepsilon > 0$$ существует $$y \in N$$ такое, что $$\rho(x, y) \leqslant h(M, N) + \varepsilon$$.

2. $$h(M, N) = 0$$ тогда и только тогда, когда $$\overline{M} = \overline{N}$$.

3. Пусть $$X = \mathbb{R}^n$$, а $$M, N ~-$$ выпуклые компакты. Тогда
\begin{gather*}
h(M, N) = \max_{\|l \| \leqslant 1}\left|s(l| M) - s(l| N) \right|,
\end{gather*}
где $$s(l| \cdot) ~-$$ опорная функция.

4. Если пространство $$X$$ ограничено, то метрическое пространство $$H(X)$$ сепарабельно.

5. Если пространство $$X$$ полно, то метрические пространства $$H(X)$$ и $$H_{c}(X)$$ тоже полны.

== Альтернативные способы задания расстояния ==
Наряду с расстоянием Хаусдорфа часто используют и другое расстояние между множествами, которое обозначается через dist и определяется следующим соотношением:
\begin{gather*}
\text{dist}(M, N) = \inf\left\{\rho(x, y), x \in M, y \in N\right\}.
\end{gather*}
Для данного расстояния, очевидно, имеет место
\begin{gather*}
\text{dist}(M, N) \leqslant h(M, N),
\end{gather*}
\begin{gather*}
\text{dist}(M, N) = \text{dist}(N, M) \geqslant 0.
\end{gather*}
Также можно рассмотреть еще одну величину, которая характеризует взаимное расположение множеств $$M$$ и $$N$$, лежащих в $$X$$. Это $$~-$$ отклонение множества $$M$$ от множества $$N$$, которое определяется соотношением
\begin{gather*}
h^{+}(M, N) = \inf\left\{ \varepsilon > 0: O(N, \varepsilon) \supset M\right\}.
\end{gather*}
Отклонение $$h^{+}$$ обычно называют '''полуметрикой Хаусдорфа'''. Наряду с $$h^+$$, можно ввести еще одну полуметрику $$h^-$$:
\begin{gather*}
h^{-}(M, N) = h^{+}(N, M).
\end{gather*}
Величину $$h^+$$ можно выразить через dist:
\begin{gather*}
h^{+}(M, N) = \sup\left\{ \text{dist}(x, N), x \in M\right\},
\end{gather*}
а расстояние по Хаусдорфу в свою очередь выражается через $$h^+$$ и $$h^-$$ по формуле
\begin{gather*}
h(M, N) = \max\left\{ h^{+}(M, N), h^{-}(M, N)\right\}.
\end{gather*}
Поэтому для любых множест $$M, N$$ справедливо
\begin{gather*}
\text{dist}(M, N) \leqslant h^{+}(M, N) \leqslant h(M, N).
\end{gather*}

== Список литературы ==
1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014.

Метрика Хаусдорфа

2022-12-19T10:26:23Z

Alexander22: Исправлены опечатки, добавлена формула для расчета метрики Хаусдорфа для двух выпуклых компактов через их опорные функции, упоминание полуметрик, ссылки на биографии

'''Метрика Хаусдорфа''' есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства. Она превращает это множество в метрическое пространство. Метрику Хаусдорфа иногда также называют '''метрикой Помпейю-Хаусдорфа'''.
== Расстояние по Хаусдорфу ==
Пусть $$(X, \rho) ~- $$ метрическое пространство. Введем понятие '''расстояния по Хаусдорфу''' между двумя непустыми ограниченными множествами. Итак, пусть $$M, N \subset X ~-$$ непустые ограниченные множества. Для них положим
\begin{gather*}
h(M, N) = \inf\left\{ r > 0: O(M, r) \supseteq N, O(N, r) \supseteq M \right\},
\end{gather*}

где $$O(\cdot, r) ~-$$ открытая $$r$$-окрестность множества.

Число $$h(M, N)$$ называется расстоянием по Хаусдорфу между множествами $$M$$ и $$N$$. Кроме того, приведенная выше формула определяет расстояние по Хаусдорфу и для неограниченных множеств $$M$$ и $$N$$, однако при этом $$h(M, N)$$ уже может принимать значение $$+\infty$$.

=== Предложение ===

Для любых $$a_1, a_2 \in X$$ и $$r_1, r_2 > 0$$ справедливо неравенство
\begin{gather}\label{eq1}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) \leqslant \rho(a_1, a_2) + \max\left\{r_1, r_2\right\},
\end{gather}
где $$B(a, r) ~-$$ замкнутый шар метрического пространства в точке $$a$$ с радиусом $$r$$.

'''Доказательство'''

Пусть $$x_1 \in B(a_1, r_1)$$. Тогда имеет место неравенство $$\rho(x_1, a_2) \leqslant r_1 + \rho(a_1, a_2) $$, которое вытекает из следующей цепочки неравенств:
\begin{gather*}
\rho(x_1, a_2) \leqslant \rho(x_1, a_1) + \rho(a_1, a_2) \leqslant r_1 + \rho(a_1, a_2).
\end{gather*}
Таким же образом получаем, что $$\rho(x_2, a_1) \leqslant r_2 + \rho(a_1, a_2)$$ для всех $$x_2 \in B(a_2, r_2)$$. Далее из получившихся неравенств и определения расстояния по Хаусдорфу вытекает формула (\ref{eq1}).

'''Замечание'''

''Если дополнительно предположить, что $$X ~-$$ линейное нормированное пространство, то''
\begin{gather*}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) = \|a_2 - a_1\| + \left|r_2 - r_1 \right|.
\end{gather*}

[[Файл:New ex 2.png|thumb|мини|Иллюстрация примера 2]]

'''Пример 1'''

Данный пример показывает, что доказанное выше неравенство (\ref{eq1}) может превратиться в равенство.
Рассмотрим метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \left\{ -2, -1, 1, 2\right\} ~- $$ множество состоящее из точек на прямой с естественной метрикой расстояния между точками. Тогда при $$a_1 = -1, a_2 = 1, r_1 = r_2 = 1$$ имеет место
\begin{gather*}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) = 3 = \rho(a_1, a_2) + \max(r_1, r_2).
\end{gather*}

'''Пример 2'''

Пусть теперь возьмем на рассмотрение метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \mathbb{R}^2$$ с естественной метрикой расстояния между точками в пространстве $$\mathbb{R}^2$$. Найдем Хаусдорфово расстояние между $$B(2,1)$$ и $$B(-2,1)$$:
\begin{gather*}
h(B(-2, 1), B(2, 1)) = 4.
\end{gather*}

=== Переход к метрике ===

Несложно видеть, что для замкнутых ограниченных множеств расстояние по Хаусдорфу $$h$$ удовлетворяет всем аксиомам метрики. А именно, для любых непустых замкнутых ограниченных множеств $$M, N$$ и $$E$$ имеют место соотношения
\begin{gather*}
h(M, N) = 0 \Leftrightarrow M = N,
\end{gather*}
\begin{gather*}
h(M, N) = h(N, M) \geqslant 0,
\end{gather*}
\begin{gather*}
h(M, N) \leqslant h(M, E) + h(E, N).
\end{gather*}
Таким образом, функция $$h$$ превращает множество всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства $$X$$ в метрическое пространство, которое обозначается через $$H(X)$$. Метрику $$h$$ называют '''метрикой Хаусдорфа'''. Однако в общем случае расстояние Хаусдорфа метрикой не является, так как может равняться нулю между различными множествами. Например, это имеет место для отрезка $$M = \left[a, b\right]$$ и полуинтервала $$N = \left[a, b \right)$$, которые рассматриваются как подмножества числовой прямой. Действительно, для любого $$\varepsilon > 0$$ выполняется, что $$M \subset O(N, \varepsilon)$$ и $$N \subset O(M, \varepsilon)$$, поэтому $$h(M, N) = 0$$.

Наряду с метрическим пространством обычно рассматривается его подпространство $$H_{c}(X)$$, которое состоит из непустых компактных подмножеств $$X$$. Стоит отметить, что если множество $$X$$ ограничено, то функция $$h$$ ограничена на множестве всех подмножеств множества $$X$$.

== Свойства ==
Пусть $$(X, \rho) ~- $$ метрическое пространство, а $$M, N ~-$$ непустые подмножества пространства $$X$$.

1. Для любых $$x \in M$$ и $$\varepsilon > 0$$ существует $$y \in N$$ такое, что $$\rho(x, y) \leqslant h(M, N) + \varepsilon$$.

2. $$h(M, N) = 0$$ тогда и только тогда, когда $$\overline{M} = \overline{N}$$.

3. Пусть $$X = \mathbb{R}^n$$, а $$M, N ~-$$ выпуклые компакты. Тогда
\begin{gather*}
h(M, N) = \max_{\|l \| \leqslant 1}\left|s(l| M) - s(l| N) \right|,
\end{gather*}
где $$s(l| \cdot) ~-$$ опорная функция.

4. Если пространство $$X$$ ограничено, то метрическое пространство $$H(X)$$ сепарабельно.

5. Если пространство $$X$$ полно, то метрические пространства $$H(X)$$ и $$H_{c}(X)$$ тоже полны.

== Альтернативные способы задания расстояния ==
Наряду с расстоянием Хаусдорфа часто используют и другое расстояние между множествами, которое обозначается через dist и определяется следующим соотношением:
\begin{gather*}
\text{dist}(M, N) = \inf\left\{\rho(x, y), x \in M, y \in N\right\}.
\end{gather*}
Для данного расстояния, очевидно, имеет место
\begin{gather*}
\text{dist}(M, N) \leqslant h(M, N),
\end{gather*}
\begin{gather*}
\text{dist}(M, N) = \text{dist}(N, M) \geqslant 0.
\end{gather*}
Также можно рассмотреть еще одну величину, которая характеризует взаимное расположение множеств $$M$$ и $$N$$, лежащих в $$X$$. Это $$~-$$ отклонение множества $$M$$ от множества $$N$$, которое определяется соотношением
\begin{gather*}
h^{+}(M, N) = \inf\left\{ \varepsilon > 0: O(N, \varepsilon) \supset M\right\}.
\end{gather*}
Отклонение $$h^{+}$$ обычно называют '''полуметрикой Хаусдорфа'''. Наряду с $$h^+$$, можно ввести еще одну полуметрику $$h^-$$:
\begin{gather*}
h^{-}(M, N) = h^{+}(N, M).
\end{gather*}
Величину $$h^+$$ можно выразить через dist:
\begin{gather*}
h^{+}(M, N) = \sup\left\{ \text{dist}(x, N), x \in M\right\},
\end{gather*}
а расстояние по Хаусдорфу в свою очередь выражается через $$h^+$$ и $$h^-$$ по формуле
\begin{gather*}
h(M, N) = \max\left\{ h^{+}(M, N), h^{-}(M, N)\right\}.
\end{gather*}
Поэтому для любых множест $$M, N$$ справедливо
\begin{gather*}
\text{dist}(M, N) \leqslant h^{+}(M, N) \leqslant h(M, N).
\end{gather*}

== Список литературы ==
1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014.

2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Хаусдорф,_Феликс.

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Помпей,_Димитрие.

Метрика Хаусдорфа

2022-12-18T13:47:06Z

Alexander22: Исправлены опечатки, добавлен раздел "Свойства" и "Альтернативные способы задания расстояния". Изменена иллюстрация к примеру 2. Добавлено пояснение того, что расстояние по Хаусдорфу не всегда является метрикой. Добавлен случай, когда M, N - неограниченны множества. Из определения убраны неточности.

'''Метрика Хаусдорфа''' есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства. Она превращает это множество в метрическое пространство.
== Расстояние по Хаусдорфу ==
Пусть $$(X, \rho) ~- $$ метрическое пространство. Введем понятие '''расстояния по Хаусдорфу''' между двумя непустыми ограниченными множествами. Итак, пусть $$M, N \in X ~-$$ непустые ограниченные множества. Для них положим
\begin{gather*}
h(M, N) = \inf\left\{ r > 0: O(M, r) \supseteq N, O(N, r) \supseteq M \right\},
\end{gather*}

где $$O(\cdot, r) ~-$$ открытая $$r$$-окрестность множества.

Число $$h(M, N)$$ называется расстоянием по Хаусдорфу между множествами $$M$$ и $$N$$. Кроме того, приведенная выше формула определяет расстояние по Хаусдорфу и для неограниченных множествами $$M$$ и $$N$$, однако при этом $$h(M, N)$$ уже может принимать $$+\infty$$.

=== Предложение ===

Для любых $$a_1, a_2 \in X$$ и $$r_1, r_2 > 0$$ справедливо неравенство
\begin{gather}\label{eq1}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) \leqslant \rho(a_1, a_2) + \max\left\{r_1, r_2\right\},
\end{gather}
где $$B(a, r) ~-$$ замкнутый шар метрического пространства в точке $$a$$ с радиусом $$r$$.

'''Доказательство'''

Пусть $$x_1 \in B(a_1, r_1)$$. Тогда имеет место неравенство $$\rho(x_1, a_2) \leqslant r_1 + \rho(a_1, a_2) $$, которое вытекает из следующей цепочки неравенств:
\begin{gather*}
\rho(x_1, a_2) \leqslant \rho(x_1, a_1) + \rho(a_1, a_2) \leqslant r_1 + \rho(a_1, a_2).
\end{gather*}
Таким же образом получаем, что $$\rho(x_2, a_1) \leqslant r_2 + \rho(a_1, a_2)$$ для всех $$x_2 \in B(a_2, r_2)$$. Далее из получившихся неравенства и определения расстояния по Хаусдорфу вытекает формула (\ref{eq1}).

'''Замечание'''

''Если дополнительно предположить, что $$X ~-$$ линейное нормированное пространство, то''
\begin{gather*}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) = \|a_2 - a_1\| + \left|r_2 - r_1 \right|.
\end{gather*}

[[Файл:New ex 2.png|thumb|мини|Иллюстрация примера 2]]

'''Пример 1'''

Данный пример показывает, что доказанное выше неравенство (\ref{eq1}) может превратиться в равенство.
Рассмотрим метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \left\{ -2, -1, 1, 2\right\} ~- $$ множество состоящее из точек на прямой с естественной метрикой расстояния между точками. Тогда при $$a_1 = -1, a_2 = 1, r_1 = r_2 = 1$$ имеет место
\begin{gather*}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) = 3 = \rho(a_1, a_2) + \max(r_1, r_2).
\end{gather*}

'''Пример 2'''

Пусть теперь возьмем на рассмотрение метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \mathbb{R}^2$$ с естественной метрикой расстояния между точками в пространстве $$\mathbb{R}^2$$. Найдем Хаусдорфово расстояние между $$B(2,1)$$ и $$B(-2,1)$$:
\begin{gather*}
h(B(-2, 1), B(2, 1)) = 4.
\end{gather*}

=== Переход к метрике ===

Несложно видеть, что для замкнутых ограниченных множеств расстояние по Хаусдорфу $$h$$ удовлетворяет всем аксиомам метрики. А именно, для любых негустых замкнутых ограниченных множеств $$M, N$$ и $$E$$ имеют место соотношения
\begin{gather*}
h(M, N) = 0 \Leftrightarrow M = N,
\end{gather*}
\begin{gather*}
h(M, N) = h(N, M) \geqslant 0,
\end{gather*}
\begin{gather*}
h(M, N) \leqslant h(M, E) + h(E, N).
\end{gather*}
Таким образом, функция $$h$$ превращает множество всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства $$X$$ в метрическое пространство, которое обозначается через $$H(X)$$. Метрику $$h$$ называют '''метрикой Хаусдорфа'''. Однако в общем случае расстояние Хаусдорфа метрикой не является, так как может равняться нулю между различными множествами. Например, это имеет место для отрезка $$M = \left[a, b\right]$$ и полуинтервала $$N = \left[a, b \right)$$, которые рассматриваются как подмножества числовой прямой. Действительно, для любого $$\varepsilon > 0$$ выполняется, что $$M \subset O(N, \varepsilon)$$ и $$N \subset O(M, \varepsilon)$$, поэтому $$h(M, N) = 0$$.

Наряду с метрическим пространством обычно рассматривается его подпространство $$H_{c}(X)$$, которое состоит из непустых компактных подмножеств $$X$$. Стоит отметить, что если множество $$X$$ ограничено, то функция $$h$$ ограничена на множестве всех подмножеств множества $$X$$.

== Свойства ==
Пусть $$(X, \rho) ~- $$ метрическое пространство, а $$M, N ~-$$ непустые подмножества пространства $$X$$.

1. Для любых $$x \in M$$ и $$\varepsilon > 0$$ существует $$y \in N$$ такое, что $$\rho(x, y) \leqslant h(M, N) + \varepsilon$$.

2. $$h(M, N) = 0$$ тогда и только тогда, когда $$\overline{M} = \overline{N}$$.

3. Если пространство $$X$$ ограничено, то метрическое пространство $$H(X)$$ сепарабельно.

4. Если пространство $$X$$ полно, то метрические пространства $$H(X)$$ и $$H_{c}(X)$$ тоже полны.

== Альтернативные способы задания расстояния ==
Наряду с расстоянием Хаусдорфа часто используют и другое расстояние между множествами, которое обозначается через $$dist$$ и определяется следующим соотношением:
\begin{gather*}
dist(M, N) = \inf\left\{\rho(x, y), x \in M, y \in N\right\}.
\end{gather*}
Для данного расстояния, очевидно, имеет место
\begin{gather*}
dist(M, N) \leqslant h(M, N),
\end{gather*}
\begin{gather*}
dist(M, N) = dist(N, M) \geqslant 0.
\end{gather*}
Также можно рассмотреть еще одну величину, которая характеризует взаимное расположение множеств $$M$$ и $$N$$, лежащих в $$X$$. Это $$~-$$ отклонение множества $$M$$ от множества $$N$$, которое определяется соотношением
\begin{gather*}
h^{+}(M, N) = \inf\left\{ \varepsilon > 0: O(N, \varepsilon) \subseteq M\right\}.
\end{gather*}
Отклонение $$h^{+}$$ можно выразить через $$dist$$:
\begin{gather*}
h^{+}(M, N) = \sup\left\{ dist(x, N), x \in M\right\},
\end{gather*}
а расстояние по Хаусдорфу в свою очередь выражается через отклонение по формуле
\begin{gather*}
h(M, N) = \max\left\{ h^{+}(M, N), h^{+}(N, M)\right\}.
\end{gather*}
Поэтому для любых множест $$M, N$$ справедливо
\begin{gather*}
dist(M, N) \leqslant h^{+}(M, N) \leqslant h(M, N).
\end{gather*}

== Список литературы ==
1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014.

Файл:New ex 2.png

2022-12-18T10:32:11Z

Alexander22:

Иллюстрация к примеру 2

Метрика Хаусдорфа

2022-12-16T23:28:17Z

Alexander22: Добавлены определение, доказательство неравенства и примеры, а также введено понятие метрики

'''Метрика Хаусдорфа''' есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых замкнутых подмножеств метрического пространства. Таким образом, метрика Хаусдорфа превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.
== Расстояние по Хаусдорфу ==
Пусть $$(X, \rho) ~- $$ метрическое пространство. Введем понятие '''расстояния по Хаусдорфу''' между двумя непустыми ограниченными множествами. Итак, пусть $$M, N \in X ~-$$ непустые ограниченные множества. Для них положим
\begin{gather*}
h(M, N) = \inf\left\{ r > 0: O(M, r) \supseteq N, O(N, r) \supseteq M \right\}.
\end{gather*}

Стоит отметить, что из ограниченности множеств M, N вытекает существование соответствующих $$r > 0 $$. Число $$h(M, N) $$ называется расстоянием по Хаусдорфу между ограниченными множествами M и N.

=== Предложение ===

Для любых $$a_1, a_2 \in X$$ и $$r_1, r_2 > 0$$ справедливо неравенство
\begin{gather*}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) \leq \rho(a_1, a_2) + \max\left\{r_1, r_2\right\}
\end{gather*}

'''Доказательство'''

Пусть x_1 \in B(a_1, r_1). Тогда имеет место неравенство $$\rho(x_1, a_2) \leq r_1 + \rho(a_1, a_2) $$, которое вытекает из следующей цепочки неравенств:
\begin{gather}\label{eq1}
\rho(x_1, a_2) \leq \rho(x_1, a_1) + \rho(a_1, a_2) \leq r_1 + \rho(a_1, a_2).
\end{gather}
Таким же образом получаем, что $$\rho(x_2, a_1) \leq r_2 + \rho(a_1, a_2)$$. Далее из получившихся неравенства и определения расстоянии по Хаусдорфу вытекает формула (\ref{eq1}).

'''Замечание'''

''Если дополнительно предположить, что $$X ~-$$ линейное нормированное пространство, то''
\begin{gather*}
h(B(a_1, r_1), B(a_2, r_2)) \leq \|a_2 - a_1\| + \left|r_2 - r_1 \right|.
\end{gather*}

[[Файл:Ex 2.png|thumb|мини|Иллюстрация примера 2]]

'''Пример 1'''

Данный пример показывает, что доказанное выше неравенство может превратиться в равенство.
Рассмотрим метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \left\{ -2, -1 1, 2\right\} ~- $$ множество состоящее из точек на прямой с естественной метрикой расстояния между точками. Тогда при $$a_1 = -1, a_2 = 1, r_1 = r_2 = 1$$ имеет место
\begin{gather*}
h(B(-1, 1), B(1, 1)) = \rho(-1, 1) + max(1, 1) = 3.
\end{gather*}

'''Пример 2'''

Пусть теперь возьмем на рассмотрение метрическое пространство $$(X, \rho)$$, в котором $$X = \mathbb{R}^2$$ с естественной метрикой расстояния между точками в пространстве $$\mathbb{R}^2$$. Найдем Хаусдорфово расстояние между $$B(2,1)$$ и $$B(-2,1)$$:
\begin{gather*}
h(B(-2, 1), B(2, 1)) = 4.
\end{gather*}

=== Переход к метрике ===

Несложно видеть, что для замкнутых ограниченных множеств расстояние по Хаусдорфу $$h$$ удовлетворяет всем аксиомам метрики. А именно, для любых негустых замкнутых ограниченных множеств $$M, N$$ и $$E$$ имеют место соотношения
\begin{gather*}
h(M, N) = 0 \Leftrightarrow M = N,
\end{gather*}
\begin{gather*}
h(M, N) = h(M, N) \geq 0,
\end{gather*}
\begin{gather*}
h(M, N) \leq h(M, E) + h(E, N).
\end{gather*}
Таким образом, функция $$h$$ превращает множество всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств пространства $$X$$ в метрическое пространство, которое обозначается через $$H(X)$$. Метрику $$h$$ называют '''метрикой Хаусдорфа'''. Однако в общем случае расстояние Хаусдорфа метрикой не является.

Наряду с метрическим пространством обычно рассматривается его подпространство $$H_{c}(X)$$, которое состоит из непустых компактных подмножеств $$X$$. Стоит отметить, что если множество $$X$$ ограничено, то функция $$h$$ ограничена на множестве всех подмножеств множества $$X$$.

== Список литературы ==
1. Арутюнов А. В. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014.

Файл:Ex 2.png

2022-12-16T22:56:04Z

Alexander22:

Иллюстрация примера 2

Файл:Иллюстрация к примеру.png

2022-12-16T11:07:10Z

Alexander22:

Иллюстрация к примеру