sawiki - Вклад участника [ru]

Сепарабельность метрического пространства

2025-12-21T14:25:48Z

Danila25:

== Плотные множества ==

'''Определение 1.''' Пусть $$(X,d)$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство метрическое пространство] и $$A \subset X$$.
Множество $$A$$ называется '''плотным''' в $$X$$, если для любого $$x \in X$$ и любого $$\varepsilon > 0$$ существует элемент $$a \in A$$ такой, что
$$
d(x,a) < \varepsilon.
$$

Эквивалентно, замыкание множества $$A$$ совпадает со всем пространством $$X$$.

== Сепарабельные метрические пространства ==

'''Определение 2.''' Метрическое пространство $$(X,d)$$ называется '''сепарабельным''', если в нём существует счётное плотное подмножество.

== Примеры сепарабельных пространств ==

'''Пример 1.''' Пространство $$\mathbb{R}$$ с обычной метрикой является сепарабельным.

''Доказательство.''
Множество рациональных чисел $$\mathbb{Q}$$ счётно и плотно в $$\mathbb{R}$$, так как между любыми двумя вещественными числами существует рациональное. $$\square$$

'''Пример 2.''' Евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$ является сепарабельным.

''Доказательство.''
Рассмотрим множество
$$
\mathbb{Q}^n = \{(q_1,\dots,q_n) : q_k \in \mathbb{Q}\}.
$$
Оно счётно как декартово произведение счётных множеств и плотно в $$\mathbb{R}^n$$. $$\square$$

== Свойства сепарабельных пространств ==

'''Теорема 1.'''

# Любое подпространство сепарабельного метрического пространства является сепарабельным.
# Счётное объединение сепарабельных подмножеств метрического пространства является сепарабельным.

''Доказательство.''
1. Пусть $(X,d)$ — сепарабельное метрическое пространство, и пусть $D = \{d_1, d_2, \ldots\}$ — счётное плотное подмножество $X$. Рассмотрим подпространство $Y \subseteq X$.

Покажем, что множество $D_Y = D \cap Y$ плотно в $Y$.

Пусть $y \in Y$ и $\varepsilon > 0$. Так как $D$ — плотное множество в $X$, существует $d_i \in D$ такое, что
\[
d(y, d_i) < \varepsilon.
\]

Если $d_i \in Y$, то всё хорошо, так как $d_i \in D_Y = D \cap Y$.

Если же $d_i \notin Y$, то возьмём окрестность $B_\varepsilon(y) = \{x \in X : d(x,y) < \varepsilon\}$.

Поскольку $Y$ — подмножество $X$, рассмотрим пересечение $B_\varepsilon(y) \cap Y$.

Из определения плотности $D$ в $X$ следует, что множество $D$ пересекается с любым непустым открытым подмножеством $X$, в частности, с $B_\varepsilon(y)$.

Если бы $D_Y = D \cap Y$ было пусто, то пересечение $D \cap (B_\varepsilon(y) \cap Y)$ тоже было бы пусто.

Однако это означает, что в окрестности $y$ внутри $Y$ отсутствуют точки из $D$, что противоречит тому, что $D$ плотное в $X$.

Следовательно, $D_Y$ непусто и для любого $\varepsilon > 0$ существует точка $d_j \in D_Y$, такая что
\[
d(y, d_j) < \varepsilon.
\]

Таким образом, $D_Y$ плотно в $Y$.

2. Пусть теперь
\[
A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n,
\]
где каждое $A_n \subseteq X$ сепарабельно. Для каждого $n$ существует счётное плотное множество $D_n \subseteq A_n$.

Рассмотрим множество
\[
D = \bigcup_{n=1}^\infty D_n.
\]
Так как объединение счётного количества счётных множеств счётно, множество $D$ — счётно.

Покажем, что $D$ плотно в $A$.

Для любой точки $a \in A$ и любого $\varepsilon > 0$ существует номер $k$, такой что $a \in A_k$, а так как $D_k$ плотно в $A_k$, существует $d \in D_k \subseteq D$ такой, что
\[
d(a, d) < \varepsilon.
\]
Таким образом, $D$ плотно в $A$, и $A$ сепарабельно. $\square$

== Сепарабельность нормированных пространств ==

Пусть $$X$$ — [https://ru.wikipedia.org/wiki/Нормированное_пространство нормированное пространство] с нормой $$\|\cdot\|$$.
Норма порождает метрику
$$
d(x,y) = \|x-y\|.
$$

'''Определение 3.''' Нормированное пространство называется '''сепарабельным''', если соответствующее ему метрическое пространство сепарабельно.

'''Теорема 2.''' Любое конечномерное нормированное пространство является сепарабельным.

''Доказательство.''
Пусть $$\dim X = n$$ и $$\{e_1,\dots,e_n\}$$ — базис в $$X$$. Тогда любой элемент $$x \in X$$ представим в виде
$$
x = \sum_{k=1}^{n} c_k e_k,
$$
где $$c_k \in \mathbb{R}$$ (или $$\mathbb{C}$$).

Рассмотрим множество векторов с рациональными коэффициентами $$c_k \in \mathbb{Q}$$. Оно счётно и плотно в $$X$$ в силу эквивалентности норм в конечномерных пространствах. $$\square$$

== Сепарабельность функциональных пространств ==

'''Пример 3.''' Пространство $$C[0,1]$$ с нормой
$$
\|x\|_{C[0,1]} = \max_{t \in [0,1]} |x(t)|
$$
является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Множество алгебраических многочленов с рациональными коэффициентами счётно и плотно в $$C[0,1]$$ по теореме Вейерштрасса. $$\square$$

== Сепарабельные гильбертовы пространства ==

'''Определение 4.''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство Гильбертово пространство] $$H$$ называется '''сепарабельным''', если в нём существует счётное плотное подмножество.

'''Теорема 3.''' Гильбертово пространство $$H$$ сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.

''Доказательство (идея).''
Если в $$H$$ существует счётный ортонормированный базис, то его линейная оболочка с рациональными коэффициентами счётна и плотна.
Обратно, из сепарабельности с помощью процесса ортогонализации Грама–Шмидта можно построить счётную ортонормированную систему, плотную в $$H$$. $$\square$$

== Несепарабельные пространства ==

'''Пример 4.''' Пространство $$\ell^\infty$$ всех ограниченных последовательностей с нормой
$$
\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|
$$
не является сепарабельным.

''Доказательство.''
Для каждого подмножества $$A \subset \mathbb{N}$$ определим последовательность
$$
x^{(A)} = (x_n^{(A)}), \quad
x_n^{(A)} =
\begin{cases}
1, & n \in A, \\
0, & n \notin A.
\end{cases}
$$

Все такие последовательности принадлежат $$\ell^\infty$$ и имеют норму $$1$$.
Если $$A \neq B$$, то существует номер $$k$$ такой, что
$$
|x_k^{(A)} - x_k^{(B)}| = 1.
$$
Следовательно,
$$
\|x^{(A)} - x^{(B)}\|_\infty = 1.
$$

Таким образом, множество $$\{x^{(A)} : A \subset \mathbb{N}\}$$ несчётно и расстояние
между любыми двумя его различными элементами не меньше $$1$$.
Такое множество не может иметь счётного плотного подмножества.
Следовательно, пространство $$\ell^\infty$$ не является сепарабельным. $$\square$$

== Список литературы ==

1. Точилин П.А. Лекции по курсу «Функциональный анализ», 2025.

2. Треногин В.А. «Функциональный анализ», 2002.

Сепарабельность метрического пространства

2025-12-21T14:18:59Z

Danila25:

== Плотные множества ==

'''Определение 1.''' Пусть $$(X,d)$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство метрическое пространство] и $$A \subset X$$.
Множество $$A$$ называется '''плотным''' в $$X$$, если для любого $$x \in X$$ и любого $$\varepsilon > 0$$ существует элемент $$a \in A$$ такой, что
$$
d(x,a) < \varepsilon.
$$

Эквивалентно, замыкание множества $$A$$ совпадает со всем пространством $$X$$.

== Сепарабельные метрические пространства ==

'''Определение 2.''' Метрическое пространство $$(X,d)$$ называется '''сепарабельным''', если в нём существует счётное плотное подмножество.

== Примеры сепарабельных пространств ==

'''Пример 1.''' Пространство $$\mathbb{R}$$ с обычной метрикой является сепарабельным.

''Доказательство.''
Множество рациональных чисел $$\mathbb{Q}$$ счётно и плотно в $$\mathbb{R}$$, так как между любыми двумя вещественными числами существует рациональное. $$\square$$

'''Пример 2.''' Евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$ является сепарабельным.

''Доказательство.''
Рассмотрим множество
$$
\mathbb{Q}^n = \{(q_1,\dots,q_n) : q_k \in \mathbb{Q}\}.
$$
Оно счётно как декартово произведение счётных множеств и плотно в $$\mathbb{R}^n$$. $$\square$$

== Свойства сепарабельных пространств ==

'''Теорема 1.'''

# Любое подпространство сепарабельного метрического пространства является сепарабельным.
# Счётное объединение сепарабельных подмножеств метрического пространства является сепарабельным.

''Доказательство.''
1. Пусть $(X,d)$ — сепарабельное метрическое пространство, и пусть $D = \{d_1, d_2, \ldots\}$ — счётное плотное подмножество $X$. Рассмотрим подпространство $Y \subseteq X$.

Покажем, что множество $D_Y = D \cap Y$ плотно в $Y$.

Пусть $y \in Y$ и $\varepsilon > 0$. Так как $D$ — плотное множество в $X$, существует $d_i \in D$ такое, что
\[
d(y, d_i) < \varepsilon.
\]

Если $d_i \in Y$, то всё хорошо, так как $d_i \in D_Y = D \cap Y$.

Если же $d_i \notin Y$, то возьмём окрестность $B_\varepsilon(y) = \{x \in X : d(x,y) < \varepsilon\}$.

Поскольку $Y$ — подмножество $X$, рассмотрим пересечение $B_\varepsilon(y) \cap Y$.

Из определения плотности $D$ в $X$ следует, что множество $D$ пересекается с любым непустым открытым подмножеством $X$, в частности, с $B_\varepsilon(y)$.

Если бы $D_Y = D \cap Y$ было пусто, то пересечение $D \cap (B_\varepsilon(y) \cap Y)$ тоже было бы пусто.

Однако это означает, что в окрестности $y$ внутри $Y$ отсутствуют точки из $D$, что противоречит тому, что $D$ плотное в $X$.

Следовательно, $D_Y$ непусто и для любого $\varepsilon > 0$ существует точка $d_j \in D_Y$, такая что
\[
d(y, d_j) < \varepsilon.
\]

Таким образом, $D_Y$ плотно в $Y$.

2. Пусть теперь
\[
A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n,
\]
где каждое $A_n \subseteq X$ сепарабельно. Для каждого $n$ существует счётное плотное множество $D_n \subseteq A_n$.

Рассмотрим множество
\[
D = \bigcup_{n=1}^\infty D_n.
\]
Так как объединение счётного количества счётных множеств счётно, множество $D$ — счётно.

Покажем, что $D$ плотно в $A$.

Для любой точки $a \in A$ и любого $\varepsilon > 0$ существует номер $k$, такой что $a \in A_k$, а так как $D_k$ плотно в $A_k$, существует $d \in D_k \subseteq D$ такой, что
\[
d(a, d) < \varepsilon.
\]
Таким образом, $D$ плотно в $A$, и $A$ сепарабельно. $\square$

== Сепарабельность нормированных пространств ==

Пусть $$X$$ — [https://ru.wikipedia.org/wiki/Нормированное_пространство нормированное пространство] с нормой $$\|\cdot\|$$.
Норма порождает метрику
$$
d(x,y) = \|x-y\|.
$$

'''Определение 3.''' Нормированное пространство называется '''сепарабельным''', если соответствующее ему метрическое пространство сепарабельно.

'''Теорема 2.''' Любое конечномерное нормированное пространство является сепарабельным.

''Доказательство.''
Пусть $$\dim X = n$$ и $$\{e_1,\dots,e_n\}$$ — базис в $$X$$. Тогда любой элемент $$x \in X$$ представим в виде
$$
x = \sum_{k=1}^{n} c_k e_k,
$$
где $$c_k \in \mathbb{R}$$ (или $$\mathbb{C}$$).

Рассмотрим множество векторов с рациональными коэффициентами $$c_k \in \mathbb{Q}$$. Оно счётно и плотно в $$X$$ в силу эквивалентности норм в конечномерных пространствах. $$\square$$

== Сепарабельность функциональных пространств ==

'''Пример 3.''' Пространство $$C[0,1]$$ с нормой
$$
\|x\|_{C[0,1]} = \max_{t \in [0,1]} |x(t)|
$$
является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Множество алгебраических многочленов с рациональными коэффициентами счётно и плотно в $$C[0,1]$$ по теореме Вейерштрасса. $$\square$$

== Сепарабельные гильбертовы пространства ==

'''Определение 4.''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство Гильбертово пространство] $$H$$ называется '''сепарабельным''', если в нём существует счётное плотное подмножество.

'''Теорема 3.''' Гильбертово пространство $$H$$ сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.

''Доказательство (идея).''
Если в $$H$$ существует счётный ортонормированный базис, то его линейная оболочка с рациональными коэффициентами счётна и плотна.
Обратно, из сепарабельности с помощью процесса ортогонализации Грама–Шмидта можно построить счётную ортонормированную систему, плотную в $$H$$. $$\square$$

== Несепарабельные пространства ==

'''Пример 4.''' Пространство $$\ell^\infty$$ всех ограниченных последовательностей с нормой
$$
\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|
$$
не является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Можно построить несчётное множество элементов, расстояние между любыми двумя из которых не меньше фиксированной положительной константы. Такое множество не допускает счётного плотного подмножества. $$\square$$

== Список литературы ==

1. Точилин П.А. Лекции по курсу «Функциональный анализ», 2025.

2. Треногин В.А. «Функциональный анализ», 2002.

Сепарабельность метрического пространства

2025-12-18T17:33:47Z

Danila25:

== Метрические пространства ==

'''Определение 1.''' Пусть $$X$$ — произвольное множество. Функция
$$
d: X \times X \to \mathbb{R}
$$
называется '''метрикой''' на $$X$$, если для любых $$x,y,z \in X$$ выполнены условия:

1. $$d(x,y) \geqslant 0$$ и $$d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$$;

2. $$d(x,y) = d(y,x)$$;

3. $$d(x,z) \leqslant d(x,y) + d(y,z)$$.

Пара $$(X,d)$$ называется '''метрическим пространством'''.

Метрика задаёт понятие расстояния между элементами и позволяет определить сходимость последовательностей, непрерывность отображений и другие важные свойства.

== Плотные множества ==

'''Определение 2.''' Пусть $$(X,d)$$ — метрическое пространство и $$A \subset X$$.
Множество $$A$$ называется '''плотным''' в $$X$$, если для любого $$x \in X$$ и любого $$\varepsilon > 0$$ существует элемент $$a \in A$$ такой, что
$$
d(x,a) < \varepsilon.
$$

Эквивалентно, замыкание множества $$A$$ совпадает со всем пространством $$X$$.

== Сепарабельные метрические пространства ==

'''Определение 3.''' Метрическое пространство $$(X,d)$$ называется '''сепарабельным''', если в нём существует счётное плотное подмножество.

== Примеры сепарабельных пространств ==

'''Пример 1.''' Пространство $$\mathbb{R}$$ с обычной метрикой является сепарабельным.

''Доказательство.''
Множество рациональных чисел $$\mathbb{Q}$$ счётно и плотно в $$\mathbb{R}$$, так как между любыми двумя вещественными числами существует рациональное. $$\square$$

'''Пример 2.''' Евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$ является сепарабельным.

''Доказательство.''
Рассмотрим множество
$$
\mathbb{Q}^n = \{(q_1,\dots,q_n) : q_k \in \mathbb{Q}\}.
$$
Оно счётно как декартово произведение счётных множеств и плотно в $$\mathbb{R}^n$$. $$\square$$

== Свойства сепарабельных пространств ==

'''Теорема 3.'''
1. Любое подпространство сепарабельного метрического пространства является сепарабельным.
2. Счётное объединение сепарабельных подмножеств метрического пространства является сепарабельным.

''Доказательство.''
1. Пусть $(X,d)$ — сепарабельное метрическое пространство, и пусть $D = \{d_1, d_2, \ldots\}$ — счётное плотное подмножество $X$. Рассмотрим подпространство $Y \subseteq X$.

Покажем, что множество $D_Y = D \cap Y$ плотно в $Y$.

Пусть $y \in Y$ и $\varepsilon > 0$. Так как $D$ — плотное множество в $X$, существует $d_i \in D$ такое, что
\[
d(y, d_i) < \varepsilon.
\]

Если $d_i \in Y$, то всё хорошо, так как $d_i \in D_Y = D \cap Y$.

Если же $d_i \notin Y$, то возьмём окрестность $B_\varepsilon(y) = \{x \in X : d(x,y) < \varepsilon\}$.

Поскольку $Y$ — подмножество $X$, рассмотрим пересечение $B_\varepsilon(y) \cap Y$.

Из определения плотности $D$ в $X$ следует, что множество $D$ пересекается с любым непустым открытым подмножеством $X$, в частности, с $B_\varepsilon(y)$.

Если бы $D_Y = D \cap Y$ было пусто, то пересечение $D \cap (B_\varepsilon(y) \cap Y)$ тоже было бы пусто.

Однако это означает, что в окрестности $y$ внутри $Y$ отсутствуют точки из $D$, что противоречит тому, что $D$ плотное в $X$.

Следовательно, $D_Y$ непусто и для любого $\varepsilon > 0$ существует точка $d_j \in D_Y$, такая что
\[
d(y, d_j) < \varepsilon.
\]

Таким образом, $D_Y$ плотно в $Y$.

2. Пусть теперь
\[
A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n,
\]
где каждое $A_n \subseteq X$ сепарабельно. Для каждого $n$ существует счётное плотное множество $D_n \subseteq A_n$.

Рассмотрим множество
\[
D = \bigcup_{n=1}^\infty D_n.
\]
Так как объединение счётного количества счётных множеств счётно, множество $D$ — счётно.

Покажем, что $D$ плотно в $A$.

Для любой точки $a \in A$ и любого $\varepsilon > 0$ существует номер $k$, такой что $a \in A_k$, а так как $D_k$ плотно в $A_k$, существует $d \in D_k \subseteq D$ такой, что
\[
d(a, d) < \varepsilon.
\]
Таким образом, $D$ плотно в $A$, и $A$ сепарабельно. $\square$

== Сепарабельность нормированных пространств ==

Пусть $$X$$ — нормированное пространство с нормой $$\|\cdot\|$$.
Норма порождает метрику
$$
d(x,y) = \|x-y\|.
$$

'''Определение 4.''' Нормированное пространство называется '''сепарабельным''', если соответствующее ему метрическое пространство сепарабельно.

'''Теорема 1.''' Любое конечномерное нормированное пространство является сепарабельным.

''Доказательство.''
Пусть $$\dim X = n$$ и $$\{e_1,\dots,e_n\}$$ — базис в $$X$$. Тогда любой элемент $$x \in X$$ представим в виде
$$
x = \sum_{k=1}^{n} c_k e_k,
$$
где $$c_k \in \mathbb{R}$$ (или $$\mathbb{C}$$).

Рассмотрим множество векторов с рациональными коэффициентами $$c_k \in \mathbb{Q}$$. Оно счётно и плотно в $$X$$ в силу эквивалентности норм в конечномерных пространствах. $$\square$$

== Сепарабельность функциональных пространств ==

'''Пример 3.''' Пространство $$C[0,1]$$ с нормой
$$
\|x\|_{C[0,1]} = \max_{t \in [0,1]} |x(t)|
$$
является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Множество алгебраических многочленов с рациональными коэффициентами счётно и плотно в $$C[0,1]$$ по теореме Вейерштрасса. $$\square$$

== Сепарабельные гильбертовы пространства ==

'''Определение 5.''' Гильбертово пространство $$H$$ называется '''сепарабельным''', если в нём существует счётное плотное подмножество.

'''Теорема 2.''' Гильбертово пространство $$H$$ сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.

''Доказательство (идея).''
Если в $$H$$ существует счётный ортонормированный базис, то его линейная оболочка с рациональными коэффициентами счётна и плотна.
Обратно, из сепарабельности с помощью процесса ортогонализации Грама–Шмидта можно построить счётную ортонормированную систему, плотную в $$H$$. $$\square$$

== Несепарабельные пространства ==

'''Пример 4.''' Пространство $$\ell^\infty$$ всех ограниченных последовательностей с нормой
$$
\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|
$$
не является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Можно построить несчётное множество элементов, расстояние между любыми двумя из которых не меньше фиксированной положительной константы. Такое множество не допускает счётного плотного подмножества. $$\square$$

== Список литературы ==

1. Точилин П.А. Лекции по курсу «Функциональный анализ», 2025.

2. Треногин В.А. «Функциональный анализ», 2002.

Сепарабельность метрического пространства

2025-12-18T17:10:23Z

Danila25: /* Список литературы */

== Метрические пространства ==

'''Определение 1.''' Пусть $$X$$ — произвольное множество. Функция
$$
d: X \times X \to \mathbb{R}
$$
называется '''метрикой''' на $$X$$, если для любых $$x,y,z \in X$$ выполнены условия:

1. $$d(x,y) \geqslant 0$$ и $$d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$$;

2. $$d(x,y) = d(y,x)$$;

3. $$d(x,z) \leqslant d(x,y) + d(y,z)$$.

Пара $$(X,d)$$ называется '''метрическим пространством'''.

Метрика задаёт понятие расстояния между элементами и позволяет определить сходимость последовательностей, непрерывность отображений и другие важные свойства.

== Плотные множества ==

'''Определение 2.''' Пусть $$(X,d)$$ — метрическое пространство и $$A \subset X$$.
Множество $$A$$ называется '''плотным''' в $$X$$, если для любого $$x \in X$$ и любого $$\varepsilon > 0$$ существует элемент $$a \in A$$ такой, что
$$
d(x,a) < \varepsilon.
$$

Эквивалентно, замыкание множества $$A$$ совпадает со всем пространством $$X$$.

== Сепарабельные метрические пространства ==

'''Определение 3.''' Метрическое пространство $$(X,d)$$ называется '''сепарабельным''', если в нём существует счётное плотное подмножество.

== Примеры сепарабельных пространств ==

'''Пример 1.''' Пространство $$\mathbb{R}$$ с обычной метрикой является сепарабельным.

''Доказательство.''
Множество рациональных чисел $$\mathbb{Q}$$ счётно и плотно в $$\mathbb{R}$$, так как между любыми двумя вещественными числами существует рациональное. $$\square$$

'''Пример 2.''' Евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$ является сепарабельным.

''Доказательство.''
Рассмотрим множество
$$
\mathbb{Q}^n = \{(q_1,\dots,q_n) : q_k \in \mathbb{Q}\}.
$$
Оно счётно как декартово произведение счётных множеств и плотно в $$\mathbb{R}^n$$. $$\square$$

== Сепарабельность нормированных пространств ==

Пусть $$X$$ — нормированное пространство с нормой $$\|\cdot\|$$.
Норма порождает метрику
$$
d(x,y) = \|x-y\|.
$$

'''Определение 4.''' Нормированное пространство называется '''сепарабельным''', если соответствующее ему метрическое пространство сепарабельно.

'''Теорема 1.''' Любое конечномерное нормированное пространство является сепарабельным.

''Доказательство.''
Пусть $$\dim X = n$$ и $$\{e_1,\dots,e_n\}$$ — базис в $$X$$. Тогда любой элемент $$x \in X$$ представим в виде
$$
x = \sum_{k=1}^{n} c_k e_k,
$$
где $$c_k \in \mathbb{R}$$ (или $$\mathbb{C}$$).

Рассмотрим множество векторов с рациональными коэффициентами $$c_k \in \mathbb{Q}$$. Оно счётно и плотно в $$X$$ в силу эквивалентности норм в конечномерных пространствах. $$\square$$

== Сепарабельность функциональных пространств ==

'''Пример 3.''' Пространство $$C[0,1]$$ с нормой
$$
\|x\|_{C[0,1]} = \max_{t \in [0,1]} |x(t)|
$$
является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Множество алгебраических многочленов с рациональными коэффициентами счётно и плотно в $$C[0,1]$$ по теореме Вейерштрасса. $$\square$$

'''Пример 4.''' Пространство $$L^p(0,1)$$ при $$1 \leqslant p < \infty$$ является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Множество ступенчатых функций с рациональными значениями счётно и плотно в $$L^p(0,1)$$. $$\square$$

== Сепарабельные гильбертовы пространства ==

'''Определение 5.''' Гильбертово пространство $$H$$ называется '''сепарабельным''', если в нём существует счётное плотное подмножество.

'''Теорема 2.''' Гильбертово пространство $$H$$ сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.

''Доказательство (идея).''
Если в $$H$$ существует счётный ортонормированный базис, то его линейная оболочка с рациональными коэффициентами счётна и плотна.
Обратно, из сепарабельности с помощью процесса ортогонализации Грама–Шмидта можно построить счётную ортонормированную систему, плотную в $$H$$. $$\square$$

== Несепарабельные пространства ==

'''Пример 5.''' Пространство $$\ell^\infty$$ всех ограниченных последовательностей с нормой
$$
\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|
$$
не является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Можно построить несчётное множество элементов, расстояние между любыми двумя из которых не меньше фиксированной положительной константы. Такое множество не допускает счётного плотного подмножества. $$\square$$

== Список литературы ==

1. Точилин П.А. Лекции по курсу «Функциональный анализ», 2025.

2. Треногин В.А. «Функциональный анализ», 2002.

Сепарабельность метрического пространства

2025-12-18T17:10:08Z

Danila25: /* Список литературы */

== Метрические пространства ==

'''Определение 1.''' Пусть $$X$$ — произвольное множество. Функция
$$
d: X \times X \to \mathbb{R}
$$
называется '''метрикой''' на $$X$$, если для любых $$x,y,z \in X$$ выполнены условия:

1. $$d(x,y) \geqslant 0$$ и $$d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$$;

2. $$d(x,y) = d(y,x)$$;

3. $$d(x,z) \leqslant d(x,y) + d(y,z)$$.

Пара $$(X,d)$$ называется '''метрическим пространством'''.

Метрика задаёт понятие расстояния между элементами и позволяет определить сходимость последовательностей, непрерывность отображений и другие важные свойства.

== Плотные множества ==

'''Определение 2.''' Пусть $$(X,d)$$ — метрическое пространство и $$A \subset X$$.
Множество $$A$$ называется '''плотным''' в $$X$$, если для любого $$x \in X$$ и любого $$\varepsilon > 0$$ существует элемент $$a \in A$$ такой, что
$$
d(x,a) < \varepsilon.
$$

Эквивалентно, замыкание множества $$A$$ совпадает со всем пространством $$X$$.

== Сепарабельные метрические пространства ==

'''Определение 3.''' Метрическое пространство $$(X,d)$$ называется '''сепарабельным''', если в нём существует счётное плотное подмножество.

== Примеры сепарабельных пространств ==

'''Пример 1.''' Пространство $$\mathbb{R}$$ с обычной метрикой является сепарабельным.

''Доказательство.''
Множество рациональных чисел $$\mathbb{Q}$$ счётно и плотно в $$\mathbb{R}$$, так как между любыми двумя вещественными числами существует рациональное. $$\square$$

'''Пример 2.''' Евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$ является сепарабельным.

''Доказательство.''
Рассмотрим множество
$$
\mathbb{Q}^n = \{(q_1,\dots,q_n) : q_k \in \mathbb{Q}\}.
$$
Оно счётно как декартово произведение счётных множеств и плотно в $$\mathbb{R}^n$$. $$\square$$

== Сепарабельность нормированных пространств ==

Пусть $$X$$ — нормированное пространство с нормой $$\|\cdot\|$$.
Норма порождает метрику
$$
d(x,y) = \|x-y\|.
$$

'''Определение 4.''' Нормированное пространство называется '''сепарабельным''', если соответствующее ему метрическое пространство сепарабельно.

'''Теорема 1.''' Любое конечномерное нормированное пространство является сепарабельным.

''Доказательство.''
Пусть $$\dim X = n$$ и $$\{e_1,\dots,e_n\}$$ — базис в $$X$$. Тогда любой элемент $$x \in X$$ представим в виде
$$
x = \sum_{k=1}^{n} c_k e_k,
$$
где $$c_k \in \mathbb{R}$$ (или $$\mathbb{C}$$).

Рассмотрим множество векторов с рациональными коэффициентами $$c_k \in \mathbb{Q}$$. Оно счётно и плотно в $$X$$ в силу эквивалентности норм в конечномерных пространствах. $$\square$$

== Сепарабельность функциональных пространств ==

'''Пример 3.''' Пространство $$C[0,1]$$ с нормой
$$
\|x\|_{C[0,1]} = \max_{t \in [0,1]} |x(t)|
$$
является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Множество алгебраических многочленов с рациональными коэффициентами счётно и плотно в $$C[0,1]$$ по теореме Вейерштрасса. $$\square$$

'''Пример 4.''' Пространство $$L^p(0,1)$$ при $$1 \leqslant p < \infty$$ является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Множество ступенчатых функций с рациональными значениями счётно и плотно в $$L^p(0,1)$$. $$\square$$

== Сепарабельные гильбертовы пространства ==

'''Определение 5.''' Гильбертово пространство $$H$$ называется '''сепарабельным''', если в нём существует счётное плотное подмножество.

'''Теорема 2.''' Гильбертово пространство $$H$$ сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.

''Доказательство (идея).''
Если в $$H$$ существует счётный ортонормированный базис, то его линейная оболочка с рациональными коэффициентами счётна и плотна.
Обратно, из сепарабельности с помощью процесса ортогонализации Грама–Шмидта можно построить счётную ортонормированную систему, плотную в $$H$$. $$\square$$

== Несепарабельные пространства ==

'''Пример 5.''' Пространство $$\ell^\infty$$ всех ограниченных последовательностей с нормой
$$
\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|
$$
не является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Можно построить несчётное множество элементов, расстояние между любыми двумя из которых не меньше фиксированной положительной константы. Такое множество не допускает счётного плотного подмножества. $$\square$$

== Список литературы ==

1. Точилин П.А. Лекции по курсу «Функциональный анализ», 2025.

2. Треногин В.А. «Функциональный анализ», 2002.

3. Рудин У. «Функциональный анализ», 1999.

Сепарабельность метрического пространства

2025-12-18T17:08:51Z

Danila25:

== Метрические пространства ==

'''Определение 1.''' Пусть $$X$$ — произвольное множество. Функция
$$
d: X \times X \to \mathbb{R}
$$
называется '''метрикой''' на $$X$$, если для любых $$x,y,z \in X$$ выполнены условия:

1. $$d(x,y) \geqslant 0$$ и $$d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$$;

2. $$d(x,y) = d(y,x)$$;

3. $$d(x,z) \leqslant d(x,y) + d(y,z)$$.

Пара $$(X,d)$$ называется '''метрическим пространством'''.

Метрика задаёт понятие расстояния между элементами и позволяет определить сходимость последовательностей, непрерывность отображений и другие важные свойства.

== Плотные множества ==

'''Определение 2.''' Пусть $$(X,d)$$ — метрическое пространство и $$A \subset X$$.
Множество $$A$$ называется '''плотным''' в $$X$$, если для любого $$x \in X$$ и любого $$\varepsilon > 0$$ существует элемент $$a \in A$$ такой, что
$$
d(x,a) < \varepsilon.
$$

Эквивалентно, замыкание множества $$A$$ совпадает со всем пространством $$X$$.

== Сепарабельные метрические пространства ==

'''Определение 3.''' Метрическое пространство $$(X,d)$$ называется '''сепарабельным''', если в нём существует счётное плотное подмножество.

== Примеры сепарабельных пространств ==

'''Пример 1.''' Пространство $$\mathbb{R}$$ с обычной метрикой является сепарабельным.

''Доказательство.''
Множество рациональных чисел $$\mathbb{Q}$$ счётно и плотно в $$\mathbb{R}$$, так как между любыми двумя вещественными числами существует рациональное. $$\square$$

'''Пример 2.''' Евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$ является сепарабельным.

''Доказательство.''
Рассмотрим множество
$$
\mathbb{Q}^n = \{(q_1,\dots,q_n) : q_k \in \mathbb{Q}\}.
$$
Оно счётно как декартово произведение счётных множеств и плотно в $$\mathbb{R}^n$$. $$\square$$

== Сепарабельность нормированных пространств ==

Пусть $$X$$ — нормированное пространство с нормой $$\|\cdot\|$$.
Норма порождает метрику
$$
d(x,y) = \|x-y\|.
$$

'''Определение 4.''' Нормированное пространство называется '''сепарабельным''', если соответствующее ему метрическое пространство сепарабельно.

'''Теорема 1.''' Любое конечномерное нормированное пространство является сепарабельным.

''Доказательство.''
Пусть $$\dim X = n$$ и $$\{e_1,\dots,e_n\}$$ — базис в $$X$$. Тогда любой элемент $$x \in X$$ представим в виде
$$
x = \sum_{k=1}^{n} c_k e_k,
$$
где $$c_k \in \mathbb{R}$$ (или $$\mathbb{C}$$).

Рассмотрим множество векторов с рациональными коэффициентами $$c_k \in \mathbb{Q}$$. Оно счётно и плотно в $$X$$ в силу эквивалентности норм в конечномерных пространствах. $$\square$$

== Сепарабельность функциональных пространств ==

'''Пример 3.''' Пространство $$C[0,1]$$ с нормой
$$
\|x\|_{C[0,1]} = \max_{t \in [0,1]} |x(t)|
$$
является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Множество алгебраических многочленов с рациональными коэффициентами счётно и плотно в $$C[0,1]$$ по теореме Вейерштрасса. $$\square$$

'''Пример 4.''' Пространство $$L^p(0,1)$$ при $$1 \leqslant p < \infty$$ является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Множество ступенчатых функций с рациональными значениями счётно и плотно в $$L^p(0,1)$$. $$\square$$

== Сепарабельные гильбертовы пространства ==

'''Определение 5.''' Гильбертово пространство $$H$$ называется '''сепарабельным''', если в нём существует счётное плотное подмножество.

'''Теорема 2.''' Гильбертово пространство $$H$$ сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.

''Доказательство (идея).''
Если в $$H$$ существует счётный ортонормированный базис, то его линейная оболочка с рациональными коэффициентами счётна и плотна.
Обратно, из сепарабельности с помощью процесса ортогонализации Грама–Шмидта можно построить счётную ортонормированную систему, плотную в $$H$$. $$\square$$

== Несепарабельные пространства ==

'''Пример 5.''' Пространство $$\ell^\infty$$ всех ограниченных последовательностей с нормой
$$
\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|
$$
не является сепарабельным.

''Идея доказательства.''
Можно построить несчётное множество элементов, расстояние между любыми двумя из которых не меньше фиксированной положительной константы. Такое множество не допускает счётного плотного подмножества. $$\square$$

== Список литературы ==

1. Точилин П.А. Лекции по курсу «Функциональный анализ», 2025.
2. Треногин В.А. «Функциональный анализ», 2002.
3. Рудин У. «Функциональный анализ», 1999.

Сепарабельность метрического пространства

2025-12-18T17:07:38Z

Danila25:

Сепарабельность метрического пространства

2025-12-18T17:06:54Z

Danila25:

Сепарабельность метрического пространства

2025-12-18T17:03:48Z

Danila25:

Сепарабельность метрического пространства

2025-12-18T17:01:21Z

Danila25: Новая страница: «== Метрические пространства == '''Определение 1.''' Пусть $$X$$ — произвольное множество. Функ...»