sawiki - Вклад участника [ru]

Модель Холлинга

2025-02-28T16:26:46Z

Eugeny24:

== Модель Холлинга ==
Модель Холлинга-Тэннера «Конкурирующие виды» 
<math> \begin{cases}
\dot x = rx \left( 1 - \dfrac{x}{K} \right) - \dfrac{cxy}{g + x}, \\
\dot y = sy \left( 1 - \dfrac{y}{nx} \right),
\end{cases} </math> 
где <math> r,~ s,~ K,~ c,~ g,~ n > 0 </math> 
<math> x </math> — численность жертв 
<math> y </math> — численность хищников 
<math> r </math> — коэффициент роста жертв 
<math> s </math> — коэффициент роста хищников 
<math> K </math> — ёмкость среды для жертв 
<math> c </math> — максимальная скорость потребления жертв 
<math> g </math> — коэффициент полунасыщения 
<math> n </math> — коэффициент конверсии биомассы 

== Анализ устойчивости ==
=== Стационарные состояния ===
Система имеет 4 стационарные точки
# Полное вымирание <math> (0, 0) </math> — неустойчиво при <math> r > 0 </math>
# Вымирание хищников <math> (e, 0) </math> — устойчиво при <math> s < \frac{c n K}{g + K} </math>
# Сосуществование <math> (\tilde x, \tilde y) </math>, где <math> \tilde x = \frac{s g}{c n - s},\ \tilde y = \frac{r}{c} \left( g + \tilde x \right) \left( 1 - \frac{\tilde x}{K} \right) </math>

=== Предельные циклы ===
При <math> s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} </math> динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. Т.е. все траектории, начинающиеся в окрестности замкнутой кривой спиралевидно будут приближаться к ней при <math> t \rightarrow \pm \infty </math> 
[[Файл:Limit_cycle.png|Предельный цикл при <math> x = 0.5,~ y = 0.3,~ r = K = c = 1,~ g = 0.2,~ s = 0.1,~ n = \frac{50}{3} </math>]] 
Предельный цикл при <math> x = 0.5,~ y = 0.3,~ r = K = c = 1,~ g = 0.2,~ s = 0.1,~ n = \frac{50}{3} </math>

Модель Холлинга

2025-02-28T16:19:49Z

Eugeny24:

== Модель Холлинга ==
Модель Холлинга-Тэннера «Конкурирующие виды» 
<math> \begin{cases}
\dot x = rx \left( 1 - \dfrac{x}{K} \right) - \dfrac{cxy}{g + x}, \\
\dot y = sy \left( 1 - \dfrac{y}{nx} \right),
\end{cases} </math> 
где <math> r,~ s,~ K,~ c,~ g,~ n > 0 </math> 
<math> x </math> — численность жертв 
<math> y </math> — численность хищников 
<math> r </math> — коэффициент роста жертв 
<math> s </math> — коэффициент роста хищников 
<math> K </math> — ёмкость среды для жертв 
<math> c </math> — максимальная скорость потребления жертв 
<math> g </math> — коэффициент полунасыщения 
<math> n </math> — коэффициент конверсии биомассы 

== Анализ устойчивости ==
=== Стационарные состояния ===
Система имеет 4 стационарные точки
# Полное вымирание <math> (0, 0) </math> — неустойчиво при <math> r > 0 </math>
# Вымирание хищников <math> (e, 0) </math> — устойчиво при <math> s < \frac{c n K}{g + K} </math>
# Сосуществование <math> (\tilde x, \tilde y) </math>, где <math> \tilde x = \frac{s g}{c n - s},\ \tilde y = \frac{r}{c} \left( g + \tilde x \right) \left( 1 - \frac{\tilde x}{K} \right) </math>

=== Предельные циклы ===
При <math> s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} </math> динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. Т.е. все траектории, начинающиеся в окрестности замкнутой кривой спиралевидно будут приближаться к ней при <math> t \rightarrow \pm \infty </math> 
[[Файл:Limit_cycle.png|upright = 0.2|Предельный цикл при <math> r = K = c = 1, g = 0.2, s = 0.1, n = \frac{50}{3} </math>]]

Модель Холлинга

2025-02-28T16:16:33Z

Eugeny24:

== Модель Холлинга ==
Модель Холлинга-Тэннера «Конкурирующие виды» 
<math> \begin{cases}
\dot x = rx \left( 1 - \dfrac{x}{K} \right) - \dfrac{cxy}{g + x}, \\
\dot y = sy \left( 1 - \dfrac{y}{nx} \right),
\end{cases} </math> 
где <math> r,~ s,~ K,~ c,~ g,~ n > 0 </math> 
<math> x </math> — численность жертв 
<math> y </math> — численность хищников 
<math> r </math> — коэффициент роста жертв 
<math> s </math> — коэффициент роста хищников 
<math> K </math> — ёмкость среды для жертв 
<math> c </math> — максимальная скорость потребления жертв 
<math> g </math> — коэффициент полунасыщения 
<math> n </math> — коэффициент конверсии биомассы 

== Анализ устойчивости ==
=== Стационарные состояния ===
Система имеет 4 стационарные точки
# Полное вымирание <math> (0, 0) </math> — неустойчиво при <math> r > 0 </math>
# Вымирание хищников <math> (e, 0) </math> — устойчиво при <math> s < \frac{c n K}{g + K} </math>
# Сосуществование <math> (\tilde x, \tilde y) </math>, где <math> \tilde x = \frac{s g}{c n - s},\ \tilde y = \frac{r}{c} (g + \tilde x) (1 - \frac{\tilde x}{K}) </math>

=== Предельные циклы ===
При <math> s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} </math> динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. Т.е. все траектории, начинающиеся в окрестности замкнутой кривой спиралевидно будут приближаться к ней при <math> t \rightarrow \pm \infty </math> 
[[Файл:Limit_cycle.png|upright = 0.2|Предельный цикл при <math> r = K = c = 1, g = 0.2, s = 0.1, n = \frac{50}{3} </math>]]

Файл:Limit cycle.png

2025-02-28T16:16:04Z

Eugeny24: Eugeny24 загрузил новую версию Файл:Limit cycle.png

Модель Холлинга

2025-02-28T16:12:33Z

Eugeny24:

== Модель Холлинга ==
Модель Холлинга-Тэннера «Конкурирующие виды» 
<math> \begin{cases}
\dot x = rx \left( 1 - \dfrac{x}{K} \right) - \dfrac{cxy}{g + x}, \\
\dot y = sy \left( 1 - \dfrac{y}{nx} \right),
\end{cases} </math> 
где <math> r,~ s,~ K,~ c,~ g,~ n > 0 </math> 
<math> x </math> — численность жертв 
<math> y </math> — численность хищников 
<math> r </math> — коэффициент роста жертв 
<math> s </math> — коэффициент роста хищников 
<math> K </math> — ёмкость среды для жертв 
<math> c </math> — максимальная скорость потребления жертв 
<math> g </math> — коэффициент полунасыщения 
<math> n </math> — коэффициент конверсии биомассы 

== Анализ устойчивости ==
=== Стационарные состояния ===
Система имеет 4 стационарные точки
# Полное вымирание <math> (0, 0) </math> — неустойчиво при <math> r > 0 </math>
# Вымирание хищников <math> (e, 0) </math> — устойчиво при <math> s < \frac{c n K}{g + K} </math>
# Сосуществование <math> (\tilde x, \tilde y) </math>, где <math> \tilde x = \frac{s g}{c n - s},\ \tilde y = \frac{r}{c} (g + \tilde x) (1 - \frac{\tilde x}{K}) </math>

=== Предельные циклы ===
При <math> s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} </math> динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. Т.е. все траектории, начинающиеся в окрестности замкнутой кривой спиралевидно будут приближаться к ней при <math> t \rightarrow \pm \infty </math>
[[Файл:Limit_cycle.png|upright = 0.2|Предельный цикл при <math> r = K = c = 1, g = 0.2, s = 0.1, n = \frac{50}{3} </math>]]

Файл:Limit cycle.png

2025-02-28T16:09:30Z

Eugeny24:

Модель Холлинга

2025-02-28T16:08:46Z

Eugeny24:

== Модель Холлинга ==
Модель Холлинга-Тэннера «Конкурирующие виды» 
<math> \begin{cases}
\dot x = rx \left( 1 - \dfrac{x}{K} \right) - \dfrac{cxy}{g + x}, \\
\dot y = sy \left( 1 - \dfrac{y}{nx} \right),
\end{cases} </math> 
где <math> r,~ s,~ K,~ c,~ g,~ n > 0 </math> 
<math> x </math> — численность жертв 
<math> y </math> — численность хищников 
<math> r </math> — коэффициент роста жертв 
<math> s </math> — коэффициент роста хищников 
<math> K </math> — ёмкость среды для жертв 
<math> c </math> — максимальная скорость потребления жертв 
<math> g </math> — коэффициент полунасыщения 
<math> n </math> — коэффициент конверсии биомассы 

== Анализ устойчивости ==
=== Стационарные состояния ===
Система имеет 4 стационарные точки
# Полное вымирание <math> (0, 0) </math> — неустойчиво при <math> r > 0 </math>
# Вымирание хищников <math> (e, 0) </math> — устойчиво при <math> s < \frac{c n K}{g + K} </math>
# Сосуществование <math> (\tilde x, \tilde y) </math>, где <math> \tilde x = \frac{s g}{c n - s},\ \tilde y = \frac{r}{c} (g + \tilde x) (1 - \frac{\tilde x}{K}) </math>

=== Предельные циклы ===
При <math> s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} </math> динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. Т.е. все траектории, начинающиеся в окрестности замкнутой кривой спиралевидно будут приближаться к ней при <math> t \rightarrow \pm \infty </math>
[[Файл:limit_cycle.png | мини | Предельный цикл при <math> r = K = c = 1, g = 0.2, s = 0.1, n = \frac{50}{3} </math>]]

Модель Холлинга

2025-02-28T15:34:06Z

Eugeny24:

== Модель Холлинга ==
Модель Холлинга-Тэннера «Конкурирующие виды» 
<math> \begin{cases}
\dot x = rx \left( 1 - \dfrac{x}{K} \right) - \dfrac{cxy}{g + x}, \\
\dot y = sy \left( 1 - \dfrac{y}{nx} \right),
\end{cases} </math> 
где <math> r,~ s,~ K,~ c,~ g,~ n > 0 </math> 
<math> x </math> — численность жертв 
<math> y </math> — численность хищников 
<math> r </math> — коэффициент роста жертв 
<math> s </math> — коэффициент роста хищников 
<math> K </math> — ёмкость среды для жертв 
<math> c </math> — максимальная скорость потребления жертв 
<math> g </math> — коэффициент полунасыщения 
<math> n </math> — коэффициент конверсии биомассы 

== Анализ устойчивости ==
=== Стационарные состояния ===
Система имеет 4 стационарные точки
# Полное вымирание <math> (0, 0) </math> — неустойчиво при <math> r > 0 </math>
# Вымирание хищников <math> (e, 0) </math> — устойчиво при <math> s < \frac{c n K}{g + K} </math>
# Сосуществование <math> (\tilde x, \tilde y) </math>, где <math> \tilde x = \frac{s g}{c n - s},\ \tilde y = \frac{r}{c} (g + \tilde x) (1 - \frac{\tilde x}{K}) </math>

=== Предельные циклы ===
При <math> s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} </math> динамическая система имеет устойчивый предельный цикл. Т.е. все траектории, начинающиеся в окрестности замкнутой кривой спиралевидно будут приближаться к ней при <math> t \rightarrow \pm \infty </math>

Модель Холлинга

2025-02-28T11:35:36Z

Eugeny24: Новая страница: «== Модель Холлинга == Модель Холлинга «хищник-жертва» <math> \begin{cases} \dot x = r x \left( 1 - \dfrac{x}{K} \ri...»

== Модель Холлинга ==
Модель Холлинга «хищник-жертва» 
<math> \begin{cases}
\dot x = r x \left( 1 - \dfrac{x}{K} \right) - \dfrac{\omega x y}{D + x}, \\
\dot y = -s y \left( 1 - \dfrac{J y}{x} \right),
\end{cases} </math> 
где <math> r, s, K, \omega, D, J > 0 </math> 
<math> x </math> — численность популяции жертв 
<math> y </math> — численность популяции хищников 
<math> r </math> — коэффициент рождаемости жертв 
<math> s </math> — коэффициент смертности хищников 
<math> K </math> — влияние межвидовой конкуренции за пищу при ограниченных ресурсах 
<math> \omega </math> — коэффициент "поедания" хищниками жертв 
<math> D </math> — коэффициент, когда хищник перестаёт поедать жертв 
<math> J </math> — коэффициент насыщения хищника 

== Предельный цикл в модели Холлинга ==
==== Теорема ====
При <math> s < \dfrac{r}{K} \cdot \dfrac{K - D - 2}{1 + D} </math> динамическая система имеет устойчивый предельный цикл.