sawiki - Вклад участника [ru]

Динамическая система

2023-12-11T12:40:02Z

Alexander23:

'''Динамическая система''' — это абстрактная математическая модель, которая состоит из множества элементов, связанных между собой функциональной зависимостью между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Такая модель позволяет изучать и описывать эволюцию системы во времени.

Определение динамической системы является математической формализацией общей научной концепции [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C детерминированного процесса]. Процесс называется детерминированным, если все его будущее и прошлое
однозначно определяется состоянием в настоящее время.

==Введение==

$$\quad$$ ''Динамическая система'' может быть представлена как система, которая имеет ''состояния''. Подход, основанный на состоянии, позволяет описать динамику процесса. [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%B5_%D0%B8_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D1%8B%D0%B5._%D0%A4%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 Фазовое пространство] системы представляет собой набор ''всех допустимых состояний'' динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, определяющим переход системы из начального состояния в другое.

$$\quad$$ Основная задача теории динамических систем — это исследование поведения систем. Это включает разбиение фазового пространства на траектории и изучение предельного поведения этих траекторий, таких как поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих ([https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%82%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80 аттракторы]) и отталкивающих (''репеллеры'') множеств. Важнейшими понятиями теории динамических систем являются ''устойчивость состояний равновесия'' (способность системы при малых изменениях начальных условий оставаться около [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B положения равновесия] или на заданном множестве) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях самой математической модели). Основные методы изучения динамических систем включают численное и аналитическое решение дифференциальных уравнений, а также геометрические методы анализа фазовых портретов.

==Эволюционный оператор==

'''Эволюция динамической системы''' означает изменение состояния системы со временем $$t ∈ T$$, где $$T$$ — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE упорядоченное множество].

$$\quad$$В математической биологии применяются два типа динамических систем: ''непрерывные'' с временем $$T = \mathbb{R}$$ и ''дискретные'' с целочисленным временем $$T = Z$$.

$$\quad$$Основным компонентом любой динамической системы является ''закон эволюции'',
который определяет состояние системы $$x_t$$ в момент времени $$t$$, при условии, что
начальное состояние $$x_0$$ известно.

$$\quad$$Самый общий способ описать закон эволюции — ''задать отображение'': \[ϕ^t: X → X,\] которое переводит начальное состояние в состояние системы в момент $$t$$: $$x_t = ϕ^t x_0$$.

$$\quad$$Отображение $$ϕ^t$$ часто называют ''эволюционным оператором'' динамической системы.
Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы:
\begin{equation}
\label{eq:0}
ϕ^0 x = x,\ \forall x \in X,\\
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:1}
ϕ^{t+s} = ϕ^t◦ϕ^s\ \text{или}\ ϕ^{t+s}x = ϕ^t(ϕ^sx),\ \forall x \in X.
\end{equation}
$$\quad$$Другими словами, свойство \eqref{eq:0} означает, что динамическая система не изменяет своего состояния «спонтанно», а свойство \eqref{eq:1},что результат эволюции системы в течение $$t + s$$ единиц времени тот же самый, как если
бы сначала зафиксировать изменение системы за $$s$$ единиц времени и затем получить
состояние измененной системы еще через $$t$$ единиц времени.

== Определение динамической системы ==
$$\quad$$'''Динамической системой''' называется пара $${X,\ ϕ^t}$$, где $$X$$ — пространство состояний, $$ϕ^t$$ — однопараметрическое семейство эволюционных операторов, удовлетворяющее свойствам \eqref{eq:0} и \eqref{eq:1}.

$$\quad$$Самый простой способ задать динамическую систему — указать эволюционный оператор в явном виде. Например, можно положить $$ϕ^1 = f(N) = 2N$$. То есть, за
каждую единицу времени численность [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F популяции] увеличивается в 2 раза.

$$\quad$$Другой общий способ задания динамической системы — описать закон эволюции с помощью дифференциальных уравнений.

$$\quad$$Предположим, что пространство состояний динамической системы есть подмножество $$X = U ⊆ \mathbb{R}^n$$
с координатами $$u = (u_1, u_2, . . . , u_n)$$. Закон эволюции задается
неявно, в терминах скоростей изменения координат:
\[\dot{u} = f(u),\ u ∈ U ⊆ \mathbb{R}^n,\ f : U → \mathbb{R}^n,\]
или, в покоординатной форме записи:

\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = f_1(u_1, u_2, . . . , u_n),\\
\dot{u}_2 = f_2(u_1, u_2, . . . , u_n),\\
...\\
\dot{u}_n = f_n(u_1, u_2, . . . , u_n).
\end{cases}
\end{equation*}
==Примеры==
'''Пример 1'''.

$$\quad$$ Рассмотрим изолированную популяцию, находящуюся в неизменных условиях, не подвергающуюся
внешнему воздействию, каждая особь которой имеет одинаковый доступ к ресурсам, а так же, одинаковую вероятность встретить (и
таким образом конкурировать) другую особь популяции.

$$\quad$$ Так как численность не может быть отрицательной, то пространство состояний
в данном примере $$X = \mathbb{R}^+$$, где $$\mathbb{R}^+ = \{N ∈ \mathbb{R}: N > 0\}$$. Здесь следует отметить,
что если рассматривать численность как функцию времени, то очевидно, что эта
функция целочисленна, т.е. $$N(t) ∈ {N ∈ Z: N > 0}$$. Величина $$\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t}$$
описывает среднюю скорость роста в интервале времени $$(t, t+∆t]$$. Если численность
популяции велика, то скачки, вызванные рождением и смертью отдельных индивидуумов, выглядят пренебрежимо малыми на графике функции $$N(t)$$. Поэтому можно рассмотреть следующую производную: \[\dfrac{dN(t)}{dt} = \lim\limits_{∆t→0}\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t} ≡ \dot{N}.\]

'''Пример 2: модель Мальтуса'''. [[Файл:Мальтус4.png|мини|Пример 2. Рост популяции и линейное распределение ресурсов]]

$$\quad$$''Модель Мальтуса'' — это экспоненциальный рост с постоянным темпом. Модель названа в честь английского демографа и экономиста [https://www.bing.com/ck/a?!&&p=fe40d8720325643eJmltdHM9MTcwMTgyMDgwMCZpZ3VpZD0xMWUxY2NjOS0xNjEyLTZjNWUtMzM5NC1jMzI1MTczYTZkNmImaW5zaWQ9NTE2Mw&ptn=3&ver=2&hsh=3&fclid=11e1ccc9-1612-6c5e-3394-c325173a6d6b&psq=%d0%a2%d0%be%d0%bc%d0%b0%d1%81%d0%b0+%d0%9c%d0%b0%d0%bb%d1%8c%d1%82%d1%83%d1%81%d0%b0.&u=a1aHR0cHM6Ly9ydS53aWtpcGVkaWEub3JnL3dpa2kvJUQwJTlDJUQwJUIwJUQwJUJCJUQxJThDJUQxJTgyJUQxJTgzJUQxJTgxLF8lRDAlQTIlRDAlQkUlRDAlQkMlRDAlQjAlRDElODFfJUQwJUEwJUQwJUJFJUQwJUIxJUQwJUI1JUQxJTgwJUQxJTgy&ntb=1 Томаса Мальтуса].

$$\quad$$Мальтузианские модели выглядят следующим образом:
$$ N(t) = N_0e^{rt}$$,
где

* $$N_0 = N(0)$$ — исходная численность населения,
* $$r>0$$ — темп прироста населения («мальтузианский параметр»),
* $$t$$ — время.

$$\quad$$В дискретном времени эту же модель можно записать в виде:
$$N_{t+1} = mN_t$$, где $$m>0$$ — константа пропорциональности. Можно заметить, что если непрерывная и дискретная модель описывают одну и ту же популяцию, то $$r = \ln(m)$$.

$$\quad$$Заметим, что при линейном распределении ресурсов ($$N(t) = at$$, где $$N$$ — число особей, которым хватает ресурсов, а $$a$$ — темп прироста ресурсов), в модели Мальтуса существует точка кризиса ресурсов $$t_k$$, когда их перестает хватать на популяцию, поэтому существует множество усовершенствованных моделей учитывающих этот фактор. Например, можно сделать коэффициенты $$r, m$$ зависимыми от времени или использовать модель с [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8_%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0 логистическим уравнением].

'''Пример 3: Задача о росте числа кроликов'''[[Файл:Поколения2.png|мини|Пример 3. Поколения кроликов]]

$$\quad$$Одной из старейших и известнейших задач популяционной динамики является задача о росте числа кроликов. В этой задаче предполагается, что каждая пара кроликов через месяц после своего рождения производит другую пару кроликов, и рождение кроликов начинается со второго месяца. Эта задача была опубликована в 1202 году в "Трактате о счете" итальянского математика
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8 Леонардо Пизанского], более известного как Фибоначчи. Решением этой задачи является знаменитая последовательность [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8 чисел Фибоначчи]. Математическая формулировка этой задачи выглядит следующим образом:

\[ N_{t+1} = N_t + N_{t-1}, \]

где $$N_t$$ — число пар кроликов в t-ый месяц, $$N_0 = 0,\ N_1 = 1$$.

$$\quad$$Т. е. динамическая система может выглядеть следующим образом:
\begin{equation*}
\begin{cases}
M_{t+1} = N_t,\\
N_{t+1} = N_t+M_t.
\end{cases}
\end{equation*}

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Динамическая система

'''Динамическая система''' — это абстрактная математическая модель, которая состоит из множества элементов, связанных между собой функциональной зависимостью между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Такая модель позволяет изучать и описывать эволюцию системы во времени.

Определение динамической системы является математической формализацией общей научной концепции [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C детерминированного процесса]. Процесс называется детерминированным, если все его будущее и прошлое
однозначно определяется состоянием в настоящее время.

==Введение==

$$\quad$$ ''Динамическая система'' может быть представлена как система, которая имеет ''состояния''. Подход, основанный на состоянии, позволяет описать динамику процесса. [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE Фазовое пространство] системы представляет собой набор ''всех допустимых состояний'' динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, определяющим переход системы из начального состояния в другое.

$$\quad$$ Основная задача теории динамических систем — это исследование поведения систем. Это включает разбиение фазового пространства на траектории и изучение предельного поведения этих траекторий, таких как поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих ([https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%82%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80 аттракторы]) и отталкивающих (''репеллеры'') множеств. Важнейшими понятиями теории динамических систем являются ''устойчивость состояний равновесия'' (способность системы при малых изменениях начальных условий оставаться около [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B) положения равновесия] или на заданном множестве) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях самой математической модели). Основные методы изучения динамических систем включают численное и аналитическое решение дифференциальных уравнений, а также геометрические методы анализа фазовых портретов.

==Эволюционный оператор==

'''Эволюция динамической системы''' означает изменение состояния системы со временем $$t ∈ T$$, где $$T$$ — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE упорядоченное множество].

$$\quad$$В математической биологии применяются два типа динамических систем: ''непрерывные'' с временем $$T = \mathbb{R}$$ и ''дискретные'' с целочисленным временем $$T = Z$$.

$$\quad$$Основным компонентом любой динамической системы является ''закон эволюции'',
который определяет состояние системы $$x_t$$ в момент времени $$t$$, при условии, что
начальное состояние $$x_0$$ известно.

$$\quad$$Самый общий способ описать закон эволюции — ''задать отображение'': \[ϕ^t: X → X,\] которое переводит начальное состояние в состояние системы в момент $$t$$: $$x_t = ϕ^t x_0$$.

$$\quad$$Отображение $$ϕ^t$$ часто называют ''эволюционным оператором'' динамической системы.
Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы:
\begin{equation}
\label{eq:0}
ϕ^0 x = x,\ \forall x \in X,\\
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:1}
ϕ^{t+s} = ϕ^t◦ϕ^s\ \text{или}\ ϕ^{t+s}x = ϕ^t(ϕ^sx),\ \forall x \in X.
\end{equation}
$$\quad$$Другими словами, свойство \eqref{eq:0} означает, что динамическая система не изменяет своего состояния «спонтанно», а свойство \eqref{eq:1},что результат эволюции системы в течение $$t + s$$ единиц времени тот же самый, как если
бы сначала зафиксировать изменение системы за $$s$$ единиц времени и затем получить
состояние измененной системы еще через $$t$$ единиц времени.

== Определение динамической системы ==
$$\quad$$'''Динамической системой''' называется пара $${X,\ ϕ^t}$$, где $$X$$ — пространство состояний, $$ϕ^t$$ — однопараметрическое семейство эволюционных операторов, удовлетворяющее свойствам \eqref{eq:0} и \eqref{eq:1}.

$$\quad$$Самый простой способ задать динамическую систему — указать эволюционный оператор в явном виде. Например, можно положить $$ϕ^1 = f(N) = 2N$$. То есть, за
каждую единицу времени численность [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F популяции] увеличивается в 2 раза.

$$\quad$$Другой общий способ задания динамической системы — описать закон эволюции с помощью дифференциальных уравнений.

$$\quad$$Предположим, что пространство состояний динамической системы есть подмножество $$X = U ⊆ \mathbb{R}^n$$
с координатами $$u = (u_1, u_2, . . . , u_n)$$. Закон эволюции задается
неявно, в терминах скоростей изменения координат:
\[\dot{u} = f(u),\ u ∈ U ⊆ \mathbb{R}^n,\ f : U → \mathbb{R}^n,\]
или, в покоординатной форме записи:

\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = f_1(u_1, u_2, . . . , u_n),\\
\dot{u}_2 = f_2(u_1, u_2, . . . , u_n),\\
...\\
\dot{u}_n = f_n(u_1, u_2, . . . , u_n).
\end{cases}
\end{equation*}
==Примеры==
'''Пример 1'''.

$$\quad$$ Рассмотрим изолированную популяцию, находящуюся в неизменных условиях, не подвергающуюся
внешнему воздействию, каждая особь которой имеет одинаковый доступ к ресурсам, а так же, одинаковую вероятность встретить (и
таким образом конкурировать) другую особь популяции.

$$\quad$$ Так как численность не может быть отрицательной, то пространство состояний
в данном примере $$X = \mathbb{R}^+$$, где $$\mathbb{R}^+ = \{N ∈ \mathbb{R}: N > 0\}$$. Здесь следует отметить,
что если рассматривать численность как функцию времени, то очевидно, что эта
функция целочисленна, т.е. $$N(t) ∈ {N ∈ Z: N > 0}$$. Величина $$\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t}$$
описывает среднюю скорость роста в интервале времени $$(t, t+∆t]$$. Если численность
популяции велика, то скачки, вызванные рождением и смертью отдельных индивидуумов, выглядят пренебрежимо малыми на графике функции $$N(t)$$. Поэтому можно рассмотреть следующую производную: \[\dfrac{dN(t)}{dt} = \lim\limits_{∆t→0}\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t} ≡ \dot{N}.\]

'''Пример 2: модель Мальтуса'''. [[Файл:Мальтус3.png|мини|Пример 2. Рост популяции и линейное распределение ресурсов]]

$$\quad$$''Модель Мальтуса'' — это экспоненциальный рост с постоянным темпом. Модель названа в честь английского демографа и экономиста [https://www.bing.com/ck/a?!&&p=fe40d8720325643eJmltdHM9MTcwMTgyMDgwMCZpZ3VpZD0xMWUxY2NjOS0xNjEyLTZjNWUtMzM5NC1jMzI1MTczYTZkNmImaW5zaWQ9NTE2Mw&ptn=3&ver=2&hsh=3&fclid=11e1ccc9-1612-6c5e-3394-c325173a6d6b&psq=%d0%a2%d0%be%d0%bc%d0%b0%d1%81%d0%b0+%d0%9c%d0%b0%d0%bb%d1%8c%d1%82%d1%83%d1%81%d0%b0.&u=a1aHR0cHM6Ly9ydS53aWtpcGVkaWEub3JnL3dpa2kvJUQwJTlDJUQwJUIwJUQwJUJCJUQxJThDJUQxJTgyJUQxJTgzJUQxJTgxLF8lRDAlQTIlRDAlQkUlRDAlQkMlRDAlQjAlRDElODFfJUQwJUEwJUQwJUJFJUQwJUIxJUQwJUI1JUQxJTgwJUQxJTgy&ntb=1 Томаса Мальтуса].

$$\quad$$Мальтузианские модели выглядят следующим образом:
$$ N(t) = N_0e^{rt}$$,
где

* ''N''0 = ''N''(0) — исходная численность населения,
* ''r'' — с темп прироста населения («мальтузианский параметр»),
* ''t'' — время.

$$\quad$$В дискретном времени эту же модель можно записать в виде:
$$N_{t+1} = mN_t$$, где $$m$$ — константа пропорциональности. Можно заметить, что если непрерывная и дискретная модель описывают одну и ту же популяцию, то $$r = \ln(m)$$.

$$\quad$$Заметим, что при линейном распределении ресурсов, в модели Мальтуса существует точка кризиса ресурсов $$t_k$$, когда их перестает хватать на популяцию, поэтому существует множество усовершенствованных моделей учитывающих этот фактор. Например, можно сделать коэффициенты $$r, m$$ зависимыми от времени или использовать модель с [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 логистическим уравнением].

'''Пример 3: Задача о росте числа кроликов'''[[Файл:Поколения.png|мини|Пример 3. Поколения кроликов]]

$$\quad$$Одной из старейших и известнейших задач популяционной динамики является задача о росте числа кроликов. В этой задаче предполагается, что каждая пара кроликов через месяц после своего рождения производит другую пару кроликов, и рождение кроликов начинается со второго месяца. Эта задача была опубликована в 1202 году в "Трактате о счете" итальянского математика
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8 Леонардо Пизанского], более известного как Фибоначчи. Решением этой задачи является знаменитая последовательность [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8 чисел Фибоначчи]. Математическая формулировка этой задачи выглядит следующим образом:

\[ N_{t+1} = N_t + N_{t-1}, \]

где $$N_t$$ — число пар кроликов в t-ый месяц, $$N_0 = 0,\ N_1 = 1$$.

$$\quad$$Т. е. динамическая система может выглядеть следующим образом:
\begin{equation*}
\begin{cases}
M_{t+1} = N_t,\\
N_{t+1} = N_t+M_t.
\end{cases}
\end{equation*}

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Динамическая система

2023-12-10T21:28:06Z

Alexander23:

'''Динамическая система''' — это абстрактная математическая модель, которая состоит из множества элементов, связанных между собой функциональной зависимостью между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Такая модель позволяет изучать и описывать эволюцию системы во времени.

Определение динамической системы является математической формализацией общей научной концепции [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C детерминированного процесса]. Процесс называется детерминированным, если все его будущее и прошлое
однозначно определяется состоянием в настоящее время.

==Введение==

$$\quad$$ ''Динамическая система'' может быть представлена как система, которая имеет ''состояния''. Подход, основанный на состоянии, позволяет описать динамику процесса. [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE Фазовое пространство] системы представляет собой набор ''всех допустимых состояний'' динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, определяющим переход системы из начального состояния в другое.

$$\quad$$ Основная задача теории динамических систем — это исследование поведения систем. Это включает разбиение фазового пространства на траектории и изучение предельного поведения этих траекторий, таких как поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих ([https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%82%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80 аттракторы]) и отталкивающих (''репеллеры'') множеств. Важнейшими понятиями теории динамических систем являются ''устойчивость состояний равновесия'' (способность системы при малых изменениях начальных условий оставаться около [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B) положения равновесия] или на заданном множестве) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях самой математической модели). Основные методы изучения динамических систем включают численное и аналитическое решение дифференциальных уравнений, а также геометрические методы анализа фазовых портретов.

==Эволюционный оператор==

'''Эволюция динамической системы''' означает изменение состояния системы со временем $$t ∈ T$$, где $$T$$ — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE упорядоченное множество].

$$\quad$$В математической биологии применяются два типа динамических систем: ''непрерывные'' с временем $$T = \mathbb{R}$$ и ''дискретные'' с целочисленным временем $$T = Z$$.

$$\quad$$Основным компонентом любой динамической системы является ''закон эволюции'',
который определяет состояние системы $$x_t$$ в момент времени $$t$$, при условии, что
начальное состояние $$x_0$$ известно.

$$\quad$$Самый общий способ описать закон эволюции — ''задать отображение'': \[ϕ^t: X → X,\] которое переводит начальное состояние в состояние системы в момент $$t$$: $$x_t = ϕ^t x_0$$.

$$\quad$$Отображение $$ϕ^t$$ часто называют ''эволюционным оператором'' динамической системы.
Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы:
\begin{equation}
\label{eq:0}
ϕ^0 x = x,\ \forall x \in X,\\
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:1}
ϕ^{t+s} = ϕ^t◦ϕ^s\ \text{или}\ ϕ^{t+s}x = ϕ^t(ϕ^sx),\ \forall x \in X.
\end{equation}
$$\quad$$Другими словами, свойство \eqref{eq:0} означает, что динамическая система не изменяет своего состояния «спонтанно», а свойство \eqref{eq:1},что результат эволюции системы в течение $$t + s$$ единиц времени тот же самый, как если
бы сначала зафиксировать изменение системы за $$s$$ единиц времени и затем получить
состояние измененной системы еще через $$t$$ единиц времени.

== Определение динамической системы ==
$$\quad$$'''Динамической системой''' называется пара $${X,\ ϕ^t}$$, где $$X$$ — пространство состояний, $$ϕ^t$$ — однопараметрическое семейство эволюционных операторов, удовлетворяющее свойствам \eqref{eq:0} и \eqref{eq:1}.

$$\quad$$Самый простой способ задать динамическую систему — указать эволюционный оператор в явном виде. Например, можно положить $$ϕ^1 = f(N) = 2N$$. То есть, за
каждую единицу времени численность [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F популяции] увеличивается в 2 раза.

$$\quad$$Другой общий способ задания динамической системы — описать закон эволюции с помощью дифференциальных уравнений.

$$\quad$$Предположим, что пространство состояний динамической системы есть подмножество $$X = U ⊆ \mathbb{R}^n$$
с координатами $$u = (u_1, u_2, . . . , u_n)$$. Закон эволюции задается
неявно, в терминах скоростей изменения координат:
\[\dot{u} = f(u),\ u ∈ U ⊆ \mathbb{R}^n,\ f : U → \mathbb{R}^n,\]
или, в покоординатной форме записи:

\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = f_1(u_1, u_2, . . . , u_n),\\
\dot{u}_2 = f_2(u_1, u_2, . . . , u_n),\\
...\\
\dot{u}_n = f_n(u_1, u_2, . . . , u_n).
\end{cases}
\end{equation*}
==Примеры==
'''Пример 1'''.

$$\quad$$ Рассмотрим изолированную популяцию, находящуюся в неизменных условиях, не подвергающуюся
внешнему воздействию, каждая особь которой имеет одинаковый доступ к ресурсам, а так же, одинаковую вероятность встретить (и
таким образом конкурировать) другую особь популяции.

$$\quad$$ Так как численность не может быть отрицательной, то пространство состояний
в данном примере $$X = \mathbb{R}^+$$, где $$\mathbb{R}^+ = \{N ∈ \mathbb{R}: N > 0\}$$. Здесь следует отметить,
что если рассматривать численность как функцию времени, то очевидно, что эта
функция целочисленна, т.е. $$N(t) ∈ {N ∈ Z: N > 0}$$. Величина $$\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t}$$
описывает среднюю скорость роста в интервале времени $$(t, t+∆t]$$. Если численность
популяции велика, то скачки, вызванные рождением и смертью отдельных индивидуумов, выглядят пренебрежимо малыми на графике функции $$N(t)$$. Поэтому мы постулируем существование производной по времени $$\dfrac{dN(t)}{dt} = \lim\limits_{∆t→0}\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t} ≡ \dot{N}$$.

'''Пример 2: модель Мальтуса'''. [[Файл:Мальтус3.png|мини|Пример 2. Рост популяции и ресурсов]]

$$\quad$$''Модель Мальтуса'' — это экспоненциальный рост с постоянным темпом. Модель названа в честь английского демографа и экономиста [https://www.bing.com/ck/a?!&&p=fe40d8720325643eJmltdHM9MTcwMTgyMDgwMCZpZ3VpZD0xMWUxY2NjOS0xNjEyLTZjNWUtMzM5NC1jMzI1MTczYTZkNmImaW5zaWQ9NTE2Mw&ptn=3&ver=2&hsh=3&fclid=11e1ccc9-1612-6c5e-3394-c325173a6d6b&psq=%d0%a2%d0%be%d0%bc%d0%b0%d1%81%d0%b0+%d0%9c%d0%b0%d0%bb%d1%8c%d1%82%d1%83%d1%81%d0%b0.&u=a1aHR0cHM6Ly9ydS53aWtpcGVkaWEub3JnL3dpa2kvJUQwJTlDJUQwJUIwJUQwJUJCJUQxJThDJUQxJTgyJUQxJTgzJUQxJTgxLF8lRDAlQTIlRDAlQkUlRDAlQkMlRDAlQjAlRDElODFfJUQwJUEwJUQwJUJFJUQwJUIxJUQwJUI1JUQxJTgwJUQxJTgy&ntb=1 Томаса Мальтуса].

$$\quad$$Мальтузианские модели выглядят следующим образом:
$$ N(t) = N_0e^{rt}$$,
где

* ''N''0 = ''N''(0) — исходная численность населения,
* ''r'' — с темп прироста населения («мальтузианский параметр»),
* ''t'' — время.

$$\quad$$В дискретном времени эту же модель можно записать в виде:
$$N_{t+1} = mN_t$$, где $$m$$ — константа пропорциональности. Можно заметить, что если непрерывная и дискретная модель описывают одну и ту же популяцию, то $$r = \ln(m)$$.

$$\quad$$Заметим, что при линейном распределении ресурсов, в модели Мальтуса существует точка кризиса ресурсов $$t_k$$, когда их перестает хватать на популяцию, поэтому существует множество усовершенствованных моделей учитывающих этот фактор. Например, можно сделать коэффициенты $$r, m$$ зависимыми от времени или использовать модель с [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 логистическим уравнением].

'''Пример 3: Задача о росте числа кроликов'''[[Файл:Поколения.png|мини|Пример 3. Поколения кроликов]]

$$\quad$$Одной из старейших и известнейших задач популяционной динамики является задача о росте числа кроликов. В этой задаче предполагается, что каждая пара кроликов через месяц после своего рождения производит другую пару кроликов, и рождение кроликов начинается со второго месяца. Эта задача была опубликована в 1202 году в "Трактате о счете" итальянского математика
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8 Леонардо Пизанского], более известного как Фибоначчи. Решением этой задачи является знаменитая последовательность [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8 чисел Фибоначчи]. Математическая формулировка этой задачи выглядит следующим образом:

\[ N_{t+1} = N_t + N_{t-1}, \]

где $$N_t$$ — число пар кроликов в t-ый месяц, $$N_0 = 0,\ N_1 = 1$$.

$$\quad$$Т. е. динамическая система может выглядеть следующим образом:
\begin{equation*}
\begin{cases}
M_{t+1} = N_t,\\
N_{t+1} = N_t+M_t.
\end{cases}
\end{equation*}

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Файл:Мальтус3.png

2023-12-10T21:27:06Z

Alexander23:

2023-12-09T16:12:46Z

Alexander23: /* Примеры */

'''Динамическая система''' - это абстрактная математическая модель, которая состоит из множества элементов, связанных между собой функциональной зависимостью между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Такая модель позволяет изучать и описывать эволюцию системы во времени, что находит широкое применение в различных областях науки и техники.

Определение динамической системы является математической формализацией общей научной концепции [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C детерминированного процесса]. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое
однозначно определяются состоянием в настоящее время.

==Введение==

$$\quad$$ ''Динамическая система'' может быть представлена как система, которая имеет ''состояние''. Подход, основанный на состоянии, позволяет описать динамику процесса, который является переходом системы из одного состояния в другое. ''Фазовое пространство'' системы представляет собой набор ''всех допустимых состояний'' динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, определяющим переход системы из начального состояния в другое.

$$\quad$$ Основная задача теории динамических систем - это исследование поведения систем, определяемых дифференциальными уравнениями. Это включает разбиение фазового пространства на траектории и изучение предельного поведения этих траекторий, таких как поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (''аттракторы'') и отталкивающих (''репеллеры'') множеств. Важнейшими понятиями теории динамических систем являются ''устойчивость состояний равновесия'' (способность системы при малых изменениях начальных условий оставаться около положения равновесия или на заданном множестве) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях самой математической модели). Основные методы изучения динамических систем включают численное и аналитическое решение дифференциальных уравнений, а также геометрические методы анализа фазовых портретов.

==Эволюционный оператор==

'''Эволюция динамической системы''' означает изменение состояния системы со временем $$t ∈ T$$, где $$T$$ — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE упорядоченное множество].

$$\quad$$В математической биологии применяются два типа динамических систем: ''непрерывные'' с временем $$T = \mathbb{R}$$ и ''дискретные'' с целочисленным временем $$T = Z$$.

$$\quad$$Основным компонентом любой динамической системы является ''закон эволюции'',
который определяет состояние системы $$x_t$$ в момент времени $$t$$, при условии, что
начальное состояние $$x_0$$ известно.

$$\quad$$Самый общий способ описать закон эволюции — ''задать отображение'': \[ϕ^t: X → X,\] которое переводит начальное состояние в состояние системы в момент $$t$$: $$x_t = ϕ^t x_0$$.

$$\quad$$Отображение $$ϕ^t$$ часто называют ''эволюционным оператором'' динамической системы.
Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы:
\begin{equation}
\label{eq:0}
ϕ^0 x = x,\ \forall x \in X,\\
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:1}
ϕ^{t+s} = ϕ^t◦ϕ^s\ \text{или}\ ϕ^{t+s}x = ϕ^t(ϕ^sx),\ \forall x \in X.
\end{equation}
$$\quad$$Другими словами, свойство \eqref{eq:0} означает, что динамическая система не изменяет своего состояния «спонтанно», а свойство \eqref{eq:1},что результат эволюции системы в течение $$t + s$$ единиц времени тот же самый, как если
бы сначала зафиксировать изменение системы за $$s$$ единиц времени и затем получить
состояние измененной системы еще через $$t$$ единиц времени.

== Определение динамической системы ==
$$\quad$$'''Динамической системой''' называется пара $${X,\ ϕ^t}$$, где $$X$$ — пространство состояний, $$ϕ^t$$ — однопараметрическое семейство эволюционных операторов, удовлетворяющее свойствам \eqref{eq:0} и \eqref{eq:1}.

$$\quad$$Самый простой способ задать динамическую систему — указать эволюционный оператор в явном виде. Например, можно положить $$ϕ^1 = f(N) = 2N$$. То есть, за
каждую единицу времени численность популяции увеличивается в 2 раза.

$$\quad$$Другой общий способ задания динамической системы — описать закон эволюции с помощью дифференциальных уравнений.

$$\quad$$Предположим, что пространство состояний динамической системы есть подмножество $$X = U ⊆ \mathbb{R}^n$$
с координатами $$u = (u_1, u_2, . . . , u_n)$$. Закон эволюции задается
неявно, в терминах скоростей изменения координат:
\[\dot{u} = f(u),\ u ∈ U ⊆ \mathbb{R}^n,\ f : U → \mathbb{R}^n,\]
или, в покоординатной форме записи:

\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = f_1(u_1, u_2, . . . , u_n),\\
\dot{u}_2 = f_2(u_1, u_2, . . . , u_n),\\
...\\
\dot{u}_n = f_n(u_1, u_2, . . . , u_n).
\end{cases}
\end{equation*}
==Примеры==
'''Пример 1'''.

$$\quad$$ Рассмотрим изолированную популяцию, находящуюся в неизменных условиях, не подвергающуюся
внешнему воздействию, каждая особь которой имеет одинаковый доступ к ресурсам, а так же, одинаковую вероятность встретить (и
таким образом конкурировать) другую особь популяции.

$$\quad$$ Так как численность не может быть отрицательной, то пространство состояний
в данном примере $$X = \mathbb{R}^+$$, где $$\mathbb{R}^+ = \{N ∈ \mathbb{R}: N > 0\}$$. Здесь следует отметить,
что если рассматривать численность как функцию времени, то очевидно, что эта
функция целочисленна, т.е. $$N(t) ∈ {N ∈ Z: N > 0}$$. Величина $$\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t}$$
описывает среднюю скорость роста в интервале времени $$(t, t+∆t]$$. Если численность
популяции велика, то скачки, вызванные рождением и смертью отдельных индивидуумов, выглядят пренебрежимо малыми на графике функции $$N(t)$$. Поэтому мы постулируем существование производной по времени $$\dfrac{dN(t)}{dt} = \lim\limits_{∆t→0}\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t} ≡ \dot{N}$$.

'''Пример 2: модель Мальтуса'''. [[Файл:Мальтус2.png|мини|Рост популяции и ресурсов]]

$$\quad$$''Модель Мальтуса'' — это экспоненциальный рост с постоянным темпом. Модель названа в честь английского демографа и экономиста [https://www.bing.com/ck/a?!&&p=fe40d8720325643eJmltdHM9MTcwMTgyMDgwMCZpZ3VpZD0xMWUxY2NjOS0xNjEyLTZjNWUtMzM5NC1jMzI1MTczYTZkNmImaW5zaWQ9NTE2Mw&ptn=3&ver=2&hsh=3&fclid=11e1ccc9-1612-6c5e-3394-c325173a6d6b&psq=%d0%a2%d0%be%d0%bc%d0%b0%d1%81%d0%b0+%d0%9c%d0%b0%d0%bb%d1%8c%d1%82%d1%83%d1%81%d0%b0.&u=a1aHR0cHM6Ly9ydS53aWtpcGVkaWEub3JnL3dpa2kvJUQwJTlDJUQwJUIwJUQwJUJCJUQxJThDJUQxJTgyJUQxJTgzJUQxJTgxLF8lRDAlQTIlRDAlQkUlRDAlQkMlRDAlQjAlRDElODFfJUQwJUEwJUQwJUJFJUQwJUIxJUQwJUI1JUQxJTgwJUQxJTgy&ntb=1 Томаса Мальтуса].

$$\quad$$Мальтузианские модели выглядят следующим образом:
$$ N(t) = N_0e^{rt}$$,
где

* ''N''0 = ''N''(0) — исходная численность населения,
* ''r'' — с темп прироста населения («мальтузианский параметр»),
* ''t'' — время.

$$\quad$$В дискретном времени эту же модель можно записать в виде:
$$N_{t+1} = mN_t$$, где m — константа пропорциональности.

$$\quad$$Заметим, что при линейном распределении ресурсов, в модели Мальтуса существует точка кризиса ресурсов, когда их перестает хватать на популяцию, поэтому существует множество усовершенствованных моделей учитывающих этот фактор. Например, можно сделать коэффициенты r, m зависимым от времени или использовать модель с [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 логистическим уравнением].

'''Пример 3: Задача о росте числа кроликов'''[[Файл:Поколения.png|мини|Поколения кроликов]]

$$\quad$$Одной из старейших и известнейших задач популяционной динамики является задача о росте числа кроликов. В этой задаче предполагается, что каждая пара кроликов через месяц после своего рождения производит другую пару кроликов, и рождение кроликов начинается со второго месяца. Эта задача была опубликована в 1202 году в "Трактате о счете" итальянского математика
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8 Леонардо Пизанского], более известного как Фибоначчи. Решением этой задачи является знаменитая последовательность чисел Фибоначчи. Математическая формулировка этой задачи выглядит следующим образом:

\[ N_{t+1} = N_t + N_{t-1}, \]

где $$N_t$$ — число пар кроликов в t-ый месяц, $$N_0 = 0,\ N_1 = 1$$.

$$\quad$$Т. е. динамическая система может выглядеть следующим образом:
\begin{equation*}
\begin{cases}
M_{t+1} = N_t,\\
N_{t+1} = N_t+M_t.
\end{cases}
\end{equation*}

==Вопросы теории динамических систем==

$$\quad$$Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать её траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые (но не менее содержательные) вопросы об общем поведении системы. Например:

#Есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, то есть может ли она вернуться в начальное состояние в ходе эволюции?
#Как устроен аттрактор системы, то есть множество в пространстве состояний, к которому стремится «большинство» траекторий?
#Как ведут себя траектории, выпущенные из близких точек — остаются ли они близкими или уходят со временем на значительное расстояние?
#Что можно сказать о поведении «типичной» динамической системы из некоторого класса?
#Что можно сказать о поведении динамических систем, «близких» к данной?

==См. также==

*[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B Неподвижные точки системы]
*[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D1%81_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%D0%BC Дискретные системы с запаздыванием]
*[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%B6%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%B2_(Tribolium) Модель динамики популяции жуков (Tribolium)]
*[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B Гамильтоновы системы]
*[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9B%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B8-%D0%92%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%80%D1%8B._%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%92%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%80%D1%8B Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры]

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

Файл:Поколения.png

2023-12-09T16:11:23Z

Alexander23: Alexander23 загрузил новую версию Файл:Поколения.png

2023-12-06T13:58:21Z

Alexander23:

Динамическая система

2023-12-06T13:58:07Z

Alexander23:

'''Динамическая система''' - это абстрактная математическая модель, которая состоит из множества элементов, связанных между собой функциональной зависимостью между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Такая модель позволяет изучать и описывать эволюцию системы во времени, что находит широкое применение в различных областях науки и техники.

Определение динамической системы является математической формализацией общей научной концепции [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C детерминированного процесса]. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое
однозначно определяются состоянием в настоящее время.

==Введение==

$$\quad$$ ''Динамическая система'' может быть представлена как система, которая имеет ''состояние''. Подход, основанный на состоянии, позволяет описать динамику процесса, который является переходом системы из одного состояния в другое. ''Фазовое пространство'' системы представляет собой набор ''всех допустимых состояний'' динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, определяющим переход системы из начального состояния в другое.

$$\quad$$ Основная задача теории динамических систем - это исследование поведения систем, определяемых дифференциальными уравнениями. Это включает разбиение фазового пространства на траектории и изучение предельного поведения этих траекторий, таких как поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (''аттракторы'') и отталкивающих (''репеллеры'') множеств. Важнейшими понятиями теории динамических систем являются устойчивость состояний равновесия (способность системы при малых изменениях начальных условий оставаться около положения равновесия или на заданном множестве) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях самой математической модели). Основные методы изучения динамических систем включают численное и аналитическое решение дифференциальных уравнений, а также геометрические методы анализа фазовых портретов.

==Примеры==
'''Пример 1'''.

$$\quad$$ Рассмотрим изолированную популяцию, находящуюся в неизменных условиях, не подвергающуюся
внешнему воздействию, каждая особь которой имеет одинаковый доступ к ресурсам, а так же, одинаковую вероятность встретить (и
таким образом конкурировать) другую особь популяции.

$$\quad$$ Так как численность не может быть отрицательной, то пространство состояний
в данном примере $$X = \mathbb{R}^+$$, где $$\mathbb{R}^+ = \{N ∈ \mathbb{R}: N > 0\}$$. Здесь следует отметить,
что если рассматривать численность как функцию времени, то очевидно, что эта
функция целочисленна, т.е. $$N(t) ∈ {N ∈ Z: N > 0}$$. Величина $$\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t}$$
описывает среднюю скорость роста в интервале времени $$(t, t+∆t]$$. Если численность
популяции велика, то скачки, вызванные рождением и смертью отдельных индивидуумов, выглядят пренебрежимо малыми на графике функции $$N(t)$$. Поэтому мы постулируем существование производной по времени $$\dfrac{dN(t)}{dt} = \lim\limits_{∆t→0}\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t} ≡ \dot{N}$$.

$$\quad$$Величина $$\dfrac{\dot{N}}{N}$$ показывает средний вклад одного индивидуума в популяционный
рост.

'''Пример 2''' ('''Экологическая система''').

$$\quad$$ Состояние экологического сообщества в пределах определенной области $$Ω$$ может быть описано вектором с неотрицательными компонентами $$N = (N_1, N_2, . . . , N_n) ∈ \mathbb{R}^n_+$$,
где $$N_i$$ — численность или плотность $$i$$-го вида. Здесь, очевидно, $$\mathbb{R}^n_+ = \{N ∈ \mathbb{R}^n: N > 0\}$$,
где запись $$N > 0$$ для вектора $$N$$ обозначает, что $$N_i > 0$$ для всех $$i$$.

'''Пример 3'''.

$$\quad$$ В случае примера 1, можно добавить в рассмотрение признаки особей. Предположим, что распределение по признаку непрерывно (скажем, если признак — вес индивидуума или его возраст). Если обозначить пространство признаков как $$Γ$$, то
состояние системы описывается функцией $$N(γ, t), γ ∈ Γ$$.

$$\quad$$ Отметим, что существуют два класса признаков, которые определяют неоднородность в популяции. Во-первых, это структурные признаки, такие как пространственное распределение и возраст, которые изменяются со временем для каждой особи в популяции. Во-вторых, существуют неизменные признаки, такие как генетическая предрасположенность к определенному заболеванию, которые остаются неизменными для каждой особи на протяжении ее жизни

==Эволюционный оператор==

'''Эволюция динамической системы''' означает изменение состояния системы со временем $$t ∈ T$$, где $$T$$ — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE упорядоченное множество].

$$\quad$$В математической биологии применяются два типа динамических систем: ''непрерывные'' с временем $$T = \mathbb{R}$$ и ''дискретные'' с целочисленным временем $$T = Z$$.

$$\quad$$Основным компонентом любой динамической системы является ''закон эволюции'',
который определяет состояние системы $$x_t$$ в момент времени $$t$$, при условии, что
начальное состояние $$x_0$$ известно.

$$\quad$$Самый общий способ описать закон эволюции — ''задать отображение'': \[ϕ^t: X → X,\] которое переводит начальное состояние в состояние системы в момент $$t$$: $$x_t = ϕ^t x_0$$.

$$\quad$$Отображение $$ϕ^t$$ часто называют ''эволюционным оператором'' динамической системы.
Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы:
\begin{equation}
\label{eq:0}
ϕ^0 x = x,\ \forall x \in X,\\
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:1}
ϕ^{t+s} = ϕ^t◦ϕ^s\ \text{или}\ ϕ^{t+s}x = ϕ^t(ϕ^sx),\ \forall x \in X.
\end{equation}
$$\quad$$Другими словами, свойство \eqref{eq:0} означает, что динамическая система не изменяет своего состояния «спонтанно», а свойство \eqref{eq:1},что результат эволюции системы в течение $$t + s$$ единиц времени тот же самый, как если
бы сначала зафиксировать изменение системы за $$s$$ единиц времени и затем получить
состояние измененной системы еще через $$t$$ единиц времени.

== Определение динамической системы ==
$$\quad$$'''Динамической системой''' называется пара $${X,\ ϕ^t}$$, где $$X$$ — пространство состояний, $$ϕ^t$$ — однопараметрическое семейство эволюционных операторов, удовлетворяющее свойствам \eqref{eq:0} и \eqref{eq:1}.

$$\quad$$Самый простой способ задать динамическую систему — указать эволюционный оператор в явном виде. Например, можно положить $$ϕ^1 = f(N) = 2N$$. То есть, за
каждую единицу времени численность популяции увеличивается в 2 раза.

$$\quad$$Другой общий способ задания динамической системы — описать закон эволюции с помощью дифференциальных уравнений.

$$\quad$$Предположим, что пространство состояний динамической системы есть подмножество $$X = U ⊆ \mathbb{R}^n$$
с координатами $$u = (u_1, u_2, . . . , u_n)$$. Закон эволюции задается
неявно, в терминах скоростей изменения координат:
\[\dot{u} = f(u),\ u ∈ U ⊆ \mathbb{R}^n,\ f : U → \mathbb{R}^n,\]
или, в покоординатной форме записи:

\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = f_1(u_1, u_2, . . . , u_n),\\
\dot{u}_2 = f_2(u_1, u_2, . . . , u_n),\\
...\\
\dot{u}_n = f_n(u_1, u_2, . . . , u_n).
\end{cases}
\end{equation*}
==Примеры непрерывных и дискретных систем==

'''Пример: модель Мальтуса'''. [[Файл:Мальтус.png|мини|]]

$$\quad$$''Модель Мальтуса'' — это экспоненциальный рост с постоянным темпом. Модель названа в честь английского демографа и экономиста [https://www.bing.com/ck/a?!&&p=fe40d8720325643eJmltdHM9MTcwMTgyMDgwMCZpZ3VpZD0xMWUxY2NjOS0xNjEyLTZjNWUtMzM5NC1jMzI1MTczYTZkNmImaW5zaWQ9NTE2Mw&ptn=3&ver=2&hsh=3&fclid=11e1ccc9-1612-6c5e-3394-c325173a6d6b&psq=%d0%a2%d0%be%d0%bc%d0%b0%d1%81%d0%b0+%d0%9c%d0%b0%d0%bb%d1%8c%d1%82%d1%83%d1%81%d0%b0.&u=a1aHR0cHM6Ly9ydS53aWtpcGVkaWEub3JnL3dpa2kvJUQwJTlDJUQwJUIwJUQwJUJCJUQxJThDJUQxJTgyJUQxJTgzJUQxJTgxLF8lRDAlQTIlRDAlQkUlRDAlQkMlRDAlQjAlRDElODFfJUQwJUEwJUQwJUJFJUQwJUIxJUQwJUI1JUQxJTgwJUQxJTgy&ntb=1 Томаса Мальтуса].

$$\quad$$Мальтузианские модели выглядят следующим образом:
$$ N(t) = N_0e^{rt}$$,
где

* ''N''0 = ''N''(0) — исходная численность населения,
* ''r'' — темп прироста населения («мальтузианский параметр»),
* ''t'' — время.

$$\quad$$В дискретном времени эту же модель можно записать в виде:
$$N_{t+1} = mN_t$$, где m — константа пропорциональности.

$$\quad$$Заметим, что при линейном распределении ресурсов, в модели Мальтуса существует точка кризиса ресурсов, когда их перестает хватать на популяцию, поэтому существует множество усовершенствованных моделей учитывающих этот фактор. Например можно сделать коэффициент r (m) зависимым от времени или использовать модель с [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 логистическим уравнением].

'''Пример: Задача о росте числа кроликов'''

Одной из старейших и известнейших задач популяционной динамики является задача о росте числа кроликов. В этой задаче предполагается, что каждая пара кроликов через месяц после своего рождения производит другую пару кроликов, и рождение кроликов начинается со второго месяца. Эта задача была опубликована в 1202 году в "Трактате о счете" итальянского математика Леонардо Пизанского, более известного как Фибоначчи. Решением этой задачи является знаменитая последовательность чисел Фибоначчи. Математическая формулировка этой задачи выглядит следующим образом:

\[ N_{t+1} = N_t + N_{t-1}\],

где $$N_t$$ - число пар кроликов в t-ый месяц, $$N_0 = 0, N_1 = 1$$.

Т. е. динамическая система может выглядеть следующим образом:
\begin{equation*}
\begin{cases}
M_{t+1} = N_t,\\
N_{t+1} = N_t+M_t.
\end{cases}
\end{equation*}

==Вопросы теории динамических систем==

$$\quad$$Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать её траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые (но не менее содержательные) вопросы об общем поведении системы. Например:

#Есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, то есть может ли она вернуться в начальное состояние в ходе эволюции?
#Как устроен аттрактор системы, то есть множество в пространстве состояний, к которому стремится «большинство» траекторий?
#Как ведут себя траектории, выпущенные из близких точек — остаются ли они близкими или уходят со временем на значительное расстояние?
#Что можно сказать о поведении «типичной» динамической системы из некоторого класса?
#Что можно сказать о поведении динамических систем, «близких» к данной?

==См. также==

*[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B Неподвижные точки системы]
*[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D1%81_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B0%D0%B7%D0%B4%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%D0%BC Дискретные системы с запаздыванием]
*[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%B6%D1%83%D0%BA%D0%BE%D0%B2_(Tribolium) Модель динамики популяции жуков (Tribolium)]
*[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B Гамильтоновы системы]
*[https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9B%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B8-%D0%92%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%80%D1%8B._%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%92%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%80%D1%8B Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры]

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

2023-12-03T19:41:02Z

Alexander23: /* Определение динамической системы */

В этой статье вводится фундаментальное математическое понятие '''динамической системы'''. С помощью этого понятия можно строить отображения сложных биологических систем в формальные конструкции — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C математические модели].

Определение динамической системы является математической формализацией общей научной концепции [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C детерминированного процесса]. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое
однозначно определяются состоянием в настоящее время.

==Примеры==
'''Пример 1'''.

$$\quad$$ Рассмотрим изолированную популяцию, находящуюся в неизменных условиях, не подвергающуюся
внешнему воздействию, каждая особь которой имеет одинаковый доступ к ресурсам, а так же, одинаковую вероятность встретить (и
таким образом конкурировать) другую особь популяции.

$$\quad$$ Так как численность не может быть отрицательной, то пространство состояний
в данном примере $$X = \mathbb{R}^+$$, где $$\mathbb{R}^+ = \{N ∈ \mathbb{R}: N > 0\}$$. Здесь следует отметить,
что если рассматривать численность как функцию времени, то очевидно, что эта
функция целочисленна, т.е. $$N(t) ∈ {N ∈ Z: N > 0}$$. Величина $$\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t}$$
описывает среднюю скорость роста в интервале времени $$(t, t+∆t]$$. Если численность
популяции велика, то скачки, вызванные рождением и смертью отдельных индивидуумов, выглядят пренебрежимо малыми на графике функции $$N(t)$$. Поэтому мы постулируем существование производной по времени $$\dfrac{dN(t)}{dt} = \lim\limits_{∆t→0}\dfrac{N(t + ∆t) − N(t)}{∆t} ≡ \dot{N}$$.

$$\quad$$Величина $$\dfrac{\dot{N}}{N}$$ показывает средний вклад одного индивидуума в популяционный
рост.

'''Пример 2''' ('''Экологическая система''').

$$\quad$$ Состояние экологического сообщества в пределах определенной области $$Ω$$ может быть описано вектором с неотрицательными компонентами $$N = (N_1, N_2, . . . , N_n) ∈ \mathbb{R}^n_+$$,
где $$N_i$$ — численность или плотность $$i$$-го вида. Здесь, очевидно, $$\mathbb{R}^n_+ = \{N ∈ \mathbb{R}^n: N > 0\}$$,
где запись $$N > 0$$ для вектора $$N$$ обозначает, что $$N_i > 0$$ для всех $$i$$.

'''Пример 3'''.

$$\quad$$ В случае '''примера 1''', можно добавить в рассмотрение признаки особей. Предположим, что распределение по признаку непрерывно (скажем, если признак — вес индивидуума или его возраст). Если обозначить пространство признаков как $$Γ$$, то
состояние системы описывается функцией $$N(γ, t), γ ∈ Γ$$.

==Эволюционный оператор==

'''Эволюция динамической системы''' означает изменение состояния системы со временем $$t ∈ T$$, где $$T$$ — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE упорядоченное множество].

$$\quad$$В математической биологии применяются два типа динамических систем: '''непрерывные''' с временем $$T = \mathbb{R}$$ и '''дискретные''' с целочисленным временем $$T = Z$$.

$$\quad$$Основным компонентом любой динамической системы является '''закон эволюции''',
который определяет состояние системы $$x_t$$ в момент времени $$t$$, при условии, что
начальное состояние $$x_0$$ известно.

$$\quad$$Самый общий способ описать закон эволюции — '''задать отображение''': \[ϕ^t: X → X,\] которое переводит начальное состояние в состояние системы в момент $$t$$: $$x_t = ϕ^t x_0$$.

$$\quad$$Отображение $$ϕ^t$$ часто называют '''эволюционным оператором''' динамической системы.
Эволюционный оператор имеет два естественных свойства, которые отражают детерминированный характер поведения динамической системы:
\begin{equation}
\label{eq:0}
ϕ^0 x = x,\ \forall x \in X,\\
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:1}
ϕ^{t+s} = ϕ^t◦ϕ^s\ \text{или}\ ϕ^{t+s}x = ϕ^t(ϕ^sx),\ \forall x \in X.
\end{equation}
$$\quad$$Другими словами, свойство \eqref{eq:0} означает, что динамическая система не изменяет своего состояния «спонтанно», а свойство \eqref{eq:1},что результат эволюции системы в течение $$t + s$$ единиц времени тот же самый, как если
бы сначала зафиксировать изменение системы за $$s$$ единиц времени и затем получить
состояние измененной системы еще через $$t$$ единиц времени.

== Определение динамической системы ==
$$\quad$$'''Динамической системой''' называется пара $${X,\ ϕ^t}$$, где $$X$$ — пространство состояний, $$ϕ^t$$ — однопараметрическое семейство эволюционных операторов, удовлетворяющее свойствам \eqref{eq:0} и \eqref{eq:1}.

$$\quad$$Самый простой способ задать динамическую систему — '''указать эволюционный оператор в явном виде'''. Например, можно положить $$ϕ^1 = f(N) = 2N$$. То есть, за
каждую единицу времени численность популяции увеличивается в 2 раза.

$$\quad$$Другой общий способ задания динамической системы — '''описать закон эволюции с помощью дифференциальных уравнений'''.

$$\quad$$Предположим, что пространство состояний динамической системы есть подмножество $$X = U ⊆ \mathbb{R}^n$$
с координатами $$u = (u_1, u_2, . . . , u_n)$$. Закон эволюции задается
неявно, в терминах скоростей изменения координат:
\[\dot{u} = f(u), u ∈ U ⊆ \mathbb{R}^n, f : U → \mathbb{R}^n,\]
или, в покоординатной форме записи:

\begin{equation*}
\begin{cases}
\dot{u}_1 = f_1(u_1, u_2, . . . , u_n),\\
\dot{u}_2 = f_2(u_1, u_2, . . . , u_n),\\
...\\
\dot{u}_n = f_n(u_1, u_2, . . . , u_n).
\end{cases}
\end{equation*}

==Список литературы==

1. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.

2. Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.