sawiki - Вклад участника [ru]

Сопряжённые пространства

2025-12-22T21:17:09Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.
Функция $ f: X \to \mathbb{R} $ (или $ \mathbb{C} $) называется '''существенно ограниченной''', если существует такое число $ M \ge 0 $, что
\[
|f(x)| \le M \quad \text{для почти всех } x \in X,
\]
то есть множество $\{x \in X : |f(x)| > M\}$ имеет меру нуль.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $.

=== Знакопеременная мера Радона ограниченной вариации ===
Пусть $ [a, b] \subset \mathbb{R} $ — отрезок, $ \mathcal{B}([a, b]) $ — его борелевская σ-алгебра. '''Знакопеременной мерой Радона''' на $ [a, b] $ называется вещественнозначная функция множеств $ \mu: \mathcal{B}([a, b]) \to \mathbb{R} $, удовлетворяющая условиям:
# $ \mu(\varnothing) = 0 $.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств $ \{E_n\}_{n=1}^\infty $ выполняется
\[
\mu\!\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n),
\]
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ и любого $ \varepsilon > 0 $ существуют компактное множество $ K \subset E $ и открытое множество $ U \supset E $ такие, что $ |\mu(U \setminus K| < \epsilon $.

'''Полной вариацией''' (или просто вариацией) знакопеременной меры Радона <math>\mu</math> называется функция множеств $ |\mu| $, определяемая для $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ как
\[
|\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |\mu(E_n)| : \{E_n\} \text{ — измеримое разбиение } E \right\}.
\]

Знакопеременная мера Радона <math>\mu</math> называется мерой '''ограниченной вариации''' на $ [a, b] $, если её полная вариация на всём отрезке конечна:
\[
\|\mu\|_{\text{TV}} := |\mu|([a, b]) < \infty.
\]

'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на $ [a, b] $ называется множество
\[
\mathcal{M}[a, b] = \{\mu : \mu \text{ — знакопеременная мера Радона на } [a, b] \text{ с } \|\mu\|_{\text{TV}} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{\text{TV}} = |\mu|([a, b]).
\]

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T21:10:46Z

Andy24: /* Знакопеременная мера Радона ограниченной вариации */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $.

=== Знакопеременная мера Радона ограниченной вариации ===
Пусть $ [a, b] \subset \mathbb{R} $ — отрезок, $ \mathcal{B}([a, b]) $ — его борелевская σ-алгебра. '''Знакопеременной мерой Радона''' на $ [a, b] $ называется вещественнозначная функция множеств $ \mu: \mathcal{B}([a, b]) \to \mathbb{R} $, удовлетворяющая условиям:
# $ \mu(\varnothing) = 0 $.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств $ \{E_n\}_{n=1}^\infty $ выполняется
\[
\mu\!\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n),
\]
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ и любого $ \varepsilon > 0 $ существуют компактное множество $ K \subset E $ и открытое множество $ U \supset E $ такие, что $ |\mu(U \setminus K| < \epsilon $.

'''Полной вариацией''' (или просто вариацией) знакопеременной меры Радона <math>\mu</math> называется функция множеств $ |\mu| $, определяемая для $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ как
\[
|\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |\mu(E_n)| : \{E_n\} \text{ — измеримое разбиение } E \right\}.
\]

Знакопеременная мера Радона <math>\mu</math> называется мерой '''ограниченной вариации''' на $ [a, b] $, если её полная вариация на всём отрезке конечна:
\[
\|\mu\|_{\text{TV}} := |\mu|([a, b]) < \infty.
\]

'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на $ [a, b] $ называется множество
\[
\mathcal{M}[a, b] = \{\mu : \mu \text{ — знакопеременная мера Радона на } [a, b] \text{ с } \|\mu\|_{\text{TV}} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{\text{TV}} = |\mu|([a, b]).
\]

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T21:10:10Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $.

=== Знакопеременная мера Радона ограниченной вариации ===
Пусть $ [a, b] \subset \mathbb{R} $ — отрезок, $ \mathcal{B}([a, b]) $ — его борелевская σ-алгебра. '''Знакопеременной мерой Радона''' на $ [a, b] $ называется вещественнозначная функция множеств $ \mu: \mathcal{B}([a, b]) \to \mathbb{R} $, удовлетворяющая условиям:
# $ \mu(\varnothing) = 0 $.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств $ \{E_n\}_{n=1}^\infty $ выполняется
\[
\mu\!\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n),
\]
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ и любого $ \varepsilon > 0 $ существуют компактное множество $ K \subset E $ и открытое множество $ U \supset E $ такие, что $ |\mu(U \setminus K| < \epsilon $.

'''Полной вариацией''' (или просто '''вариацией''') знакопеременной меры Радона <math>\mu</math> называется функция множеств $ |\mu| $, определяемая для $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ как
\[
|\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |\mu(E_n)| : \{E_n\} \text{ — измеримое разбиение } E \right\}.
\]

Знакопеременная мера Радона <math>\mu</math> называется мерой '''ограниченной вариации''' на $ [a, b] $, если её полная вариация на всём отрезке конечна:
\[
\|\mu\|_{\text{TV}} := |\mu|([a, b]) < \infty.
\]

'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на $ [a, b] $ называется множество
\[
\mathcal{M}[a, b] = \{\mu : \mu \text{ — знакопеременная мера Радона на } [a, b] \text{ с } \|\mu\|_{\text{TV}} < \infty\},
\]
с '''нормой полной вариации'''
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{\text{TV}} = |\mu|([a, b]).
\]

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T21:09:37Z

Andy24: /* Знакопеременная мера Радона ограниченной вариации */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

=== Знакопеременная мера Радона ограниченной вариации ===
Пусть $ [a, b] \subset \mathbb{R} $ — отрезок, $ \mathcal{B}([a, b]) $ — его борелевская σ-алгебра. '''Знакопеременной мерой Радона''' на $ [a, b] $ называется вещественнозначная функция множеств $ \mu: \mathcal{B}([a, b]) \to \mathbb{R} $, удовлетворяющая условиям:
# $ \mu(\varnothing) = 0 $.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств $ \{E_n\}_{n=1}^\infty $ выполняется
\[
\mu\!\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n),
\]
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ и любого $ \varepsilon > 0 $ существуют компактное множество $ K \subset E $ и открытое множество $ U \supset E $ такие, что $ |\mu(U \setminus K| < \epsilon $.

'''Полной вариацией''' (или просто '''вариацией''') знакопеременной меры Радона <math>\mu</math> называется функция множеств $ |\mu| $, определяемая для $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ как
\[
|\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |\mu(E_n)| : \{E_n\} \text{ — измеримое разбиение } E \right\}.
\]

Знакопеременная мера Радона <math>\mu</math> называется мерой '''ограниченной вариации''' на $ [a, b] $, если её полная вариация на всём отрезке конечна:
\[
\|\mu\|_{\text{TV}} := |\mu|([a, b]) < \infty.
\]

'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на $ [a, b] $ называется множество
\[
\mathcal{M}[a, b] = \{\mu : \mu \text{ — знакопеременная мера Радона на } [a, b] \text{ с } \|\mu\|_{\text{TV}} < \infty\},
\]
с '''нормой полной вариации'''
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{\text{TV}} = |\mu|([a, b]).
\]

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T21:08:54Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

=== Знакопеременная мера Радона ограниченной вариации ===
Пусть $ [a, b] \subset \mathbb{R} $ — отрезок, $ \mathcal{B}([a, b]) $ — его борелевская σ-алгебра. '''Знакопеременной мерой Радона''' на $ [a, b] $ называется вещественнозначная функция множеств $ \mu: \mathcal{B}([a, b]) \to \mathbb{R} $, удовлетворяющая условиям:
# $ \mu(\varnothing) = 0 $.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств $ \{E_n\}_{n=1}^\infty $ выполняется
\[
\mu\!\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n),
\]
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ и любого $ \epsilon > 0 $ существуют компактное множество $ K \subset E $ и открытое множество $ U \supset E $ такие, что $ |\mu(U \setminus K| < \epsilon $.

'''Полной вариацией''' (или просто '''вариацией''') знакопеременной меры Радона <math>\mu</math> называется функция множеств $ |\mu| $, определяемая для $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ как
\[
|\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |\mu(E_n)| : \{E_n\} \text{ — измеримое разбиение } E \right\}.
\]

Знакопеременная мера Радона <math>\mu</math> называется мерой '''ограниченной вариации''' на <math>[a, b]</math>, если её полная вариация на всём отрезке конечна:
\[
\|\mu\|_{\text{TV}} := |\mu|([a, b]) < \infty.
\]

'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на <math>[a, b]</math> называется множество
\[
\mathcal{M}[a, b] = \{\mu : \mu \text{ — знакопеременная мера Радона на } [a, b] \text{ с } \|\mu\|_{\text{TV}} < \infty\},
\]
с '''нормой полной вариации'''
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{\text{TV}} = |\mu|([a, b]).
\]

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T21:07:42Z

Andy24: /* Знакопеременная мера Радона ограниченной вариации */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

=== Знакопеременная мера Радона ограниченной вариации ===
Пусть $ [a, b] \subset \mathbb{R} $ — отрезок, $ \mathcal{B}([a, b]) $ — его борелевская σ-алгебра. '''Знакопеременной мерой Радона''' на $ [a, b] $ называется вещественнозначная функция множеств $ \mu: \mathcal{B}([a, b]) \to \mathbb{R} $, удовлетворяющая условиям:
# $ \mu(\varnothing) = 0 $.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств $ \{E_n\}_{n=1}^\infty $ выполняется
\[
\mu\!\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n),
\]
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ и любого $ \epsilon > 0 $ существуют [[Компактное множество|компактное]] множество $ K \subset E $ и [[Открытое множество|открытое]] множество $ U \supset E $ такие, что $ |\mu(U \setminus K| < \epsilon $.

'''Полной вариацией''' (или просто '''вариацией''') знакопеременной меры Радона <math>\mu</math> называется функция множеств <math>|\mu|</math>, определяемая для <math>E \in \mathcal{B}([a, b])</math> как
\[
|\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |\mu(E_n)| : \{E_n\} \text{ — измеримое разбиение } E \right\}.
\]

Знакопеременная мера Радона <math>\mu</math> называется мерой '''ограниченной вариации''' на <math>[a, b]</math>, если её полная вариация на всём отрезке конечна:
\[
\|\mu\|_{\text{TV}} := |\mu|([a, b]) < \infty.
\]

'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на <math>[a, b]</math> называется множество
\[
\mathcal{M}[a, b] = \{\mu : \mu \text{ — знакопеременная мера Радона на } [a, b] \text{ с } \|\mu\|_{\text{TV}} < \infty\},
\]
с '''нормой полной вариации'''
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{\text{TV}} = |\mu|([a, b]).
\]

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T21:07:23Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

=== Знакопеременная мера Радона ограниченной вариации ===
Пусть $ [a, b] \subset \mathbb{R} $ — отрезок, $ \mathcal{B}([a, b]) $ — его [[Борелевская сигма-алгебра|борелевская σ-алгебра]]. '''Знакопеременной мерой Радона''' на $ [a, b] $ называется вещественнозначная функция множеств $ \mu: \mathcal{B}([a, b]) \to \mathbb{R} $, удовлетворяющая условиям:
# $ \mu(\varnothing) = 0 $.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств $ \{E_n\}_{n=1}^\infty $ выполняется
\[
\mu\!\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n),
\]
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ и любого $ \epsilon > 0 $ существуют [[Компактное множество|компактное]] множество $ K \subset E $ и [[Открытое множество|открытое]] множество $ U \supset E $ такие, что $ |\mu(U \setminus K| < \epsilon $.

'''Полной вариацией''' (или просто '''вариацией''') знакопеременной меры Радона <math>\mu</math> называется функция множеств <math>|\mu|</math>, определяемая для <math>E \in \mathcal{B}([a, b])</math> как
\[
|\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |\mu(E_n)| : \{E_n\} \text{ — измеримое разбиение } E \right\}.
\]

Знакопеременная мера Радона <math>\mu</math> называется мерой '''ограниченной вариации''' на <math>[a, b]</math>, если её полная вариация на всём отрезке конечна:
\[
\|\mu\|_{\text{TV}} := |\mu|([a, b]) < \infty.
\]

'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на <math>[a, b]</math> называется множество
\[
\mathcal{M}[a, b] = \{\mu : \mu \text{ — знакопеременная мера Радона на } [a, b] \text{ с } \|\mu\|_{\text{TV}} < \infty\},
\]
с '''нормой полной вариации'''
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{\text{TV}} = |\mu|([a, b]).
\]

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T21:06:42Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

Пусть $ [a, b] \subset \mathbb{R} $ — отрезок, $ \mathcal{B}([a, b]) $ — его [[Борелевская сигма-алгебра|борелевская σ-алгебра]]. '''Знакопеременной мерой Радона''' на $ [a, b] $ называется вещественнозначная функция множеств $ \mu: \mathcal{B}([a, b]) \to \mathbb{R} $, удовлетворяющая условиям:
# $ \mu(\varnothing) = 0 $.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств $ \{E_n\}_{n=1}^\infty $ выполняется
\[
\mu\!\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n),
\]
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ и любого $ \epsilon > 0 $ существуют [[Компактное множество|компактное]] множество $ K \subset E $ и [[Открытое множество|открытое]] множество $ U \supset E $ такие, что $ |\mu(U \setminus K| < \epsilon $.

'''Полной вариацией''' (или просто '''вариацией''') знакопеременной меры Радона <math>\mu</math> называется функция множеств <math>|\mu|</math>, определяемая для <math>E \in \mathcal{B}([a, b])</math> как
\[
|\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |\mu(E_n)| : \{E_n\} \text{ — измеримое разбиение } E \right\}.
\]

Знакопеременная мера Радона <math>\mu</math> называется мерой '''ограниченной вариации''' на <math>[a, b]</math>, если её полная вариация на всём отрезке конечна:
\[
\|\mu\|_{\text{TV}} := |\mu|([a, b]) < \infty.
\]

'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на <math>[a, b]</math> называется множество
\[
\mathcal{M}[a, b] = \{\mu : \mu \text{ — знакопеременная мера Радона на } [a, b] \text{ с } \|\mu\|_{\text{TV}} < \infty\},
\]
с '''нормой полной вариации'''
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{\text{TV}} = |\mu|([a, b]).
\]

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T21:06:15Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

=== Знакопеременная мера Радона ===
Пусть $ [a, b] \subset \mathbb{R} $ — отрезок, $ \mathcal{B}([a, b]) $ — его [[Борелевская сигма-алгебра|борелевская σ-алгебра]]. '''Знакопеременной мерой Радона''' на $ [a, b] $ называется вещественнозначная функция множеств $ \mu: \mathcal{B}([a, b]) \to \mathbb{R} $, удовлетворяющая условиям:
# $ \mu(\varnothing) = 0 $.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств $ \{E_n\}_{n=1}^\infty $ выполняется
\[
\mu\!\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n),
\]
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого $ E \in \mathcal{B}([a, b]) $ и любого $ \epsilon > 0 $ существуют [[Компактное множество|компактное]] множество $ K \subset E $ и [[Открытое множество|открытое]] множество $ U \supset E $ такие, что $ |\mu(U \setminus K| < \epsilon $.

=== Полная вариация меры ===
'''Полной вариацией''' (или просто '''вариацией''') знакопеременной меры Радона <math>\mu</math> называется функция множеств <math>|\mu|</math>, определяемая для <math>E \in \mathcal{B}([a, b])</math> как
\[
|\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |\mu(E_n)| : \{E_n\} \text{ — измеримое разбиение } E \right\}.
\]

=== Мера ограниченной вариации ===
Знакопеременная мера Радона <math>\mu</math> называется мерой '''ограниченной вариации''' на <math>[a, b]</math>, если её полная вариация на всём отрезке конечна:
\[
\|\mu\|_{\text{TV}} := |\mu|([a, b]) < \infty.
\]

=== Нормированное пространство ===
'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на <math>[a, b]</math> называется множество
\[
\mathcal{M}[a, b] = \{\mu : \mu \text{ — знакопеременная мера Радона на } [a, b] \text{ с } \|\mu\|_{\text{TV}} < \infty\},
\]
с '''нормой полной вариации'''
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{\text{TV}} = |\mu|([a, b]).
\]

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T20:56:18Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

Пусть [''a'', ''b''] — отрезок, B([''a'', ''b'']) — его борелевская σ-алгебра. '''Знакопеременной мерой Радона''' на [a, b] называется вещественнозначная функция множеств ''μ'': B([a, b]) → \mathbb{R}, удовлетворяющая условиям:
# ''μ''(∅) = 0.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств {''E''''n''}''n''=1∞ выполняется
<center>''μ''(⋃''n''=1∞ ''E''''n'') = ∑''n''=1∞ ''μ''(''E''''n''),</center>
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого $ ''E'' \in B([''a'', ''b'']) $ и любого $ \eps > 0 $ существуют компактное множество $ K \subset E $ и открытое множество $ U \supset E $ такие, что $ |\mu|(U \ K)| < \eps $.

'''Полной вариацией''' (или просто вариацией) знакопеременной меры Радона $ \mu $ называется функция множеств $ |\mu| $, определяемая для $ E \in B([a, b]) $ как
<center>|''μ''|(''E'') = sup { ∑''n''=1∞ |''μ''(''E''''n'')| : {''E''''n''} — измеримое разбиение ''E'' }.</center>

Знакопеременная мера Радона ''μ'' называется мерой '''ограниченной вариации''' на $ [a, b] $, если её полная вариация на всём отрезке конечна:
<center>‖''μ''‖TV := |''μ''|([''a'', ''b'']) < ∞.</center>

'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на [''a'', ''b''] называется множество
<center>ℳ[''a'', ''b''] = { ''μ'' : ''μ'' — знакопеременная мера Радона на [''a'', ''b''] с ‖''μ''‖TV < ∞ },</center>
с '''нормой полной вариации'''
<center>‖''μ''‖ℳ = ‖''μ''‖TV = |''μ''|([''a'', ''b'']).</center>

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T20:52:07Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

Пусть [''a'', ''b''] ⊂ ℝ — отрезок, ℬ([''a'', ''b'']) — его [[Борелевская сигма-алгебра|борелевская σ-алгебра]]. '''Знакопеременной мерой Радона''' на [''a'', ''b''] называется вещественнозначная функция множеств ''μ'': ℬ([''a'', ''b'']) → ℝ, удовлетворяющая условиям:
# ''μ''(∅) = 0.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств {''E''''n''}''n''=1∞ выполняется
<center>''μ''(⋃''n''=1∞ ''E''''n'') = ∑''n''=1∞ ''μ''(''E''''n''),</center>
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого ''E'' ∈ ℬ([''a'', ''b'']) и любого ε > 0 существуют [[Компактное множество|компактное]] множество ''K'' ⊂ ''E'' и [[Открытое множество|открытое]] множество ''U'' ⊃ ''E'' такие, что |''μ''(''U'' \ ''K'')| < ε.

'''Полной вариацией''' (или просто '''вариацией''') знакопеременной меры Радона ''μ'' называется функция множеств |''μ''|, определяемая для ''E'' ∈ ℬ([''a'', ''b'']) как
<center>|''μ''|(''E'') = sup { ∑''n''=1∞ |''μ''(''E''''n'')| : {''E''''n''} — измеримое разбиение ''E'' }.</center>

Знакопеременная мера Радона ''μ'' называется мерой '''ограниченной вариации''' на [''a'', ''b''], если её полная вариация на всём отрезке конечна:
<center>‖''μ''‖TV := |''μ''|([''a'', ''b'']) < ∞.</center>

'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на [''a'', ''b''] называется множество
<center>ℳ[''a'', ''b''] = { ''μ'' : ''μ'' — знакопеременная мера Радона на [''a'', ''b''] с ‖''μ''‖TV < ∞ },</center>
с '''нормой полной вариации'''
<center>‖''μ''‖ℳ = ‖''μ''‖TV = |''μ''|([''a'', ''b'']).</center>

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T20:50:51Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

=== Знакопеременная мера Радона ===
Пусть [''a'', ''b''] ⊂ ℝ — отрезок, ℬ([''a'', ''b'']) — его [[Борелевская сигма-алгебра|борелевская σ-алгебра]]. '''Знакопеременной мерой Радона''' на [''a'', ''b''] называется вещественнозначная функция множеств ''μ'': ℬ([''a'', ''b'']) → ℝ, удовлетворяющая условиям:
# ''μ''(∅) = 0.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств {''E''''n''}''n''=1∞ выполняется
<center>''μ''(⋃''n''=1∞ ''E''''n'') = ∑''n''=1∞ ''μ''(''E''''n''),</center>
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого ''E'' ∈ ℬ([''a'', ''b'']) и любого ε > 0 существуют [[Компактное множество|компактное]] множество ''K'' ⊂ ''E'' и [[Открытое множество|открытое]] множество ''U'' ⊃ ''E'' такие, что |''μ''(''U'' \ ''K'')| < ε.

=== Полная вариация меры ===
'''Полной вариацией''' (или просто '''вариацией''') знакопеременной меры Радона ''μ'' называется функция множеств |''μ''|, определяемая для ''E'' ∈ ℬ([''a'', ''b'']) как
<center>|''μ''|(''E'') = sup { ∑''n''=1∞ |''μ''(''E''''n'')| : {''E''''n''} — измеримое разбиение ''E'' }.</center>

=== Мера ограниченной вариации ===
Знакопеременная мера Радона ''μ'' называется мерой '''ограниченной вариации''' на [''a'', ''b''], если её полная вариация на всём отрезке конечна:
<center>‖''μ''‖TV := |''μ''|([''a'', ''b'']) < ∞.</center>

=== Нормированное пространство ===
'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на [''a'', ''b''] называется множество
<center>ℳ[''a'', ''b''] = { ''μ'' : ''μ'' — знакопеременная мера Радона на [''a'', ''b''] с ‖''μ''‖TV < ∞ },</center>
с '''нормой полной вариации'''
<center>‖''μ''‖ℳ = ‖''μ''‖TV = |''μ''|([''a'', ''b'']).</center>

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T20:49:29Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

=== Знакопеременная мера Радона ===
Пусть [''a'', ''b''] ⊂ ℝ — отрезок, ℬ([''a'', ''b'']) — его [[Борелевская сигма-алгебра|борелевская σ-алгебра]]. '''Знакопеременной мерой Радона''' на [''a'', ''b''] называется вещественнозначная функция множеств ''μ'': ℬ([''a'', ''b'']) → ℝ, удовлетворяющая условиям:
# ''μ''(∅) = 0.
# '''σ-аддитивность''': для любой последовательности попарно непересекающихся борелевских множеств {''E''''n''}''n''=1∞ выполняется
<center>''μ''(⋃''n''=1∞ ''E''''n'') = ∑''n''=1∞ ''μ''(''E''''n''),</center>
где ряд сходится абсолютно.
# '''Регулярность''': для любого ''E'' ∈ ℬ([''a'', ''b'']) и любого ε > 0 существуют [[Компактное множество|компактное]] множество ''K'' ⊂ ''E'' и [[Открытое множество|открытое]] множество ''U'' ⊃ ''E'' такие, что |''μ''(''U'' \ ''K'')| < ε.

=== Полная вариация меры ===
'''Полной вариацией''' (или просто '''вариацией''') знакопеременной меры Радона ''μ'' называется функция множеств |''μ''|, определяемая для ''E'' ∈ ℬ([''a'', ''b'']) как
<center>|''μ''|(''E'') = sup { ∑''n''=1∞ |''μ''(''E''''n'')| : {''E''''n''} — измеримое разбиение ''E'' }.</center>

=== Мера ограниченной вариации ===
Знакопеременная мера Радона ''μ'' называется мерой '''ограниченной вариации''' на [''a'', ''b''], если её полная вариация на всём отрезке конечна:
<center>‖''μ''‖TV := |''μ''|([''a'', ''b'']) < ∞.</center>

=== Нормированное пространство ===
'''Пространством знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на [''a'', ''b''] называется множество
<center>ℳ[''a'', ''b''] = { ''μ'' : ''μ'' — знакопеременная мера Радона на [''a'', ''b''] с ‖''μ''‖TV < ∞ },</center>
с '''нормой полной вариации'''
<center>‖''μ''‖ℳ = ‖''μ''‖TV = |''μ''|([''a'', ''b'']).</center>

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T20:43:45Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

'''Полной вариацией (вариацией)''' знакопеременной меры Радона $\mu$ называется функция
\[
|\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |\mu(E_n)| : \{E_n\} - \text{измеримое разбиение } E \right\}, \quad E \in \mathcal{B}([a,b]).
\]

Знакопеременная мера Радона $\mu$ называется '''мерой ограниченной вариации''' на $ [a, b] $, если её полная вариация на всём отрезке конечна:
\[
\|\mu\|_{TV} := |\mu|([a,b]) < \infty.
\]

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T20:42:06Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

\textbf{Определение (Полная вариация меры).}
Полной вариацией (вариацией) знакопеременной меры Радона $\mu$ называется функция
\[
|\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{n=1}^\infty |\mu(E_n)| : \{E_n\} - \text{измеримое разбиение } E \right\}, \quad E \in \mathcal{B}([a,b]).
\]

\textbf{Определение (Ограниченная вариация).}
Знакопеременная мера Радона $\mu$ называется мерой \textbf{ограниченной вариации} на $[a,b]$, если её полная вариация на всём отрезке конечна:
\[
\|\mu\|_{TV} := |\mu|([a,b]) < \infty.
\]

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T20:39:12Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Пусть $ C[a, b] $ — пространство непрерывных функций на отрезке $ [a, b] $ с супремум-нормой:
\[
\| f \|_{C[a, b]} = \sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.
\]
Сопряжённым к нему является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $:
\[
\mathcal{M}[a,b] = \{\mu : \mu - \text{знакопеременная мера Радона на } [a,b] \text{ с } \|\mu\|_{TV} < \infty\},
\]
с нормой полной вариации
\[
\|\mu\|_{\mathcal{M}} = \|\mu\|_{TV} = |\mu|([a,b]).
\]

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T20:29:59Z

Andy24: /* Гильбертовы пространства и теорема Рисса */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.
См. [[Гильбертово пространство#Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала|доказательство]].

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T20:27:14Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ ([[Пространства интегрируемых функций|функций, интегрируемых в степени $ p $]]) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T20:26:09Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''[[Пространства интегрируемых функций|Пространство $ L_p $.]]''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-22T20:25:01Z

Andy24:

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''[[Пространство $ L_p $.|Пространства интегрируемых функций]]''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:47:17Z

Andy24: /* Второе сопряжённое пространство и рефлексивность */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:46:01Z

Andy24: /* Гильбертовы пространства и теорема Рисса */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый линейный оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:45:33Z

Andy24: /* Гильбертовы пространства и теорема Рисса */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Этот изоморфизм является антилинейным в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие [[Самосопряжённый оператор|самосопряжённого оператора]] ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:44:04Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является сигма-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Однако важно отметить, что этот изоморфизм является '''антилинейным''' в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие '''самосопряжённого оператора''' ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:43:18Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
[https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Гёльдера Неравенство Гельдера] гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является \sigma-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Однако важно отметить, что этот изоморфизм является '''антилинейным''' в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие '''самосопряжённого оператора''' ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:41:38Z

Andy24: /* Конечномерный случай и двойственный базис */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $.

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
Неравенство Гельдера гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является \sigma-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Однако важно отметить, что этот изоморфизм является '''антилинейным''' в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие '''самосопряжённого оператора''' ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:38:48Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $ (хотя изоморфизм, вообще говоря, не канонический).

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
Неравенство Гельдера гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство знакопеременных мер Радона ограниченной вариации на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является \sigma-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Однако важно отметить, что этот изоморфизм является '''антилинейным''' в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие '''самосопряжённого оператора''' ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:38:26Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $ (хотя изоморфизм, вообще говоря, не канонический).

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ h_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
h_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
Неравенство Гельдера гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство '''знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является \sigma-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Однако важно отметить, что этот изоморфизм является '''антилинейным''' в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие '''самосопряжённого оператора''' ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:36:43Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $ (хотя изоморфизм, вообще говоря, не канонический).

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ f_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
f_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
Неравенство Гельдера гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство '''знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является \sigma-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Однако важно отметить, что этот изоморфизм является '''антилинейным''' в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие '''самосопряжённого оператора''' ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:36:26Z

Andy24: /* Бесконечномерные пространства и примеры */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $ (хотя изоморфизм, вообще говоря, не канонический).

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными по Гельдеру). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ \f_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
\f_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
Неравенство Гельдера гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство '''знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является \sigma-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Однако важно отметить, что этот изоморфизм является '''антилинейным''' в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие '''самосопряжённого оператора''' ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:35:13Z

Andy24: /* Топологии в сопряжённом пространстве */

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $ (хотя изоморфизм, вообще говоря, не канонический).

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными показателями). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ \ell_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
\ell_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
Неравенство Гёльдера гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство '''знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является \sigma-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Однако важно отметить, что этот изоморфизм является '''антилинейным''' в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие '''самосопряжённого оператора''' ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:29:42Z

Andy24:

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и притом единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — основное поле), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\| $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ — множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство, то всякий линейный функционал на нем автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряженное) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

* '''Сильная (нормированная) топология''' — топология, порождённая нормой $ \|f\|_{E^*} $. Сходимость $ f_n \to f $ в сильной топологии означает, что $ \|f_n - f\|_{E^*} \to 0 $.

* '''Слабая* топология (топология поточечной сходимости)''' — это слабейшая топология на $ E^* $, в которой непрерывны все отображения $ f \mapsto f(x) $ для каждого фиксированного $ x \in E $. Последовательность функционалов $ \{f_n\} $ '''слабо* сходится''' к $ f $, если для любого $ x \in E $ выполнено $ f_n(x) \to f(x) $ (сходимость числовых последовательностей).

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $ (хотя изоморфизм, вообще говоря, не канонический).

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными показателями). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ \ell_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
\ell_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
Неравенство Гёльдера гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство '''знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является \sigma-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Однако важно отметить, что этот изоморфизм является '''антилинейным''' в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие '''самосопряжённого оператора''' ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:25:01Z

Andy24:

Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и причем единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — поле скаляров), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\|_E $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ -- множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство без дополнительной топологической структуры, то всякий линейный функционал на нём автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряжённое) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $ (хотя изоморфизм, вообще говоря, не канонический).

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными показателями). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ \ell_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
\ell_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
Неравенство Гёльдера гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство '''знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является \sigma-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Однако важно отметить, что этот изоморфизм является '''антилинейным''' в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие '''самосопряжённого оператора''' ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:09:44Z

Andy24: /* Список источников */

= Сопряжённые пространства =
Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и причем единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — поле скаляров), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\|_E $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ -- множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство без дополнительной топологической структуры, то всякий линейный функционал на нём автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряжённое) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $ (хотя изоморфизм, вообще говоря, не канонический).

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными показателями). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ \ell_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
\ell_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
Неравенство Гёльдера гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство '''знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является \sigma-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Однако важно отметить, что этот изоморфизм является '''антилинейным''' в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие '''самосопряжённого оператора''' ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. // Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. // [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T20:08:22Z

Andy24:

= Сопряжённые пространства =
Сопряжённое пространство (или двойственное пространство) — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе. Для заданного нормированного пространства его сопряжённым называется пространство всех непрерывных (ограниченных) линейных функционалов, определённых на нем. Из линейной алгебры известно, что любой линейный функционал в конечномерном пространстве может быть задан (и причем единственным образом) элементом этого пространства. Теорема Рисса устанавливает аналогичный факт для более общего случая [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]].

== Основные определения ==
Пусть $ E $ — нормированное пространство над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$.

* '''Линейный функционал''' — это отображение $ f: E \to \mathbb{F} $ (где $ \mathbb{F} $ — поле скаляров), удовлетворяющее условиям линейности:
\[
f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \quad \forall x, y \in E, \; \forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}.
\]

* '''Непрерывный (ограниченный) линейный функционал''' — линейный функционал, непрерывный относительно топологии, порождённой нормой в $ E $. Для линейного функционала непрерывность эквивалентна ограниченности: существованию такой константы $ C > 0 $, что $ |f(x)| \leq C \|x\|_E $ для всех $ x \in E $. Наименьшая из таких констант называется '''нормой функционала''':
\[
\|f\|_{E^*} = \sup_{\|x\| = 1} |f(x)|.
\]

* '''Сопряжённое пространство''' $ E^* $ -- множество всех непрерывных линейных функционалов на $ E $. Это множество само образует '''нормированное пространство''' относительно поточечного сложения функционалов, умножения на скаляр и нормы, определённой выше.

Если $ E $ — конечномерное пространство без дополнительной топологической структуры, то всякий линейный функционал на нём автоматически непрерывен. В этом случае пространство всех линейных функционалов (алгебраическое сопряжённое) совпадает с $ E^* $. В бесконечномерном случае это не так.

== Топологии в сопряжённом пространстве ==
На сопряжённом пространстве $ E^* $ можно ввести различные топологии.

== Конечномерный случай и двойственный базис ==
В конечномерном пространстве $ E $ размерности $ n $ сопряжённое пространство $ E^* $ имеет ту же размерность $ n $ и изоморфно $ E $ (хотя изоморфизм, вообще говоря, не канонический).

Пусть $ \{e_1, \ldots, e_n\} $ — базис в $ E $. Тогда '''сопряжённый (двойственный) базис''' $ \{e^1, \ldots, e^n\} $ в пространстве $ E^* $ определяется условиями:
\[
e^i(e_j) = \delta^i_j = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \neq j. \end{cases}
\]
Любой функционал $ f \in E^* $ однозначно раскладывается по этому базису: $ f = \sum_{i=1}^n f(e_i) e^i $.

'''Пример''': В пространстве $ \mathbb{R}^2 $ рассмотрим базис $ e_1 = (1/2, 1/2), e_2 = (0, 1) $. Сопряжённый базис $ \{e^1, e^2\} $ в $ (\mathbb{R}^2)^* $ состоит из функционалов, заданных как $ e^1(x, y) = 2x $ и $ e^2(x, y) = -x + y $, поскольку $ e^1(e_1)=1, e^1(e_2)=0, e^2(e_1)=0, e^2(e_2)=1 $.

== Бесконечномерные пространства и примеры ==
В бесконечномерном случае структура сопряжённого пространства сложнее и является важной характеристикой самого пространства.

* '''Пространство $ L_p $.''' Пусть $ (X, \mu) $ — пространство с мерой, $ 1 < p < \infty $. Сопряжённым к пространству $ L_p(X, \mu) $ (функций, интегрируемых в степени $ p $) является пространство $ L_q(X, \mu) $, где $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ (такие числа называются сопряжёнными показателями). Изоморфизм устанавливается следующим образом: каждому элементу $ g \in L_q $ ставится в соответствие функционал $ \ell_g \in (L_p)^* $, действующий по формуле:
\[
\ell_g(f) = \int_X f(x) g(x) d\mu(x).
\]
Неравенство Гёльдера гарантирует, что этот функционал корректен и ограничен. Этот результат остаётся верным и для последовательностей: $ (\ell_p)^* \cong \ell_q $.

* '''Пространство $ C[a, b] $.''' Сопряжённым к пространству непрерывных функций на отрезке с супремум-нормой является пространство '''знакопеременных мер Радона ограниченной вариации''' на $ [a, b] $ (теорема Рисса — Маркова).

* '''Пространство $ L_1 $.''' Сопряжённое к $ L_1(X, \mu) $ изоморфно $ L_\infty(X, \mu) $ (пространству существенно ограниченных функций), если мера $ \mu $ является \sigma-конечной.

* '''Гильбертово пространство $ L_2 $.''' Частный случай пространств $ L_p $ при $ p=2 $. Поскольку для $ p=2 $ сопряжённый показатель $ q $ также равен 2, получаем $ (L_2)^* \cong L_2 $. Это проявление общего факта: '''всякое гильбертово пространство самосопряжено''' (см. ниже).

== Гильбертовы пространства и теорема Рисса ==
Для [[Гильбертово пространство|гильбертовых пространств]] $ H $ структура сопряжённого пространства описывается '''теоремой Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве'''.

'''Теорема Рисса.''' 
Для всякого непрерывного линейного функционала $ f \in H^* $ в гильбертовом пространстве $ H $ существует единственный элемент $ y_f \in H $ такой, что функционал представляется в виде скалярного произведения:
\[
f(x) = (x, y_f) \quad \forall x \in H.
\]
При этом $ \|f\|_{H^*} = \|y_f\|_H $.

Эта теорема устанавливает не только изоморфизм между $ H^* $ и $ H $, но и '''изометрический изоморфизм''', сохраняющий норму. Однако важно отметить, что этот изоморфизм является '''антилинейным''' в случае комплексного поля: если $ f \mapsto y_f $ и $ g \mapsto y_g $, то $ (\alpha f + \beta g) \mapsto \overline{\alpha} y_f + \overline{\beta} y_g $.

Таким образом, гильбертово пространство можно отождествить со своим сопряжённым, что упрощает многие рассуждения. В частности, в гильбертовом пространстве понятие '''самосопряжённого оператора''' ($ A = A^* $) становится естественным обобщением симметричной матрицы из конечномерной линейной алгебры.

== Второе сопряжённое пространство и рефлексивность ==
Поскольку $ E^* $ само является нормированным пространством, можно рассмотреть сопряжённое к нему — '''второе сопряжённое пространство''' $ E^{**} = (E^*)^* $.

Для любого элемента $ x \in E $ можно канонически построить функционал $ F_x \in E^{**} $, действующий на элементы $ f \in E^* $ по правилу:
\[
F_x(f) = f(x).
\]
Отображение $ \mathcal{J}: E \to E^{**}, \; \mathcal{J}(x) = F_x $ называется '''каноническим вложением'''. Оно является линейным изометрическим вложением, то есть $ \|\mathcal{J}(x)\|_{E^{**}} = \|x\|_E $.

* '''Рефлексивное пространство''' — это пространство, для которого каноническое вложение $ \mathcal{J} $ является сюръективным, то есть $ \mathcal{J}(E) = E^{**} $. В этом случае пространство можно отождествить со своим вторым сопряжённым.

Примеры рефлексивных пространств:
* Все конечномерные нормированные пространства рефлексивны.
* Все гильбертовы пространства рефлексивны.
* Пространства $ L_p $ (и $ \ell_p $) рефлексивны при $ 1 < p < \infty $.

Примеры нерефлексивных пространств:
* Пространства $ L_1, L_\infty, C[a,b] $ не являются рефлексивными.

Рефлексивность — важное свойство, гарантирующее, например, что из любой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу того же пространства (теорема Эберлейна-Шмульяна).

== Список источников ==
# Колмогоров А. Н., Фомин С. В. / Элементы теории функций и функционального анализа — любое издание.
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. / [https://www.youtube.com/playlist?list=PLhe7c-LCgl4JMbhdJC7ht47UFtUShM-hE Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024].

Сопряжённые пространства

2025-12-18T16:03:55Z

Andy24:

== Определение ==
Множество всех непрерывных линейных функционалов, определённых на Топологическое векторное пространство|топологическом векторном пространстве <math>E</math>, также образует векторное пространство. Это пространство называется ''сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^*</math>.

== Примеры ==

== Теорема Рисса ==

== Список литературы ==
# Колмогоров, Фомин / «Элементы теории функций и функционального анализа»
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. / Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024.

Сопряжённые пространства

2025-12-18T15:50:51Z

Andy24:

== Сопряженные пространства 1 ==

== Сопряженные пространства 2 ==

== Список литературы ==
# Колмогоров, Фомин / «Элементы теории функций и функционального анализа»
# Точилин П. А., Ашабоков А. Н. / Семинарские занятия по курсу «Функциональный анализ», 2024.

Сопряжённые пространства

2025-12-18T15:45:16Z

Andy24: Новая страница: «Здесь будет статья «Сопряженные пространства»»

Здесь будет статья «Сопряженные пространства»

Модель взаимодействия видов Гаузе. Принцип Гаузе

2024-12-20T20:52:38Z

Andy24: /* Модель взаимодействия видов Гаузе */

==Модель взаимодействия видов Гаузе==

Рассмотрим межпопуляционное отношение конкуренции между двумя видами. Предполагается, что оба вида являются [https://ru.wikipedia.org/wiki/Автотрофы автотрофами], т. е. способны размножаться независимо друг от друга. В [[Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры|модели Лотки—Вольтерры]] такой способностью обладали лишь жертвы, а способность к размножению хищников была связана с наличием жертв. Полагаем, что в изоляции динамика популяции обоих видов подчиняется логистическому уравнению (в биологических терминах — в популяциях существует внутривидовая конкуренция), а взаимно отрицательное влияние пропорционально численности видов. Математической моделью описанной ситуации является следующая система:
\begin{equation}\label{eqn:initial_system}
\begin{cases}
\dot{N_1} = r_1 N_1 \left ( 1 - \dfrac{N_1}{K_1} \right ) - a N_1 N_2, \\
\dot{N_2} = r_2 N_2 \left ( 1 - \dfrac{N_2}{K_2} \right ) - b N_1 N_2.
\end{cases}
\end{equation}
Здесь $$N_1$$ и $$N_2$$ — текущие численности видов, а $$K_1$$ и $$K_2$$ — их предельные численности.

В безразмерных переменных система принимает вид
\begin{equation}\label{eqn:main_system}
\begin{cases}
\dot{u} = u(1 - v - \alpha u), \\
\dot{v} = v(\gamma - u - \beta v).
\end{cases}
\end{equation}

В области $$\mathbb{R}^2_+$$ всегда существуют положения равновесия
\begin{equation}
A_1 = (0, \, 0), \ A_2 = (\alpha^{-1}, \, 0), \ A_3 = (0, \gamma \beta^{-1}).
\end{equation}
Кроме того, если $$\alpha \beta > 1$$, $$\alpha \gamma > 1$$, $$\beta > \gamma$$ или $$\alpha \beta < 1$$, $$\alpha \gamma < 1$$, $$\beta < \gamma$$, то в $$\mathbb{R}^2_+$$ существует положение равновесия
\begin{equation}
A_4 = (u^*, \, v^*) = ((\beta - \gamma)(\alpha \beta - 1)^{-1}, \, (\alpha \gamma - 1)(\alpha \beta - 1)^{-1}).
\end{equation}
Матрица Якоби системы \eqref{eqn:main_system} имеет вид
\begin{equation}
J(u, \, v) =
\begin{bmatrix}
1 - 2 \alpha u - v & -u \\
-v & \gamma - u - 2 \beta v
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Положение равновесия $$A_1$$ — неустойчивый узел (собственные числа равны $$1$$ и $$\gamma$$); $$A_2$$ — седло, если $$\beta > \gamma$$ и устойчивый узел, если $$\beta < \gamma$$. Если $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$, то
\begin{equation}
\tr J(u^*, \, v^*) = -(\alpha u^* + \beta v^*) < 0, \\
\det J(u^*, \, v^*) = (\alpha \beta - 1) u^* v^*.
\end{equation}

== Анализ параметрического портрета ==

[[Файл:Gauze img1.png|мини|справа|Рис. 1. Параметрический портрет системы \eqref{eqn:main_system}]]

Удобно изобразить линии, на которых происходит смена устойчивости положений равновесия, на параметрическом портрете (рис. 1). В областях ''II'' и ''III'' фазовые портреты топологически эквивалентны, все траектории стремятся к асимптотически устойчивому положению равновесия $$A_3$$ (рис. b). Ситуация аналогична для областей ''V'' и ''VI'' с тем отличием, что орбиты системы \eqref{eqn:main_system} стремятся к $$A_2$$. Оба этих случая характеризуются доминированием одного из конкурирующих видов и неизбежным вымиранием второго.

В области ''I'' реализуется бистабильная ситуация (рис. a). Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ неустойчиво (седловая точка), а $$A_2$$ и $$A_3$$ — устойчивые узлы. В зависимости от начальных условий может доминировать как первый вид, так и второй. Во всех указанных выше случаях один из видов в процессе эволюции вымирает. Ситуация становится принципиально иной в области ''IV''. Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ в этой области асимптотически устойчиво (устойчивый узел), остальные положения равновесия неустойчивы (рис. c).

<gallery class="center" mode="packed" heights="230px" caption="Топологически не эквивалентные портреты системы \eqref{eqn:main_system}">
Gauze common.png
</gallery>

Как показывает рис. 1, из шести областей значений параметров модели \eqref{eqn:main_system} только в одной происходит сосуществование конкурирующих видов. Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что данная ситуация оказывается общей — практически всегда один из конкурирующих видов подавляет другой. Одним из первых математически точно сформулировал этот принцип (закон конкурентного исключения) [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гаузе,_Георгий_Францевич Георгий Францевич Гаузе] в своей работе «Борьба за существование».

==Принцип Гаузе==

Согласно принципу Гаузе, два вида, занимающие одну экологическую нишу, не могут устойчиво сосуществовать друг с другом. Докажем закон Гаузе как математиское утверждение в рамках предложенной математической модели.

'''Утверждение.''' Если $$n$$ полуляций линейно зависят от $$m$$ ресурсов, причем $$m < n$$, то по крайней мере одна из популяций вымирает.

'''Доказательство.'''
Предположение о линейной зависимости от ресурсов критично для приведенного утверждения. Оно означает, что коэффициент скорости роста i-й популяции имеет вид
\begin{equation}\label{eqn:linear_system}
\dfrac{\dot{u_i}}{u_i} = b_{i1} R_1 + \dots + b_{im} R_m - \alpha_i, \ i = 1, \, \dots, \, n.
\end{equation}
Постоянные $$\alpha_i$$ показывают скорость вымирания в отсутствие ресурсов. $$R_k$$ — это изобилие k-го ресурса, а коэффициенты $$b_{ik}$$ описывают эффективность i-го вида использовании k-го ресурса. Изобилие k-го ресурса зависит от плотностей популяций. Если эта зависимость линейна, то в качестве выражений для $$R_k$$ можно взять
\begin{equation}
R_k = \overline{R_k} - \sum{u_i a_{ki}}
\end{equation}
с положительными постоянными $$\overline{R_k}$$ и $$a_{ki}$$. Для доказательства утверждения положим, что ресурсы могут быть исчерпаны. Другими словами, плотности $$u_i$$ не могут расти до бесконечности.

Так как $$n > m$$, система уравнений
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n{c_i b_{ij}} = 0, \ j = 1, \, \dots, \, m
\end{equation}
имеет нетривиальное решение $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$. Пусть
\begin{equation}
\alpha = \sum_{i = 1}^n{c_i \alpha_i} \neq 0
\end{equation}
(этого всегда можно добиться, если $$n > m + 1$$).

Рассмотрим общий случай $$\alpha > 0$$. Так как наряду с решением $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$ пригодно решение $$(-c_1, \, \dots, \, -c_n)$$, мы можем считать, что $$\alpha > 0$$. Из \eqref{eqn:linear_system} получим
\begin{equation}
\sum{c_i \dfrac{d}{dt}(\ln u_i)} = \sum{c_i \dfrac{\dot{u_i}}{u_i}} = -\alpha.
\end{equation}

Интегрируя от $$0$$ до $$T$$, получим
\begin{equation}
\prod_{i = 1}^n{(u_i(T))^{c_i}} = C e^{-\alpha T}
\end{equation}
для некоторой постоянной $$C$$. Если $$T \to \infty$$, правая часть последнего выражения сходится к нулю. Так как все $$u_i$$ ограничены, должен существовать по крайней мере один индекс $$i$$ такой, что $$\lim \inf_{T \to \infty} u_i(T) = 0$$, что и означает вымирание соответствующего вида.

== Применимость к биологическим моделям ==
Слово «закон» в применении к экологическим системам не должно трактоваться в точном математическом смысле. Хотя закон конкурентного исключения в настоящее время является общепринятым, все же существуют ситуации, когда его необходимо корректировать. Например, в верхних слоях водной толщи нередко сосуществуют несколько десятков видов планктонных водорослей, а число факторов, ограничивающих рост их популяций, очень невелико, что противоречит закону Гаузе. Объяснение этого феномена было предложено Хатчинсоном ([https://en.wikipedia.org/wiki/G._Evelyn_Hutchinson George Evelyn Hutchinson], 1903–1991, американский зоолог и иммунолог, известный также многочисленными применениями математических моделей в биологии), который предположил, что планктонное сообщество находится в неравновесном состоянии: одни виды не вытесняют другие окончательно, так как постоянно меняются внешние условия, а в новых условиях преимущество получают совсем другие виды.

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. «Лекции по динамическим системам и биоматематике», 2024.
# Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. «Динамические системы и модели биологии», 2011.

Модель взаимодействия видов Гаузе. Принцип Гаузе

2024-12-20T20:51:59Z

Andy24: /* Модель взаимодействия видов Гаузе */

==Модель взаимодействия видов Гаузе==

Рассмотрим межпопуляционное отношение конкуренции между двумя видами. Предполагается, что оба вида являются [https://ru.wikipedia.org/wiki/Автотрофы автотрофами], т. е. способны размножаться независимо друг от друга. В [[Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры|модели Лотки—Вольтерры]] такой способностью обладали лишь жертвы, а способность к размножению хищников была связана с наличием жертв. Полагаем, что в изоляции динамика популяции обоих видов подчиняется логистическому уравнению (в биологических терминах — в популяциях существует внутривидовая конкуренция), а взаимно отрицательное влияние пропорционально численности видов. Математической моделью описанной ситуации является следующая система:
\begin{equation}\label{eqn:initial_system}
\dot{N_1} = r_1 N_1 \left ( 1 - \dfrac{N_1}{K_1} \right ) - a N_1 N_2, \\
\dot{N_2} = r_2 N_2 \left ( 1 - \dfrac{N_2}{K_2} \right ) - b N_1 N_2.
\end{equation}
Здесь $$N_1$$ и $$N_2$$ — текущие численности видов, а $$K_1$$ и $$K_2$$ — их предельные численности.

В безразмерных переменных система принимает вид
\begin{equation}\label{eqn:main_system}
\begin{cases}
\dot{u} = u(1 - v - \alpha u), \\
\dot{v} = v(\gamma - u - \beta v).
\end{cases}
\end{equation}

В области $$\mathbb{R}^2_+$$ всегда существуют положения равновесия
\begin{equation}
A_1 = (0, \, 0), \ A_2 = (\alpha^{-1}, \, 0), \ A_3 = (0, \gamma \beta^{-1}).
\end{equation}
Кроме того, если $$\alpha \beta > 1$$, $$\alpha \gamma > 1$$, $$\beta > \gamma$$ или $$\alpha \beta < 1$$, $$\alpha \gamma < 1$$, $$\beta < \gamma$$, то в $$\mathbb{R}^2_+$$ существует положение равновесия
\begin{equation}
A_4 = (u^*, \, v^*) = ((\beta - \gamma)(\alpha \beta - 1)^{-1}, \, (\alpha \gamma - 1)(\alpha \beta - 1)^{-1}).
\end{equation}
Матрица Якоби системы \eqref{eqn:main_system} имеет вид
\begin{equation}
J(u, \, v) =
\begin{bmatrix}
1 - 2 \alpha u - v & -u \\
-v & \gamma - u - 2 \beta v
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Положение равновесия $$A_1$$ — неустойчивый узел (собственные числа равны $$1$$ и $$\gamma$$); $$A_2$$ — седло, если $$\beta > \gamma$$ и устойчивый узел, если $$\beta < \gamma$$. Если $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$, то
\begin{equation}
\tr J(u^*, \, v^*) = -(\alpha u^* + \beta v^*) < 0, \\
\det J(u^*, \, v^*) = (\alpha \beta - 1) u^* v^*.
\end{equation}

== Анализ параметрического портрета ==

[[Файл:Gauze img1.png|мини|справа|Рис. 1. Параметрический портрет системы \eqref{eqn:main_system}]]

Удобно изобразить линии, на которых происходит смена устойчивости положений равновесия, на параметрическом портрете (рис. 1). В областях ''II'' и ''III'' фазовые портреты топологически эквивалентны, все траектории стремятся к асимптотически устойчивому положению равновесия $$A_3$$ (рис. b). Ситуация аналогична для областей ''V'' и ''VI'' с тем отличием, что орбиты системы \eqref{eqn:main_system} стремятся к $$A_2$$. Оба этих случая характеризуются доминированием одного из конкурирующих видов и неизбежным вымиранием второго.

В области ''I'' реализуется бистабильная ситуация (рис. a). Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ неустойчиво (седловая точка), а $$A_2$$ и $$A_3$$ — устойчивые узлы. В зависимости от начальных условий может доминировать как первый вид, так и второй. Во всех указанных выше случаях один из видов в процессе эволюции вымирает. Ситуация становится принципиально иной в области ''IV''. Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ в этой области асимптотически устойчиво (устойчивый узел), остальные положения равновесия неустойчивы (рис. c).

<gallery class="center" mode="packed" heights="230px" caption="Топологически не эквивалентные портреты системы \eqref{eqn:main_system}">
Gauze common.png
</gallery>

Как показывает рис. 1, из шести областей значений параметров модели \eqref{eqn:main_system} только в одной происходит сосуществование конкурирующих видов. Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что данная ситуация оказывается общей — практически всегда один из конкурирующих видов подавляет другой. Одним из первых математически точно сформулировал этот принцип (закон конкурентного исключения) [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гаузе,_Георгий_Францевич Георгий Францевич Гаузе] в своей работе «Борьба за существование».

==Принцип Гаузе==

Согласно принципу Гаузе, два вида, занимающие одну экологическую нишу, не могут устойчиво сосуществовать друг с другом. Докажем закон Гаузе как математиское утверждение в рамках предложенной математической модели.

'''Утверждение.''' Если $$n$$ полуляций линейно зависят от $$m$$ ресурсов, причем $$m < n$$, то по крайней мере одна из популяций вымирает.

'''Доказательство.'''
Предположение о линейной зависимости от ресурсов критично для приведенного утверждения. Оно означает, что коэффициент скорости роста i-й популяции имеет вид
\begin{equation}\label{eqn:linear_system}
\dfrac{\dot{u_i}}{u_i} = b_{i1} R_1 + \dots + b_{im} R_m - \alpha_i, \ i = 1, \, \dots, \, n.
\end{equation}
Постоянные $$\alpha_i$$ показывают скорость вымирания в отсутствие ресурсов. $$R_k$$ — это изобилие k-го ресурса, а коэффициенты $$b_{ik}$$ описывают эффективность i-го вида использовании k-го ресурса. Изобилие k-го ресурса зависит от плотностей популяций. Если эта зависимость линейна, то в качестве выражений для $$R_k$$ можно взять
\begin{equation}
R_k = \overline{R_k} - \sum{u_i a_{ki}}
\end{equation}
с положительными постоянными $$\overline{R_k}$$ и $$a_{ki}$$. Для доказательства утверждения положим, что ресурсы могут быть исчерпаны. Другими словами, плотности $$u_i$$ не могут расти до бесконечности.

Так как $$n > m$$, система уравнений
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n{c_i b_{ij}} = 0, \ j = 1, \, \dots, \, m
\end{equation}
имеет нетривиальное решение $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$. Пусть
\begin{equation}
\alpha = \sum_{i = 1}^n{c_i \alpha_i} \neq 0
\end{equation}
(этого всегда можно добиться, если $$n > m + 1$$).

Рассмотрим общий случай $$\alpha > 0$$. Так как наряду с решением $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$ пригодно решение $$(-c_1, \, \dots, \, -c_n)$$, мы можем считать, что $$\alpha > 0$$. Из \eqref{eqn:linear_system} получим
\begin{equation}
\sum{c_i \dfrac{d}{dt}(\ln u_i)} = \sum{c_i \dfrac{\dot{u_i}}{u_i}} = -\alpha.
\end{equation}

Интегрируя от $$0$$ до $$T$$, получим
\begin{equation}
\prod_{i = 1}^n{(u_i(T))^{c_i}} = C e^{-\alpha T}
\end{equation}
для некоторой постоянной $$C$$. Если $$T \to \infty$$, правая часть последнего выражения сходится к нулю. Так как все $$u_i$$ ограничены, должен существовать по крайней мере один индекс $$i$$ такой, что $$\lim \inf_{T \to \infty} u_i(T) = 0$$, что и означает вымирание соответствующего вида.

== Применимость к биологическим моделям ==
Слово «закон» в применении к экологическим системам не должно трактоваться в точном математическом смысле. Хотя закон конкурентного исключения в настоящее время является общепринятым, все же существуют ситуации, когда его необходимо корректировать. Например, в верхних слоях водной толщи нередко сосуществуют несколько десятков видов планктонных водорослей, а число факторов, ограничивающих рост их популяций, очень невелико, что противоречит закону Гаузе. Объяснение этого феномена было предложено Хатчинсоном ([https://en.wikipedia.org/wiki/G._Evelyn_Hutchinson George Evelyn Hutchinson], 1903–1991, американский зоолог и иммунолог, известный также многочисленными применениями математических моделей в биологии), который предположил, что планктонное сообщество находится в неравновесном состоянии: одни виды не вытесняют другие окончательно, так как постоянно меняются внешние условия, а в новых условиях преимущество получают совсем другие виды.

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. «Лекции по динамическим системам и биоматематике», 2024.
# Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. «Динамические системы и модели биологии», 2011.

Модель взаимодействия видов Гаузе. Принцип Гаузе

2024-12-20T20:49:17Z

Andy24: /* Анализ параметрического портрета */

==Модель взаимодействия видов Гаузе==

Рассмотрим межпопуляционное отношение конкуренции между двумя видами. Предполагается, что оба вида являются [https://ru.wikipedia.org/wiki/Автотрофы автотрофами], т. е. способны размножаться независимо друг от друга. В [[Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры|модели Лотки—Вольтерры]] такой способностью обладали лишь жертвы, а способность к размножению хищников была связана с наличием жертв. Полагаем, что в изоляции динамика популяции обоих видов подчиняется логистическому уравнению (в биологических терминах — в популяциях существует внутривидовая конкуренция), а взаимно отрицательное влияние пропорционально численности видов. Математической моделью описанной ситуации является следующая система:
\begin{equation}\label{eqn:initial_system}
\dot{N_1} = r_1 N_1 \left ( 1 - \dfrac{N_1}{K_1} \right ) - a N_1 N_2, \\
\dot{N_2} = r_2 N_2 \left ( 1 - \dfrac{N_2}{K_2} \right ) - b N_1 N_2.
\end{equation}
Здесь $$N_1$$ и $$N_2$$ — текущие численности видов, а $$K_1$$ и $$K_2$$ — их предельные численности.

В безразмерных переменных система принимает вид
\begin{equation}\label{eqn:main_system}
\dot{u} = u(1 - v - \alpha u), \\
\dot{v} = v(\gamma - u - \beta v).
\end{equation}

В области $$\mathbb{R}^2_+$$ всегда существуют положения равновесия
\begin{equation}
A_1 = (0, \, 0), \ A_2 = (\alpha^{-1}, \, 0), \ A_3 = (0, \gamma \beta^{-1}).
\end{equation}
Кроме того, если $$\alpha \beta > 1$$, $$\alpha \gamma > 1$$, $$\beta > \gamma$$ или $$\alpha \beta < 1$$, $$\alpha \gamma < 1$$, $$\beta < \gamma$$, то в $$\mathbb{R}^2_+$$ существует положение равновесия
\begin{equation}
A_4 = (u^*, \, v^*) = ((\beta - \gamma)(\alpha \beta - 1)^{-1}, \, (\alpha \gamma - 1)(\alpha \beta - 1)^{-1}).
\end{equation}
Матрица Якоби системы \eqref{eqn:main_system} имеет вид
\begin{equation}
J(u, \, v) =
\begin{bmatrix}
1 - 2 \alpha u - v & -u \\
-v & \gamma - u - 2 \beta v
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Положение равновесия $$A_1$$ — неустойчивый узел (собственные числа равны $$1$$ и $$\gamma$$); $$A_2$$ — седло, если $$\beta > \gamma$$ и устойчивый узел, если $$\beta < \gamma$$. Если $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$, то
\begin{equation}
\tr J(u^*, \, v^*) = -(\alpha u^* + \beta v^*) < 0, \\
\det J(u^*, \, v^*) = (\alpha \beta - 1) u^* v^*.
\end{equation}

== Анализ параметрического портрета ==

[[Файл:Gauze img1.png|мини|справа|Рис. 1. Параметрический портрет системы \eqref{eqn:main_system}]]

Удобно изобразить линии, на которых происходит смена устойчивости положений равновесия, на параметрическом портрете (рис. 1). В областях ''II'' и ''III'' фазовые портреты топологически эквивалентны, все траектории стремятся к асимптотически устойчивому положению равновесия $$A_3$$ (рис. b). Ситуация аналогична для областей ''V'' и ''VI'' с тем отличием, что орбиты системы \eqref{eqn:main_system} стремятся к $$A_2$$. Оба этих случая характеризуются доминированием одного из конкурирующих видов и неизбежным вымиранием второго.

В области ''I'' реализуется бистабильная ситуация (рис. a). Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ неустойчиво (седловая точка), а $$A_2$$ и $$A_3$$ — устойчивые узлы. В зависимости от начальных условий может доминировать как первый вид, так и второй. Во всех указанных выше случаях один из видов в процессе эволюции вымирает. Ситуация становится принципиально иной в области ''IV''. Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ в этой области асимптотически устойчиво (устойчивый узел), остальные положения равновесия неустойчивы (рис. c).

<gallery class="center" mode="packed" heights="230px" caption="Топологически не эквивалентные портреты системы \eqref{eqn:main_system}">
Gauze common.png
</gallery>

Как показывает рис. 1, из шести областей значений параметров модели \eqref{eqn:main_system} только в одной происходит сосуществование конкурирующих видов. Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что данная ситуация оказывается общей — практически всегда один из конкурирующих видов подавляет другой. Одним из первых математически точно сформулировал этот принцип (закон конкурентного исключения) [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гаузе,_Георгий_Францевич Георгий Францевич Гаузе] в своей работе «Борьба за существование».

==Принцип Гаузе==

Согласно принципу Гаузе, два вида, занимающие одну экологическую нишу, не могут устойчиво сосуществовать друг с другом. Докажем закон Гаузе как математиское утверждение в рамках предложенной математической модели.

'''Утверждение.''' Если $$n$$ полуляций линейно зависят от $$m$$ ресурсов, причем $$m < n$$, то по крайней мере одна из популяций вымирает.

'''Доказательство.'''
Предположение о линейной зависимости от ресурсов критично для приведенного утверждения. Оно означает, что коэффициент скорости роста i-й популяции имеет вид
\begin{equation}\label{eqn:linear_system}
\dfrac{\dot{u_i}}{u_i} = b_{i1} R_1 + \dots + b_{im} R_m - \alpha_i, \ i = 1, \, \dots, \, n.
\end{equation}
Постоянные $$\alpha_i$$ показывают скорость вымирания в отсутствие ресурсов. $$R_k$$ — это изобилие k-го ресурса, а коэффициенты $$b_{ik}$$ описывают эффективность i-го вида использовании k-го ресурса. Изобилие k-го ресурса зависит от плотностей популяций. Если эта зависимость линейна, то в качестве выражений для $$R_k$$ можно взять
\begin{equation}
R_k = \overline{R_k} - \sum{u_i a_{ki}}
\end{equation}
с положительными постоянными $$\overline{R_k}$$ и $$a_{ki}$$. Для доказательства утверждения положим, что ресурсы могут быть исчерпаны. Другими словами, плотности $$u_i$$ не могут расти до бесконечности.

Так как $$n > m$$, система уравнений
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n{c_i b_{ij}} = 0, \ j = 1, \, \dots, \, m
\end{equation}
имеет нетривиальное решение $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$. Пусть
\begin{equation}
\alpha = \sum_{i = 1}^n{c_i \alpha_i} \neq 0
\end{equation}
(этого всегда можно добиться, если $$n > m + 1$$).

Рассмотрим общий случай $$\alpha > 0$$. Так как наряду с решением $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$ пригодно решение $$(-c_1, \, \dots, \, -c_n)$$, мы можем считать, что $$\alpha > 0$$. Из \eqref{eqn:linear_system} получим
\begin{equation}
\sum{c_i \dfrac{d}{dt}(\ln u_i)} = \sum{c_i \dfrac{\dot{u_i}}{u_i}} = -\alpha.
\end{equation}

Интегрируя от $$0$$ до $$T$$, получим
\begin{equation}
\prod_{i = 1}^n{(u_i(T))^{c_i}} = C e^{-\alpha T}
\end{equation}
для некоторой постоянной $$C$$. Если $$T \to \infty$$, правая часть последнего выражения сходится к нулю. Так как все $$u_i$$ ограничены, должен существовать по крайней мере один индекс $$i$$ такой, что $$\lim \inf_{T \to \infty} u_i(T) = 0$$, что и означает вымирание соответствующего вида.

== Применимость к биологическим моделям ==
Слово «закон» в применении к экологическим системам не должно трактоваться в точном математическом смысле. Хотя закон конкурентного исключения в настоящее время является общепринятым, все же существуют ситуации, когда его необходимо корректировать. Например, в верхних слоях водной толщи нередко сосуществуют несколько десятков видов планктонных водорослей, а число факторов, ограничивающих рост их популяций, очень невелико, что противоречит закону Гаузе. Объяснение этого феномена было предложено Хатчинсоном ([https://en.wikipedia.org/wiki/G._Evelyn_Hutchinson George Evelyn Hutchinson], 1903–1991, американский зоолог и иммунолог, известный также многочисленными применениями математических моделей в биологии), который предположил, что планктонное сообщество находится в неравновесном состоянии: одни виды не вытесняют другие окончательно, так как постоянно меняются внешние условия, а в новых условиях преимущество получают совсем другие виды.

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. «Лекции по динамическим системам и биоматематике», 2024.
# Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. «Динамические системы и модели биологии», 2011.

Модель взаимодействия видов Гаузе. Принцип Гаузе

2024-12-20T20:37:22Z

Andy24:

==Модель взаимодействия видов Гаузе==

Рассмотрим межпопуляционное отношение конкуренции между двумя видами. Предполагается, что оба вида являются [https://ru.wikipedia.org/wiki/Автотрофы автотрофами], т. е. способны размножаться независимо друг от друга. В [[Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры|модели Лотки—Вольтерры]] такой способностью обладали лишь жертвы, а способность к размножению хищников была связана с наличием жертв. Полагаем, что в изоляции динамика популяции обоих видов подчиняется логистическому уравнению (в биологических терминах — в популяциях существует внутривидовая конкуренция), а взаимно отрицательное влияние пропорционально численности видов. Математической моделью описанной ситуации является следующая система:
\begin{equation}\label{eqn:initial_system}
\dot{N_1} = r_1 N_1 \left ( 1 - \dfrac{N_1}{K_1} \right ) - a N_1 N_2, \\
\dot{N_2} = r_2 N_2 \left ( 1 - \dfrac{N_2}{K_2} \right ) - b N_1 N_2.
\end{equation}
Здесь $$N_1$$ и $$N_2$$ — текущие численности видов, а $$K_1$$ и $$K_2$$ — их предельные численности.

В безразмерных переменных система принимает вид
\begin{equation}\label{eqn:main_system}
\dot{u} = u(1 - v - \alpha u), \\
\dot{v} = v(\gamma - u - \beta v).
\end{equation}

В области $$\mathbb{R}^2_+$$ всегда существуют положения равновесия
\begin{equation}
A_1 = (0, \, 0), \ A_2 = (\alpha^{-1}, \, 0), \ A_3 = (0, \gamma \beta^{-1}).
\end{equation}
Кроме того, если $$\alpha \beta > 1$$, $$\alpha \gamma > 1$$, $$\beta > \gamma$$ или $$\alpha \beta < 1$$, $$\alpha \gamma < 1$$, $$\beta < \gamma$$, то в $$\mathbb{R}^2_+$$ существует положение равновесия
\begin{equation}
A_4 = (u^*, \, v^*) = ((\beta - \gamma)(\alpha \beta - 1)^{-1}, \, (\alpha \gamma - 1)(\alpha \beta - 1)^{-1}).
\end{equation}
Матрица Якоби системы \eqref{eqn:main_system} имеет вид
\begin{equation}
J(u, \, v) =
\begin{bmatrix}
1 - 2 \alpha u - v & -u \\
-v & \gamma - u - 2 \beta v
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Положение равновесия $$A_1$$ — неустойчивый узел (собственные числа равны $$1$$ и $$\gamma$$); $$A_2$$ — седло, если $$\beta > \gamma$$ и устойчивый узел, если $$\beta < \gamma$$. Если $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$, то
\begin{equation}
\tr J(u^*, \, v^*) = -(\alpha u^* + \beta v^*) < 0, \\
\det J(u^*, \, v^*) = (\alpha \beta - 1) u^* v^*.
\end{equation}

== Анализ параметрического портрета ==

[[Файл:Gauze img1.png|мини|справа|Рис. 1. Параметрический портрет системы \eqref{eqn:main_system}]]

Удобно изобразить линии, на которых происходит смена устойчивости положений равновесия, на параметрическом портрете (рис. 1). В областях ''II'' и ''III'' фазовые портреты топологически эквивалентны, все траектории стремятся к асимптотически устойчивому положению равновесия $$A_3$$ (рис. b). Ситуация аналогична для областей ''V'' и ''VI'' с тем отличием, что орбиты системы \eqref{eqn:main_system} стремятся к $$A_2$$. Оба этих случая характеризуются доминированием одного из конкурирующих видов и неизбежным вымиранием второго.

В области ''I'' реализуется бистабильная ситуация (рис. a). Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ неустойчиво (седловая точка), а $$A_2$$ и $$A_3$$ — устойчивые узлы. В зависимости от начальных условий может доминировать как первый вид, так и второй. Во всех указанных выше случаях один из видов в процессе эволюции вымирает. Ситуация становится принципиально иной в области ''IV''. Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ в этой области асимптотически устойчиво (устойчивый узел), остальные положения равновесия неустойчивы (рис. c).

<gallery class="center" mode="packed" heights="230px">
Gauze common.png
</gallery>

Как показывает рис. 1, из шести областей значений параметров модели \eqref{eqn:main_system} только в одной происходит сосуществование конкурирующих видов. Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что данная ситуация оказывается общей — практически всегда один из конкурирующих видов подавляет другой. Одним из первых математически точно сформулировал этот принцип (закон конкурентного исключения) [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гаузе,_Георгий_Францевич Георгий Францевич Гаузе] в своей работе «Борьба за существование».

==Принцип Гаузе==

Согласно принципу Гаузе, два вида, занимающие одну экологическую нишу, не могут устойчиво сосуществовать друг с другом. Докажем закон Гаузе как математиское утверждение в рамках предложенной математической модели.

'''Утверждение.''' Если $$n$$ полуляций линейно зависят от $$m$$ ресурсов, причем $$m < n$$, то по крайней мере одна из популяций вымирает.

'''Доказательство.'''
Предположение о линейной зависимости от ресурсов критично для приведенного утверждения. Оно означает, что коэффициент скорости роста i-й популяции имеет вид
\begin{equation}\label{eqn:linear_system}
\dfrac{\dot{u_i}}{u_i} = b_{i1} R_1 + \dots + b_{im} R_m - \alpha_i, \ i = 1, \, \dots, \, n.
\end{equation}
Постоянные $$\alpha_i$$ показывают скорость вымирания в отсутствие ресурсов. $$R_k$$ — это изобилие k-го ресурса, а коэффициенты $$b_{ik}$$ описывают эффективность i-го вида использовании k-го ресурса. Изобилие k-го ресурса зависит от плотностей популяций. Если эта зависимость линейна, то в качестве выражений для $$R_k$$ можно взять
\begin{equation}
R_k = \overline{R_k} - \sum{u_i a_{ki}}
\end{equation}
с положительными постоянными $$\overline{R_k}$$ и $$a_{ki}$$. Для доказательства утверждения положим, что ресурсы могут быть исчерпаны. Другими словами, плотности $$u_i$$ не могут расти до бесконечности.

Так как $$n > m$$, система уравнений
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n{c_i b_{ij}} = 0, \ j = 1, \, \dots, \, m
\end{equation}
имеет нетривиальное решение $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$. Пусть
\begin{equation}
\alpha = \sum_{i = 1}^n{c_i \alpha_i} \neq 0
\end{equation}
(этого всегда можно добиться, если $$n > m + 1$$).

Рассмотрим общий случай $$\alpha > 0$$. Так как наряду с решением $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$ пригодно решение $$(-c_1, \, \dots, \, -c_n)$$, мы можем считать, что $$\alpha > 0$$. Из \eqref{eqn:linear_system} получим
\begin{equation}
\sum{c_i \dfrac{d}{dt}(\ln u_i)} = \sum{c_i \dfrac{\dot{u_i}}{u_i}} = -\alpha.
\end{equation}

Интегрируя от $$0$$ до $$T$$, получим
\begin{equation}
\prod_{i = 1}^n{(u_i(T))^{c_i}} = C e^{-\alpha T}
\end{equation}
для некоторой постоянной $$C$$. Если $$T \to \infty$$, правая часть последнего выражения сходится к нулю. Так как все $$u_i$$ ограничены, должен существовать по крайней мере один индекс $$i$$ такой, что $$\lim \inf_{T \to \infty} u_i(T) = 0$$, что и означает вымирание соответствующего вида.

== Применимость к биологическим моделям ==
Слово «закон» в применении к экологическим системам не должно трактоваться в точном математическом смысле. Хотя закон конкурентного исключения в настоящее время является общепринятым, все же существуют ситуации, когда его необходимо корректировать. Например, в верхних слоях водной толщи нередко сосуществуют несколько десятков видов планктонных водорослей, а число факторов, ограничивающих рост их популяций, очень невелико, что противоречит закону Гаузе. Объяснение этого феномена было предложено Хатчинсоном ([https://en.wikipedia.org/wiki/G._Evelyn_Hutchinson George Evelyn Hutchinson], 1903–1991, американский зоолог и иммунолог, известный также многочисленными применениями математических моделей в биологии), который предположил, что планктонное сообщество находится в неравновесном состоянии: одни виды не вытесняют другие окончательно, так как постоянно меняются внешние условия, а в новых условиях преимущество получают совсем другие виды.

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. «Лекции по динамическим системам и биоматематике», 2024.
# Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. «Динамические системы и модели биологии», 2011.

Модель взаимодействия видов Гаузе. Принцип Гаузе

2024-12-20T19:39:15Z

Andy24: /* Принцип Гаузе */

==Модель взаимодействия видов Гаузе==

Рассмотрим межпопуляционное отношение конкуренции между двумя видами. Предполагается, что оба вида являются [https://ru.wikipedia.org/wiki/Автотрофы автотрофами], т. е. способны размножаться независимо друг от друга. В [[Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры|модели Лотки—Вольтерры]] такой способностью обладали лишь жертвы, а способность к размножению хищников была связана с наличием жертв. Полагаем, что в изоляции динамика популяции обоих видов подчиняется логистическому уравнению (в биологических терминах — в популяциях существует внутривидовая конкуренция), а взаимно отрицательное влияние пропорционально численности видов. Математической моделью описанной ситуации является следующая система:
\begin{equation}\label{eqn:initial_system}
\dot{N_1} = r_1 N_1 \left ( 1 - \dfrac{N_1}{K_1} \right ) - a N_1 N_2, \\
\dot{N_2} = r_2 N_2 \left ( 1 - \dfrac{N_2}{K_2} \right ) - b N_1 N_2.
\end{equation}
Здесь $$N_1$$ и $$N_2$$ — текущие численности видов, а $$K_1$$ и $$K_2$$ — их предельные численности.

В безразмерных переменных система принимает вид
\begin{equation}\label{eqn:main_system}
\dot{u} = u(1 - v - \alpha u), \\
\dot{v} = v(\gamma - u - \beta v).
\end{equation}

В области $$\mathbb{R}^2_+$$ всегда существуют положения равновесия
\begin{equation}
A_1 = (0, \, 0), \ A_2 = (\alpha^{-1}, \, 0), \ A_3 = (0, \gamma \beta^{-1}).
\end{equation}
Кроме того, если $$\alpha \beta > 1$$, $$\alpha \gamma > 1$$, $$\beta > \gamma$$ или $$\alpha \beta < 1$$, $$\alpha \gamma < 1$$, $$\beta < \gamma$$, то в $$R^2_+$$ существует положение равновесия
\begin{equation}
A_4 = (u^*, \, v^*) = ((\beta - \gamma)(\alpha \beta - 1)^{-1}, \, (\alpha \gamma - 1)(\alpha \beta - 1)^{-1}).
\end{equation}
Матрица Якоби системы \eqref{eqn:main_system} имеет вид
\begin{equation}
J(u, \, v) =
\begin{bmatrix}
1 - 2 \alpha u - v & -u \\
-v & \gamma - u - 2 \beta v
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Положение равновесия $$A_1$$ — неустойчивый узел (собственные числа равны $$1$$ и $$\gamma$$); $$A_2$$ — седло, если $$\beta > \gamma$$ и устойчивый узел, если $$\beta < \gamma$$. Если $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$, то
\begin{equation}
\tr J(u^*, \, v^*) = -(\alpha u^* + \beta v^*) < 0, \\
\det J(u^*, \, v^*) = (\alpha \beta - 1) u^* v^*.
\end{equation}

== Анализ параметрического портрета ==

[[Файл:Gauze img1.png|мини|справа|Рис. 1. Параметрический портрет системы \eqref{eqn:main_system}]]

Удобно изобразить линии, на которых происходит смена устойчивости положений равновесия, на параметрическом портрете (рис. 1). В областях ''II'' и ''III'' фазовые портреты топологически эквивалентны, все траектории стремятся к асимптотически устойчивому положению равновесия $$A_3$$ (рис. b). Ситуация аналогична для областей ''V'' и ''VI'' с тем отличием, что орбиты системы \eqref{eqn:main_system} стремятся к $$A_2$$. Оба этих случая характеризуются доминированием одного из конкурирующих видов и неизбежным вымиранием второго.

В области ''I'' реализуется бистабильная ситуация (рис. a). Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ неустойчиво (седловая точка), а $$A_2$$ и $$A_3$$ — устойчивые узлы. В зависимости от начальных условий может доминировать как первый вид, так и второй. Во всех указанных выше случаях один из видов в процессе эволюции вымирает. Ситуация становится принципиально иной в области ''IV''. Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ в этой области асимптотически устойчиво (устойчивый узел), остальные положения равновесия неустойчивы (рис. c).

<gallery class="center" mode="packed" heights="230px">
Gauze common.png
</gallery>

Как показывает рис. 1, из шести областей значений параметров модели \eqref{eqn:main_system} только в одной происходит сосуществование конкурирующих видов. Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что данная ситуация оказывается общей — практически всегда один из конкурирующих видов подавляет другой. Одним из первых математически точно сформулировал этот принцип (закон конкурентного исключения) [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гаузе,_Георгий_Францевич Георгий Францевич Гаузе] в своей работе «Борьба за существование».

==Принцип Гаузе==

Согласно принципу Гаузе, два вида, занимающие одну экологическую нишу, не могут устойчиво сосуществовать друг с другом. Докажем закон Гаузе как математиское утверждение в рамках предложенной математической модели.

'''Утверждение.''' Если $$n$$ полуляций линейно зависят от $$m$$ ресурсов, причем $$m < n$$, то по крайней мере одна из популяций вымирает.

'''Доказательство.'''
Предположение о линейной зависимости от ресурсов критично для приведенного утверждения. Оно означает, что коэффициент скорости роста i-й популяции имеет вид
\begin{equation}\label{eqn:linear_system}
\dfrac{\dot{u_i}}{u_i} = b_{i1} R_1 + \dots + b_{im} R_m - \alpha_i, \ i = 1, \, \dots, \, n.
\end{equation}
Постоянные $$\alpha_i$$ показывают скорость вымирания в отсутствие ресурсов. $$R_k$$ — это изобилие k-го ресурса, а коэффициенты $$b_{ik}$$ описывают эффективность i-го вида использовании k-го ресурса. Изобилие k-го ресурса зависит от плотностей популяций. Если эта зависимость линейна, то в качестве выражений для $$R_k$$ можно взять
\begin{equation}
R_k = \overline{R_k} - \sum{u_i a_{ki}}
\end{equation}
с положительными постоянными $$\overline{R_k}$$ и $$a_{ki}$$. Для доказательства утверждения положим, что ресурсы могут быть исчерпаны. Другими словами, плотности $$u_i$$ не могут расти до бесконечности.

Так как $$n > m$$, система уравнений
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n{c_i b_{ij}} = 0, \ j = 1, \, \dots, \, m
\end{equation}
имеет нетривиальное решение $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$. Пусть
\begin{equation}
\alpha = \sum_{i = 1}^n{c_i \alpha_i} \neq 0
\end{equation}
(этого всегда можно добиться, если $$n > m + 1$$).

Рассмотрим общий случай $$\alpha > 0$$. Так как наряду с решением $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$ пригодно решение $$(-c_1, \, \dots, \, -c_n)$$, мы можем считать, что $$\alpha > 0$$. Из \eqref{eqn:linear_system} получим
\begin{equation}
\sum{c_i \dfrac{d}{dt}(\ln u_i)} = \sum{c_i \dfrac{\dot{u_i}}{u_i}} = -\alpha.
\end{equation}

Интегрируя от $$0$$ до $$T$$, получим
\begin{equation}
\prod_{i = 1}^n{(u_i(T))^{c_i}} = C e^{-\alpha T}
\end{equation}
для некоторой постоянной $$C$$. Если $$T \to \infty$$, правая часть последнего выражения сходится к нулю. Так как все $$u_i$$ ограничены, должен существовать по крайней мере один индекс $$i$$ такой, что $$\lim \inf_{T \to \infty} u_i(T) = 0$$, что и означает вымирание соответствующего вида.

== Применимость к биологическим моделям ==
Слово «закон» в применении к экологическим системам не должно трактоваться в точном математическом смысле. Хотя закон конкурентного исключения в настоящее время является общепринятым, все же существуют ситуации, когда его необходимо корректировать. Например, в верхних слоях водной толщи нередко сосуществуют несколько десятков видов планктонных водорослей, а число факторов, ограничивающих рост их популяций, очень невелико, что противоречит закону Гаузе. Объяснение этого феномена было предложено Хатчинсоном ([https://en.wikipedia.org/wiki/G._Evelyn_Hutchinson George Evelyn Hutchinson], 1903–1991, американский зоолог и иммунолог, известный также многочисленными применениями математических моделей в биологии), который предположил, что планктонное сообщество находится в неравновесном состоянии: одни виды не вытесняют другие окончательно, так как постоянно меняются внешние условия, а в новых условиях преимущество получают совсем другие виды.

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. «Лекции по динамическим системам и биоматематике», 2024.
# Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. «Динамические системы и модели биологии», 2011.

Модель взаимодействия видов Гаузе. Принцип Гаузе

2024-12-20T19:36:34Z

Andy24: /* Анализ параметрического портрета */

==Модель взаимодействия видов Гаузе==

Рассмотрим межпопуляционное отношение конкуренции между двумя видами. Предполагается, что оба вида являются [https://ru.wikipedia.org/wiki/Автотрофы автотрофами], т. е. способны размножаться независимо друг от друга. В [[Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры|модели Лотки—Вольтерры]] такой способностью обладали лишь жертвы, а способность к размножению хищников была связана с наличием жертв. Полагаем, что в изоляции динамика популяции обоих видов подчиняется логистическому уравнению (в биологических терминах — в популяциях существует внутривидовая конкуренция), а взаимно отрицательное влияние пропорционально численности видов. Математической моделью описанной ситуации является следующая система:
\begin{equation}\label{eqn:initial_system}
\dot{N_1} = r_1 N_1 \left ( 1 - \dfrac{N_1}{K_1} \right ) - a N_1 N_2, \\
\dot{N_2} = r_2 N_2 \left ( 1 - \dfrac{N_2}{K_2} \right ) - b N_1 N_2.
\end{equation}
Здесь $$N_1$$ и $$N_2$$ — текущие численности видов, а $$K_1$$ и $$K_2$$ — их предельные численности.

В безразмерных переменных система принимает вид
\begin{equation}\label{eqn:main_system}
\dot{u} = u(1 - v - \alpha u), \\
\dot{v} = v(\gamma - u - \beta v).
\end{equation}

В области $$\mathbb{R}^2_+$$ всегда существуют положения равновесия
\begin{equation}
A_1 = (0, \, 0), \ A_2 = (\alpha^{-1}, \, 0), \ A_3 = (0, \gamma \beta^{-1}).
\end{equation}
Кроме того, если $$\alpha \beta > 1$$, $$\alpha \gamma > 1$$, $$\beta > \gamma$$ или $$\alpha \beta < 1$$, $$\alpha \gamma < 1$$, $$\beta < \gamma$$, то в $$R^2_+$$ существует положение равновесия
\begin{equation}
A_4 = (u^*, \, v^*) = ((\beta - \gamma)(\alpha \beta - 1)^{-1}, \, (\alpha \gamma - 1)(\alpha \beta - 1)^{-1}).
\end{equation}
Матрица Якоби системы \eqref{eqn:main_system} имеет вид
\begin{equation}
J(u, \, v) =
\begin{bmatrix}
1 - 2 \alpha u - v & -u \\
-v & \gamma - u - 2 \beta v
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Положение равновесия $$A_1$$ — неустойчивый узел (собственные числа равны $$1$$ и $$\gamma$$); $$A_2$$ — седло, если $$\beta > \gamma$$ и устойчивый узел, если $$\beta < \gamma$$. Если $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$, то
\begin{equation}
\tr J(u^*, \, v^*) = -(\alpha u^* + \beta v^*) < 0, \\
\det J(u^*, \, v^*) = (\alpha \beta - 1) u^* v^*.
\end{equation}

== Анализ параметрического портрета ==

[[Файл:Gauze img1.png|мини|справа|Рис. 1. Параметрический портрет системы \eqref{eqn:main_system}]]

Удобно изобразить линии, на которых происходит смена устойчивости положений равновесия, на параметрическом портрете (рис. 1). В областях ''II'' и ''III'' фазовые портреты топологически эквивалентны, все траектории стремятся к асимптотически устойчивому положению равновесия $$A_3$$ (рис. b). Ситуация аналогична для областей ''V'' и ''VI'' с тем отличием, что орбиты системы \eqref{eqn:main_system} стремятся к $$A_2$$. Оба этих случая характеризуются доминированием одного из конкурирующих видов и неизбежным вымиранием второго.

В области ''I'' реализуется бистабильная ситуация (рис. a). Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ неустойчиво (седловая точка), а $$A_2$$ и $$A_3$$ — устойчивые узлы. В зависимости от начальных условий может доминировать как первый вид, так и второй. Во всех указанных выше случаях один из видов в процессе эволюции вымирает. Ситуация становится принципиально иной в области ''IV''. Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ в этой области асимптотически устойчиво (устойчивый узел), остальные положения равновесия неустойчивы (рис. c).

<gallery class="center" mode="packed" heights="230px">
Gauze common.png
</gallery>

Как показывает рис. 1, из шести областей значений параметров модели \eqref{eqn:main_system} только в одной происходит сосуществование конкурирующих видов. Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что данная ситуация оказывается общей — практически всегда один из конкурирующих видов подавляет другой. Одним из первых математически точно сформулировал этот принцип (закон конкурентного исключения) [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гаузе,_Георгий_Францевич Георгий Францевич Гаузе] в своей работе «Борьба за существование».

==Принцип Гаузе==

Согласно принципу Гаузе, два вида, занимающие одну экологическую нишу, не могут устойчиво сосуществовать друг с другом. Докажем закон Гаузе как математиское утверждение в рамках предложенной математической модели.

'''Утверждение.''' Если $$n$$ полуляций линейно зависят от $$m$$ ресурсов, причем $$m < n$$, то по крайней мере одна из популяций вымирает.

'''Доказательство.'''
Предположение о линейной зависимости от ресурсов критично для приведенного утверждения. Оно означает, что коэффициент скорости роста i-й популяции имеет вид
\begin{equation}\label{eqn:linear_system}
\dfrac{\dot{u_i}}{u_i} = b_{i1} R_1 + \dots + b_{im} R_m - \alpha_i, \ i = 1, \, \dots, \, n.
\end{equation}
Постоянные $$\alpha_i$$ показывают скорость вымирания в отсутствие ресурсов. $$R_k$$ — это изобилие k-го ресурса, а коэффициенты $$b_{ik}$$ описывают эффективность i-го вида использовании k-го ресурса. Изобилие k-го ресурса зависит от плотностей популяций. Если эта зависимость линейна, то в качестве выражений для $$R_k$$ можно взять
\begin{equation}
R_k = \overline{R_k} - \sum{u_i a_{ki}}
\end{equation}
с положительными постоянными $$\overline{R_k}$$ и $$a_{ki}$$. Последнее предположение задает систему дифференциальных уравнений в явном виде, но для доказательства не потребуется. Достаточно допустить, что ресурсы могут быть исчерпаны. Другими словами, плотности $$u_i$$ не могут расти до бесконечности.

Так как $$n > m$$, система уравнений
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n{c_i b_{ij}} = 0, \ j = 1, \, \dots, \, m
\end{equation}
имеет нетривиальное решение $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$. Пусть
\begin{equation}
\alpha = \sum_{i = 1}^n{c_i \alpha_i} \neq 0
\end{equation}
(этого всегда можно добиться, если $$n > m + 1$$).

Рассмотрим общий случай $$\alpha > 0$$. Так как наряду с решением $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$ пригодно решение $$(-c_1, \, \dots, \, -c_n)$$, мы можем считать, что $$\alpha > 0$$. Из \eqref{eqn:linear_system} получим
\begin{equation}
\sum{c_i \dfrac{d}{dt}(\ln u_i)} = \sum{c_i \dfrac{\dot{u_i}}{u_i}} = -\alpha.
\end{equation}

Интегрируя от $$0$$ до $$T$$, получим
\begin{equation}
\prod_{i = 1}^n{(u_i(T))^{c_i}} = C e^{-\alpha T}
\end{equation}
для некоторой постоянной $$C$$. Если $$T \to \infty$$, правая часть последнего выражения сходится к нулю. Так как все $$u_i$$ ограничены, должен существовать по крайней мере один индекс $$i$$ такой, что $$\lim \inf_{T \to \infty} u_i(T) = 0$$, что и означает вымирание соответствующего вида.

== Применимость к биологическим моделям ==
Слово «закон» в применении к экологическим системам не должно трактоваться в точном математическом смысле. Хотя закон конкурентного исключения в настоящее время является общепринятым, все же существуют ситуации, когда его необходимо корректировать. Например, в верхних слоях водной толщи нередко сосуществуют несколько десятков видов планктонных водорослей, а число факторов, ограничивающих рост их популяций, очень невелико, что противоречит закону Гаузе. Объяснение этого феномена было предложено Хатчинсоном ([https://en.wikipedia.org/wiki/G._Evelyn_Hutchinson George Evelyn Hutchinson], 1903–1991, американский зоолог и иммунолог, известный также многочисленными применениями математических моделей в биологии), который предположил, что планктонное сообщество находится в неравновесном состоянии: одни виды не вытесняют другие окончательно, так как постоянно меняются внешние условия, а в новых условиях преимущество получают совсем другие виды.

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. «Лекции по динамическим системам и биоматематике», 2024.
# Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. «Динамические системы и модели биологии», 2011.

Модель взаимодействия видов Гаузе. Принцип Гаузе

2024-12-20T19:34:55Z

Andy24: /* Принцип Гаузе */

==Модель взаимодействия видов Гаузе==

Рассмотрим межпопуляционное отношение конкуренции между двумя видами. Предполагается, что оба вида являются [https://ru.wikipedia.org/wiki/Автотрофы автотрофами], т. е. способны размножаться независимо друг от друга. В [[Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры|модели Лотки—Вольтерры]] такой способностью обладали лишь жертвы, а способность к размножению хищников была связана с наличием жертв. Полагаем, что в изоляции динамика популяции обоих видов подчиняется логистическому уравнению (в биологических терминах — в популяциях существует внутривидовая конкуренция), а взаимно отрицательное влияние пропорционально численности видов. Математической моделью описанной ситуации является следующая система:
\begin{equation}\label{eqn:initial_system}
\dot{N_1} = r_1 N_1 \left ( 1 - \dfrac{N_1}{K_1} \right ) - a N_1 N_2, \\
\dot{N_2} = r_2 N_2 \left ( 1 - \dfrac{N_2}{K_2} \right ) - b N_1 N_2.
\end{equation}
Здесь $$N_1$$ и $$N_2$$ — текущие численности видов, а $$K_1$$ и $$K_2$$ — их предельные численности.

В безразмерных переменных система принимает вид
\begin{equation}\label{eqn:main_system}
\dot{u} = u(1 - v - \alpha u), \\
\dot{v} = v(\gamma - u - \beta v).
\end{equation}

В области $$\mathbb{R}^2_+$$ всегда существуют положения равновесия
\begin{equation}
A_1 = (0, \, 0), \ A_2 = (\alpha^{-1}, \, 0), \ A_3 = (0, \gamma \beta^{-1}).
\end{equation}
Кроме того, если $$\alpha \beta > 1$$, $$\alpha \gamma > 1$$, $$\beta > \gamma$$ или $$\alpha \beta < 1$$, $$\alpha \gamma < 1$$, $$\beta < \gamma$$, то в $$R^2_+$$ существует положение равновесия
\begin{equation}
A_4 = (u^*, \, v^*) = ((\beta - \gamma)(\alpha \beta - 1)^{-1}, \, (\alpha \gamma - 1)(\alpha \beta - 1)^{-1}).
\end{equation}
Матрица Якоби системы \eqref{eqn:main_system} имеет вид
\begin{equation}
J(u, \, v) =
\begin{bmatrix}
1 - 2 \alpha u - v & -u \\
-v & \gamma - u - 2 \beta v
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Положение равновесия $$A_1$$ — неустойчивый узел (собственные числа равны $$1$$ и $$\gamma$$); $$A_2$$ — седло, если $$\beta > \gamma$$ и устойчивый узел, если $$\beta < \gamma$$. Если $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$, то
\begin{equation}
\tr J(u^*, \, v^*) = -(\alpha u^* + \beta v^*) < 0, \\
\det J(u^*, \, v^*) = (\alpha \beta - 1) u^* v^*.
\end{equation}

== Анализ параметрического портрета ==

[[Файл:Gauze img1.png|мини|справа|Рис. 1. Параметрический портрет системы \eqref{eqn:main_system}]]

Удобно изобразить линии, на которых происходит смена устойчивости положений равновесия, на параметрическом портрете (рис. 1). В областях ''II'' и ''III'' фазовые портреты топологически эквивалентны, все траектории стремятся к асимптотически устойчивому положению равновесия $$A_3$$ (рис. (b)). Ситуация аналогична для областей ''V'' и ''VI'' с тем отличием, что орбиты системы (2) стремятся к $$A_2$$. Оба этих случая характеризуются доминированием одного из конкурирующих видов и неизбежным вымиранием второго.

В области ''I'' реализуется бистабильная ситуация (рис. (a)). Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ неустойчиво (седловая точка), а $$A_2$$ и $$A_3$$ — устойчивые узлы. В зависимости от начальных условий может доминировать как первый вид, так и второй. Во всех указанных выше случаях один из видов в процессе эволюции вымирает. Ситуация становится принципиально иной в области ''IV''. Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ в этой области асимптотически устойчиво (устойчивый узел), остальные положения равновесия неустойчивы (рис. (c)).

<gallery class="center" mode="packed" heights="230px">
Gauze common.png
</gallery>

Как показывает рис. 1, из шести областей значений параметров модели (2) только в одной происходит сосуществование конкурирующих видов. Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что данная ситуация оказывается общей — практически всегда один из конкурирующих видов подавляет другой. Одним из первых математически точно сформулировал этот принцип (закон конкурентного исключения) [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гаузе,_Георгий_Францевич Георгий Францевич Гаузе] в своей работе «Борьба за существование».

==Принцип Гаузе==

Согласно принципу Гаузе, два вида, занимающие одну экологическую нишу, не могут устойчиво сосуществовать друг с другом. Докажем закон Гаузе как математиское утверждение в рамках предложенной математической модели.

'''Утверждение.''' Если $$n$$ полуляций линейно зависят от $$m$$ ресурсов, причем $$m < n$$, то по крайней мере одна из популяций вымирает.

'''Доказательство.'''
Предположение о линейной зависимости от ресурсов критично для приведенного утверждения. Оно означает, что коэффициент скорости роста i-й популяции имеет вид
\begin{equation}\label{eqn:linear_system}
\dfrac{\dot{u_i}}{u_i} = b_{i1} R_1 + \dots + b_{im} R_m - \alpha_i, \ i = 1, \, \dots, \, n.
\end{equation}
Постоянные $$\alpha_i$$ показывают скорость вымирания в отсутствие ресурсов. $$R_k$$ — это изобилие k-го ресурса, а коэффициенты $$b_{ik}$$ описывают эффективность i-го вида использовании k-го ресурса. Изобилие k-го ресурса зависит от плотностей популяций. Если эта зависимость линейна, то в качестве выражений для $$R_k$$ можно взять
\begin{equation}
R_k = \overline{R_k} - \sum{u_i a_{ki}}
\end{equation}
с положительными постоянными $$\overline{R_k}$$ и $$a_{ki}$$. Последнее предположение задает систему дифференциальных уравнений в явном виде, но для доказательства не потребуется. Достаточно допустить, что ресурсы могут быть исчерпаны. Другими словами, плотности $$u_i$$ не могут расти до бесконечности.

Так как $$n > m$$, система уравнений
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n{c_i b_{ij}} = 0, \ j = 1, \, \dots, \, m
\end{equation}
имеет нетривиальное решение $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$. Пусть
\begin{equation}
\alpha = \sum_{i = 1}^n{c_i \alpha_i} \neq 0
\end{equation}
(этого всегда можно добиться, если $$n > m + 1$$).

Рассмотрим общий случай $$\alpha > 0$$. Так как наряду с решением $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$ пригодно решение $$(-c_1, \, \dots, \, -c_n)$$, мы можем считать, что $$\alpha > 0$$. Из \eqref{eqn:linear_system} получим
\begin{equation}
\sum{c_i \dfrac{d}{dt}(\ln u_i)} = \sum{c_i \dfrac{\dot{u_i}}{u_i}} = -\alpha.
\end{equation}

Интегрируя от $$0$$ до $$T$$, получим
\begin{equation}
\prod_{i = 1}^n{(u_i(T))^{c_i}} = C e^{-\alpha T}
\end{equation}
для некоторой постоянной $$C$$. Если $$T \to \infty$$, правая часть последнего выражения сходится к нулю. Так как все $$u_i$$ ограничены, должен существовать по крайней мере один индекс $$i$$ такой, что $$\lim \inf_{T \to \infty} u_i(T) = 0$$, что и означает вымирание соответствующего вида.

== Применимость к биологическим моделям ==
Слово «закон» в применении к экологическим системам не должно трактоваться в точном математическом смысле. Хотя закон конкурентного исключения в настоящее время является общепринятым, все же существуют ситуации, когда его необходимо корректировать. Например, в верхних слоях водной толщи нередко сосуществуют несколько десятков видов планктонных водорослей, а число факторов, ограничивающих рост их популяций, очень невелико, что противоречит закону Гаузе. Объяснение этого феномена было предложено Хатчинсоном ([https://en.wikipedia.org/wiki/G._Evelyn_Hutchinson George Evelyn Hutchinson], 1903–1991, американский зоолог и иммунолог, известный также многочисленными применениями математических моделей в биологии), который предположил, что планктонное сообщество находится в неравновесном состоянии: одни виды не вытесняют другие окончательно, так как постоянно меняются внешние условия, а в новых условиях преимущество получают совсем другие виды.

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. «Лекции по динамическим системам и биоматематике», 2024.
# Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. «Динамические системы и модели биологии», 2011.

Модель взаимодействия видов Гаузе. Принцип Гаузе

2024-12-20T19:34:30Z

Andy24: /* Анализ параметрического портрета */

==Модель взаимодействия видов Гаузе==

Рассмотрим межпопуляционное отношение конкуренции между двумя видами. Предполагается, что оба вида являются [https://ru.wikipedia.org/wiki/Автотрофы автотрофами], т. е. способны размножаться независимо друг от друга. В [[Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры|модели Лотки—Вольтерры]] такой способностью обладали лишь жертвы, а способность к размножению хищников была связана с наличием жертв. Полагаем, что в изоляции динамика популяции обоих видов подчиняется логистическому уравнению (в биологических терминах — в популяциях существует внутривидовая конкуренция), а взаимно отрицательное влияние пропорционально численности видов. Математической моделью описанной ситуации является следующая система:
\begin{equation}\label{eqn:initial_system}
\dot{N_1} = r_1 N_1 \left ( 1 - \dfrac{N_1}{K_1} \right ) - a N_1 N_2, \\
\dot{N_2} = r_2 N_2 \left ( 1 - \dfrac{N_2}{K_2} \right ) - b N_1 N_2.
\end{equation}
Здесь $$N_1$$ и $$N_2$$ — текущие численности видов, а $$K_1$$ и $$K_2$$ — их предельные численности.

В безразмерных переменных система принимает вид
\begin{equation}\label{eqn:main_system}
\dot{u} = u(1 - v - \alpha u), \\
\dot{v} = v(\gamma - u - \beta v).
\end{equation}

В области $$\mathbb{R}^2_+$$ всегда существуют положения равновесия
\begin{equation}
A_1 = (0, \, 0), \ A_2 = (\alpha^{-1}, \, 0), \ A_3 = (0, \gamma \beta^{-1}).
\end{equation}
Кроме того, если $$\alpha \beta > 1$$, $$\alpha \gamma > 1$$, $$\beta > \gamma$$ или $$\alpha \beta < 1$$, $$\alpha \gamma < 1$$, $$\beta < \gamma$$, то в $$R^2_+$$ существует положение равновесия
\begin{equation}
A_4 = (u^*, \, v^*) = ((\beta - \gamma)(\alpha \beta - 1)^{-1}, \, (\alpha \gamma - 1)(\alpha \beta - 1)^{-1}).
\end{equation}
Матрица Якоби системы \eqref{eqn:main_system} имеет вид
\begin{equation}
J(u, \, v) =
\begin{bmatrix}
1 - 2 \alpha u - v & -u \\
-v & \gamma - u - 2 \beta v
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Положение равновесия $$A_1$$ — неустойчивый узел (собственные числа равны $$1$$ и $$\gamma$$); $$A_2$$ — седло, если $$\beta > \gamma$$ и устойчивый узел, если $$\beta < \gamma$$. Если $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$, то
\begin{equation}
\tr J(u^*, \, v^*) = -(\alpha u^* + \beta v^*) < 0, \\
\det J(u^*, \, v^*) = (\alpha \beta - 1) u^* v^*.
\end{equation}

== Анализ параметрического портрета ==

[[Файл:Gauze img1.png|мини|справа|Рис. 1. Параметрический портрет системы \eqref{eqn:main_system}]]

Удобно изобразить линии, на которых происходит смена устойчивости положений равновесия, на параметрическом портрете (рис. 1). В областях ''II'' и ''III'' фазовые портреты топологически эквивалентны, все траектории стремятся к асимптотически устойчивому положению равновесия $$A_3$$ (рис. (b)). Ситуация аналогична для областей ''V'' и ''VI'' с тем отличием, что орбиты системы (2) стремятся к $$A_2$$. Оба этих случая характеризуются доминированием одного из конкурирующих видов и неизбежным вымиранием второго.

В области ''I'' реализуется бистабильная ситуация (рис. (a)). Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ неустойчиво (седловая точка), а $$A_2$$ и $$A_3$$ — устойчивые узлы. В зависимости от начальных условий может доминировать как первый вид, так и второй. Во всех указанных выше случаях один из видов в процессе эволюции вымирает. Ситуация становится принципиально иной в области ''IV''. Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ в этой области асимптотически устойчиво (устойчивый узел), остальные положения равновесия неустойчивы (рис. (c)).

<gallery class="center" mode="packed" heights="230px">
Gauze common.png
</gallery>

Как показывает рис. 1, из шести областей значений параметров модели (2) только в одной происходит сосуществование конкурирующих видов. Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что данная ситуация оказывается общей — практически всегда один из конкурирующих видов подавляет другой. Одним из первых математически точно сформулировал этот принцип (закон конкурентного исключения) [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гаузе,_Георгий_Францевич Георгий Францевич Гаузе] в своей работе «Борьба за существование».

==Принцип Гаузе==

Согласно принципу Гаузе, два вида, занимающие одну экологическую нишу, не могут устойчиво сосуществовать друг с другом. Докажем закон Гаузе как математиское утверждение в рамках предложенной математической модели.

'''Утверждение.''' Если $$n$$ полуляций линейно зависят от $$m$$ ресурсов, причем $$m < n$$, то по крайней мере одна из популяций вымирает.

'''Доказательство.'''
Предположение о линейной зависимости от ресурсов критично для приведенного утверждения. Оно означает, что коэффициент скорости роста i-й популяции имеет вид
\begin{equation}\label{eqn:linear_system}
\dfrac{\dot{u_i}}{u_i} = b_{i1} R_1 + \dots + b_{im} R_m - \alpha_i, \ i = 1, \, \dots, \, n.
\end{equation}
Постоянные $$\alpha_i$$ показывают скорость вымирания в отсутствие ресурсов. $$R_k$$ — это изобилие k-го ресурса, а коэффициенты $$b_{ik}$$ описывают эффективность i-го вида использовании k-го ресурса. Изобилие k-го ресурса зависит от плотностей популяций. Если эта зависимость линейна, то в качестве выражений для $$R_k$$ можно взять
\begin{equation}
R_k = \overline{R_k} - \sum{u_i a_{ki}}
\end{equation}
с положительными постоянными $$\overline{R_k}$$ и $$a_{ki}$$. Последнее предположение задает систему дифференциальных уравнений в явном виде, но для доказательства не потребуется. Достаточно допустить, что ресурсы могут быть исчерпаны. Другими словами, плотности $$u_i$$ не могут расти до бесконечности.

Так как $$n > m$$, система уравнений
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n{c_i b_{ij}} = 0, \ j = 1, \, \dots, \, m
\end{equation}
имеет нетривиальное решение $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$. Пусть
\begin{equation}
\alpha = \sum_{i = 1}^n{c_i \alpha_i} \neq 0
\end{equation}
(этого всегда можно добиться, если $$n > m + 1$$).

Рассмотрим общий случай $$\alpha > 0$$. Так как наряду с решением $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$ пригодно решение $$(-c_1, \, \dots, \, -c_n)$$, мы можем считать, что $$\alpha > 0$$. Из \eqref{eqn:linear_system} получим
\begin{equation}
\sum{c_i \dfrac{d}{dt}(ln u_i)} = \sum{c_i \dfrac{\dot{u_i}}{u_i}} = -\alpha.
\end{equation}

Интегрируя от $$0$$ до $$T$$, получим
\begin{equation}
\prod_{i = 1}^n{(u_i(T))^{c_i}} = C e^{-\alpha T}
\end{equation}
для некоторой постоянной $$C$$. Если $$T \to \infty$$, правая часть последнего выражения сходится к нулю. Так как все $$u_i$$ ограничены, должен существовать по крайней мере один индекс $$i$$ такой, что $$\lim \inf_{T \to \infty} u_i(T) = 0$$, что и означает вымирание соответствующего вида.

== Применимость к биологическим моделям ==
Слово «закон» в применении к экологическим системам не должно трактоваться в точном математическом смысле. Хотя закон конкурентного исключения в настоящее время является общепринятым, все же существуют ситуации, когда его необходимо корректировать. Например, в верхних слоях водной толщи нередко сосуществуют несколько десятков видов планктонных водорослей, а число факторов, ограничивающих рост их популяций, очень невелико, что противоречит закону Гаузе. Объяснение этого феномена было предложено Хатчинсоном ([https://en.wikipedia.org/wiki/G._Evelyn_Hutchinson George Evelyn Hutchinson], 1903–1991, американский зоолог и иммунолог, известный также многочисленными применениями математических моделей в биологии), который предположил, что планктонное сообщество находится в неравновесном состоянии: одни виды не вытесняют другие окончательно, так как постоянно меняются внешние условия, а в новых условиях преимущество получают совсем другие виды.

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. «Лекции по динамическим системам и биоматематике», 2024.
# Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. «Динамические системы и модели биологии», 2011.

Модель взаимодействия видов Гаузе. Принцип Гаузе

2024-12-20T19:33:16Z

Andy24: /* Анализ параметрического портрета */

==Модель взаимодействия видов Гаузе==

Рассмотрим межпопуляционное отношение конкуренции между двумя видами. Предполагается, что оба вида являются [https://ru.wikipedia.org/wiki/Автотрофы автотрофами], т. е. способны размножаться независимо друг от друга. В [[Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры|модели Лотки—Вольтерры]] такой способностью обладали лишь жертвы, а способность к размножению хищников была связана с наличием жертв. Полагаем, что в изоляции динамика популяции обоих видов подчиняется логистическому уравнению (в биологических терминах — в популяциях существует внутривидовая конкуренция), а взаимно отрицательное влияние пропорционально численности видов. Математической моделью описанной ситуации является следующая система:
\begin{equation}\label{eqn:initial_system}
\dot{N_1} = r_1 N_1 \left ( 1 - \dfrac{N_1}{K_1} \right ) - a N_1 N_2, \\
\dot{N_2} = r_2 N_2 \left ( 1 - \dfrac{N_2}{K_2} \right ) - b N_1 N_2.
\end{equation}
Здесь $$N_1$$ и $$N_2$$ — текущие численности видов, а $$K_1$$ и $$K_2$$ — их предельные численности.

В безразмерных переменных система принимает вид
\begin{equation}\label{eqn:main_system}
\dot{u} = u(1 - v - \alpha u), \\
\dot{v} = v(\gamma - u - \beta v).
\end{equation}

В области $$\mathbb{R}^2_+$$ всегда существуют положения равновесия
\begin{equation}
A_1 = (0, \, 0), \ A_2 = (\alpha^{-1}, \, 0), \ A_3 = (0, \gamma \beta^{-1}).
\end{equation}
Кроме того, если $$\alpha \beta > 1$$, $$\alpha \gamma > 1$$, $$\beta > \gamma$$ или $$\alpha \beta < 1$$, $$\alpha \gamma < 1$$, $$\beta < \gamma$$, то в $$R^2_+$$ существует положение равновесия
\begin{equation}
A_4 = (u^*, \, v^*) = ((\beta - \gamma)(\alpha \beta - 1)^{-1}, \, (\alpha \gamma - 1)(\alpha \beta - 1)^{-1}).
\end{equation}
Матрица Якоби системы \eqref{eqn:main_system} имеет вид
\begin{equation}
J(u, \, v) =
\begin{bmatrix}
1 - 2 \alpha u - v & -u \\
-v & \gamma - u - 2 \beta v
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Положение равновесия $$A_1$$ — неустойчивый узел (собственные числа равны $$1$$ и $$\gamma$$); $$A_2$$ — седло, если $$\beta > \gamma$$ и устойчивый узел, если $$\beta < \gamma$$. Если $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$, то
\begin{equation}
\tr J(u^*, \, v^*) = -(\alpha u^* + \beta v^*) < 0, \\
\det J(u^*, \, v^*) = (\alpha \beta - 1) u^* v^*.
\end{equation}

== Анализ параметрического портрета ==

[[Файл:Gauze img1.png|мини|справа|Рис. 1. Параметрический портрет системы (2)]]

Удобно изобразить линии, на которых происходит смена устойчивости положений равновесия, на параметрическом портрете (рис. 1). В областях ''II'' и ''III'' фазовые портреты топологически эквивалентны, все траектории стремятся к асимптотически устойчивому положению равновесия $$A_3$$ (рис. (b)). Ситуация аналогична для областей ''V'' и ''VI'' с тем отличием, что орбиты системы (2) стремятся к $$A_2$$. Оба этих случая характеризуются доминированием одного из конкурирующих видов и неизбежным вымиранием второго.

В области ''I'' реализуется бистабильная ситуация (рис. (a)). Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ неустойчиво (седловая точка), а $$A_2$$ и $$A_3$$ — устойчивые узлы. В зависимости от начальных условий может доминировать как первый вид, так и второй. Во всех указанных выше случаях один из видов в процессе эволюции вымирает. Ситуация становится принципиально иной в области ''IV''. Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ в этой области асимптотически устойчиво (устойчивый узел), остальные положения равновесия неустойчивы (рис. (c)).

<gallery class="center" mode="packed" heights="230px">
Gauze common.png
</gallery>

Как показывает рис. 1, из шести областей значений параметров модели (2) только в одной происходит сосуществование конкурирующих видов. Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что данная ситуация оказывается общей — практически всегда один из конкурирующих видов подавляет другой. Одним из первых математически точно сформулировал этот принцип (закон конкурентного исключения) [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гаузе,_Георгий_Францевич Георгий Францевич Гаузе] в своей работе «Борьба за существование».

==Принцип Гаузе==

Согласно принципу Гаузе, два вида, занимающие одну экологическую нишу, не могут устойчиво сосуществовать друг с другом. Докажем закон Гаузе как математиское утверждение в рамках предложенной математической модели.

'''Утверждение.''' Если $$n$$ полуляций линейно зависят от $$m$$ ресурсов, причем $$m < n$$, то по крайней мере одна из популяций вымирает.

'''Доказательство.'''
Предположение о линейной зависимости от ресурсов критично для приведенного утверждения. Оно означает, что коэффициент скорости роста i-й популяции имеет вид
\begin{equation}\label{eqn:linear_system}
\dfrac{\dot{u_i}}{u_i} = b_{i1} R_1 + \dots + b_{im} R_m - \alpha_i, \ i = 1, \, \dots, \, n.
\end{equation}
Постоянные $$\alpha_i$$ показывают скорость вымирания в отсутствие ресурсов. $$R_k$$ — это изобилие k-го ресурса, а коэффициенты $$b_{ik}$$ описывают эффективность i-го вида использовании k-го ресурса. Изобилие k-го ресурса зависит от плотностей популяций. Если эта зависимость линейна, то в качестве выражений для $$R_k$$ можно взять
\begin{equation}
R_k = \overline{R_k} - \sum{u_i a_{ki}}
\end{equation}
с положительными постоянными $$\overline{R_k}$$ и $$a_{ki}$$. Последнее предположение задает систему дифференциальных уравнений в явном виде, но для доказательства не потребуется. Достаточно допустить, что ресурсы могут быть исчерпаны. Другими словами, плотности $$u_i$$ не могут расти до бесконечности.

Так как $$n > m$$, система уравнений
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n{c_i b_{ij}} = 0, \ j = 1, \, \dots, \, m
\end{equation}
имеет нетривиальное решение $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$. Пусть
\begin{equation}
\alpha = \sum_{i = 1}^n{c_i \alpha_i} \neq 0
\end{equation}
(этого всегда можно добиться, если $$n > m + 1$$).

Рассмотрим общий случай $$\alpha > 0$$. Так как наряду с решением $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$ пригодно решение $$(-c_1, \, \dots, \, -c_n)$$, мы можем считать, что $$\alpha > 0$$. Из \eqref{eqn:linear_system} получим
\begin{equation}
\sum{c_i \dfrac{d}{dt}(ln u_i)} = \sum{c_i \dfrac{\dot{u_i}}{u_i}} = -\alpha.
\end{equation}

Интегрируя от $$0$$ до $$T$$, получим
\begin{equation}
\prod_{i = 1}^n{(u_i(T))^{c_i}} = C e^{-\alpha T}
\end{equation}
для некоторой постоянной $$C$$. Если $$T \to \infty$$, правая часть последнего выражения сходится к нулю. Так как все $$u_i$$ ограничены, должен существовать по крайней мере один индекс $$i$$ такой, что $$\lim \inf_{T \to \infty} u_i(T) = 0$$, что и означает вымирание соответствующего вида.

== Применимость к биологическим моделям ==
Слово «закон» в применении к экологическим системам не должно трактоваться в точном математическом смысле. Хотя закон конкурентного исключения в настоящее время является общепринятым, все же существуют ситуации, когда его необходимо корректировать. Например, в верхних слоях водной толщи нередко сосуществуют несколько десятков видов планктонных водорослей, а число факторов, ограничивающих рост их популяций, очень невелико, что противоречит закону Гаузе. Объяснение этого феномена было предложено Хатчинсоном ([https://en.wikipedia.org/wiki/G._Evelyn_Hutchinson George Evelyn Hutchinson], 1903–1991, американский зоолог и иммунолог, известный также многочисленными применениями математических моделей в биологии), который предположил, что планктонное сообщество находится в неравновесном состоянии: одни виды не вытесняют другие окончательно, так как постоянно меняются внешние условия, а в новых условиях преимущество получают совсем другие виды.

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. «Лекции по динамическим системам и биоматематике», 2024.
# Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. «Динамические системы и модели биологии», 2011.

Файл:Gauze common.png

2024-12-20T19:32:50Z

Andy24:

Параметрически не эквивалентные фазовые портреты системы Гаузе

Модель взаимодействия видов Гаузе. Принцип Гаузе

2024-12-20T19:29:14Z

Andy24: /* Модель взаимодействия видов Гаузе */

==Модель взаимодействия видов Гаузе==

Рассмотрим межпопуляционное отношение конкуренции между двумя видами. Предполагается, что оба вида являются [https://ru.wikipedia.org/wiki/Автотрофы автотрофами], т. е. способны размножаться независимо друг от друга. В [[Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры|модели Лотки—Вольтерры]] такой способностью обладали лишь жертвы, а способность к размножению хищников была связана с наличием жертв. Полагаем, что в изоляции динамика популяции обоих видов подчиняется логистическому уравнению (в биологических терминах — в популяциях существует внутривидовая конкуренция), а взаимно отрицательное влияние пропорционально численности видов. Математической моделью описанной ситуации является следующая система:
\begin{equation}\label{eqn:initial_system}
\dot{N_1} = r_1 N_1 \left ( 1 - \dfrac{N_1}{K_1} \right ) - a N_1 N_2, \\
\dot{N_2} = r_2 N_2 \left ( 1 - \dfrac{N_2}{K_2} \right ) - b N_1 N_2.
\end{equation}
Здесь $$N_1$$ и $$N_2$$ — текущие численности видов, а $$K_1$$ и $$K_2$$ — их предельные численности.

В безразмерных переменных система принимает вид
\begin{equation}\label{eqn:main_system}
\dot{u} = u(1 - v - \alpha u), \\
\dot{v} = v(\gamma - u - \beta v).
\end{equation}

В области $$\mathbb{R}^2_+$$ всегда существуют положения равновесия
\begin{equation}
A_1 = (0, \, 0), \ A_2 = (\alpha^{-1}, \, 0), \ A_3 = (0, \gamma \beta^{-1}).
\end{equation}
Кроме того, если $$\alpha \beta > 1$$, $$\alpha \gamma > 1$$, $$\beta > \gamma$$ или $$\alpha \beta < 1$$, $$\alpha \gamma < 1$$, $$\beta < \gamma$$, то в $$R^2_+$$ существует положение равновесия
\begin{equation}
A_4 = (u^*, \, v^*) = ((\beta - \gamma)(\alpha \beta - 1)^{-1}, \, (\alpha \gamma - 1)(\alpha \beta - 1)^{-1}).
\end{equation}
Матрица Якоби системы \eqref{eqn:main_system} имеет вид
\begin{equation}
J(u, \, v) =
\begin{bmatrix}
1 - 2 \alpha u - v & -u \\
-v & \gamma - u - 2 \beta v
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Положение равновесия $$A_1$$ — неустойчивый узел (собственные числа равны $$1$$ и $$\gamma$$); $$A_2$$ — седло, если $$\beta > \gamma$$ и устойчивый узел, если $$\beta < \gamma$$. Если $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$, то
\begin{equation}
\tr J(u^*, \, v^*) = -(\alpha u^* + \beta v^*) < 0, \\
\det J(u^*, \, v^*) = (\alpha \beta - 1) u^* v^*.
\end{equation}

== Анализ параметрического портрета ==

[[Файл:Gauze img1.png|мини|справа|Рис. 1. Параметрический портрет системы (2)]]

Удобно изобразить линии, на которых происходит смена устойчивости положений равновесия, на параметрическом портрете (рис. 1). В областях ''II'' и ''III'' фазовые портреты топологически эквивалентны, все траектории стремятся к асимптотически устойчивому положению равновесия $$A_3$$ (рис. (b)). Ситуация аналогична для областей ''V'' и ''VI'' с тем отличием, что орбиты системы (2) стремятся к $$A_2$$. Оба этих случая характеризуются доминированием одного из конкурирующих видов и неизбежным вымиранием второго.

В области ''I'' реализуется бистабильная ситуация (рис. (a)). Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ неустойчиво (седловая точка), а $$A_2$$ и $$A_3$$ — устойчивые узлы. В зависимости от начальных условий может доминировать как первый вид, так и второй. Во всех указанных выше случаях один из видов в процессе эволюции вымирает. Ситуация становится принципиально иной в области ''IV''. Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ в этой области асимптотически устойчиво (устойчивый узел), остальные положения равновесия неустойчивы (рис. (c)).

<gallery class="center" mode="packed" heights="230px">
Gauze img2.png
Gauze img3.png
Gauze img4.png
</gallery>

Как показывает рис. 1, из шести областей значений параметров модели (2) только в одной происходит сосуществование конкурирующих видов. Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что данная ситуация оказывается общей — практически всегда один из конкурирующих видов подавляет другой. Одним из первых математически точно сформулировал этот принцип (закон конкурентного исключения) [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гаузе,_Георгий_Францевич Георгий Францевич Гаузе] в своей работе «Борьба за существование».

==Принцип Гаузе==

Согласно принципу Гаузе, два вида, занимающие одну экологическую нишу, не могут устойчиво сосуществовать друг с другом. Докажем закон Гаузе как математиское утверждение в рамках предложенной математической модели.

'''Утверждение.''' Если $$n$$ полуляций линейно зависят от $$m$$ ресурсов, причем $$m < n$$, то по крайней мере одна из популяций вымирает.

'''Доказательство.'''
Предположение о линейной зависимости от ресурсов критично для приведенного утверждения. Оно означает, что коэффициент скорости роста i-й популяции имеет вид
\begin{equation}\label{eqn:linear_system}
\dfrac{\dot{u_i}}{u_i} = b_{i1} R_1 + \dots + b_{im} R_m - \alpha_i, \ i = 1, \, \dots, \, n.
\end{equation}
Постоянные $$\alpha_i$$ показывают скорость вымирания в отсутствие ресурсов. $$R_k$$ — это изобилие k-го ресурса, а коэффициенты $$b_{ik}$$ описывают эффективность i-го вида использовании k-го ресурса. Изобилие k-го ресурса зависит от плотностей популяций. Если эта зависимость линейна, то в качестве выражений для $$R_k$$ можно взять
\begin{equation}
R_k = \overline{R_k} - \sum{u_i a_{ki}}
\end{equation}
с положительными постоянными $$\overline{R_k}$$ и $$a_{ki}$$. Последнее предположение задает систему дифференциальных уравнений в явном виде, но для доказательства не потребуется. Достаточно допустить, что ресурсы могут быть исчерпаны. Другими словами, плотности $$u_i$$ не могут расти до бесконечности.

Так как $$n > m$$, система уравнений
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n{c_i b_{ij}} = 0, \ j = 1, \, \dots, \, m
\end{equation}
имеет нетривиальное решение $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$. Пусть
\begin{equation}
\alpha = \sum_{i = 1}^n{c_i \alpha_i} \neq 0
\end{equation}
(этого всегда можно добиться, если $$n > m + 1$$).

Рассмотрим общий случай $$\alpha > 0$$. Так как наряду с решением $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$ пригодно решение $$(-c_1, \, \dots, \, -c_n)$$, мы можем считать, что $$\alpha > 0$$. Из \eqref{eqn:linear_system} получим
\begin{equation}
\sum{c_i \dfrac{d}{dt}(ln u_i)} = \sum{c_i \dfrac{\dot{u_i}}{u_i}} = -\alpha.
\end{equation}

Интегрируя от $$0$$ до $$T$$, получим
\begin{equation}
\prod_{i = 1}^n{(u_i(T))^{c_i}} = C e^{-\alpha T}
\end{equation}
для некоторой постоянной $$C$$. Если $$T \to \infty$$, правая часть последнего выражения сходится к нулю. Так как все $$u_i$$ ограничены, должен существовать по крайней мере один индекс $$i$$ такой, что $$\lim \inf_{T \to \infty} u_i(T) = 0$$, что и означает вымирание соответствующего вида.

== Применимость к биологическим моделям ==
Слово «закон» в применении к экологическим системам не должно трактоваться в точном математическом смысле. Хотя закон конкурентного исключения в настоящее время является общепринятым, все же существуют ситуации, когда его необходимо корректировать. Например, в верхних слоях водной толщи нередко сосуществуют несколько десятков видов планктонных водорослей, а число факторов, ограничивающих рост их популяций, очень невелико, что противоречит закону Гаузе. Объяснение этого феномена было предложено Хатчинсоном ([https://en.wikipedia.org/wiki/G._Evelyn_Hutchinson George Evelyn Hutchinson], 1903–1991, американский зоолог и иммунолог, известный также многочисленными применениями математических моделей в биологии), который предположил, что планктонное сообщество находится в неравновесном состоянии: одни виды не вытесняют другие окончательно, так как постоянно меняются внешние условия, а в новых условиях преимущество получают совсем другие виды.

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. «Лекции по динамическим системам и биоматематике», 2024.
# Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. «Динамические системы и модели биологии», 2011.

Модель взаимодействия видов Гаузе. Принцип Гаузе

2024-12-20T19:27:19Z

Andy24: /* Принцип Гаузе */

==Модель взаимодействия видов Гаузе==

Рассмотрим межпопуляционное отношение конкуренции между двумя видами. Предполагается, что оба вида являются [https://ru.wikipedia.org/wiki/Автотрофы автотрофами], т. е. способны размножаться независимо друг от друга. В [[Система Лотки-Вольтерры. Принцип Вольтерры|модели Лотки—Вольтерры]] такой способностью обладали лишь жертвы, а способность к размножению хищников была связана с наличием жертв. Полагаем, что в изоляции динамика популяции обоих видов подчиняется логистическому уравнению (в биологических терминах — в популяциях существует внутривидовая конкуренция), а взаимно отрицательное влияние пропорционально численности видов. Математической моделью описанной ситуации является следующая система:
\begin{equation}
\dot{N_1} = r_1 N_1 \left ( 1 - \dfrac{N_1}{K_1} \right ) - a N_1 N_2, \\
\dot{N_2} = r_2 N_2 \left ( 1 - \dfrac{N_2}{K_2} \right ) - b N_1 N_2.
\end{equation}
Здесь $$N_1$$ и $$N_2$$ — текущие численности видов, а $$K_1$$ и $$K_2$$ — их предельные численности.

В безразмерных переменных система принимает вид
\begin{equation}
\dot{u} = u(1 - v - \alpha u), \\
\dot{v} = v(\gamma - u - \beta v).
\end{equation}

В области $$\mathbb{R}^2_+$$ всегда существуют положения равновесия
\begin{equation}
A_1 = (0, \, 0), \ A_2 = (\alpha^{-1}, \, 0), \ A_3 = (0, \gamma \beta^{-1}).
\end{equation}
Кроме того, если $$\alpha \beta > 1$$, $$\alpha \gamma > 1$$, $$\beta > \gamma$$ или $$\alpha \beta < 1$$, $$\alpha \gamma < 1$$, $$\beta < \gamma$$, то в $$R^2_+$$ существует положение равновесия
\begin{equation}
A_4 = (u^*, \, v^*) = ((\beta - \gamma)(\alpha \beta - 1)^{-1}, \, (\alpha \gamma - 1)(\alpha \beta - 1)^{-1}).
\end{equation}
Матрица Якоби системы (*) имеет вид
\begin{equation}
J(u, \, v) =
\begin{bmatrix}
1 - 2 \alpha u - v & -u \\
-v & \gamma - u - 2 \beta v
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Положение равновесия $$A_1$$ — неустойчивый узел (собственные числа равны $$1$$ и $$\gamma$$); $$A_2$$ — седло, если $$\beta > \gamma$$ и устойчивый узел, если $$\beta < \gamma$$. Если $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$, то
\begin{equation}
\tr J(u^*, \, v^*) = -(\alpha u^* + \beta v^*) < 0, \\
\det J(u^*, \, v^*) = (\alpha \beta - 1) u^* v^*.
\end{equation}

== Анализ параметрического портрета ==

[[Файл:Gauze img1.png|мини|справа|Рис. 1. Параметрический портрет системы (2)]]

Удобно изобразить линии, на которых происходит смена устойчивости положений равновесия, на параметрическом портрете (рис. 1). В областях ''II'' и ''III'' фазовые портреты топологически эквивалентны, все траектории стремятся к асимптотически устойчивому положению равновесия $$A_3$$ (рис. (b)). Ситуация аналогична для областей ''V'' и ''VI'' с тем отличием, что орбиты системы (2) стремятся к $$A_2$$. Оба этих случая характеризуются доминированием одного из конкурирующих видов и неизбежным вымиранием второго.

В области ''I'' реализуется бистабильная ситуация (рис. (a)). Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ неустойчиво (седловая точка), а $$A_2$$ и $$A_3$$ — устойчивые узлы. В зависимости от начальных условий может доминировать как первый вид, так и второй. Во всех указанных выше случаях один из видов в процессе эволюции вымирает. Ситуация становится принципиально иной в области ''IV''. Положение равновесия $$A_4 \in \mathbb{R}^2_+$$ в этой области асимптотически устойчиво (устойчивый узел), остальные положения равновесия неустойчивы (рис. (c)).

<gallery class="center" mode="packed" heights="230px">
Gauze img2.png
Gauze img3.png
Gauze img4.png
</gallery>

Как показывает рис. 1, из шести областей значений параметров модели (2) только в одной происходит сосуществование конкурирующих видов. Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что данная ситуация оказывается общей — практически всегда один из конкурирующих видов подавляет другой. Одним из первых математически точно сформулировал этот принцип (закон конкурентного исключения) [https://ru.wikipedia.org/wiki/Гаузе,_Георгий_Францевич Георгий Францевич Гаузе] в своей работе «Борьба за существование».

==Принцип Гаузе==

Согласно принципу Гаузе, два вида, занимающие одну экологическую нишу, не могут устойчиво сосуществовать друг с другом. Докажем закон Гаузе как математиское утверждение в рамках предложенной математической модели.

'''Утверждение.''' Если $$n$$ полуляций линейно зависят от $$m$$ ресурсов, причем $$m < n$$, то по крайней мере одна из популяций вымирает.

'''Доказательство.'''
Предположение о линейной зависимости от ресурсов критично для приведенного утверждения. Оно означает, что коэффициент скорости роста i-й популяции имеет вид
\begin{equation}\label{eqn:linear_system}
\dfrac{\dot{u_i}}{u_i} = b_{i1} R_1 + \dots + b_{im} R_m - \alpha_i, \ i = 1, \, \dots, \, n.
\end{equation}
Постоянные $$\alpha_i$$ показывают скорость вымирания в отсутствие ресурсов. $$R_k$$ — это изобилие k-го ресурса, а коэффициенты $$b_{ik}$$ описывают эффективность i-го вида использовании k-го ресурса. Изобилие k-го ресурса зависит от плотностей популяций. Если эта зависимость линейна, то в качестве выражений для $$R_k$$ можно взять
\begin{equation}
R_k = \overline{R_k} - \sum{u_i a_{ki}}
\end{equation}
с положительными постоянными $$\overline{R_k}$$ и $$a_{ki}$$. Последнее предположение задает систему дифференциальных уравнений в явном виде, но для доказательства не потребуется. Достаточно допустить, что ресурсы могут быть исчерпаны. Другими словами, плотности $$u_i$$ не могут расти до бесконечности.

Так как $$n > m$$, система уравнений
\begin{equation}
\sum_{i = 1}^n{c_i b_{ij}} = 0, \ j = 1, \, \dots, \, m
\end{equation}
имеет нетривиальное решение $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$. Пусть
\begin{equation}
\alpha = \sum_{i = 1}^n{c_i \alpha_i} \neq 0
\end{equation}
(этого всегда можно добиться, если $$n > m + 1$$).

Рассмотрим общий случай $$\alpha > 0$$. Так как наряду с решением $$(c_1, \, \dots, \, c_n)$$ пригодно решение $$(-c_1, \, \dots, \, -c_n)$$, мы можем считать, что $$\alpha > 0$$. Из \eqref{eqn:linear_system} получим
\begin{equation}
\sum{c_i \dfrac{d}{dt}(ln u_i)} = \sum{c_i \dfrac{\dot{u_i}}{u_i}} = -\alpha.
\end{equation}

Интегрируя от $$0$$ до $$T$$, получим
\begin{equation}
\prod_{i = 1}^n{(u_i(T))^{c_i}} = C e^{-\alpha T}
\end{equation}
для некоторой постоянной $$C$$. Если $$T \to \infty$$, правая часть последнего выражения сходится к нулю. Так как все $$u_i$$ ограничены, должен существовать по крайней мере один индекс $$i$$ такой, что $$\lim \inf_{T \to \infty} u_i(T) = 0$$, что и означает вымирание соответствующего вида.

== Применимость к биологическим моделям ==
Слово «закон» в применении к экологическим системам не должно трактоваться в точном математическом смысле. Хотя закон конкурентного исключения в настоящее время является общепринятым, все же существуют ситуации, когда его необходимо корректировать. Например, в верхних слоях водной толщи нередко сосуществуют несколько десятков видов планктонных водорослей, а число факторов, ограничивающих рост их популяций, очень невелико, что противоречит закону Гаузе. Объяснение этого феномена было предложено Хатчинсоном ([https://en.wikipedia.org/wiki/G._Evelyn_Hutchinson George Evelyn Hutchinson], 1903–1991, американский зоолог и иммунолог, известный также многочисленными применениями математических моделей в биологии), который предположил, что планктонное сообщество находится в неравновесном состоянии: одни виды не вытесняют другие окончательно, так как постоянно меняются внешние условия, а в новых условиях преимущество получают совсем другие виды.

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. «Лекции по динамическим системам и биоматематике», 2024.
# Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. «Динамические системы и модели биологии», 2011.