sawiki - Вклад участника [ru]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-11T09:41:32Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right),\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i .\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\), что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\)

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)).\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении. Условием при котором \( p(\tau) \) обащается в ноль либо при \( l(t) = 0 \) иначе при \( |X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)| = 0 \).
Учитывая невырожденность фундаментальных матриц имеем:
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow |B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)| = 0 \]

Так как \( Q\) - положительно определенная, умножение на нее никак не меняет ранг. Следовательно необходимым условием выраженности матрицы является \(rang( B (\tau)) < m\).
То есть необходимым условием появление таких направлений является ранг матрицы \( B\).

Рассмотрим достаточное условие для направление перепишем наше \( p(\tau) \)
\[ p(\tau) = \langle B'(\tau)X'(t,\tau) l(t),\, Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2} = |Q^{\frac{1}{2}} B'(\tau)X'(t,\tau) l(t) | \leq |Q| |B'(\tau)X'(t,\tau) l(t)| \]
где |Q| - согласованная норма матрицы с нормой вектора.
Следовательно, учитывая положительно определенность \( Q \), то достаточным условием является:
\[B'(\tau)X'(t,\tau) l(t) = 0 \]

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-11T09:39:21Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right),\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i .\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\), что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\)

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)).\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении. Условием при котором \( p(\tau) \) обащается в ноль либо при \( l(t) = 0 \) иначе при \( |X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)| = 0 \).
Учитывая невырожденность фундаментальных матриц имеем:
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow |B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)| = 0 \]

Так как \( Q\) - положительно определенная, умножение на нее никак не меняет ранг. Следовательно достаточным условием выраженности матрицы является \(rang( B (\tau)) < m\).

То есть необходимым условием появление таких направлений является ранг матрицы \( B\).
Рассмотрим достаточное условие для напрвление перепишем наше \( p(\tau) \)
\[ p(\tau) = \langle B'(\tau)X'(t,\tau) l(t),\, Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2} = |Q^{\frac{1}{2}} B'(\tau)X'(t,\tau) l(t) | \leq |Q| |B'(\tau)X'(t,\tau) l(t)| \]
где |Q| - согласованная норма матрицы с нормой вектора.
Следовательно, учитывая положительно определенность \( Q \), то достаточным условием является:
\[B'(\tau)X'(t,\tau) l(t) = 0 \]

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-11T09:37:47Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right),\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i .\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\), что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\)

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)).\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении. Условием при котором \( p(\tau) \) обащается в ноль либо при \( l(t) = 0 \) иначе при \( |X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)| = 0 \).
Учитывая невырожденность фундаментальных матриц имеем:
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow |B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)| = 0 \]

Так как \( Q\) - положительно определенная, умножение на нее никак не меняет ранг. Следовательно достаточным условием выраженности матрицы является \(rang( B (\tau)) < m\).

То есть необходимым условием появление таких направлений является ранг матрицы \( B\).
Рассмотрим достаточное условие для напрвление перепишем наше \( p(\tau) \)
\[ p(\tau) = \langle B'(\tau)X'(t,\tau) l(t),\, Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2} = |Q^{\frac{1}{2}} B'(\tau)X'(t,\tau) l(t) | \geq |Q| |B'(\tau)X'(t,\tau) l(t)| \]
где |Q| - согласованная норма матрицы с нормой вектора.
Следовательно достаточным условием является:
\[B'(\tau)X'(t,\tau) l(t) = 0 \]

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T18:39:59Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right),\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i .\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\), что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\)

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)).\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении. Условием при котором \( p(\tau) \) обащается в ноль либо при \( l(t) = 0 \) иначе при \( |X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)| = 0 \).
Учитывая невырожденность фундаментальных матриц имеем:
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow |B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)| = 0 \]

Так как \( Q\) - положительно определенная, умножение на нее никак не меняет ранг. Следовательно достаточным условием выраженности матрицы является \(rang( B (\tau)) < m\).

То есть необходимым условием появление таких нааправлений является ранг матрицы \( B\)
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T18:29:58Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right),\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i .\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\), что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\)

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)).\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow |B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)| = 0 \]

Так как \( Q\) - положительно определенная, умножение на нее никак не меняет ранг. Следовательно достаточным условием выраженности матрицы является \(rang( B (\tau)) < m\).

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T18:29:28Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right),\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i .\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\), что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\)

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)).\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow |B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)| = 0 \]

Так как \( Q\) - положительно определенная, умножение на нее никак не меняет ранг. Следовательно достаточным условием невыраженности матрицы является \(rang( B (\tau)) = m\).

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T13:46:30Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right),\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i .\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\), что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\)

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)).\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow l(t)^T X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) = 0 \]
Так как \( Q\) - положительно определенная \( \Rightarrow \exists U: Q = U U^T\). Тогда условие можно переписать:
\[ p(\tau) = \langle U(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) l(t),U(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2} = |U(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t)| \]

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T13:25:01Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right),\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i .\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\), что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\)

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)).\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow l(t)^T X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) = 0 \]
Это условие можно дальше упростить, использовав положительную определённость \( Q\) и свойство фундаментальной матрицы.

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T13:23:28Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right),\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i .\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\), что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)).\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow l(t)^T X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) = 0 \]
Это условие можно дальше упростить, использовав положительную определённость \( Q\) и свойство фундаментальной матрицы.

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T13:21:37Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right),\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i .\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\), что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow l(t)^T X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) = 0 \]
Это условие можно дальше упростить, использовав положительную определённость \( Q\) и свойство фундаментальной матрицы.

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T13:18:04Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\],
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\].

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\), что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow l(t)^T X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) = 0 \]
Это условие можно дальше упростить, использовав положительную определённость \( Q\) и свойство фундаментальной матрицы.

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T13:17:39Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\), что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow l(t)^T X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) = 0 \]
Это условие можно дальше упростить, использовав положительную определённость \( Q\) и свойство фундаментальной матрицы.

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T13:17:18Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0 .\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow l(t)^T X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) = 0 \]
Это условие можно дальше упростить, использовав положительную определённость \( Q\) и свойство фундаментальной матрицы.

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T13:16:59Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} .\]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow l(t)^T X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) = 0 \]
Это условие можно дальше упростить, использовав положительную определённость \( Q\) и свойство фундаментальной матрицы.

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T13:16:38Z

Alexei: /* Эллипсоидные свойства */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}.\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow l(t)^T X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) = 0 \]
Это условие можно дальше упростить, использовав положительную определённость \( Q\) и свойство фундаментальной матрицы.

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T13:16:04Z

Alexei: /* Постановка задачи */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \).

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow l(t)^T X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) = 0 \]
Это условие можно дальше упростить, использовав положительную определённость \( Q\) и свойство фундаментальной матрицы.

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T13:15:33Z

Alexei:

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки], которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow l(t)^T X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) = 0 \]
Это условие можно дальше упростить, использовав положительную определённость \( Q\) и свойство фундаментальной матрицы.

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T12:55:11Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow l(t)^T X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) = 0 \]
Это условие можно дальше упростить, использовав положительную определённость \( Q\) и свойство фундаментальной матрицы.

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T11:12:56Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \perp l(t) \]
Это условие можно дальше упростить, использовав положительную определённость \( Q\) и свойство фундаментальной матрицы.

Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T09:51:39Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), |q_i| > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \perp l(t) \]
Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T09:44:06Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), q_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф.}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \perp l(t) \]
Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-10T09:39:18Z

Alexei: /* Пример вычисления */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), q_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф. и сумма квадрата}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \perp l(t) \]
Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]
\( \varepsilon \) - отвечает за точность приближения вычислений.

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T18:56:50Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), q_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} \stackrel{\text{св-во оп.ф. и сумма квадрата}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \perp l(t) \]
Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T18:05:58Z

Alexei: /* Пример вычисленния */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), q_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \perp l(t) \]
Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисления ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T18:03:35Z

Alexei: /* Замечание 1 */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество:
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\}\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), q_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \perp l(t) \]
Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленния ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T18:00:53Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), q_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}
Если \( p(\tau) = 0 \), то нельзя построить оценку, касающуюся точного множества в таком направлении.
\[ p(\tau) = 0 \Leftrightarrow X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \perp l(t) \]
Такие направления мы рассматривать не будем.
=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленния ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T17:50:03Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), q_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( \left [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N} \right] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленния ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T17:46:44Z

Alexei: /* Пример вычисленния */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), q_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N}] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленния ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\; \mathcal{X}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T17:44:48Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (q_i, Q_i), q_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(q_1 + ... + q_m \right) \left(\frac{Q_1}{q_1} + ... + \frac{Q_m}{q_m} \right)\]
\[q_+ = \sum \limits_{i=1}^m q_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{q_j}{q_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( q_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N}] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленния ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

2022-12-09T10:22:19Z

Alexei: /* Примеры вычислений */

'''''Внутренние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками построить и [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки | внешние]], то можно точнее оценить, где находится истинное [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множество разрешимости]], т.к. оно располагается между внутренними и внешними оценками.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи.
Также можно рассмотреть [[Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, с помехой. Внутренние оценки | систему с помехой]].

== Общий вид системы ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_1 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\).

== Некоторые сведения об эллипсоидах ==

В этом разделе приводятся лишь те некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в [[Эллипсоид и его основные свойства | основной статье]].

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q в m-мерном вещественном пространстве можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^m \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

==== Утверждение 1 ====
'' Для любого эллипсоида с центром в q, матрицей Q, и для любой матрицы A, такой что число ее столбцов совпадает с числом строк Q, выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

==== Теорема 1 ====
''Для [[Эллипсоид и его основные свойства | суммы эллипсоидов по Минковскому]] можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида:''
\[
\sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l),
\]
где \(\mathcal{E}_-(l) = \mathcal{E}(q_i, Q_-)\) — эллипсоид, построенный в направлении \(l\), с центром в \(q_i\) и матрицей \(Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)\), где \(Q_*(t) = \sum_{i=1}^n S_i(t) Q_i^\frac{1}{2}(t)\), а \(S_i(t)\) — некоторые [https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортогональная_матрица ортогональные матрицы].

===== Доказательство =====
Можно найти в [[Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки | статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов]].

== Внутренняя оценка множества разрешимости ==

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать \(m=n\) (при \(m<n\) можно расширить вектор \(u\) и матрицу \(B\), дополнив их соответствующими нулями).

Для системы \eqref{1} справедлива [[Формула Коши | формула Коши]]:
\[
x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,
\]
где \(X(t,\tau)\) - [[Фундаментальная матрица Коши | фундаментальная матрица]], удовлетворяющая системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) — эллипсоиды, то с учетом '''утверждения 1''' получим:
\[
\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.
\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[
\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),
\]
где \(\{\tau_i\}\) — разбиение отрезка \([t, t_1]\) на \(N\) частей (т.е. \(\tau_i = \frac{(t_1-t)i}{N}\)), то из '''теоремы 1''' можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости в направлении \(l\):
\[
\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right),
\]
где \(Q_-(t) = Q'_*(t)Q_*(t)\), и матрица \(Q_*(t)\) определяется следующим образом:
\[
Q_*(t) = S(t_1)[X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau =
S(t_1) X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\]
где \(S(·)\) – ортогональная матрица, которая в каждый момент времени \(t\) зависит от \(\tau\), а \(S(t_1) = I\).

== Вычислительная часть ==

=== Перебор по всем направлениям ===

Как было показано в '''теореме 1''', при построении оценок нужно провести перебор по всем направлениям \(l\), таким что \(\parallel\! \ l \ \!\parallel\), т.е. провести перебор по \(n\)-мерной единичной сфере. Для этого удобно воспользоваться [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат] с единичным радиусом:
\[
\left\{\begin{aligned}
& x_1 = \sin{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_2 = \cos{\alpha_1}\cdot\sin{\alpha_2}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& x_3 = \cos{\alpha_2}\cdot\sin{\alpha_3}\cdot\,\dots\,\cdot\sin{\alpha_{n-1}}, \\
& \dots \\
& x_n = \cos{\alpha_{n-1}},
\end{aligned}\right.
\]

где \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\dots,\,\alpha_{n-1}\) равномерно распределены по отрезку \([0,\,\pi]\). Таким образом мы получаем равномерную сетку на сфере.

=== Построение проекции на плоскость ===
Мы получили внутреннюю оценку множества разрешимости в виде объединения эллипсоидов. Теперь покажем, как спроецировать эллипс \(\mathcal{E}(q,Q)\) на плоскость \(\pi\), задаваемую неколлинеарными векторами \(l^0_1,l^0_2\).

Для начала, получим с помощью процесса ортогонализации пару ортогональных векторов в плоскости \(\pi\):
\[l_1 = l_1^0,\]
\[l_2 = l_2^0 - \frac{\langle l_2^0,\,l_1 \rangle}{\langle l_1,\,l_1 \rangle}l_1.\]

Теперь покажем, как спроектировать произвольную точку \(q\) на плоскость \(\pi\). Пусть \(pr_{\pi}(q) = \alpha l_1 + \beta l_2.\) Тогда:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-pr_{\pi}(q),\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_1 \rangle = 0, \\
& \langle q-\alpha l_1 -\beta l_2,\,l_2 \rangle = 0.
\end{aligned}\right.
\Longrightarrow
\left\{\begin{aligned}
& \alpha = \langle q,\,l_1 \rangle, \\
& \beta = \langle q,\,l_2 \rangle.
\end{aligned}\right.
\]

В соответствии с предыдущим пунктом, будем перебирать в плоскости \(\pi\) единичные векторы \(l\). Каждому из них сопоставим опорный вектор эллипсоида \(\mathcal{E}(q, Q)\) в соответствующем направлении. Спроектировав вершины опорных векторов на плоскость, получим искомую проекцию.

=== Оптимизация вычислений внутренней оценки ===

Было показано, что внутренняя оценка в направлении \(l\) задается эллипсоидом:
\[\mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_*'(t)Q_*(t)\right),\]

где матрица \(Q_*(t)\) определяется следующим образом:
\begin{equation}
\label{q_with_star}
Q_*(t) = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau.
\end{equation}

В соответствии с \(S_iQ_i^{\frac{1}{2}}l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l, \forall i = \overline{2,n}\) и \(S(\tau)Q^{\frac{1}{2}}(\tau)l = \lambda S_1 Q_1^{\frac{1}{2}}l \) где \( \lambda(\tau) > 0 \ \forall \tau \in [t_0,t] \ \)(см. доказательство '''теоремы 1'''), матрица \(S(\tau)\) вычисляется из уравнения:
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)X'(t,\tau)l = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)l.\]

Т.к. матрица \(S\), найденная из этого выражения, будет зависеть от \(t\), то обозначим:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Такая замена считается корректной. Поскольку \(X'(t_1,t)\) является невырожденным [https://ru.wikipedia.org/wiki/Линейное_отображение линейным оператором], он переводит \(r\)-мерное подпространство в \(r\)-мерное подпространство. Следовательно, векторы \(\{l_1\}\), лежащие в одной плоскости, после преобразования так же будут лежать в одной плоскости. При этом из непрерывности оператора следует, что окружность, на которой расположены векторы, так же перейдет в замкнутую кривую. Поскольку ноль перейдет в ноль, результатом преобразования будет что-то достаточно похожее на окружность.

Подставив замену в выражение для \(S\):
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)X'(t_1,t)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1)X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда, с помощью полугруппового свойства [[ Фундаментальная матрица Коши | фундаментальной матрицы]], получим:
\begin{equation}
S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \lambda(\tau)\cdot X_1^\frac{1}{2}l_1.
\label{s_without_t}
\end{equation}

Теперь, в этом выражении матрица \(S(\tau)\) уже не зависит от \(t\), поэтому можно посчитать \(S(\tau)\) один раз для всего отрезка \([t,\,t_1]\).

=== Построение внутренней оценки ===
Рассмотрим некоторое \(l_1 \in \pi\). Выразим из (\ref{s_without_t}) и \( \lambda = \frac{\langle l , Q(\tau) l \rangle^{\frac{1}{2}}}{\langle l , Q_1 l \rangle^{\frac{1}{2}}} \) матрицу \(S(\tau)\):
\[S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Обозначим для удобства:
\[a(\tau) = Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1,\]
\[b(\tau) = \frac{\langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)QB'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1\rangle^\frac{1}{2}}{\langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2}}X^\frac{1}{2}_1l_1.\]

Тогда, получим:
\[S(\tau)a(\tau) = b(\tau).\]

При этом для упрощения вычислений вектор \(b(\tau)\) удобнее считать как:
\[b(\tau) = \frac{\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel}{\parallel\!\!\ X_1^\frac{1}{2}l_1 \ \!\!\parallel}X_1^\frac{1}{2}l_1.\]

Матрица \(S(\tau)\) вычисляется в соответствии с выражением:
\[b = V_b \Sigma_b u_b = V_b (V_a' V_a) \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \Sigma_b u_b = V_b V_a' \cdot V_a \left(\Sigma_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\right) \left(u_a \frac{u_b}{u_a}\right) = \]
\begin{equation}
= V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a} \cdot V_a \Sigma_a u_a = \left(V_b V_a' \frac{\sigma_b}{\sigma_a}\frac{u_b}{u_a}\right)a.
\label{b_from_a}
\end{equation}

\[\parallel\!\! \ a(\tau) \ \!\!\parallel = \parallel\!\! \ b(\tau) \ \!\!\parallel \Longrightarrow S(\tau) = V_b V'_a \frac{\sigma_b}{\sigma_a} \frac{u_b}{u_a}.\]

где \(V_a,V_b\) ортогональные матрицы из сингулярного разложения векторов:
\[
a = V_a\Sigma_au_a, \ b = V_b\Sigma_bu_b.
\]

Продифференцируем (\ref{q_with_star}):
\[\frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = X_1^\frac{1}{2}(A(t)X(t,t_1))' - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)(A(t)X(t,\tau))'d\tau - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) = \]
\[= \left( X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau \right)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t) =\]
\[= Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t).\]

Таким образом, матрица \(Q_*(t)\) определяется следующей системой:
\[ \left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial Q_*(t)}{\partial t} = Q_*(t)A'(t) - S(t)Q^\frac{1}{2}(t)B'(t), \\
& Q_*(t_1) = X_1^\frac{1}{2}.
\end{aligned}\right.
\]

Матрицу \(Q_*(t)\) в системе '''Matlab''' можно найти с помощью численного интегрирования функцией '''ode45'''. По матрице \(Q_*(t)\) построим матрицу \(Q_-(t) = Q_*'(t)Q_*(t)\) и соответствующий эллипсоид \(\mathcal{E}_-\). При этом центр \(q_\varepsilon(t)\) эллипсоида \(\mathcal{E}_-\) удовлетворяет системе:
\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
& q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\end{aligned}\right.
\]

Произведя перебор векторов \(l_1 \in \pi\), получим внутреннюю оценку.

== Примеры вычисления ==
В этой секции приведены некоторые возможные представления внутренних оценок множества разрешимости.

Зеленым цветом отображается реальное множество разрешимости, а голубым — внутренняя аппроксимация.

=== Пример 1 ===

[[Файл:Pr 1 set red.png|мини | Рис. 1: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 10\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & -0.1t^2 \\ -0.1t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

 
 
 
 
 
 
 

=== Пример 2 ===

[[Файл:Pr 2 set red.png|мини | Рис. 2: Пример внутренней оценки множества разрешимости]]
\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & \sin{t} \\ 5 & t \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & \cos{t} \\ t^2 & \sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1.\]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T10:15:07Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (p_i, Q_i), p_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
\[p_+ = \sum \limits_{i=1}^m p_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m p_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m p_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(p_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N}] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленния ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T10:14:43Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (p_i, Q_i), p_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
\[p_+ = \sum \limits_{i=1}^m p_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m p_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m p_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N}] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленния ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T10:10:05Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (p_i, Q_i), p_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ Q_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
\[p_+ = \sum \limits_{i=1}^m p_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N}] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленния ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T09:58:22Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (p_i, Q_i), p_i > 0\]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ \mathcal{Q}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
\[p_+ = \sum \limits_{i=1}^m p_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N}] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленния ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T09:38:02Z

Alexei: /* Пример вычисленний */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (p_i, Q_i) \]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ \mathcal{Q}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
\[p_+ = \sum \limits_{i=1}^m p_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N}] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленния ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T09:37:04Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (p_i, Q_i) \]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ \mathcal{Q}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
\[p_+ = \sum \limits_{i=1}^m p_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t_1] \) на N частей, так чтобы i -ый отрезок имел вид \( [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N}] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T09:35:38Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (p_i, Q_i) \]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ \mathcal{Q}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
\[p_+ = \sum \limits_{i=1}^m p_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t1] \) на N частей, так чтобы i - имел вид \( [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + i \dfrac{t_1 - t}{N}] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T09:34:35Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (p_i, Q_i) \]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ \mathcal{Q}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
\[p_+ = \sum \limits_{i=1}^m p_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Разобьем отрезок \( [t,t1] \) на N частей, так чтобы i - имел вид \( [t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}, t + (i-1) \dfrac{t_1 - t}{N}] \). Тогда интегральная сумма примет вид
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T09:19:27Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Построим внешнюю оценку для \[ \sum \limits_{i=1}^m \mathcal{E}_i \] где \[ \mathcal{E}_i = \mathcal{E} (p_i, Q_i) \]
Рассмотрим эллипсоид \( \mathcal{E}_+(q_+, Q_+) \), где
\[ \mathcal{Q}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
\[p_+ = \sum \limits_{i=1}^m p_i\]

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+) = \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle )} \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \langle \sum \limits_{i=1}^m q_i, l \rangle + \sqrt{\sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt {\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle}} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m) \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T07:49:48Z

Alexei: /* Эллипсоидные свойства */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидного исчисления.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Пусть \( p_1, p_2 ,... p_m > 0 \). Покажем, что
\[ \mathcal{E}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
является внешней оценкой.

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+)^2 = \sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle ) \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt{\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m)^2 \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T07:48:52Z

Alexei: /* Постановка задачи */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача состоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидных исчислений.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Пусть \( p_1, p_2 ,... p_m > 0 \). Покажем, что
\[ \mathcal{E}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
является внешней оценкой.

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+)^2 = \sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle ) \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt{\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m)^2 \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-09T07:48:06Z

Alexei:

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существуют [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача стоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидных исчислений.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Пусть \( p_1, p_2 ,... p_m > 0 \). Покажем, что
\[ \mathcal{E}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
является внешней оценкой.

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+)^2 = \sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle ) \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt{\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m)^2 \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-07T16:41:56Z

Alexei: /* Замечание 1 */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача стоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидных исчислений.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \forall l \: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Пусть \( p_1, p_2 ,... p_m > 0 \). Покажем, что
\[ \mathcal{E}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
является внешней оценкой.

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+)^2 = \sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle ) \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt{\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m)^2 \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-07T16:23:01Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача стоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидных исчислений.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Пусть \( p_1, p_2 ,... p_m > 0 \). Покажем, что
\[ \mathcal{E}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
является внешней оценкой.

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+)^2 = \sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle ) \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt{\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m)^2 \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается при условии равенства \( \dfrac{a+b}{2} = \sqrt{ab}\) что в свою очередь происходит тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-07T16:20:17Z

Alexei: /* Пример вычисленний */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача стоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидных исчислений.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Пусть \( p_1, p_2 ,... p_m > 0 \). Покажем, что
\[ \mathcal{E}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
является внешней оценкой.

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+)^2 = \sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle ) \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt{\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m)^2 \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численных вычислений с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые знать для реализации численных вычислений:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное дифференцирование]
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Численное интегрирование]
* [https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html Описание функции Mathalab ode45]

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-07T16:05:43Z

Alexei: /* Внешняя оценка для суммы эллипсоидов */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача стоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидных исчислений.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Пусть \( p_1, p_2 ,... p_m > 0 \). Покажем, что
\[ \mathcal{E}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
является внешней оценкой.

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+)^2 = \sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i=1}^m \sum \limits_{j=1, \\ j \neq i}^m (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle ) \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt{\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m)^2 \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численные вычисления с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые для реализации подобных программ:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [Разностные схемы для численного исчиселния].

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-07T15:28:26Z

Alexei: /* Постановка задачи */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_1 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача стоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидных исчислений.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Пусть \( p_1, p_2 ,... p_m > 0 \). Покажем, что
\[ \mathcal{E}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
является внешней оценкой.

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+)^2 = \sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i>j} (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle +\dfrac{p_i}{p_j} \langle l, Q_jl \rangle) \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt{\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m)^2 \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численные вычисления с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые для реализации подобных программ:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [Разностные схемы для численного исчиселния].

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-07T15:27:43Z

Alexei: /* Постановка задачи */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_1\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача стоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидных исчислений.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Пусть \( p_1, p_2 ,... p_m > 0 \). Покажем, что
\[ \mathcal{E}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
является внешней оценкой.

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+)^2 = \sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i>j} (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle +\dfrac{p_i}{p_j} \langle l, Q_jl \rangle) \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt{\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m)^2 \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численные вычисления с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые для реализации подобных программ:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [Разностные схемы для численного исчиселния].

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-07T15:25:23Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_0\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача стоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидных исчислений.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Пусть \( p_1, p_2 ,... p_m > 0 \). Покажем, что
\[ \mathcal{E}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
является внешней оценкой.

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+)^2 = \sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i>j} (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle +\dfrac{p_i}{p_j} \langle l, Q_jl \rangle) \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt{\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m)^2 \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\\
Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численные вычисления с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые для реализации подобных программ:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [Разностные схемы для численного исчиселния].

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]

Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внешние оценки

2022-12-07T13:27:18Z

Alexei: /* Оценка множества разрешимости */

'''''Внешние оценки''''' [[Задача быстродействия "из множества во множество" | множества разрешимости]] позволяют аппроксимировать это множество "снаружи", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид. Также существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D1%8F%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B,_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%89%D0%B8_%D0%9E%D0%94%D0%A3,_%D0%B1%D0%B5%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B8._%D0%92%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8 внутренние оценки] которые позволяют аппроксимировать множество "изнутри".

== Постановка задачи ==

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи:
\begin{equation}
\label{1}
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\
x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t),
\end{cases}
\end{equation}
где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_0\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоидами]]:
\[
\mathcal{X}_1 = \mathcal{E}(x_1, X_1) \subset \mathbb{R}^n,
\]
\[
\mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m.
\]
Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\). Матрицы \(A(t), B(t), q(t), Q(t) \) - непрерывны на \([t_0, t_1] \)

Задача стоит в построение множества разрешимости для нашей системы.

== Эллипсоидные свойства ==
Рассмотрим некоторые необходимые нам свойства эллипсоидных исчислений.

==== Замечание 1 ====
''Т.к. [[Выпуклое множество и его свойства | выпуклое множество]] однозначно определяется своей [[Опорная функция множества | опорной функцией]], то [[Эллипсоид и его основные свойства | эллипсоид]] с центром в точке q и матрицей Q можно определить как множество, построенное в направлении некоторого ненулевого вектора l:''
\[\mathcal{E}(q, Q) = \{x \in \mathbb{R}^n \:|\: \langle x,\,l \rangle \leq \langle l,\,q \rangle + \langle l,\,Ql \rangle^\frac{1}{2}\},\]

=== Утверждение 1 ===
'' Для любой матрицы A и любого эллипсоида с центром в точке q и матрицей Q выполнено тождество:''
\[A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA').\]

===== Доказательство =====
Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их [[Опорная функция множества | опорных функций]]:
\[
\rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l
\rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')).
\]

=== Внешняя оценка для суммы эллипсоидов ===
Обозначим эллипсоид с центром \( q \in \mathbb{R}^n \) и матрицей конфигурации \( Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
\[ \mathcal{E}(q,Q) = \{x: \langle (x-q), Q^{-1}(x-q) \rangle \leq 1 \} \]

Пусть \( p_1, p_2 ,... p_m > 0 \). Покажем, что
\[ \mathcal{E}_+ = \left(p_1 + ... + p_m \right) \left(\frac{Q_1}{p_1} + ... + \frac{Q_m}{p_m} \right)\]
является внешней оценкой.

Действительно,
\[ \rho(l| \mathcal{E}_+)^2 = \sum \limits_{i=1}^m \langle l, Q_i l \rangle + \sum \limits_{i>j} (\dfrac{p_j}{p_i} \langle l, Q_il \rangle +\dfrac{p_i}{p_j} \langle l, Q_jl \rangle) \geq \left \{ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \right \} \geq \sum \limits_{i=1}^m \langle l,Q_il \rangle +2 \sum\limits_{i>j} \sqrt{\langle l,Q_il \rangle \langle l,Q_jl \rangle} = \rho (l| \mathcal{E}_1+...+\mathcal{E}_m)^2 \]
Отсюда следует
\[ \sum \limits^m_{i=1} \mathcal{E}(q_i,Q_i) \subseteq \mathcal{E}_+ \]
Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда \( p_i = \sqrt{\langle l,Q_i l \rangle}, i=1,...,m.\).

== Оценка множества разрешимости ==
Для системы (\ref{1}) справедлива формула Коши:
\[x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau,\]
где \(X(t, \tau) \) - фундаментальная матрица,удовлетворяющая системе:

\[
\left\{\begin{aligned}
& \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
& X(\tau,\tau) = I.
\end{aligned}\right.
\]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\) эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим:
\[\mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \]
\[ - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau.\]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм
\[\lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E}(X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)),\]

Из внешней оценки для суммы эллипсоидов можно получить внешнюю оценку:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+ = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_+\right),\]
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\cdot \left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),
\label{Q_plus}
\end{equation}

где \(p_1,\,p(\tau)\) определяются выражениями:
\begin{equation}
p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},
\label{p1}
\end{equation}
\begin{equation}
p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.
\label{ptau}
\end{equation}

=== Оптимизация вычислений внешней оценки ===

Из выражений (\ref{1})-(\ref{ptau}) следует, что матрица эллипсоида внешней оценки в направлении \(l\) определяется формулами:
\[Q_+ = \left(p_1-\int^{t_1}_t p(\tau)d\tau\right)\left(\frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1}-\int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau\right),\]
\[p_1 = \langle l(t),\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)l(t) \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l(t),\, X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)l(t) \rangle^\frac{1}{2}.\]

Здесь \(p_1, p(\tau)\) так же зависят от \(t\). Cделаем замену:
\[l(t) = X'(t_1,t)l_1.\]

Тогда выражения для \(p_1, p(\tau)\) преобразуются:
\[p_1 = \langle l_1,\,X_1l_1 \rangle^\frac{1}{2},\]
\[p(\tau) = \langle l_1,\,X(t_1,\tau)B(\tau)Q(\tau) B'(\tau)X'(t_1,\tau)l_1 \rangle^\frac{1}{2}.\]

=== Построение внешней оценки===

Обозначим:
\[\tilde{A}(t) = p_1 - \int^{t_1}_t p(\tau)d\tau,\]
\[\tilde{B}(t) = \frac{X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)}{p_1} - \int^{t_1}_t\frac{X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)}{p(\tau)}d\tau.\]

Тогда (\ref{Q_plus}) преобразуется в:
\[Q_+(t) = \tilde{A}(t)\tilde{B}(t).\]

Продифференцируем полученное выражение:
\[\dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = \dfrac{\partial \tilde{A}}{\partial t}\tilde{B} + \tilde{A}\frac{\partial \tilde{B}}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) +\]
\[+ \tilde{A}\left( \dfrac{A(t)X(t,\tau)X_1X'(t,\tau) + X(t,\tau)X_1X'(t,\tau)A'(t)}{p_1} + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) -\]
\[-\tilde{A}\int^{t_1}_t \dfrac{A(t)X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau) + X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)A'(t)}{p(\tau)}d\tau = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A(t)}\left( A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} \right) = \{\tilde{A}(t) \in \mathbb{R}^{1\times 1}\} =\]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)\tilde{A}(t)\tilde{B}(t) + \tilde{A}(t)\tilde{B}(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)} = \]
\[= p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}.\]

Таким образом, получим:
\begin{equation}
\begin{cases}
& \dfrac{\partial Q_+(t)}{\partial t} = p(t)\tilde{B}(t) + A(t)Q_+(t) + Q_+(t)A'(t) + \tilde{A}(t)\dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
& Q_+(t_1) = X_1.
\label{u3}
\end{cases}
\end{equation}

При этом для \(\tilde{A}(t), \tilde{B}(t)\) можно также выразить систему дифференциальных уравнений:
\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial \tilde{A}(t)}{\partial t} = p(t), \\
\dfrac{\partial \tilde{B}(t)}{\partial t} = A(t)\tilde{B}(t) + \tilde{B}(t)A'(t) + \dfrac{B(t)Q(t)B'(t)}{p(t)}, \\
\tilde{A}(t_1) = p_1, \\
\tilde{B}(t_1) = \dfrac{X_1}{p_1}.

\label{u2}
\end{cases}
\end{equation}

Вспомним, что фундаментальная матрица \(X(t,t_1)\) определяется следующей системой:
\begin{equation}
\begin{cases}
\label{u1}
\dfrac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\
X(\tau,\tau) = I.
\end{cases}
\end{equation}

Совместно решая системы (\ref{u3}), (\ref{u2}) и (\ref{u1}), можно получить \(Q_+(t)\) численным интегрированием. Центр искомого эллипсоида также удовлетворяет системе (\ref{q_sys}):

\begin{equation}
\begin{cases}
\dfrac{\partial q_\varepsilon}{\partial t} = A(t)q_\varepsilon(t) + B(t)q_\varepsilon(t), \\
q_\varepsilon(t_1) = x_1.
\label{q_sys}
\end{cases}
\end{equation}

== Пример вычисленний ==
Приведем примеры численные вычисления с помощью внешних оценок для наглядности наших аналитических вычислений. Данный алгоритм выходит за рамки нашей статьи, так что мы не будем рассматривать их. Однако для пытливых слушателей приведу разделы необходимые для реализации подобных программ:

* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперсфера гиперсферической системой координат]
* [Разностные схемы для численного исчиселния].

\[A(t) = \begin{bmatrix} 1 & t \\ \sin{t} & -1 \end{bmatrix},\;\;B(t) = \begin{bmatrix} -1 & 0.5 \\ t & 5\sin{t} \end{bmatrix},\;\;Q(t) = \begin{bmatrix} 2 & -0.3t^2 \\ -0.2t^2 & 1 \end{bmatrix},\;\;X_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\]
\[x_1 = \begin{bmatrix} 20 \\ 0 \end{bmatrix},\;\;q(t) = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix},\;\;t_1 = 1,\;\;\varepsilon = 10^{-3}.\]

[[Файл:Pr1.jpg|700px |мини|центр]]

Трубка разрешимости для указанной системы будет иметь вид:

[[Файл:Pr2.jpg|700px|мини|центр]]

[[Категория:ДП]]