sawiki - Вклад участника [ru]

Системы множеств

2023-12-04T20:04:11Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств, называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
Введем понятие канторова множества. Из отрезка $$[0,1]$$ удалим интервал $$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$$, из оставшегося множества – интервалы $$(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$$ и
$$(\frac{7}{9}, \frac{8}{9})$$, и т.д. В итоге получится множество, не содержащее ни одного интервала. Оно замкнуто, так как его дополнение открыто, имеет меру нуль, так как дополнение к нему имеет меру единица: $$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \dots = 1$$, и имеет мощность континуума, так как входящие в него числа в троичной системе – это всевозможные бесконечные дроби, состоящие из нулей и двоек.

'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой – континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов). Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. По определению оно получается путем удаления счетного числа интервалов из отрезка, поэтому канторово множество является борелевским. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^K$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], порожденная топологией. Под топологией понимаем введение класса открытых множеств.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа $$\sigma$$-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

==Список литературы==

1. Точилин П. А., Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-04T20:00:08Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств, называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
Введем понятие канторова множества. Из отрезка $$[0,1]$$ удалим интервал $$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$$, из оставшегося множества – интервалы $$(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$$ и
$$(\frac{7}{9}, \frac{8}{9})$$, и т.д. В итоге получится множество, не содержащее ни одного интервала. Оно замкнуто, так как его дополнение открыто, имеет меру нуль, так как дополнение к нему имеет меру единица: $$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \dots = 1$$, и имеет мощность континуума, так как входящие в него числа в троичной системе – это всевозможные бесконечные дроби, состоящие из нулей и двоек.

'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой – континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов). Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. По определению оно получается путем удаления счетного числа интервалов из отрезка, поэтому канторово множество является борелевским. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^K$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое по Лебегу множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n=1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], порожденная топологией. Под топологией понимаем введение класса открытых множеств.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа $$\sigma$$-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

==Список литературы==

1. Точилин П. А., Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-03T20:05:11Z

German22: /* Список литературы */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А., Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-03T20:04:50Z

German22: /* Список литературы */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-03T20:04:00Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе", М.: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-03T20:03:24Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0} \coprod_{i=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе", М.: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-03T20:00:19Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{i=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе", М.: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-03T19:59:41Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе", М.: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-03T19:59:11Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе", М.: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-03T19:58:45Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе", М.: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-03T19:52:08Z

German22: /* Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе", М.: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-02T18:06:15Z

German22: /* Лемма № 2 (о конечном разложении) */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе", М.: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-02T18:03:44Z

German22: /* Лемма № 1 */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе", М.: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-02T18:02:54Z

German22: /* Операции над множествами */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=
\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе", М.: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-12-02T18:01:38Z

German22:

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=
\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе", М.: ЛКИ, 2007 г.

Системы множеств

2023-11-27T13:46:40Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум [[Список Литературы|[2]]].Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Витали здесь].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-27T13:26:11Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум [[Список Литературы|[2]]].Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Витали здесь].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-27T13:22:45Z

German22: /* Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум [[Список Литературы|[2]]].Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Витали здесь].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-27T13:22:11Z

German22: /* Примеры измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум [[Список Литературы|[2]]].Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Витали здесь].

===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [[https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-26T17:00:07Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум [[Список Литературы|[2]]].Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Витали здесь].

===Примеры измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-26T16:56:42Z

German22: /* Лемма № 2 (о конечном разложении) */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум [2].Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Витали здесь].

===Примеры измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-26T16:55:35Z

German22: /* Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум [2].Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Витали здесь].

===Примеры измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-26T16:53:15Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум [2].Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Витали здесь].

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-26T16:51:35Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Витали здесь].

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-26T16:50:54Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.

''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Витали здесь].

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-26T16:49:58Z

German22: /* Пример неизмеримого по Лебегу множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [https://ru.wikipedia.org/wiki/Множество_Витали здесь].

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-26T16:47:32Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера Лебега измеримо по Лебегу].

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===

1. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-26T16:44:25Z

German22: /* Пример неизмеримого по Лебегу множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===
1. Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но не измеримо по Борелю.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-26T16:42:43Z

German22: /* Пример неизмеримого по Лебегу множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.
доступно контекстное меню

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===
1. Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но не измеримо по Борелю.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-26T16:41:13Z

German22: /* Ключевые инструменты */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на аксиому выбора. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.
доступно контекстное меню

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===
1. Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но не измеримо по Борелю.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-26T16:30:26Z

German22: /* Ключевые инструменты */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$ (объединение попарно непересекающихся множеств), где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на аксиому выбора. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.
доступно контекстное меню

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===
1. Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но не измеримо по Борелю.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-24T14:06:48Z

German22: /* Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$ (объединение попарно непересекающихся множеств), где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на аксиому выбора. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.
доступно контекстное меню

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===
1. Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но не измеримо по Борелю.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-24T14:06:11Z

German22:

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$ (объединение попарно непересекающихся множеств), где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ — полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на аксиому выбора. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.
доступно контекстное меню

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===
1. Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое подмножество может не быть борелевским.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-24T14:02:47Z

German22:

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$ (объединение попарно непересекающихся множеств), где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ -- полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ -- полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ -- полукольцо, $$K(S)$$ -- минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ -- совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ --минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой -- континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум -- противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ -- измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ -- искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на аксиому выбора. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.
доступно контекстное меню

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===
1. Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое подмножество может не быть борелевским.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-24T14:00:00Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$ (объединение попарно непересекающихся множеств), где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ - полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум - противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ - измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ - искомое.
''Теорема доказана''

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на аксиому выбора. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.
доступно контекстное меню

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===
1. Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое подмножество может не быть борелевским.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021 - 2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-24T13:59:11Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$ (объединение попарно непересекающихся множеств), где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ - полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум - противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ - измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ - искомое.
''Теорема доказана''

Многомерный случай. Рассмотрим теперь случай $\mathrm{R}^m$.

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на аксиому выбора. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.
доступно контекстное меню

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===
1. Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое подмножество может не быть борелевским.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021 - 2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-24T13:58:34Z

German22:

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$ (объединение попарно непересекающихся множеств), где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ - полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).

'''Утверждение''''. Борелевская мера неполна.
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $K$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $2^K$. По определению полной меры любое множество $A \in 2^K$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $2^\kappa$, а это гиперконтинуум - противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.

'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ - измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ - искомое.
''Теорема доказана''

Многомерный случай. Рассмотрим теперь случай $\mathrm{R}^m$.

'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

===Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Опираемся на аксиому выбора. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.
доступно контекстное меню

===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===
1. Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое подмножество может не быть борелевским.

2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021 - 2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.

Системы множеств

2023-11-24T13:41:40Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].

== Операции над множествами ==
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

'''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:

$$1) \varnothing \in S;$$

$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$

$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$

'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.

'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

''Лемма доказана''.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ - полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.

''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-адлитивна).

'''Утверждение''''. Борелевская мера неполна.
Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $K$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $2^K$. По определению полной меры любое множество $A \in 2^K$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мошности множества $2^\kappa$, а это гиперконтинуум - противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.
'''Теорема'''. Люобое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

Доказательство. Пусть $A$ - измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $n$ существует борелевское множество $C_n$ такое, что $A \subset C_n$ и $\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$. Положим теперь $C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$, тогда $C$ - искомос. Теорема доказана. Многомерный случай. Рассмотрим теперь случай $\mathrm{R}^m$. Теорема. Любое открытое множество $G \subset \mathrm{R}^m$ измеримо по Лебегу. Доказательство. Накроем все пространство $\mathrm{R}^m$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $G$. Обозначим их $\Delta_j^{\circ}$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $\Delta_i^{\prime}$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$, но справедливо и обратное включение $\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$, откуда следует равенство. Теорема доказана.

'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.

==Список литературы==

1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021 - 2022 г.

2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.

4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954 г.

Системы множеств

2023-11-24T13:39:27Z

German22: /* Борелевские множества */

Системы множеств

2023-11-24T13:38:58Z

German22:

Системы множеств

2023-11-20T07:05:29Z

German22:

Системы множеств

2023-11-20T06:18:39Z

German22:

Системы множеств

2023-11-19T22:29:49Z

German22: /* Ключевые инструменты */

Системы множеств

2023-11-19T22:27:48Z

German22: /* Борелевские множества */

Системы множеств

2023-11-19T22:24:53Z

German22: /* Ключевые инструменты */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.

== Операции над множествами ==
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.

Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:

$$1) \varnothing \in S;$$

$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$

$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$

* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$\left.A \backslash \coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ - полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по индукции.

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов). Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру.

'''Теорема'''. Люобое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ - измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ - искомое. ''Теорема доказана.''

Многомерный случай. Рассмотрим теперь случай $$\mathrm{R}^m$$.

'''Теорема'''. Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д.
Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. ''Теорема доказана.''

=== Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.

Системы множеств

2023-11-19T22:19:24Z

German22: /* Ключевые инструменты */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.

== Операции над множествами ==
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:

$$1) \varnothing \in S;$$

$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$

$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$

* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$\left.A \backslash \coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ - полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по индукции.

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

===Примеры===
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов). Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру.

'''Теорема'''. Люобое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ - измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ - искомое. ''Теорема доказана.''

Многомерный случай. Рассмотрим теперь случай $$\mathrm{R}^m$$.

'''Теорема'''. Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д.
Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. ''Теорема доказана.''

=== Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.

Системы множеств

2023-11-19T22:18:59Z

German22: /* Примеры */

Системы множеств

2023-11-19T22:18:16Z

German22: /* Ключевые инструменты */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.

== Операции над множествами ==
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:

$$1) \varnothing \in S;$$

$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$

$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$

* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$\left.A \backslash \coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ - полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по индукции.

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.

==Примеры==
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.

==Борелевские множества==
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов). Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру.

'''Теорема'''. Люобое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ - измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ - искомое. ''Теорема доказана.''

Многомерный случай. Рассмотрим теперь случай $$\mathrm{R}^m$$.

'''Теорема'''. Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д.
Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. ''Теорема доказана.''

=== Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.

Системы множеств

2023-11-19T22:18:00Z

German22: /* Примеры множеств */

Системы множеств

2023-11-19T22:17:53Z

German22: /* Борелевские множества */

== Аннотация ==
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.

== Операции над множествами ==
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$.

Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.
\[
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .
\]

Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':

1) ''коммутативность:''
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]

2) ''ассоциативность:''
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]

3) ''дистрибутивность:''
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]

* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.

* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.
== Ключевые инструменты==
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:
\[1) A \Delta B \in K,\]

\[2) A \cap B \in K.\]

Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$.

Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида
\[
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k
\]

Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:
\[
A \cap E=A.
\]

Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.

* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.

* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:

$$1) \varnothing \in S;$$

$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$

$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$

* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:

а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;

б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости);

в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$

* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.

* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.

===Лемма № 1===

Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$\left.A \backslash \coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство''.

По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.

Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде
\begin{equation*}
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),
\end{equation*}
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.

===Лемма № 2 (о конечном разложении)===
Пусть:

1) $$S$$ - полукольцо,

2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,

3) $$\forall i=\overline{1, n} A_i \subset A$$,

4) $$\forall i, j=\overline{1, n} A_i \cap A_j=\varnothing$$.

Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.

''Доказательство.''

Докажем это утверждения по индукции.

При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца.

Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$.

Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде

\begin{equation*}
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}

Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:

\begin{equation*}
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .
\end{equation*}
''Лемма доказана.''

===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===

Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.

''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.

Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.

Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:

а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;

б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.

Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$.
''Теорема доказана''.

==Борелевские множества==
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.

Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов). Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру.

'''Теорема'''. Люобое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры.

''Доказательство''. Пусть $$A$$ - измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ - искомое. ''Теорема доказана.''

Многомерный случай. Рассмотрим теперь случай $$\mathrm{R}^m$$.

'''Теорема'''. Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу.

''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д.
Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. ''Теорема доказана.''

=== Пример неизмеримого по Лебегу множества===

Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.

==Примеры множеств==
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.

3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.