sawiki - Вклад участника [ru]

Бифуркационная диаграмма

2023-10-19T09:55:12Z

Denis23: Исправление самоподобия 2

[[Файл:BifGif.gif|мини|Анимация построения бифуркационной диаграммы]]

== Определение ==
'''Определение 1'''
Бифуркация — это изменение [https://ru.wikipedia.org/wiki/Орбитально-топологическая_эквивалентность топологического типа] системы, когда ее параметры проходят через некоторые бифуркационные (критические) значения.

'''Определение 2'''
Бифуркационной диаграммой [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Динамическая_система динамической системы] называется разбиение пространства параметров на
максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями [https://ru.wikipedia.org/wiki/Орбитально-топологическая_эквивалентность топологической эквивалентности] и
рассматриваются вместе с [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Фазовые_и_интегральные_кривы._Фазовое_пространство фазовыми портретами] для каждого элемента разбиения.

== Смысл ==

\begin{gather*}
\dot{v} = f(v, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

'''Пояснение:''' Несмотря на то, что приведённая динамическая система является системой в непрерывном времени, бифуркационная диаграмма строится и для дискретных динамических систем,
определение и алгоритм построения остаются теми же.

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ \alpha = \alpha_0 $$ и рассмотрим в
пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ \alpha_0, $$ такое,
что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе
при $$ \alpha = \alpha_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так
называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет
вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами
составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее бифуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные
модели поведения данной системы.

== Алгоритм построения бифуркационной диаграммы ==
Пусть задана динамическая система в дискретном времени:
\begin{gather*}
v_{t+1} = g(v_t, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

Введём необходимые обозначения:

$$ N - $$ число итераций (достаточно большое) необходимое для того, чтобы система, если это возможно, стабилизировалась,

$$ M - $$ число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии.

[[Файл:MyBifAlphaV.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.]]
'''Шаг 1:'''
Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

'''Шаг 2:'''
Запускаем цикл по $$ j $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

'''Шаг 3:'''
Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}, \alpha_j). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

'''Шаг 4:'''
Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ M, $$ в котором производим ещё $$ M $$ итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}, \alpha_j). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.

== Пример бифуркационной диаграммы для системы в дискретном времени==
'''Пример 1.'''

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
{v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t), ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы.

$$ N $$ и $$ M $$ соответствуют своему описанию из секции Алгоритм построения бифуркационной диаграммы.

$$ v_0 $$ $$ - $$ точка, в которой происходит поиск.

'''Пример 2. (бифуркация удвоения периода)'''

[[Файл:BifDoubleAlphaV.png|600px|мини|справа|Появление устойчивого цикла длины два для системы из примера 2]]

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
v_{t+1}= -(1 + \alpha)v_{t} + v_{t}^3, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

Отображение $$ v \mapsto -(1 + \alpha)v + v^3 $$ обратимо для малых значений $$ |\alpha| $$ в окрестности начала координат.
Динамическая система имеет [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижную точку] $$ v^* = 0 $$ для всех значений $$ \alpha $$ с собственным
числом $$ \mu = -(1+\alpha). $$ Эта точка устойчива при малых $$ \alpha < 0 $$ и неустойчива, если $$ \alpha > 0. $$
Если $$ \alpha = 0, $$ то $$ \mu = -1, $$ поэтому в этом случае [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Неподвижные_точки_системы теорема о достаточных условиях устойчивости неподвижной точки]
не позволяет судить об устойчивости по первой итерации отображения и требует дополнительного анализа, а именно поиска второй итерации отображения.

Вторая итерация отображения $$ v \mapsto -(1 + \alpha)v + v^3 = f^2(v, \alpha) $$ имеет вид:
\begin{gather*}
f^2(v, \alpha) = f(f(v, \alpha)) = -(1+\alpha)[-(1+\alpha)v + v^3] + [-(1+\alpha)v + v^3]^3 = \\
= (1+\alpha)^2 v - (1+\alpha) v^3 - (1+\alpha)^3 v^3 + o(v^3) = \\
= (1+\alpha)^2 v - (2 + 4\alpha + 3\alpha^2 + \alpha^3) v^3 + o(v^3).
\end{gather*}

Отображение $$ f^2(v, \alpha), $$ очевидно, имеет тривиальную неподвижную точку $$ v^* = 0. $$ Кроме того, оно имеет
ещё две неподвижные точки при малых значениях параметра $$ \alpha > 0: v^*_{1,2} = \sqrt{\alpha} + o(\sqrt{\alpha}). $$ Последнее
означает, что $$ v^*_2 = f(v^*_1, \alpha), \, v^*_1 = f(v^*_2, \alpha), $$ причём $$ v^*_1 \neq v^*_2. $$
Нетрудно показать, что во второй итерации отображения $$ f(v, \alpha) $$ происходит бифуркация типа вилки.

Две неподвижные точки, появляющиеся в $$ f^2(v, \alpha) $$ при $$ \alpha > 0, $$ устойчивы и образуют
[https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Циклы_в_системах_с_дискретным_временем._Теорема_Шарковского цикл] длины
два для исходного отображения $$ f(v, \alpha), $$ так как $$ f(v^*_1, \alpha) = v^*_2 $$ и $$ f(v^*_2, \alpha) = v^*_1. $$
Такая бифуркация в исходной системе называется бифуркацией удвоения периода.

Если параметр $$ \alpha $$ изменяется в направлении от положительных значений к отрицательным, то
амплитуда цикла уменьшается (в том смысле, что $$ v^*_1 $$ и $$ v^*_2 $$ стремятся друг к другу),
затем цикл исчезает. На рисунке к данному примеру показано появление устойчивого цикла длины 2
в системе.

== Примеры бифуркационных диаграмм для систем в непрерывном времени==

'''Пример 3. (бифуркация седло-узел)'''
Пусть задана динамическая система:

[[Файл:11AlphaV.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 3.]]

\begin{gather*}
\dot{v}= \alpha + v^2 = f(v, \alpha), ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае $$ \alpha $$ это параметр, по которому происходит бифуркация. Такой параметр называют бифуркационным.

При $$ \alpha = 0 $$ это уравнение имеет положение равновесия $$ v^∗ = 0, $$ причем $$ \lambda = f_v(0, 0) = 0 $$
($$ f_v $$ обозначает производную функции $$ f $$ по переменной $$ v $$). Если $$ \alpha < 0, $$ то существуют
два положения равновесия $$ v_{1,2}(\alpha) = \pm \sqrt{−\alpha}, $$ из которых верхнее устойчиво, а нижнее $$ — $$ неустойчиво.
При $$ \alpha > 0 $$ положений равновесия в системе нет. При возрастании параметра $$ \alpha $$ в направлении от отрицательных
значений к положительным, две неподвижные точки сталкиваются и исчезают. Уравнение $$ f(v, \alpha) = 0 $$ определяет множество
положений равновесия (в данном случае это парабола $$ \alpha = −v^2 $$ ). Проектирование этого множества на ось параметра имеет
особенность в точке $$ (0, 0), $$ в которой происходит бифуркация. Данная бифуркация называется касательной бифуркацией или бифуркацией седло-узел.

Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а
пунктирная $$ - $$ неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены
три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ \alpha_1, \alpha_c, \alpha_2. $$ (соответственно,
отрицательная $$ \alpha_1 $$, $$ \alpha_c = 0 $$ и положительная $$ \alpha_2 $$ области значений)

'''Пример 4. (бифуркация типа вилки)'''

[[Файл:12AlphaV.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве
динамической системы примера 4. Обозначения как для примера 3.]]

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{v}= \alpha v - v^3, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае $$ \alpha $$ это бифуркационный параметр.

Если $$ \alpha < 0, $$ то имеется единственное устойчивое положение равновесия $$ v = 0. $$
Если же $$ \alpha > 0, $$ то возникают два устойчивых положения равновесия $$ v_{1,2} = \pm \sqrt{\alpha}, $$
при этом положение равновесия $$ v = 0 $$ становится неустойчивым.

Такая бифуркация называется бифуркацией типа вилки.

== Самоподобие бифуркационных диаграмм==
[[Файл:BifSamo11RedSquare.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 5 самоподобия бифуркационных диаграмм на интервале $$ \alpha \in [2, 2.02] $$.
Красным прямоугольником отмечена часть диаграммы, для которой будет показано самоподобие.]]
'''Пример 5.'''

Приведём пример самоподобия бифуркационных диаграмм для системы:
\begin{gather*}
\dot{v}= v^2 e^{\alpha (1-v^2)}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
На диаграммах, приведённых справа, можно наблюдать самоподобие при $$ \alpha \in [2, 2.02]
$$ и при $$ \alpha \in [2.0093, 2.01065]. $$ Внешний вид ветвления остаётся очень похожим.
[[Файл:BifSamo32.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 5 самоподобия бифуркационных диаграмм на интервале $$ \alpha \in [2.0093, 2.01065] $$.]]
== Список литературы ==
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011

Файл:BifSamo11RedSquare.png

2023-10-19T09:52:40Z

Denis23:

bifSamo11RedSquare

Бифуркационная диаграмма

2023-10-15T14:19:22Z

Denis23: Исправление самоподобия

[[Файл:BifGif.gif|мини|Анимация построения бифуркационной диаграммы]]

== Определение ==
'''Определение 1'''
Бифуркация — это изменение [https://ru.wikipedia.org/wiki/Орбитально-топологическая_эквивалентность топологического типа] системы, когда ее параметры проходят через некоторые бифуркационные (критические) значения.

'''Определение 2'''
Бифуркационной диаграммой [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Динамическая_система динамической системы] называется разбиение пространства параметров на
максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями [https://ru.wikipedia.org/wiki/Орбитально-топологическая_эквивалентность топологической эквивалентности] и
рассматриваются вместе с [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Фазовые_и_интегральные_кривы._Фазовое_пространство фазовыми портретами] для каждого элемента разбиения.

== Смысл ==

\begin{gather*}
\dot{v} = f(v, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

'''Пояснение:''' Несмотря на то, что приведённая динамическая система является системой в непрерывном времени, бифуркационная диаграмма строится и для дискретных динамических систем,
определение и алгоритм построения остаются теми же.

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ \alpha = \alpha_0 $$ и рассмотрим в
пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ \alpha_0, $$ такое,
что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе
при $$ \alpha = \alpha_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так
называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет
вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами
составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее бифуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные
модели поведения данной системы.

== Алгоритм построения бифуркационной диаграммы ==
Пусть задана динамическая система в дискретном времени:
\begin{gather*}
v_{t+1} = g(v_t, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

Введём необходимые обозначения:

$$ N - $$ число итераций (достаточно большое) необходимое для того, чтобы система, если это возможно, стабилизировалась,

$$ M - $$ число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии.

[[Файл:MyBifAlphaV.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.]]
'''Шаг 1:'''
Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

'''Шаг 2:'''
Запускаем цикл по $$ j $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

'''Шаг 3:'''
Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}, \alpha). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

'''Шаг 4:'''
Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ M, $$ в котором производим ещё $$ M $$ итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}, \alpha). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.

== Пример бифуркационной диаграммы для системы в дискретном времени==
'''Пример 1.'''

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
{v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t), ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы.

$$ N $$ и $$ M $$ соответствуют своему описанию из секции Алгоритм построения бифуркационной диаграммы.

$$ v_0 $$ $$ - $$ точка, в которой происходит поиск.

'''Пример 2. (бифуркация удвоения периода)'''

[[Файл:BifDoubleAlphaV.png|600px|мини|справа|Появление устойчивого цикла длины два для системы из примера 2]]

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
v_{t+1}= -(1 + \alpha)v_{t} + v_{t}^3, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

Отображение $$ v \mapsto -(1 + \alpha)v + v^3 $$ обратимо для малых значений $$ |\alpha| $$ в окрестности начала координат.
Динамическая система имеет [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижную точку] $$ v^* = 0 $$ для всех значений $$ \alpha $$ с собственным
числом $$ \mu = -(1+\alpha). $$ Эта точка устойчива при малых $$ \alpha < 0 $$ и неустойчива, если $$ \alpha > 0. $$
Если $$ \alpha = 0, $$ то $$ \mu = -1, $$ поэтому в этом случае [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Неподвижные_точки_системы теорема о достаточных условиях устойчивости неподвижной точки]
не позволяет судить об устойчивости по первой итерации отображения и требует дополнительного анализа, а именно поиска второй итерации отображения.

Вторая итерация отображения $$ v \mapsto -(1 + \alpha)v + v^3 = f^2(v, \alpha) $$ имеет вид:
\begin{gather*}
f^2(v, \alpha) = f(f(v, \alpha)) = -(1+\alpha)[-(1+\alpha)v + v^3] + [-(1+\alpha)v + v^3]^3 = \\
= (1+\alpha)^2 v - (1+\alpha) v^3 - (1+\alpha)^3 v^3 + o(v^3) = \\
= (1+\alpha)^2 v - (2 + 4\alpha + 3\alpha^2 + \alpha^3) v^3 + o(v^3).
\end{gather*}

Отображение $$ f^2(v, \alpha), $$ очевидно, имеет тривиальную неподвижную точку $$ v^* = 0. $$ Кроме того, оно имеет
ещё две неподвижные точки при малых значениях параметра $$ \alpha > 0: v^*_{1,2} = \sqrt{\alpha} + o(\sqrt{\alpha}). $$ Последнее
означает, что $$ v^*_2 = f(v^*_1, \alpha), \, v^*_1 = f(v^*_2, \alpha), $$ причём $$ v^*_1 \neq v^*_2. $$
Нетрудно показать, что во второй итерации отображения $$ f(v, \alpha) $$ происходит бифуркация типа вилки.

Две неподвижные точки, появляющиеся в $$ f^2(v, \alpha) $$ при $$ \alpha > 0, $$ устойчивы и образуют
[https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Циклы_в_системах_с_дискретным_временем._Теорема_Шарковского цикл] длины
два для исходного отображения $$ f(v, \alpha), $$ так как $$ f(v^*_1, \alpha) = v^*_2 $$ и $$ f(v^*_2, \alpha) = v^*_1. $$
Такая бифуркация в исходной системе называется бифуркацией удвоения периода.

Если параметр $$ \alpha $$ изменяется в направлении от положительных значений к отрицательным, то
амплитуда цикла уменьшается (в том смысле, что $$ v^*_1 $$ и $$ v^*_2 $$ стремятся друг к другу),
затем цикл исчезает. На рисунке к данному примеру показано появление устойчивого цикла длины 2
в системе.

== Примеры бифуркационных диаграмм для систем в непрерывном времени==

'''Пример 3. (бифуркация седло-узел)'''
Пусть задана динамическая система:

[[Файл:11AlphaV.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 3.]]

\begin{gather*}
\dot{v}= \alpha + v^2 = f(v, \alpha), ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае $$ \alpha $$ это параметр, по которому происходит бифуркация. Такой параметр называют бифуркационным.

При $$ \alpha = 0 $$ это уравнение имеет положение равновесия $$ v^∗ = 0, $$ причем $$ \lambda = f_v(0, 0) = 0 $$
($$ f_v $$ обозначает производную функции $$ f $$ по переменной $$ v $$). Если $$ \alpha < 0, $$ то существуют
два положения равновесия $$ v_{1,2}(\alpha) = \pm \sqrt{−\alpha}, $$ из которых верхнее устойчиво, а нижнее $$ — $$ неустойчиво.
При $$ \alpha > 0 $$ положений равновесия в системе нет. При возрастании параметра $$ \alpha $$ в направлении от отрицательных
значений к положительным, две неподвижные точки сталкиваются и исчезают. Уравнение $$ f(v, \alpha) = 0 $$ определяет множество
положений равновесия (в данном случае это парабола $$ \alpha = −v^2 $$ ). Проектирование этого множества на ось параметра имеет
особенность в точке $$ (0, 0), $$ в которой происходит бифуркация. Данная бифуркация называется касательной бифуркацией или бифуркацией седло-узел.

Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а
пунктирная $$ - $$ неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены
три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ \alpha_1, \alpha_c, \alpha_2. $$ (соответственно,
отрицательная $$ \alpha_1 $$, $$ \alpha_c = 0 $$ и положительная $$ \alpha_2 $$ области значений)

'''Пример 4. (бифуркация типа вилки)'''

[[Файл:12AlphaV.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве
динамической системы примера 4. Обозначения как для примера 3.]]

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{v}= \alpha v - v^3, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае $$ \alpha $$ это бифуркационный параметр.

Если $$ \alpha < 0, $$ то имеется единственное устойчивое положение равновесия $$ v = 0. $$
Если же $$ \alpha > 0, $$ то возникают два устойчивых положения равновесия $$ v_{1,2} = \pm \sqrt{\alpha}, $$
при этом положение равновесия $$ v = 0 $$ становится неустойчивым.

Такая бифуркация называется бифуркацией типа вилки.

== Самоподобие бифуркационных диаграмм==
[[Файл:BifSamo11.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 5 самоподобия бифуркационных диаграмм на интервале $$ \alpha \in [2, 2.02] $$.]]

'''Пример 5.'''

Приведём пример самоподобия бифуркационных диаграмм для системы:
\begin{gather*}
\dot{v}= v^2 e^{\alpha (1-v^2)}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
На диаграммах, приведённых справа, можно наблюдать самоподобие при $$ \alpha \in [2, 2.02]
$$ и при $$ \alpha \in [2.0093, 2.01065]. $$ Внешний вид ветвления остаётся очень похожим.
[[Файл:BifSamo32.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 5 самоподобия бифуркационных диаграмм на интервале $$ \alpha \in [2.0093, 2.01065] $$.]]
== Список литературы ==
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011

Файл:BifSamo32.png

2023-10-15T14:18:49Z

Denis23:

BifSamo32

Бифуркационная диаграмма

2023-10-15T13:41:37Z

Denis23: Пятая версия страницы

[[Файл:BifGif.gif|мини|Анимация построения бифуркационной диаграммы]]

== Определение ==
'''Определение 1'''
Бифуркация — это изменение [https://ru.wikipedia.org/wiki/Орбитально-топологическая_эквивалентность топологического типа] системы, когда ее параметры проходят через некоторые бифуркационные (критические) значения.

'''Определение 2'''
Бифуркационной диаграммой [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Динамическая_система динамической системы] называется разбиение пространства параметров на
максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями [https://ru.wikipedia.org/wiki/Орбитально-топологическая_эквивалентность топологической эквивалентности] и
рассматриваются вместе с [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Фазовые_и_интегральные_кривы._Фазовое_пространство фазовыми портретами] для каждого элемента разбиения.

== Смысл ==

\begin{gather*}
\dot{v} = f(v, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

'''Пояснение:''' Несмотря на то, что приведённая динамическая система является системой в непрерывном времени, бифуркационная диаграмма строится и для дискретных динамических систем,
определение и алгоритм построения остаются теми же.

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ \alpha = \alpha_0 $$ и рассмотрим в
пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ \alpha_0, $$ такое,
что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе
при $$ \alpha = \alpha_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так
называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет
вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами
составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее бифуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные
модели поведения данной системы.

== Алгоритм построения бифуркационной диаграммы ==
Пусть задана динамическая система в дискретном времени:
\begin{gather*}
v_{t+1} = g(v_t, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

Введём необходимые обозначения:

$$ N - $$ число итераций (достаточно большое) необходимое для того, чтобы система, если это возможно, стабилизировалась,

$$ M - $$ число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии.

[[Файл:MyBifAlphaV.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.]]
'''Шаг 1:'''
Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

'''Шаг 2:'''
Запускаем цикл по $$ j $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

'''Шаг 3:'''
Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}, \alpha). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

'''Шаг 4:'''
Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ M, $$ в котором производим ещё $$ M $$ итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}, \alpha). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.

== Пример бифуркационной диаграммы для системы в дискретном времени==
'''Пример 1.'''

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
{v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t), ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы.

$$ N $$ и $$ M $$ соответствуют своему описанию из секции Алгоритм построения бифуркационной диаграммы.

$$ v_0 $$ $$ - $$ точка, в которой происходит поиск.

'''Пример 2. (бифуркация удвоения периода)'''

[[Файл:BifDoubleAlphaV.png|600px|мини|справа|Появление устойчивого цикла длины два для системы из примера 2]]

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
v_{t+1}= -(1 + \alpha)v_{t} + v_{t}^3, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

Отображение $$ v \mapsto -(1 + \alpha)v + v^3 $$ обратимо для малых значений $$ |\alpha| $$ в окрестности начала координат.
Динамическая система имеет [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижную точку] $$ v^* = 0 $$ для всех значений $$ \alpha $$ с собственным
числом $$ \mu = -(1+\alpha). $$ Эта точка устойчива при малых $$ \alpha < 0 $$ и неустойчива, если $$ \alpha > 0. $$
Если $$ \alpha = 0, $$ то $$ \mu = -1, $$ поэтому в этом случае [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Неподвижные_точки_системы теорема о достаточных условиях устойчивости неподвижной точки]
не позволяет судить об устойчивости по первой итерации отображения и требует дополнительного анализа, а именно поиска второй итерации отображения.

Вторая итерация отображения $$ v \mapsto -(1 + \alpha)v + v^3 = f^2(v, \alpha) $$ имеет вид:
\begin{gather*}
f^2(v, \alpha) = f(f(v, \alpha)) = -(1+\alpha)[-(1+\alpha)v + v^3] + [-(1+\alpha)v + v^3]^3 = \\
= (1+\alpha)^2 v - (1+\alpha) v^3 - (1+\alpha)^3 v^3 + o(v^3) = \\
= (1+\alpha)^2 v - (2 + 4\alpha + 3\alpha^2 + \alpha^3) v^3 + o(v^3).
\end{gather*}

Отображение $$ f^2(v, \alpha), $$ очевидно, имеет тривиальную неподвижную точку $$ v^* = 0. $$ Кроме того, оно имеет
ещё две неподвижные точки при малых значениях параметра $$ \alpha > 0: v^*_{1,2} = \sqrt{\alpha} + o(\sqrt{\alpha}). $$ Последнее
означает, что $$ v^*_2 = f(v^*_1, \alpha), \, v^*_1 = f(v^*_2, \alpha), $$ причём $$ v^*_1 \neq v^*_2. $$
Нетрудно показать, что во второй итерации отображения $$ f(v, \alpha) $$ происходит бифуркация типа вилки.

Две неподвижные точки, появляющиеся в $$ f^2(v, \alpha) $$ при $$ \alpha > 0, $$ устойчивы и образуют
[https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Циклы_в_системах_с_дискретным_временем._Теорема_Шарковского цикл] длины
два для исходного отображения $$ f(v, \alpha), $$ так как $$ f(v^*_1, \alpha) = v^*_2 $$ и $$ f(v^*_2, \alpha) = v^*_1. $$
Такая бифуркация в исходной системе называется бифуркацией удвоения периода.

Если параметр $$ \alpha $$ изменяется в направлении от положительных значений к отрицательным, то
амплитуда цикла уменьшается (в том смысле, что $$ v^*_1 $$ и $$ v^*_2 $$ стремятся друг к другу),
затем цикл исчезает. На рисунке к данному примеру показано появление устойчивого цикла длины 2
в системе.

== Примеры бифуркационных диаграмм для систем в непрерывном времени==

'''Пример 3. (бифуркация седло-узел)'''
Пусть задана динамическая система:

[[Файл:11AlphaV.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 3.]]

\begin{gather*}
\dot{v}= \alpha + v^2 = f(v, \alpha), ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае $$ \alpha $$ это параметр, по которому происходит бифуркация. Такой параметр называют бифуркационным.

При $$ \alpha = 0 $$ это уравнение имеет положение равновесия $$ v^∗ = 0, $$ причем $$ \lambda = f_v(0, 0) = 0 $$
($$ f_v $$ обозначает производную функции $$ f $$ по переменной $$ v $$). Если $$ \alpha < 0, $$ то существуют
два положения равновесия $$ v_{1,2}(\alpha) = \pm \sqrt{−\alpha}, $$ из которых верхнее устойчиво, а нижнее $$ — $$ неустойчиво.
При $$ \alpha > 0 $$ положений равновесия в системе нет. При возрастании параметра $$ \alpha $$ в направлении от отрицательных
значений к положительным, две неподвижные точки сталкиваются и исчезают. Уравнение $$ f(v, \alpha) = 0 $$ определяет множество
положений равновесия (в данном случае это парабола $$ \alpha = −v^2 $$ ). Проектирование этого множества на ось параметра имеет
особенность в точке $$ (0, 0), $$ в которой происходит бифуркация. Данная бифуркация называется касательной бифуркацией или бифуркацией седло-узел.

Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а
пунктирная $$ - $$ неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены
три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ \alpha_1, \alpha_c, \alpha_2. $$ (соответственно,
отрицательная $$ \alpha_1 $$, $$ \alpha_c = 0 $$ и положительная $$ \alpha_2 $$ области значений)

'''Пример 4. (бифуркация типа вилки)'''

[[Файл:12AlphaV.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве
динамической системы примера 4. Обозначения как для примера 3.]]

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{v}= \alpha v - v^3, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае $$ \alpha $$ это бифуркационный параметр.

Если $$ \alpha < 0, $$ то имеется единственное устойчивое положение равновесия $$ v = 0. $$
Если же $$ \alpha > 0, $$ то возникают два устойчивых положения равновесия $$ v_{1,2} = \pm \sqrt{\alpha}, $$
при этом положение равновесия $$ v = 0 $$ становится неустойчивым.

Такая бифуркация называется бифуркацией типа вилки.

== Самоподобие бифуркационных диаграмм==
[[Файл:BifSamo11.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 5 самоподобия бифуркационных диаграмм на интервале $$ \alpha \in [2, 2.02] $$.]]

'''Пример 5.'''

Приведём пример самоподобия бифуркационных диаграмм для системы:
\begin{gather*}
\dot{v}= v^2 e^{\alpha (1-v^2)}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
На диаграммах, приведённых справа, можно наблюдать самоподобие при $$ \alpha \in [2, 2.02]
$$ и нижней ветки этого графика при $$ \alpha \in [2.0075, 2.0135]. $$ Внешний вид ветвления остаётся очень похожим.
[[Файл:BifSamo22.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 5 самоподобия бифуркационных диаграмм на интервале $$ \alpha \in [2.0075, 2.012] $$.]]
== Список литературы ==
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011

Файл:BifSamo22.png

2023-10-15T13:39:54Z

Denis23:

BifSamo22

Бифуркационная диаграмма

2023-10-10T14:56:54Z

Denis23: Четвёртая версия страницы

[[Файл:BifGif.gif|мини|Анимация построения бифуркационной диаграммы]]

== Определение ==
'''Определение'''
Бифуркационной диаграммой [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Динамическая_система динамической системы] называется разбиение пространства параметров на
максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями [https://ru.wikipedia.org/wiki/Орбитально-топологическая_эквивалентность топологической эквивалентности] и
рассматриваются вместе с [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Фазовые_и_интегральные_кривы._Фазовое_пространство фазовыми портретами] для каждого элемента разбиения.

== Смысл ==

\begin{gather*}
\dot{v} = f(v, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

'''Пояснение:''' Несмотря на то, что приведённая динамическая система является системой в непрерывном времени, бифуркационная диаграмма строится и для дискретных динамических систем,
определение и алгоритм построения остаются теми же.

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ \alpha = \alpha_0 $$ и рассмотрим в
пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ \alpha_0, $$ такое,
что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе
при $$ \alpha = \alpha_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так
называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет
вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами
составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее бифуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные
модели поведения данной системы.

== Алгоритм построения бифуркационной диаграммы ==
Пусть задана динамическая система в дискретном времени:
\begin{gather*}
v_{t+1} = g(v_t, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

Введём необходимые обозначения:

$$ N - $$ число итераций необходимое для того, чтобы траектория системы сошлась к некоторому постоянному состоянию,

$$ M - $$ число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии.

[[Файл:MyBifAlphaV.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.]]
'''Шаг 1:'''
Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

'''Шаг 2:'''
Запускаем цикл по $$ j $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

'''Шаг 3:'''
Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

'''Шаг 4:'''
Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ M, $$ в котором производим ещё $$ M $$ итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.

== Пример бифуркационной диаграммы для системы в дискретном времени==
'''Пример 1.'''
[[Файл:11AlphaV.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 2.]]

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
{v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t), ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы.

$$ N $$ и $$ M $$ соответствуют своему описанию из секции Алгоритм построения бифуркационной диаграммы.

$$ v_0 $$ $$ - $$ точка, в которой происходит поиск.

== Примеры бифуркационных диаграмм для систем в непрерывном времени==

'''Пример 2.'''
Пусть задана динамическая система:
[[Файл:12AlphaV.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве
динамической системы примера 3. Обозначения как для примера 2.]]

\begin{gather*}
\dot{v}= \alpha + v^2, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае $$ \alpha $$ это параметр, по которому происходит бифуркация. Такой параметр называют бифуркационным.

Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а
пунктирная $$ - $$ неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены
три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ \alpha_1, \alpha_c, \alpha_2. $$

'''Пример 3. (бифуркация типа вилки)'''
Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{v}= \alpha v - v^3, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае $$ \alpha $$ это бифуркационный параметр.

Если $$ \alpha < 0, $$ то имеется единственное устойчивое положение равновесия $$ v = 0. $$
Если же $$ \alpha > 0, $$ то возникают два устойчивых положения равновесия $$ v_{1,2} = \pm \sqrt{\alpha}, $$
при этом положение равновесия $$ v = 0 $$ становится неустойчивым.

Такая бифуркация называется бифуркацией типа вилки.

'''Пример 4. (бифуркация удвоения периода)'''

[[Файл:BifDoubleAlphaV.png|600px|мини|справа|Появление устойчивого цикла длины два для системы из примера 4]]

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{v}= -(1 + \alpha)v + v^3, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

Отображение $$ v \mapsto -(1 + \alpha)v + v^3 $$ обратимо для малых значений $$ |\alpha| $$ в окрестности начала координат.
Динамическая система имеет [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижную точку] $$ v^* = 0 $$ для всех значений $$ \alpha $$ с собственным
числом $$ \mu = -(1+\alpha). $$ Эта точка устойчива при малых $$ \alpha < 0 $$ и неустойчива, если $$ \alpha > 0. $$
Если $$ \alpha = 0, $$ то $$ \mu = -1, $$ поэтому в этом случае линейный анализ недостаточен для изучения устойчивости.

Вторая итерация отображения $$ v \mapsto -(1 + \alpha)v + v^3 = f^2(v, \alpha) $$ имеет вид:
\begin{gather*}
f^2(v, \alpha) = f(f(v, \alpha)) = -(1+\alpha)[-(1+\alpha)v + v^3] + [-(1+\alpha)v + v^3]^3 = \\
= (1+\alpha)^2 v - (1+\alpha) v^3 - (1+\alpha)^3 v^3 + o(v^3) = \\
= (1+\alpha)^2 v - (2 + 4\alpha + 3\alpha^2 + \alpha^3) v^3 + o(v^3).
\end{gather*}

Отображение $$ f^2(v, \alpha), $$ очевидно, имеет тривиальную неподвижную точку $$ v^* = 0. $$ Кроме того, оно имеет
ещё две неподвижные точки при малых значениях параметра $$ \alpha > 0: v^*_{1,2} = \sqrt{\alpha} + o(\sqrt{\alpha}). $$ Последнее
означает, что $$ v^*_2 = f(v^*_1, \alpha), \, v^*_1 = f(v^*_2, \alpha), $$ причём $$ v^*_1 \neq v^*_2. $$
Нетрудно показать, что во второй итерации отображения $$ f(v, \alpha) $$ происходит бифуркация типа вилки.

Две неподвижные точки, появляющиеся в $$ f^2(v, \alpha) $$ при $$ \alpha > 0, $$ устойчивы и образуют
[https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Циклы_в_системах_с_дискретным_временем._Теорема_Шарковского цикл] длины
два для исходного отображения $$ f(v, \alpha), $$ так как $$ f(v^*_1, \alpha) = v^*_2 $$ и $$ f(v^*_2, \alpha) = v^*_1. $$
Такая бифуркация в исходной системе называется бифуркацией удвоения периода.

Если параметр $$ \alpha $$ изменяется в направлении от положительных значений к отрицательным, то
амплитуда цикла уменьшается (в том смысле, что $$ v^*_1 $$ и $$ v^*_2 $$ стремятся друг к другу),
затем цикл исчезает. На рисунке к данному примеру показано появление устойчивого цикла длины 2
в системе.

== Самоподобие бифуркационных диаграмм==
[[Файл:BifSamo11.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 5 самоподобия бифуркационных диаграмм на интервале $$ \alpha \in [2, 2.02] $$.]]

'''Пример 5.'''

Приведём пример самоподобия бифуркационных диаграмм для системы:
\begin{gather*}
\dot{v}= v^2 e^{\alpha (1-v^2)}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
На диаграммах, приведённых справа, можно наблюдать самоподобие при $$ \alpha \in [2, 2.02]
$$ и $$ \alpha \in [2.0075, 2.012]. $$ Внешний вид ветвления остаётся очень похожим.
[[Файл:BifSamo12.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 5 самоподобия бифуркационных диаграмм на интервале $$ \alpha \in [2.0075, 2.012] $$.]]
== Список литературы ==
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011

Файл:BifSamo12.png

2023-10-10T14:51:34Z

Denis23:

BifSamo12

Файл:BifSamo11.png

2023-10-10T14:51:02Z

Denis23:

bifSamo11

Файл:BifDoubleAlphaV.png

2023-10-10T14:50:02Z

Denis23:

BifDoubleAlphaV

Файл:12AlphaV.png

2023-10-10T14:49:14Z

Denis23:

12AlphaV

Файл:11AlphaV.png

2023-10-10T14:48:45Z

Denis23:

11AlphaV

Файл:MyBifAlphaV.png

2023-10-10T14:47:47Z

Denis23:

MyBifAlphaV

Бифуркационная диаграмма

2023-10-10T13:37:56Z

Denis23:

[[Файл:BifGif.gif|мини|Анимация построения бифуркационной диаграммы]]

== Определение ==
'''Определение'''
Бифуркационной диаграммой [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Динамическая_система динамической системы] называется разбиение пространства параметров на
максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями [https://ru.wikipedia.org/wiki/Орбитально-топологическая_эквивалентность топологической эквивалентности] и
рассматриваются вместе с [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Фазовые_и_интегральные_кривы._Фазовое_пространство фазовыми портретами] для каждого элемента разбиения.

== Смысл ==

\begin{gather*}
\dot{u} = f(u, \alpha), ~ u \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

'''Пояснение:''' Несмотря на то, что приведённая динамическая система является системой в непрерывном времени, бифуркационная диаграмма строится и для дискретных динамических систем,
определение и алгоритм построения остаются теми же.

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ \alpha = \alpha_0 $$ и рассмотрим в
пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ \alpha_0, $$ такое,
что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе
при $$ \alpha = \alpha_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так
называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет
вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами
составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее бифуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные
модели поведения данной системы.

== Алгоритм построения бифуркационной диаграммы ==
Пусть задана динамическая система в дискретном времени:
\begin{gather*}
v_{t+1} = g(v_t, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

Введём необходимые обозначения:

$$ N - $$ число итераций необходимое для того, чтобы траектория системы сошлась к некоторому постоянному состоянию,

$$ M - $$ число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии.

[[Файл:BifDiagNew.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.]]

'''Шаг 1:'''
Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

'''Шаг 2:'''
Запускаем цикл по $$ j $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

'''Шаг 3:'''
Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

'''Шаг 4:'''
Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ M, $$ в котором производим ещё $$ M $$ итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.

== Пример бифуркационной диаграммы для системы в дискретном времени==
'''Пример 1.'''
[[Файл:BifDiag3New.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 2.]]

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
{v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t), ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы.

$$ N $$ и $$ M $$ соответствуют своему описанию из секции Алгоритм построения бифуркационной диаграммы.

$$ v_0 $$ $$ - $$ точка, в которой происходит поиск.

== Примеры бифуркационных диаграмм для систем в непрерывном времени==

'''Пример 2.'''
Пусть задана динамическая система:
[[Файл:BifDiag4New.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве
динамической системы примера 3. Обозначения как для примера 2.]]

\begin{gather*}
\dot{u}= a + u^2, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае $$ a $$ это параметр, по которому происходит бифуркация. Такой параметр называют бифуркационным.

Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а
пунктирная $$ - $$ неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены
три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ a_1, a_c, a_2. $$

'''Пример 3. (бифуркация типа вилки)'''
Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{u}= a u - u^3, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае $$ a $$ это бифуркационный параметр.

Если $$ a < 0, $$ то имеется единственное устойчивое положение равновесия $$ u = 0. $$
Если же $$ a > 0, $$ то возникают два устойчивых положения равновесия $$ u_{1,2} = \pm \sqrt{a}, $$
при этом положение равновесия $$ u = 0 $$ становится неустойчивым.

Такая бифуркация называется бифуркацией типа вилки.

'''Пример 4. (бифуркация удвоения периода)'''

[[Файл:BifDouble2.png|600px|мини|справа|Появление устойчивого цикла длины два для системы из примера 4]]

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{u}= -(1 + a)u + u^3, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

Отображение $$ u \mapsto -(1 + a)u + u^3 $$ обратимо для малых значений $$ |a| $$ в окрестности начала координат.
Динамическая система имеет [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижную точку] $$ u^* = 0 $$ для всех значений $$ a $$ с собственным
числом $$ \mu = -(1+a). $$ Эта точка устойчива при малых $$ a < 0 $$ и неустойчива, если $$ a > 0. $$
Если $$ a = 0, $$ то $$ \mu = -1, $$ поэтому в этом случае линейный анализ недостаточен для изучения устойчивости.

Вторая итерация отображения $$ u \mapsto -(1 + a)u + u^3 = f^2(u, a) $$ имеет вид:
\begin{gather*}
f^2(u, a) = f(f(u, a)) = -(1+a)[-(1+a)u + u^3] + [-(1+a)u + u^3]^3 = \\
= (1+a)^2 u - (1+a) u^3 - (1+a)^3 u^3 + o(u^3) = \\
= (1+a)^2 u - (2 + 4a + 3a^2 + a^3) u^3 + o(u^3).
\end{gather*}

Отображение $$ f^2(u, a), $$ очевидно, имеет тривиальную неподвижную точку $$ u^* = 0. $$ Кроме того, оно имеет
ещё две неподвижные точки при малых значениях параметра $$ a > 0: u^*_{1,2} = \sqrt{a} + o(\sqrt{a}). $$ Последнее
означает, что $$ u^*_2 = f(u^*_1, a), \, u^*_1 = f(u^*_2, a), $$ причём $$ u^*_1 \neq u^*_2. $$
Нетрудно показать, что во второй итерации отображения $$ f(u, a) $$ происходит бифуркация типа вилки.

Две неподвижные точки, появляющиеся в $$ f^2(u, a) $$ при $$ a > 0, $$ устойчивы и образуют
[https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Циклы_в_системах_с_дискретным_временем._Теорема_Шарковского цикл] длины
два для исходного отображения $$ f(u, a), $$ так как $$ f(u^*_1, a) = u^*_2 $$ и $$ f(u^*_2, a) = u^*_1. $$
Такая бифуркация в исходной системе называется бифуркацией удвоения периода.

Если параметр $$ a $$ изменяется в направлении от положительных значений к отрицательным, то
амплитуда цикла уменьшается (в том смысле, что $$ u^*_1 $$ и $$ u^*_2 $$ стремятся друг к другу),
затем цикл исчезает. На рисунке к данному примеру показано появление устойчивого цикла длины 2
в системе.

== Самоподобие бифуркационных диаграмм==
[[Файл:BifSamo1.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма 1 для самоподобия бифуркационных диаграмм.]]

Приведём пример самоподобия бифуркационных диаграмм для системы:
\begin{gather*}
\dot{u}= u^2 e^{r(1-u^2)}, ~ r \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
На диаграммах, приведённых справа, можно наблюдать самоподобие при $$ r \in [2, 2.02]
$$ и $$ r \in [2.0075, 2.012]. $$ Внешний вид ветвления остаётся очень похожим.

[[Файл:BifSamo2.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма 2 для самоподобия бифуркационных диаграмм.]]

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011

Бифуркационная диаграмма

2023-10-07T16:53:15Z

Denis23: Третья версия страницы

[[Файл:BifGif.gif|мини|Анимация построения бифуркационной диаграммы]]

== Определение ==
'''Определение'''
Бифуркационной диаграммой [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Динамическая_система динамической системы] называется разбиение пространства параметров на
максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями [https://ru.wikipedia.org/wiki/Орбитально-топологическая_эквивалентность топологической эквивалентности] и
рассматриваются вместе с [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Фазовые_и_интегральные_кривы._Фазовое_пространство фазовыми портретами] для каждого элемента разбиения.

== Смысл ==

\begin{gather*}
\dot{u} = f(u, \alpha), ~ u \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

'''Пояснение:''' Несмотря на то, что приведённая динамическая система является системой в непрерывном времени, бифуркационная диаграмма строится и для дискретных динамических систем,
определение и алгоритм построения остаются теми же.

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ \alpha = \alpha_0 $$ и рассмотрим в
пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ \alpha_0, $$ такое,
что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе
при $$ \alpha = \alpha_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так
называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет
вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами
составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее бифуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные
модели поведения данной системы.

== Алгоритм построения бифуркационной диаграммы ==
Пусть задана динамическая система в дискретном времени:
\begin{gather*}
v_{t+1} = g(v_t, \alpha), ~ v \in \mathbb{R}, ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

Введём необходимые обозначения:

$$ N - $$ число итераций необходимое для того, чтобы траектория системы сошлась к некоторому постоянному состоянию,

$$ M - $$ число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии.

[[Файл:BifDiagNew.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.]]

'''Шаг 1:'''
Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

'''Шаг 2:'''
Запускаем цикл по $$ j $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

'''Шаг 3:'''
Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ N, $$ в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

'''Шаг 4:'''
Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по $$ i $$ от $$ 1 $$ до $$ M, $$ в котором производим ещё $$ M $$ итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.

== Пример бифуркационной диаграммы для системы в дискретном времени==
'''Пример 1.'''
[[Файл:BifDiag3New.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 2.]]

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
{v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t), ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы.

N и M соответствуют своему описанию из секции Алгоритм построения бифуркационной диаграммы.

$$ v_0 $$ $$ - $$ точка, в которой происходит поиск.

== Примеры бифуркационных диаграмм для систем в непрерывном времени==

'''Пример 2.'''
Пусть задана динамическая система:
[[Файл:BifDiag4New.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве
динамической системы примера 3. Обозначения как для примера 2.]]

\begin{gather*}
\dot{u}= a + u^2, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае $$ a $$ это бифуркационный параметр.

Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а
пунктирная $$ - $$ неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены
три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ a_1, a_c, a_2. $$

'''Пример 3. (бифуркация типа вилки)'''
Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{u}= a u - u^3, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае $$ a $$ это бифуркационный параметр.

'''Пример 4. (бифуркация удвоения периода)'''

[[Файл:BifDouble2.png|600px|мини|справа|Появление устойчивого цикла длины два для системы из примера 4]]

Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{u}= -(1 + a)u + u^3, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

Отображение $$ u \mapsto -(1 + a)u + u^3 $$ обратимо для малых значений $$ |a| $$ в окрестности начала координат.
Динамическая система имеет [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Неподвижные_точки_системы неподвижную точку] $$ u^* = 0 $$ для всех значений $$ a $$ с собственным
числом $$ \mu = -(1+a). $$ Эта точка устойчива при малых $$ a < 0 $$ и неустойчива, если $$ a > 0. $$
Если $$ a = 0, $$ то $$ \mu = -1, $$ поэтому в этом случае линейный анализ недостаточен для изучения устойчивости.

Вторая итерация отображения $$ u \mapsto -(1 + a)u + u^3 = f^2(u, a) $$ имеет вид:
\begin{gather*}
f^2(u, a) = f(f(u, a)) = -(1+a)[-(1+a)u + u^3] + [-(1+a)u + u^3]^3 = \\
= (1+a)^2 u - (1+a) u^3 - (1+a)^3 u^3 + o(u^3) = \\
= (1+a)^2 u - (2 + 4a + 3a^2 + a^3) u^3 + o(u^3).
\end{gather*}

Отображение $$ f^2(u, a), $$ очевидно, имеет тривиальную неподвижную точку $$ u^* = 0. $$ Кроме того, оно имеет
ещё две неподвижные точки при малых значениях параметра $$ a > 0: u^*_{1,2} = \sqrt{a} + o(\sqrt{a}). $$ Последнее
означает, что $$ u^*_2 = f(u^*_1, a), \, u^*_1 = f(u^*_2, a), $$ причём $$ u^*_1 \neq u^*_2. $$
Нетрудно показать, что во второй итерации отображения $$ f(u, a) $$ происходит бифуркация типа вилки.

Две неподвижные точки, появляющиеся в $$ f^2(u, a) $$ при $$ a > 0, $$ устойчивы и образуют
[https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Циклы_в_системах_с_дискретным_временем._Теорема_Шарковского цикл] длины
два для исходного отображения $$ f(u, a), $$ так как $$ f(u^*_1, a) = u^*_2 $$ и $$ f(u^*_2, a) = u^*_1. $$
Такая бифуркация в исходной системе называется бифуркацией удвоения периода.

Если параметр $$ a $$ изменяется в направлении от положительных значений к отрицательным, то
амплитуда цикла уменьшается (в том смысле, что $$ u^*_1 $$ и $$ u^*_2 $$ стремятся друг к другу),
затем цикл исчезает. На рисунке к данному примеру показано появление устойчивого цикла длины 2
в системе.

== Самоподобие бифуркационных диаграмм==
[[Файл:BifSamo1.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма 1 для самоподобия бифуркационных диаграмм.]]

Приведём пример самоподобия бифуркационных диаграмм для системы:
\begin{gather*}
\dot{u}= u^2 e^{r(1-u^2)}, ~ r \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
На диаграммах, приведённых справа, можно наблюдать самоподобие при $$ r \in [2, 2.02]
$$ и $$ r \in [2.0075, 2.012]. $$ Внешний вид ветвления остаётся очень похожим.

[[Файл:BifSamo2.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма 2 для самоподобия бифуркационных диаграмм.]]

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011

Файл:BifDouble2.png

2023-10-07T16:46:54Z

Denis23:

BifDouble2

Файл:BifDouble.png

2023-10-07T16:42:06Z

Denis23:

bifDouble

Бифуркационная диаграмма

2023-10-03T18:03:04Z

Denis23: Новые картинки

[[Файл:BifGif.gif|мини|Анимация построения бифуркационной диаграммы]]

== Определение ==
'''Определение 1.'''
Бифуркационной диаграммой [https://ru.wikipedia.org/wiki/Динамическая_система динамической системы] называется разбиение пространства параметров на
максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями [https://ru.wikipedia.org/wiki/Орбитально-топологическая_эквивалентность топологической эквивалентности] и
рассматриваются вместе с [https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_portrait фазовыми портретами] для каждого элемента разбиения.

== Смысл ==

\begin{gather*}
\dot{u} = f(u; a), ~ u \in \mathbb{R}, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

'''Пояснение:''' Несмотря на то, что приведённая динамическая система является системой в непрерывном времени, бифуркационная диаграмма строится и для дискретных динамических систем,
определение и алгоритм построения остаются теми же.

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ a = a_0 $$ и рассмотрим в
пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ a_0, $$ такое,
что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе
при $$ a = a_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так
называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет
вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами
составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее бифуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные
модели поведения данной системы.

[[Файл:BifDiagNew.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.]]

== Алгоритм построения бифуркационной диаграммы ==
Введём необходимые константы:

N $$ - $$ число итераций необходимое для того, чтобы траектория системы сошлась к некоторому постоянному состоянию,

M $$ - $$ число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии.

'''Шаг 1:'''
Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

'''Шаг 2:'''
Запускаем цикл по j от 1 до N, перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

'''Шаг 3:'''
Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по i от 1 до N, в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

'''Шаг 4:'''
Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по i от 1 до M, в котором производим ещё M итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.
[[Файл:BifDiag3New.png|300px|мини|слева|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 2.]]

== Примеры бифуркационных диаграмм==
'''Пример 1.'''
Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
{v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t), ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы.

N и M соответствуют своему описанию из секции Алгоритм построения бифуркационной диаграммы.

$$ v_0 $$ $$ - $$ точка, в которой происходит поиск.

'''Пример 2.'''
Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{u}= a + u^2, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае a это бифуркационный параметр.

Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а
пунктирная $$ - $$ неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены
три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ a_1, a_c, a_2. $$ См. картинку слева.

[[Файл:BifSamo1.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма 1 для самоподобия бифуркационных диаграмм.]]

'''Пример 3.'''
Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{u}= au - u^3, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае a это бифуркационный параметр. См. картинку слева.

[[Файл:BifDiag4New.png|300px|мини|слева|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве
динамической системы примера 3. Обозначения как для примера 2.]]

== Самоподобие бифуркационных диаграмм==
Приведём пример самоподобия бифуркационных диаграмм для системы:
\begin{gather*}
\dot{u}= u^2 e^{r(1-u^2)}, ~ r \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
На диаграммах, приведённых справа, можно наблюдать самоподобие при $$ r \in [2, 2.02]
$$ и $$ r \in [2.0075, 2.012]. $$ Внешний вид ветвления остаётся очень похожим.

[[Файл:BifSamo2.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма 2 для самоподобия бифуркационных диаграмм.]]

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011

Файл:BifGif.gif

2023-10-03T18:01:28Z

Denis23:

bifGif

Файл:BifSamo2.png

2023-10-03T17:36:49Z

Denis23:

bifSamo2

Файл:BifSamo1.png

2023-10-03T17:36:13Z

Denis23:

bifSamo1

Бифуркационная диаграмма

2023-10-03T14:12:50Z

Denis23: Небольшие исправления, графики ещё старые

== Определение ==
'''Определение 1.'''
Бифуркационной диаграммой [https://ru.wikipedia.org/wiki/Динамическая_система динамической системы] называется разбиение пространства параметров на
максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями [https://ru.wikipedia.org/wiki/Орбитально-топологическая_эквивалентность топологической эквивалентности] и
рассматриваются вместе с [https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_portrait фазовыми портретами] для каждого элемента разбиения.

== Смысл ==

\begin{gather*}
\dot{u} = f(u; a), ~ u \in \mathbb{R}, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

'''Пояснение:''' Несмотря на то, что приведённая динамическая система является системой в непрерывном времени, бифуркационная диаграмма строится и для дискретных динамических систем,
определение и алгоритм построения остаются теми же.

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ a = a_0 $$ и рассмотрим в
пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ a_0, $$ такое,
что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе
при $$ a = a_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так
называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет
вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами
составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее бифуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные
модели поведения данной системы.

[[Файл:BifDiagNew.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.]]

== Алгоритм построения бифуркационной диаграммы ==
Введём необходимые константы:

N $$ - $$ число итераций необходимое для того, чтобы траектория системы сошлась к некоторому постоянному состоянию,

M $$ - $$ число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии.

'''Шаг 1:'''
Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

'''Шаг 2:'''
Запускаем цикл по j от 1 до N, перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

'''Шаг 3:'''
Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по i от 1 до N, в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

'''Шаг 4:'''
Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по i от 1 до M, в котором производим ещё M итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.
[[Файл:BifDiag3New.png|300px|мини|слева|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 2.]]

== Примеры бифуркационных диаграмм==
'''Пример 1.'''
Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
{v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t), ~ \alpha \in \mathbb{R}.
\end{gather*}
Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы.

N и M соответствуют своему описанию из секции Алгоритм построения бифуркационной диаграммы.

$$ v_0 $$ $$ - $$ точка, в которой происходит поиск.

'''Пример 2.'''
Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{u}= a + u^2, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае a это бифуркационный параметр.

Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а
пунктирная $$ - $$ неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены
три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ a_1, a_c, a_2. $$ См. картинку слева.

'''Пример 3.'''
Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{u}= au - u^3, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

В данном случае a это бифуркационный параметр. См. картинку слева.

[[Файл:BifDiag4New.png|300px|мини|слева|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве
динамической системы примера 3. Обозначения как для примера 2.]]

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011

Бифуркационная диаграмма

2023-09-23T14:34:03Z

Denis23: Вторая версия страницы

== Определение ==
'''Определение 1.'''
Бифуркационной диаграммой динамической системы называется разбиение пространства параметров на
максимальные связные подмножества, которые определяются соотношениями топологической эквивалентности и
рассматриваются вместе с фазовыми портретами для каждого элемента разбиения.

== Смысл ==

\begin{gather*}
\begin{cases}
\dot{u}=f(u), ~ u \in \mathbb{R} \\
\dot{v}=g(v), ~ v \in \mathbb{R}.
\end{cases}
\end{gather*}

Зафиксируем некоторое значение вектора параметров $$ a = a_0 $$ и рассмотрим в
пространстве параметров максимальное связное множество, содержащее $$ a_0, $$ такое,
что во всех его точках вышеприведённая система топологически эквивалентна этой же системе
при $$ a = a_0. $$ Рассматривая такие множества в пространстве параметров, получим так
называемый параметрический портрет вышеприведённой системы. Параметрический портрет
вместе с характерными для каждого множества параметров фазовыми портретами
составляют бифуркационную диаграмму.

При качественном анализе динамической системы желательно получить ее би-
фуркационную диаграмму, так как в ней в сжатом виде содержатся все возможные
модели поведения данной системы.

[[Файл:BifDiagNew.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.4 $$.]]

== Алгоритм построения бифуркационной диаграммы ==
Определяем отрезок $$ [ \alpha_0, \alpha_{max} ] $$ на котором будем производить исследование.

Запускаем цикл по j от 1 до N, перебирая по равномерной сетке все значения $$ \alpha. $$

Для каждого значения $$ \alpha_j $$ запускаем цикл по i от 1 до N, в котором находим $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Таким образом, получаем $$ v_N. $$

Для каждого такого $$ \alpha_j, $$ при уже найденном $$ v_N, $$ запускаем новый цикл по i от 1 до M, в котором производим ещё M итераций нахождения $$ v_i = g(v_{i-1}). $$ Каждое полученное значение $$ v_i $$ заносим на график как точку с координатами $$ ( \alpha_j, v_i) . $$

Бифуркационная диаграмма получена.
[[Файл:BifDiag3New.png|300px|мини|слева|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве динамической системы примера 2.
Жирная линия обозначает многообразие положений равновесия, причем сплошная линия отвечает устойчивому положению равновесия, а
пунктирная — неустойчивому. Жирные точки обозначают положения равновесия. Приведены
три фазовых портрета, как сечения бифуркационной диаграммы, для значений параметра $$ a_1, a_c, a_2. $$]]

== Примеры бифуркационных диаграмм==
'''Пример 1.'''
Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{v}_{t+1}= \alpha {v_t}^{\frac{3}{2}} (1 - v_t).
\end{gather*}
Тогда бифуркационные диаграммы приведены в правой части страницы.
N - число итераций необходимое для того, чтобы траектория сошлась к некоторому постоянному состоянию,

M - число итераций необходимое для того, чтобы найти возможные положения равновесия в данном состоянии,

$$ v_0 $$ - точка, в которой происходит поиск.

[[Файл:BifDiag2New.png|300px|мини|справа|Бифуркационная диаграмма для примера 1 при значении $$ v_0 = 0.3 $$.]]

'''Пример 2.'''
Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{u}= a + u^2 = f(u; a).
\end{gather*}

'''Пример 3.'''
Пусть задана динамическая система:

\begin{gather*}
\dot{u}= au - u^3, ~ a \in \mathbb{R}.
\end{gather*}

[[Файл:BifDiag4New.png|300px|мини|слева|Бифуркационная диаграмма в фазово-параметрическом пространстве
динамической системы примера 3. Обозначения как для примера 2.]]

== Список литературы ==
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.

Файл:BifDiag4New.png

2023-09-23T14:33:40Z

Denis23:

bifDiag4New

Файл:BifDiag3New.png

2023-09-23T14:33:06Z

Denis23:

bifDiag3New

Файл:BifDiag2New.png

2023-09-23T14:31:23Z

Denis23:

bifDiag2New

Файл:BifDiag4.png

2023-09-23T14:24:12Z

Denis23:

BifDiag4

Файл:BifDiag3.png

2023-09-23T14:23:47Z

Denis23:

bifDiag3

Файл:BifDiagNew.png

2023-09-23T13:45:55Z

Denis23:

bifDiagNew

Бифуркационная диаграмма

2023-09-23T13:38:34Z

Denis23:

Бифуркационная диаграмма

2023-09-23T13:38:23Z

Denis23: Первая версия страницы

Файл:BifDiag2.png

2023-09-23T13:36:45Z

Denis23:

Бифуркационная диаграмма 2

Файл:BifDiag.png

2023-09-23T13:35:58Z

Denis23:

Бифуркационная диаграмма 1