sawiki - Вклад участника [ru]

Вполне непрерывный линейный оператор

2026-02-24T23:15:37Z

Andrey25: /* Полезное в решении задач утверждение */

== Определение вполне непрерывного (компактного) оператора ==
Пусть пространства $$X$$ и $$Y$$ — [[Банахово пространство|банаховы]], оператор <math>A: X \to Y</math> — линейный.

'''Определение 1.''' Оператор <math>A: X \to Y</math> называется '''вполне непрерывным''', если он любую [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся последовательность]] переводит в последовательность, [[Сильная и слабая сходимость|сходящуюся по норме:]] <math> x_n \xrightarrow{w} x \implies A x_n \xrightarrow{\| \cdot \|_Y} A x</math>.

'''Определение 2.''' Оператор <math>A: X \to Y</math> называется '''компактным''', если он всякое ограниченное множество <math>M \subset X</math> переводит в [[Компактность и предкомпактность|предкомпактное множество]] в <math>Y.</math>

'''Замечание 1.''' Всякий вполне непрерывный или компактный оператор — [[Норма линейного оператора|ограничен]].

'''Утверждение 1.''' Пусть $$H$$ — [[Гильбертово пространство|гильбертово]]. Если оператор <math>A: H \to H</math> — вполне непрерывен, то [[Сопряжённый линейный оператор|сопряжённый оператор]] $$A^*$$ тоже вполне непрерывен.

''Доказательство.'' Заметим, что если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то:

:<math>\|A^*x_n - A^*x\|^2 = \langle A^*(x_n - x), A^*(x_n - x) \rangle = \langle AA^*(x_n - x), x_n - x \rangle \leqslant \|A(A^*(x_n - x))\| \cdot \|x_n - x\|.</math>

Так как последовательность <math>\{x_n\}</math> — ограничена, а оператор <math>A^*</math> — [[Норма линейного оператора|непрерывен]], последовательность <math>\{A^*(x_n - x)\}</math> [[Сильная и слабая сходимость|сходится слабо]] к нулю.

Оператор <math>A</math> — вполне непрерывен, поэтому он переводит слабо сходящуюся последовательность <math>\{A^*(x_n - x)\}</math> в сходящуюся по норме:<math>\|A(A^*(x_n - x))\| \to 0.</math>

Так как множитель <math>\|x_n - x\|</math> ограничен, то вся правая часть неравенства стремится к нулю, откуда следует, что <math>\|A^*x_n\| \to \|A^*x\|</math>. То есть, оператор <math>A^*</math> вполне непрерывен по определению. <math>\blacksquare</math>

== Связь компактных и вполне непрерывных операторов ==
'''Лемма 1.''' Если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то <math>Ax_n \xrightarrow{w} Ax</math>.

''Доказательство.'' <math>\langle Ax_n, y \rangle = \langle x_n, A^*y \rangle \to \langle x, A^*y \rangle = \langle Ax, y \rangle</math>. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 1.''' Линейный оператор <math>A \in \mathcal{L}(X, Y)</math> является вполне непрерывным $$\Longleftrightarrow$$ этот линейный оператор является компактным.

''В правую сторону.'' Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность $$\{x_n\}$$, из неё можно выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]] <math>\{x_{n_k}\} \xrightarrow{w} x</math>. По определению вполне непрерывного оператора это означает, что <math>\{Ax_{n_k}\} \to Ax</math>. Наличие сильно сходящейся подпоследовательности для любой ограниченной последовательности означает, что образ ограниченного множества [[Компактность и предкомпактность|предкомпактен]], то есть оператор <math>A</math> компактен.

''В левую сторону.'' Предположим противное. Пусть существует такая $$x_n \xrightarrow{w} x$$, что $$Ax_n \not\to Ax$$. По лемме: $$Ax_n \xrightarrow{w} Ax$$. Заметим сначала, что $$Ax_n$$ может сходиться только к $$Ax$$. По предположению:: <math>\exists\ \varepsilon > 0 \ \exists\ \ \{n_k\}: \|Ax_{n_k} - Ax\| \geqslant \varepsilon.</math>
$$\{x_{n_k}\}$$ — сходится слабо, откуда следует, что она также и ограничена, откуда из определения компактного оператора следует, что $$\{Ax_{n_k}\}$$ — предкомпактное множество, значит из этой последовательности можно выбрать фундаментальную подпоследовательность $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$, а из банаховости $$Y$$, $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$ будет сходиться к некоторому $$y$$, и неравенство выше выполняться не будет: $$\|Ax_{n_{k_l}} - Ax\| < \varepsilon$$. Таким образом, существует $$y$$ такое, что $$\|Ax_{n_{k_l}} - y\| \to 0$$ и $$y$$ может быть равно только $$Ax$$. <math>\blacksquare</math>

== Замкнутость множества вполне непрерывных (компактных) операторов ==

'''Теорема 2.''' Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, а $$\{A_n\}$$ — последовательность компактных операторов, такая что $$\|A_n - A\| \to 0$$ при $$n \to \infty$$, то оператор $$A$$ также является компактным.

''Доказательство.''
Пусть $$M \subset X$$ — произвольное ограниченное множество, и <math>C = \sup_{x \in M} \|x\|</math>. Для доказательства компактности $$A$$ воспользуемся [[Компактность и предкомпактность|критерием предкомпактности]]: покажем, что для любого $$\varepsilon > 0$$ образ $$A(M)$$ обладает конечной $$\varepsilon$$-сетью.

Зафиксируем $$\varepsilon > 0$$. Так как $$\|A_n - A\| \to 0$$, выберем такое число $$n$$, чтобы <math>\|A_n - A\| < \frac{\varepsilon}{2C}</math>.

Множество $$A_n(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]] (так как операторы $$A_n$$ компактны по условию). Значит, для него существует конечная $$\frac{\varepsilon}{2}$$-сеть $$\{y_1, \dots, y_k\} \subset Y$$.

Проверим, что эта же сеть будет являться $$\varepsilon$$-сетью для множества $$A(M)$$. Для любого $$Ax \in A(M)$$:: <math>\|Ax - y_i\| = \|Ax - A_nx + A_nx - y_i\| \leqslant \|(A - A_n)x\| + \|A_nx - y_i\|.</math>

Оценка первого слагаемого:: <math>\|(A - A_n)x\| \leqslant \|A - A_n\| \cdot \|x\| < \frac{\varepsilon}{2C} \cdot C = \frac{\varepsilon}{2}</math>.

А второе слагаемое оценивается выбором $$\frac{\varepsilon}{2}$$-сети:: <math>\|A_nx - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2}</math>.

Откуда:: <math>\|Ax - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>.

Таким образом, для любого ограниченного множества образ имеет конечную $$\varepsilon$$-сеть, следовательно, $$A(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]], и оператор $$A$$ компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Замечание 2.''' Из ''Теоремы 2'' следует, что пространство компактных операторов является замкнутым в пространстве всех ограниченных операторов. Следовательно, ограниченный, но не компактный оператор нельзя приблизить по норме последовательностью компактных.

== Приближение вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ==

=== Свойства проекторов в гильбертовом пространстве ===
Пусть $$H$$ — [[Сепарабельность метрического пространства|сепарабельное]] [[Гильбертово пространство|гильбертово пространство]], а $$\{e_k\}$$ — его ортонормированный базис. Определим последовательность конечномерных проекторов $$P_n$$ и остаточных операторов $$R_n$$:
:<math>P_n x = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k, \quad R_n x = \sum_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k.</math>

Для этих операторов выполняются свойства:
* '''Разложение единицы:''' $$P_n + R_n = E$$, где $$E$$ — тождественный оператор.
* '''Сильная сходимость:''' $$P_n x \to x$$ для любого $$x \in H$$ при $$n \to \infty$$.
* '''Отсутствие сходимости по норме:''' $$\|P_n - E\| \not\to 0$$(в бесконечномерном случае).
* '''Самосопряженность:''' $$P_n = P_n^*$$ и $$R_n = R_n^*$$.

=== Теорема о приближении вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ===
'''Лемма 2.''' Для любого компактного оператора $$A$$ существует вектор $$z \in H$$ с единичной нормой ($$\|z\|=1$$), на котором достигается норма оператора — $$\|A\| = \|Az\|.$$

''Доказательство.''
Рассмотрим последовательность $$\{x_n\}$$, такую что $$\|x_n\|=1$$ и $$\|Ax_n\| \to \|A\|$$.

$$\{x_n\}$$ — ограничена, значит, можем выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]]: $$x_{n_k} \xrightarrow{w} z$$.

Из компактности(вполне непрерывности) $$A$$ следует, что $$Ax_{n_k} \to Az$$. Значит, <math>\|Az\| = \lim \|Ax_{n_k}\| = \|A\|</math>.

Так как $$\|Az\| \leqslant \|A\| \cdot \|z\|$$, а $$\|Az\| = \|A\|$$, то $$\|z\| \geqslant 1$$.

В то же время из свойств слабого предела получаем $$\|z\| \leqslant \underline{\lim} \|x_{n_k}\| = 1$$.

Таким образом, $$\|z\| = 1$$. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 3.''' Если оператор $$A: H \to H$$ компактен, то: <math>\|A - P_n A P_n\| \to 0 \quad \text{при } n \to \infty.</math>

''Доказательство.''
Сначала покажем, что если $$\{x_n\}$$ ограничена, то $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$. Действительно:: <math> \forall\ y \in H: |\langle R_n x_n, y \rangle| = |\langle x_n, R_n y \rangle| \leqslant \|x_n\| \cdot \|R_n y\| \to 0,</math> так как $$\|R_n y\| \to 0$$.

Далее рассмотрим разность:
<math>\|A - P_n A P_n\| = \|P_n A + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A P_n + R_n A R_n + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A R_n + R_n A\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>

Теперь оценим норму:: <math>\|A - P_n A P_n\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>
Первое слагаемое: Оператор $$P_n A R_n$$ компактен, значит, по лемме, существует $$\|x_n\|=1$$, такой что $$\|P_n A R_n\| = \|P_n A R_n x_n\|$$. Так как $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$, а $$A$$ вполне непрерывен, то $$A(R_n x_n) \to 0$$. Значит, $$\|P_n A R_n x_n\| \to 0$$.

Второе слагаемое: Заметим, что $$\|R_n A\| = \|A^* R_n\|$$. Так как $$A^*$$ компактен, то аналогично $$\|A^* R_n\| \to 0$$. <math>\blacksquare</math>

== Полезное в решении задач утверждение ==

'''Теорема 4.''' Оператор $$A: X \to Y$$ — компактен $$\Longleftrightarrow$$ множество <math>A(\bar{B}_1(0))</math> — предкомпактно в <math>Y</math>, где <math>\bar{B}_1(0) = \{x \in X: \|x\| \leqslant 1\}</math> — замкнутый шар радиуса 1 c центром в нуле.

''Доказательство.''
''В правую сторону:'' По определению: компактный оператор $$A$$ переводит ограниченное множество $$\bar{B}_1(0)$$ из $$X$$ в предкомпактное из $$Y$$.

''В левую сторону:'' Рассмотрим $$M$$ — произвольное ограниченное множество из $$X$$, значит, существует число $$R > 0$$ такое, что $$M \subseteq B_R(0)$$. И любой элемент $$x$$ из $$M$$ можно представить в виде: $$x = R \cdot u$$, где $$u \in X; \|u\| \leqslant 1.$$

Из линейности оператора $$A$$ следует:: <math>A(B_R(0)) = \{A(Ru) : |u| \leqslant 1\} = \{R \cdot A(u) : |u| \leqslant 1\} = R \cdot A(\bar{B}_1(0)),</math> тогда как из условия помним, что $$A(\bar{B}_1(0))$$ — предкомпактно, значит, $$RA(\bar{B}_1(0)) = A(B_R(0))$$ — тоже [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]].

Таким образом, $$A(M) \subseteq A(B_R(0))$$ — предкомпактно. <math> \blacksquare </math>

'''Следствие из теоремы 4.''' Для доказательства компактности оператора можно переписать ''Определение 2'' в виде: оператор $$A: X \to Y$$ называют '''компактным''', если множество <math>A(\bar{B}_1(0))</math> — предкомпактно в <math>Y</math>. И проверять предкомпактность образа единичного шара <math>A(\bar{B}_1(0))</math> по [[Компактность и предкомпактность|теореме Арцела–Асколи]].

== Примеры вполне непрерывных (компактных) операторов в Гильбертовом пространстве ==

'''Пример 1.''' Если $$A$$ — вполне непрерывный, $$B$$ — ограниченный, то операторы $$AB$$ и $$BA$$ — вполне непрерывны.

''Доказательство:'' Пусть $$M \subset H$$ — произвольное ограниченное множество.

Оператор $$BA$$: так как $$A$$ компактен, то множество $$A(M)$$ предкомпактно. Оператор $$B$$ ограничен, следовательно, $$B(A(M))$$ также предкомпактно, и $$BA$$ — компактен.

Оператор $$AB$$: $$B$$ — ограничен, значит, множество $$B(M)$$ также является ограниченным. И компактный $$A$$ переводит это ограниченное множество $$B(M)$$ в предкомпактное $$A(B(M))$$. Следовательно, $$AB$$ — компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 2.''' Конечномерные операторы.

''Доказательство.''
Пусть $$A: H \to H$$ — конечномерный оператор. Тогда, его образ $$\text{im } A$$ является конечномерным подпространством в $$H$$.

Пусть $$M \subset H$$ — произвольное ограниченное множество. $$A$$ — ограничен, значит, множество $$A(M)$$ также ограничено. $$A(M)$$ лежит в конечномерном подпространстве, и по теореме Больцано–Вейерштрасса любое ограниченное множество в нём является [[Компактность и предкомпактность|предкомпактным]]. Следовательно, $$A$$ — компактный оператор. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 3.''' $$H = l_2$$. Линейный оператор $$A$$ действует по правилу $$A(x_1, x_2, \dots) = (y_1, y_2, \dots)$$, где:
:<math>y_i = \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j: \quad \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2 < \infty.</math>

''Доказательство.''

'''Ограниченность:''' по неравенству Коши–Буняковского::
<math>|y_i|^2 = \left| \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j \right|^2 \leqslant \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2 \cdot \sum_{j=1}^\infty |x_j|^2 = \|x\|^2 \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2.</math>
Суммируя по $$i$$, получаем <math>\|Ax\|^2 = \sum_{i=1}^\infty |y_i|^2 \leqslant \|x\|^2 \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2</math>. Таким образом, оператор ограничен и его норма <math>\|A\| \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2}</math>.

'''Компактность:''' Рассмотрим последовательность конечномерных операторов $$A_n$$, для них матрица $$A = \{a_{ij}\}$$ обрезается до размера $$n \times n$$.

Так как <math>\|A - A_n\|^2 \leqslant \sum_{i=n+1}^\infty \sum_{j=n+1}^\infty |a_{ij}|^2</math>, а правая часть неравенства, как хвост ряда, стремится к $$0$$ при $$n \to \infty$$, то $$A_n \to A$$ по норме.

По ''Теореме 2'' и ''Примеру 2'': предел по норме конечномерных (и, таким образом — компактных) операторов является компактным, то есть $$A$$ — компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 4.''' $$H = L_2[0, 1]$$. Оператор $$A$$ действует по правилу::
<math>(Ax)(t) = \int_{0}^{1} K(t, \tau) x(\tau) \, d\tau,</math>
где:: <math>\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau < \infty.</math>

''Доказательство.''

'''Ограниченность:''' По неравенству Коши–Буняковского::
<math>|(Ax)(t)|^2 = \left| \int_{0}^{1} K(t, \tau) x(\tau) \, d\tau \right|^2 \leqslant \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, d\tau \cdot \int_{0}^{1} |x(\tau)|^2 \, d\tau.</math> Интегрируя обе части по $$t$$:: <math>\|Ax\|^2 = \int_{0}^{1} |(Ax)(t)|^2 \, dt \leqslant \|x\|^2 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau.</math>

Таким образом, оператор ограничен, и его норма <math>\|A\| \leqslant \sqrt{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau}</math>.

'''Компактность:''' Воспользуемся [[Компактность и предкомпактность|теоремой Арцела–Асколи]].

'''Равномерная ограниченность:''' Из доказательства ''ограниченности'' выше, для всех $$x: \|x\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant 1$$ существует постоянная $$C$$ такая, что $$\|Ax\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant C.$$

'''Равностепенная непрерывность.''' Снова применим неравенство Коши–Буняковского::
<math> |(Ax)(t + h) - (Ax)(t)| = \left|\int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|x(\tau)d\tau\right| \leqslant \left(\int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau\right)^\frac{1}{2},</math> после возведения в квадрат и интегрирования по $$t$$ получаем:: <math> \|(Ax)(t + h) - (Ax)(t)\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant \int_{0}^1 \int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau dt \cdot \|u\|_{L_{(0,1)}^2}.</math>

При этом: $$\lim \int_{0}^1 \int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau dt = 0$$ при $$h \to 0$$.

Таким образом, по [[Компактность и предкомпактность|теореме Арцела–Асколи]] получили, что $$\{Ax:\ \|x\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant 1\}$$ — предкомпактно в $$L_{(0,1)}^2$$, откуда по ''определению 2'' и ''замечанию 3'' получаем, что $$A$$ — компактен. <math> \blacksquare </math>

== Список литературы ==
# ''Полосин А. А.'' Лекции по функциональному анализу 2024-2025
# ''Точилин П. А., Паршиков М. В.'' Семинарские занятия по функциональному анализу 2024-2025
# ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' "Элементы функционального анализа." М: Наука, 1965.

Вполне непрерывный линейный оператор

2026-02-24T23:12:53Z

Andrey25: /* Замкнутость множества вполне непрерывных (компактных) операторов */

== Определение вполне непрерывного (компактного) оператора ==
Пусть пространства $$X$$ и $$Y$$ — [[Банахово пространство|банаховы]], оператор <math>A: X \to Y</math> — линейный.

'''Определение 1.''' Оператор <math>A: X \to Y</math> называется '''вполне непрерывным''', если он любую [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся последовательность]] переводит в последовательность, [[Сильная и слабая сходимость|сходящуюся по норме:]] <math> x_n \xrightarrow{w} x \implies A x_n \xrightarrow{\| \cdot \|_Y} A x</math>.

'''Определение 2.''' Оператор <math>A: X \to Y</math> называется '''компактным''', если он всякое ограниченное множество <math>M \subset X</math> переводит в [[Компактность и предкомпактность|предкомпактное множество]] в <math>Y.</math>

'''Замечание 1.''' Всякий вполне непрерывный или компактный оператор — [[Норма линейного оператора|ограничен]].

'''Утверждение 1.''' Пусть $$H$$ — [[Гильбертово пространство|гильбертово]]. Если оператор <math>A: H \to H</math> — вполне непрерывен, то [[Сопряжённый линейный оператор|сопряжённый оператор]] $$A^*$$ тоже вполне непрерывен.

''Доказательство.'' Заметим, что если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то:

:<math>\|A^*x_n - A^*x\|^2 = \langle A^*(x_n - x), A^*(x_n - x) \rangle = \langle AA^*(x_n - x), x_n - x \rangle \leqslant \|A(A^*(x_n - x))\| \cdot \|x_n - x\|.</math>

Так как последовательность <math>\{x_n\}</math> — ограничена, а оператор <math>A^*</math> — [[Норма линейного оператора|непрерывен]], последовательность <math>\{A^*(x_n - x)\}</math> [[Сильная и слабая сходимость|сходится слабо]] к нулю.

Оператор <math>A</math> — вполне непрерывен, поэтому он переводит слабо сходящуюся последовательность <math>\{A^*(x_n - x)\}</math> в сходящуюся по норме:<math>\|A(A^*(x_n - x))\| \to 0.</math>

Так как множитель <math>\|x_n - x\|</math> ограничен, то вся правая часть неравенства стремится к нулю, откуда следует, что <math>\|A^*x_n\| \to \|A^*x\|</math>. То есть, оператор <math>A^*</math> вполне непрерывен по определению. <math>\blacksquare</math>

== Связь компактных и вполне непрерывных операторов ==
'''Лемма 1.''' Если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то <math>Ax_n \xrightarrow{w} Ax</math>.

''Доказательство.'' <math>\langle Ax_n, y \rangle = \langle x_n, A^*y \rangle \to \langle x, A^*y \rangle = \langle Ax, y \rangle</math>. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 1.''' Линейный оператор <math>A \in \mathcal{L}(X, Y)</math> является вполне непрерывным $$\Longleftrightarrow$$ этот линейный оператор является компактным.

''В правую сторону.'' Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность $$\{x_n\}$$, из неё можно выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]] <math>\{x_{n_k}\} \xrightarrow{w} x</math>. По определению вполне непрерывного оператора это означает, что <math>\{Ax_{n_k}\} \to Ax</math>. Наличие сильно сходящейся подпоследовательности для любой ограниченной последовательности означает, что образ ограниченного множества [[Компактность и предкомпактность|предкомпактен]], то есть оператор <math>A</math> компактен.

''В левую сторону.'' Предположим противное. Пусть существует такая $$x_n \xrightarrow{w} x$$, что $$Ax_n \not\to Ax$$. По лемме: $$Ax_n \xrightarrow{w} Ax$$. Заметим сначала, что $$Ax_n$$ может сходиться только к $$Ax$$. По предположению:: <math>\exists\ \varepsilon > 0 \ \exists\ \ \{n_k\}: \|Ax_{n_k} - Ax\| \geqslant \varepsilon.</math>
$$\{x_{n_k}\}$$ — сходится слабо, откуда следует, что она также и ограничена, откуда из определения компактного оператора следует, что $$\{Ax_{n_k}\}$$ — предкомпактное множество, значит из этой последовательности можно выбрать фундаментальную подпоследовательность $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$, а из банаховости $$Y$$, $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$ будет сходиться к некоторому $$y$$, и неравенство выше выполняться не будет: $$\|Ax_{n_{k_l}} - Ax\| < \varepsilon$$. Таким образом, существует $$y$$ такое, что $$\|Ax_{n_{k_l}} - y\| \to 0$$ и $$y$$ может быть равно только $$Ax$$. <math>\blacksquare</math>

== Замкнутость множества вполне непрерывных (компактных) операторов ==

'''Теорема 2.''' Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, а $$\{A_n\}$$ — последовательность компактных операторов, такая что $$\|A_n - A\| \to 0$$ при $$n \to \infty$$, то оператор $$A$$ также является компактным.

''Доказательство.''
Пусть $$M \subset X$$ — произвольное ограниченное множество, и <math>C = \sup_{x \in M} \|x\|</math>. Для доказательства компактности $$A$$ воспользуемся [[Компактность и предкомпактность|критерием предкомпактности]]: покажем, что для любого $$\varepsilon > 0$$ образ $$A(M)$$ обладает конечной $$\varepsilon$$-сетью.

Зафиксируем $$\varepsilon > 0$$. Так как $$\|A_n - A\| \to 0$$, выберем такое число $$n$$, чтобы <math>\|A_n - A\| < \frac{\varepsilon}{2C}</math>.

Множество $$A_n(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]] (так как операторы $$A_n$$ компактны по условию). Значит, для него существует конечная $$\frac{\varepsilon}{2}$$-сеть $$\{y_1, \dots, y_k\} \subset Y$$.

Проверим, что эта же сеть будет являться $$\varepsilon$$-сетью для множества $$A(M)$$. Для любого $$Ax \in A(M)$$:: <math>\|Ax - y_i\| = \|Ax - A_nx + A_nx - y_i\| \leqslant \|(A - A_n)x\| + \|A_nx - y_i\|.</math>

Оценка первого слагаемого:: <math>\|(A - A_n)x\| \leqslant \|A - A_n\| \cdot \|x\| < \frac{\varepsilon}{2C} \cdot C = \frac{\varepsilon}{2}</math>.

А второе слагаемое оценивается выбором $$\frac{\varepsilon}{2}$$-сети:: <math>\|A_nx - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2}</math>.

Откуда:: <math>\|Ax - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>.

Таким образом, для любого ограниченного множества образ имеет конечную $$\varepsilon$$-сеть, следовательно, $$A(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]], и оператор $$A$$ компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Замечание 2.''' Из ''Теоремы 2'' следует, что пространство компактных операторов является замкнутым в пространстве всех ограниченных операторов. Следовательно, ограниченный, но не компактный оператор нельзя приблизить по норме последовательностью компактных.

== Приближение вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ==

=== Свойства проекторов в гильбертовом пространстве ===
Пусть $$H$$ — [[Сепарабельность метрического пространства|сепарабельное]] [[Гильбертово пространство|гильбертово пространство]], а $$\{e_k\}$$ — его ортонормированный базис. Определим последовательность конечномерных проекторов $$P_n$$ и остаточных операторов $$R_n$$:
:<math>P_n x = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k, \quad R_n x = \sum_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k.</math>

Для этих операторов выполняются свойства:
* '''Разложение единицы:''' $$P_n + R_n = E$$, где $$E$$ — тождественный оператор.
* '''Сильная сходимость:''' $$P_n x \to x$$ для любого $$x \in H$$ при $$n \to \infty$$.
* '''Отсутствие сходимости по норме:''' $$\|P_n - E\| \not\to 0$$(в бесконечномерном случае).
* '''Самосопряженность:''' $$P_n = P_n^*$$ и $$R_n = R_n^*$$.

=== Теорема о приближении вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ===
'''Лемма 2.''' Для любого компактного оператора $$A$$ существует вектор $$z \in H$$ с единичной нормой ($$\|z\|=1$$), на котором достигается норма оператора — $$\|A\| = \|Az\|.$$

''Доказательство.''
Рассмотрим последовательность $$\{x_n\}$$, такую что $$\|x_n\|=1$$ и $$\|Ax_n\| \to \|A\|$$.

$$\{x_n\}$$ — ограничена, значит, можем выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]]: $$x_{n_k} \xrightarrow{w} z$$.

Из компактности(вполне непрерывности) $$A$$ следует, что $$Ax_{n_k} \to Az$$. Значит, <math>\|Az\| = \lim \|Ax_{n_k}\| = \|A\|</math>.

Так как $$\|Az\| \leqslant \|A\| \cdot \|z\|$$, а $$\|Az\| = \|A\|$$, то $$\|z\| \geqslant 1$$.

В то же время из свойств слабого предела получаем $$\|z\| \leqslant \underline{\lim} \|x_{n_k}\| = 1$$.

Таким образом, $$\|z\| = 1$$. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 3.''' Если оператор $$A: H \to H$$ компактен, то: <math>\|A - P_n A P_n\| \to 0 \quad \text{при } n \to \infty.</math>

''Доказательство.''
Сначала покажем, что если $$\{x_n\}$$ ограничена, то $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$. Действительно:: <math> \forall\ y \in H: |\langle R_n x_n, y \rangle| = |\langle x_n, R_n y \rangle| \leqslant \|x_n\| \cdot \|R_n y\| \to 0,</math> так как $$\|R_n y\| \to 0$$.

Далее рассмотрим разность:
<math>\|A - P_n A P_n\| = \|P_n A + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A P_n + R_n A R_n + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A R_n + R_n A\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>

Теперь оценим норму:: <math>\|A - P_n A P_n\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>
Первое слагаемое: Оператор $$P_n A R_n$$ компактен, значит, по лемме, существует $$\|x_n\|=1$$, такой что $$\|P_n A R_n\| = \|P_n A R_n x_n\|$$. Так как $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$, а $$A$$ вполне непрерывен, то $$A(R_n x_n) \to 0$$. Значит, $$\|P_n A R_n x_n\| \to 0$$.

Второе слагаемое: Заметим, что $$\|R_n A\| = \|A^* R_n\|$$. Так как $$A^*$$ компактен, то аналогично $$\|A^* R_n\| \to 0$$. <math>\blacksquare</math>

== Полезное в решении задач утверждение ==

'''Теорема 4.''' Оператор $$A: X \to Y$$ — компактен $$\Longleftrightarrow$$ множество <math>A(\bar{B}_1(0))</math> — предкомпактно в <math>Y</math>, где <math>\bar{B}_1(0) = \{x \in X: \|x\| \leqslant 1\}</math> — замкнутый шар радиуса 1 c центром в нуле.

''Доказательство.''
''В правую сторону:'' По определению: компактный оператор $$A$$ переводит ограниченное множество $$\bar{B}_1(0)$$ из $$X$$ в предкомпактное из $$Y$$.

''В левую сторону:'' Рассмотрим $$M$$ — произвольное ограниченное множество из $$X$$, значит, существует число $$R > 0$$ такое, что $$M \subseteq B_R(0)$$. И любой элемент $$x$$ из $$M$$ можно представить в виде: $$x = R \cdot u$$, где $$u \in X; \|u\| \leqslant 1.$$

Из линейности оператора $$A$$ следует:: <math>A(B_R(0)) = \{A(Ru) : |u| \leqslant 1\} = \{R \cdot A(u) : |u| \leqslant 1\} = R \cdot A(B_1(0)),</math> тогда как из условия помним, что $$A(\bar{B}_1(0))$$ — предкомпактно, значит, $$RA(\bar{B}_1(0)) = A(B_R)$$ — тоже [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]].

Таким образом, $$A(M) \subseteq A(B_R(0))$$ — предкомпактно. <math> \blacksquare </math>

'''Следствие из теоремы 4.''' Для доказательства компактности оператора можно переписать ''Определение 2'' в виде: оператор $$A: X \to Y$$ называют '''компактным''', если множество <math>A(\bar{B}_1(0))</math> — предкомпактно в <math>Y</math>. И проверять предкомпактность образа единичного шара <math>A(\bar{B}_1(0))</math> по [[Компактность и предкомпактность|теореме Арцела–Асколи]].

== Примеры вполне непрерывных (компактных) операторов в Гильбертовом пространстве ==

'''Пример 1.''' Если $$A$$ — вполне непрерывный, $$B$$ — ограниченный, то операторы $$AB$$ и $$BA$$ — вполне непрерывны.

''Доказательство:'' Пусть $$M \subset H$$ — произвольное ограниченное множество.

Оператор $$BA$$: так как $$A$$ компактен, то множество $$A(M)$$ предкомпактно. Оператор $$B$$ ограничен, следовательно, $$B(A(M))$$ также предкомпактно, и $$BA$$ — компактен.

Оператор $$AB$$: $$B$$ — ограничен, значит, множество $$B(M)$$ также является ограниченным. И компактный $$A$$ переводит это ограниченное множество $$B(M)$$ в предкомпактное $$A(B(M))$$. Следовательно, $$AB$$ — компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 2.''' Конечномерные операторы.

''Доказательство.''
Пусть $$A: H \to H$$ — конечномерный оператор. Тогда, его образ $$\text{im } A$$ является конечномерным подпространством в $$H$$.

Пусть $$M \subset H$$ — произвольное ограниченное множество. $$A$$ — ограничен, значит, множество $$A(M)$$ также ограничено. $$A(M)$$ лежит в конечномерном подпространстве, и по теореме Больцано–Вейерштрасса любое ограниченное множество в нём является [[Компактность и предкомпактность|предкомпактным]]. Следовательно, $$A$$ — компактный оператор. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 3.''' $$H = l_2$$. Линейный оператор $$A$$ действует по правилу $$A(x_1, x_2, \dots) = (y_1, y_2, \dots)$$, где:
:<math>y_i = \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j: \quad \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2 < \infty.</math>

''Доказательство.''

'''Ограниченность:''' по неравенству Коши–Буняковского::
<math>|y_i|^2 = \left| \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j \right|^2 \leqslant \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2 \cdot \sum_{j=1}^\infty |x_j|^2 = \|x\|^2 \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2.</math>
Суммируя по $$i$$, получаем <math>\|Ax\|^2 = \sum_{i=1}^\infty |y_i|^2 \leqslant \|x\|^2 \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2</math>. Таким образом, оператор ограничен и его норма <math>\|A\| \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2}</math>.

'''Компактность:''' Рассмотрим последовательность конечномерных операторов $$A_n$$, для них матрица $$A = \{a_{ij}\}$$ обрезается до размера $$n \times n$$.

Так как <math>\|A - A_n\|^2 \leqslant \sum_{i=n+1}^\infty \sum_{j=n+1}^\infty |a_{ij}|^2</math>, а правая часть неравенства, как хвост ряда, стремится к $$0$$ при $$n \to \infty$$, то $$A_n \to A$$ по норме.

По ''Теореме 2'' и ''Примеру 2'': предел по норме конечномерных (и, таким образом — компактных) операторов является компактным, то есть $$A$$ — компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 4.''' $$H = L_2[0, 1]$$. Оператор $$A$$ действует по правилу::
<math>(Ax)(t) = \int_{0}^{1} K(t, \tau) x(\tau) \, d\tau,</math>
где:: <math>\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau < \infty.</math>

''Доказательство.''

'''Ограниченность:''' По неравенству Коши–Буняковского::
<math>|(Ax)(t)|^2 = \left| \int_{0}^{1} K(t, \tau) x(\tau) \, d\tau \right|^2 \leqslant \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, d\tau \cdot \int_{0}^{1} |x(\tau)|^2 \, d\tau.</math> Интегрируя обе части по $$t$$:: <math>\|Ax\|^2 = \int_{0}^{1} |(Ax)(t)|^2 \, dt \leqslant \|x\|^2 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau.</math>

Таким образом, оператор ограничен, и его норма <math>\|A\| \leqslant \sqrt{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau}</math>.

'''Компактность:''' Воспользуемся [[Компактность и предкомпактность|теоремой Арцела–Асколи]].

'''Равномерная ограниченность:''' Из доказательства ''ограниченности'' выше, для всех $$x: \|x\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant 1$$ существует постоянная $$C$$ такая, что $$\|Ax\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant C.$$

'''Равностепенная непрерывность.''' Снова применим неравенство Коши–Буняковского::
<math> |(Ax)(t + h) - (Ax)(t)| = \left|\int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|x(\tau)d\tau\right| \leqslant \left(\int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau\right)^\frac{1}{2},</math> после возведения в квадрат и интегрирования по $$t$$ получаем:: <math> \|(Ax)(t + h) - (Ax)(t)\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant \int_{0}^1 \int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau dt \cdot \|u\|_{L_{(0,1)}^2}.</math>

При этом: $$\lim \int_{0}^1 \int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau dt = 0$$ при $$h \to 0$$.

Таким образом, по [[Компактность и предкомпактность|теореме Арцела–Асколи]] получили, что $$\{Ax:\ \|x\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant 1\}$$ — предкомпактно в $$L_{(0,1)}^2$$, откуда по ''определению 2'' и ''замечанию 3'' получаем, что $$A$$ — компактен. <math> \blacksquare </math>

== Список литературы ==
# ''Полосин А. А.'' Лекции по функциональному анализу 2024-2025
# ''Точилин П. А., Паршиков М. В.'' Семинарские занятия по функциональному анализу 2024-2025
# ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' "Элементы функционального анализа." М: Наука, 1965.

Вполне непрерывный линейный оператор

2026-02-24T23:11:26Z

Andrey25: /* Связь компактных и вполне непрерывных операторов */

== Определение вполне непрерывного (компактного) оператора ==
Пусть пространства $$X$$ и $$Y$$ — [[Банахово пространство|банаховы]], оператор <math>A: X \to Y</math> — линейный.

'''Определение 1.''' Оператор <math>A: X \to Y</math> называется '''вполне непрерывным''', если он любую [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся последовательность]] переводит в последовательность, [[Сильная и слабая сходимость|сходящуюся по норме:]] <math> x_n \xrightarrow{w} x \implies A x_n \xrightarrow{\| \cdot \|_Y} A x</math>.

'''Определение 2.''' Оператор <math>A: X \to Y</math> называется '''компактным''', если он всякое ограниченное множество <math>M \subset X</math> переводит в [[Компактность и предкомпактность|предкомпактное множество]] в <math>Y.</math>

'''Замечание 1.''' Всякий вполне непрерывный или компактный оператор — [[Норма линейного оператора|ограничен]].

'''Утверждение 1.''' Пусть $$H$$ — [[Гильбертово пространство|гильбертово]]. Если оператор <math>A: H \to H</math> — вполне непрерывен, то [[Сопряжённый линейный оператор|сопряжённый оператор]] $$A^*$$ тоже вполне непрерывен.

''Доказательство.'' Заметим, что если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то:

:<math>\|A^*x_n - A^*x\|^2 = \langle A^*(x_n - x), A^*(x_n - x) \rangle = \langle AA^*(x_n - x), x_n - x \rangle \leqslant \|A(A^*(x_n - x))\| \cdot \|x_n - x\|.</math>

Так как последовательность <math>\{x_n\}</math> — ограничена, а оператор <math>A^*</math> — [[Норма линейного оператора|непрерывен]], последовательность <math>\{A^*(x_n - x)\}</math> [[Сильная и слабая сходимость|сходится слабо]] к нулю.

Оператор <math>A</math> — вполне непрерывен, поэтому он переводит слабо сходящуюся последовательность <math>\{A^*(x_n - x)\}</math> в сходящуюся по норме:<math>\|A(A^*(x_n - x))\| \to 0.</math>

Так как множитель <math>\|x_n - x\|</math> ограничен, то вся правая часть неравенства стремится к нулю, откуда следует, что <math>\|A^*x_n\| \to \|A^*x\|</math>. То есть, оператор <math>A^*</math> вполне непрерывен по определению. <math>\blacksquare</math>

== Связь компактных и вполне непрерывных операторов ==
'''Лемма 1.''' Если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то <math>Ax_n \xrightarrow{w} Ax</math>.

''Доказательство.'' <math>\langle Ax_n, y \rangle = \langle x_n, A^*y \rangle \to \langle x, A^*y \rangle = \langle Ax, y \rangle</math>. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 1.''' Линейный оператор <math>A \in \mathcal{L}(X, Y)</math> является вполне непрерывным $$\Longleftrightarrow$$ этот линейный оператор является компактным.

''В правую сторону.'' Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность $$\{x_n\}$$, из неё можно выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]] <math>\{x_{n_k}\} \xrightarrow{w} x</math>. По определению вполне непрерывного оператора это означает, что <math>\{Ax_{n_k}\} \to Ax</math>. Наличие сильно сходящейся подпоследовательности для любой ограниченной последовательности означает, что образ ограниченного множества [[Компактность и предкомпактность|предкомпактен]], то есть оператор <math>A</math> компактен.

''В левую сторону.'' Предположим противное. Пусть существует такая $$x_n \xrightarrow{w} x$$, что $$Ax_n \not\to Ax$$. По лемме: $$Ax_n \xrightarrow{w} Ax$$. Заметим сначала, что $$Ax_n$$ может сходиться только к $$Ax$$. По предположению:: <math>\exists\ \varepsilon > 0 \ \exists\ \ \{n_k\}: \|Ax_{n_k} - Ax\| \geqslant \varepsilon.</math>
$$\{x_{n_k}\}$$ — сходится слабо, откуда следует, что она также и ограничена, откуда из определения компактного оператора следует, что $$\{Ax_{n_k}\}$$ — предкомпактное множество, значит из этой последовательности можно выбрать фундаментальную подпоследовательность $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$, а из банаховости $$Y$$, $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$ будет сходиться к некоторому $$y$$, и неравенство выше выполняться не будет: $$\|Ax_{n_{k_l}} - Ax\| < \varepsilon$$. Таким образом, существует $$y$$ такое, что $$\|Ax_{n_{k_l}} - y\| \to 0$$ и $$y$$ может быть равно только $$Ax$$. <math>\blacksquare</math>

== Замкнутость множества вполне непрерывных (компактных) операторов ==

'''Теорема 2.''' Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, а $$\{A_n\}$$ — последовательность компактных операторов, такая что $$\|A_n - A\| \to 0$$ при $$n \to \infty$$, то оператор $$A$$ также является компактным.

''Доказательство.''
Пусть $$M \subset X$$ — произвольное ограниченное множество, и <math>C = \sup_{x \in M} \|x\|</math>. Для доказательства компактности $$A$$ воспользуемся [[Компактность и предкомпактность|критерием предкомпактности]]: покажем, что для любого $$\varepsilon > 0$$ образ $$A(M)$$ обладает конечной $$\varepsilon$$-сетью.

Зафиксируем $$\varepsilon > 0$$. Так как $$\|A_n - A\| \to 0$$, выберем такое число $$n$$, чтобы <math>\|A_n - A\| < \frac{\varepsilon}{2C}</math>.

Множество $$A_n(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]] (так как операторы $$A_n$$ компактны по условию). Значит, для него существует конечная $$\frac{\varepsilon}{2}$$-сеть $$\{y_1, \dots, y_k\} \subset Y$$.

Проверим, что эта же сеть будет являться $$\varepsilon$$-сетью для множества $$A(M)$$. Для любого $$Ax \in A(M)$$:: <math>\|Ax - y_i\| = \|Ax - A_nx + A_nx - y_i\| \leqslant \|(A - A_n)x\| + \|A_nx - y_i\|.</math>

Оценка первого слагаемого:: <math>\|(A - A_n)x\| \leqslant \|A - A_n\| \cdot \|x\| < \frac{\varepsilon}{2C} \cdot C = \frac{\varepsilon}{2}</math>.

А второе слагаемое оценивается выбором сетки для $$A_n(M)$$:: <math>\|A_nx - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2}</math>.

Откуда:: <math>\|Ax - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>.

Таким образом, для любого ограниченного множества образ имеет конечную $$\varepsilon$$-сеть, следовательно, $$A(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]], и оператор $$A$$ компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Замечание 2.''' Из ''Теоремы 2'' следует, что пространство компактных операторов является замкнутым в пространстве всех ограниченных операторов. Следовательно, ограниченный, но не компактный оператор нельзя приблизить по норме последовательностью компактных.

== Приближение вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ==

=== Свойства проекторов в гильбертовом пространстве ===
Пусть $$H$$ — [[Сепарабельность метрического пространства|сепарабельное]] [[Гильбертово пространство|гильбертово пространство]], а $$\{e_k\}$$ — его ортонормированный базис. Определим последовательность конечномерных проекторов $$P_n$$ и остаточных операторов $$R_n$$:
:<math>P_n x = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k, \quad R_n x = \sum_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k.</math>

Для этих операторов выполняются свойства:
* '''Разложение единицы:''' $$P_n + R_n = E$$, где $$E$$ — тождественный оператор.
* '''Сильная сходимость:''' $$P_n x \to x$$ для любого $$x \in H$$ при $$n \to \infty$$.
* '''Отсутствие сходимости по норме:''' $$\|P_n - E\| \not\to 0$$(в бесконечномерном случае).
* '''Самосопряженность:''' $$P_n = P_n^*$$ и $$R_n = R_n^*$$.

=== Теорема о приближении вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ===
'''Лемма 2.''' Для любого компактного оператора $$A$$ существует вектор $$z \in H$$ с единичной нормой ($$\|z\|=1$$), на котором достигается норма оператора — $$\|A\| = \|Az\|.$$

''Доказательство.''
Рассмотрим последовательность $$\{x_n\}$$, такую что $$\|x_n\|=1$$ и $$\|Ax_n\| \to \|A\|$$.

$$\{x_n\}$$ — ограничена, значит, можем выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]]: $$x_{n_k} \xrightarrow{w} z$$.

Из компактности(вполне непрерывности) $$A$$ следует, что $$Ax_{n_k} \to Az$$. Значит, <math>\|Az\| = \lim \|Ax_{n_k}\| = \|A\|</math>.

Так как $$\|Az\| \leqslant \|A\| \cdot \|z\|$$, а $$\|Az\| = \|A\|$$, то $$\|z\| \geqslant 1$$.

В то же время из свойств слабого предела получаем $$\|z\| \leqslant \underline{\lim} \|x_{n_k}\| = 1$$.

Таким образом, $$\|z\| = 1$$. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 3.''' Если оператор $$A: H \to H$$ компактен, то: <math>\|A - P_n A P_n\| \to 0 \quad \text{при } n \to \infty.</math>

''Доказательство.''
Сначала покажем, что если $$\{x_n\}$$ ограничена, то $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$. Действительно:: <math> \forall\ y \in H: |\langle R_n x_n, y \rangle| = |\langle x_n, R_n y \rangle| \leqslant \|x_n\| \cdot \|R_n y\| \to 0,</math> так как $$\|R_n y\| \to 0$$.

Далее рассмотрим разность:
<math>\|A - P_n A P_n\| = \|P_n A + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A P_n + R_n A R_n + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A R_n + R_n A\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>

Теперь оценим норму:: <math>\|A - P_n A P_n\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>
Первое слагаемое: Оператор $$P_n A R_n$$ компактен, значит, по лемме, существует $$\|x_n\|=1$$, такой что $$\|P_n A R_n\| = \|P_n A R_n x_n\|$$. Так как $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$, а $$A$$ вполне непрерывен, то $$A(R_n x_n) \to 0$$. Значит, $$\|P_n A R_n x_n\| \to 0$$.

Второе слагаемое: Заметим, что $$\|R_n A\| = \|A^* R_n\|$$. Так как $$A^*$$ компактен, то аналогично $$\|A^* R_n\| \to 0$$. <math>\blacksquare</math>

== Полезное в решении задач утверждение ==

'''Теорема 4.''' Оператор $$A: X \to Y$$ — компактен $$\Longleftrightarrow$$ множество <math>A(\bar{B}_1(0))</math> — предкомпактно в <math>Y</math>, где <math>\bar{B}_1(0) = \{x \in X: \|x\| \leqslant 1\}</math> — замкнутый шар радиуса 1 c центром в нуле.

''Доказательство.''
''В правую сторону:'' По определению: компактный оператор $$A$$ переводит ограниченное множество $$\bar{B}_1(0)$$ из $$X$$ в предкомпактное из $$Y$$.

''В левую сторону:'' Рассмотрим $$M$$ — произвольное ограниченное множество из $$X$$, значит, существует число $$R > 0$$ такое, что $$M \subseteq B_R(0)$$. И любой элемент $$x$$ из $$M$$ можно представить в виде: $$x = R \cdot u$$, где $$u \in X; \|u\| \leqslant 1.$$

Из линейности оператора $$A$$ следует:: <math>A(B_R(0)) = \{A(Ru) : |u| \leqslant 1\} = \{R \cdot A(u) : |u| \leqslant 1\} = R \cdot A(B_1(0)),</math> тогда как из условия помним, что $$A(\bar{B}_1(0))$$ — предкомпактно, значит, $$RA(\bar{B}_1(0)) = A(B_R)$$ — тоже [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]].

Таким образом, $$A(M) \subseteq A(B_R(0))$$ — предкомпактно. <math> \blacksquare </math>

'''Следствие из теоремы 4.''' Для доказательства компактности оператора можно переписать ''Определение 2'' в виде: оператор $$A: X \to Y$$ называют '''компактным''', если множество <math>A(\bar{B}_1(0))</math> — предкомпактно в <math>Y</math>. И проверять предкомпактность образа единичного шара <math>A(\bar{B}_1(0))</math> по [[Компактность и предкомпактность|теореме Арцела–Асколи]].

== Примеры вполне непрерывных (компактных) операторов в Гильбертовом пространстве ==

'''Пример 1.''' Если $$A$$ — вполне непрерывный, $$B$$ — ограниченный, то операторы $$AB$$ и $$BA$$ — вполне непрерывны.

''Доказательство:'' Пусть $$M \subset H$$ — произвольное ограниченное множество.

Оператор $$BA$$: так как $$A$$ компактен, то множество $$A(M)$$ предкомпактно. Оператор $$B$$ ограничен, следовательно, $$B(A(M))$$ также предкомпактно, и $$BA$$ — компактен.

Оператор $$AB$$: $$B$$ — ограничен, значит, множество $$B(M)$$ также является ограниченным. И компактный $$A$$ переводит это ограниченное множество $$B(M)$$ в предкомпактное $$A(B(M))$$. Следовательно, $$AB$$ — компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 2.''' Конечномерные операторы.

''Доказательство.''
Пусть $$A: H \to H$$ — конечномерный оператор. Тогда, его образ $$\text{im } A$$ является конечномерным подпространством в $$H$$.

Пусть $$M \subset H$$ — произвольное ограниченное множество. $$A$$ — ограничен, значит, множество $$A(M)$$ также ограничено. $$A(M)$$ лежит в конечномерном подпространстве, и по теореме Больцано–Вейерштрасса любое ограниченное множество в нём является [[Компактность и предкомпактность|предкомпактным]]. Следовательно, $$A$$ — компактный оператор. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 3.''' $$H = l_2$$. Линейный оператор $$A$$ действует по правилу $$A(x_1, x_2, \dots) = (y_1, y_2, \dots)$$, где:
:<math>y_i = \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j: \quad \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2 < \infty.</math>

''Доказательство.''

'''Ограниченность:''' по неравенству Коши–Буняковского::
<math>|y_i|^2 = \left| \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j \right|^2 \leqslant \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2 \cdot \sum_{j=1}^\infty |x_j|^2 = \|x\|^2 \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2.</math>
Суммируя по $$i$$, получаем <math>\|Ax\|^2 = \sum_{i=1}^\infty |y_i|^2 \leqslant \|x\|^2 \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2</math>. Таким образом, оператор ограничен и его норма <math>\|A\| \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2}</math>.

'''Компактность:''' Рассмотрим последовательность конечномерных операторов $$A_n$$, для них матрица $$A = \{a_{ij}\}$$ обрезается до размера $$n \times n$$.

Так как <math>\|A - A_n\|^2 \leqslant \sum_{i=n+1}^\infty \sum_{j=n+1}^\infty |a_{ij}|^2</math>, а правая часть неравенства, как хвост ряда, стремится к $$0$$ при $$n \to \infty$$, то $$A_n \to A$$ по норме.

По ''Теореме 2'' и ''Примеру 2'': предел по норме конечномерных (и, таким образом — компактных) операторов является компактным, то есть $$A$$ — компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 4.''' $$H = L_2[0, 1]$$. Оператор $$A$$ действует по правилу::
<math>(Ax)(t) = \int_{0}^{1} K(t, \tau) x(\tau) \, d\tau,</math>
где:: <math>\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau < \infty.</math>

''Доказательство.''

'''Ограниченность:''' По неравенству Коши–Буняковского::
<math>|(Ax)(t)|^2 = \left| \int_{0}^{1} K(t, \tau) x(\tau) \, d\tau \right|^2 \leqslant \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, d\tau \cdot \int_{0}^{1} |x(\tau)|^2 \, d\tau.</math> Интегрируя обе части по $$t$$:: <math>\|Ax\|^2 = \int_{0}^{1} |(Ax)(t)|^2 \, dt \leqslant \|x\|^2 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau.</math>

Таким образом, оператор ограничен, и его норма <math>\|A\| \leqslant \sqrt{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau}</math>.

'''Компактность:''' Воспользуемся [[Компактность и предкомпактность|теоремой Арцела–Асколи]].

'''Равномерная ограниченность:''' Из доказательства ''ограниченности'' выше, для всех $$x: \|x\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant 1$$ существует постоянная $$C$$ такая, что $$\|Ax\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant C.$$

'''Равностепенная непрерывность.''' Снова применим неравенство Коши–Буняковского::
<math> |(Ax)(t + h) - (Ax)(t)| = \left|\int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|x(\tau)d\tau\right| \leqslant \left(\int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau\right)^\frac{1}{2},</math> после возведения в квадрат и интегрирования по $$t$$ получаем:: <math> \|(Ax)(t + h) - (Ax)(t)\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant \int_{0}^1 \int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau dt \cdot \|u\|_{L_{(0,1)}^2}.</math>

При этом: $$\lim \int_{0}^1 \int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau dt = 0$$ при $$h \to 0$$.

Таким образом, по [[Компактность и предкомпактность|теореме Арцела–Асколи]] получили, что $$\{Ax:\ \|x\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant 1\}$$ — предкомпактно в $$L_{(0,1)}^2$$, откуда по ''определению 2'' и ''замечанию 3'' получаем, что $$A$$ — компактен. <math> \blacksquare </math>

== Список литературы ==
# ''Полосин А. А.'' Лекции по функциональному анализу 2024-2025
# ''Точилин П. А., Паршиков М. В.'' Семинарские занятия по функциональному анализу 2024-2025
# ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' "Элементы функционального анализа." М: Наука, 1965.

Вполне непрерывный линейный оператор

2026-02-24T23:10:23Z

Andrey25: /* Определение вполне непрерывного (компактного) оператора */

== Определение вполне непрерывного (компактного) оператора ==
Пусть пространства $$X$$ и $$Y$$ — [[Банахово пространство|банаховы]], оператор <math>A: X \to Y</math> — линейный.

'''Определение 1.''' Оператор <math>A: X \to Y</math> называется '''вполне непрерывным''', если он любую [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся последовательность]] переводит в последовательность, [[Сильная и слабая сходимость|сходящуюся по норме:]] <math> x_n \xrightarrow{w} x \implies A x_n \xrightarrow{\| \cdot \|_Y} A x</math>.

'''Определение 2.''' Оператор <math>A: X \to Y</math> называется '''компактным''', если он всякое ограниченное множество <math>M \subset X</math> переводит в [[Компактность и предкомпактность|предкомпактное множество]] в <math>Y.</math>

'''Замечание 1.''' Всякий вполне непрерывный или компактный оператор — [[Норма линейного оператора|ограничен]].

'''Утверждение 1.''' Пусть $$H$$ — [[Гильбертово пространство|гильбертово]]. Если оператор <math>A: H \to H</math> — вполне непрерывен, то [[Сопряжённый линейный оператор|сопряжённый оператор]] $$A^*$$ тоже вполне непрерывен.

''Доказательство.'' Заметим, что если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то:

:<math>\|A^*x_n - A^*x\|^2 = \langle A^*(x_n - x), A^*(x_n - x) \rangle = \langle AA^*(x_n - x), x_n - x \rangle \leqslant \|A(A^*(x_n - x))\| \cdot \|x_n - x\|.</math>

Так как последовательность <math>\{x_n\}</math> — ограничена, а оператор <math>A^*</math> — [[Норма линейного оператора|непрерывен]], последовательность <math>\{A^*(x_n - x)\}</math> [[Сильная и слабая сходимость|сходится слабо]] к нулю.

Оператор <math>A</math> — вполне непрерывен, поэтому он переводит слабо сходящуюся последовательность <math>\{A^*(x_n - x)\}</math> в сходящуюся по норме:<math>\|A(A^*(x_n - x))\| \to 0.</math>

Так как множитель <math>\|x_n - x\|</math> ограничен, то вся правая часть неравенства стремится к нулю, откуда следует, что <math>\|A^*x_n\| \to \|A^*x\|</math>. То есть, оператор <math>A^*</math> вполне непрерывен по определению. <math>\blacksquare</math>

== Связь компактных и вполне непрерывных операторов ==
'''Лемма 1.''' Если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то <math>Ax_n \xrightarrow{w} Ax</math>.

''Доказательство.'' <math>\langle Ax_n, y \rangle = \langle x_n, A^*y \rangle \to \langle x, A^*y \rangle = \langle Ax, y \rangle</math>. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 1.''' Линейный оператор <math>A \in \mathcal{L}(X, Y)</math> является вполне непрерывным $$\Longleftrightarrow$$ этот линейный оператор является компактным.

''В правую сторону.'' Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность $$\{x_n\}$$, из неё можно выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]] <math>\{x_{n_k}\} \xrightarrow{w} x</math>. По определению вполне непрерывного оператора это означает, что <math>\{Ax_{n_k}\} \to Ax</math>. Наличие сильно сходящейся подпоследовательности для любой ограниченной последовательности означает, что образ ограниченного множества [[Компактность и предкомпактность|предкомпактен]], то есть оператор <math>A</math> компактен.

''В левую сторону.'' Предположим противное. Пусть существует такая $$x_n \xrightarrow{w} x$$, что $$Ax_n \not\to Ax$$. По лемме: $$Ax_n \xrightarrow{w} Ax$$. Заметим сначала, что $$Ax_n$$ может сходиться только к $$Ax$$. По предположению:: <math>\forall\ \varepsilon > 0 \ \exists\ \ \{n_k\}: \|Ax_{n_k} - Ax\| \geqslant \varepsilon.</math>
$$\{x_{n_k}\}$$ — сходится слабо, откуда следует, что она также и ограничена, откуда из определения компактного оператора следует, что $$\{Ax_{n_k}\}$$ — предкомпактное множество, значит из этой последовательности можно выбрать фундаментальную подпоследовательность $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$, а из банаховости $$Y$$, $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$ будет сходиться к некоторому $$y$$, и неравенство выше выполняться не будет: $$\|Ax_{n_{k_l}} - Ax\| < \varepsilon$$. Таким образом, существует $$y$$ такое, что $$\|Ax_{n_{k_l}} - y\| \to 0$$ и $$y$$ может быть равно только $$Ax$$. <math>\blacksquare</math>

== Замкнутость множества вполне непрерывных (компактных) операторов ==

'''Теорема 2.''' Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, а $$\{A_n\}$$ — последовательность компактных операторов, такая что $$\|A_n - A\| \to 0$$ при $$n \to \infty$$, то оператор $$A$$ также является компактным.

''Доказательство.''
Пусть $$M \subset X$$ — произвольное ограниченное множество, и <math>C = \sup_{x \in M} \|x\|</math>. Для доказательства компактности $$A$$ воспользуемся [[Компактность и предкомпактность|критерием предкомпактности]]: покажем, что для любого $$\varepsilon > 0$$ образ $$A(M)$$ обладает конечной $$\varepsilon$$-сетью.

Зафиксируем $$\varepsilon > 0$$. Так как $$\|A_n - A\| \to 0$$, выберем такое число $$n$$, чтобы <math>\|A_n - A\| < \frac{\varepsilon}{2C}</math>.

Множество $$A_n(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]] (так как операторы $$A_n$$ компактны по условию). Значит, для него существует конечная $$\frac{\varepsilon}{2}$$-сеть $$\{y_1, \dots, y_k\} \subset Y$$.

Проверим, что эта же сеть будет являться $$\varepsilon$$-сетью для множества $$A(M)$$. Для любого $$Ax \in A(M)$$:: <math>\|Ax - y_i\| = \|Ax - A_nx + A_nx - y_i\| \leqslant \|(A - A_n)x\| + \|A_nx - y_i\|.</math>

Оценка первого слагаемого:: <math>\|(A - A_n)x\| \leqslant \|A - A_n\| \cdot \|x\| < \frac{\varepsilon}{2C} \cdot C = \frac{\varepsilon}{2}</math>.

А второе слагаемое оценивается выбором сетки для $$A_n(M)$$:: <math>\|A_nx - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2}</math>.

Откуда:: <math>\|Ax - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>.

Таким образом, для любого ограниченного множества образ имеет конечную $$\varepsilon$$-сеть, следовательно, $$A(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]], и оператор $$A$$ компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Замечание 2.''' Из ''Теоремы 2'' следует, что пространство компактных операторов является замкнутым в пространстве всех ограниченных операторов. Следовательно, ограниченный, но не компактный оператор нельзя приблизить по норме последовательностью компактных.

== Приближение вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ==

=== Свойства проекторов в гильбертовом пространстве ===
Пусть $$H$$ — [[Сепарабельность метрического пространства|сепарабельное]] [[Гильбертово пространство|гильбертово пространство]], а $$\{e_k\}$$ — его ортонормированный базис. Определим последовательность конечномерных проекторов $$P_n$$ и остаточных операторов $$R_n$$:
:<math>P_n x = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k, \quad R_n x = \sum_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k.</math>

Для этих операторов выполняются свойства:
* '''Разложение единицы:''' $$P_n + R_n = E$$, где $$E$$ — тождественный оператор.
* '''Сильная сходимость:''' $$P_n x \to x$$ для любого $$x \in H$$ при $$n \to \infty$$.
* '''Отсутствие сходимости по норме:''' $$\|P_n - E\| \not\to 0$$(в бесконечномерном случае).
* '''Самосопряженность:''' $$P_n = P_n^*$$ и $$R_n = R_n^*$$.

=== Теорема о приближении вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ===
'''Лемма 2.''' Для любого компактного оператора $$A$$ существует вектор $$z \in H$$ с единичной нормой ($$\|z\|=1$$), на котором достигается норма оператора — $$\|A\| = \|Az\|.$$

''Доказательство.''
Рассмотрим последовательность $$\{x_n\}$$, такую что $$\|x_n\|=1$$ и $$\|Ax_n\| \to \|A\|$$.

$$\{x_n\}$$ — ограничена, значит, можем выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]]: $$x_{n_k} \xrightarrow{w} z$$.

Из компактности(вполне непрерывности) $$A$$ следует, что $$Ax_{n_k} \to Az$$. Значит, <math>\|Az\| = \lim \|Ax_{n_k}\| = \|A\|</math>.

Так как $$\|Az\| \leqslant \|A\| \cdot \|z\|$$, а $$\|Az\| = \|A\|$$, то $$\|z\| \geqslant 1$$.

В то же время из свойств слабого предела получаем $$\|z\| \leqslant \underline{\lim} \|x_{n_k}\| = 1$$.

Таким образом, $$\|z\| = 1$$. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 3.''' Если оператор $$A: H \to H$$ компактен, то: <math>\|A - P_n A P_n\| \to 0 \quad \text{при } n \to \infty.</math>

''Доказательство.''
Сначала покажем, что если $$\{x_n\}$$ ограничена, то $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$. Действительно:: <math> \forall\ y \in H: |\langle R_n x_n, y \rangle| = |\langle x_n, R_n y \rangle| \leqslant \|x_n\| \cdot \|R_n y\| \to 0,</math> так как $$\|R_n y\| \to 0$$.

Далее рассмотрим разность:
<math>\|A - P_n A P_n\| = \|P_n A + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A P_n + R_n A R_n + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A R_n + R_n A\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>

Теперь оценим норму:: <math>\|A - P_n A P_n\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>
Первое слагаемое: Оператор $$P_n A R_n$$ компактен, значит, по лемме, существует $$\|x_n\|=1$$, такой что $$\|P_n A R_n\| = \|P_n A R_n x_n\|$$. Так как $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$, а $$A$$ вполне непрерывен, то $$A(R_n x_n) \to 0$$. Значит, $$\|P_n A R_n x_n\| \to 0$$.

Второе слагаемое: Заметим, что $$\|R_n A\| = \|A^* R_n\|$$. Так как $$A^*$$ компактен, то аналогично $$\|A^* R_n\| \to 0$$. <math>\blacksquare</math>

== Полезное в решении задач утверждение ==

'''Теорема 4.''' Оператор $$A: X \to Y$$ — компактен $$\Longleftrightarrow$$ множество <math>A(\bar{B}_1(0))</math> — предкомпактно в <math>Y</math>, где <math>\bar{B}_1(0) = \{x \in X: \|x\| \leqslant 1\}</math> — замкнутый шар радиуса 1 c центром в нуле.

''Доказательство.''
''В правую сторону:'' По определению: компактный оператор $$A$$ переводит ограниченное множество $$\bar{B}_1(0)$$ из $$X$$ в предкомпактное из $$Y$$.

''В левую сторону:'' Рассмотрим $$M$$ — произвольное ограниченное множество из $$X$$, значит, существует число $$R > 0$$ такое, что $$M \subseteq B_R(0)$$. И любой элемент $$x$$ из $$M$$ можно представить в виде: $$x = R \cdot u$$, где $$u \in X; \|u\| \leqslant 1.$$

Из линейности оператора $$A$$ следует:: <math>A(B_R(0)) = \{A(Ru) : |u| \leqslant 1\} = \{R \cdot A(u) : |u| \leqslant 1\} = R \cdot A(B_1(0)),</math> тогда как из условия помним, что $$A(\bar{B}_1(0))$$ — предкомпактно, значит, $$RA(\bar{B}_1(0)) = A(B_R)$$ — тоже [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]].

Таким образом, $$A(M) \subseteq A(B_R(0))$$ — предкомпактно. <math> \blacksquare </math>

'''Следствие из теоремы 4.''' Для доказательства компактности оператора можно переписать ''Определение 2'' в виде: оператор $$A: X \to Y$$ называют '''компактным''', если множество <math>A(\bar{B}_1(0))</math> — предкомпактно в <math>Y</math>. И проверять предкомпактность образа единичного шара <math>A(\bar{B}_1(0))</math> по [[Компактность и предкомпактность|теореме Арцела–Асколи]].

== Примеры вполне непрерывных (компактных) операторов в Гильбертовом пространстве ==

'''Пример 1.''' Если $$A$$ — вполне непрерывный, $$B$$ — ограниченный, то операторы $$AB$$ и $$BA$$ — вполне непрерывны.

''Доказательство:'' Пусть $$M \subset H$$ — произвольное ограниченное множество.

Оператор $$BA$$: так как $$A$$ компактен, то множество $$A(M)$$ предкомпактно. Оператор $$B$$ ограничен, следовательно, $$B(A(M))$$ также предкомпактно, и $$BA$$ — компактен.

Оператор $$AB$$: $$B$$ — ограничен, значит, множество $$B(M)$$ также является ограниченным. И компактный $$A$$ переводит это ограниченное множество $$B(M)$$ в предкомпактное $$A(B(M))$$. Следовательно, $$AB$$ — компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 2.''' Конечномерные операторы.

''Доказательство.''
Пусть $$A: H \to H$$ — конечномерный оператор. Тогда, его образ $$\text{im } A$$ является конечномерным подпространством в $$H$$.

Пусть $$M \subset H$$ — произвольное ограниченное множество. $$A$$ — ограничен, значит, множество $$A(M)$$ также ограничено. $$A(M)$$ лежит в конечномерном подпространстве, и по теореме Больцано–Вейерштрасса любое ограниченное множество в нём является [[Компактность и предкомпактность|предкомпактным]]. Следовательно, $$A$$ — компактный оператор. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 3.''' $$H = l_2$$. Линейный оператор $$A$$ действует по правилу $$A(x_1, x_2, \dots) = (y_1, y_2, \dots)$$, где:
:<math>y_i = \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j: \quad \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2 < \infty.</math>

''Доказательство.''

'''Ограниченность:''' по неравенству Коши–Буняковского::
<math>|y_i|^2 = \left| \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j \right|^2 \leqslant \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2 \cdot \sum_{j=1}^\infty |x_j|^2 = \|x\|^2 \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2.</math>
Суммируя по $$i$$, получаем <math>\|Ax\|^2 = \sum_{i=1}^\infty |y_i|^2 \leqslant \|x\|^2 \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2</math>. Таким образом, оператор ограничен и его норма <math>\|A\| \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2}</math>.

'''Компактность:''' Рассмотрим последовательность конечномерных операторов $$A_n$$, для них матрица $$A = \{a_{ij}\}$$ обрезается до размера $$n \times n$$.

Так как <math>\|A - A_n\|^2 \leqslant \sum_{i=n+1}^\infty \sum_{j=n+1}^\infty |a_{ij}|^2</math>, а правая часть неравенства, как хвост ряда, стремится к $$0$$ при $$n \to \infty$$, то $$A_n \to A$$ по норме.

По ''Теореме 2'' и ''Примеру 2'': предел по норме конечномерных (и, таким образом — компактных) операторов является компактным, то есть $$A$$ — компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 4.''' $$H = L_2[0, 1]$$. Оператор $$A$$ действует по правилу::
<math>(Ax)(t) = \int_{0}^{1} K(t, \tau) x(\tau) \, d\tau,</math>
где:: <math>\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau < \infty.</math>

''Доказательство.''

'''Ограниченность:''' По неравенству Коши–Буняковского::
<math>|(Ax)(t)|^2 = \left| \int_{0}^{1} K(t, \tau) x(\tau) \, d\tau \right|^2 \leqslant \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, d\tau \cdot \int_{0}^{1} |x(\tau)|^2 \, d\tau.</math> Интегрируя обе части по $$t$$:: <math>\|Ax\|^2 = \int_{0}^{1} |(Ax)(t)|^2 \, dt \leqslant \|x\|^2 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau.</math>

Таким образом, оператор ограничен, и его норма <math>\|A\| \leqslant \sqrt{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau}</math>.

'''Компактность:''' Воспользуемся [[Компактность и предкомпактность|теоремой Арцела–Асколи]].

'''Равномерная ограниченность:''' Из доказательства ''ограниченности'' выше, для всех $$x: \|x\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant 1$$ существует постоянная $$C$$ такая, что $$\|Ax\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant C.$$

'''Равностепенная непрерывность.''' Снова применим неравенство Коши–Буняковского::
<math> |(Ax)(t + h) - (Ax)(t)| = \left|\int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|x(\tau)d\tau\right| \leqslant \left(\int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau\right)^\frac{1}{2},</math> после возведения в квадрат и интегрирования по $$t$$ получаем:: <math> \|(Ax)(t + h) - (Ax)(t)\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant \int_{0}^1 \int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau dt \cdot \|u\|_{L_{(0,1)}^2}.</math>

При этом: $$\lim \int_{0}^1 \int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau dt = 0$$ при $$h \to 0$$.

Таким образом, по [[Компактность и предкомпактность|теореме Арцела–Асколи]] получили, что $$\{Ax:\ \|x\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant 1\}$$ — предкомпактно в $$L_{(0,1)}^2$$, откуда по ''определению 2'' и ''замечанию 3'' получаем, что $$A$$ — компактен. <math> \blacksquare </math>

== Список литературы ==
# ''Полосин А. А.'' Лекции по функциональному анализу 2024-2025
# ''Точилин П. А., Паршиков М. В.'' Семинарские занятия по функциональному анализу 2024-2025
# ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' "Элементы функционального анализа." М: Наука, 1965.

Вполне непрерывный линейный оператор

2026-02-14T12:54:16Z

Andrey25:

== Определение вполне непрерывного (компактного) оператора ==
Пусть пространства $$X$$ и $$Y$$ — [[Банахово пространство|банаховы]], оператор <math>A: X \to Y</math> — линейный.

'''Определение 1.''' Оператор <math>A: X \to Y</math> называется '''вполне непрерывным''', если он любую [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся последовательность]] переводит в последовательность, [[Сильная и слабая сходимость|сходящуюся по норме:]] <math> x_n \xrightarrow{w} x \implies \|A x_n\| \to \|A x\|</math>.

'''Определение 2.''' Оператор <math>A: X \to Y</math> называется '''компактным''', если он всякое ограниченное множество <math>M \subset X</math> переводит в [[Компактность и предкомпактность|предкомпактное множество]] в <math>Y.</math>

'''Замечание 1.''' Всякий вполне непрерывный или компактный оператор — [[Норма линейного оператора|ограничен]].

'''Утверждение 1.''' Пусть $$H$$ — [[Гильбертово пространство|гильбертово]]. Если оператор <math>A: H \to H</math> — вполне непрерывен, то [[Сопряжённый линейный оператор|сопряжённый оператор]] $$A^*$$ тоже вполне непрерывен.

''Доказательство.'' Заметим, что если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то:

:<math>\|A^*x_n - A^*x\|^2 = \langle A^*(x_n - x), A^*(x_n - x) \rangle = \langle AA^*(x_n - x), x_n - x \rangle \leqslant \|A(A^*(x_n - x))\| \cdot \|x_n - x\|.</math>

Так как последовательность <math>\{x_n\}</math> — ограничена, а оператор <math>A^*</math> — [[Норма линейного оператора|непрерывен]], последовательность <math>\{A^*(x_n - x)\}</math> [[Сильная и слабая сходимость|сходится слабо]] к нулю.

Оператор <math>A</math> — вполне непрерывен, поэтому он переводит слабо сходящуюся последовательность <math>\{A^*(x_n - x)\}</math> в сходящуюся по норме:<math>\|A(A^*(x_n - x))\| \to 0.</math>

Так как множитель <math>\|x_n - x\|</math> ограничен, то вся правая часть неравенства стремится к нулю, откуда следует, что <math>\|A^*x_n\| \to \|A^*x\|</math>. То есть, оператор <math>A^*</math> вполне непрерывен по определению. <math>\blacksquare</math>

== Связь компактных и вполне непрерывных операторов ==
'''Лемма 1.''' Если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то <math>Ax_n \xrightarrow{w} Ax</math>.

''Доказательство.'' <math>\langle Ax_n, y \rangle = \langle x_n, A^*y \rangle \to \langle x, A^*y \rangle = \langle Ax, y \rangle</math>. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 1.''' Линейный оператор <math>A \in \mathcal{L}(X, Y)</math> является вполне непрерывным $$\Longleftrightarrow$$ этот линейный оператор является компактным.

''В правую сторону.'' Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность $$\{x_n\}$$, из неё можно выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]] <math>\{x_{n_k}\} \xrightarrow{w} x</math>. По определению вполне непрерывного оператора это означает, что <math>\{Ax_{n_k}\} \to Ax</math>. Наличие сильно сходящейся подпоследовательности для любой ограниченной последовательности означает, что образ ограниченного множества [[Компактность и предкомпактность|предкомпактен]], то есть оператор <math>A</math> компактен.

''В левую сторону.'' Предположим противное. Пусть существует такая $$x_n \xrightarrow{w} x$$, что $$Ax_n \not\to Ax$$. По лемме: $$Ax_n \xrightarrow{w} Ax$$. Заметим сначала, что $$Ax_n$$ может сходиться только к $$Ax$$. По предположению:: <math>\forall\ \varepsilon > 0 \ \exists\ \ \{n_k\}: \|Ax_{n_k} - Ax\| \geqslant \varepsilon.</math>
$$\{x_{n_k}\}$$ — сходится слабо, откуда следует, что она также и ограничена, откуда из определения компактного оператора следует, что $$\{Ax_{n_k}\}$$ — предкомпактное множество, значит из этой последовательности можно выбрать фундаментальную подпоследовательность $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$, а из банаховости $$Y$$, $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$ будет сходиться к некоторому $$y$$, и неравенство выше выполняться не будет: $$\|Ax_{n_{k_l}} - Ax\| < \varepsilon$$. Таким образом, существует $$y$$ такое, что $$\|Ax_{n_{k_l}} - y\| \to 0$$ и $$y$$ может быть равно только $$Ax$$. <math>\blacksquare</math>

== Замкнутость множества вполне непрерывных (компактных) операторов ==

'''Теорема 2.''' Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, а $$\{A_n\}$$ — последовательность компактных операторов, такая что $$\|A_n - A\| \to 0$$ при $$n \to \infty$$, то оператор $$A$$ также является компактным.

''Доказательство.''
Пусть $$M \subset X$$ — произвольное ограниченное множество, и <math>C = \sup_{x \in M} \|x\|</math>. Для доказательства компактности $$A$$ воспользуемся [[Компактность и предкомпактность|критерием предкомпактности]]: покажем, что для любого $$\varepsilon > 0$$ образ $$A(M)$$ обладает конечной $$\varepsilon$$-сетью.

Зафиксируем $$\varepsilon > 0$$. Так как $$\|A_n - A\| \to 0$$, выберем такое число $$n$$, чтобы <math>\|A_n - A\| < \frac{\varepsilon}{2C}</math>.

Множество $$A_n(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]] (так как операторы $$A_n$$ компактны по условию). Значит, для него существует конечная $$\frac{\varepsilon}{2}$$-сеть $$\{y_1, \dots, y_k\} \subset Y$$.

Проверим, что эта же сеть будет являться $$\varepsilon$$-сетью для множества $$A(M)$$. Для любого $$Ax \in A(M)$$:: <math>\|Ax - y_i\| = \|Ax - A_nx + A_nx - y_i\| \leqslant \|(A - A_n)x\| + \|A_nx - y_i\|.</math>

Оценка первого слагаемого:: <math>\|(A - A_n)x\| \leqslant \|A - A_n\| \cdot \|x\| < \frac{\varepsilon}{2C} \cdot C = \frac{\varepsilon}{2}</math>.

А второе слагаемое оценивается выбором сетки для $$A_n(M)$$:: <math>\|A_nx - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2}</math>.

Откуда:: <math>\|Ax - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>.

Таким образом, для любого ограниченного множества образ имеет конечную $$\varepsilon$$-сеть, следовательно, $$A(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]], и оператор $$A$$ компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Замечание 2.''' Из ''Теоремы 2'' следует, что пространство компактных операторов является замкнутым в пространстве всех ограниченных операторов. Следовательно, ограниченный, но не компактный оператор нельзя приблизить по норме последовательностью компактных.

== Приближение вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ==

=== Свойства проекторов в гильбертовом пространстве ===
Пусть $$H$$ — [[Сепарабельность метрического пространства|сепарабельное]] [[Гильбертово пространство|гильбертово пространство]], а $$\{e_k\}$$ — его ортонормированный базис. Определим последовательность конечномерных проекторов $$P_n$$ и остаточных операторов $$R_n$$:
:<math>P_n x = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k, \quad R_n x = \sum_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k.</math>

Для этих операторов выполняются свойства:
* '''Разложение единицы:''' $$P_n + R_n = E$$, где $$E$$ — тождественный оператор.
* '''Сильная сходимость:''' $$P_n x \to x$$ для любого $$x \in H$$ при $$n \to \infty$$.
* '''Отсутствие сходимости по норме:''' $$\|P_n - E\| \not\to 0$$(в бесконечномерном случае).
* '''Самосопряженность:''' $$P_n = P_n^*$$ и $$R_n = R_n^*$$.

=== Теорема о приближении вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ===
'''Лемма 2.''' Для любого компактного оператора $$A$$ существует вектор $$z \in H$$ с единичной нормой ($$\|z\|=1$$), на котором достигается норма оператора — $$\|A\| = \|Az\|.$$

''Доказательство.''
Рассмотрим последовательность $$\{x_n\}$$, такую что $$\|x_n\|=1$$ и $$\|Ax_n\| \to \|A\|$$.

$$\{x_n\}$$ — ограничена, значит, можем выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]]: $$x_{n_k} \xrightarrow{w} z$$.

Из компактности(вполне непрерывности) $$A$$ следует, что $$Ax_{n_k} \to Az$$. Значит, <math>\|Az\| = \lim \|Ax_{n_k}\| = \|A\|</math>.

Так как $$\|Az\| \leqslant \|A\| \cdot \|z\|$$, а $$\|Az\| = \|A\|$$, то $$\|z\| \geqslant 1$$.

В то же время из свойств слабого предела получаем $$\|z\| \leqslant \underline{\lim} \|x_{n_k}\| = 1$$.

Таким образом, $$\|z\| = 1$$. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 3.''' Если оператор $$A: H \to H$$ компактен, то: <math>\|A - P_n A P_n\| \to 0 \quad \text{при } n \to \infty.</math>

''Доказательство.''
Сначала покажем, что если $$\{x_n\}$$ ограничена, то $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$. Действительно:: <math> \forall\ y \in H: |\langle R_n x_n, y \rangle| = |\langle x_n, R_n y \rangle| \leqslant \|x_n\| \cdot \|R_n y\| \to 0,</math> так как $$\|R_n y\| \to 0$$.

Далее рассмотрим разность:
<math>\|A - P_n A P_n\| = \|P_n A + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A P_n + R_n A R_n + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A R_n + R_n A\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>

Теперь оценим норму:: <math>\|A - P_n A P_n\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>
Первое слагаемое: Оператор $$P_n A R_n$$ компактен, значит, по лемме, существует $$\|x_n\|=1$$, такой что $$\|P_n A R_n\| = \|P_n A R_n x_n\|$$. Так как $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$, а $$A$$ вполне непрерывен, то $$A(R_n x_n) \to 0$$. Значит, $$\|P_n A R_n x_n\| \to 0$$.

Второе слагаемое: Заметим, что $$\|R_n A\| = \|A^* R_n\|$$. Так как $$A^*$$ компактен, то аналогично $$\|A^* R_n\| \to 0$$. <math>\blacksquare</math>

== Полезное в решении задач утверждение ==

'''Теорема 4.''' Оператор $$A: X \to Y$$ — компактен $$\Longleftrightarrow$$ множество <math>A(\bar{B}_1(0))</math> — предкомпактно в <math>Y</math>, где <math>\bar{B}_1(0) = \{x \in X: \|x\| \leqslant 1\}</math> — замкнутый шар радиуса 1 c центром в нуле.

''Доказательство.''
''В правую сторону:'' По определению: компактный оператор $$A$$ переводит ограниченное множество $$\bar{B}_1(0)$$ из $$X$$ в предкомпактное из $$Y$$.

''В левую сторону:'' Рассмотрим $$M$$ — произвольное ограниченное множество из $$X$$, значит, существует число $$R > 0$$ такое, что $$M \subseteq B_R(0)$$. И любой элемент $$x$$ из $$M$$ можно представить в виде: $$x = R \cdot u$$, где $$u \in X; \|u\| \leqslant 1.$$

Из линейности оператора $$A$$ следует:: <math>A(B_R(0)) = \{A(Ru) : |u| \leqslant 1\} = \{R \cdot A(u) : |u| \leqslant 1\} = R \cdot A(B_1(0)),</math> тогда как из условия помним, что $$A(\bar{B}_1(0))$$ — предкомпактно, значит, $$RA(\bar{B}_1(0)) = A(B_R)$$ — тоже [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]].

Таким образом, $$A(M) \subseteq A(B_R(0))$$ — предкомпактно. <math> \blacksquare </math>

'''Следствие из теоремы 4.''' Для доказательства компактности оператора можно переписать ''Определение 2'' в виде: оператор $$A: X \to Y$$ называют '''компактным''', если множество <math>A(\bar{B}_1(0))</math> — предкомпактно в <math>Y</math>. И проверять предкомпактность образа единичного шара <math>A(\bar{B}_1(0))</math> по [[Компактность и предкомпактность|теореме Арцела–Асколи]].

== Примеры вполне непрерывных (компактных) операторов в Гильбертовом пространстве ==

'''Пример 1.''' Если $$A$$ — вполне непрерывный, $$B$$ — ограниченный, то операторы $$AB$$ и $$BA$$ — вполне непрерывны.

''Доказательство:'' Пусть $$M \subset H$$ — произвольное ограниченное множество.

Оператор $$BA$$: так как $$A$$ компактен, то множество $$A(M)$$ предкомпактно. Оператор $$B$$ ограничен, следовательно, $$B(A(M))$$ также предкомпактно, и $$BA$$ — компактен.

Оператор $$AB$$: $$B$$ — ограничен, значит, множество $$B(M)$$ также является ограниченным. И компактный $$A$$ переводит это ограниченное множество $$B(M)$$ в предкомпактное $$A(B(M))$$. Следовательно, $$AB$$ — компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 2.''' Конечномерные операторы.

''Доказательство.''
Пусть $$A: H \to H$$ — конечномерный оператор. Тогда, его образ $$\text{im } A$$ является конечномерным подпространством в $$H$$.

Пусть $$M \subset H$$ — произвольное ограниченное множество. $$A$$ — ограничен, значит, множество $$A(M)$$ также ограничено. $$A(M)$$ лежит в конечномерном подпространстве, и по теореме Больцано–Вейерштрасса любое ограниченное множество в нём является [[Компактность и предкомпактность|предкомпактным]]. Следовательно, $$A$$ — компактный оператор. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 3.''' $$H = l_2$$. Линейный оператор $$A$$ действует по правилу $$A(x_1, x_2, \dots) = (y_1, y_2, \dots)$$, где:
:<math>y_i = \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j: \quad \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2 < \infty.</math>

''Доказательство.''

'''Ограниченность:''' по неравенству Коши–Буняковского::
<math>|y_i|^2 = \left| \sum_{j=1}^\infty a_{ij} x_j \right|^2 \leqslant \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2 \cdot \sum_{j=1}^\infty |x_j|^2 = \|x\|^2 \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2.</math>
Суммируя по $$i$$, получаем <math>\|Ax\|^2 = \sum_{i=1}^\infty |y_i|^2 \leqslant \|x\|^2 \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2</math>. Таким образом, оператор ограничен и его норма <math>\|A\| \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2}</math>.

'''Компактность:''' Рассмотрим последовательность конечномерных операторов $$A_n$$, для них матрица $$A = \{a_{ij}\}$$ обрезается до размера $$n \times n$$.

Так как <math>\|A - A_n\|^2 \leqslant \sum_{i=n+1}^\infty \sum_{j=n+1}^\infty |a_{ij}|^2</math>, а правая часть неравенства, как хвост ряда, стремится к $$0$$ при $$n \to \infty$$, то $$A_n \to A$$ по норме.

По ''Теореме 2'' и ''Примеру 2'': предел по норме конечномерных (и, таким образом — компактных) операторов является компактным, то есть $$A$$ — компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Пример 4.''' $$H = L_2[0, 1]$$. Оператор $$A$$ действует по правилу::
<math>(Ax)(t) = \int_{0}^{1} K(t, \tau) x(\tau) \, d\tau,</math>
где:: <math>\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau < \infty.</math>

''Доказательство.''

'''Ограниченность:''' По неравенству Коши–Буняковского::
<math>|(Ax)(t)|^2 = \left| \int_{0}^{1} K(t, \tau) x(\tau) \, d\tau \right|^2 \leqslant \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, d\tau \cdot \int_{0}^{1} |x(\tau)|^2 \, d\tau.</math> Интегрируя обе части по $$t$$:: <math>\|Ax\|^2 = \int_{0}^{1} |(Ax)(t)|^2 \, dt \leqslant \|x\|^2 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau.</math>

Таким образом, оператор ограничен, и его норма <math>\|A\| \leqslant \sqrt{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |K(t, \tau)|^2 \, dt d\tau}</math>.

'''Компактность:''' Воспользуемся [[Компактность и предкомпактность|теоремой Арцела–Асколи]].

'''Равномерная ограниченность:''' Из доказательства ''ограниченности'' выше, для всех $$x: \|x\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant 1$$ существует постоянная $$C$$ такая, что $$\|Ax\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant C.$$

'''Равностепенная непрерывность.''' Снова применим неравенство Коши–Буняковского::
<math> |(Ax)(t + h) - (Ax)(t)| = \left|\int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|x(\tau)d\tau\right| \leqslant \left(\int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau\right)^\frac{1}{2},</math> после возведения в квадрат и интегрирования по $$t$$ получаем:: <math> \|(Ax)(t + h) - (Ax)(t)\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant \int_{0}^1 \int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau dt \cdot \|u\|_{L_{(0,1)}^2}.</math>

При этом: $$\lim \int_{0}^1 \int_{0}^1 |K(t+h, \tau) - K(t, \tau)|^2 d\tau dt = 0$$ при $$h \to 0$$.

Таким образом, по [[Компактность и предкомпактность|теореме Арцела–Асколи]] получили, что $$\{Ax:\ \|x\|_{L_{(0,1)}^2} \leqslant 1\}$$ — предкомпактно в $$L_{(0,1)}^2$$, откуда по ''определению 2'' и ''замечанию 3'' получаем, что $$A$$ — компактен. <math> \blacksquare </math>

== Список литературы ==
# ''Полосин А. А.'' Лекции по функциональному анализу 2024-2025
# ''Точилин П. А., Паршиков М. В.'' Семинарские занятия по функциональному анализу 2024-2025
# ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' "Элементы функционального анализа." М: Наука, 1965.

Вполне непрерывный линейный оператор

2026-02-13T23:36:26Z

Andrey25:

== Определение вполне непрерывного (компактного) оператора ==
'''Определение 1.''' Оператор <math>A: X \to Y</math>, где <math>X</math> и <math>Y</math> - [[Банахово пространство|банаховы пространства]], называется '''вполне непрерывным''', если он любую [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся последовательность]] переводит в последовательность, [[Сильная и слабая сходимость|сходящуюся по норме:]] <math> x_n \xrightarrow{w} x \implies \|A x_n\| \to \|A x\|</math>.

'''Определение 2.''' Оператор <math>A: X \to Y</math> называется '''компактным''', если он всякое ограниченное множество <math>M \subset X</math> переводит в [[Компактность и предкомпактность|предкомпактное множество]] в <math>Y</math>. (Без ограничения общности, достаточно проверять предкомпактность множества <math>A(\bar{B}_1(0))</math> в <math>Y</math>, где <math>\bar{B}_1(0) = \{x \in X: \|x\| \leqslant 1\}</math> — замкнутый шар радиуса 1 c центром в нуле).

'''Замечание 1.''' Всякий вполне непрерывный или компактный оператор — ограничен.

'''Утверждение 1.''' Пусть $$H$$ — [[Гильбертово пространство|гильбертово]]. Если оператор <math>A: H \to H</math> — вполне непрерывен, то [[Сопряжённый линейный оператор|сопряжённый оператор]] $$A^*$$ тоже вполне непрерывен.

''Доказательство.'' Заметим, что если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то:

:<math>\|A^*x_n - A^*x\|^2 = \langle A^*(x_n - x), A^*(x_n - x) \rangle = \langle AA^*(x_n - x), x_n - x \rangle \leqslant \|A(A^*(x_n - x))\| \cdot \|x_n - x\|.</math>

Так как последовательность <math>\{x_n\}</math> — ограничена, а оператор <math>A^*</math> — непрерывен, последовательность <math>\{A^*(x_n - x)\}</math> [[Сильная и слабая сходимость|сходится слабо]] к нулю.

Оператор <math>A</math> — вполне непрерывен, поэтому он переводит слабо сходящуюся последовательность <math>\{A(A^*(x_n - x))\}</math> в сходящуюся по норме:<math>\|A(A^*(x_n - x))\| \to 0.</math>

Так как множитель <math>\|x_n - x\|</math> ограничен, то вся правая часть неравенства стремится к нулю, откуда следует, что <math>\|A^*x_n\| \to \|A^*x\|</math>. То есть, оператор <math>A^*</math> вполне непрерывен по определению. <math>\blacksquare</math>

== Связь компактных и вполне непрерывных операторов ==
'''Лемма 1.''' Если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то <math>Ax_n \xrightarrow{w} Ax</math>.

''Доказательство.'' <math>\langle Ax_n, y \rangle = \langle x_n, A^*y \rangle \to \langle x, A^*y \rangle = \langle Ax, y \rangle</math>. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 1.''' Линейный оператор <math>A \in \mathcal{L}(X, Y)</math> является вполне непрерывным $$\Longleftrightarrow$$ этот линейный оператор является компактным.

''В правую сторону.'' Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность $$\{x_n\}$$, из неё можно выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]] <math>\{x_{n_k}\} \xrightarrow{w} x</math>. По определению вполне непрерывного оператора это означает, что <math>\{Ax_{n_k}\} \to Ax</math>. Наличие сильно сходящейся подпоследовательности для любой ограниченной последовательности означает, что образ ограниченного множества [[Компактность и предкомпактность|предкомпактен]], то есть оператор <math>A</math> компактен.

''В левую сторону.'' Предположим противное. Пусть существует такая $$x_n \xrightarrow{w} x$$, что $$Ax_n \not\to Ax$$. По лемме: $$Ax_n \xrightarrow{w} Ax$$. Заметим сначала, что $$Ax_n$$ может сходиться только к $$Ax$$. По предположению:: <math>\forall\ \varepsilon > 0 \ \exists\ \ \{n_k\}: \|Ax_{n_k} - Ax\| \geqslant \varepsilon.</math>
$$\{x_{n_k}\}$$ — сходится слабо, откуда следует, что она также и ограничена, откуда из определения компактного оператора следует, что $$\{Ax_{n_k}\}$$ — предкомпактное, значит из неё можно выбрать фундаментальную подпоследовательность $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$, а из баноховости $$Y$$, $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$ будет сходиться к некоторому $$y$$, и неравенство выше выполняться не будет: $$\|Ax_{n_{k_l}} - Ax\| < \varepsilon$$. Таким образом, существует $$y$$ такое, что $$\|Ax_{n_{k_l}} - y\| \to 0$$ и $$y$$ может быть равно только $$Ax$$. <math>\blacksquare</math>

== Замкнутость множества вполне непрерывных (компактных) операторов ==

'''Теорема 2.''' Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, а $$\{A_n\}$$ — последовательность компактных операторов, такая что $$\|A_n - A\| \to 0$$ при $$n \to \infty$$, то оператор $$A$$ также является компактным.

''Доказательство.''
Пусть $$M \subset X$$ — произвольное ограниченное множество, и <math>C = \sup_{x \in M} \|x\|</math>. Для доказательства компактности $$A$$ воспользуемся [[Компактность и предкомпактность|критерием предкомпактности]]: покажем, что для любого $$\varepsilon > 0$$ образ $$A(M)$$ обладает конечной $$\varepsilon$$-сетью.

Зафиксируем $$\varepsilon > 0$$. Так как $$\|A_n - A\| \to 0$$, выберем такое число $$n$$, чтобы <math>\|A_n - A\| < \frac{\varepsilon}{2C}</math>.

Множество $$A_n(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]] (так как операторы $$A_n$$ компактны по условию). Значит, для него существует конечная $$\frac{\varepsilon}{2}$$-сеть $$\{y_1, \dots, y_k\} \subset Y$$.

Проверим, что эта же сеть будет являться $$\varepsilon$$-сетью для множества $$A(M)$$. Для любого $$Ax \in A(M)$$:: <math>\|Ax - y_i\| = \|Ax - A_nx + A_nx - y_i\| \leqslant \|(A - A_n)x\| + \|A_nx - y_i\|.</math>

Оценка первого слагаемого:: <math>\|(A - A_n)x\| \leqslant \|A - A_n\| \cdot \|x\| < \frac{\varepsilon}{2C} \cdot C = \frac{\varepsilon}{2}</math>.

А второе слагаемое оценивается выбором сетки для $$A_n(M)$$:: <math>\|A_nx - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2}</math>.

Откуда:: <math>\|Ax - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>.

Таким образом, для любого ограниченного множества образ имеет конечную $$\varepsilon$$-сеть, следовательно, $$A(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]], и оператор $$A$$ компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Замечание 2.''' Из ''Теоремы 2'' следует, что пространство компактных операторов является замкнутым в пространстве всех ограниченных операторов. Следовательно, ограниченный, но не компактный оператор нельзя приблизить по норме последовательностью компактных.

== Приближение вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ==

=== Свойства проекторов в гильбертовом пространстве ===
Пусть $$H$$ — [[Сепарабельность метрического пространства|сепарабельное]] [[Гильбертово пространство|гильбертово пространство]], а $$\{e_k\}$$ — его ортонормированный базис. Определим последовательность конечномерных проекторов $$P_n$$ и остаточных операторов $$R_n$$:
:<math>P_n x = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k, \quad R_n x = \sum_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k.</math>

Для этих операторов выполняются свойства:
* '''Разложение единицы:''' $$P_n + R_n = E$$, где $$E$$ — тождественный оператор.
* '''Сильная сходимость:''' $$P_n x \to x$$ для любого $$x \in H$$ при $$n \to \infty$$.
* '''Отсутствие сходимости по норме:''' $$\|P_n - E\| \not\to 0$$(в бесконечномерном случае).
* '''Самосопряженность:''' $$P_n = P_n^*$$ и $$R_n = R_n^*$$.

=== Теорема о приближении вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ===
'''Лемма 2.''' Для любого компактного оператора $$A$$ существует вектор $$z \in H$$ с единичной нормой ($$\|z\|=1$$), на котором достигается норма оператора — $$\|A\| = \|Az\|.$$

''Доказательство.''
Рассмотрим последовательность $$\{x_n\}$$, такую что $$\|x_n\|=1$$ и $$\|Ax_n\| \to \|A\|$$.

$$\{x_n\}$$ — ограничена, значит, можем выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]]: $$x_{n_k} \xrightarrow{w} z$$.

Из компактности(вполне непрерывности) $$A$$ следует, что $$Ax_{n_k} \to Az$$. Значит, <math>\|Az\| = \lim \|Ax_{n_k}\| = \|A\|</math>.

Так как $$\|Az\| \leqslant \|A\| \cdot \|z\|$$, а $$\|Az\| = \|A\|$$, то $$\|z\| \geqslant 1$$.

В то же время из свойств слабого предела получаем $$\|z\| \leqslant \underline{\lim} \|x_{n_k}\| = 1$$.

Таким образом, $$\|z\| = 1$$. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 3.''' Если оператор $$A: H \to H$$ компактен, то: <math>\|A - P_n A P_n\| \to 0 \quad \text{при } n \to \infty.</math>

''Доказательство.''
Сначала покажем, что если $$\{x_n\}$$ ограничена, то $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$. Действительно:: <math> \forall\ y \in H: |\langle R_n x_n, y \rangle| = |\langle x_n, R_n y \rangle| \leqslant \|x_n\| \cdot \|R_n y\| \to 0,</math> так как $$\|R_n y\| \to 0$$.

Далее рассмотрим разность:
<math>\|A - P_n A P_n\| = \|P_n A + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A P_n + R_n A R_n + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A R_n + R_n A\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>

Теперь оценим норму:: <math>\|A - P_n A P_n\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>
Первое слагаемое: Оператор $$P_n A R_n$$ компактен, значит, по лемме, существует $$\|x_n\|=1$$, такой что $$\|P_n A R_n\| = \|P_n A R_n x_n\|$$. Так как $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$, а $$A$$ вполне непрерывен, то $$A(R_n x_n) \to 0$$. Значит, $$\|P_n A R_n x_n\| \to 0$$.

Второе слагаемое: Заметим, что $$\|R_n A\| = \|A^* R_n\|$$. Так как $$A^*$$ компактен, то аналогично $$\|A^* R_n\| \to 0$$. <math>\blacksquare</math>

Вполне непрерывный линейный оператор

2026-02-13T23:35:06Z

Andrey25: Новая страница: «== Определение вполне непрерывного (компактного) оператора == '''Определение 1.''' Оператор <...»

== Определение вполне непрерывного (компактного) оператора ==
'''Определение 1.''' Оператор <math>A: X \to Y</math>, где <math>X</math> и <math>Y</math> - [[Банахово пространство|банаховы пространства]], называется '''вполне непрерывным''', если он любую [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся последовательность]] переводит в последовательность, [[Сильная и слабая сходимость|сходящуюся по норме:]] <math> x_n \xrightarrow{w} x \implies \|A x_n\| \to \|A x\|</math>.

'''Определение 2.''' Оператор <math>A: X \to Y</math> называется '''компактным''', если он всякое ограниченное множество <math>M \subset X</math> переводит в [[Компактность и предкомпактность|предкомпактное множество]] в <math>Y</math>. (Без ограничения общности, достаточно проверять предкомпактность множества <math>A(\bar{B}_1(0))</math> в <math>Y</math>, где <math>\bar{B}_1(0) = \{x \in X: \|x\| \leqslant 1\}</math> — замкнутый шар радиуса 1 c центром в нуле).

'''Замечание 1.''' Всякий вполне непрерывный или компактный оператор — ограничен.

'''Утверждение 1.''' Пусть $$H$$ — [[Гильбертово пространство|гильбертово]]. Если оператор <math>A: H \to H</math> — вполне непрерывен, то [[Сопряжённый линейный оператор|сопряжённый оператор]] $$A^*$$ тоже вполне непрерывен.

''Доказательство.'' Заметим, что если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то:

:<math>\|A^*x_n - A^*x\|^2 = \langle A^*(x_n - x), A^*(x_n - x) \rangle = \langle AA^*(x_n - x), x_n - x \rangle \leqslant \|A(A^*(x_n - x))\| \cdot \|x_n - x\|.</math>

Так как последовательность <math>\{x_n\}</math> — ограничена, а оператор <math>A^*</math> — непрерывен, последовательность <math>\{A^*(x_n - x)\}</math> [[Сильная и слабая сходимость|сходится слабо]] к нулю.

Оператор <math>A</math> — вполне непрерывен, поэтому он переводит слабо сходящуюся последовательность <math>\{A(A^*(x_n - x))\}</math> в сходящуюся по норме:<math>\|A(A^*(x_n - x))\| \to 0.</math>

Так как множитель <math>\|x_n - x\|</math> ограничен, то вся правая часть неравенства стремится к нулю, откуда следует, что <math>\|A^*x_n\| \to \|A^*x\|</math>. То есть, оператор <math>A^*</math> вполне непрерывен по определению. <math>\blacksquare</math>

== Связь компактных и вполне непрерывных операторов ==
'''Лемма 1.''' Если <math>x_n \xrightarrow{w} x</math>, то <math>Ax_n \xrightarrow{w} Ax</math>.

''Доказательство.'' <math>\langle Ax_n, y \rangle = \langle x_n, A^*y \rangle \to \langle x, A^*y \rangle = \langle Ax, y \rangle</math>. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 1.''' Линейный оператор <math>A \in \mathcal{L}(X, Y)</math> является вполне непрерывным $$\Longleftrightarrow$$ этот линейный оператор является компактным.

''В правую сторону.'' Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность $$\{x_n\}$$, из неё можно выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]] <math>\{x_{n_k}\} \xrightarrow{w} x</math>. По определению вполне непрерывного оператора это означает, что <math>\{Ax_{n_k}\} \to Ax</math>. Наличие сильно сходящейся подпоследовательности для любой ограниченной последовательности означает, что образ ограниченного множества [[Компактность и предкомпактность|предкомпактен]], то есть оператор <math>A</math> компактен.

''В левую сторону.'' Предположим противное. Пусть существует такая $$x_n \xrightarrow{w} x$$, что $$Ax_n \not\to Ax$$. По лемме: $$Ax_n \xrightarrow{w} Ax$$. Заметим сначала, что $$Ax_n$$ может сходиться только к $$Ax$$. По предположению:: <math>\forall\ \varepsilon > 0 \ \exists\ \ \{n_k\}: \|Ax_{n_k} - Ax\| \geqslant \varepsilon.</math>
$$\{x_{n_k}\}$$ — сходится слабо, откуда следует, что она также и ограничена, откуда из определения компактного оператора следует, что $$\{Ax_{n_k}\}$$ — предкомпактное, значит из неё можно выбрать фундаментальную подпоследовательность $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$, а из баноховости $$Y$$, $$\{Ax_{n_{k_l}}\}$$ будет сходиться к некоторому $$y$$, и неравенство выше выполняться не будет: $$\|Ax_{n_{k_l}} - Ax\| < \varepsilon$$. Таким образом, существует $$y$$ такое, что $$\|Ax_{n_{k_l}} - y\| \to 0$$ и $$y$$ может быть равно только $$Ax$$. <math>\blacksquare</math>

== Замкнутость множества вполне непрерывных (компактных) операторов ==

'''Теорема 2.''' Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, а $$\{A_n\}$$ — последовательность компактных операторов, такая что $$\|A_n - A\| \to 0$$ при $$n \to \infty$$, то оператор $$A$$ также является компактным.

''Доказательство.''
Пусть $$M \subset X$$ — произвольное ограниченное множество, и <math>C = \sup_{x \in M} \|x\|</math>. Для доказательства компактности $$A$$ воспользуемся [[Компактность и предкомпактность|критерием предкомпактности]]: покажем, что для любого $$\varepsilon > 0$$ образ $$A(M)$$ обладает конечной $$\varepsilon$$-сетью.

Зафиксируем $$\varepsilon > 0$$. Так как $$\|A_n - A\| \to 0$$, выберем такое число $$n$$, чтобы <math>\|A_n - A\| < \frac{\varepsilon}{2C}</math>.

Множество $$A_n(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]] (так как операторы $$A_n$$ компактны по условию). Значит, для него существует конечная $$\frac{\varepsilon}{2}$$-сеть $$\{y_1, \dots, y_k\} \subset Y$$.

Проверим, что эта же сеть будет являться $$\varepsilon$$-сетью для множества $$A(M)$$. Для любого $$Ax \in A(M)$$:: <math>\|Ax - y_i\| = \|Ax - A_nx + A_nx - y_i\| \leqslant \|(A - A_n)x\| + \|A_nx - y_i\|.</math>

Оценка первого слагаемого:: <math>\|(A - A_n)x\| \leqslant \|A - A_n\| \cdot \|x\| < \frac{\varepsilon}{2C} \cdot C = \frac{\varepsilon}{2}</math>.

А второе слагаемое оценивается выбором сетки для $$A_n(M)$$:: <math>\|A_nx - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2}</math>.

Откуда:: <math>\|Ax - y_i\| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon</math>.

Таким образом, для любого ограниченного множества образ имеет конечную $$\varepsilon$$-сеть, следовательно, $$A(M)$$ [[Компактность и предкомпактность|предкомпактно]], и оператор $$A$$ компактен. <math>\blacksquare</math>

'''Замечание 2.''' Из ''Теоремы 2'' следует, что пространство компактных операторов является замкнутым в пространстве всех ограниченных операторов. Следовательно, ограниченный, но не компактный оператор нельзя приблизить по норме последовательностью компактных.

== Приближение вполне непрерывных (компактных) операторов конечномерными ==

=== Свойства проекторов в гильбертовом пространстве ===
Пусть $$H$$ — [[Сепарабельность метрического пространства|сепарабельное]] [[Гильбертово пространство|гильбертово пространство]], а $$\{e_k\}$$ — его ортонормированный базис. Определим последовательность конечномерных проекторов $$P_n$$ и остаточных операторов $$R_n$$:
:<math>P_n x = \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k, \quad R_n x = \sum_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k \rangle e_k.</math>

Для этих операторов выполняются свойства:
* '''Разложение единицы:''' $$P_n + R_n = E$$, где $$E$$ — тождественный оператор.
* '''Сильная сходимость:''' $$P_n x \to x$$ для любого $$x \in H$$ при $$n \to \infty$$.
* '''Отсутствие сходимости по норме:''' $$\|P_n - E\| \not\to 0$$(в бесконечномерном случае).
* '''Самосопряженность:''' $$P_n = P_n^*$$ и $$R_n = R_n^*$$.

=== Теорема о приближении ===
'''Лемма 2.''' Для любого компактного оператора $$A$$ существует вектор $$z \in H$$ с единичной нормой ($$\|z\|=1$$), на котором достигается норма оператора — $$\|A\| = \|Az\|.$$

''Доказательство.''
Рассмотрим последовательность $$\{x_n\}$$, такую что $$\|x_n\|=1$$ и $$\|Ax_n\| \to \|A\|$$.

$$\{x_n\}$$ — ограничена, значит, можем выбрать [[Сильная и слабая сходимость|слабо сходящуюся подпоследовательность]]: $$x_{n_k} \xrightarrow{w} z$$.

Из компактности(вполне непрерывности) $$A$$ следует, что $$Ax_{n_k} \to Az$$. Значит, <math>\|Az\| = \lim \|Ax_{n_k}\| = \|A\|</math>.

Так как $$\|Az\| \leqslant \|A\| \cdot \|z\|$$, а $$\|Az\| = \|A\|$$, то $$\|z\| \geqslant 1$$.

В то же время из свойств слабого предела получаем $$\|z\| \leqslant \underline{\lim} \|x_{n_k}\| = 1$$.

Таким образом, $$\|z\| = 1$$. <math>\blacksquare</math>

'''Теорема 3.''' Если оператор $$A: H \to H$$ компактен, то: <math>\|A - P_n A P_n\| \to 0 \quad \text{при } n \to \infty.</math>

''Доказательство.''
Сначала покажем, что если $$\{x_n\}$$ ограничена, то $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$. Действительно:: <math> \forall\ y \in H: |\langle R_n x_n, y \rangle| = |\langle x_n, R_n y \rangle| \leqslant \|x_n\| \cdot \|R_n y\| \to 0,</math> так как $$\|R_n y\| \to 0$$.

Далее рассмотрим разность:
<math>\|A - P_n A P_n\| = \|P_n A + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A P_n + R_n A R_n + R_n A - P_n A P_n\| = \|P_n A R_n + R_n A\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>

Теперь оценим норму:: <math>\|A - P_n A P_n\| \leqslant \|P_n A R_n\| + \|R_n A\|.</math>
Первое слагаемое: Оператор $$P_n A R_n$$ компактен, значит, по лемме, существует $$\|x_n\|=1$$, такой что $$\|P_n A R_n\| = \|P_n A R_n x_n\|$$. Так как $$R_n x_n \xrightarrow{w} 0$$, а $$A$$ вполне непрерывен, то $$A(R_n x_n) \to 0$$. Значит, $$\|P_n A R_n x_n\| \to 0$$.

Второе слагаемое: Заметим, что $$\|R_n A\| = \|A^* R_n\|$$. Так как $$A^*$$ компактен, то аналогично $$\|A^* R_n\| \to 0$$. <math>\blacksquare</math>