sawiki - Вклад участника [ru]

Замкнутый линейный оператор

2025-12-08T20:33:01Z

Anastasia24: /* Теорема Банаха о замкнутом графике */

==Прямая сумма линейных пространств==
'''Определение'''. ''Прямой суммой'' $$Z = X \oplus Y$$ двух линейных пространств $$X$$ и $$Y$$ называется совокупность пар $$z = (x, y)$$ $$(x \in X, y \in Y)$$, для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если $$z_1 = (x_1, y_1)$$, а $$z_2 = (x_2, y_2)$$ и $$\alpha_1, \alpha_2$$ — скаляры, то
\begin{equation*}
\alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2 = (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2).
\end{equation*}

Если $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, то норма в $$X \oplus Y$$ вводится по формуле $$\|z\| = \|x\|_X + \|y\|_Y$$.

'''Утверждение'''. Если $$X$$ и $$Y$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы], то $$X \oplus Y$$ банахово.

==График оператора==
Пусть $$y = F(x)$$ — оператор с областью определения $$D(F)$$ в банаховом пространстве $$X$$ и с областью значений в банаховом пространстве $$Y$$.

'''Определение'''. ''Графиком'' оператора $$F$$ называется совокупность пар $$(x, F(x))$$, где $$x \in D(F)$$.

График оператора является подмножеством пространства $$X \oplus Y$$.

Пусть ниже $$F \equiv A$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора линейный] оператор.

'''Определение'''. Линейный оператор $$A : X \rightarrow Y$$ называется ''замкнутым'', если его график является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство замкнутым] множеством $$X \oplus Y$$.

Замкнутость графика оператора $$A$$ означает, что если $$x_n \in D(A)$$ и $$(x_n, Ax_n) \rightarrow (x, y)$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

Так как $$\|z\| = \|x\| + \|y\|$$, то определение замкнутости оператора $$A$$ можно записать так: если $$x_n \in D(A), x_n \rightarrow x, Ax_n \rightarrow y$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

'''Теорема 1'''. Если $$D(A) = X$$ и $$A$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора ограничен] (то есть $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$), то $$A$$ ''замкнут''.

''Доказательство''. Пусть $$x_n \rightarrow x$$ и $$Ax_n \rightarrow y$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Ввиду непрерывности $$A \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax, n \rightarrow \infty$$. Но предел единственен и, значит, $$y = Ax$$.

'''Теорема 2'''. Если $$A$$ ''замкнут'' и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ также ''замкнут''.

''Доказательство''. Рассмотрим графики операторов $$A$$ и $$A^{-1}$$:
\begin{equation*}
\{(x, Ax)\}, \quad x \in D(A),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\{(y, A^{-1}y)\}, \quad y \in R(A).
\end{equation*}
Но график оператора $$A^{-1}$$ можно записать в виде $$\{(Ax, x)\}, x\in D(A)$$, то есть он получается из графика оператора $$A$$ перестановкой $$x$$ и $$Ax$$ и, значит, также является замкнутым множеством в $$Y \oplus X$$.

Это и означает замкнутость оператора $$A^{-1}$$.

'''Следствие'''. Если $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ замкнут.

==Примеры==
'''Пример 1'''. В [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовом] пространстве $$H$$ с ортонормированным базисом $$\{e_k\}_1^\infty$$ зададим линейный оператор $$A$$ следующими формулами:
\begin{equation*}
Ae_k = \lambda_k e_k, \quad k = 1, 2, \ldots,
\end{equation*}
где $$\lambda_k$$ — некоторые скаляры.

Если $$x \in H$$, то $$x = \sum_{k=1}^{\infty}\xi_k e_k$$, где ряд $$\|x\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\xi_k|^2$$ сходится.

Тогда $$Ax = \sum_{k=1}^{\infty}\lambda_k \xi_k e_k$$. Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда
\begin{equation}\label{ex1}
\|Ax\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\lambda_k|^2|\xi_k|^2 < \infty.
\end{equation}
возможны следующие два случая:

''a)'' $$\{|\lambda_k|\}$$ ограничена. Пусть $$c_A = \sup_k|\lambda_k|$$. Тогда $$\|Ax\|^2 \leq c_A^2\|x\|^2$$, откуда — $$A$$ ограничен, а значит, и замкнут.

''б)'' $$\{|\lambda_k|\}$$ неограничена. Оператор $$A$$ неограничен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из элементов $$x$$, удовлетворяющих неравенству (\ref{ex1}). Оператор $$A$$ неограничен ввиду того, что $$\|Ae_k\| = |\lambda_k|$$ при $$k \rightarrow \infty$$ неограничены, хотя $$\|e_k\| = 1$$. Если $$\inf_k|\lambda_k| = c_A > 0$$, то существует $$A^{-1}$$, определяемый на элементах
\begin{equation*}
y = \sum_{k=1}^\infty \eta_k e_k, \quad \sum_{k=1}^\infty |\eta_k|^2 < \infty,
\end{equation*}
\begin{equation*}
A^{-1}y = \sum_{k=1}^\infty \lambda_k^{-1}\eta_k e_k.
\end{equation*}
Поскольку $$\sup_k|\lambda_k^{-1}| = c_A^{-1} < \infty$$, то $$A^{-1}$$ ограничен. Таким образом, условие $$\inf_k|\lambda_k| > 0$$, согласно ''Теореме 2'' обеспечивает замкнутость $$A$$.

'''Пример 2'''. Пусть $$X = Y = C[0, +\infty)$$ — банахово пространство функций $$x(t)$$, непрерывных на полуоси $$[0, +\infty)$$ с нормой $$\|x\| = \sup_{[0, +\infty)} |x(t)|$$.

Зададим в $$X$$ оператор $$A$$ по формуле $$Ax = tx(t)$$. Оператор $$A$$ линеен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из функций, удовлетворяющих неравенству
\begin{equation*}
|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t},
\end{equation*}
где постоянная $$c$$ — своя для каждой функции из $$D(A)$$.

Оператор $$A$$ неограничен. Действительно, рассмотрим последовательность функций $$x_n(t) = \frac{n}{n + t}\quad (n = 1, 2, \ldots)$$. Заметим, что $$x_n(t) \in D(A)$$, так как $$|x_n(t)| = \frac{n}{n + t} \leq \frac{n}{1 + t}$$. Кроме того, ясно, что $$\|x_n\| = 1$$. Теперь имеем
\begin{equation*}
\|Ax_n\| = \sup_{[0, +\infty)}\frac{nt}{n + t} = n,
\end{equation*}
следовательно,
\begin{equation*}
\sup_{x\in D(A), \|x\|\leq 1} \|Ax\| = +\infty.
\end{equation*}
Покажем, что $$A$$ замкнут. Пусть в $$X$$ $$x_n(t) \rightarrow x(t), tx_n(t) \rightarrow y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Тогда $$(1 + t)x_n(t) \rightarrow x(t) + y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Следовательно, для любого $$\varepsilon > 0$$ найдется номер $$N$$ такой, что если $$n > N$$, то
\begin{equation*}
|(1 + t)x_n(t) - (x(t) + y(t))| < \varepsilon
\end{equation*}
для всех $$t \in [0, +\infty)$$, или
\begin{equation*}
\left|x_n(t) - \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}\right| < \frac{\varepsilon}{1 + t} < \varepsilon.
\end{equation*}
Следовательно, $$x_n(t) \rightarrow \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}$$ при $$n \rightarrow \infty$$, но $$x_n(t) \rightarrow x(t)$$, поэтому
\begin{equation*}
\frac{x(t) + y(t)}{1 + t} = x(t) \quad \Rightarrow \quad y(t) = tx(t).
\end{equation*}
Из равенства
\begin{equation*}
x(t) = \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}
\end{equation*}
получаем
\begin{equation*}
|x(t)| = \frac{|x(t) + y(t)|}{1 + t} \leq \frac{\|x + y\|}{1 + t} \leq \frac{\|x\| + \|y\|}{1 + t}.
\end{equation*}
Значит, если взять $$c = \|x\| + \|y\|$$, получим, что $$|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t}$$. Следовательно, $$x \in D(A)$$.

Тогда $$y = Ax$$.

'''Пример 3'''. В пространстве $$C[a, b]$$ рассмотрим оператор дифференцирования $$Dx = \frac{d x(t)}{d t}$$ с областью определения $$G(D)$$, состоящей из непрерывно дифференцируемых на $$[a, b]$$ функций. Оператор $$D$$ неограничен.

Для доказательства его неограниченности возьмём последовательность $$x_n(t) = \sin nt$$ $$(n = 1, 2, \ldots), x_n \in G(D)$$ и $$\|x_n\| = 1$$, однако $$\|D x_n\| = n$$, если $$n$$ достаточно велико, и поэтому
\begin{equation*}
\sup_{x\in G(D), \|x\| \leq 1} = +\infty
\end{equation*}
и $$D$$ неограничен.

Покажем, что $$D$$ замкнут. Сходимость в $$C[a, b]$$ равномерная. Пусть $$x_n(t) \in G(D)$$, и пусть при $$n \rightarrow \infty$$

$$x_n(t) \rightarrow x(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$,

$$\dot x_n(t) \rightarrow y(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$.

Согласно теореме о дифференцировании функциональной последовательности функция $$x(t)$$ непрерывно дифференцируема и $$\dot x(t) = y(t)$$. Итак, $$D$$ замкнут.

'''Пример 4'''. Рассмотрим в пространстве $$C[a, b]$$ оператор дифференцирования $$D$$, но на этот раз в качестве его области определения $$G(D)$$ возьмем множество всех непрерывно дифференцируемых на $$\left(a, b\right]$$ функций, удовлетворяющих граничному условию $$x(a) = 0$$. Теперь $$D$$ имеет обратный оператор:
\begin{equation*}
D^{-1}y = \int_a^t y(s) ds.
\end{equation*}
Оператор $$D^{-1}$$ определен всюду в $$C[a, b]$$ и ограничен, так как
\begin{equation*}
\|D^{-1}y\| \leq (b - a)\|y\|.
\end{equation*}
По ''Теореме 2'' оператор $$D$$ замкнут.

'''Пример 5'''.
Пусть $$X$$ — банахово пространство, оператор $$A : X \rightarrow X$$ задан как $$Ax = x$$.

Очевидно, что $$A$$ линейный и ограниченный ($$\|A\| = 1$$). Тогда по ''Теореме 2'' тождественный оператор является замкнутым.

'''Пример 6'''.
Рассмотрим банахово пространство $$C[0, 1]$$. Здесь $$\|x\| = \max_{t \in [0, 1]}|x(t)|$$.

Рассмотрим оператор
\begin{equation*}
Ax(t) = \int_0^t x(s) ds, \quad t \in [0, 1].
\end{equation*}
Очевидно, этот оператор является линейным. Докажем ограниченность: для любого $$x \in C[0, 1]$$
\begin{equation*}
|Ax(t)| = \left| \int_0^t x(s) ds\right| \leq \int_0^t |x(s)| ds \leq \int_0^t \|x\| ds.
\end{equation*}
Значит,
\begin{equation*}
\|Ax\| = \max_{t \in [0, 1]}|Ax(t)| \leq \|x\|.
\end{equation*}
Тогда по ''Теореме 2'' оператор $$A$$ замкнут.

'''Пример 7'''.
Пусть $$X = Y = \mathcal{l}_2$$. Зададим область определения оператора $$D(A) = \{ x\in \mathcal{l_2} : x_k = 0$$ для всех достаточно больших $$k\}$$.

Пусть оператор $$A$$ является тождественным, то есть $$Ax = x, x \in D(A)$$. Очевидно, этот оператор линейный.

Рассмотрим последовательность
\begin{equation*}
x = \left( \frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{3^2}, \ldots\right).
\end{equation*}
Покажем, что $$x \in \mathcal{l}_2$$:
\begin{equation*}
\sum_{k = 1}^\infty \left| \frac{1}{k^2}\right|^2 = \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k^4} < \infty.
\end{equation*}
Рассмотрим последовательность $$x^{(n)}$$:
\begin{equation*}
x^{(n)} = \left(\frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2}, \ldots, \frac{1}{n^2}, 0, 0, \ldots\right).
\end{equation*}
Тогда для каждого $$n$$ справедливо, что $$x^{(n)} \in D(A), x^{(n)} \rightarrow x$$ в $$\mathcal{l}_2$$ при $$n \rightarrow \infty$$ и $$Ax^{(n)} = x^{(n)} \rightarrow x$$.

Но $$x \not\in D(A)$$, что противоречит определению замкнутого оператора.

Таким образом, представленный выше оператор является линейным незамкнутым оператором.

==Теорема Банаха о замкнутом графике==
'''Теорема 3'''. ''(Банаха о замкнутом графике)''. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

'''Определение'''. Множество в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора нормированном] пространстве называется ''множеством I категории'', если оно есть объединение счетного числа нигде не плотных множеств. Если множество нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств, то оно называется ''множеством II категории''.

'''Теорема 4'''.''(Бэра-Хаусдорфа о категориях)''. Всякое банахово пространство является множеством II категории.

'''Лемма'''. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Пусть, далее, существует плотное в $$X$$ множество $$M$$ и постоянная $$c > 0$$, такие что $$\|Ax\| \leq c\|x\|$$ для всех $$x \in M$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

''Доказательство леммы''. Выберем элемент $$x_0 \in X$$. Покажем, что найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что
\begin{equation}\label{lemm}
\|x_1\| \leq \|x_0\|, \quad \|x_1 - x_0\| \leq \frac{1}{2} \|x_0\|.
\end{equation}
Действительно, вследствие плотности $$M$$ в $$X$$ для $$x_\varepsilon = (1 - \varepsilon)x_0, \varepsilon \in (0, 1)$$, найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что $$\|x_\varepsilon - x_1\| \leq \varepsilon \|x_0\|$$.

Оказывается, $$\varepsilon$$ можно подобрать так, чтобы элемент $$x_1$$ удовлетворял условию (\ref{lemm}). Имеем
\begin{equation*}
\|x_1\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon\| + \|x\varepsilon\| \leq \varepsilon \|x_0\| + (1 - \varepsilon)\|x_0\| = \|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_1 - x_0\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon \| + \|x_\varepsilon - x_0\| \leq \varepsilon \|x_0\| + \varepsilon \|x_0\| = 2\varepsilon\|x_0\|.
\end{equation*}
Возьмём $$\varepsilon = \frac{1}{4}$$ и получим неравенства (\ref{lemm}).

Аналогично можно показать, что для элемента $$x_0 - x_1$$ найдётся элемент $$x_2 \in M$$ такой, что
\begin{equation*}
\|x_0 - x_1 - x_2\| \leq \frac{1}{2}\|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{4}\|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_2\| \leq \|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{2}\|x_0\|.
\end{equation*}
Повторяя эти построения, можно доказать, что для каждого натурального $$n$$ найдутся $$x_1, x_2, \ldots, x_n \in M$$ такие, что
\begin{equation*}
\|x_0 - (x_1 + \ldots + x_n)\| \leq \frac{1}{2^n}\|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_n\| \leq \frac{1}{2^{n-1}}\|x_0\|.
\end{equation*}
Отсюда вытекает, что
\begin{equation*}
x_0 = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n, \quad s_n = \sum_{k = 1}^{n}x_k.
\end{equation*}
Так как
\begin{equation*}
\|Ax_k\| \leq c\|x_k\| \leq \frac{c}{2^{k-1}}\|x_0\|,
\end{equation*}
то ряд $$\sum_{k=1}^{\infty}Ax_k$$ сходится абсолютно. Пусть $$y$$ — его сумма. Поскольку при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
As_n \rightarrow y, \quad s_n \rightarrow x_0,
\end{equation*}
то, вследствие замкнутости оператора $$A$$,
\begin{equation*}
Ax_0 = \sum_{k=1}^{\infty}Ax_k.
\end{equation*}
Но тогда имеем оценку
\begin{equation*}
\|Ax_0\| \leq \sum_{k = 1}^{\infty}\|Ax_k\| \leq c\sum_{k = 1}^{\infty}\|x_k\| \leq 2c\|x_0\|.
\end{equation*}
Вследствие произвольности $$x_0$$ доказана ограниченность оператора $$A$$, а значит, и лемма доказана.

''Доказательство Теоремы 3''. Для каждого натурального числа $$n$$ рассмотрим множество
\begin{equation}\label{t1}
X_n = \{x \in X : \|Ax\| \leq n\|x\|\}.
\end{equation}
Далее, очевидно,
\begin{equation}\label{t2}
X = \bigcup_{n=1}^{\infty}X_n.
\end{equation}
По ''Теореме 4'' пространство $$X$$ , вследствие его полноты, является множеством II категории. Но тогда по (\ref{t2}) существует $$X_n$$, плотное в некотором шаре $$S \subset X$$. В противном случае $$X$$ оказалось бы объединением счётного числа нигде не плотных множеств $$X_n$$, то есть множеством I категории. Следовательно, имеем
\begin{equation*}
\overline{S \cap X_n} = \overline{S}.
\end{equation*}
Пусть далее $$x_0 \in S\cap X_{n_0}$$, а $$S_0$$ — шар с центром в $$x_0$$, радиуса $$r_0$$ настолько малого, что $$S_0 \subset S$$. Тогда
\begin{equation}\label{t3}
\overline{S_0 \cap X_{n_0}} = \overline{S_0}.
\end{equation}
Выберем теперь элемент $$u_0 \in X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$ и рассмотрим элемент $$y_0 = x_0 + u_0$$. Так как $$\|y_0 - x_0\| = \|u_0\| = r_0$$, то $$y_0 \in \overline{S_0}$$.
Вследствие соотношения (\ref{t3}) найдётся последовательность
\begin{equation}\label{t4}
\{y_n\} \subset S_0\cap X_{n_0}
\end{equation}
такая, что при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
y_n \rightarrow y_0 = x_0 + u_0.
\end{equation*}
Рассмотрим теперь последовательность
\begin{equation}\label{t6}
\{u_n\} = \{y_n - x_0\}.
\end{equation}
Заметим, что вследствие (\ref{t4})
\begin{equation}\label{t7}
\|u_n\| = \|y_n - x_0\| \leq r_0.
\end{equation}
Вспоминая определение $$X_n$$ из (\ref{t1}) и пользуясь тем, что $$y_n \in X_{n_0}, x_0 \in X_{n_0}$$, а также выражениями (\ref{t6}), (\ref{t7}), получаем следующую оценку:
\begin{equation*}
\|Au_n\| = \|A(y_n - x_0)\| \leq \|Ay_n\| + \|Ax_0\| \leq n_0(\|y_n\| + \|x_0\|) =
\end{equation*}
\begin{equation}\label{t8}
= n_0(\|u_n + x_0\| + \|x_0\|) \leq n_0(\|u_n\| + 2\|x_0\|) \leq n_0(r_0 + 2\|x_0\|).
\end{equation}
Далее, так как при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
\|u_n\| = \|y_n - x_0\| \rightarrow r_0,
\end{equation*}
то найдётся номер $$N$$ такой, что при всех $$n > N$$ выполняется неравенство
\begin{equation*}
\|u_n\| > \frac{1}{2}r_0 \quad \Rightarrow 1 < \frac{2}{r_0}\|u_n\|.
\end{equation*}
Продолжая оценку (\ref{t8}) при $$n > N$$, приходим к оценке
\begin{equation}\label{t9}
\|Au_n\| \leq \frac{2n_0}{r_0}\|u_n\|(r_0 + 2\|x_0\|).
\end{equation}
Отсюда получаем следующий вывод: при всех $$n > N$$ по определению (\ref{t1}) $$u_n \in X_{n_1}$$, где $$n_1 = 2n_0 + 4n_0\frac{\|x_0\|}{r_0}$$.

При $$n \rightarrow \infty$$ из неравенства (\ref{t9}) получаем $$u_n \rightarrow u_0$$, где $$u_0$$ — любой элемент $$X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$. Но из (\ref{t1}) следует, что $$X_{n_1}$$ содержит вместе с каждым $$x$$ и $$\lambda x$$ при любом $$\lambda$$. Таким образом, $$X_{n_1}$$ плотно в $$X$$, и так как на $$X_{n_1}$$ выполнено $$\|Ax\| \leq n_1\|x\|$$, то по ''Лемме'' оператор ограничен, и теорема полностью доказана.

'''Следствие 1'''. Если $$A$$ — замкнутый оператор, отображающий банахово пространство $$X$$ на банахово пространство $$Y$$ взаимно однозначно, то есть $$R(A) = Y$$, то оператор $$A^{-1}$$ ограничен.

''Доказательство''. По условию ''Следствия 1'' $$D(A) = X$$ и $$A$$ замкнут. По ''Теореме 3'' $$A$$ ограничен. По теореме Банаха $$A^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$.

'''Следствие 2'''. Пусть на некотором линейном пространстве $$E$$ заданы две нормы $$\|x\|_1$$ и $$\|x\|_2$$, по отношению к каждой из которых $$E$$ — банахово пространство. Если одна из норм подчинена другой, то эти нормы [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство эквивалентны].

''Доказательство''. Обозначим через $$X_1$$ пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_1$$, а через $$X_2$$ — пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_2$$.

Пусть, например, $$\|\cdot\|_1$$ подчинена $$\|\cdot\|_2$$. Это означает, что существует постоянная $$c > 0$$ такая, что для всех $$x$$
\begin{equation}\label{sl}
\|x\|_1 \leq c\|x\|_2.
\end{equation}
Определим оператор $$A$$, отображающий $$X_1$$ на $$X_2$$, по формуле $$Ax = x$$ (в левой части $$x \in X$$ как элемент из $$X_1$$, а в правой части он же как элемент из $$X_2$$).

Очевидно, $$D(A) = X_1$$, $$A$$ линеен и отображает $$X_1$$ взаимно однозначно на $$R(A) = X_2$$. Неравенство (\ref{sl}) означает, что $$\|A\| \leq c$$, то есть $$A$$ ограничен.

Из ''Следствия 1'' $$A^{-1} \in \mathcal{L}(X_2, X_1)$$, то есть
\begin{equation*}
\|x\|_2 \leq \|A^{-1}\| \|x\|_1.
\end{equation*}
Итак, $$c_1\|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq c\|x\|_2$$, где $$c_1 = \|A^{-1}\|^{-1}$$. Это и означает эквивалентность норм.

== Список литературы ==

1. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2002.

2. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу, 1984.

Замкнутый линейный оператор

2025-12-08T20:24:13Z

Anastasia24: /* Теорема Банаха о замкнутом графике */

==Прямая сумма линейных пространств==
'''Определение'''. ''Прямой суммой'' $$Z = X \oplus Y$$ двух линейных пространств $$X$$ и $$Y$$ называется совокупность пар $$z = (x, y)$$ $$(x \in X, y \in Y)$$, для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если $$z_1 = (x_1, y_1)$$, а $$z_2 = (x_2, y_2)$$ и $$\alpha_1, \alpha_2$$ — скаляры, то
\begin{equation*}
\alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2 = (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2).
\end{equation*}

Если $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, то норма в $$X \oplus Y$$ вводится по формуле $$\|z\| = \|x\|_X + \|y\|_Y$$.

'''Утверждение'''. Если $$X$$ и $$Y$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы], то $$X \oplus Y$$ банахово.

==График оператора==
Пусть $$y = F(x)$$ — оператор с областью определения $$D(F)$$ в банаховом пространстве $$X$$ и с областью значений в банаховом пространстве $$Y$$.

'''Определение'''. ''Графиком'' оператора $$F$$ называется совокупность пар $$(x, F(x))$$, где $$x \in D(F)$$.

График оператора является подмножеством пространства $$X \oplus Y$$.

Пусть ниже $$F \equiv A$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора линейный] оператор.

'''Определение'''. Линейный оператор $$A : X \rightarrow Y$$ называется ''замкнутым'', если его график является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство замкнутым] множеством $$X \oplus Y$$.

Замкнутость графика оператора $$A$$ означает, что если $$x_n \in D(A)$$ и $$(x_n, Ax_n) \rightarrow (x, y)$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

Так как $$\|z\| = \|x\| + \|y\|$$, то определение замкнутости оператора $$A$$ можно записать так: если $$x_n \in D(A), x_n \rightarrow x, Ax_n \rightarrow y$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

'''Теорема 1'''. Если $$D(A) = X$$ и $$A$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора ограничен] (то есть $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$), то $$A$$ ''замкнут''.

''Доказательство''. Пусть $$x_n \rightarrow x$$ и $$Ax_n \rightarrow y$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Ввиду непрерывности $$A \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax, n \rightarrow \infty$$. Но предел единственен и, значит, $$y = Ax$$.

'''Теорема 2'''. Если $$A$$ ''замкнут'' и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ также ''замкнут''.

''Доказательство''. Рассмотрим графики операторов $$A$$ и $$A^{-1}$$:
\begin{equation*}
\{(x, Ax)\}, \quad x \in D(A),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\{(y, A^{-1}y)\}, \quad y \in R(A).
\end{equation*}
Но график оператора $$A^{-1}$$ можно записать в виде $$\{(Ax, x)\}, x\in D(A)$$, то есть он получается из графика оператора $$A$$ перестановкой $$x$$ и $$Ax$$ и, значит, также является замкнутым множеством в $$Y \oplus X$$.

Это и означает замкнутость оператора $$A^{-1}$$.

'''Следствие'''. Если $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ замкнут.

==Примеры==
'''Пример 1'''. В [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовом] пространстве $$H$$ с ортонормированным базисом $$\{e_k\}_1^\infty$$ зададим линейный оператор $$A$$ следующими формулами:
\begin{equation*}
Ae_k = \lambda_k e_k, \quad k = 1, 2, \ldots,
\end{equation*}
где $$\lambda_k$$ — некоторые скаляры.

Если $$x \in H$$, то $$x = \sum_{k=1}^{\infty}\xi_k e_k$$, где ряд $$\|x\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\xi_k|^2$$ сходится.

Тогда $$Ax = \sum_{k=1}^{\infty}\lambda_k \xi_k e_k$$. Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда
\begin{equation}\label{ex1}
\|Ax\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\lambda_k|^2|\xi_k|^2 < \infty.
\end{equation}
возможны следующие два случая:

''a)'' $$\{|\lambda_k|\}$$ ограничена. Пусть $$c_A = \sup_k|\lambda_k|$$. Тогда $$\|Ax\|^2 \leq c_A^2\|x\|^2$$, откуда — $$A$$ ограничен, а значит, и замкнут.

''б)'' $$\{|\lambda_k|\}$$ неограничена. Оператор $$A$$ неограничен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из элементов $$x$$, удовлетворяющих неравенству (\ref{ex1}). Оператор $$A$$ неограничен ввиду того, что $$\|Ae_k\| = |\lambda_k|$$ при $$k \rightarrow \infty$$ неограничены, хотя $$\|e_k\| = 1$$. Если $$\inf_k|\lambda_k| = c_A > 0$$, то существует $$A^{-1}$$, определяемый на элементах
\begin{equation*}
y = \sum_{k=1}^\infty \eta_k e_k, \quad \sum_{k=1}^\infty |\eta_k|^2 < \infty,
\end{equation*}
\begin{equation*}
A^{-1}y = \sum_{k=1}^\infty \lambda_k^{-1}\eta_k e_k.
\end{equation*}
Поскольку $$\sup_k|\lambda_k^{-1}| = c_A^{-1} < \infty$$, то $$A^{-1}$$ ограничен. Таким образом, условие $$\inf_k|\lambda_k| > 0$$, согласно ''Теореме 2'' обеспечивает замкнутость $$A$$.

'''Пример 2'''. Пусть $$X = Y = C[0, +\infty)$$ — банахово пространство функций $$x(t)$$, непрерывных на полуоси $$[0, +\infty)$$ с нормой $$\|x\| = \sup_{[0, +\infty)} |x(t)|$$.

Зададим в $$X$$ оператор $$A$$ по формуле $$Ax = tx(t)$$. Оператор $$A$$ линеен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из функций, удовлетворяющих неравенству
\begin{equation*}
|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t},
\end{equation*}
где постоянная $$c$$ — своя для каждой функции из $$D(A)$$.

Оператор $$A$$ неограничен. Действительно, рассмотрим последовательность функций $$x_n(t) = \frac{n}{n + t}\quad (n = 1, 2, \ldots)$$. Заметим, что $$x_n(t) \in D(A)$$, так как $$|x_n(t)| = \frac{n}{n + t} \leq \frac{n}{1 + t}$$. Кроме того, ясно, что $$\|x_n\| = 1$$. Теперь имеем
\begin{equation*}
\|Ax_n\| = \sup_{[0, +\infty)}\frac{nt}{n + t} = n,
\end{equation*}
следовательно,
\begin{equation*}
\sup_{x\in D(A), \|x\|\leq 1} \|Ax\| = +\infty.
\end{equation*}
Покажем, что $$A$$ замкнут. Пусть в $$X$$ $$x_n(t) \rightarrow x(t), tx_n(t) \rightarrow y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Тогда $$(1 + t)x_n(t) \rightarrow x(t) + y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Следовательно, для любого $$\varepsilon > 0$$ найдется номер $$N$$ такой, что если $$n > N$$, то
\begin{equation*}
|(1 + t)x_n(t) - (x(t) + y(t))| < \varepsilon
\end{equation*}
для всех $$t \in [0, +\infty)$$, или
\begin{equation*}
\left|x_n(t) - \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}\right| < \frac{\varepsilon}{1 + t} < \varepsilon.
\end{equation*}
Следовательно, $$x_n(t) \rightarrow \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}$$ при $$n \rightarrow \infty$$, но $$x_n(t) \rightarrow x(t)$$, поэтому
\begin{equation*}
\frac{x(t) + y(t)}{1 + t} = x(t) \quad \Rightarrow \quad y(t) = tx(t).
\end{equation*}
Из равенства
\begin{equation*}
x(t) = \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}
\end{equation*}
получаем
\begin{equation*}
|x(t)| = \frac{|x(t) + y(t)|}{1 + t} \leq \frac{\|x + y\|}{1 + t} \leq \frac{\|x\| + \|y\|}{1 + t}.
\end{equation*}
Значит, если взять $$c = \|x\| + \|y\|$$, получим, что $$|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t}$$. Следовательно, $$x \in D(A)$$.

Тогда $$y = Ax$$.

'''Пример 3'''. В пространстве $$C[a, b]$$ рассмотрим оператор дифференцирования $$Dx = \frac{d x(t)}{d t}$$ с областью определения $$G(D)$$, состоящей из непрерывно дифференцируемых на $$[a, b]$$ функций. Оператор $$D$$ неограничен.

Для доказательства его неограниченности возьмём последовательность $$x_n(t) = \sin nt$$ $$(n = 1, 2, \ldots), x_n \in G(D)$$ и $$\|x_n\| = 1$$, однако $$\|D x_n\| = n$$, если $$n$$ достаточно велико, и поэтому
\begin{equation*}
\sup_{x\in G(D), \|x\| \leq 1} = +\infty
\end{equation*}
и $$D$$ неограничен.

Покажем, что $$D$$ замкнут. Сходимость в $$C[a, b]$$ равномерная. Пусть $$x_n(t) \in G(D)$$, и пусть при $$n \rightarrow \infty$$

$$x_n(t) \rightarrow x(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$,

$$\dot x_n(t) \rightarrow y(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$.

Согласно теореме о дифференцировании функциональной последовательности функция $$x(t)$$ непрерывно дифференцируема и $$\dot x(t) = y(t)$$. Итак, $$D$$ замкнут.

'''Пример 4'''. Рассмотрим в пространстве $$C[a, b]$$ оператор дифференцирования $$D$$, но на этот раз в качестве его области определения $$G(D)$$ возьмем множество всех непрерывно дифференцируемых на $$\left(a, b\right]$$ функций, удовлетворяющих граничному условию $$x(a) = 0$$. Теперь $$D$$ имеет обратный оператор:
\begin{equation*}
D^{-1}y = \int_a^t y(s) ds.
\end{equation*}
Оператор $$D^{-1}$$ определен всюду в $$C[a, b]$$ и ограничен, так как
\begin{equation*}
\|D^{-1}y\| \leq (b - a)\|y\|.
\end{equation*}
По ''Теореме 2'' оператор $$D$$ замкнут.

'''Пример 5'''.
Пусть $$X$$ — банахово пространство, оператор $$A : X \rightarrow X$$ задан как $$Ax = x$$.

Очевидно, что $$A$$ линейный и ограниченный ($$\|A\| = 1$$). Тогда по ''Теореме 2'' тождественный оператор является замкнутым.

'''Пример 6'''.
Рассмотрим банахово пространство $$C[0, 1]$$. Здесь $$\|x\| = \max_{t \in [0, 1]}|x(t)|$$.

Рассмотрим оператор
\begin{equation*}
Ax(t) = \int_0^t x(s) ds, \quad t \in [0, 1].
\end{equation*}
Очевидно, этот оператор является линейным. Докажем ограниченность: для любого $$x \in C[0, 1]$$
\begin{equation*}
|Ax(t)| = \left| \int_0^t x(s) ds\right| \leq \int_0^t |x(s)| ds \leq \int_0^t \|x\| ds.
\end{equation*}
Значит,
\begin{equation*}
\|Ax\| = \max_{t \in [0, 1]}|Ax(t)| \leq \|x\|.
\end{equation*}
Тогда по ''Теореме 2'' оператор $$A$$ замкнут.

'''Пример 7'''.
Пусть $$X = Y = \mathcal{l}_2$$. Зададим область определения оператора $$D(A) = \{ x\in \mathcal{l_2} : x_k = 0$$ для всех достаточно больших $$k\}$$.

Пусть оператор $$A$$ является тождественным, то есть $$Ax = x, x \in D(A)$$. Очевидно, этот оператор линейный.

Рассмотрим последовательность
\begin{equation*}
x = \left( \frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{3^2}, \ldots\right).
\end{equation*}
Покажем, что $$x \in \mathcal{l}_2$$:
\begin{equation*}
\sum_{k = 1}^\infty \left| \frac{1}{k^2}\right|^2 = \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k^4} < \infty.
\end{equation*}
Рассмотрим последовательность $$x^{(n)}$$:
\begin{equation*}
x^{(n)} = \left(\frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2}, \ldots, \frac{1}{n^2}, 0, 0, \ldots\right).
\end{equation*}
Тогда для каждого $$n$$ справедливо, что $$x^{(n)} \in D(A), x^{(n)} \rightarrow x$$ в $$\mathcal{l}_2$$ при $$n \rightarrow \infty$$ и $$Ax^{(n)} = x^{(n)} \rightarrow x$$.

Но $$x \not\in D(A)$$, что противоречит определению замкнутого оператора.

Таким образом, представленный выше оператор является линейным незамкнутым оператором.

==Теорема Банаха о замкнутом графике==
'''Теорема 3'''. ''(Банаха о замкнутом графике)''. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

'''Определение'''. Множество в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора нормированном] пространстве называется ''множеством I категории'', если оно есть объединение счетного числа нигде не плотных множеств. Если множество нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств, то оно называется ''множеством II категории''.

'''Теорема 4'''.''(Бэра-Хаусдорфа о категориях)''. Всякое банахово пространство является множеством II категории.

'''Лемма'''. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Пусть, далее, существует плотное в $$X$$ множество $$M$$ и постоянная $$c > 0$$, такие что $$\|Ax\| \leq c\|x\|$$ для всех $$x \in M$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

''Доказательство леммы''. Выберем элемент $$x_0 \in X$$. Покажем, что найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что
\begin{equation}\label{lemm}
\|x_1\| \leq \|x_0\|, \quad \|x_1 - x_0\| \leq \frac{1}{2} \|x_0\|.
\end{equation}
Действительно, вследствие плотности $$M$$ в $$X$$ для $$x_\varepsilon = (1 - \varepsilon)x_0, \varepsilon \in (0, 1)$$, найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что $$\|x_\varepsilon - x_1\| \leq \varepsilon \|x_0\|$$.

Оказывается, $$\varepsilon$$ можно подобрать так, чтобы элемент $$x_1$$ удовлетворял условию (\ref{lemm}). Имеем
\begin{equation*}
\|x_1\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon\| + \|x\varepsilon\| \leq \varepsilon \|x_0\| + (1 - \varepsilon)\|x_0\| = \|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_1 - x_0\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon \| + \|x_\varepsilon - x_0\| \leq \varepsilon \|x_0\| + \varepsilon \|x_0\| = 2\varepsilon\|x_0\|.
\end{equation*}
Возьмём $$\varepsilon = \frac{1}{4}$$ и получим неравенства (\ref{lemm}).

Аналогично можно показать, что для элемента $$x_0 - x_1$$ найдётся элемент $$x_2 \in M$$ такой, что
\begin{equation*}
\|x_0 - x_1 - x_2\| \leq \frac{1}{2}\|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{4}\|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_2\| \leq \|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{2}\|x_0\|.
\end{equation*}
Повторяя эти построения, можно доказать, что для каждого натурального $$n$$ найдутся $$x_1, x_2, \ldots, x_n \in M$$ такие, что
\begin{equation*}
\|x_0 - (x_1 + \ldots + x_n)\| \leq \frac{1}{2^n}\|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_n\| \leq \frac{1}{2^{n-1}}\|x_0\|.
\end{equation*}
Отсюда вытекает, что
\begin{equation*}
x_0 = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n, \quad s_n = \sum_{k = 1}^{n}x_k.
\end{equation*}
Так как
\begin{equation*}
\|Ax_k\| \leq c\|x_k\| \leq \frac{c}{2^{k-1}}\|x_0\|,
\end{equation*}
то ряд $$\sum_{k=1}^{\infty}Ax_k$$ сходится абсолютно. Пусть $$y$$ — его сумма. Поскольку при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
As_n \rightarrow y, \quad s_n \rightarrow x_0,
\end{equation*}
то, вследствие замкнутости оператора $$A$$,
\begin{equation*}
Ax_0 = \sum_{k=1}^{\infty}Ax_k.
\end{equation*}
Но тогда имеем оценку
\begin{equation*}
\|Ax_0\| \leq \sum_{k = 1}^{\infty}\|Ax_k\| \leq c\sum_{k = 1}^{\infty}\|x_k\| \leq 2c\|x_0\|.
\end{equation*}
Вследствие произвольности $$x_0$$ доказана ограниченность оператора $$A$$, а значит, и лемма доказана.

''Доказательство Теоремы 3''. Для каждого натурального числа $$n$$ рассмотрим множество
\begin{equation}\label{t1}
X_n = \{x \in X : \|Ax\| \leq n\|x\|\}.
\end{equation}
Далее, очевидно,
\begin{equation}\label{t2}
X = \bigcup_{n=1}^{\infty}X_n.
\end{equation}
По ''Теореме 4'' пространство $$X$$ , вследствие его полноты, является множеством II категории. Но тогда по (\ref{t2}) существует $$X_n$$, плотное в некотором шаре $$S \subset X$$. В противном случае $$X$$ оказалось бы объединением счётного числа нигде не плотных множеств $$X_n$$, то есть множеством I категории. Следовательно, имеем
\begin{equation*}
\overline{S \cap X_n} = \overline{S}.
\end{equation*}
Пусть далее $$x_0 \in S\cap X_{n_0}$$, а $$S_0$$ — шар с центром в $$x_0$$, радиуса $$r_0$$ настолько малого, что $$S_0 \subset S$$. Тогда
\begin{equation}\label{t3}
\overline{S_0 \cap X_{n_0}} = \overline{S_0}.
\end{equation}
Выберем теперь элемент $$u_0 \in X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$ и рассмотрим элемент $$y_0 = x_0 + u_0$$. Так как $$\|y_0 - x_0\| = \|u_0\| = r_0$$, то $$y_0 \in \overline{S_0}$$.
Вследствие соотношения (\ref{t3}) найдётся последовательность
\begin{equation}\label{t4}
\{y_n\} \subset S_0\cap X_{n_0}
\end{equation}
такая, что при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation}\label{t5}
y_n \rightarrow y_0 = x_0 + u_0.
\end{equation}
Рассмотрим теперь последовательность
\begin{equation}\label{t6}
\{u_n\} = \{y_n - x_0\}.
\end{equation}
Заметим, что вследствие (\ref{t4})
\begin{equation}\label{t7}
\|u_n\| = \|y_n - x_0\| \leq r_0.
\end{equation}
Вспоминая определение $$X_n$$ из (\ref{t1}) и пользуясь тем, что $$y_n \in X_{n_0}, x_0 \in X_{n_0}$$, а также выражениями (\ref{t6}), (\ref{t7}), получаем следующую оценку:
\begin{equation*}
\|Au_n\| = \|A(y_n - x_0)\| \leq \|Ay_n\| + \|Ax_0\| \leq n_0(\|y_n\| + \|x_0\|) =
\end{equation*}
\begin{equation}\label{t8}
= n_0(\|u_n + x_0\| + \|x_0\|) \leq n_0(\|u_n\| + 2\|x_0\|) \leq n_0(r_0 + 2\|x_0\|).
\end{equation}
Далее, так как при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
\|u_n\| = \|y_n - x_0\| \rightarrow r_0,
\end{equation*}
то найдётся номер $$N$$ такой, что при всех $$n > N$$ выполняется неравенство
\begin{equation*}
\|u_n\| > \frac{1}{2}r_0 \quad \Rightarrow 1 < \frac{2}{r_0}\|u_n\|.
\end{equation*}
Продолжая оценку (\ref{t8}) при $$n > N$$, приходим к оценке
\begin{equation}\label{t9}
\|Au_n\| \leq \frac{2n_0}{r_0}\|u_n\|(r_0 + 2\|x_0\|).
\end{equation}
Отсюда получаем следующий вывод: при всех $$n > N$$ по определению (\ref{t1}) $$u_n \in X_{n_1}$$, где $$n_1 = 2n_0 + 4n_0\frac{\|x_0\|}{r_0}$$.

При $$n \rightarrow \infty$$ из неравенства (\ref{t9}) получаем $$u_n \rightarrow u_0$$, где $$u_0$$ — любой элемент $$X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$. Но из (\ref{t1}) следует, что $$X_{n_1}$$ содержит вместе с каждым $$x$$ и $$\lambda x$$ при любом $$\lambda$$. Таким образом, $$X_{n_1}$$ плотно в $$X$$, и так как на $$X_{n_1}$$ выполнено $$\|Ax\| \leq n_1\|x\|$$, то по ''Лемме'' оператор ограничен, и теорема полностью доказана.

'''Следствие 1'''. Если $$A$$ — замкнутый оператор, отображающий банахово пространство $$X$$ на банахово пространство $$Y$$ взаимно однозначно, то есть $$R(A) = Y$$, то оператор $$A^{-1}$$ ограничен.

''Доказательство''. По условию ''Следствия 1'' $$D(A) = X$$ и $$A$$ замкнут. По ''Теореме 3'' $$A$$ ограничен. По теореме Банаха $$A^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$.

'''Следствие 2'''. Пусть на некотором линейном пространстве $$E$$ заданы две нормы $$\|x\|_1$$ и $$\|x\|_2$$, по отношению к каждой из которых $$E$$ — банахово пространство. Если одна из норм подчинена другой, то эти нормы [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство эквивалентны].

''Доказательство''. Обозначим через $$X_1$$ пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_1$$, а через $$X_2$$ — пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_2$$.

Пусть, например, $$\|\cdot\|_1$$ подчинена $$\|\cdot\|_2$$. Это означает, что существует постоянная $$c > 0$$ такая, что для всех $$x$$
\begin{equation}\label{sl}
\|x\|_1 \leq c\|x\|_2.
\end{equation}
Определим оператор $$A$$, отображающий $$X_1$$ на $$X_2$$, по формуле $$Ax = x$$ (в левой части $$x \in X$$ как элемент из $$X_1$$, а в правой части он же как элемент из $$X_2$$).

Очевидно, $$D(A) = X_1$$, $$A$$ линеен и отображает $$X_1$$ взаимно однозначно на $$R(A) = X_2$$. Неравенство (\ref{sl}) означает, что $$\|A\| \leq c$$, то есть $$A$$ ограничен.

Из ''Следствия 1'' $$A^{-1} \in \mathcal{L}(X_2, X_1)$$, то есть
\begin{equation*}
\|x\|_2 \leq \|A^{-1}\| \|x\|_1.
\end{equation*}
Итак, $$c_1\|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq c\|x\|_2$$, где $$c_1 = \|A^{-1}\|^{-1}$$. Это и означает эквивалентность норм.

== Список литературы ==

1. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2002.

2. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу, 1984.

Замкнутый линейный оператор

2025-12-08T20:20:43Z

Anastasia24: /* Примеры */

==Прямая сумма линейных пространств==
'''Определение'''. ''Прямой суммой'' $$Z = X \oplus Y$$ двух линейных пространств $$X$$ и $$Y$$ называется совокупность пар $$z = (x, y)$$ $$(x \in X, y \in Y)$$, для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если $$z_1 = (x_1, y_1)$$, а $$z_2 = (x_2, y_2)$$ и $$\alpha_1, \alpha_2$$ — скаляры, то
\begin{equation*}
\alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2 = (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2).
\end{equation*}

Если $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, то норма в $$X \oplus Y$$ вводится по формуле $$\|z\| = \|x\|_X + \|y\|_Y$$.

'''Утверждение'''. Если $$X$$ и $$Y$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы], то $$X \oplus Y$$ банахово.

==График оператора==
Пусть $$y = F(x)$$ — оператор с областью определения $$D(F)$$ в банаховом пространстве $$X$$ и с областью значений в банаховом пространстве $$Y$$.

'''Определение'''. ''Графиком'' оператора $$F$$ называется совокупность пар $$(x, F(x))$$, где $$x \in D(F)$$.

График оператора является подмножеством пространства $$X \oplus Y$$.

Пусть ниже $$F \equiv A$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора линейный] оператор.

'''Определение'''. Линейный оператор $$A : X \rightarrow Y$$ называется ''замкнутым'', если его график является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство замкнутым] множеством $$X \oplus Y$$.

Замкнутость графика оператора $$A$$ означает, что если $$x_n \in D(A)$$ и $$(x_n, Ax_n) \rightarrow (x, y)$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

Так как $$\|z\| = \|x\| + \|y\|$$, то определение замкнутости оператора $$A$$ можно записать так: если $$x_n \in D(A), x_n \rightarrow x, Ax_n \rightarrow y$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

'''Теорема 1'''. Если $$D(A) = X$$ и $$A$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора ограничен] (то есть $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$), то $$A$$ ''замкнут''.

''Доказательство''. Пусть $$x_n \rightarrow x$$ и $$Ax_n \rightarrow y$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Ввиду непрерывности $$A \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax, n \rightarrow \infty$$. Но предел единственен и, значит, $$y = Ax$$.

'''Теорема 2'''. Если $$A$$ ''замкнут'' и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ также ''замкнут''.

''Доказательство''. Рассмотрим графики операторов $$A$$ и $$A^{-1}$$:
\begin{equation*}
\{(x, Ax)\}, \quad x \in D(A),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\{(y, A^{-1}y)\}, \quad y \in R(A).
\end{equation*}
Но график оператора $$A^{-1}$$ можно записать в виде $$\{(Ax, x)\}, x\in D(A)$$, то есть он получается из графика оператора $$A$$ перестановкой $$x$$ и $$Ax$$ и, значит, также является замкнутым множеством в $$Y \oplus X$$.

Это и означает замкнутость оператора $$A^{-1}$$.

'''Следствие'''. Если $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ замкнут.

==Примеры==
'''Пример 1'''. В [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовом] пространстве $$H$$ с ортонормированным базисом $$\{e_k\}_1^\infty$$ зададим линейный оператор $$A$$ следующими формулами:
\begin{equation*}
Ae_k = \lambda_k e_k, \quad k = 1, 2, \ldots,
\end{equation*}
где $$\lambda_k$$ — некоторые скаляры.

Если $$x \in H$$, то $$x = \sum_{k=1}^{\infty}\xi_k e_k$$, где ряд $$\|x\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\xi_k|^2$$ сходится.

Тогда $$Ax = \sum_{k=1}^{\infty}\lambda_k \xi_k e_k$$. Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда
\begin{equation}\label{ex1}
\|Ax\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\lambda_k|^2|\xi_k|^2 < \infty.
\end{equation}
возможны следующие два случая:

''a)'' $$\{|\lambda_k|\}$$ ограничена. Пусть $$c_A = \sup_k|\lambda_k|$$. Тогда $$\|Ax\|^2 \leq c_A^2\|x\|^2$$, откуда — $$A$$ ограничен, а значит, и замкнут.

''б)'' $$\{|\lambda_k|\}$$ неограничена. Оператор $$A$$ неограничен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из элементов $$x$$, удовлетворяющих неравенству (\ref{ex1}). Оператор $$A$$ неограничен ввиду того, что $$\|Ae_k\| = |\lambda_k|$$ при $$k \rightarrow \infty$$ неограничены, хотя $$\|e_k\| = 1$$. Если $$\inf_k|\lambda_k| = c_A > 0$$, то существует $$A^{-1}$$, определяемый на элементах
\begin{equation*}
y = \sum_{k=1}^\infty \eta_k e_k, \quad \sum_{k=1}^\infty |\eta_k|^2 < \infty,
\end{equation*}
\begin{equation*}
A^{-1}y = \sum_{k=1}^\infty \lambda_k^{-1}\eta_k e_k.
\end{equation*}
Поскольку $$\sup_k|\lambda_k^{-1}| = c_A^{-1} < \infty$$, то $$A^{-1}$$ ограничен. Таким образом, условие $$\inf_k|\lambda_k| > 0$$, согласно ''Теореме 2'' обеспечивает замкнутость $$A$$.

'''Пример 2'''. Пусть $$X = Y = C[0, +\infty)$$ — банахово пространство функций $$x(t)$$, непрерывных на полуоси $$[0, +\infty)$$ с нормой $$\|x\| = \sup_{[0, +\infty)} |x(t)|$$.

Зададим в $$X$$ оператор $$A$$ по формуле $$Ax = tx(t)$$. Оператор $$A$$ линеен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из функций, удовлетворяющих неравенству
\begin{equation*}
|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t},
\end{equation*}
где постоянная $$c$$ — своя для каждой функции из $$D(A)$$.

Оператор $$A$$ неограничен. Действительно, рассмотрим последовательность функций $$x_n(t) = \frac{n}{n + t}\quad (n = 1, 2, \ldots)$$. Заметим, что $$x_n(t) \in D(A)$$, так как $$|x_n(t)| = \frac{n}{n + t} \leq \frac{n}{1 + t}$$. Кроме того, ясно, что $$\|x_n\| = 1$$. Теперь имеем
\begin{equation*}
\|Ax_n\| = \sup_{[0, +\infty)}\frac{nt}{n + t} = n,
\end{equation*}
следовательно,
\begin{equation*}
\sup_{x\in D(A), \|x\|\leq 1} \|Ax\| = +\infty.
\end{equation*}
Покажем, что $$A$$ замкнут. Пусть в $$X$$ $$x_n(t) \rightarrow x(t), tx_n(t) \rightarrow y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Тогда $$(1 + t)x_n(t) \rightarrow x(t) + y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Следовательно, для любого $$\varepsilon > 0$$ найдется номер $$N$$ такой, что если $$n > N$$, то
\begin{equation*}
|(1 + t)x_n(t) - (x(t) + y(t))| < \varepsilon
\end{equation*}
для всех $$t \in [0, +\infty)$$, или
\begin{equation*}
\left|x_n(t) - \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}\right| < \frac{\varepsilon}{1 + t} < \varepsilon.
\end{equation*}
Следовательно, $$x_n(t) \rightarrow \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}$$ при $$n \rightarrow \infty$$, но $$x_n(t) \rightarrow x(t)$$, поэтому
\begin{equation*}
\frac{x(t) + y(t)}{1 + t} = x(t) \quad \Rightarrow \quad y(t) = tx(t).
\end{equation*}
Из равенства
\begin{equation*}
x(t) = \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}
\end{equation*}
получаем
\begin{equation*}
|x(t)| = \frac{|x(t) + y(t)|}{1 + t} \leq \frac{\|x + y\|}{1 + t} \leq \frac{\|x\| + \|y\|}{1 + t}.
\end{equation*}
Значит, если взять $$c = \|x\| + \|y\|$$, получим, что $$|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t}$$. Следовательно, $$x \in D(A)$$.

Тогда $$y = Ax$$.

'''Пример 3'''. В пространстве $$C[a, b]$$ рассмотрим оператор дифференцирования $$Dx = \frac{d x(t)}{d t}$$ с областью определения $$G(D)$$, состоящей из непрерывно дифференцируемых на $$[a, b]$$ функций. Оператор $$D$$ неограничен.

Для доказательства его неограниченности возьмём последовательность $$x_n(t) = \sin nt$$ $$(n = 1, 2, \ldots), x_n \in G(D)$$ и $$\|x_n\| = 1$$, однако $$\|D x_n\| = n$$, если $$n$$ достаточно велико, и поэтому
\begin{equation*}
\sup_{x\in G(D), \|x\| \leq 1} = +\infty
\end{equation*}
и $$D$$ неограничен.

Покажем, что $$D$$ замкнут. Сходимость в $$C[a, b]$$ равномерная. Пусть $$x_n(t) \in G(D)$$, и пусть при $$n \rightarrow \infty$$

$$x_n(t) \rightarrow x(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$,

$$\dot x_n(t) \rightarrow y(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$.

Согласно теореме о дифференцировании функциональной последовательности функция $$x(t)$$ непрерывно дифференцируема и $$\dot x(t) = y(t)$$. Итак, $$D$$ замкнут.

'''Пример 4'''. Рассмотрим в пространстве $$C[a, b]$$ оператор дифференцирования $$D$$, но на этот раз в качестве его области определения $$G(D)$$ возьмем множество всех непрерывно дифференцируемых на $$\left(a, b\right]$$ функций, удовлетворяющих граничному условию $$x(a) = 0$$. Теперь $$D$$ имеет обратный оператор:
\begin{equation*}
D^{-1}y = \int_a^t y(s) ds.
\end{equation*}
Оператор $$D^{-1}$$ определен всюду в $$C[a, b]$$ и ограничен, так как
\begin{equation*}
\|D^{-1}y\| \leq (b - a)\|y\|.
\end{equation*}
По ''Теореме 2'' оператор $$D$$ замкнут.

'''Пример 5'''.
Пусть $$X$$ — банахово пространство, оператор $$A : X \rightarrow X$$ задан как $$Ax = x$$.

Очевидно, что $$A$$ линейный и ограниченный ($$\|A\| = 1$$). Тогда по ''Теореме 2'' тождественный оператор является замкнутым.

'''Пример 6'''.
Рассмотрим банахово пространство $$C[0, 1]$$. Здесь $$\|x\| = \max_{t \in [0, 1]}|x(t)|$$.

Рассмотрим оператор
\begin{equation*}
Ax(t) = \int_0^t x(s) ds, \quad t \in [0, 1].
\end{equation*}
Очевидно, этот оператор является линейным. Докажем ограниченность: для любого $$x \in C[0, 1]$$
\begin{equation*}
|Ax(t)| = \left| \int_0^t x(s) ds\right| \leq \int_0^t |x(s)| ds \leq \int_0^t \|x\| ds.
\end{equation*}
Значит,
\begin{equation*}
\|Ax\| = \max_{t \in [0, 1]}|Ax(t)| \leq \|x\|.
\end{equation*}
Тогда по ''Теореме 2'' оператор $$A$$ замкнут.

'''Пример 7'''.
Пусть $$X = Y = \mathcal{l}_2$$. Зададим область определения оператора $$D(A) = \{ x\in \mathcal{l_2} : x_k = 0$$ для всех достаточно больших $$k\}$$.

Пусть оператор $$A$$ является тождественным, то есть $$Ax = x, x \in D(A)$$. Очевидно, этот оператор линейный.

Рассмотрим последовательность
\begin{equation*}
x = \left( \frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{3^2}, \ldots\right).
\end{equation*}
Покажем, что $$x \in \mathcal{l}_2$$:
\begin{equation*}
\sum_{k = 1}^\infty \left| \frac{1}{k^2}\right|^2 = \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k^4} < \infty.
\end{equation*}
Рассмотрим последовательность $$x^{(n)}$$:
\begin{equation*}
x^{(n)} = \left(\frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2}, \ldots, \frac{1}{n^2}, 0, 0, \ldots\right).
\end{equation*}
Тогда для каждого $$n$$ справедливо, что $$x^{(n)} \in D(A), x^{(n)} \rightarrow x$$ в $$\mathcal{l}_2$$ при $$n \rightarrow \infty$$ и $$Ax^{(n)} = x^{(n)} \rightarrow x$$.

Но $$x \not\in D(A)$$, что противоречит определению замкнутого оператора.

Таким образом, представленный выше оператор является линейным незамкнутым оператором.

==Теорема Банаха о замкнутом графике==
'''Теорема 3'''. ''(Банаха о замкнутом графике)''. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

'''Определение'''. Множество в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора нормированном] пространстве называется ''множеством I категории'', если оно есть объединение счетного числа нигде не плотных множеств. Если множество нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств, то оно называется ''множеством II категории''.

'''Теорема 4'''.''(Бэра-Хаусдорфа о категориях)''. Всякое банахово пространство является множеством II категории.

'''Лемма'''. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Пусть, далее, существует плотное в $$X$$ множество $$M$$ и постоянная $$c > 0$$, такие что $$\|Ax\| \leq c\|x\|$$ для всех $$x \in M$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

''Доказательство леммы''. Выберем элемент $$x_0 \in X$$. Покажем, что найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что
\begin{equation}\label{lemm}
\|x_1\| \leq \|x_0\|, \quad \|x_1 - x_0\| \leq \frac{1}{2} \|x_0\|.
\end{equation}
Действительно, вследствие плотности $$M$$ в $$X$$ для $$x_\varepsilon = (1 - \varepsilon)x_0, \varepsilon \in (0, 1)$$, найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что $$\|x_\varepsilon - x_1\| \leq \varepsilon \|x_0\|$$.

Оказывается, $$\varepsilon$$ можно подобрать так, чтобы элемент $$x_1$$ удовлетворял условию \ref{lemm}. Имеем
\begin{equation*}
\|x_1\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon\| + \|x\varepsilon\| \leq \varepsilon \|x_0\| + (1 - \varepsilon)\|x_0\| = \|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_1 - x_0\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon \| + \|x_\varepsilon - x_0\| \leq \varepsilon \|x_0\| + \varepsilon \|x_0\| = 2\varepsilon\|x_0\|.
\end{equation*}
Возьмём $$\varepsilon = \frac{1}{4}$$ и получим неравенства \ref{lemm}.

Аналогично можно показать, что для элемента $$x_0 - x_1$$ найдётся элемент $$x_2 \in M$$ такой, что
\begin{equation*}
\|x_0 - x_1 - x_2\| \leq \frac{1}{2}\|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{4}\|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_2\| \leq \|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{2}\|x_0\|.
\end{equation*}
Повторяя эти построения, можно доказать, что для каждого натурального $$n$$ найдутся $$x_1, x_2, \ldots, x_n \in M$$ такие, что
\begin{equation*}
\|x_0 - (x_1 + \ldots + x_n)\| \leq \frac{1}{2^n}\|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_n\| \leq \frac{1}{2^{n-1}}\|x_0\|.
\end{equation*}
Отсюда вытекает, что
\begin{equation*}
x_0 = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n, \quad s_n = \sum_{k = 1}^{n}x_k.
\end{equation*}
Так как
\begin{equation*}
\|Ax_k\| \leq c\|x_k\| \leq \frac{c}{2^{k-1}}\|x_0\|,
\end{equation*}
то ряд $$\sum_{k=1}^{\infty}Ax_k$$ сходится абсолютно. Пусть $$y$$ — его сумма. Поскольку при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
As_n \rightarrow y, \quad s_n \rightarrow x_0,
\end{equation*}
то, вследствие замкнутости оператора $$A$$,
\begin{equation*}
Ax_0 = \sum_{k=1}^{\infty}Ax_k.
\end{equation*}
Но тогда имеем оценку
\begin{equation*}
\|Ax_0\| \leq \sum_{k = 1}^{\infty}\|Ax_k\| \leq c\sum_{k = 1}^{\infty}\|x_k\| \leq 2c\|x_0\|.
\end{equation*}
Вследствие произвольности $$x_0$$ доказана ограниченность оператора $$A$$, а значит, и лемма доказана.

''Доказательство Теоремы 3''. Для каждого натурального числа $$n$$ рассмотрим множество
\begin{equation}\label{t1}
X_n = \{x \in X : \|Ax\| \leq n\|x\|\}.
\end{equation}
Далее, очевидно,
\begin{equation}\label{t2}
X = \bigcup_{n=1}^{\infty}X_n.
\end{equation}
По ''Теореме 4'' пространство $$X$$ , вследствие его полноты, является множеством II категории. Но тогда по \ref{t2} существует $$X_n$$, плотное в некотором шаре $$S \subset X$$. В противном случае $$X$$ оказалось бы объединением счётного числа нигде не плотных множеств $$X_n$$, то есть множеством I категории. Следовательно, имеем
\begin{equation*}
\overline{S \cap X_n} = \overline{S}.
\end{equation*}
Пусть далее $$x_0 \in S\cap X_{n_0}$$, а $$S_0$$ — шар с центром в $$x_0$$, радиуса $$r_0$$ настолько малого, что $$S_0 \subset S$$. Тогда
\begin{equation}\label{t3}
\overline{S_0 \cap X_{n_0}} = \overline{S_0}.
\end{equation}
Выберем теперь элемент $$u_0 \in X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$ и рассмотрим элемент $$y_0 = x_0 + u_0$$. Так как $$\|y_0 - x_0\| = \|u_0\| = r_0$$, то $$y_0 \in \overline{S_0}$$.
Вследствие соотношения \ref{t3} найдётся последовательность
\begin{equation}\label{t4}
\{y_n\} \subset S_0\cap X_{n_0}
\end{equation}
такая, что при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation}\label{t5}
y_n \rightarrow y_0 = x_0 + u_0.
\end{equation}
Рассмотрим теперь последовательность
\begin{equation}\label{t6}
\{u_n\} = \{y_n - x_0\}.
\end{equation}
Заметим, что вследствие \ref{t4}
\begin{equation}\label{t7}
\|u_n\| = \|y_n - x_0\| \leq r_0.
\end{equation}
Вспоминая определение $$X_n$$ из \ref{t1} и пользуясь тем, что $$y_n \in X_{n_0}, x_0 \in X_{n_0}$$, а также выражениями \ref{t6}, \ref{t7}, получаем следующую оценку:
\begin{equation*}
\|Au_n\| = \|A(y_n - x_0)\| \leq \|Ay_n\| + \|Ax_0\| \leq n_0(\|y_n\| + \|x_0\|) =
\end{equation*}
\begin{equation}\label{t8}
= n_0(\|u_n + x_0\| + \|x_0\|) \leq n_0(\|u_n\| + 2\|x_0\|) \leq n_0(r_0 + 2\|x_0\|).
\end{equation}
Далее, так как при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
\|u_n\| = \|y_n - x_0\| \rightarrow r_0,
\end{equation*}
то найдётся номер $$N$$ такой, что при всех $$n > N$$ выполняется неравенство
\begin{equation*}
\|u_n\| > \frac{1}{2}r_0 \quad \Rightarrow 1 < \frac{2}{r_0}\|u_n\|.
\end{equation*}
Продолжая оценку \ref{t8} при $$n > N$$, приходим к оценке
\begin{equation}\label{t9}
\|Au_n\| \leq \frac{2n_0}{r_0}\|u_n\|(r_0 + 2\|x_0\|).
\end{equation}
Отсюда получаем следующий вывод: при всех $$n > N$$ по определению \ref{t1} $$u_n \in X_{n_1}$$, где $$n_1 = 2n_0 + 4n_0\frac{\|x_0\|}{r_0}$$.

При $$n \rightarrow \infty$$ из неравенства \ref{t9} получаем $$u_n \rightarrow u_0$$, где $$u_0$$ — любой элемент $$X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$. Но из \ref{t1} следует, что $$X_{n_1}$$ содержит вместе с каждым $$x$$ и $$\lambda x$$ при любом $$\lambda$$. Таким образом, $$X_{n_1}$$ плотно в $$X$$, и так как на $$X_{n_1}$$ выполнено $$\|Ax\| \leq n_1\|x\|$$, то по ''Лемме'' оператор ограничен, и теорема полностью доказана.

'''Следствие 1'''. Если $$A$$ — замкнутый оператор, отображающий банахово пространство $$X$$ на банахово пространство $$Y$$ взаимно однозначно, то есть $$R(A) = Y$$, то оператор $$A^{-1}$$ ограничен.

''Доказательство''. По условию ''Следствия 1'' $$D(A) = X$$ и $$A$$ замкнут. По ''Теореме 3'' $$A$$ ограничен. По теореме Банаха $$A^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$.

'''Следствие 2'''. Пусть на некотором линейном пространстве $$E$$ заданы две нормы $$\|x\|_1$$ и $$\|x\|_2$$, по отношению к каждой из которых $$E$$ — банахово пространство. Если одна из норм подчинена другой, то эти нормы [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство эквивалентны].

''Доказательство''. Обозначим через $$X_1$$ пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_1$$, а через $$X_2$$ — пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_2$$.

Пусть, например, $$\|\cdot\|_1$$ подчинена $$\|\cdot\|_2$$. Это означает, что существует постоянная $$c > 0$$ такая, что для всех $$x$$
\begin{equation}\label{sl}
\|x\|_1 \leq c\|x\|_2.
\end{equation}
Определим оператор $$A$$, отображающий $$X_1$$ на $$X_2$$, по формуле $$Ax = x$$ (в левой части $$x \in X$$ как элемент из $$X_1$$, а в правой части он же как элемент из $$X_2$$).

Очевидно, $$D(A) = X_1$$, $$A$$ линеен и отображает $$X_1$$ взаимно однозначно на $$R(A) = X_2$$. Неравенство \ref{sl} означает, что $$\|A\| \leq c$$, то есть $$A$$ ограничен.

Из ''Следствия 1'' $$A^{-1} \in \mathcal{L}(X_2, X_1)$$, то есть
\begin{equation*}
\|x\|_2 \leq \|A^{-1}\| \|x\|_1.
\end{equation*}
Итак, $$c_1\|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq c\|x\|_2$$, где $$c_1 = \|A^{-1}\|^{-1}$$. Это и означает эквивалентность норм.

== Список литературы ==

1. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2002.

2. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу, 1984.

Замкнутый линейный оператор

2025-12-08T20:19:14Z

Anastasia24: /* Примеры */

==Прямая сумма линейных пространств==
'''Определение'''. ''Прямой суммой'' $$Z = X \oplus Y$$ двух линейных пространств $$X$$ и $$Y$$ называется совокупность пар $$z = (x, y)$$ $$(x \in X, y \in Y)$$, для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если $$z_1 = (x_1, y_1)$$, а $$z_2 = (x_2, y_2)$$ и $$\alpha_1, \alpha_2$$ — скаляры, то
\begin{equation*}
\alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2 = (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2).
\end{equation*}

Если $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, то норма в $$X \oplus Y$$ вводится по формуле $$\|z\| = \|x\|_X + \|y\|_Y$$.

'''Утверждение'''. Если $$X$$ и $$Y$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы], то $$X \oplus Y$$ банахово.

==График оператора==
Пусть $$y = F(x)$$ — оператор с областью определения $$D(F)$$ в банаховом пространстве $$X$$ и с областью значений в банаховом пространстве $$Y$$.

'''Определение'''. ''Графиком'' оператора $$F$$ называется совокупность пар $$(x, F(x))$$, где $$x \in D(F)$$.

График оператора является подмножеством пространства $$X \oplus Y$$.

Пусть ниже $$F \equiv A$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора линейный] оператор.

'''Определение'''. Линейный оператор $$A : X \rightarrow Y$$ называется ''замкнутым'', если его график является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство замкнутым] множеством $$X \oplus Y$$.

Замкнутость графика оператора $$A$$ означает, что если $$x_n \in D(A)$$ и $$(x_n, Ax_n) \rightarrow (x, y)$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

Так как $$\|z\| = \|x\| + \|y\|$$, то определение замкнутости оператора $$A$$ можно записать так: если $$x_n \in D(A), x_n \rightarrow x, Ax_n \rightarrow y$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

'''Теорема 1'''. Если $$D(A) = X$$ и $$A$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора ограничен] (то есть $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$), то $$A$$ ''замкнут''.

''Доказательство''. Пусть $$x_n \rightarrow x$$ и $$Ax_n \rightarrow y$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Ввиду непрерывности $$A \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax, n \rightarrow \infty$$. Но предел единственен и, значит, $$y = Ax$$.

'''Теорема 2'''. Если $$A$$ ''замкнут'' и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ также ''замкнут''.

''Доказательство''. Рассмотрим графики операторов $$A$$ и $$A^{-1}$$:
\begin{equation*}
\{(x, Ax)\}, \quad x \in D(A),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\{(y, A^{-1}y)\}, \quad y \in R(A).
\end{equation*}
Но график оператора $$A^{-1}$$ можно записать в виде $$\{(Ax, x)\}, x\in D(A)$$, то есть он получается из графика оператора $$A$$ перестановкой $$x$$ и $$Ax$$ и, значит, также является замкнутым множеством в $$Y \oplus X$$.

Это и означает замкнутость оператора $$A^{-1}$$.

'''Следствие'''. Если $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ замкнут.

==Примеры==
'''Пример 1'''. В [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовом] пространстве $$H$$ с ортонормированным базисом $$\{e_k\}_1^\infty$$ зададим линейный оператор $$A$$ следующими формулами:
\begin{equation*}
Ae_k = \lambda_k e_k, \quad k = 1, 2, \ldots,
\end{equation*}
где $$\lambda_k$$ — некоторые скаляры.

Если $$x \in H$$, то $$x = \sum_{k=1}^{\infty}\xi_k e_k$$, где ряд $$\|x\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\xi_k|^2$$ сходится.

Тогда $$Ax = \sum_{k=1}^{\infty}\lambda_k \xi_k e_k$$. Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда
\begin{equation}\label{ex1}
\|Ax\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\lambda_k|^2|\xi_k|^2 < \infty.
\end{equation}
возможны следующие два случая:

''a)'' $$\{|\lambda_k|\}$$ ограничена. Пусть $$c_A = \sup_k|\lambda_k|$$. Тогда $$\|Ax\|^2 \leq c_A^2\|x\|^2$$, откуда — $$A$$ ограничен, а значит, и замкнут.

''б)'' $$\{|\lambda_k|\}$$ неограничена. Оператор $$A$$ неограничен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из элементов $$x$$, удовлетворяющих неравенству \ref{ex1}. Оператор $$A$$ неограничен ввиду того, что $$\|Ae_k\| = |\lambda_k|$$ при $$k \rightarrow \infty$$ неограничены, хотя $$\|e_k\| = 1$$. Если $$\inf_k|\lambda_k| = c_A > 0$$, то существует $$A^{-1}$$, определяемый на элементах
\begin{equation*}
y = \sum_{k=1}^\infty \eta_k e_k, \quad \sum_{k=1}^\infty |\eta_k|^2 < \infty,
\end{equation*}
\begin{equation*}
A^{-1}y = \sum_{k=1}^\infty \lambda_k^{-1}\eta_k e_k.
\end{equation*}
Поскольку $$\sup_k|\lambda_k^{-1}| = c_A^{-1} < \infty$$, то $$A^{-1}$$ ограничен. Таким образом, условие $$\inf_k|\lambda_k| > 0$$, согласно ''Теореме 2'' обеспечивает замкнутость $$A$$.

'''Пример 2'''. Пусть $$X = Y = C[0, +\infty)$$ — банахово пространство функций $$x(t)$$, непрерывных на полуоси $$[0, +\infty)$$ с нормой $$\|x\| = \sup_{[0, +\infty)} |x(t)|$$.

Зададим в $$X$$ оператор $$A$$ по формуле $$Ax = tx(t)$$. Оператор $$A$$ линеен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из функций, удовлетворяющих неравенству
\begin{equation*}
|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t},
\end{equation*}
где постоянная $$c$$ — своя для каждой функции из $$D(A)$$.

Оператор $$A$$ неограничен. Действительно, рассмотрим последовательность функций $$x_n(t) = \frac{n}{n + t}\quad (n = 1, 2, \ldots)$$. Заметим, что $$x_n(t) \in D(A)$$, так как $$|x_n(t)| = \frac{n}{n + t} \leq \frac{n}{1 + t}$$. Кроме того, ясно, что $$\|x_n\| = 1$$. Теперь имеем
\begin{equation*}
\|Ax_n\| = \sup_{[0, +\infty)}\frac{nt}{n + t} = n,
\end{equation*}
следовательно,
\begin{equation*}
\sup_{x\in D(A), \|x\|\leq 1} \|Ax\| = +\infty.
\end{equation*}
Покажем, что $$A$$ замкнут. Пусть в $$X$$ $$x_n(t) \rightarrow x(t), tx_n(t) \rightarrow y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Тогда $$(1 + t)x_n(t) \rightarrow x(t) + y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Следовательно, для любого $$\varepsilon > 0$$ найдется номер $$N$$ такой, что если $$n > N$$, то
\begin{equation*}
|(1 + t)x_n(t) - (x(t) + y(t))| < \varepsilon
\end{equation*}
для всех $$t \in [0, +\infty)$$, или
\begin{equation*}
\left|x_n(t) - \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}\right| < \frac{\varepsilon}{1 + t} < \varepsilon.
\end{equation*}
Следовательно, $$x_n(t) \rightarrow \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}$$ при $$n \rightarrow \infty$$, но $$x_n(t) \rightarrow x(t)$$, поэтому
\begin{equation*}
\frac{x(t) + y(t)}{1 + t} = x(t) \quad \Rightarrow \quad y(t) = tx(t).
\end{equation*}
Из равенства
\begin{equation*}
x(t) = \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}
\end{equation*}
получаем
\begin{equation*}
|x(t)| = \frac{|x(t) + y(t)|}{1 + t} \leq \frac{\|x + y\|}{1 + t} \leq \frac{\|x\| + \|y\|}{1 + t}.
\end{equation*}
Значит, если взять $$c = \|x\| + \|y\|$$, получим, что $$|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t}$$. Следовательно, $$x \in D(A)$$.

Тогда $$y = Ax$$.

'''Пример 3'''. В пространстве $$C[a, b]$$ рассмотрим оператор дифференцирования $$Dx = \frac{d x(t)}{d t}$$ с областью определения $$G(D)$$, состоящей из непрерывно дифференцируемых на $$[a, b]$$ функций. Оператор $$D$$ неограничен.

Для доказательства его неограниченности возьмём последовательность $$x_n(t) = \sin nt$$ $$(n = 1, 2, \ldots), x_n \in G(D)$$ и $$\|x_n\| = 1$$, однако $$\|D x_n\| = n$$, если $$n$$ достаточно велико, и поэтому
\begin{equation*}
\sup_{x\in G(D), \|x\| \leq 1} = +\infty
\end{equation*}
и $$D$$ неограничен.

Покажем, что $$D$$ замкнут. Сходимость в $$C[a, b]$$ равномерная. Пусть $$x_n(t) \in G(D)$$, и пусть при $$n \rightarrow \infty$$

$$x_n(t) \rightarrow x(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$,

$$\dot x_n(t) \rightarrow y(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$.

Согласно теореме о дифференцировании функциональной последовательности функция $$x(t)$$ непрерывно дифференцируема и $$\dot x(t) = y(t)$$. Итак, $$D$$ замкнут.

'''Пример 4'''. Рассмотрим в пространстве $$C[a, b]$$ оператор дифференцирования $$D$$, но на этот раз в качестве его области определения $$G(D)$$ возьмем множество всех непрерывно дифференцируемых на $$\left(a, b\right]$$ функций, удовлетворяющих граничному условию $$x(a) = 0$$. Теперь $$D$$ имеет обратный оператор:
\begin{equation*}
D^{-1}y = \int_a^t y(s) ds.
\end{equation*}
Оператор $$D^{-1}$$ определен всюду в $$C[a, b]$$ и ограничен, так как
\begin{equation*}
\|D^{-1}y\| \leq (b - a)\|y\|.
\end{equation*}
По ''Теореме 2'' оператор $$D$$ замкнут.

'''Пример 5'''.
Пусть $$X$$ — банахово пространство, оператор $$A : X \rightarrow X$$ задан как $$Ax = x$$.

Очевидно, что $$A$$ линейный и ограниченный ($$\|A\| = 1$$). Тогда по ''Теореме 2'' тождественный оператор является замкнутым.

'''Пример 6'''.
Рассмотрим банахово пространство $$C[0, 1]$$. Здесь $$\|x\| = \max_{t \in [0, 1]}|x(t)|$$.

Рассмотрим оператор
\begin{equation*}
Ax(t) = \int_0^t x(s) ds, \quad t \in [0, 1].
\end{equation*}
Очевидно, этот оператор является линейным. Докажем ограниченность: для любого $$x \in C[0, 1]$$
\begin{equation*}
|Ax(t)| = \left| \int_0^t x(s) ds\right| \leq \int_0^t |x(s)| ds \leq \int_0^t \|x\| ds.
\end{equation*}
Значит,
\begin{equation*}
\|Ax\| = \max_{t \in [0, 1]}|Ax(t)| \leq \|x\|.
\end{equation*}
Тогда по ''Теореме 2'' оператор $$A$$ замкнут.

'''Пример 7'''.
Пусть $$X = Y = \mathcal{l}_2$$. Зададим область определения оператора $$D(A) = \{ x\in \mathcal{l_2} : x_k = 0$$ для всех достаточно больших $$k\}$$.

Пусть оператор $$A$$ является тождественным, то есть $$Ax = x, x \in D(A)$$. Очевидно, этот оператор линейный.

Рассмотрим последовательность
\begin{equation*}
x = \left( \frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{3^2}, \ldots\right).
\end{equation*}
Покажем, что $$x \in \mathcal{l}_2$$:
\begin{equation*}
\sum_{k = 1}^\infty \left| \frac{1}{k^2}\right|^2 = \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k^4} < \infty.
\end{equation*}
Рассмотрим последовательность $$x^{(n)}$$:
\begin{equation*}
x^{(n)} = \left(\frac{1}{1^2}, \frac{1}{2^2}, \ldots, \frac{1}{n^2}, 0, 0, \ldots\right).
\end{equation*}
Тогда для каждого $$n$$ справедливо, что $$x^{(n)} \in D(A), x^{(n)} \rightarrow x$$ в $$\mathcal{l}_2$$ при $$n \rightarrow \infty$$ и $$Ax^{(n)} = x^{(n)} \rightarrow x$$.

Но $$x \not\in D(A)$$, что противоречит определению замкнутого оператора.

Таким образом, представленный выше оператор является линейным незамкнутым оператором.

==Теорема Банаха о замкнутом графике==
'''Теорема 3'''. ''(Банаха о замкнутом графике)''. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

'''Определение'''. Множество в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора нормированном] пространстве называется ''множеством I категории'', если оно есть объединение счетного числа нигде не плотных множеств. Если множество нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств, то оно называется ''множеством II категории''.

'''Теорема 4'''.''(Бэра-Хаусдорфа о категориях)''. Всякое банахово пространство является множеством II категории.

'''Лемма'''. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Пусть, далее, существует плотное в $$X$$ множество $$M$$ и постоянная $$c > 0$$, такие что $$\|Ax\| \leq c\|x\|$$ для всех $$x \in M$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

''Доказательство леммы''. Выберем элемент $$x_0 \in X$$. Покажем, что найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что
\begin{equation}\label{lemm}
\|x_1\| \leq \|x_0\|, \quad \|x_1 - x_0\| \leq \frac{1}{2} \|x_0\|.
\end{equation}
Действительно, вследствие плотности $$M$$ в $$X$$ для $$x_\varepsilon = (1 - \varepsilon)x_0, \varepsilon \in (0, 1)$$, найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что $$\|x_\varepsilon - x_1\| \leq \varepsilon \|x_0\|$$.

Оказывается, $$\varepsilon$$ можно подобрать так, чтобы элемент $$x_1$$ удовлетворял условию \ref{lemm}. Имеем
\begin{equation*}
\|x_1\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon\| + \|x\varepsilon\| \leq \varepsilon \|x_0\| + (1 - \varepsilon)\|x_0\| = \|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_1 - x_0\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon \| + \|x_\varepsilon - x_0\| \leq \varepsilon \|x_0\| + \varepsilon \|x_0\| = 2\varepsilon\|x_0\|.
\end{equation*}
Возьмём $$\varepsilon = \frac{1}{4}$$ и получим неравенства \ref{lemm}.

Аналогично можно показать, что для элемента $$x_0 - x_1$$ найдётся элемент $$x_2 \in M$$ такой, что
\begin{equation*}
\|x_0 - x_1 - x_2\| \leq \frac{1}{2}\|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{4}\|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_2\| \leq \|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{2}\|x_0\|.
\end{equation*}
Повторяя эти построения, можно доказать, что для каждого натурального $$n$$ найдутся $$x_1, x_2, \ldots, x_n \in M$$ такие, что
\begin{equation*}
\|x_0 - (x_1 + \ldots + x_n)\| \leq \frac{1}{2^n}\|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_n\| \leq \frac{1}{2^{n-1}}\|x_0\|.
\end{equation*}
Отсюда вытекает, что
\begin{equation*}
x_0 = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n, \quad s_n = \sum_{k = 1}^{n}x_k.
\end{equation*}
Так как
\begin{equation*}
\|Ax_k\| \leq c\|x_k\| \leq \frac{c}{2^{k-1}}\|x_0\|,
\end{equation*}
то ряд $$\sum_{k=1}^{\infty}Ax_k$$ сходится абсолютно. Пусть $$y$$ — его сумма. Поскольку при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
As_n \rightarrow y, \quad s_n \rightarrow x_0,
\end{equation*}
то, вследствие замкнутости оператора $$A$$,
\begin{equation*}
Ax_0 = \sum_{k=1}^{\infty}Ax_k.
\end{equation*}
Но тогда имеем оценку
\begin{equation*}
\|Ax_0\| \leq \sum_{k = 1}^{\infty}\|Ax_k\| \leq c\sum_{k = 1}^{\infty}\|x_k\| \leq 2c\|x_0\|.
\end{equation*}
Вследствие произвольности $$x_0$$ доказана ограниченность оператора $$A$$, а значит, и лемма доказана.

''Доказательство Теоремы 3''. Для каждого натурального числа $$n$$ рассмотрим множество
\begin{equation}\label{t1}
X_n = \{x \in X : \|Ax\| \leq n\|x\|\}.
\end{equation}
Далее, очевидно,
\begin{equation}\label{t2}
X = \bigcup_{n=1}^{\infty}X_n.
\end{equation}
По ''Теореме 4'' пространство $$X$$ , вследствие его полноты, является множеством II категории. Но тогда по \ref{t2} существует $$X_n$$, плотное в некотором шаре $$S \subset X$$. В противном случае $$X$$ оказалось бы объединением счётного числа нигде не плотных множеств $$X_n$$, то есть множеством I категории. Следовательно, имеем
\begin{equation*}
\overline{S \cap X_n} = \overline{S}.
\end{equation*}
Пусть далее $$x_0 \in S\cap X_{n_0}$$, а $$S_0$$ — шар с центром в $$x_0$$, радиуса $$r_0$$ настолько малого, что $$S_0 \subset S$$. Тогда
\begin{equation}\label{t3}
\overline{S_0 \cap X_{n_0}} = \overline{S_0}.
\end{equation}
Выберем теперь элемент $$u_0 \in X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$ и рассмотрим элемент $$y_0 = x_0 + u_0$$. Так как $$\|y_0 - x_0\| = \|u_0\| = r_0$$, то $$y_0 \in \overline{S_0}$$.
Вследствие соотношения \ref{t3} найдётся последовательность
\begin{equation}\label{t4}
\{y_n\} \subset S_0\cap X_{n_0}
\end{equation}
такая, что при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation}\label{t5}
y_n \rightarrow y_0 = x_0 + u_0.
\end{equation}
Рассмотрим теперь последовательность
\begin{equation}\label{t6}
\{u_n\} = \{y_n - x_0\}.
\end{equation}
Заметим, что вследствие \ref{t4}
\begin{equation}\label{t7}
\|u_n\| = \|y_n - x_0\| \leq r_0.
\end{equation}
Вспоминая определение $$X_n$$ из \ref{t1} и пользуясь тем, что $$y_n \in X_{n_0}, x_0 \in X_{n_0}$$, а также выражениями \ref{t6}, \ref{t7}, получаем следующую оценку:
\begin{equation*}
\|Au_n\| = \|A(y_n - x_0)\| \leq \|Ay_n\| + \|Ax_0\| \leq n_0(\|y_n\| + \|x_0\|) =
\end{equation*}
\begin{equation}\label{t8}
= n_0(\|u_n + x_0\| + \|x_0\|) \leq n_0(\|u_n\| + 2\|x_0\|) \leq n_0(r_0 + 2\|x_0\|).
\end{equation}
Далее, так как при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
\|u_n\| = \|y_n - x_0\| \rightarrow r_0,
\end{equation*}
то найдётся номер $$N$$ такой, что при всех $$n > N$$ выполняется неравенство
\begin{equation*}
\|u_n\| > \frac{1}{2}r_0 \quad \Rightarrow 1 < \frac{2}{r_0}\|u_n\|.
\end{equation*}
Продолжая оценку \ref{t8} при $$n > N$$, приходим к оценке
\begin{equation}\label{t9}
\|Au_n\| \leq \frac{2n_0}{r_0}\|u_n\|(r_0 + 2\|x_0\|).
\end{equation}
Отсюда получаем следующий вывод: при всех $$n > N$$ по определению \ref{t1} $$u_n \in X_{n_1}$$, где $$n_1 = 2n_0 + 4n_0\frac{\|x_0\|}{r_0}$$.

При $$n \rightarrow \infty$$ из неравенства \ref{t9} получаем $$u_n \rightarrow u_0$$, где $$u_0$$ — любой элемент $$X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$. Но из \ref{t1} следует, что $$X_{n_1}$$ содержит вместе с каждым $$x$$ и $$\lambda x$$ при любом $$\lambda$$. Таким образом, $$X_{n_1}$$ плотно в $$X$$, и так как на $$X_{n_1}$$ выполнено $$\|Ax\| \leq n_1\|x\|$$, то по ''Лемме'' оператор ограничен, и теорема полностью доказана.

'''Следствие 1'''. Если $$A$$ — замкнутый оператор, отображающий банахово пространство $$X$$ на банахово пространство $$Y$$ взаимно однозначно, то есть $$R(A) = Y$$, то оператор $$A^{-1}$$ ограничен.

''Доказательство''. По условию ''Следствия 1'' $$D(A) = X$$ и $$A$$ замкнут. По ''Теореме 3'' $$A$$ ограничен. По теореме Банаха $$A^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$.

'''Следствие 2'''. Пусть на некотором линейном пространстве $$E$$ заданы две нормы $$\|x\|_1$$ и $$\|x\|_2$$, по отношению к каждой из которых $$E$$ — банахово пространство. Если одна из норм подчинена другой, то эти нормы [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство эквивалентны].

''Доказательство''. Обозначим через $$X_1$$ пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_1$$, а через $$X_2$$ — пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_2$$.

Пусть, например, $$\|\cdot\|_1$$ подчинена $$\|\cdot\|_2$$. Это означает, что существует постоянная $$c > 0$$ такая, что для всех $$x$$
\begin{equation}\label{sl}
\|x\|_1 \leq c\|x\|_2.
\end{equation}
Определим оператор $$A$$, отображающий $$X_1$$ на $$X_2$$, по формуле $$Ax = x$$ (в левой части $$x \in X$$ как элемент из $$X_1$$, а в правой части он же как элемент из $$X_2$$).

Очевидно, $$D(A) = X_1$$, $$A$$ линеен и отображает $$X_1$$ взаимно однозначно на $$R(A) = X_2$$. Неравенство \ref{sl} означает, что $$\|A\| \leq c$$, то есть $$A$$ ограничен.

Из ''Следствия 1'' $$A^{-1} \in \mathcal{L}(X_2, X_1)$$, то есть
\begin{equation*}
\|x\|_2 \leq \|A^{-1}\| \|x\|_1.
\end{equation*}
Итак, $$c_1\|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq c\|x\|_2$$, где $$c_1 = \|A^{-1}\|^{-1}$$. Это и означает эквивалентность норм.

== Список литературы ==

1. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2002.

2. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу, 1984.

Замкнутый линейный оператор

2025-12-08T19:45:36Z

Anastasia24: /* Примеры замкнутых операторов */

==Прямая сумма линейных пространств==
'''Определение'''. ''Прямой суммой'' $$Z = X \oplus Y$$ двух линейных пространств $$X$$ и $$Y$$ называется совокупность пар $$z = (x, y)$$ $$(x \in X, y \in Y)$$, для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если $$z_1 = (x_1, y_1)$$, а $$z_2 = (x_2, y_2)$$ и $$\alpha_1, \alpha_2$$ — скаляры, то
\begin{equation*}
\alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2 = (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2).
\end{equation*}

Если $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, то норма в $$X \oplus Y$$ вводится по формуле $$\|z\| = \|x\|_X + \|y\|_Y$$.

'''Утверждение'''. Если $$X$$ и $$Y$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы], то $$X \oplus Y$$ банахово.

==График оператора==
Пусть $$y = F(x)$$ — оператор с областью определения $$D(F)$$ в банаховом пространстве $$X$$ и с областью значений в банаховом пространстве $$Y$$.

'''Определение'''. ''Графиком'' оператора $$F$$ называется совокупность пар $$(x, F(x))$$, где $$x \in D(F)$$.

График оператора является подмножеством пространства $$X \oplus Y$$.

Пусть ниже $$F \equiv A$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора линейный] оператор.

'''Определение'''. Линейный оператор $$A : X \rightarrow Y$$ называется ''замкнутым'', если его график является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство замкнутым] множеством $$X \oplus Y$$.

Замкнутость графика оператора $$A$$ означает, что если $$x_n \in D(A)$$ и $$(x_n, Ax_n) \rightarrow (x, y)$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

Так как $$\|z\| = \|x\| + \|y\|$$, то определение замкнутости оператора $$A$$ можно записать так: если $$x_n \in D(A), x_n \rightarrow x, Ax_n \rightarrow y$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

'''Теорема 1'''. Если $$D(A) = X$$ и $$A$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора ограничен] (то есть $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$), то $$A$$ ''замкнут''.

''Доказательство''. Пусть $$x_n \rightarrow x$$ и $$Ax_n \rightarrow y$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Ввиду непрерывности $$A \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax, n \rightarrow \infty$$. Но предел единственен и, значит, $$y = Ax$$.

'''Теорема 2'''. Если $$A$$ ''замкнут'' и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ также ''замкнут''.

''Доказательство''. Рассмотрим графики операторов $$A$$ и $$A^{-1}$$:
\begin{equation*}
\{(x, Ax)\}, \quad x \in D(A),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\{(y, A^{-1}y)\}, \quad y \in R(A).
\end{equation*}
Но график оператора $$A^{-1}$$ можно записать в виде $$\{(Ax, x)\}, x\in D(A)$$, то есть он получается из графика оператора $$A$$ перестановкой $$x$$ и $$Ax$$ и, значит, также является замкнутым множеством в $$Y \oplus X$$.

Это и означает замкнутость оператора $$A^{-1}$$.

'''Следствие'''. Если $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ замкнут.

==Примеры==
'''Пример 1'''. В [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовом] пространстве $$H$$ с ортонормированным базисом $$\{e_k\}_1^\infty$$ зададим линейный оператор $$A$$ следующими формулами:
\begin{equation*}
Ae_k = \lambda_k e_k, \quad k = 1, 2, \ldots,
\end{equation*}
где $$\lambda_k$$ — некоторые скаляры.

Если $$x \in H$$, то $$x = \sum_{k=1}^{\infty}\xi_k e_k$$, где ряд $$\|x\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\xi_k|^2$$ сходится.

Тогда $$Ax = \sum_{k=1}^{\infty}\lambda_k \xi_k e_k$$. Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда
\begin{equation}\label{ex1}
\|Ax\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\lambda_k|^2|\xi_k|^2 < \infty.
\end{equation}
возможны следующие два случая:

''a)'' $$\{|\lambda_k|\}$$ ограничена. Пусть $$c_A = \sup_k|\lambda_k|$$. Тогда $$\|Ax\|^2 \leq c_A^2\|x\|^2$$, откуда — $$A$$ ограничен, а значит, и замкнут.

''б)'' $$\{|\lambda_k|\}$$ неограничена. Оператор $$A$$ неограничен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из элементов $$x$$, удовлетворяющих неравенству \ref{ex1}. Оператор $$A$$ неограничен ввиду того, что $$\|Ae_k\| = |\lambda_k|$$ при $$k \rightarrow \infty$$ неограничены, хотя $$\|e_k\| = 1$$. Если $$\inf_k|\lambda_k| = c_A > 0$$, то существует $$A^{-1}$$, определяемый на элементах
\begin{equation*}
y = \sum_{k=1}^\infty \eta_k e_k, \quad \sum_{k=1}^\infty |\eta_k|^2 < \infty,
\end{equation*}
\begin{equation*}
A^{-1}y = \sum_{k=1}^\infty \lambda_k^{-1}\eta_k e_k.
\end{equation*}
Поскольку $$\sup_k|\lambda_k^{-1}| = c_A^{-1} < \infty$$, то $$A^{-1}$$ ограничен. Таким образом, условие $$\inf_k|\lambda_k| > 0$$, согласно ''Теореме 2'' обеспечивает замкнутость $$A$$.

'''Пример 2'''. Пусть $$X = Y = C[0, +\infty)$$ — банахово пространство функций $$x(t)$$, непрерывных на полуоси $$[0, +\infty)$$ с нормой $$\|x\| = \sup_{[0, +\infty)} |x(t)|$$.

Зададим в $$X$$ оператор $$A$$ по формуле $$Ax = tx(t)$$. Оператор $$A$$ линеен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из функций, удовлетворяющих неравенству
\begin{equation*}
|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t},
\end{equation*}
где постоянная $$c$$ — своя для каждой функции из $$D(A)$$.

Оператор $$A$$ неограничен. Действительно, рассмотрим последовательность функций $$x_n(t) = \frac{n}{n + t}\quad (n = 1, 2, \ldots)$$. Заметим, что $$x_n(t) \in D(A)$$, так как $$|x_n(t)| = \frac{n}{n + t} \leq \frac{n}{1 + t}$$. Кроме того, ясно, что $$\|x_n\| = 1$$. Теперь имеем
\begin{equation*}
\|Ax_n\| = \sup_{[0, +\infty)}\frac{nt}{n + t} = n,
\end{equation*}
следовательно,
\begin{equation*}
\sup_{x\in D(A), \|x\|\leq 1} \|Ax\| = +\infty.
\end{equation*}
Покажем, что $$A$$ замкнут. Пусть в $$X$$ $$x_n(t) \rightarrow x(t), tx_n(t) \rightarrow y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Тогда $$(1 + t)x_n(t) \rightarrow x(t) + y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Следовательно, для любого $$\varepsilon > 0$$ найдется номер $$N$$ такой, что если $$n > N$$, то
\begin{equation*}
|(1 + t)x_n(t) - (x(t) + y(t))| < \varepsilon
\end{equation*}
для всех $$t \in [0, +\infty)$$, или
\begin{equation*}
\left|x_n(t) - \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}\right| < \frac{\varepsilon}{1 + t} < \varepsilon.
\end{equation*}
Следовательно, $$x_n(t) \rightarrow \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}$$ при $$n \rightarrow \infty$$, но $$x_n(t) \rightarrow x(t)$$, поэтому
\begin{equation*}
\frac{x(t) + y(t)}{1 + t} = x(t) \quad \Rightarrow \quad y(t) = tx(t).
\end{equation*}
Из равенства
\begin{equation*}
x(t) = \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}
\end{equation*}
получаем
\begin{equation*}
|x(t)| = \frac{|x(t) + y(t)|}{1 + t} \leq \frac{\|x + y\|}{1 + t} \leq \frac{\|x\| + \|y\|}{1 + t}.
\end{equation*}
Значит, если взять $$c = \|x\| + \|y\|$$, получим, что $$|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t}$$. Следовательно, $$x \in D(A)$$.

Тогда $$y = Ax$$.

'''Пример 3'''. В пространстве $$C[a, b]$$ рассмотрим оператор дифференцирования $$Dx = \frac{d x(t)}{d t}$$ с областью определения $$G(D)$$, состоящей из непрерывно дифференцируемых на $$[a, b]$$ функций. Оператор $$D$$ неограничен.

Для доказательства его неограниченности возьмём последовательность $$x_n(t) = \sin nt$$ $$(n = 1, 2, \ldots), x_n \in G(D)$$ и $$\|x_n\| = 1$$, однако $$\|D x_n\| = n$$, если $$n$$ достаточно велико, и поэтому
\begin{equation*}
\sup_{x\in G(D), \|x\| \leq 1} = +\infty
\end{equation*}
и $$D$$ неограничен.

Покажем, что $$D$$ замкнут. Сходимость в $$C[a, b]$$ равномерная. Пусть $$x_n(t) \in G(D)$$, и пусть при $$n \rightarrow \infty$$

$$x_n(t) \rightarrow x(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$,

$$\dot x_n(t) \rightarrow y(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$.

Согласно теореме о дифференцировании функциональной последовательности функция $$x(t)$$ непрерывно дифференцируема и $$\dot x(t) = y(t)$$. Итак, $$D$$ замкнут.

'''Пример 4'''. Рассмотрим в пространстве $$C[a, b]$$ оператор дифференцирования $$D$$, но на этот раз в качестве его области определения $$G(D)$$ возьмем множество всех непрерывно дифференцируемых на $$\left(a, b\right]$$ функций, удовлетворяющих граничному условию $$x(a) = 0$$. Теперь $$D$$ имеет обратный оператор:
\begin{equation*}
D^{-1}y = \int_a^t y(s) ds.
\end{equation*}
Оператор $$D^{-1}$$ определен всюду в $$C[a, b]$$ и ограничен, так как
\begin{equation*}
\|D^{-1}y\| \leq (b - a)\|y\|.
\end{equation*}
По ''Теореме 2'' оператор $$D$$ замкнут.

'''Пример 5'''.
Пусть $$X$$ — банахово пространство, оператор $$A : X \rightarrow X$$ задан как $$Ax = x$$.

Очевидно, что $$A$$ линейный и ограниченный ($$\|A\| = 1$$). Тогда по ''Теореме 2'' тождественный оператор является замкнутым.

'''Пример 6'''.
Рассмотрим банахово пространство $$C[0, 1]$$. Здесь $$\|x\| = \max_{t \in [0, 1]}|x(t)|$$.

Рассмотрим оператор
\begin{equation*}
Ax(t) = \int_0^t x(s) ds, \quad t \in [0, 1].
\end{equation*}
Очевидно, этот оператор является линейным. Докажем ограниченность: для любого $$x \in C[0, 1]$$
\begin{equation*}
|Ax(t)| = \left| \int_0^t x(s) ds\right| \leq \int_0^t |x(s)| ds \leq \int_0^t \|x\| ds.
\end{equation*}
Значит,
\begin{equation*}
\|Ax\| = \max_{t \in [0, 1]}|Ax(t)| \leq \|x\|.
\end{equation*}
Тогда по ''Теореме 2'' оператор $$A$$ замкнут.

'''Пример 7'''.

==Теорема Банаха о замкнутом графике==
'''Теорема 3'''. ''(Банаха о замкнутом графике)''. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

'''Определение'''. Множество в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора нормированном] пространстве называется ''множеством I категории'', если оно есть объединение счетного числа нигде не плотных множеств. Если множество нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств, то оно называется ''множеством II категории''.

'''Теорема 4'''.''(Бэра-Хаусдорфа о категориях)''. Всякое банахово пространство является множеством II категории.

'''Лемма'''. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Пусть, далее, существует плотное в $$X$$ множество $$M$$ и постоянная $$c > 0$$, такие что $$\|Ax\| \leq c\|x\|$$ для всех $$x \in M$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

''Доказательство леммы''. Выберем элемент $$x_0 \in X$$. Покажем, что найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что
\begin{equation}\label{lemm}
\|x_1\| \leq \|x_0\|, \quad \|x_1 - x_0\| \leq \frac{1}{2} \|x_0\|.
\end{equation}
Действительно, вследствие плотности $$M$$ в $$X$$ для $$x_\varepsilon = (1 - \varepsilon)x_0, \varepsilon \in (0, 1)$$, найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что $$\|x_\varepsilon - x_1\| \leq \varepsilon \|x_0\|$$.

Оказывается, $$\varepsilon$$ можно подобрать так, чтобы элемент $$x_1$$ удовлетворял условию \ref{lemm}. Имеем
\begin{equation*}
\|x_1\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon\| + \|x\varepsilon\| \leq \varepsilon \|x_0\| + (1 - \varepsilon)\|x_0\| = \|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_1 - x_0\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon \| + \|x_\varepsilon - x_0\| \leq \varepsilon \|x_0\| + \varepsilon \|x_0\| = 2\varepsilon\|x_0\|.
\end{equation*}
Возьмём $$\varepsilon = \frac{1}{4}$$ и получим неравенства \ref{lemm}.

Аналогично можно показать, что для элемента $$x_0 - x_1$$ найдётся элемент $$x_2 \in M$$ такой, что
\begin{equation*}
\|x_0 - x_1 - x_2\| \leq \frac{1}{2}\|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{4}\|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_2\| \leq \|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{2}\|x_0\|.
\end{equation*}
Повторяя эти построения, можно доказать, что для каждого натурального $$n$$ найдутся $$x_1, x_2, \ldots, x_n \in M$$ такие, что
\begin{equation*}
\|x_0 - (x_1 + \ldots + x_n)\| \leq \frac{1}{2^n}\|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_n\| \leq \frac{1}{2^{n-1}}\|x_0\|.
\end{equation*}
Отсюда вытекает, что
\begin{equation*}
x_0 = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n, \quad s_n = \sum_{k = 1}^{n}x_k.
\end{equation*}
Так как
\begin{equation*}
\|Ax_k\| \leq c\|x_k\| \leq \frac{c}{2^{k-1}}\|x_0\|,
\end{equation*}
то ряд $$\sum_{k=1}^{\infty}Ax_k$$ сходится абсолютно. Пусть $$y$$ — его сумма. Поскольку при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
As_n \rightarrow y, \quad s_n \rightarrow x_0,
\end{equation*}
то, вследствие замкнутости оператора $$A$$,
\begin{equation*}
Ax_0 = \sum_{k=1}^{\infty}Ax_k.
\end{equation*}
Но тогда имеем оценку
\begin{equation*}
\|Ax_0\| \leq \sum_{k = 1}^{\infty}\|Ax_k\| \leq c\sum_{k = 1}^{\infty}\|x_k\| \leq 2c\|x_0\|.
\end{equation*}
Вследствие произвольности $$x_0$$ доказана ограниченность оператора $$A$$, а значит, и лемма доказана.

''Доказательство Теоремы 3''. Для каждого натурального числа $$n$$ рассмотрим множество
\begin{equation}\label{t1}
X_n = \{x \in X : \|Ax\| \leq n\|x\|\}.
\end{equation}
Далее, очевидно,
\begin{equation}\label{t2}
X = \bigcup_{n=1}^{\infty}X_n.
\end{equation}
По ''Теореме 4'' пространство $$X$$ , вследствие его полноты, является множеством II категории. Но тогда по \ref{t2} существует $$X_n$$, плотное в некотором шаре $$S \subset X$$. В противном случае $$X$$ оказалось бы объединением счётного числа нигде не плотных множеств $$X_n$$, то есть множеством I категории. Следовательно, имеем
\begin{equation*}
\overline{S \cap X_n} = \overline{S}.
\end{equation*}
Пусть далее $$x_0 \in S\cap X_{n_0}$$, а $$S_0$$ — шар с центром в $$x_0$$, радиуса $$r_0$$ настолько малого, что $$S_0 \subset S$$. Тогда
\begin{equation}\label{t3}
\overline{S_0 \cap X_{n_0}} = \overline{S_0}.
\end{equation}
Выберем теперь элемент $$u_0 \in X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$ и рассмотрим элемент $$y_0 = x_0 + u_0$$. Так как $$\|y_0 - x_0\| = \|u_0\| = r_0$$, то $$y_0 \in \overline{S_0}$$.
Вследствие соотношения \ref{t3} найдётся последовательность
\begin{equation}\label{t4}
\{y_n\} \subset S_0\cap X_{n_0}
\end{equation}
такая, что при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation}\label{t5}
y_n \rightarrow y_0 = x_0 + u_0.
\end{equation}
Рассмотрим теперь последовательность
\begin{equation}\label{t6}
\{u_n\} = \{y_n - x_0\}.
\end{equation}
Заметим, что вследствие \ref{t4}
\begin{equation}\label{t7}
\|u_n\| = \|y_n - x_0\| \leq r_0.
\end{equation}
Вспоминая определение $$X_n$$ из \ref{t1} и пользуясь тем, что $$y_n \in X_{n_0}, x_0 \in X_{n_0}$$, а также выражениями \ref{t6}, \ref{t7}, получаем следующую оценку:
\begin{equation*}
\|Au_n\| = \|A(y_n - x_0)\| \leq \|Ay_n\| + \|Ax_0\| \leq n_0(\|y_n\| + \|x_0\|) =
\end{equation*}
\begin{equation}\label{t8}
= n_0(\|u_n + x_0\| + \|x_0\|) \leq n_0(\|u_n\| + 2\|x_0\|) \leq n_0(r_0 + 2\|x_0\|).
\end{equation}
Далее, так как при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
\|u_n\| = \|y_n - x_0\| \rightarrow r_0,
\end{equation*}
то найдётся номер $$N$$ такой, что при всех $$n > N$$ выполняется неравенство
\begin{equation*}
\|u_n\| > \frac{1}{2}r_0 \quad \Rightarrow 1 < \frac{2}{r_0}\|u_n\|.
\end{equation*}
Продолжая оценку \ref{t8} при $$n > N$$, приходим к оценке
\begin{equation}\label{t9}
\|Au_n\| \leq \frac{2n_0}{r_0}\|u_n\|(r_0 + 2\|x_0\|).
\end{equation}
Отсюда получаем следующий вывод: при всех $$n > N$$ по определению \ref{t1} $$u_n \in X_{n_1}$$, где $$n_1 = 2n_0 + 4n_0\frac{\|x_0\|}{r_0}$$.

При $$n \rightarrow \infty$$ из неравенства \ref{t9} получаем $$u_n \rightarrow u_0$$, где $$u_0$$ — любой элемент $$X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$. Но из \ref{t1} следует, что $$X_{n_1}$$ содержит вместе с каждым $$x$$ и $$\lambda x$$ при любом $$\lambda$$. Таким образом, $$X_{n_1}$$ плотно в $$X$$, и так как на $$X_{n_1}$$ выполнено $$\|Ax\| \leq n_1\|x\|$$, то по ''Лемме'' оператор ограничен, и теорема полностью доказана.

'''Следствие 1'''. Если $$A$$ — замкнутый оператор, отображающий банахово пространство $$X$$ на банахово пространство $$Y$$ взаимно однозначно, то есть $$R(A) = Y$$, то оператор $$A^{-1}$$ ограничен.

''Доказательство''. По условию ''Следствия 1'' $$D(A) = X$$ и $$A$$ замкнут. По ''Теореме 3'' $$A$$ ограничен. По теореме Банаха $$A^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$.

'''Следствие 2'''. Пусть на некотором линейном пространстве $$E$$ заданы две нормы $$\|x\|_1$$ и $$\|x\|_2$$, по отношению к каждой из которых $$E$$ — банахово пространство. Если одна из норм подчинена другой, то эти нормы [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство эквивалентны].

''Доказательство''. Обозначим через $$X_1$$ пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_1$$, а через $$X_2$$ — пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_2$$.

Пусть, например, $$\|\cdot\|_1$$ подчинена $$\|\cdot\|_2$$. Это означает, что существует постоянная $$c > 0$$ такая, что для всех $$x$$
\begin{equation}\label{sl}
\|x\|_1 \leq c\|x\|_2.
\end{equation}
Определим оператор $$A$$, отображающий $$X_1$$ на $$X_2$$, по формуле $$Ax = x$$ (в левой части $$x \in X$$ как элемент из $$X_1$$, а в правой части он же как элемент из $$X_2$$).

Очевидно, $$D(A) = X_1$$, $$A$$ линеен и отображает $$X_1$$ взаимно однозначно на $$R(A) = X_2$$. Неравенство \ref{sl} означает, что $$\|A\| \leq c$$, то есть $$A$$ ограничен.

Из ''Следствия 1'' $$A^{-1} \in \mathcal{L}(X_2, X_1)$$, то есть
\begin{equation*}
\|x\|_2 \leq \|A^{-1}\| \|x\|_1.
\end{equation*}
Итак, $$c_1\|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq c\|x\|_2$$, где $$c_1 = \|A^{-1}\|^{-1}$$. Это и означает эквивалентность норм.

== Список литературы ==

1. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2002.

2. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу, 1984.

Замкнутый линейный оператор

2025-12-07T19:54:05Z

Anastasia24: /* Теорема Банаха о замкнутом графике */

==Прямая сумма линейных пространств==
'''Определение'''. ''Прямой суммой'' $$Z = X \oplus Y$$ двух линейных пространств $$X$$ и $$Y$$ называется совокупность пар $$z = (x, y)$$ $$(x \in X, y \in Y)$$, для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если $$z_1 = (x_1, y_1)$$, а $$z_2 = (x_2, y_2)$$ и $$\alpha_1, \alpha_2$$ — скаляры, то
\begin{equation*}
\alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2 = (\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2, \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2).
\end{equation*}

Если $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, то норма в $$X \oplus Y$$ вводится по формуле $$\|z\| = \|x\|_X + \|y\|_Y$$.

'''Утверждение'''. Если $$X$$ и $$Y$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы], то $$X \oplus Y$$ банахово.

==График оператора==
Пусть $$y = F(x)$$ — оператор с областью определения $$D(F)$$ в банаховом пространстве $$X$$ и с областью значений в банаховом пространстве $$Y$$.

'''Определение'''. ''Графиком'' оператора $$F$$ называется совокупность пар $$(x, F(x))$$, где $$x \in D(F)$$.

График оператора является подмножеством пространства $$X \oplus Y$$.

Пусть ниже $$F \equiv A$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора линейный] оператор.

'''Определение'''. Линейный оператор $$A : X \rightarrow Y$$ называется ''замкнутым'', если его график является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство замкнутым] множеством $$X \oplus Y$$.

Замкнутость графика оператора $$A$$ означает, что если $$x_n \in D(A)$$ и $$(x_n, Ax_n) \rightarrow (x, y)$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

Так как $$\|z\| = \|x\| + \|y\|$$, то определение замкнутости оператора $$A$$ можно записать так: если $$x_n \in D(A), x_n \rightarrow x, Ax_n \rightarrow y$$, то $$x \in D(A)$$ и $$y = Ax$$.

'''Теорема 1'''. Если $$D(A) = X$$ и $$A$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора ограничен] (то есть $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$), то $$A$$ ''замкнут''.

''Доказательство''. Пусть $$x_n \rightarrow x$$ и $$Ax_n \rightarrow y$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Ввиду непрерывности $$A \Rightarrow Ax_n \rightarrow Ax, n \rightarrow \infty$$. Но предел единственен и, значит, $$y = Ax$$.

'''Теорема 2'''. Если $$A$$ ''замкнут'' и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ также ''замкнут''.

''Доказательство''. Рассмотрим графики операторов $$A$$ и $$A^{-1}$$:
\begin{equation*}
\{(x, Ax)\}, \quad x \in D(A),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\{(y, A^{-1}y)\}, \quad y \in R(A).
\end{equation*}
Но график оператора $$A^{-1}$$ можно записать в виде $$\{(Ax, x)\}, x\in D(A)$$, то есть он получается из графика оператора $$A$$ перестановкой $$x$$ и $$Ax$$ и, значит, также является замкнутым множеством в $$Y \oplus X$$.

Это и означает замкнутость оператора $$A^{-1}$$.

'''Следствие'''. Если $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ и $$A^{-1}$$ существует, то $$A^{-1}$$ замкнут.

==Примеры замкнутых операторов==
'''Пример 1'''. В [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовом] пространстве $$H$$ с ортонормированным базисом $$\{e_k\}_1^\infty$$ зададим линейный оператор $$A$$ следующими формулами:
\begin{equation*}
Ae_k = \lambda_k e_k, \quad k = 1, 2, \ldots,
\end{equation*}
где $$\lambda_k$$ — некоторые скаляры.

Если $$x \in H$$, то $$x = \sum_{k=1}^{\infty}\xi_k e_k$$, где ряд $$\|x\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\xi_k|^2$$ сходится.

Тогда $$Ax = \sum_{k=1}^{\infty}\lambda_k \xi_k e_k$$. Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда
\begin{equation}\label{ex1}
\|Ax\|^2 = \sum_{k=1}^{\infty}|\lambda_k|^2|\xi_k|^2 < \infty.
\end{equation}
возможны следующие два случая:

''a)'' $$\{|\lambda_k|\}$$ ограничена. Пусть $$c_A = \sup_k|\lambda_k|$$. Тогда $$\|Ax\|^2 \leq c_A^2\|x\|^2$$, откуда — $$A$$ ограничен, а значит, и замкнут.

''б)'' $$\{|\lambda_k|\}$$ неограничена. Оператор $$A$$ неограничен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из элементов $$x$$, удовлетворяющих неравенству \ref{ex1}. Оператор $$A$$ неограничен ввиду того, что $$\|Ae_k\| = |\lambda_k|$$ при $$k \rightarrow \infty$$ неограничены, хотя $$\|e_k\| = 1$$. Если $$\inf_k|\lambda_k| = c_A > 0$$, то существует $$A^{-1}$$, определяемый на элементах
\begin{equation*}
y = \sum_{k=1}^\infty \eta_k e_k, \quad \sum_{k=1}^\infty |\eta_k|^2 < \infty,
\end{equation*}
\begin{equation*}
A^{-1}y = \sum_{k=1}^\infty \lambda_k^{-1}\eta_k e_k.
\end{equation*}
Поскольку $$\sup_k|\lambda_k^{-1}| = c_A^{-1} < \infty$$, то $$A^{-1}$$ ограничен. Таким образом, условие $$\inf_k|\lambda_k| > 0$$, согласно ''Теореме 2'' обеспечивает замкнутость $$A$$.

'''Пример 2'''. Пусть $$X = Y = C[0, +\infty)$$ — банахово пространство функций $$x(t)$$, непрерывных на полуоси $$[0, +\infty)$$ с нормой $$\|x\| = \sup_{[0, +\infty)} |x(t)|$$.

Зададим в $$X$$ оператор $$A$$ по формуле $$Ax = tx(t)$$. Оператор $$A$$ линеен, и его область определения $$D(A)$$ состоит из функций, удовлетворяющих неравенству
\begin{equation*}
|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t},
\end{equation*}
где постоянная $$c$$ — своя для каждой функции из $$D(A)$$.

Оператор $$A$$ неограничен. Действительно, рассмотрим последовательность функций $$x_n(t) = \frac{n}{n + t}\quad (n = 1, 2, \ldots)$$. Заметим, что $$x_n(t) \in D(A)$$, так как $$|x_n(t)| = \frac{n}{n + t} \leq \frac{n}{1 + t}$$. Кроме того, ясно, что $$\|x_n\| = 1$$. Теперь имеем
\begin{equation*}
\|Ax_n\| = \sup_{[0, +\infty)}\frac{nt}{n + t} = n,
\end{equation*}
следовательно,
\begin{equation*}
\sup_{x\in D(A), \|x\|\leq 1} \|Ax\| = +\infty.
\end{equation*}
Покажем, что $$A$$ замкнут. Пусть в $$X$$ $$x_n(t) \rightarrow x(t), tx_n(t) \rightarrow y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Тогда $$(1 + t)x_n(t) \rightarrow x(t) + y(t)$$ при $$n \rightarrow \infty$$. Следовательно, для любого $$\varepsilon > 0$$ найдется номер $$N$$ такой, что если $$n > N$$, то
\begin{equation*}
|(1 + t)x_n(t) - (x(t) + y(t))| < \varepsilon
\end{equation*}
для всех $$t \in [0, +\infty)$$, или
\begin{equation*}
\left|x_n(t) - \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}\right| < \frac{\varepsilon}{1 + t} < \varepsilon.
\end{equation*}
Следовательно, $$x_n(t) \rightarrow \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}$$ при $$n \rightarrow \infty$$, но $$x_n(t) \rightarrow x(t)$$, поэтому
\begin{equation*}
\frac{x(t) + y(t)}{1 + t} = x(t) \quad \Rightarrow \quad y(t) = tx(t).
\end{equation*}
Из равенства
\begin{equation*}
x(t) = \frac{x(t) + y(t)}{1 + t}
\end{equation*}
получаем
\begin{equation*}
|x(t)| = \frac{|x(t) + y(t)|}{1 + t} \leq \frac{\|x + y\|}{1 + t} \leq \frac{\|x\| + \|y\|}{1 + t}.
\end{equation*}
Значит, если взять $$c = \|x\| + \|y\|$$, получим, что $$|x(t)| \leq \frac{c}{1 + t}$$. Следовательно, $$x \in D(A)$$.

Тогда $$y = Ax$$.

'''Пример 3'''. В пространстве $$C[a, b]$$ рассмотрим оператор дифференцирования $$Dx = \frac{d x(t)}{d t}$$ с областью определения $$G(D)$$, состоящей из непрерывно дифференцируемых на $$[a, b]$$ функций. Оператор $$D$$ неограничен.

Для доказательства его неограниченности возьмём последовательность $$x_n(t) = \sin nt$$ $$(n = 1, 2, \ldots), x_n \in G(D)$$ и $$\|x_n\| = 1$$, однако $$\|D x_n\| = n$$, если $$n$$ достаточно велико, и поэтому
\begin{equation*}
\sup_{x\in G(D), \|x\| \leq 1} = +\infty
\end{equation*}
и $$D$$ неограничен.

Покажем, что $$D$$ замкнут. Сходимость в $$C[a, b]$$ равномерная. Пусть $$x_n(t) \in G(D)$$, и пусть при $$n \rightarrow \infty$$

$$x_n(t) \rightarrow x(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$,

$$\dot x_n(t) \rightarrow y(t)$$ равномерно на $$[a, b]$$.

Согласно теореме о дифференцировании функциональной последовательности функция $$x(t)$$ непрерывно дифференцируема и $$\dot x(t) = y(t)$$. Итак, $$D$$ замкнут.

'''Пример 4'''. Рассмотрим в пространстве $$C[a, b]$$ оператор дифференцирования $$D$$, но на этот раз в качестве его области определения $$G(D)$$ возьмем множество всех непрерывно дифференцируемых на $$\left(a, b\right]$$ функций, удовлетворяющих граничному условию $$x(a) = 0$$. Теперь $$D$$ имеет обратный оператор:
\begin{equation*}
D^{-1}y = \int_a^t y(s) ds.
\end{equation*}
Оператор $$D^{-1}$$ определен всюду в $$C[a, b]$$ и ограничен, так как
\begin{equation*}
\|D^{-1}y\| \leq (b - a)\|y\|.
\end{equation*}
По ''Теореме 2'' оператор $$D$$ замкнут.

'''Пример 5'''.
Пусть $$X$$ — банахово пространство, оператор $$A : X \rightarrow X$$ задан как $$Ax = x$$.

Очевидно, что $$A$$ линейный и ограниченный ($$\|A\| = 1$$). Тогда по ''Теореме 2'' тождественный оператор является замкнутым.

'''Пример 6'''.
Рассмотрим банахово пространство $$C[0, 1]$$. Здесь $$\|x\| = \max_{t \in [0, 1]}|x(t)|$$.

Рассмотрим оператор
\begin{equation*}
Ax(t) = \int_0^t x(s) ds, \quad t \in [0, 1].
\end{equation*}
Очевидно, этот оператор является линейным. Докажем ограниченность: для любого $$x \in C[0, 1]$$
\begin{equation*}
|Ax(t)| = \left| \int_0^t x(s) ds\right| \leq \int_0^t |x(s)| ds \leq \int_0^t \|x\| ds.
\end{equation*}
Значит,
\begin{equation*}
\|Ax\| = \max_{t \in [0, 1]}|Ax(t)| \leq \|x\|.
\end{equation*}
Тогда по ''Теореме 2'' оператор $$A$$ замкнут.

==Теорема Банаха о замкнутом графике==
'''Теорема 3'''. ''(Банаха о замкнутом графике)''. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

'''Определение'''. Множество в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора нормированном] пространстве называется ''множеством I категории'', если оно есть объединение счетного числа нигде не плотных множеств. Если множество нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств, то оно называется ''множеством II категории''.

'''Теорема 4'''.''(Бэра-Хаусдорфа о категориях)''. Всякое банахово пространство является множеством II категории.

'''Лемма'''. Пусть $$A$$ — замкнутый линейный оператор, определённый всюду в банаховом пространстве $$X$$ и со значениями в банаховом пространстве $$Y$$. Пусть, далее, существует плотное в $$X$$ множество $$M$$ и постоянная $$c > 0$$, такие что $$\|Ax\| \leq c\|x\|$$ для всех $$x \in M$$. Тогда оператор $$A$$ ограничен.

''Доказательство леммы''. Выберем элемент $$x_0 \in X$$. Покажем, что найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что
\begin{equation}\label{lemm}
\|x_1\| \leq \|x_0\|, \quad \|x_1 - x_0\| \leq \frac{1}{2} \|x_0\|.
\end{equation}
Действительно, вследствие плотности $$M$$ в $$X$$ для $$x_\varepsilon = (1 - \varepsilon)x_0, \varepsilon \in (0, 1)$$, найдётся элемент $$x_1 \in M$$ такой, что $$\|x_\varepsilon - x_1\| \leq \varepsilon \|x_0\|$$.

Оказывается, $$\varepsilon$$ можно подобрать так, чтобы элемент $$x_1$$ удовлетворял условию \ref{lemm}. Имеем
\begin{equation*}
\|x_1\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon\| + \|x\varepsilon\| \leq \varepsilon \|x_0\| + (1 - \varepsilon)\|x_0\| = \|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_1 - x_0\| \leq \|x_1 - x_\varepsilon \| + \|x_\varepsilon - x_0\| \leq \varepsilon \|x_0\| + \varepsilon \|x_0\| = 2\varepsilon\|x_0\|.
\end{equation*}
Возьмём $$\varepsilon = \frac{1}{4}$$ и получим неравенства \ref{lemm}.

Аналогично можно показать, что для элемента $$x_0 - x_1$$ найдётся элемент $$x_2 \in M$$ такой, что
\begin{equation*}
\|x_0 - x_1 - x_2\| \leq \frac{1}{2}\|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{4}\|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_2\| \leq \|x_0 - x_1\| \leq \frac{1}{2}\|x_0\|.
\end{equation*}
Повторяя эти построения, можно доказать, что для каждого натурального $$n$$ найдутся $$x_1, x_2, \ldots, x_n \in M$$ такие, что
\begin{equation*}
\|x_0 - (x_1 + \ldots + x_n)\| \leq \frac{1}{2^n}\|x_0\|,
\end{equation*}
\begin{equation*}
\|x_n\| \leq \frac{1}{2^{n-1}}\|x_0\|.
\end{equation*}
Отсюда вытекает, что
\begin{equation*}
x_0 = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n, \quad s_n = \sum_{k = 1}^{n}x_k.
\end{equation*}
Так как
\begin{equation*}
\|Ax_k\| \leq c\|x_k\| \leq \frac{c}{2^{k-1}}\|x_0\|,
\end{equation*}
то ряд $$\sum_{k=1}^{\infty}Ax_k$$ сходится абсолютно. Пусть $$y$$ — его сумма. Поскольку при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
As_n \rightarrow y, \quad s_n \rightarrow x_0,
\end{equation*}
то, вследствие замкнутости оператора $$A$$,
\begin{equation*}
Ax_0 = \sum_{k=1}^{\infty}Ax_k.
\end{equation*}
Но тогда имеем оценку
\begin{equation*}
\|Ax_0\| \leq \sum_{k = 1}^{\infty}\|Ax_k\| \leq c\sum_{k = 1}^{\infty}\|x_k\| \leq 2c\|x_0\|.
\end{equation*}
Вследствие произвольности $$x_0$$ доказана ограниченность оператора $$A$$, а значит, и лемма доказана.

''Доказательство Теоремы 3''. Для каждого натурального числа $$n$$ рассмотрим множество
\begin{equation}\label{t1}
X_n = \{x \in X : \|Ax\| \leq n\|x\|\}.
\end{equation}
Далее, очевидно,
\begin{equation}\label{t2}
X = \bigcup_{n=1}^{\infty}X_n.
\end{equation}
По ''Теореме 4'' пространство $$X$$ , вследствие его полноты, является множеством II категории. Но тогда по \ref{t2} существует $$X_n$$, плотное в некотором шаре $$S \subset X$$. В противном случае $$X$$ оказалось бы объединением счётного числа нигде не плотных множеств $$X_n$$, то есть множеством I категории. Следовательно, имеем
\begin{equation*}
\overline{S \cap X_n} = \overline{S}.
\end{equation*}
Пусть далее $$x_0 \in S\cap X_{n_0}$$, а $$S_0$$ — шар с центром в $$x_0$$, радиуса $$r_0$$ настолько малого, что $$S_0 \subset S$$. Тогда
\begin{equation}\label{t3}
\overline{S_0 \cap X_{n_0}} = \overline{S_0}.
\end{equation}
Выберем теперь элемент $$u_0 \in X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$ и рассмотрим элемент $$y_0 = x_0 + u_0$$. Так как $$\|y_0 - x_0\| = \|u_0\| = r_0$$, то $$y_0 \in \overline{S_0}$$.
Вследствие соотношения \ref{t3} найдётся последовательность
\begin{equation}\label{t4}
\{y_n\} \subset S_0\cap X_{n_0}
\end{equation}
такая, что при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation}\label{t5}
y_n \rightarrow y_0 = x_0 + u_0.
\end{equation}
Рассмотрим теперь последовательность
\begin{equation}\label{t6}
\{u_n\} = \{y_n - x_0\}.
\end{equation}
Заметим, что вследствие \ref{t4}
\begin{equation}\label{t7}
\|u_n\| = \|y_n - x_0\| \leq r_0.
\end{equation}
Вспоминая определение $$X_n$$ из \ref{t1} и пользуясь тем, что $$y_n \in X_{n_0}, x_0 \in X_{n_0}$$, а также выражениями \ref{t6}, \ref{t7}, получаем следующую оценку:
\begin{equation*}
\|Au_n\| = \|A(y_n - x_0)\| \leq \|Ay_n\| + \|Ax_0\| \leq n_0(\|y_n\| + \|x_0\|) =
\end{equation*}
\begin{equation}\label{t8}
= n_0(\|u_n + x_0\| + \|x_0\|) \leq n_0(\|u_n\| + 2\|x_0\|) \leq n_0(r_0 + 2\|x_0\|).
\end{equation}
Далее, так как при $$n \rightarrow \infty$$
\begin{equation*}
\|u_n\| = \|y_n - x_0\| \rightarrow r_0,
\end{equation*}
то найдётся номер $$N$$ такой, что при всех $$n > N$$ выполняется неравенство
\begin{equation*}
\|u_n\| > \frac{1}{2}r_0 \quad \Rightarrow 1 < \frac{2}{r_0}\|u_n\|.
\end{equation*}
Продолжая оценку \ref{t8} при $$n > N$$, приходим к оценке
\begin{equation}\label{t9}
\|Au_n\| \leq \frac{2n_0}{r_0}\|u_n\|(r_0 + 2\|x_0\|).
\end{equation}
Отсюда получаем следующий вывод: при всех $$n > N$$ по определению \ref{t1} $$u_n \in X_{n_1}$$, где $$n_1 = 2n_0 + 4n_0\frac{\|x_0\|}{r_0}$$.

При $$n \rightarrow \infty$$ из неравенства \ref{t9} получаем $$u_n \rightarrow u_0$$, где $$u_0$$ — любой элемент $$X$$ с $$\|u_0\| = r_0$$. Но из \ref{t1} следует, что $$X_{n_1}$$ содержит вместе с каждым $$x$$ и $$\lambda x$$ при любом $$\lambda$$. Таким образом, $$X_{n_1}$$ плотно в $$X$$, и так как на $$X_{n_1}$$ выполнено $$\|Ax\| \leq n_1\|x\|$$, то по ''Лемме'' оператор ограничен, и теорема полностью доказана.

'''Следствие 1'''. Если $$A$$ — замкнутый оператор, отображающий банахово пространство $$X$$ на банахово пространство $$Y$$ взаимно однозначно, то есть $$R(A) = Y$$, то оператор $$A^{-1}$$ ограничен.

''Доказательство''. По условию ''Следствия 1'' $$D(A) = X$$ и $$A$$ замкнут. По ''Теореме 3'' $$A$$ ограничен. По теореме Банаха $$A^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$.

'''Следствие 2'''. Пусть на некотором линейном пространстве $$E$$ заданы две нормы $$\|x\|_1$$ и $$\|x\|_2$$, по отношению к каждой из которых $$E$$ — банахово пространство. Если одна из норм подчинена другой, то эти нормы [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство эквивалентны].

''Доказательство''. Обозначим через $$X_1$$ пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_1$$, а через $$X_2$$ — пространство $$E$$ с нормой $$\|x\|_2$$.

Пусть, например, $$\|\cdot\|_1$$ подчинена $$\|\cdot\|_2$$. Это означает, что существует постоянная $$c > 0$$ такая, что для всех $$x$$
\begin{equation}\label{sl}
\|x\|_1 \leq c\|x\|_2.
\end{equation}
Определим оператор $$A$$, отображающий $$X_1$$ на $$X_2$$, по формуле $$Ax = x$$ (в левой части $$x \in X$$ как элемент из $$X_1$$, а в правой части он же как элемент из $$X_2$$).

Очевидно, $$D(A) = X_1$$, $$A$$ линеен и отображает $$X_1$$ взаимно однозначно на $$R(A) = X_2$$. Неравенство \ref{sl} означает, что $$\|A\| \leq c$$, то есть $$A$$ ограничен.

Из ''Следствия 1'' $$A^{-1} \in \mathcal{L}(X_2, X_1)$$, то есть
\begin{equation*}
\|x\|_2 \leq \|A^{-1}\| \|x\|_1.
\end{equation*}
Итак, $$c_1\|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq c\|x\|_2$$, где $$c_1 = \|A^{-1}\|^{-1}$$. Это и означает эквивалентность норм.

== Список литературы ==

1. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2002.

2. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу, 1984.

Замкнутый линейный оператор

2025-12-07T17:59:00Z