sawiki - Вклад участника [ru]

Мера Лебега

2024-01-11T16:47:43Z

Gleb22: /* Множество Халмоша */

= Внешняя мера =
== Определение внешней меры ==
Пусть <math>S</math> — полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> — наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом <math>S</math>. Рассмотрим продолжение <math> \mu </math> на кольцо <math> K(S) </math>, а впоследствии — на алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:

===Теорема (о продолжении меры с полукольца на кольцо)===
Пусть <math>\mu</math> - мера на полукольце. Тогда <math>\exists !~ \mu^*</math> - мера на кольце <math>K(S):~\forall x\in S:~ \mu(x) = \mu^*(x)</math>. Более того, если <math>\mu~\sigma</math>-аддитивна на <math>S</math>, то <math>\mu^*~\sigma</math>-аддитивна на <math>K(S)</math>.

===Теорема (Каратеодори о продолжении меры с кольца на <math>\sigma</math>-кольцо)===
Пусть <math>\mathcal{R}</math> — кольцо подмножеств множества <math>\Omega</math> с мерой <math>\mu : \mathcal{R}\to [0,+\infty]</math>, а <math>\sigma(\mathcal{R})</math> — σ-кольцо, порождённое <math>\mathcal{R}</math>. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера <math>\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]</math>, являющаяся продолжением меры <math>\mu</math>, т.е <math>\forall x\in \mathcal{R}: ~ \mu(x) = \mu'(x)</math>. Кроме того, если мера <math>\mu</math> σ-конечна, то такое продолжение <math>\mu'</math> единственно и также σ-конечно.

Для упрощения будем обозначать продолжение меры на кольцо/алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру так же <math>\mu</math>.

'''Определение: Внешней мерой''' множества <math>A</math> будем называть величину:
:<math> \mu^*(A) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_i) ~:~ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i;~ B_i \in K(S)\right\}. </math>

В основном, нас будет интересовать случай, когда <math> A \notin K(S) </math>, поскольку в обратном случае значение внешней меры находится тривиально.

== Свойства внешней меры ==
* '''(Монотонность):''' <math>E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \mu^*(E_1) \leqslant \mu^*(E_2).</math>
* '''(Счётная полуаддитивность):''' <math>E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow \mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \mu^*(E_k).</math>

= Внутренняя мера =
'''Внутренней мерой''' множества <math>A</math> называется
: <math>\mu_*(A)=\mu(A)-\mu^*(X\setminus A)~(X \in K(S); ~ A\subseteq X).</math>

= Мера Лебега =
Множество <math>A</math> называется '''измеримым по Лебегу''', если:
:<math> \forall \varepsilon > 0 ~ \exists B \in K(S):~ \mu^*(A \triangle B) < \varepsilon.</math>
'''Мерой Лебега''' <math>\mu_L</math> измеримого по Лебегу множества A называется его внешняя мера.

== Критерий измеримости ==
Множество <math>A</math> измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внутренняя мера равна внешней, т.е.:
:<math> \mu^*(A) = \mu_*(A).</math>

== Свойства меры Лебега ==
1) '''Неотрицательность''': Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна: <math> \forall A: \exists \mu_L(A) \Rightarrow ~ \mu_L(A) \geqslant 0. </math> Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu_L(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.

3) '''Счётная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math> \mu_L(\bigcup A_i) \leqslant \sum\limits_i \mu_L(A_i).</math>

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) '''Счётная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>

5) '''Полнота''': Пусть <math>\mu_L(A)=0</math>. Тогда:
:<math>\forall B \subseteq A:~ \mu_L(B)=0.</math>

= Пример неизмеримого множества =
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности <math>\sim</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>: <math>x \sim y</math> если разность <math>x - y</math> рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа в интервале <math>[-1, 1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0, 1]</math>, но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1, 2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

: <math>1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.</math>

Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
: <math>\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>
либо бесконечна (если <math>\mu(E) > 0</math>), либо равна нулю (если <math>\mu(E) = 0</math>); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество <math>E</math> неизмеримо; то есть функция меры на <math>E</math> не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

= Измеримые множества в <math>\mathbb{R}^n</math> =
Множество всех измеримых по Лебегу множеств в \( \mathbb {R} ^{n} \) представляет собой семейство множеств, которое обладает следующими свойствами:

1. Семейство измеримых множеств замкнуто относительно операций разности, симметрической разности, счётного объединения, счётного пересечения и дополнения.

2. Мера Лебега является счётно-аддитивной на этом множестве.

3. Мера Лебега полна, то есть любое множество, внешняя мера которого равна 0, измеримо, и его мера Лебега равна 0.

4. Мера Лебега непрерывна относительно монотонного предельного перехода.

= Множество Халмоша =
Приведём без доказательства полезную теорему.

'''Теорема (Множество Халмоша)''':
:<math> \exists M \subseteq \mathbb{R}:~ \forall X \subseteq \mathbb{R}: ~ \mu_*(X)=\mu^*(X)>0:\\
\begin{cases}
\mu^* (M\bigcap X) = \mu(X), \\
\mu^* (M\bigcup X) = 0.
\end{cases}
</math>
Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> — соответствующие ей верхняя и нижняя меры.

Построенное таким образом множество используется при доказательстве утверждения о том, что из измеримости по Лебегу не следует измеримость по Борелю. Приведём тезисно план доказательства утверждения:

Пусть <math>k(x)</math> — "канторова лестница". Рассмотрим <math>f(x) = x + k(x)</math> на отрезке <math>[0,1]</math>. Функция <math>f</math> непрерывная и строго возрастающая. Найдём меру Лебега множества <math>f(C)</math>, где <math>C</math> — канторово множество. Оказывается, что она равна единице.

Далее положим <math>D = f(C) \bigcap M </math>, где <math>M</math> — множество Халмоша. Тогда <math>D</math> не является измеримым по Лебегу (по критерию измеримости).

Далее рассмотрим множество <math>H = f^{-1}(f(C)\bigcap M) \subseteq C</math>. В силу того, что канторово множество имеет меру нуль, множество <math>H</math> также имеет меру нуль (из свойства полноты меры Лебега).

Если теперь мы предположим, что <math> H</math> — борелевское, то <math>H</math> является суперпозицией интервалов. Значит, в силу того, что непрерывная функция отображает борелевское множество в борелевское множество <math>D = f(H)</math> — борелевское.

Но <math>D</math> не является измеримым по Лебегу, а значит, не является измеримым по Борелю. Таким образом, наше исходное предположение о том, что <math> H</math> — борелевское было неверным.

Значит, из измеримости по Лебегу (а <math>H</math> — измеримо по Лебегу, т.к. является множеством нулевой меры) не следует измеримость по Борелю. Что и требовалось доказать.

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Мера Лебега

2024-01-11T16:43:04Z

Gleb22: /* Внешняя мера */

= Внешняя мера =
== Определение внешней меры ==
Пусть <math>S</math> — полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> — наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом <math>S</math>. Рассмотрим продолжение <math> \mu </math> на кольцо <math> K(S) </math>, а впоследствии — на алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:

===Теорема (о продолжении меры с полукольца на кольцо)===
Пусть <math>\mu</math> - мера на полукольце. Тогда <math>\exists !~ \mu^*</math> - мера на кольце <math>K(S):~\forall x\in S:~ \mu(x) = \mu^*(x)</math>. Более того, если <math>\mu~\sigma</math>-аддитивна на <math>S</math>, то <math>\mu^*~\sigma</math>-аддитивна на <math>K(S)</math>.

===Теорема (Каратеодори о продолжении меры с кольца на <math>\sigma</math>-кольцо)===
Пусть <math>\mathcal{R}</math> — кольцо подмножеств множества <math>\Omega</math> с мерой <math>\mu : \mathcal{R}\to [0,+\infty]</math>, а <math>\sigma(\mathcal{R})</math> — σ-кольцо, порождённое <math>\mathcal{R}</math>. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера <math>\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]</math>, являющаяся продолжением меры <math>\mu</math>, т.е <math>\forall x\in \mathcal{R}: ~ \mu(x) = \mu'(x)</math>. Кроме того, если мера <math>\mu</math> σ-конечна, то такое продолжение <math>\mu'</math> единственно и также σ-конечно.

Для упрощения будем обозначать продолжение меры на кольцо/алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру так же <math>\mu</math>.

'''Определение: Внешней мерой''' множества <math>A</math> будем называть величину:
:<math> \mu^*(A) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_i) ~:~ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i;~ B_i \in K(S)\right\}. </math>

В основном, нас будет интересовать случай, когда <math> A \notin K(S) </math>, поскольку в обратном случае значение внешней меры находится тривиально.

== Свойства внешней меры ==
* '''(Монотонность):''' <math>E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \mu^*(E_1) \leqslant \mu^*(E_2).</math>
* '''(Счётная полуаддитивность):''' <math>E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow \mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \mu^*(E_k).</math>

= Внутренняя мера =
'''Внутренней мерой''' множества <math>A</math> называется
: <math>\mu_*(A)=\mu(A)-\mu^*(X\setminus A)~(X \in K(S); ~ A\subseteq X).</math>

= Мера Лебега =
Множество <math>A</math> называется '''измеримым по Лебегу''', если:
:<math> \forall \varepsilon > 0 ~ \exists B \in K(S):~ \mu^*(A \triangle B) < \varepsilon.</math>
'''Мерой Лебега''' <math>\mu_L</math> измеримого по Лебегу множества A называется его внешняя мера.

== Критерий измеримости ==
Множество <math>A</math> измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внутренняя мера равна внешней, т.е.:
:<math> \mu^*(A) = \mu_*(A).</math>

== Свойства меры Лебега ==
1) '''Неотрицательность''': Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна: <math> \forall A: \exists \mu_L(A) \Rightarrow ~ \mu_L(A) \geqslant 0. </math> Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu_L(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.

3) '''Счётная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math> \mu_L(\bigcup A_i) \leqslant \sum\limits_i \mu_L(A_i).</math>

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) '''Счётная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>

5) '''Полнота''': Пусть <math>\mu_L(A)=0</math>. Тогда:
:<math>\forall B \subseteq A:~ \mu_L(B)=0.</math>

= Пример неизмеримого множества =
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности <math>\sim</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>: <math>x \sim y</math> если разность <math>x - y</math> рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа в интервале <math>[-1, 1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0, 1]</math>, но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1, 2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

: <math>1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.</math>

Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
: <math>\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>
либо бесконечна (если <math>\mu(E) > 0</math>), либо равна нулю (если <math>\mu(E) = 0</math>); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество <math>E</math> неизмеримо; то есть функция меры на <math>E</math> не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

= Измеримые множества в <math>\mathbb{R}^n</math> =
Множество всех измеримых по Лебегу множеств в \( \mathbb {R} ^{n} \) представляет собой семейство множеств, которое обладает следующими свойствами:

1. Семейство измеримых множеств замкнуто относительно операций разности, симметрической разности, счётного объединения, счётного пересечения и дополнения.

2. Мера Лебега является счётно-аддитивной на этом множестве.

3. Мера Лебега полна, то есть любое множество, внешняя мера которого равна 0, измеримо, и его мера Лебега равна 0.

4. Мера Лебега непрерывна относительно монотонного предельного перехода.

= Множество Халмоша =
Приведём без доказательства полезную теорему.

'''Теорема (Множество Халмоша)''':
:<math> \exists M \subseteq \mathbb{R}:~ \forall X \subseteq \mathbb{R}: ~ \mu_*(X)=\mu^*(X)>0:\\
\begin{cases}
\mu^* (M\bigcap X) = \mu(X), \\
\mu^* (M\bigcup X) = 0.
\end{cases}
</math>
Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> - соответствующие ей верхняя и нижняя меры.

Построенное таким образом множество используется при доказательстве утверждения о том, что из измеримости по Лебегу не следует измеримость по Борелю. Приведём тезисно план доказательства утверждения:

Пусть <math>k(x)</math> - "канторова лестница". Рассмотрим <math>f(x) = x + k(x)</math> на отрезке <math>[0,1]</math>. Функция <math>f</math> непрерывная и строго возрастающая. Найдём меру Лебега множества <math>f(C)</math>, где <math>C</math> - канторово множества. Оказывается, что она равна единице. Далее положим <math>D = f(C) \bigcap M </math>, где <math>M</math> - множество Халмоша. Тогда <math>D</math> не является измеримым по Лебегу (по критерию измеримости). Далее рассмотрим множество <math>H = f^{-1}(f(C)\bigcap M) \subseteq C</math>. В силу того, что канторово множество имеет меру нуль, множество <math>H</math> также имеет меру нуль (из свойства полноты меры Лебега). Если теперь мы предположим, что <math> H</math> - борелевское, то <math>H</math> является суперпозицией интервалов. Значит, в силу того, что непрерывная функция отображает борелевское множество в борелевское множество <math>D = f(H)</math> - борелевское. Но <math>D</math> не является измеримым по Лебегу, а значит, не является измеримым по Борелю. Таким образом, наше исходное предположение о том, что <math> H</math> - борелевское было неверным. Значит, из измеримости по Лебегу (а <math>H</math> - измеримо по Лебегу, т.к. является множеством нулевой меры) не следует измеримость по Борелю. Что и требовалось доказать.

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Мера Лебега

2023-12-29T05:27:01Z

Gleb22: /* Измеримые множества в \mathbb{R}^n */

= Внешняя мера =
== Определение внешней меры ==
Пусть <math>S</math> - полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> - наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом <math>S</math>. Рассмотрим продолжение <math> \mu </math> на кольцо <math> K(S) </math>, а впоследствии - на алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:

===Теорема (о продолжении меры с полукольца на кольцо)===
Пусть <math>\mu</math> - мера на полукольце. Тогда <math>\exists !~ \mu^*</math> - мера на кольце <math>K(S):~\forall x\in S:~ \mu(x) = \mu^*(x)</math>. Более того, если <math>\mu~\sigma</math>-аддитивна на <math>S</math>, то <math>\mu^*~\sigma</math>-аддитивна на <math>K(S)</math>.

===Теорема (Каратеодори о продолжении меры с кольца на <math>\sigma</math>-кольцо)===
Пусть <math>\mathcal{R}</math> — кольцо подмножеств множества <math>\Omega</math> с мерой <math>\mu : \mathcal{R}\to [0,+\infty]</math>, а <math>\sigma(\mathcal{R})</math> — σ-кольцо, порождённое <math>\mathcal{R}</math>. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера <math>\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]</math>, являющаяся продолжением меры <math>\mu</math>, т.е <math>\forall x\in \mathcal{R}: ~ \mu(x) = \mu'(x)</math>. Кроме того, если мера <math>\mu</math> σ-конечна, то такое продолжение <math>\mu'</math> единственно и также σ-конечно.

Для упрощения будем обозначать продолжение меры на кольцо/алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру так же <math>\mu</math>.

'''Определение: Внешней мерой''' множества <math>A</math> будем называть величину:
:<math> \mu^*(A) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_i) ~:~ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i;~ B_i \in K(S)\right\}. </math>

В основном, нас будет интересовать случай, когда <math> A \notin K(S) </math>, поскольку в обратном случае значение внешней меры находится тривиально.

== Свойства внешней меры ==
* '''(Монотонность):''' <math>E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \mu^*(E_1) \leqslant \mu^*(E_2).</math>
* '''(Счётная полуаддитивность):''' <math>E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow \mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \mu^*(E_k).</math>

= Внутренняя мера =
'''Внутренней мерой''' множества <math>A</math> называется
: <math>\mu_*(A)=\mu(A)-\mu^*(X\setminus A)~(X \in K(S); ~ A\subseteq X).</math>

= Мера Лебега =
Множество <math>A</math> называется '''измеримым по Лебегу''', если:
:<math> \forall \varepsilon > 0 ~ \exists B \in K(S):~ \mu^*(A \triangle B) < \varepsilon.</math>
'''Мерой Лебега''' <math>\mu_L</math> измеримого по Лебегу множества A называется его внешняя мера.

== Критерий измеримости ==
Множество <math>A</math> измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внутренняя мера равна внешней, т.е.:
:<math> \mu^*(A) = \mu_*(A).</math>

== Свойства меры Лебега ==
1) '''Неотрицательность''': Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна: <math> \forall A: \exists \mu_L(A) \Rightarrow ~ \mu_L(A) \geqslant 0. </math> Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu_L(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.

3) '''Счётная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math> \mu_L(\bigcup A_i) \leqslant \sum\limits_i \mu_L(A_i).</math>

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) '''Счётная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>

5) '''Полнота''': Пусть <math>\mu_L(A)=0</math>. Тогда:
:<math>\forall B \subseteq A:~ \mu_L(B)=0.</math>

= Пример неизмеримого множества =
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности <math>\sim</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>: <math>x \sim y</math> если разность <math>x - y</math> рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа в интервале <math>[-1, 1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0, 1]</math>, но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1, 2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

: <math>1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.</math>

Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
: <math>\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>
либо бесконечна (если <math>\mu(E) > 0</math>), либо равна нулю (если <math>\mu(E) = 0</math>); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество <math>E</math> неизмеримо; то есть функция меры на <math>E</math> не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

= Измеримые множества в <math>\mathbb{R}^n</math> =
Множество всех измеримых по Лебегу множеств в \( \mathbb {R} ^{n} \) представляет собой семейство множеств, которое обладает следующими свойствами:

1. Семейство измеримых множеств замкнуто относительно операций разности, симметрической разности, счётного объединения, счётного пересечения и дополнения.

2. Мера Лебега является счётно-аддитивной на этом множестве.

3. Мера Лебега полна, то есть любое множество, внешняя мера которого равна 0, измеримо, и его мера Лебега равна 0.

4. Мера Лебега непрерывна относительно монотонного предельного перехода.

= Множество Халмоша =
Приведём без доказательства полезную теорему.

'''Теорема (Множество Халмоша)''':
:<math> \exists M \subseteq \mathbb{R}:~ \forall X \subseteq \mathbb{R}: ~ \mu_*(X)=\mu^*(X)>0:\\
\begin{cases}
\mu^* (M\bigcap X) = \mu(X), \\
\mu^* (M\bigcup X) = 0.
\end{cases}
</math>
Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> - соответствующие ей верхняя и нижняя меры.

Построенное таким образом множество используется при доказательстве утверждения о том, что из измеримости по Лебегу не следует измеримость по Борелю. Приведём тезисно план доказательства утверждения:

Пусть <math>k(x)</math> - "канторова лестница". Рассмотрим <math>f(x) = x + k(x)</math> на отрезке <math>[0,1]</math>. Функция <math>f</math> непрерывная и строго возрастающая. Найдём меру Лебега множества <math>f(C)</math>, где <math>C</math> - канторово множества. Оказывается, что она равна единице. Далее положим <math>D = f(C) \bigcap M </math>, где <math>M</math> - множество Халмоша. Тогда <math>D</math> не является измеримым по Лебегу (по критерию измеримости). Далее рассмотрим множество <math>H = f^{-1}(f(C)\bigcap M) \subseteq C</math>. В силу того, что канторово множество имеет меру нуль, множество <math>H</math> также имеет меру нуль (из свойства полноты меры Лебега). Если теперь мы предположим, что <math> H</math> - борелевское, то <math>H</math> является суперпозицией интервалов. Значит, в силу того, что непрерывная функция отображает борелевское множество в борелевское множество <math>D = f(H)</math> - борелевское. Но <math>D</math> не является измеримым по Лебегу, а значит, не является измеримым по Борелю. Таким образом, наше исходное предположение о том, что <math> H</math> - борелевское было неверным. Значит, из измеримости по Лебегу (а <math>H</math> - измеримо по Лебегу, т.к. является множеством нулевой меры) не следует измеримость по Борелю. Что и требовалось доказать.

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Мера Лебега

2023-12-29T05:23:20Z

Gleb22: /* Пример неизмеримого множества */

= Внешняя мера =
== Определение внешней меры ==
Пусть <math>S</math> - полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> - наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом <math>S</math>. Рассмотрим продолжение <math> \mu </math> на кольцо <math> K(S) </math>, а впоследствии - на алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:

===Теорема (о продолжении меры с полукольца на кольцо)===
Пусть <math>\mu</math> - мера на полукольце. Тогда <math>\exists !~ \mu^*</math> - мера на кольце <math>K(S):~\forall x\in S:~ \mu(x) = \mu^*(x)</math>. Более того, если <math>\mu~\sigma</math>-аддитивна на <math>S</math>, то <math>\mu^*~\sigma</math>-аддитивна на <math>K(S)</math>.

===Теорема (Каратеодори о продолжении меры с кольца на <math>\sigma</math>-кольцо)===
Пусть <math>\mathcal{R}</math> — кольцо подмножеств множества <math>\Omega</math> с мерой <math>\mu : \mathcal{R}\to [0,+\infty]</math>, а <math>\sigma(\mathcal{R})</math> — σ-кольцо, порождённое <math>\mathcal{R}</math>. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера <math>\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]</math>, являющаяся продолжением меры <math>\mu</math>, т.е <math>\forall x\in \mathcal{R}: ~ \mu(x) = \mu'(x)</math>. Кроме того, если мера <math>\mu</math> σ-конечна, то такое продолжение <math>\mu'</math> единственно и также σ-конечно.

Для упрощения будем обозначать продолжение меры на кольцо/алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру так же <math>\mu</math>.

'''Определение: Внешней мерой''' множества <math>A</math> будем называть величину:
:<math> \mu^*(A) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_i) ~:~ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i;~ B_i \in K(S)\right\}. </math>

В основном, нас будет интересовать случай, когда <math> A \notin K(S) </math>, поскольку в обратном случае значение внешней меры находится тривиально.

== Свойства внешней меры ==
* '''(Монотонность):''' <math>E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \mu^*(E_1) \leqslant \mu^*(E_2).</math>
* '''(Счётная полуаддитивность):''' <math>E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow \mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \mu^*(E_k).</math>

= Внутренняя мера =
'''Внутренней мерой''' множества <math>A</math> называется
: <math>\mu_*(A)=\mu(A)-\mu^*(X\setminus A)~(X \in K(S); ~ A\subseteq X).</math>

= Мера Лебега =
Множество <math>A</math> называется '''измеримым по Лебегу''', если:
:<math> \forall \varepsilon > 0 ~ \exists B \in K(S):~ \mu^*(A \triangle B) < \varepsilon.</math>
'''Мерой Лебега''' <math>\mu_L</math> измеримого по Лебегу множества A называется его внешняя мера.

== Критерий измеримости ==
Множество <math>A</math> измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внутренняя мера равна внешней, т.е.:
:<math> \mu^*(A) = \mu_*(A).</math>

== Свойства меры Лебега ==
1) '''Неотрицательность''': Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна: <math> \forall A: \exists \mu_L(A) \Rightarrow ~ \mu_L(A) \geqslant 0. </math> Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu_L(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.

3) '''Счётная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math> \mu_L(\bigcup A_i) \leqslant \sum\limits_i \mu_L(A_i).</math>

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) '''Счётная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>

5) '''Полнота''': Пусть <math>\mu_L(A)=0</math>. Тогда:
:<math>\forall B \subseteq A:~ \mu_L(B)=0.</math>

= Пример неизмеримого множества =
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности <math>\sim</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>: <math>x \sim y</math> если разность <math>x - y</math> рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа в интервале <math>[-1, 1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0, 1]</math>, но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1, 2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

: <math>1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.</math>

Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
: <math>\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>
либо бесконечна (если <math>\mu(E) > 0</math>), либо равна нулю (если <math>\mu(E) = 0</math>); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество <math>E</math> неизмеримо; то есть функция меры на <math>E</math> не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

= Измеримые множества в <math>\mathbb{R}^n</math> =

= Множество Халмоша =
Приведём без доказательства полезную теорему.

'''Теорема (Множество Халмоша)''':
:<math> \exists M \subseteq \mathbb{R}:~ \forall X \subseteq \mathbb{R}: ~ \mu_*(X)=\mu^*(X)>0:\\
\begin{cases}
\mu^* (M\bigcap X) = \mu(X), \\
\mu^* (M\bigcup X) = 0.
\end{cases}
</math>
Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> - соответствующие ей верхняя и нижняя меры.

Построенное таким образом множество используется при доказательстве утверждения о том, что из измеримости по Лебегу не следует измеримость по Борелю. Приведём тезисно план доказательства утверждения:

Пусть <math>k(x)</math> - "канторова лестница". Рассмотрим <math>f(x) = x + k(x)</math> на отрезке <math>[0,1]</math>. Функция <math>f</math> непрерывная и строго возрастающая. Найдём меру Лебега множества <math>f(C)</math>, где <math>C</math> - канторово множества. Оказывается, что она равна единице. Далее положим <math>D = f(C) \bigcap M </math>, где <math>M</math> - множество Халмоша. Тогда <math>D</math> не является измеримым по Лебегу (по критерию измеримости). Далее рассмотрим множество <math>H = f^{-1}(f(C)\bigcap M) \subseteq C</math>. В силу того, что канторово множество имеет меру нуль, множество <math>H</math> также имеет меру нуль (из свойства полноты меры Лебега). Если теперь мы предположим, что <math> H</math> - борелевское, то <math>H</math> является суперпозицией интервалов. Значит, в силу того, что непрерывная функция отображает борелевское множество в борелевское множество <math>D = f(H)</math> - борелевское. Но <math>D</math> не является измеримым по Лебегу, а значит, не является измеримым по Борелю. Таким образом, наше исходное предположение о том, что <math> H</math> - борелевское было неверным. Значит, из измеримости по Лебегу (а <math>H</math> - измеримо по Лебегу, т.к. является множеством нулевой меры) не следует измеримость по Борелю. Что и требовалось доказать.

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Мера Лебега

2023-12-29T05:22:40Z

Gleb22:

= Внешняя мера =
== Определение внешней меры ==
Пусть <math>S</math> - полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> - наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом <math>S</math>. Рассмотрим продолжение <math> \mu </math> на кольцо <math> K(S) </math>, а впоследствии - на алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:

===Теорема (о продолжении меры с полукольца на кольцо)===
Пусть <math>\mu</math> - мера на полукольце. Тогда <math>\exists !~ \mu^*</math> - мера на кольце <math>K(S):~\forall x\in S:~ \mu(x) = \mu^*(x)</math>. Более того, если <math>\mu~\sigma</math>-аддитивна на <math>S</math>, то <math>\mu^*~\sigma</math>-аддитивна на <math>K(S)</math>.

===Теорема (Каратеодори о продолжении меры с кольца на <math>\sigma</math>-кольцо)===
Пусть <math>\mathcal{R}</math> — кольцо подмножеств множества <math>\Omega</math> с мерой <math>\mu : \mathcal{R}\to [0,+\infty]</math>, а <math>\sigma(\mathcal{R})</math> — σ-кольцо, порождённое <math>\mathcal{R}</math>. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера <math>\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]</math>, являющаяся продолжением меры <math>\mu</math>, т.е <math>\forall x\in \mathcal{R}: ~ \mu(x) = \mu'(x)</math>. Кроме того, если мера <math>\mu</math> σ-конечна, то такое продолжение <math>\mu'</math> единственно и также σ-конечно.

Для упрощения будем обозначать продолжение меры на кольцо/алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру так же <math>\mu</math>.

'''Определение: Внешней мерой''' множества <math>A</math> будем называть величину:
:<math> \mu^*(A) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_i) ~:~ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i;~ B_i \in K(S)\right\}. </math>

В основном, нас будет интересовать случай, когда <math> A \notin K(S) </math>, поскольку в обратном случае значение внешней меры находится тривиально.

== Свойства внешней меры ==
* '''(Монотонность):''' <math>E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \mu^*(E_1) \leqslant \mu^*(E_2).</math>
* '''(Счётная полуаддитивность):''' <math>E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow \mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \mu^*(E_k).</math>

= Внутренняя мера =
'''Внутренней мерой''' множества <math>A</math> называется
: <math>\mu_*(A)=\mu(A)-\mu^*(X\setminus A)~(X \in K(S); ~ A\subseteq X).</math>

= Мера Лебега =
Множество <math>A</math> называется '''измеримым по Лебегу''', если:
:<math> \forall \varepsilon > 0 ~ \exists B \in K(S):~ \mu^*(A \triangle B) < \varepsilon.</math>
'''Мерой Лебега''' <math>\mu_L</math> измеримого по Лебегу множества A называется его внешняя мера.

== Критерий измеримости ==
Множество <math>A</math> измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внутренняя мера равна внешней, т.е.:
:<math> \mu^*(A) = \mu_*(A).</math>

== Свойства меры Лебега ==
1) '''Неотрицательность''': Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна: <math> \forall A: \exists \mu_L(A) \Rightarrow ~ \mu_L(A) \geqslant 0. </math> Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu_L(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.

3) '''Счётная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math> \mu_L(\bigcup A_i) \leqslant \sum\limits_i \mu_L(A_i).</math>

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) '''Счётная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>

5) '''Полнота''': Пусть <math>\mu_L(A)=0</math>. Тогда:
:<math>\forall B \subseteq A:~ \mu_L(B)=0.</math>

= Пример неизмеримого множества =
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности <math>\sim</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>: <math>x \sim y</math> если разность <math>x - y</math> рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа в интервале <math>[-1, 1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0, 1]</math>, но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1, 2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

: <math>1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.</math>

Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
: <math>\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>
либо бесконечна (если <math>\mu(E) > 0</math>), либо равна нулю (если <math>\mu(E) = 0</math>); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество <math>E</math> неизмеримо; то есть функция меры на <math>E</math> не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

= Измеримые множества в <math>\mathbb{R}^n</math>

= Множество Халмоша =
Приведём без доказательства полезную теорему.

'''Теорема (Множество Халмоша)''':
:<math> \exists M \subseteq \mathbb{R}:~ \forall X \subseteq \mathbb{R}: ~ \mu_*(X)=\mu^*(X)>0:\\
\begin{cases}
\mu^* (M\bigcap X) = \mu(X), \\
\mu^* (M\bigcup X) = 0.
\end{cases}
</math>
Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> - соответствующие ей верхняя и нижняя меры.

Построенное таким образом множество используется при доказательстве утверждения о том, что из измеримости по Лебегу не следует измеримость по Борелю. Приведём тезисно план доказательства утверждения:

Пусть <math>k(x)</math> - "канторова лестница". Рассмотрим <math>f(x) = x + k(x)</math> на отрезке <math>[0,1]</math>. Функция <math>f</math> непрерывная и строго возрастающая. Найдём меру Лебега множества <math>f(C)</math>, где <math>C</math> - канторово множества. Оказывается, что она равна единице. Далее положим <math>D = f(C) \bigcap M </math>, где <math>M</math> - множество Халмоша. Тогда <math>D</math> не является измеримым по Лебегу (по критерию измеримости). Далее рассмотрим множество <math>H = f^{-1}(f(C)\bigcap M) \subseteq C</math>. В силу того, что канторово множество имеет меру нуль, множество <math>H</math> также имеет меру нуль (из свойства полноты меры Лебега). Если теперь мы предположим, что <math> H</math> - борелевское, то <math>H</math> является суперпозицией интервалов. Значит, в силу того, что непрерывная функция отображает борелевское множество в борелевское множество <math>D = f(H)</math> - борелевское. Но <math>D</math> не является измеримым по Лебегу, а значит, не является измеримым по Борелю. Таким образом, наше исходное предположение о том, что <math> H</math> - борелевское было неверным. Значит, из измеримости по Лебегу (а <math>H</math> - измеримо по Лебегу, т.к. является множеством нулевой меры) не следует измеримость по Борелю. Что и требовалось доказать.

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Мера Лебега

2023-12-29T05:14:08Z

Gleb22: /* Свойства меры Лебега */

= Внешняя мера =
== Определение внешней меры ==
Пусть <math>S</math> - полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> - наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом <math>S</math>. Рассмотрим продолжение <math> \mu </math> на кольцо <math> K(S) </math>, а впоследствии - на алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:

===Теорема (о продолжении меры с полукольца на кольцо)===
Пусть <math>\mu</math> - мера на полукольце. Тогда <math>\exists !~ \mu^*</math> - мера на кольце <math>K(S):~\forall x\in S:~ \mu(x) = \mu^*(x)</math>. Более того, если <math>\mu~\sigma</math>-аддитивна на <math>S</math>, то <math>\mu^*~\sigma</math>-аддитивна на <math>K(S)</math>.

===Теорема (Каратеодори о продолжении меры с кольца на <math>\sigma</math>-кольцо)===
Пусть <math>\mathcal{R}</math> — кольцо подмножеств множества <math>\Omega</math> с мерой <math>\mu : \mathcal{R}\to [0,+\infty]</math>, а <math>\sigma(\mathcal{R})</math> — σ-кольцо, порождённое <math>\mathcal{R}</math>. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера <math>\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]</math>, являющаяся продолжением меры <math>\mu</math>, т.е <math>\forall x\in \mathcal{R}: ~ \mu(x) = \mu'(x)</math>. Кроме того, если мера <math>\mu</math> σ-конечна, то такое продолжение <math>\mu'</math> единственно и также σ-конечно.

Для упрощения будем обозначать продолжение меры на кольцо/алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру так же <math>\mu</math>.

'''Определение: Внешней мерой''' множества <math>A</math> будем называть величину:
:<math> \mu^*(A) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_i) ~:~ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i;~ B_i \in K(S)\right\}. </math>

В основном, нас будет интересовать случай, когда <math> A \notin K(S) </math>, поскольку в обратном случае значение внешней меры находится тривиально.

== Свойства внешней меры ==
* '''(Монотонность):''' <math>E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \mu^*(E_1) \leqslant \mu^*(E_2).</math>
* '''(Счётная полуаддитивность):''' <math>E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow \mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \mu^*(E_k).</math>

= Внутренняя мера =
'''Внутренней мерой''' множества <math>A</math> называется
: <math>\mu_*(A)=\mu(A)-\mu^*(X\setminus A)~(X \in K(S); ~ A\subseteq X).</math>

= Мера Лебега =
Множество <math>A</math> называется '''измеримым по Лебегу''', если:
:<math> \forall \varepsilon > 0 ~ \exists B \in K(S):~ \mu^*(A \triangle B) < \varepsilon.</math>
'''Мерой Лебега''' <math>\mu_L</math> измеримого по Лебегу множества A называется его внешняя мера.

== Критерий измеримости ==
Множество <math>A</math> измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внутренняя мера равна внешней, т.е.:
:<math> \mu^*(A) = \mu_*(A).</math>

== Свойства меры Лебега ==
1) '''Неотрицательность''': Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна: <math> \forall A: \exists \mu_L(A) \Rightarrow ~ \mu_L(A) \geqslant 0. </math> Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu_L(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.

3) '''Счётная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math> \mu_L(\bigcup A_i) \leqslant \sum\limits_i \mu_L(A_i).</math>

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) '''Счётная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>

5) '''Полнота''': Пусть <math>\mu_L(A)=0</math>. Тогда:
:<math>\forall B \subseteq A:~ \mu_L(B)=0.</math>

= Пример неизмеримого множества =
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности <math>\sim</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>: <math>x \sim y</math> если разность <math>x - y</math> рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа в интервале <math>[-1, 1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0, 1]</math>, но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1, 2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

: <math>1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.</math>

Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
: <math>\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>
либо бесконечна (если <math>\mu(E) > 0</math>), либо равна нулю (если <math>\mu(E) = 0</math>); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество <math>E</math> неизмеримо; то есть функция меры на <math>E</math> не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

= Множество Халмоша =
Приведём без доказательства полезную теорему.

'''Теорема (Множество Халмоша)''':
:<math> \exists M \subseteq \mathbb{R}:~ \forall X \subseteq \mathbb{R}: ~ \mu_*(X)=\mu^*(X)>0:\\
\begin{cases}
\mu^* (M\bigcap X) = \mu(X), \\
\mu^* (M\bigcup X) = 0.
\end{cases}
</math>
Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> - соответствующие ей верхняя и нижняя меры.

Построенное таким образом множество используется при доказательстве утверждения о том, что из измеримости по Лебегу не следует измеримость по Борелю. Приведём тезисно план доказательства утверждения:

Пусть <math>k(x)</math> - "канторова лестница". Рассмотрим <math>f(x) = x + k(x)</math> на отрезке <math>[0,1]</math>. Функция <math>f</math> непрерывная и строго возрастающая. Найдём меру Лебега множества <math>f(C)</math>, где <math>C</math> - канторово множества. Оказывается, что она равна единице. Далее положим <math>D = f(C) \bigcap M </math>, где <math>M</math> - множество Халмоша. Тогда <math>D</math> не является измеримым по Лебегу (по критерию измеримости). Далее рассмотрим множество <math>H = f^{-1}(f(C)\bigcap M) \subseteq C</math>. В силу того, что канторово множество имеет меру нуль, множество <math>H</math> также имеет меру нуль (из свойства полноты меры Лебега). Если теперь мы предположим, что <math> H</math> - борелевское, то <math>H</math> является суперпозицией интервалов. Значит, в силу того, что непрерывная функция отображает борелевское множество в борелевское множество <math>D = f(H)</math> - борелевское. Но <math>D</math> не является измеримым по Лебегу, а значит, не является измеримым по Борелю. Таким образом, наше исходное предположение о том, что <math> H</math> - борелевское было неверным. Значит, из измеримости по Лебегу (а <math>H</math> - измеримо по Лебегу, т.к. является множеством нулевой меры) не следует измеримость по Борелю. Что и требовалось доказать.

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Мера Лебега

2023-12-29T05:11:58Z

Gleb22: /* Свойства меры Лебега */

= Внешняя мера =
== Определение внешней меры ==
Пусть <math>S</math> - полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> - наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом <math>S</math>. Рассмотрим продолжение <math> \mu </math> на кольцо <math> K(S) </math>, а впоследствии - на алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:

===Теорема (о продолжении меры с полукольца на кольцо)===
Пусть <math>\mu</math> - мера на полукольце. Тогда <math>\exists !~ \mu^*</math> - мера на кольце <math>K(S):~\forall x\in S:~ \mu(x) = \mu^*(x)</math>. Более того, если <math>\mu~\sigma</math>-аддитивна на <math>S</math>, то <math>\mu^*~\sigma</math>-аддитивна на <math>K(S)</math>.

===Теорема (Каратеодори о продолжении меры с кольца на <math>\sigma</math>-кольцо)===
Пусть <math>\mathcal{R}</math> — кольцо подмножеств множества <math>\Omega</math> с мерой <math>\mu : \mathcal{R}\to [0,+\infty]</math>, а <math>\sigma(\mathcal{R})</math> — σ-кольцо, порождённое <math>\mathcal{R}</math>. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера <math>\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]</math>, являющаяся продолжением меры <math>\mu</math>, т.е <math>\forall x\in \mathcal{R}: ~ \mu(x) = \mu'(x)</math>. Кроме того, если мера <math>\mu</math> σ-конечна, то такое продолжение <math>\mu'</math> единственно и также σ-конечно.

Для упрощения будем обозначать продолжение меры на кольцо/алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру так же <math>\mu</math>.

'''Определение: Внешней мерой''' множества <math>A</math> будем называть величину:
:<math> \mu^*(A) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_i) ~:~ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i;~ B_i \in K(S)\right\}. </math>

В основном, нас будет интересовать случай, когда <math> A \notin K(S) </math>, поскольку в обратном случае значение внешней меры находится тривиально.

== Свойства внешней меры ==
* '''(Монотонность):''' <math>E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \mu^*(E_1) \leqslant \mu^*(E_2).</math>
* '''(Счётная полуаддитивность):''' <math>E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow \mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \mu^*(E_k).</math>

= Внутренняя мера =
'''Внутренней мерой''' множества <math>A</math> называется
: <math>\mu_*(A)=\mu(A)-\mu^*(X\setminus A)~(X \in K(S); ~ A\subseteq X).</math>

= Мера Лебега =
Множество <math>A</math> называется '''измеримым по Лебегу''', если:
:<math> \forall \varepsilon > 0 ~ \exists B \in K(S):~ \mu^*(A \triangle B) < \varepsilon.</math>
'''Мерой Лебега''' <math>\mu_L</math> измеримого по Лебегу множества A называется его внешняя мера.

== Критерий измеримости ==
Множество <math>A</math> измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внутренняя мера равна внешней, т.е.:
:<math> \mu^*(A) = \mu_*(A).</math>

== Свойства меры Лебега ==
1) '''Неотрицательность''': Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна: <math> \forall A: \exists \mu_L(A) \Rightarrow ~ \mu_L(A) \geqslant 0. </math> Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu_L(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.

3) '''Счетная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math> \mu_L(\bigcup A_i) \leqslant \sum\limits_i \mu_L(A_i).</math>

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) '''Счётная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>

5) '''Полнота''': Пусть <math>\mu_L(A)=0</math>. Тогда:
:<math>\forall B \subseteq A:~ \mu_L(B)=0.</math>

= Пример неизмеримого множества =
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности <math>\sim</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>: <math>x \sim y</math> если разность <math>x - y</math> рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа в интервале <math>[-1, 1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0, 1]</math>, но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1, 2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

: <math>1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.</math>

Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
: <math>\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>
либо бесконечна (если <math>\mu(E) > 0</math>), либо равна нулю (если <math>\mu(E) = 0</math>); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество <math>E</math> неизмеримо; то есть функция меры на <math>E</math> не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

= Множество Халмоша =
Приведём без доказательства полезную теорему.

'''Теорема (Множество Халмоша)''':
:<math> \exists M \subseteq \mathbb{R}:~ \forall X \subseteq \mathbb{R}: ~ \mu_*(X)=\mu^*(X)>0:\\
\begin{cases}
\mu^* (M\bigcap X) = \mu(X), \\
\mu^* (M\bigcup X) = 0.
\end{cases}
</math>
Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> - соответствующие ей верхняя и нижняя меры.

Построенное таким образом множество используется при доказательстве утверждения о том, что из измеримости по Лебегу не следует измеримость по Борелю. Приведём тезисно план доказательства утверждения:

Пусть <math>k(x)</math> - "канторова лестница". Рассмотрим <math>f(x) = x + k(x)</math> на отрезке <math>[0,1]</math>. Функция <math>f</math> непрерывная и строго возрастающая. Найдём меру Лебега множества <math>f(C)</math>, где <math>C</math> - канторово множества. Оказывается, что она равна единице. Далее положим <math>D = f(C) \bigcap M </math>, где <math>M</math> - множество Халмоша. Тогда <math>D</math> не является измеримым по Лебегу (по критерию измеримости). Далее рассмотрим множество <math>H = f^{-1}(f(C)\bigcap M) \subseteq C</math>. В силу того, что канторово множество имеет меру нуль, множество <math>H</math> также имеет меру нуль (из свойства полноты меры Лебега). Если теперь мы предположим, что <math> H</math> - борелевское, то <math>H</math> является суперпозицией интервалов. Значит, в силу того, что непрерывная функция отображает борелевское множество в борелевское множество <math>D = f(H)</math> - борелевское. Но <math>D</math> не является измеримым по Лебегу, а значит, не является измеримым по Борелю. Таким образом, наше исходное предположение о том, что <math> H</math> - борелевское было неверным. Значит, из измеримости по Лебегу (а <math>H</math> - измеримо по Лебегу, т.к. является множеством нулевой меры) не следует измеримость по Борелю. Что и требовалось доказать.

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Мера Лебега

2023-12-29T05:11:28Z

Gleb22: /* Внутренняя мера */

= Внешняя мера =
== Определение внешней меры ==
Пусть <math>S</math> - полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> - наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом <math>S</math>. Рассмотрим продолжение <math> \mu </math> на кольцо <math> K(S) </math>, а впоследствии - на алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:

===Теорема (о продолжении меры с полукольца на кольцо)===
Пусть <math>\mu</math> - мера на полукольце. Тогда <math>\exists !~ \mu^*</math> - мера на кольце <math>K(S):~\forall x\in S:~ \mu(x) = \mu^*(x)</math>. Более того, если <math>\mu~\sigma</math>-аддитивна на <math>S</math>, то <math>\mu^*~\sigma</math>-аддитивна на <math>K(S)</math>.

===Теорема (Каратеодори о продолжении меры с кольца на <math>\sigma</math>-кольцо)===
Пусть <math>\mathcal{R}</math> — кольцо подмножеств множества <math>\Omega</math> с мерой <math>\mu : \mathcal{R}\to [0,+\infty]</math>, а <math>\sigma(\mathcal{R})</math> — σ-кольцо, порождённое <math>\mathcal{R}</math>. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера <math>\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]</math>, являющаяся продолжением меры <math>\mu</math>, т.е <math>\forall x\in \mathcal{R}: ~ \mu(x) = \mu'(x)</math>. Кроме того, если мера <math>\mu</math> σ-конечна, то такое продолжение <math>\mu'</math> единственно и также σ-конечно.

Для упрощения будем обозначать продолжение меры на кольцо/алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру так же <math>\mu</math>.

'''Определение: Внешней мерой''' множества <math>A</math> будем называть величину:
:<math> \mu^*(A) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_i) ~:~ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i;~ B_i \in K(S)\right\}. </math>

В основном, нас будет интересовать случай, когда <math> A \notin K(S) </math>, поскольку в обратном случае значение внешней меры находится тривиально.

== Свойства внешней меры ==
* '''(Монотонность):''' <math>E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \mu^*(E_1) \leqslant \mu^*(E_2).</math>
* '''(Счётная полуаддитивность):''' <math>E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow \mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \mu^*(E_k).</math>

= Внутренняя мера =
'''Внутренней мерой''' множества <math>A</math> называется
: <math>\mu_*(A)=\mu(A)-\mu^*(X\setminus A)~(X \in K(S); ~ A\subseteq X).</math>

= Мера Лебега =
Множество <math>A</math> называется '''измеримым по Лебегу''', если:
:<math> \forall \varepsilon > 0 ~ \exists B \in K(S):~ \mu^*(A \triangle B) < \varepsilon.</math>
'''Мерой Лебега''' <math>\mu_L</math> измеримого по Лебегу множества A называется его внешняя мера.

== Критерий измеримости ==
Множество <math>A</math> измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внутренняя мера равна внешней, т.е.:
:<math> \mu^*(A) = \mu_*(A).</math>

== Свойства меры Лебега ==
1) '''Неотрицательность''': Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна: <math> \forall A: \exists \mu_L(A) \Rightarrow ~ \mu_L(A) \geqslant 0. </math> Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu_L(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.

3) '''Счетная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math> \mu_L(\bigcup A_i) \leqslant \sum\limits_i \mu_L(A_i).</math>

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) '''Счетная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>

5) '''Полнота''': Пусть <math>\mu_L(A)=0</math>. Тогда:
:<math>\forall B \subseteq A:~ \mu_L(B)=0.</math>

= Пример неизмеримого множества =
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности <math>\sim</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>: <math>x \sim y</math> если разность <math>x - y</math> рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа в интервале <math>[-1, 1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0, 1]</math>, но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1, 2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

: <math>1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.</math>

Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
: <math>\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>
либо бесконечна (если <math>\mu(E) > 0</math>), либо равна нулю (если <math>\mu(E) = 0</math>); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество <math>E</math> неизмеримо; то есть функция меры на <math>E</math> не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

= Множество Халмоша =
Приведём без доказательства полезную теорему.

'''Теорема (Множество Халмоша)''':
:<math> \exists M \subseteq \mathbb{R}:~ \forall X \subseteq \mathbb{R}: ~ \mu_*(X)=\mu^*(X)>0:\\
\begin{cases}
\mu^* (M\bigcap X) = \mu(X), \\
\mu^* (M\bigcup X) = 0.
\end{cases}
</math>
Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> - соответствующие ей верхняя и нижняя меры.

Построенное таким образом множество используется при доказательстве утверждения о том, что из измеримости по Лебегу не следует измеримость по Борелю. Приведём тезисно план доказательства утверждения:

Пусть <math>k(x)</math> - "канторова лестница". Рассмотрим <math>f(x) = x + k(x)</math> на отрезке <math>[0,1]</math>. Функция <math>f</math> непрерывная и строго возрастающая. Найдём меру Лебега множества <math>f(C)</math>, где <math>C</math> - канторово множества. Оказывается, что она равна единице. Далее положим <math>D = f(C) \bigcap M </math>, где <math>M</math> - множество Халмоша. Тогда <math>D</math> не является измеримым по Лебегу (по критерию измеримости). Далее рассмотрим множество <math>H = f^{-1}(f(C)\bigcap M) \subseteq C</math>. В силу того, что канторово множество имеет меру нуль, множество <math>H</math> также имеет меру нуль (из свойства полноты меры Лебега). Если теперь мы предположим, что <math> H</math> - борелевское, то <math>H</math> является суперпозицией интервалов. Значит, в силу того, что непрерывная функция отображает борелевское множество в борелевское множество <math>D = f(H)</math> - борелевское. Но <math>D</math> не является измеримым по Лебегу, а значит, не является измеримым по Борелю. Таким образом, наше исходное предположение о том, что <math> H</math> - борелевское было неверным. Значит, из измеримости по Лебегу (а <math>H</math> - измеримо по Лебегу, т.к. является множеством нулевой меры) не следует измеримость по Борелю. Что и требовалось доказать.

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Мера Лебега

2023-12-29T04:54:17Z

Gleb22: /* Множество Хаммоша */

= Внешняя мера =
== Определение внешней меры ==
Пусть <math>S</math> - полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> - наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом <math>S</math>. Рассмотрим продолжение <math> \mu </math> на кольцо <math> K(S) </math>, а впоследствии - на алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:

===Теорема (о продолжении меры с полукольца на кольцо)===
Пусть <math>\mu</math> - мера на полукольце. Тогда <math>\exists !~ \mu^*</math> - мера на кольце <math>K(S):~\forall x\in S:~ \mu(x) = \mu^*(x)</math>. Более того, если <math>\mu~\sigma</math>-аддитивна на <math>S</math>, то <math>\mu^*~\sigma</math>-аддитивна на <math>K(S)</math>.

===Теорема (Каратеодори о продолжении меры с кольца на <math>\sigma</math>-кольцо)===
Пусть <math>\mathcal{R}</math> — кольцо подмножеств множества <math>\Omega</math> с мерой <math>\mu : \mathcal{R}\to [0,+\infty]</math>, а <math>\sigma(\mathcal{R})</math> — σ-кольцо, порождённое <math>\mathcal{R}</math>. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера <math>\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]</math>, являющаяся продолжением меры <math>\mu</math>, т.е <math>\forall x\in \mathcal{R}: ~ \mu(x) = \mu'(x)</math>. Кроме того, если мера <math>\mu</math> σ-конечна, то такое продолжение <math>\mu'</math> единственно и также σ-конечно.

Для упрощения будем обозначать продолжение меры на кольцо/алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру так же <math>\mu</math>.

'''Определение: Внешней мерой''' множества <math>A</math> будем называть величину:
:<math> \mu^*(A) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_i) ~:~ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i;~ B_i \in K(S)\right\}. </math>

В основном, нас будет интересовать случай, когда <math> A \notin K(S) </math>, поскольку в обратном случае значение внешней меры находится тривиально.

== Свойства внешней меры ==
* '''(Монотонность):''' <math>E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \mu^*(E_1) \leqslant \mu^*(E_2).</math>
* '''(Счётная полуаддитивность):''' <math>E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow \mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \mu^*(E_k).</math>

= Внутренняя мера =
'''Внутренней мерой''' множества <math>A</math> называется
: <math>\mu_*(A)=\mu(A)-\mu^*(X\setminus A)~(X \in K(S); ~ A\subseteq X).</math>
Для неограниченных множеств, <math>m_*E</math> определяется как точная верхняя грань <math>(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E)</math> по всем отрезкам <math>[a,\;b]</math>.

= Мера Лебега =
Множество <math>A</math> называется '''измеримым по Лебегу''', если:
:<math> \forall \varepsilon > 0 ~ \exists B \in K(S):~ \mu^*(A \triangle B) < \varepsilon.</math>
'''Мерой Лебега''' <math>\mu_L</math> измеримого по Лебегу множества A называется его внешняя мера.

== Критерий измеримости ==
Множество <math>A</math> измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внутренняя мера равна внешней, т.е.:
:<math> \mu^*(A) = \mu_*(A).</math>

== Свойства меры Лебега ==
1) '''Неотрицательность''': Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна: <math> \forall A: \exists \mu_L(A) \Rightarrow ~ \mu_L(A) \geqslant 0. </math> Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu_L(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.

3) '''Счетная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math> \mu_L(\bigcup A_i) \leqslant \sum\limits_i \mu_L(A_i).</math>

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) '''Счетная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>

5) '''Полнота''': Пусть <math>\mu_L(A)=0</math>. Тогда:
:<math>\forall B \subseteq A:~ \mu_L(B)=0.</math>

= Пример неизмеримого множества =
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности <math>\sim</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>: <math>x \sim y</math> если разность <math>x - y</math> рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа в интервале <math>[-1, 1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0, 1]</math>, но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1, 2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

: <math>1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.</math>

Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
: <math>\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>
либо бесконечна (если <math>\mu(E) > 0</math>), либо равна нулю (если <math>\mu(E) = 0</math>); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество <math>E</math> неизмеримо; то есть функция меры на <math>E</math> не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

= Множество Халмоша =
Приведём без доказательства полезную теорему.

'''Теорема (Множество Халмоша)''':
:<math> \exists M \subseteq \mathbb{R}:~ \forall X \subseteq \mathbb{R}: ~ \mu_*(X)=\mu^*(X)>0:\\
\begin{cases}
\mu^* (M\bigcap X) = \mu(X), \\
\mu^* (M\bigcup X) = 0.
\end{cases}
</math>
Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> - соответствующие ей верхняя и нижняя меры.

Построенное таким образом множество используется при доказательстве утверждения о том, что из измеримости по Лебегу не следует измеримость по Борелю. Приведём тезисно план доказательства утверждения:

Пусть <math>k(x)</math> - "канторова лестница". Рассмотрим <math>f(x) = x + k(x)</math> на отрезке <math>[0,1]</math>. Функция <math>f</math> непрерывная и строго возрастающая. Найдём меру Лебега множества <math>f(C)</math>, где <math>C</math> - канторово множества. Оказывается, что она равна единице. Далее положим <math>D = f(C) \bigcap M </math>, где <math>M</math> - множество Халмоша. Тогда <math>D</math> не является измеримым по Лебегу (по критерию измеримости). Далее рассмотрим множество <math>H = f^{-1}(f(C)\bigcap M) \subseteq C</math>. В силу того, что канторово множество имеет меру нуль, множество <math>H</math> также имеет меру нуль (из свойства полноты меры Лебега). Если теперь мы предположим, что <math> H</math> - борелевское, то <math>H</math> является суперпозицией интервалов. Значит, в силу того, что непрерывная функция отображает борелевское множество в борелевское множество <math>D = f(H)</math> - борелевское. Но <math>D</math> не является измеримым по Лебегу, а значит, не является измеримым по Борелю. Таким образом, наше исходное предположение о том, что <math> H</math> - борелевское было неверным. Значит, из измеримости по Лебегу (а <math>H</math> - измеримо по Лебегу, т.к. является множеством нулевой меры) не следует измеримость по Борелю. Что и требовалось доказать.

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Мера Лебега

2023-12-29T04:34:24Z

Gleb22: /* Определение внешней меры */

= Внешняя мера =
== Определение внешней меры ==
Пусть <math>S</math> - полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> - наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом <math>S</math>. Рассмотрим продолжение <math> \mu </math> на кольцо <math> K(S) </math>, а впоследствии - на алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:

===Теорема (о продолжении меры с полукольца на кольцо)===
Пусть <math>\mu</math> - мера на полукольце. Тогда <math>\exists !~ \mu^*</math> - мера на кольце <math>K(S):~\forall x\in S:~ \mu(x) = \mu^*(x)</math>. Более того, если <math>\mu~\sigma</math>-аддитивна на <math>S</math>, то <math>\mu^*~\sigma</math>-аддитивна на <math>K(S)</math>.

===Теорема (Каратеодори о продолжении меры с кольца на <math>\sigma</math>-кольцо)===
Пусть <math>\mathcal{R}</math> — кольцо подмножеств множества <math>\Omega</math> с мерой <math>\mu : \mathcal{R}\to [0,+\infty]</math>, а <math>\sigma(\mathcal{R})</math> — σ-кольцо, порождённое <math>\mathcal{R}</math>. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера <math>\mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty]</math>, являющаяся продолжением меры <math>\mu</math>, т.е <math>\forall x\in \mathcal{R}: ~ \mu(x) = \mu'(x)</math>. Кроме того, если мера <math>\mu</math> σ-конечна, то такое продолжение <math>\mu'</math> единственно и также σ-конечно.

Для упрощения будем обозначать продолжение меры на кольцо/алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру так же <math>\mu</math>.

'''Определение: Внешней мерой''' множества <math>A</math> будем называть величину:
:<math> \mu^*(A) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_i) ~:~ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i;~ B_i \in K(S)\right\}. </math>

В основном, нас будет интересовать случай, когда <math> A \notin K(S) </math>, поскольку в обратном случае значение внешней меры находится тривиально.

== Свойства внешней меры ==
* '''(Монотонность):''' <math>E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow \mu^*(E_1) \leqslant \mu^*(E_2).</math>
* '''(Счётная полуаддитивность):''' <math>E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow \mu^*(E) \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \mu^*(E_k).</math>

= Внутренняя мера =
'''Внутренней мерой''' множества <math>A</math> называется
: <math>\mu_*(A)=\mu(A)-\mu^*(X\setminus A)~(X \in K(S); ~ A\subseteq X).</math>
Для неограниченных множеств, <math>m_*E</math> определяется как точная верхняя грань <math>(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E)</math> по всем отрезкам <math>[a,\;b]</math>.

= Мера Лебега =
Множество <math>A</math> называется '''измеримым по Лебегу''', если:
:<math> \forall \varepsilon > 0 ~ \exists B \in K(S):~ \mu^*(A \triangle B) < \varepsilon.</math>
'''Мерой Лебега''' <math>\mu_L</math> измеримого по Лебегу множества A называется его внешняя мера.

== Критерий измеримости ==
Множество <math>A</math> измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда его внутренняя мера равна внешней, т.е.:
:<math> \mu^*(A) = \mu_*(A).</math>

== Свойства меры Лебега ==
1) '''Неотрицательность''': Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна: <math> \forall A: \exists \mu_L(A) \Rightarrow ~ \mu_L(A) \geqslant 0. </math> Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu_L(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.

3) '''Счетная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math> \mu_L(\bigcup A_i) \leqslant \sum\limits_i \mu_L(A_i).</math>

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) '''Счетная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>

5) '''Полнота''': Пусть <math>\mu_L(A)=0</math>. Тогда:
:<math>\forall B \subseteq A:~ \mu_L(B)=0.</math>

= Пример неизмеримого множества =
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности <math>\sim</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>: <math>x \sim y</math> если разность <math>x - y</math> рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа в интервале <math>[-1, 1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0, 1]</math>, но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1, 2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

: <math>1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.</math>

Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
: <math>\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>
либо бесконечна (если <math>\mu(E) > 0</math>), либо равна нулю (если <math>\mu(E) = 0</math>); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество <math>E</math> неизмеримо; то есть функция меры на <math>E</math> не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

= Множество Хаммоша =
Приведём без доказательства полезную теорему.

'''Теорема (Множество Хаммоша)''':
:<math> \exists M \subseteq \mathbb{R}:~ \forall X \subseteq \mathbb{R}: ~ \mu_*(X)=\mu^*(X)>0:\\
\begin{cases}
\mu^* (M\bigcap X) = \mu(X), \\
\mu^* (M\bigcup X) = 0.
\end{cases}
</math>
Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> - соответствующие ей верхняя и нижняя меры.

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Мера Лебега

2023-12-29T04:22:17Z

Gleb22: /* Определение внешней меры */

Мера Лебега

2023-12-27T16:23:45Z

Gleb22: /* Множество Хаммоша */

Мера Лебега

2023-12-27T16:20:32Z

Gleb22: /* Множество Хаммоша */

Мера Лебега

2023-12-27T16:00:00Z

Gleb22: /* Внешняя мера */

Мера Лебега

2023-12-27T00:04:42Z

Gleb22:

Мера Лебега

2023-12-26T23:05:07Z

Gleb22: /* Внешняя мера */

=== Внешняя мера ===
Пусть <math>S</math> - полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> - кольцо, соответствующее данному полукольцу <math>S</math>.
'''Внешней мерой''' множества <math>A</math> будем называть величину:
:<math> \mu^*(A) = \inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_i) ~:~ A \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i;~ B_i \in K(S)\right\}. </math>

В основном, нас будет интересовать случай, когда <math> A \notin K(S) </math>, поскольку в обратном случае значение внешней меры находится тривиально.

=== Свойства внешней меры ===
* '''(Монотонность):''' <math>E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow m^*E_1 \leqslant m^*E_2.</math>
* '''(Счётная полуаддитивность):''' <math>E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow m^*E \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty m^*E_k.</math>
* <math>\forall E,\ \varepsilon > 0\ \exists G \supseteq E \colon m^*G \leqslant m^*E + \varepsilon</math>, где <math>G</math> — открытое множество. Действительно, достаточно в качестве <math>G</math> взять сумму интервалов, составляющих покрытие <math>E</math>, такую что <math>\textstyle\sum\limits_i \Delta_i \leqslant m^*E + \varepsilon</math>. Существование такого покрытия следует из определения точной нижней грани.

=== Внутренняя мера ===
Если множество <math>E</math> ограничено, то '''внутренней мерой''' множества <math>E</math> называется разность между длиной сегмента <math>[a,\;b]</math> содержащего <math>E</math> и внешней мерой дополнения <math>E</math> в <math>[a,\;b]</math>:
: <math>m_*E=(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E).</math>
Для неограниченных множеств, <math>m_*E</math> определяется как точная верхняя грань <math>(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E)</math> по всем отрезкам <math>[a,\;b]</math>.

== Измеримые множества ==
Множество называется '''измеримым по Лебегу''', если его внешняя и внутренняя меры равны. Тогда общее значение последних называется '''мерой множества по Лебегу''' и обозначается <math>mE</math>, <math>\mu E</math>, <math>|E|</math>, <math>\lambda(E)</math> или <math>\operatorname{mes} E</math>.

=== Пример неизмеримого множества ===
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности <math>\sim</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>: <math>x \sim y</math> если разность <math>x - y</math> рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа в интервале <math>[-1, 1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0, 1]</math>, но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1, 2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

: <math>1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.</math>

Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
: <math>\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>
либо бесконечна (если <math>\mu(E) > 0</math>), либо равна нулю (если <math>\mu(E) = 0</math>); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество <math>E</math> неизмеримо; то есть функция меры на <math>E</math> не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

=== Свойства меры Лебега ===

1) '''Неотрицательность''': Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна: <math> \forall E: \exists \mu(E) \Rightarrow ~ \mu(E) \geqslant 0. </math> Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.

3) '''Счетная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math> \mu(\cup A_i) \leq \sum\limits_i \mu(A_i).</math>

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) '''Счетная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Мера Лебега

2023-12-18T04:26:06Z

Gleb22: Initial commit

=== Внешняя мера ===
Для произвольного подмножества <math>E</math> числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем из конечного или счётного числа интервалов, объединение которых содержит множество <math>E</math>. Назовём такие системы '''покрытиями'''. Так как сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, есть величина неотрицательная, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю грань. Эта грань, зависящая только от множества <math>E</math>, и называется '''внешней мерой''':
: <math>m^*E = \inf\left\{\sum_i \Delta_i\right\}.</math>
Варианты обозначения внешней меры:
: <math>m^*E = \varphi(E) = |E|^*.</math>
Внешняя мера любого интервала совпадает с его длиной, что является следствием счётной аддитивности меры Лебега на полукольце интервалов, отрезков и полуинтервалов. Если точнее, то указанная счётная аддитивность даёт <math>m(a, b) \leqslant m^*(a, b)</math>, тогда как противоположное неравенство действительно очевидно и напрямую вытекает из определения внешней меры.

=== Свойства внешней меры ===
* '''(Монотонность):''' <math>E_1 \subseteq E_2 \Rightarrow m^*E_1 \leqslant m^*E_2.</math>
* '''(Счётная полуаддитивность):''' <math>E = \bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k \Rightarrow m^*E \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty m^*E_k.</math>
* <math>\forall E,\ \varepsilon > 0\ \exists G \supseteq E \colon m^*G \leqslant m^*E + \varepsilon</math>, где <math>G</math> — открытое множество. Действительно, достаточно в качестве <math>G</math> взять сумму интервалов, составляющих покрытие <math>E</math>, такую что <math>\textstyle\sum\limits_i \Delta_i \leqslant m^*E + \varepsilon</math>. Существование такого покрытия следует из определения точной нижней грани.

=== Внутренняя мера ===
Если множество <math>E</math> ограничено, то '''внутренней мерой''' множества <math>E</math> называется разность между длиной сегмента <math>[a,\;b]</math> содержащего <math>E</math> и внешней мерой дополнения <math>E</math> в <math>[a,\;b]</math>:
: <math>m_*E=(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E).</math>
Для неограниченных множеств, <math>m_*E</math> определяется как точная верхняя грань <math>(b-a)-m^*([a,\;b]\setminus E)</math> по всем отрезкам <math>[a,\;b]</math>.

== Измеримые множества ==
Множество называется '''измеримым по Лебегу''', если его внешняя и внутренняя меры равны. Тогда общее значение последних называется '''мерой множества по Лебегу''' и обозначается <math>mE</math>, <math>\mu E</math>, <math>|E|</math>, <math>\lambda(E)</math> или <math>\operatorname{mes} E</math>.

=== Пример неизмеримого множества ===
Пример неизмеримого по Лебегу множества построил Дж. Витали в 1905 году. Рассмотрим следующее отношение эквивалентности <math>\sim</math> на отрезке <math>[0, 1]</math>: <math>x \sim y</math> если разность <math>x - y</math> рациональна.
Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по одному представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).
Тогда полученное множество <math>E</math> представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть <math>E</math> счётное число раз на все рациональные числа в интервале <math>[-1, 1]</math>, то объединение будет содержать весь отрезок <math>[0, 1]</math>, но при этом оно будет содержаться в отрезке <math>[-1, 2]</math>.
При этом «сдвинутые копии» множества <math>E</math> не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения <math>\sim</math> и <math>E</math>.

Следовательно, с учётом счётной аддитивности меры Лебега,

: <math>1 = \mu\big([0; 1]\big) \leqslant \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty E_n\bigg) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n) \leqslant \mu\big([-1; 2]\big) = 3.</math>

Однако, если построенное множество <math>E</math> измеримо, это невозможно: все <math>\mu(E_n) = \mu(E)</math> в силу свойства инвариантности меры Лебега (мера множества не меняется при сдвиге), а значит, сумма ряда
: <math>\sum_{n=1}^\infty \mu(E_n)</math>
либо бесконечна (если <math>\mu(E) > 0</math>), либо равна нулю (если <math>\mu(E) = 0</math>); третьего не дано.

В обоих случаях получаем противоречие, и значит множество <math>E</math> неизмеримо; то есть функция меры на <math>E</math> не распространяется.

Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).

=== Свойства меры Лебега ===

1) '''Неотрицательность''': Мера Лебега любого измеримого множества неотрицательна: <math> \forall E: \exists \mu(E) \Rightarrow ~ \mu(E) \geqslant 0. </math> Данное свойство следует из неотрицательности внешней меры.

2) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.

3) '''Счетная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math> \mu(\cup A_i) \leq \sum\limits_i \mu(A_i).</math>

Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.

4) '''Счетная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:

<math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2021г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-25T11:09:02Z

Gleb22: /* Постановка задачи */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^m, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(m=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.

Можно заметить, что для задачи быстродействия "из множества во множество" соответствующие множества достижимости и разрешимости представимы в виде объединений множеств достижижимости/разрешимости по всем точкам начального/конечного множества, т.е. являются обобщениями множеств достижимости и разрешимости для [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%22%D0%B8%D0%B7_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D0%B2_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D1%83%22 задачи быстродействия "из точки в точку"].

Заметим также, что с содержательной точки зрения множество достижимости \(~-\) это множество всех точек в фазовом пространстве, в которых мы можем оказаться в момент времени \(t\), используя всевозможные доступные управления \(u(\cdot)\) и всевозможные точки старта \(x^0\) из начального множества \(\mathcal{X}^0\).

Аналогично, множество разрешимости \(~-\) это множество всех точек в фазовом пространстве, из которых мы можем попасть, стартуя момент времени \(t\) и используя всевозможные доступные управления \(u(\cdot)\) во всевозможные точки финиша \(x^1\) из конечного множества \(\mathcal{X}^1\).

=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].
=== Применение теоремы о минимаксе ===
Воспользуемся теоремой фон Неймана для получения некоторых результатов по нашей задаче.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Последнее равенство следует из [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D1%85%D0%B5%D0%BB%D1%8F-%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%BE&action=edit&redlink=1 теории двойственности Фенхеля-Моро], обсуждаемой в курсе выпуклого анализа. Более подробно о ней можно узнать из книги А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу"[https://vk.com/wall-186208863_2873]. Применим к правой части последнего равенства теорему о минимаксе. Получим:
\[
d(Z^1, Z^2) = \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T(t)\psi(t), & \textbf{ (сопряжённая система)}\\
\langle B^T(t)\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T(t)\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-25T11:06:56Z

Gleb22: /* Применение теоремы о минимаксе */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(n=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.

Можно заметить, что для задачи быстродействия "из множества во множество" соответствующие множества достижимости и разрешимости представимы в виде объединений множеств достижижимости/разрешимости по всем точкам начального/конечного множества, т.е. являются обобщениями множеств достижимости и разрешимости для [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%22%D0%B8%D0%B7_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D0%B2_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D1%83%22 задачи быстродействия "из точки в точку"].

Заметим также, что с содержательной точки зрения множество достижимости \(~-\) это множество всех точек в фазовом пространстве, в которых мы можем оказаться в момент времени \(t\), используя всевозможные доступные управления \(u(\cdot)\) и всевозможные точки старта \(x^0\) из начального множества \(\mathcal{X}^0\).

Аналогично, множество разрешимости \(~-\) это множество всех точек в фазовом пространстве, из которых мы можем попасть, стартуя момент времени \(t\) и используя всевозможные доступные управления \(u(\cdot)\) во всевозможные точки финиша \(x^1\) из конечного множества \(\mathcal{X}^1\).

=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].
=== Применение теоремы о минимаксе ===
Воспользуемся теоремой фон Неймана для получения некоторых результатов по нашей задаче.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Последнее равенство следует из [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D1%85%D0%B5%D0%BB%D1%8F-%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%BE&action=edit&redlink=1 теории двойственности Фенхеля-Моро], обсуждаемой в курсе выпуклого анализа. Более подробно о ней можно узнать из книги А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу"[https://vk.com/wall-186208863_2873]. Применим к правой части последнего равенства теорему о минимаксе. Получим:
\[
d(Z^1, Z^2) = \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T(t)\psi(t), & \textbf{ (сопряжённая система)}\\
\langle B^T(t)\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T(t)\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-22T19:09:16Z

Gleb22: /* Теорема фон Неймана о минимаксе */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(n=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.

Можно заметить, что для задачи быстродействия "из множества во множество" соответствующие множества достижимости и разрешимости представимы в виде объединений множеств достижижимости/разрешимости по всем точкам начального/конечного множества, т.е. являются обобщениями множеств достижимости и разрешимости для [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%22%D0%B8%D0%B7_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D0%B2_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D1%83%22 задачи быстродействия "из точки в точку"].

Заметим также, что с содержательной точки зрения множество достижимости \(~-\) это множество всех точек в фазовом пространстве, в которых мы можем оказаться в момент времени \(t\), используя всевозможные доступные управления \(u(\cdot)\) и всевозможные точки старта \(x^0\) из начального множества \(\mathcal{X}^0\).

Аналогично, множество разрешимости \(~-\) это множество всех точек в фазовом пространстве, из которых мы можем попасть, стартуя момент времени \(t\) и используя всевозможные доступные управления \(u(\cdot)\) во всевозможные точки финиша \(x^1\) из конечного множества \(\mathcal{X}^1\).

=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].
=== Применение теоремы о минимаксе ===
Воспользуемся теоремой фон Неймана для получения некоторых результатов по нашей задаче.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Последнее равенство следует из [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D1%85%D0%B5%D0%BB%D1%8F-%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%BE&action=edit&redlink=1 теории двойственности Фенхеля-Моро], обсуждаемой в курсе выпуклого анализа. Более подробно о ней можно узнать из книги А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу"[https://vk.com/wall-186208863_2873]. Применим к правой части последнего равенства теорему о минимаксе. Получим:
\[
d(Z^1, Z^2) = \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2svg.svg|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T(t)\psi(t), & \textbf{ (сопряжённая система)}\\
\langle B^T(t)\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T(t)\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-22T12:17:07Z

Gleb22: /* Применение теоремы о минимаксе */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(n=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.

Можно заметить, что для задачи быстродействия "из множества во множество" соответствующие множества достижимости и разрешимости представимы в виде объединений множеств достижижимости/разрешимости по всем точкам начального/конечного множества, т.е. являются обобщениями множеств достижимости и разрешимости для [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%22%D0%B8%D0%B7_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D0%B2_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D1%83%22 задачи быстродействия "из точки в точку"].

Заметим также, что с содержательной точки зрения множество достижимости \(~-\) это множество всех точек в фазовом пространстве, в которых мы можем оказаться в момент времени \(t\), используя всевозможные доступные управления \(u(\cdot)\) и всевозможные точки старта \(x^0\) из начального множества \(\mathcal{X}^0\).

Аналогично, множество разрешимости \(~-\) это множество всех точек в фазовом пространстве, из которых мы можем попасть, стартуя момент времени \(t\) и используя всевозможные доступные управления \(u(\cdot)\) во всевозможные точки финиша \(x^1\) из конечного множества \(\mathcal{X}^1\).

=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].
=== Применение теоремы о минимаксе ===
Воспользуемся теоремой фон Неймана для получения некоторых результатов по нашей задаче.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Последнее равенство следует из [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D1%85%D0%B5%D0%BB%D1%8F-%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%BE&action=edit&redlink=1 теории двойственности Фенхеля-Моро], обсуждаемой в курсе выпуклого анализа. Более подробно о ней можно узнать из книги А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу"[https://vk.com/wall-186208863_2873]. Применим к правой части последнего равенства теорему о минимаксе. Получим:
\[
d(Z^1, Z^2) = \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T(t)\psi(t), & \textbf{ (сопряжённая система)}\\
\langle B^T(t)\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T(t)\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-22T12:15:33Z

Gleb22: /* Применение теоремы о минимаксе */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(n=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.

Можно заметить, что для задачи быстродействия "из множества во множество" соответствующие множества достижимости и разрешимости представимы в виде объединений множеств достижижимости/разрешимости по всем точкам начального/конечного множества, т.е. являются обобщениями множеств достижимости и разрешимости для [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%22%D0%B8%D0%B7_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D0%B2_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D1%83%22 задачи быстродействия "из точки в точку"].

Заметим также, что с содержательной точки зрения множество достижимости \(~-\) это множество всех точек в фазовом пространстве, в которых мы можем оказаться в момент времени \(t\), используя всевозможные доступные управления \(u(\cdot)\) и всевозможные точки старта \(x^0\) из начального множества \(\mathcal{X}^0\).

Аналогично, множество разрешимости \(~-\) это множество всех точек в фазовом пространстве, из которых мы можем попасть, стартуя момент времени \(t\) и используя всевозможные доступные управления \(u(\cdot)\) во всевозможные точки финиша \(x^1\) из конечного множества \(\mathcal{X}^1\).

=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].
=== Применение теоремы о минимаксе ===
Воспользуемся теоремой фон Неймана для получения некоторых результатов по нашей задаче.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Последнее равенство следует из [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D1%85%D0%B5%D0%BB%D1%8F-%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%BE&action=edit&redlink=1 теории двойственности Фенхеля-Моро], обсуждаемой в курсе выпуклого анализа. Более подробно о ней можно узнать из книги А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Применим к правой части последнего равенства теорему о минимаксе. Получим:
\[
d(Z^1, Z^2) = \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T(t)\psi(t), & \textbf{ (сопряжённая система)}\\
\langle B^T(t)\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T(t)\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-22T12:01:54Z

Gleb22: /* Множества достижимости и разрешимости */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(n=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.

Можно заметить, что для задачи быстродействия "из множества во множество" соответствующие множества достижимости и разрешимости представимы в виде объединений множеств достижижимости/разрешимости по всем точкам начального/конечного множества, т.е. являются обобщениями множеств достижимости и разрешимости для [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%22%D0%B8%D0%B7_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D0%B2_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D1%83%22 задачи быстродействия "из точки в точку"].

Заметим также, что с содержательной точки зрения множество достижимости \(~-\) это множество всех точек в фазовом пространстве, в которых мы можем оказаться в момент времени \(t\), используя всевозможные доступные управления \(u(\cdot)\) и всевозможные точки старта \(x^0\) из начального множества \(\mathcal{X}^0\).

Аналогично, множество разрешимости \(~-\) это множество всех точек в фазовом пространстве, из которых мы можем попасть, стартуя момент времени \(t\) и используя всевозможные доступные управления \(u(\cdot)\) во всевозможные точки финиша \(x^1\) из конечного множества \(\mathcal{X}^1\).

=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].
=== Применение теоремы о минимаксе ===
Воспользуемся теоремой фон Неймана для получения некоторых результатов по нашей задаче.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Применим теорему о минимаксе. Получим:
\[
d(Z^1, Z^2) = \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T(t)\psi(t), & \textbf{ (сопряжённая система)}\\
\langle B^T(t)\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T(t)\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-22T11:53:52Z

Gleb22: /* Принцип максимума Понтрягина */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(n=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.

Можно заметить, что для задачи быстродействия "из множества во множество" соответствующие множества достижимости и разрешимости представимы в виде объединений множеств достижижимости/разрешимости по всем точкам начального/конечного множества, т.е. являются обобщениями множеств достижимости и разрешимости для [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%22%D0%B8%D0%B7_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D0%B2_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D1%83%22 задачи быстродействия "из точки в точку"].
=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].
=== Применение теоремы о минимаксе ===
Воспользуемся теоремой фон Неймана для получения некоторых результатов по нашей задаче.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Применим теорему о минимаксе. Получим:
\[
d(Z^1, Z^2) = \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T(t)\psi(t), & \textbf{ (сопряжённая система)}\\
\langle B^T(t)\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T(t)\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-22T11:52:05Z

Gleb22: /* Множества достижимости и разрешимости */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(n=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.

Можно заметить, что для задачи быстродействия "из множества во множество" соответствующие множества достижимости и разрешимости представимы в виде объединений множеств достижижимости/разрешимости по всем точкам начального/конечного множества, т.е. являются обобщениями множеств достижимости и разрешимости для [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%22%D0%B8%D0%B7_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D0%B2_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D1%83%22 задачи быстродействия "из точки в точку"].
=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].
=== Применение теоремы о минимаксе ===
Воспользуемся теоремой фон Неймана для получения некоторых результатов по нашей задаче.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Применим теорему о минимаксе. Получим:
\[
d(Z^1, Z^2) = \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + Bu, \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T\psi(t), & \textbf{ (сопряжённая система)}\\
\langle B^T\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-22T11:47:16Z

Gleb22: /* Постановка задачи */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(n=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.
=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].
=== Применение теоремы о минимаксе ===
Воспользуемся теоремой фон Неймана для получения некоторых результатов по нашей задаче.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Применим теорему о минимаксе. Получим:
\[
d(Z^1, Z^2) = \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + Bu, \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T\psi(t), & \textbf{ (сопряжённая система)}\\
\langle B^T\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Файл:Img2svg.svg

2022-11-22T11:45:17Z

Gleb22:

Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.

Файл:Img1svg.svg

2022-11-22T11:44:38Z

Gleb22:

Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-18T16:41:53Z

Gleb22: /* Применение теоремы о минимаксе */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(m=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.
=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].
=== Применение теоремы о минимаксе ===
Воспользуемся теоремой фон Неймана для получения некоторых результатов по нашей задаче.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Применим теорему о минимаксе. Получим:
\[
d(Z^1, Z^2) = \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + Bu, \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T\psi(t), & \textbf{(сопряжённая система)}\\
\langle B^T\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-18T16:41:06Z

Gleb22: /* Применение теоремы о минимаксе */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(m=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.
=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].
=== Применение теоремы о минимаксе ===
Воспользуемся теоремой фон Неймана для получения некоторых результатов по нашей задаче.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Применим теорему о минимаксе. Получим:
\[
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + Bu, \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T\psi(t), & \textbf{(сопряжённая система)}\\
\langle B^T\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-18T16:40:24Z

Gleb22: /* Теорема фон Неймана о минимаксе */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(m=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.
=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].
=== Применение теоремы о минимаксе ===
Воспользуемся теоремой фон Неймана при выводе принципа максимума Понтрягина.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Применим теорему о минимаксе. Получим:
\[
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + Bu, \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T\psi(t), & \textbf{(сопряжённая система)}\\
\langle B^T\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-18T16:31:59Z

Gleb22: /* Теорема фон Неймана о минимаксе */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(m=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.
=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].

Воспользуемся теоремой фон Неймана при выводе принципа максимума Понтрягина.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Применим теорему о минимаксе. Получим:
\[
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|центр|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + Bu, \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T\psi(t), & \textbf{(сопряжённая система)}\\
\langle B^T\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-18T16:31:36Z

Gleb22: /* Теорема фон Неймана о минимаксе */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(m=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.
=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].

Воспользуемся теоремой фон Неймана при выводе принципа максимума Понтрягина.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Применим теорему о минимаксе. Получим:
\[
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|слева|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|справа|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + Bu, \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T\psi(t), & \textbf{(сопряжённая система)}\\
\langle B^T\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-18T16:28:47Z

Gleb22: /* Теорема фон Неймана о минимаксе */

== Постановка задачи ==
'''Задача быстродействия'''\(~-\) задача перевода системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, положение за минимальное время.
Пусть система определяется условиями:
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \\
x(t_0) \in \mathcal{X}^0, x(t_1) \in \mathcal{X}^1, \\
u(t) \in \mathcal{P}(t) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
t_0 ~- \text{фиксировано}, \\
t_1 - t_0 \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\text{inf}},
\end{cases}
где \( A(t), B(t), f(t) ~-\) непрерывны, а \( \mathcal{P} \) непрерывно как многозначное отображение (это требование гарантирует нам, что для любого \( l: \rho(l\vert\mathcal{P}(\tau))\) по \(\tau\) непрерывна\(^1\)).

\(^1\)В частности, при \(m=1\) множество \(\mathcal{P}\) выглядит как \(\mathcal{P}(\tau) = [a(\tau), b(\tau)]\); неперерывность многозначного отображения означает, что \(a(\tau), b(\tau)~-\) непрерывны.

== Множества достижимости и разрешимости ==
'''Множеством достижимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{X}[t] = \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^0 \in \mathcal{X}^0: x(t, t_0, x^0| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^0 \in \mathcal{X}^0}{\cup}\mathcal{X}(t, t_0, x^0).
\]

'''Множеством разрешимости''' в момент времени \(t\) будем называть:
\[
\mathcal{W}[t] = \mathcal{W}(t, t_1, \mathcal{X}^1) = \{x| \exists u(\cdot) - \text{измеримая, т.ч.} \forall \tau \leqslant t: u(\tau) \in \mathcal{P}(\tau), \exists x^1 \in \mathcal{X}^1: x(t, t_1, x^1| u(\cdot)) = x\} = \underset{x^1 \in \mathcal{X}^1}{\cup}\mathcal{W}(t, t_1, x^1).
\]
[[Файл:Sets1.png|мини|Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.]]

На чертеже приведён пример расположения и изменения множеств достижимости и разрешимости для оптимального времени \(t_1^*\). Красным цветом приведён пример оптимальной траектории движения.
=== Свойства множеств достижимости и разрешимости ===
==== Выпуклость и компактность ====
'''Утверждение:''' Множества достижимости и разрешимости\(~-\) непустые выпуклые компакты.

''Доказательство:'' Заметим, что:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}\left(t, t_0, \mathcal{X}^0\right) = X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0), \\
\mathcal{W}\left(t, t_1, \mathcal{X}^1\right) = X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0),
\end{cases}
\]
где \(X(t, \tau)~-\) [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 фундаментальная матрица Коши].
В самом деле, по [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8 формуле Коши]:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^{t}X(t, \tau)(B(\tau)u(\tau)+f(\tau))d\tau.
\]
Тогда в силу определения множества достижимости через объединение по всем допустимым значениям из исходного множества \(\mathcal{X}^0\) и всем допустимым управлениям \(u(\cdot)\) получаем формулу выше. Аналогичным образом поступаем с формулой для множества разрешимости.
При решении задачи быстродействия "из точки в точку" доказываются следующие два факта:
\[
\begin{cases}
\mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
\mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\end{cases}
\]
По условию задачи: \(\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\).
Тогда:
\[
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 \in \text{conv}\mathbb{R}^n.
\]
Суммируя непустые выпуклые компакты, получаем:
\[
\begin{cases}
X(t, t_0)\mathcal{X}^0 + \mathcal{X}(t, t_0, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n, \\
X(t, t_1)\mathcal{X}^1 + \mathcal{W}(t, t_1, 0) \in \text{conv}\mathbb{R}^n,
\end{cases}
\]
что и требовалось доказать.

==== Критерий оптимальности конечного времени ====
'''Утверждение:''' \(t_1^*~-\) оптимальное конечное время тогда и только тогда, когда \(t_1^*~-\) минимальный корень уравнения (относительно \(t\)):
\[
d(\mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0), \mathcal{X}^1) = 0,
\]
на луче \(t_1 \geqslant t_0\), где \(d(X, Y)~-\) евклидово расстояние между множествами \(X\) и \(Y\).

''Доказательство'': \(\mathcal{X}^1, \mathcal{X}(t, t_0, \mathcal{X}^0) \in \text{conv} \mathbb{R}^n\). Из курса выпуклого анализа (см. книгу А.В. Арутюнова "Лекции по выпуклому и многозначному анализу", Москва, Физматлит, 2014) [https://vk.com/wall-186208863_2873] известно, что:
\[
\forall Z_1, Z_2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n: d\left(Z_1, Z_2\right) = 0 \Leftrightarrow \exists z \in Z_1 \cap Z_2.
\]
Отсюда вытекает критерий оптимальности времени \(t_1^*\).

== Теорема фон Неймана о минимаксе ==
Если выполнены следующие условия:
\[
\begin{cases}
X, Y - \text{выпуклые компакты}, \\
X \subseteq \mathbb{R}^k, Y \subseteq \mathbb{R}^l, \\
\varphi : X \times Y \rightarrow \mathbb{R} \text{, непрерывна на } X \times Y, \\
\forall y\in Y: \varphi(\cdot, y) -\text{ выпукла по }x, \\
\forall x\in X: \varphi(x, \cdot) -\text{ вогнута по }y,
\end{cases}
\]
то:
\[
\underset{x\in X}{\text{inf}}~\underset{y\in Y}{\text{sup}}~\varphi(x, y) = \underset{y\in Y}{\text{sup}}~\underset{x\in X}{\text{inf}}~\varphi(x, y).
\]
''Доказательство'' теоремы фон Неймана приводится в теоремах 1.3 и 1.1 курса лекций по теории игр и исследованию операций Морозова В.В. [https://teach-in.ru/file/synopsis/pdf/game-theory-M1.pdf].

Воспользуемся теоремой фон Неймана при выводе принципа максимума Понтрягина.
Пусть \(Z^1, Z^2 \in \text{conv}\mathbb{R}^n\). Тогда:
\[
d(Z^1, Z^2) = \text{inf}\left\{||z^1-z^2|| \bigg|~ z^1 \in Z^1, z^2 \in Z^2\right\} = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} d\left(z^1, Z^2\right) = \underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}} \left[<l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Применим теорему о минимаксе. Получим:
\[
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\underset{z^1 \in Z^1}{\text{inf}} \left[-<-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\underset{z^1 \in Z^1}{\text{sup}} <-l,z^1> - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right] =\\
=~\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{sup}}\left[-\rho\left(-l \big| Z^1\right) - \rho\left(l \big| Z^2\right)\right].
\]
Тогда из критерия оптимальности конечного времени: \(t_1^* ~-\) минимальный корень уравнений:
\begin{equation}\label{z1}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] = 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{z2}
\underset{||l|| \leqslant 1}{\text{max}}\left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] = 0.
\end{equation}
При этом:
\[
(\ref{z1}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^1\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
\[
(\ref{z2}) \Leftrightarrow \forall l: ~ \left[-\rho\left(-l \big| \mathcal{X}^0\right) -
\rho\left(l \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right)\right] \leqslant 0,
\]
и для \(t_1^* ~ \exists l_1^*, l_2^*: (\ref{z1}), (\ref{z2})\) обращаются в равенство, т.е:
\begin{equation}\label{r1}
-\rho\left(-l_1^* \big| \mathcal{X}^1\right) =
\rho\left(l_1^* \big| \mathcal{X}\left(t_1, t_0, \mathcal{X}^0\right)\right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{r2}
-\rho\left(-l_2^* \big| \mathcal{X}^0\right) =
\rho\left(l_2^* \big| \mathcal{W}\left(t_0,t_1,\mathcal{X}^1\right)\right).
\end{equation}
Ниже приведены иллюстрации к уравнениям \((\ref{r1}), (\ref{r2})\).
[[Файл:Img1.png|мини|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]
[[Файл:Img2.png|мини|Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.]]

== Принцип максимума Понтрягина ==
Пусть задана линейная задача быстродействия:
\[
\begin{cases}
\dot{x} = Ax + Bu, \hspace{5mm} t \in [t_0, +\infty], \\
x(t_0) \in \mathcal{X}_0, x(t_1) \in \mathcal{X}_1, \\
\forall t: u(t) \in \mathcal{P(t)}, \\
(t_1 - t_0) \rightarrow \underset{u}{\text{inf}}.
\end{cases}
\]
Пусть \((x^*(t), u^*(t))~-\) оптимальная пара, \(u^*(t)\) переводит фазовую точку из положения \(x(t_0) \in \mathcal{X}_0\) в положение \(x(t_1) \in \mathcal{X}_1\) за время \(t_1\). Тогда существует непрерывная вектор-функция \(\psi = \psi(t)\), нигде не обращающаяся в нуль и удовлетворяющая следующим условиям:
\[
\begin{cases}
\dot{\psi(t)} = -A^T\psi(t), & \textbf{(сопряжённая система)}\\
\langle B^T\psi(t), u^*(t) \rangle \stackrel{\text{п.в.}}{=} \rho(B^T\psi(t) ~|~ \mathcal{P}), & \textbf{ (условие максимума)}\\
\langle \psi(t_0), x(t_0) \rangle = \rho(\psi(t_0) ~|~ \mathcal{X}_0), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_0\))}\\
\langle -\psi(t_1), x(t_1) \rangle = \rho(-\psi(t_1) ~|~ \mathcal{X}_1), & \textbf{ (условие трансверсальности в \(\mathcal{X}_1\))}
\end{cases}
\]
где под \(\rho(l|X)\) понимается значение опорной функции множества \(X\) в направлении \(l\).

''Доказательство'' принципа максимума Понтрягина можно найти в книге: Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976 [http://control.botik.ru/wp-content/files_mf/1447942876im3547.pdf].

== Список литературы ==
* Л.C. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. "Математическая теория оптимальных процессов". — М.: Наука, 1976,
* В.В. Морозов. Курс лекций "Теория игр и исследование операций": 2021.
* А.В. Арутюнов. "Лекции по выпуклому и многозначному анализу". Москва, Физматлит, 2014

Файл:Img2.png

2022-11-18T16:28:27Z

Gleb22:

Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.

Файл:Img1.png

2022-11-18T16:28:07Z

Gleb22:

Иллюстрация для уравнения с опорными функциями.

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-18T15:33:43Z

Gleb22: /* Множества достижимости и разрешимости */

Файл:Sets1.png

2022-11-18T15:33:15Z

Gleb22:

Пример множеств достижимости и разрешимости. Красным отмечена оптимальная траектория.

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-18T15:30:37Z

Gleb22: /* Множества достижимости и разрешимости */

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-17T15:27:49Z

Gleb22: /* Принцип максимума Понтрягина */

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-17T15:15:35Z

Gleb22: /* Теорема фон Неймана о минимаксе */

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-17T15:08:21Z

Gleb22: /* Критерий оптимальности конечного времени */

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-17T15:08:03Z

Gleb22: /* Список литературы */

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-17T15:07:45Z

Gleb22: /* Список литературы */

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-17T15:06:54Z

Gleb22: /* Критерий оптимальности конечного времени */

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-17T14:46:14Z

Gleb22: /* Множества достижимости и разрешимости */

Файл:Sets.png

2022-11-17T14:45:07Z

Gleb22:

Пример множеств достижимости и разрешимости.

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-17T13:49:04Z

Gleb22: /* Множества достижимости и разрешимости */

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-17T13:48:10Z

Gleb22: /* Принцип максимума Понтрягина */

Задача быстродействия "из множества во множество"

2022-11-17T13:17:22Z

Gleb22: /* Список литературы */