sawiki - Вклад участника [ru]

Формула Коши

2020-12-28T17:45:30Z

Igor: /* Обобщение на случай матричных ЛДУ */

Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
\[
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + c(t), \\
x(t_0) = x^0.
\end{cases}
\]
В оптимальном управлении в неоднородность включено еще и управление, то есть $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$.

Пусть $$X(t, \tau)$$ — [[фундаментальная матрица Коши]].
Тогда решение данного уравнения находится по '''формуле Коши''':
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau,
\]
Причем $$t$$ может быть как больше, так и меньше $$t_0$$, вид формулы не меняется.

== Вывод формулы Коши ==

Рассмотрим, как на данное дифференциальное уравнение действует линейная замена переменных $$y(t) = F(t)x(t)$$,
где матрица $$F(t)$$ не вырождена в любой момент времени.
Тогда:
\[
\dot y(t) = \dot F(t)x(t) + F(t) \dot x(t) = \dot F(t) F^{-1}(t) y(t) + F(t) \left( A(t) F^{-1}(t) y(t) + c(t) \right) = \\
= \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t) y(t) + F(t) c(t).
\]
Заметим, что тогда $$y(t)$$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:
\[
\dot y(t) = \tilde A(t) y(t) + \tilde c(t),
\]
где $$\tilde A(t) = \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t)$$ и $$\tilde c(t) = F(t) c(t)$$.
Тогда мы можем выбрать такую замену переменной, что $$\tilde A(t) \equiv 0$$.
Для этого должно выполняться:
\[
\dot F(t) = -F(t)A(t).
\]
Тогда положим $$F(t) = X(t_0, t)$$, чтобы также выполнялось $$y(t_0) = F(t_0)x^0 = x^0$$.
Таким образом, пришли к следующей задаче Коши для $$y(t)$$:
\[
\begin{cases}
\dot y(t) = X(t_0, t)c(t), \\
y(t_0) = x^0,
\end{cases}
\]
Причем правая часть не зависит от $$y(t)$$, а значит решением будет просто интеграл:
\[
y(t) = x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau.
\]
Возвращаясь к исходной переменной и используя полугрупповое свойство и его следствие $$\left( X(t_0, t)\right)^{-1} = X(t, t_0)$$, получаем формулу Коши:
\[
x(t) = F^{-1} y(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, t_0) X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau =\\
= X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau.
\]
В оптимальном управлении обычно $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$, и формула Коши принимает вид:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau) \left[B(\tau)u(\tau) + f(\tau)\right]\,d\tau.
\]

== Обобщение на случай матричных ЛДУ ==

Рассмотрим следующую задачу Коши:
\[
\begin{cases}
\dot X(t) = A(t)X(t) - X(t)B(t) + C(t), \\
X(t_0) = X^0.
\end{cases}
\]
Тогда ее решением будет:
\[
X(t) = U(t,t_0) X^0 V(t_0,t)+\int\limits_{t_0}^t U(t,\tau)C(\tau)V(\tau,t)\,d\tau,
\]
где $$U(t, \tau)$$ и $$V(t, \tau)$$ — фундаментальные матрицы для задач Коши с матрицами $$A(t)$$ и $$B(t)$$ соответственно.

Формула Коши

2020-12-28T17:44:59Z

Igor:

Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
\[
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + c(t), \\
x(t_0) = x^0.
\end{cases}
\]
В оптимальном управлении в неоднородность включено еще и управление, то есть $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$.

Пусть $$X(t, \tau)$$ — [[фундаментальная матрица Коши]].
Тогда решение данного уравнения находится по '''формуле Коши''':
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau,
\]
Причем $$t$$ может быть как больше, так и меньше $$t_0$$, вид формулы не меняется.

== Вывод формулы Коши ==

Рассмотрим, как на данное дифференциальное уравнение действует линейная замена переменных $$y(t) = F(t)x(t)$$,
где матрица $$F(t)$$ не вырождена в любой момент времени.
Тогда:
\[
\dot y(t) = \dot F(t)x(t) + F(t) \dot x(t) = \dot F(t) F^{-1}(t) y(t) + F(t) \left( A(t) F^{-1}(t) y(t) + c(t) \right) = \\
= \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t) y(t) + F(t) c(t).
\]
Заметим, что тогда $$y(t)$$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:
\[
\dot y(t) = \tilde A(t) y(t) + \tilde c(t),
\]
где $$\tilde A(t) = \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t)$$ и $$\tilde c(t) = F(t) c(t)$$.
Тогда мы можем выбрать такую замену переменной, что $$\tilde A(t) \equiv 0$$.
Для этого должно выполняться:
\[
\dot F(t) = -F(t)A(t).
\]
Тогда положим $$F(t) = X(t_0, t)$$, чтобы также выполнялось $$y(t_0) = F(t_0)x^0 = x^0$$.
Таким образом, пришли к следующей задаче Коши для $$y(t)$$:
\[
\begin{cases}
\dot y(t) = X(t_0, t)c(t), \\
y(t_0) = x^0,
\end{cases}
\]
Причем правая часть не зависит от $$y(t)$$, а значит решением будет просто интеграл:
\[
y(t) = x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau.
\]
Возвращаясь к исходной переменной и используя полугрупповое свойство и его следствие $$\left( X(t_0, t)\right)^{-1} = X(t, t_0)$$, получаем формулу Коши:
\[
x(t) = F^{-1} y(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, t_0) X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau =\\
= X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau.
\]
В оптимальном управлении обычно $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$, и формула Коши принимает вид:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau) \left[B(\tau)u(\tau) + f(\tau)\right]\,d\tau.
\]

== Обобщение на случай матричных ЛДУ ==

Рассмотрим следующую задачу Коши:
\[
\begin{cases}
\dot X(t) = A(t)X(t) - X(t)B(t) + C(t), \\
X(t_0) = X^0.
\end{cases}
\]
Тогда ее решением будет:
\[
X(t) = U(t,t_0) X^0 V(t_0,t)+\int\limits_{t_0}^t U(t,\tau)C(\tau)V(\tau,t)\,ds,
\]
где $$U(t, \tau)$$ и $$V(t, \tau)$$ — фундаментальные матрицы для задач Коши с матрицами $$A(t)$$ и $$B(T)$$ соответственно.

Опорная функция множества

2020-12-28T17:22:03Z

Igor: /* Свойства */

Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математический аппарат опорных функций.
Будем рассматривать евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$, хотя опорные функции могут быть определены и для более общего класса линейных пространств.

== Определение и интерпретация ==

[[File:Support_func.png|thumb|250px|Опорная функция множества]]

Пусть $$Z \subseteq \mathbb{R}^n$$, тогда '''опорной функцией множества $$Z$$''' будем называть функцию $$\rho(\cdot \mid Z) \colon\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$, такую что:
\[
\begin{cases}
\rho (l \mid Z) = \sup \{ \left< l, z \right> \mid z \in Z \}, & Z \neq \varnothing, \\
\rho (l \mid Z) = -\infty, & Z = \varnothing.
\end{cases}
\]

Опорная функция имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию.
Рассмотрим множество $$Z$$ на плоскости и некоторое направление $$l$$.
Для простоты положим $$\| l \| = 1$$.
Тогда опорной функцией множества $$Z$$ в направлении $$l$$ будет расстояние (со знаком!) от начала координат до самой дальней гиперплоскости с нормалью $$l$$, которая касается (в нестрогом смысле) множества.
То есть другими словами мы начинаем отодвигать гиперплоскость с нормалью $$l$$ в направлении $$l$$ до тех пор, пока дальше уже не будет множества.
И в этот момент считаем скалярное произведение, что равно произведению длины $$l$$ и расстоянию до полученной гиперплоскости.
Если в данном направлении «нет множества», но оно есть в противоположном направлении, то значение функции будет со знаком «минус».
Множество, на котором достигается супремум в определении, называется '''опорным множеством'''.
В случае, когда множество является компактом, супремум можно заменить на максимум, потому что он достигается.
Если же множество к тому же является строго выпуклым, то максимум достигается в единственной точке, которую называют '''опорным вектором'''.

== Свойства ==

Свойства опорной функции как функции от $$l$$:
# Выпуклость: $$\rho\bigl(\alpha l_1 + (1 - \alpha)l_2 \mid Z\bigr) \leqslant \alpha \rho(l_1 \mid Z) + (1 - \alpha) \rho(l_2 \mid Z), \quad
\forall \alpha \in [0, 1], \quad \forall l_1, l_2 \in \mathbb{R}^n$$.
# Положительная однородность: $$\rho(\alpha l \mid Z) = \alpha \rho(l \mid Z), \quad \forall \alpha > 0, \quad \forall l \in \mathbb{R}^n$$.
# Если $$Z$$ — ограниченное множество, то опорная функция принимает только конечные значения из $$\mathbb{R}$$.
# Ключевое свойство, делающее аппарат опорных функций крайне удобным: для любой выпуклой положительно однородной функции, принимающей конечные значения, существует единственный выпуклый компакт, для которого эта функция является опорной.
# Опорная функция множества $$Z$$ является сопряженной по Фенхелю к индикаторной функции множества:
\[
\delta_Z(z) =
\begin{cases}
0, & z \in Z, \\
+\infty, & z \notin Z.
\end{cases}
\]

Свойства как функции от $$Z$$:
# Неотрицательная однородность: $$\rho (l \mid \alpha Z) = \alpha \rho (l \mid Z), \quad \forall Z \neq \varnothing$$.
# Аддитивность $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$, где сумма понимается в смысле Минковского. В частности, если $$Z_2 = \{z_2\}$$ — множество из одной точки, то $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \left< l, z_2 \right>$$
# Опорная функция любого замкнутого множества равно опорной функции его выпуклой оболочки.
# Опорная функция объединения множеств равна максимуму из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cup Z_2) = \rho(l \mid Z_1) \vee \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$
# Опорная функция пересечения множеств равна наибольшей выпуклой функции, не превосходящей минимум из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cap Z_2) = \mathrm{conv} \bigl( \rho(l \mid Z_1) \wedge \rho(l \mid Z_2)\bigr), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$

== Отделимость и расстояние Хаусдорфа ==

Множества $$A, B \in \mathbb{R}^n$$ называются '''(строго) отделимыми''', если существует гиперплоскость, их (строго) отделяющая:
$$\exists l \in \mathbb{R}^n \colon\ \forall x \in A, y \in B\ \left< l, x \right> \leqslant (<) \left<l, y\right>$$.
В терминах опорных функций это означает, что существует $$l \in \mathbb{R}^n$$, для которого:
\[
\rho(l \mid A) \leqslant (<) \rho(-l \mid B).
\]

[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B0 Расстояние Хаусдорфа] между двумя выпуклыми компактами выражается через опорные функции следующим образом:
\[
d_H(A, B) = \max\limits_{\| l \| \leqslant 1} \left\{ -\rho(-l \mid A) - \rho(l \mid B) \right\}.
\]
Здесь мы пишем $$\leqslant 1$$, чтобы корректно учесть случай, когда одно множество вложено в другое.
Тогда если максимизировать по всем $$l$$ из единичной сферы, может получиться отрицательное число, а расстояние всегда неотрицательно.
Поэтому мы рассматриваем $$l$$ из шара, а не из сферы.
В принципе, достаточно рассматривать $$l$$ из сферы в объединении со случаем $$l = 0$$.

== Опорные функции некоторых множеств ==

=== Точка ===
Пусть $$z \in \mathbb{R}^n$$.
Супремум в определении вырождается в скалярное произведение и имеем:
\[
\rho (l \mid z) = \left<l, z\right>.
\]

=== Многогранник ===

Пусть $$\tilde Z = \{p_1,\ldots,p_m\}$$, рассмотрим многогранник $$Z = \mathrm{conv}\,\tilde Z$$.
Так как опорная функция множества совпадает с опорной функцией его выпуклой оболочки, то:
\[
\rho(l \mid Z) = \max_{i=\overline{1,m}} \left< l, p_i \right>.
\]
Опорным множеством будет та грань многогранника, которая содержит все точки, на которых достигается максимум.

=== Невырожденный эллипсоид ===

Пусть $$Z = \mathcal{E}(p, P)$$ — эллипсоид с центром в точке $$p$$ и невырожденной симметричной положительно определенной матрицей конфигурации $$P$$.
По определению эллипсоида $$\mathcal{E}(p, P) = \{ z \in \mathbb{R}^n \mid \left< z - p, P^{-1}(z - p) \right> \leqslant 1 \}$$.
Для начала заметим, что
$$\mathcal{E}(p, P) = p + \mathcal{E}(0, P)$$, откуда $$\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \rho \bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr)$$.
Для нахождении опорной функции поставим задачу оптимизации:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> \leqslant 1.
\end{cases}
\]
Так как эллипсоид является выпуклым компактом, то максимум в определении достигается в единственной точке на границе эллипсоида, поэтому задача сводится к более простой:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> = 1.
\end{cases}
\]
Для решения применим метод множителей Лагранжа:
\[
L(z) = \left<l, z\right> - \frac\lambda2 \left<z, P^{-1}z\right>,\\
L'(z^*) = 0 = l - \lambda P^{-1}z^*.
\]
Отсюда выражаем $$z^*$$ через $$\lambda$$ и $$l$$ и подставляем в ограничение:
\[
z^* = \frac1\lambda P l, \\
\left<z^*, P^{-1}z^*\right> = 1 = \left<\frac1\lambda P l, \frac1\lambda l\right> = \frac1{\lambda^2} \left< Pl, l \right>, \\
z^* = \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]
Получили опорный вектор для направления $$l$$. Подставляя его в скалярное произведение, которое мы максимизируем, получаем:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr) = \left<l, z^*\right> = \frac{\left< l, Pl\right>}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}} = \sqrt{\left< l, Pl\right>}.
\]
Окончательно для произвольного эллипсоида:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \sqrt{\left< l, Pl\right>}, \\
z^* = p + \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]

Опорная функция множества

2020-12-28T17:01:12Z

Igor: /* Опорные функции некоторых множеств */

Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математический аппарат опорных функций.
Будем рассматривать евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$, хотя опорные функции могут быть определены и для более общего класса линейных пространств.

== Определение и интерпретация ==

[[File:Support_func.png|thumb|250px|Опорная функция множества]]

Пусть $$Z \subseteq \mathbb{R}^n$$, тогда '''опорной функцией множества $$Z$$''' будем называть функцию $$\rho(\cdot \mid Z) \colon\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$, такую что:
\[
\begin{cases}
\rho (l \mid Z) = \sup \{ \left< l, z \right> \mid z \in Z \}, & Z \neq \varnothing, \\
\rho (l \mid Z) = -\infty, & Z = \varnothing.
\end{cases}
\]

Опорная функция имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию.
Рассмотрим множество $$Z$$ на плоскости и некоторое направление $$l$$.
Для простоты положим $$\| l \| = 1$$.
Тогда опорной функцией множества $$Z$$ в направлении $$l$$ будет расстояние (со знаком!) от начала координат до самой дальней гиперплоскости с нормалью $$l$$, которая касается (в нестрогом смысле) множества.
То есть другими словами мы начинаем отодвигать гиперплоскость с нормалью $$l$$ в направлении $$l$$ до тех пор, пока дальше уже не будет множества.
И в этот момент считаем скалярное произведение, что равно произведению длины $$l$$ и расстоянию до полученной гиперплоскости.
Если в данном направлении «нет множества», но оно есть в противоположном направлении, то значение функции будет со знаком «минус».
Множество, на котором достигается супремум в определении, называется '''опорным множеством'''.
В случае, когда множество является компактом, супремум можно заменить на максимум, потому что он достигается.
Если же множество к тому же является строго выпуклым, то максимум достигается в единственной точке, которую называют '''опорным вектором'''.

== Свойства ==

Свойства опорной функции как функции от $$l$$:
# Выпуклость: $$\rho\bigl(\alpha l_1 + (1 - \alpha)l_2 \mid Z\bigr) \leqslant \alpha \rho(l_1 \mid Z) + (1 - \alpha) \rho(l_2 \mid Z), \quad
\forall \alpha \in [0, 1], \quad \forall l_1, l_2 \in \mathbb{R}^n$$.
# Положительная однородность: $$\rho(\alpha l \mid Z) = \alpha \rho(l \mid Z), \quad \forall \alpha > 0, \quad \forall l \in \mathbb{R}^n$$.
# Если $$Z$$ — ограниченное множество, то опорная функция принимает только конечные значения из $$\mathbb{R}$$.
# Ключевое свойство, делающее аппарат опорных функций крайне удобным: для любой выпуклой положительно однородной функции, принимающей конечные значения, существует единственный выпуклый компакт, для которого эта функция является опорной.

Свойства как функции от $$Z$$:
# Неотрицательная однородность: $$\rho (l \mid \alpha Z) = \alpha \rho (l \mid Z), \quad \forall Z \neq \varnothing$$.
# Аддитивность $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$, где сумма понимается в смысле Минковского. В частности, если $$Z_2 = \{z_2\}$$ — множество из одной точки, то $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \left< l, z_2 \right>$$
# Опорная функция любого замкнутого множества равно опорной функции его выпуклой оболочки.
# Опорная функция объединения множеств равна максимуму из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cup Z_2) = \rho(l \mid Z_1) \vee \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$
# Опорная функция пересечения множеств равна наибольшей выпуклой функции, не превосходящей минимум из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cap Z_2) = \mathrm{conv} \bigl( \rho(l \mid Z_1) \wedge \rho(l \mid Z_2)\bigr), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$

== Отделимость и расстояние Хаусдорфа ==

Множества $$A, B \in \mathbb{R}^n$$ называются '''(строго) отделимыми''', если существует гиперплоскость, их (строго) отделяющая:
$$\exists l \in \mathbb{R}^n \colon\ \forall x \in A, y \in B\ \left< l, x \right> \leqslant (<) \left<l, y\right>$$.
В терминах опорных функций это означает, что существует $$l \in \mathbb{R}^n$$, для которого:
\[
\rho(l \mid A) \leqslant (<) \rho(-l \mid B).
\]

[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B0 Расстояние Хаусдорфа] между двумя выпуклыми компактами выражается через опорные функции следующим образом:
\[
d_H(A, B) = \max\limits_{\| l \| \leqslant 1} \left\{ -\rho(-l \mid A) - \rho(l \mid B) \right\}.
\]
Здесь мы пишем $$\leqslant 1$$, чтобы корректно учесть случай, когда одно множество вложено в другое.
Тогда если максимизировать по всем $$l$$ из единичной сферы, может получиться отрицательное число, а расстояние всегда неотрицательно.
Поэтому мы рассматриваем $$l$$ из шара, а не из сферы.
В принципе, достаточно рассматривать $$l$$ из сферы в объединении со случаем $$l = 0$$.

== Опорные функции некоторых множеств ==

=== Точка ===
Пусть $$z \in \mathbb{R}^n$$.
Супремум в определении вырождается в скалярное произведение и имеем:
\[
\rho (l \mid z) = \left<l, z\right>.
\]

=== Многогранник ===

Пусть $$\tilde Z = \{p_1,\ldots,p_m\}$$, рассмотрим многогранник $$Z = \mathrm{conv}\,\tilde Z$$.
Так как опорная функция множества совпадает с опорной функцией его выпуклой оболочки, то:
\[
\rho(l \mid Z) = \max_{i=\overline{1,m}} \left< l, p_i \right>.
\]
Опорным множеством будет та грань многогранника, которая содержит все точки, на которых достигается максимум.

=== Невырожденный эллипсоид ===

Пусть $$Z = \mathcal{E}(p, P)$$ — эллипсоид с центром в точке $$p$$ и невырожденной симметричной положительно определенной матрицей конфигурации $$P$$.
По определению эллипсоида $$\mathcal{E}(p, P) = \{ z \in \mathbb{R}^n \mid \left< z - p, P^{-1}(z - p) \right> \leqslant 1 \}$$.
Для начала заметим, что
$$\mathcal{E}(p, P) = p + \mathcal{E}(0, P)$$, откуда $$\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \rho \bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr)$$.
Для нахождении опорной функции поставим задачу оптимизации:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> \leqslant 1.
\end{cases}
\]
Так как эллипсоид является выпуклым компактом, то максимум в определении достигается в единственной точке на границе эллипсоида, поэтому задача сводится к более простой:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> = 1.
\end{cases}
\]
Для решения применим метод множителей Лагранжа:
\[
L(z) = \left<l, z\right> - \frac\lambda2 \left<z, P^{-1}z\right>,\\
L'(z^*) = 0 = l - \lambda P^{-1}z^*.
\]
Отсюда выражаем $$z^*$$ через $$\lambda$$ и $$l$$ и подставляем в ограничение:
\[
z^* = \frac1\lambda P l, \\
\left<z^*, P^{-1}z^*\right> = 1 = \left<\frac1\lambda P l, \frac1\lambda l\right> = \frac1{\lambda^2} \left< Pl, l \right>, \\
z^* = \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]
Получили опорный вектор для направления $$l$$. Подставляя его в скалярное произведение, которое мы максимизируем, получаем:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr) = \left<l, z^*\right> = \frac{\left< l, Pl\right>}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}} = \sqrt{\left< l, Pl\right>}.
\]
Окончательно для произвольного эллипсоида:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \sqrt{\left< l, Pl\right>}, \\
z^* = p + \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]

Опорная функция множества

2020-12-28T17:00:17Z

Igor: /* Многогранник */

Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математический аппарат опорных функций.
Будем рассматривать евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$, хотя опорные функции могут быть определены и для более общего класса линейных пространств.

== Определение и интерпретация ==

[[File:Support_func.png|thumb|250px|Опорная функция множества]]

Пусть $$Z \subseteq \mathbb{R}^n$$, тогда '''опорной функцией множества $$Z$$''' будем называть функцию $$\rho(\cdot \mid Z) \colon\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$, такую что:
\[
\begin{cases}
\rho (l \mid Z) = \sup \{ \left< l, z \right> \mid z \in Z \}, & Z \neq \varnothing, \\
\rho (l \mid Z) = -\infty, & Z = \varnothing.
\end{cases}
\]

Опорная функция имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию.
Рассмотрим множество $$Z$$ на плоскости и некоторое направление $$l$$.
Для простоты положим $$\| l \| = 1$$.
Тогда опорной функцией множества $$Z$$ в направлении $$l$$ будет расстояние (со знаком!) от начала координат до самой дальней гиперплоскости с нормалью $$l$$, которая касается (в нестрогом смысле) множества.
То есть другими словами мы начинаем отодвигать гиперплоскость с нормалью $$l$$ в направлении $$l$$ до тех пор, пока дальше уже не будет множества.
И в этот момент считаем скалярное произведение, что равно произведению длины $$l$$ и расстоянию до полученной гиперплоскости.
Если в данном направлении «нет множества», но оно есть в противоположном направлении, то значение функции будет со знаком «минус».
Множество, на котором достигается супремум в определении, называется '''опорным множеством'''.
В случае, когда множество является компактом, супремум можно заменить на максимум, потому что он достигается.
Если же множество к тому же является строго выпуклым, то максимум достигается в единственной точке, которую называют '''опорным вектором'''.

== Свойства ==

Свойства опорной функции как функции от $$l$$:
# Выпуклость: $$\rho\bigl(\alpha l_1 + (1 - \alpha)l_2 \mid Z\bigr) \leqslant \alpha \rho(l_1 \mid Z) + (1 - \alpha) \rho(l_2 \mid Z), \quad
\forall \alpha \in [0, 1], \quad \forall l_1, l_2 \in \mathbb{R}^n$$.
# Положительная однородность: $$\rho(\alpha l \mid Z) = \alpha \rho(l \mid Z), \quad \forall \alpha > 0, \quad \forall l \in \mathbb{R}^n$$.
# Если $$Z$$ — ограниченное множество, то опорная функция принимает только конечные значения из $$\mathbb{R}$$.
# Ключевое свойство, делающее аппарат опорных функций крайне удобным: для любой выпуклой положительно однородной функции, принимающей конечные значения, существует единственный выпуклый компакт, для которого эта функция является опорной.

Свойства как функции от $$Z$$:
# Неотрицательная однородность: $$\rho (l \mid \alpha Z) = \alpha \rho (l \mid Z), \quad \forall Z \neq \varnothing$$.
# Аддитивность $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$, где сумма понимается в смысле Минковского. В частности, если $$Z_2 = \{z_2\}$$ — множество из одной точки, то $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \left< l, z_2 \right>$$
# Опорная функция любого замкнутого множества равно опорной функции его выпуклой оболочки.
# Опорная функция объединения множеств равна максимуму из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cup Z_2) = \rho(l \mid Z_1) \vee \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$
# Опорная функция пересечения множеств равна наибольшей выпуклой функции, не превосходящей минимум из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cap Z_2) = \mathrm{conv} \bigl( \rho(l \mid Z_1) \wedge \rho(l \mid Z_2)\bigr), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$

== Отделимость и расстояние Хаусдорфа ==

Множества $$A, B \in \mathbb{R}^n$$ называются '''(строго) отделимыми''', если существует гиперплоскость, их (строго) отделяющая:
$$\exists l \in \mathbb{R}^n \colon\ \forall x \in A, y \in B\ \left< l, x \right> \leqslant (<) \left<l, y\right>$$.
В терминах опорных функций это означает, что существует $$l \in \mathbb{R}^n$$, для которого:
\[
\rho(l \mid A) \leqslant (<) \rho(-l \mid B).
\]

[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B0 Расстояние Хаусдорфа] между двумя выпуклыми компактами выражается через опорные функции следующим образом:
\[
d_H(A, B) = \max\limits_{\| l \| \leqslant 1} \left\{ -\rho(-l \mid A) - \rho(l \mid B) \right\}.
\]
Здесь мы пишем $$\leqslant 1$$, чтобы корректно учесть случай, когда одно множество вложено в другое.
Тогда если максимизировать по всем $$l$$ из единичной сферы, может получиться отрицательное число, а расстояние всегда неотрицательно.
Поэтому мы рассматриваем $$l$$ из шара, а не из сферы.
В принципе, достаточно рассматривать $$l$$ из сферы в объединении со случаем $$l = 0$$.

== Опорные функции некоторых множеств ==

=== Точка ===
Пусть $$z \in \mathbb{R}^n$$.
Супремум в определении вырождается в скалярное произведение и имеем:
\[
\rho (l \mid z) = \left<l, z\right>.
\]

=== Невырожденный эллипсоид ===

Пусть $$Z = \mathcal{E}(p, P)$$ — эллипсоид с центром в точке $$p$$ и невырожденной симметричной положительно определенной матрицей конфигурации $$P$$.
По определению эллипсоида $$\mathcal{E}(p, P) = \{ z \in \mathbb{R}^n \mid \left< z - p, P^{-1}(z - p) \right> \leqslant 1 \}$$.
Для начала заметим, что
$$\mathcal{E}(p, P) = p + \mathcal{E}(0, P)$$, откуда $$\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \rho \bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr)$$.
Для нахождении опорной функции поставим задачу оптимизации:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> \leqslant 1.
\end{cases}
\]
Так как эллипсоид является выпуклым компактом, то максимум в определении достигается в единственной точке на границе эллипсоида, поэтому задача сводится к более простой:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> = 1.
\end{cases}
\]
Для решения применим метод множителей Лагранжа:
\[
L(z) = \left<l, z\right> - \frac\lambda2 \left<z, P^{-1}z\right>,\\
L'(z^*) = 0 = l - \lambda P^{-1}z^*.
\]
Отсюда выражаем $$z^*$$ через $$\lambda$$ и $$l$$ и подставляем в ограничение:
\[
z^* = \frac1\lambda P l, \\
\left<z^*, P^{-1}z^*\right> = 1 = \left<\frac1\lambda P l, \frac1\lambda l\right> = \frac1{\lambda^2} \left< Pl, l \right>, \\
z^* = \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]
Получили опорный вектор для направления $$l$$. Подставляя его в скалярное произведение, которое мы максимизируем, получаем:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr) = \left<l, z^*\right> = \frac{\left< l, Pl\right>}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}} = \sqrt{\left< l, Pl\right>}.
\]
Окончательно для произвольного эллипсоида:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \sqrt{\left< l, Pl\right>}, \\
z^* = p + \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]

=== Многогранник ===

Пусть $$\tilde Z = \{p_1,\ldots,p_m\}$$, рассмотрим многогранник $$Z = \mathrm{conv}\,\tilde Z$$.
Так как опорная функция множества совпадает с опорной функцией его выпуклой оболочки, то:
\[
\rho(l \mid Z) = \max_{i=\overline{1,m}} \left< l, p_i \right>.
\]
Опорным множеством будет та грань многогранника, которая содержит все точки, на которых достигается максимум.

Опорная функция множества

2020-12-28T16:51:11Z

Igor: /* Опорные функции некоторых множеств */

Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математический аппарат опорных функций.
Будем рассматривать евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$, хотя опорные функции могут быть определены и для более общего класса линейных пространств.

== Определение и интерпретация ==

[[File:Support_func.png|thumb|250px|Опорная функция множества]]

Пусть $$Z \subseteq \mathbb{R}^n$$, тогда '''опорной функцией множества $$Z$$''' будем называть функцию $$\rho(\cdot \mid Z) \colon\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$, такую что:
\[
\begin{cases}
\rho (l \mid Z) = \sup \{ \left< l, z \right> \mid z \in Z \}, & Z \neq \varnothing, \\
\rho (l \mid Z) = -\infty, & Z = \varnothing.
\end{cases}
\]

Опорная функция имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию.
Рассмотрим множество $$Z$$ на плоскости и некоторое направление $$l$$.
Для простоты положим $$\| l \| = 1$$.
Тогда опорной функцией множества $$Z$$ в направлении $$l$$ будет расстояние (со знаком!) от начала координат до самой дальней гиперплоскости с нормалью $$l$$, которая касается (в нестрогом смысле) множества.
То есть другими словами мы начинаем отодвигать гиперплоскость с нормалью $$l$$ в направлении $$l$$ до тех пор, пока дальше уже не будет множества.
И в этот момент считаем скалярное произведение, что равно произведению длины $$l$$ и расстоянию до полученной гиперплоскости.
Если в данном направлении «нет множества», но оно есть в противоположном направлении, то значение функции будет со знаком «минус».
Множество, на котором достигается супремум в определении, называется '''опорным множеством'''.
В случае, когда множество является компактом, супремум можно заменить на максимум, потому что он достигается.
Если же множество к тому же является строго выпуклым, то максимум достигается в единственной точке, которую называют '''опорным вектором'''.

== Свойства ==

Свойства опорной функции как функции от $$l$$:
# Выпуклость: $$\rho\bigl(\alpha l_1 + (1 - \alpha)l_2 \mid Z\bigr) \leqslant \alpha \rho(l_1 \mid Z) + (1 - \alpha) \rho(l_2 \mid Z), \quad
\forall \alpha \in [0, 1], \quad \forall l_1, l_2 \in \mathbb{R}^n$$.
# Положительная однородность: $$\rho(\alpha l \mid Z) = \alpha \rho(l \mid Z), \quad \forall \alpha > 0, \quad \forall l \in \mathbb{R}^n$$.
# Если $$Z$$ — ограниченное множество, то опорная функция принимает только конечные значения из $$\mathbb{R}$$.
# Ключевое свойство, делающее аппарат опорных функций крайне удобным: для любой выпуклой положительно однородной функции, принимающей конечные значения, существует единственный выпуклый компакт, для которого эта функция является опорной.

Свойства как функции от $$Z$$:
# Неотрицательная однородность: $$\rho (l \mid \alpha Z) = \alpha \rho (l \mid Z), \quad \forall Z \neq \varnothing$$.
# Аддитивность $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$, где сумма понимается в смысле Минковского. В частности, если $$Z_2 = \{z_2\}$$ — множество из одной точки, то $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \left< l, z_2 \right>$$
# Опорная функция любого замкнутого множества равно опорной функции его выпуклой оболочки.
# Опорная функция объединения множеств равна максимуму из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cup Z_2) = \rho(l \mid Z_1) \vee \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$
# Опорная функция пересечения множеств равна наибольшей выпуклой функции, не превосходящей минимум из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cap Z_2) = \mathrm{conv} \bigl( \rho(l \mid Z_1) \wedge \rho(l \mid Z_2)\bigr), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$

== Отделимость и расстояние Хаусдорфа ==

Множества $$A, B \in \mathbb{R}^n$$ называются '''(строго) отделимыми''', если существует гиперплоскость, их (строго) отделяющая:
$$\exists l \in \mathbb{R}^n \colon\ \forall x \in A, y \in B\ \left< l, x \right> \leqslant (<) \left<l, y\right>$$.
В терминах опорных функций это означает, что существует $$l \in \mathbb{R}^n$$, для которого:
\[
\rho(l \mid A) \leqslant (<) \rho(-l \mid B).
\]

[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B0 Расстояние Хаусдорфа] между двумя выпуклыми компактами выражается через опорные функции следующим образом:
\[
d_H(A, B) = \max\limits_{\| l \| \leqslant 1} \left\{ -\rho(-l \mid A) - \rho(l \mid B) \right\}.
\]
Здесь мы пишем $$\leqslant 1$$, чтобы корректно учесть случай, когда одно множество вложено в другое.
Тогда если максимизировать по всем $$l$$ из единичной сферы, может получиться отрицательное число, а расстояние всегда неотрицательно.
Поэтому мы рассматриваем $$l$$ из шара, а не из сферы.
В принципе, достаточно рассматривать $$l$$ из сферы в объединении со случаем $$l = 0$$.

== Опорные функции некоторых множеств ==

=== Точка ===
Пусть $$z \in \mathbb{R}^n$$.
Супремум в определении вырождается в скалярное произведение и имеем:
\[
\rho (l \mid z) = \left<l, z\right>.
\]

=== Невырожденный эллипсоид ===

Пусть $$Z = \mathcal{E}(p, P)$$ — эллипсоид с центром в точке $$p$$ и невырожденной симметричной положительно определенной матрицей конфигурации $$P$$.
По определению эллипсоида $$\mathcal{E}(p, P) = \{ z \in \mathbb{R}^n \mid \left< z - p, P^{-1}(z - p) \right> \leqslant 1 \}$$.
Для начала заметим, что
$$\mathcal{E}(p, P) = p + \mathcal{E}(0, P)$$, откуда $$\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \rho \bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr)$$.
Для нахождении опорной функции поставим задачу оптимизации:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> \leqslant 1.
\end{cases}
\]
Так как эллипсоид является выпуклым компактом, то максимум в определении достигается в единственной точке на границе эллипсоида, поэтому задача сводится к более простой:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> = 1.
\end{cases}
\]
Для решения применим метод множителей Лагранжа:
\[
L(z) = \left<l, z\right> - \frac\lambda2 \left<z, P^{-1}z\right>,\\
L'(z^*) = 0 = l - \lambda P^{-1}z^*.
\]
Отсюда выражаем $$z^*$$ через $$\lambda$$ и $$l$$ и подставляем в ограничение:
\[
z^* = \frac1\lambda P l, \\
\left<z^*, P^{-1}z^*\right> = 1 = \left<\frac1\lambda P l, \frac1\lambda l\right> = \frac1{\lambda^2} \left< Pl, l \right>, \\
z^* = \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]
Получили опорный вектор для направления $$l$$. Подставляя его в скалярное произведение, которое мы максимизируем, получаем:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr) = \left<l, z^*\right> = \frac{\left< l, Pl\right>}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}} = \sqrt{\left< l, Pl\right>}.
\]
Окончательно для произвольного эллипсоида:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \sqrt{\left< l, Pl\right>}, \\
z^* = p + \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]

=== Многогранник ===

Опорная функция множества

2020-12-28T16:50:04Z

Igor: /* Свойства */

Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математический аппарат опорных функций.
Будем рассматривать евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$, хотя опорные функции могут быть определены и для более общего класса линейных пространств.

== Определение и интерпретация ==

[[File:Support_func.png|thumb|250px|Опорная функция множества]]

Пусть $$Z \subseteq \mathbb{R}^n$$, тогда '''опорной функцией множества $$Z$$''' будем называть функцию $$\rho(\cdot \mid Z) \colon\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$, такую что:
\[
\begin{cases}
\rho (l \mid Z) = \sup \{ \left< l, z \right> \mid z \in Z \}, & Z \neq \varnothing, \\
\rho (l \mid Z) = -\infty, & Z = \varnothing.
\end{cases}
\]

Опорная функция имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию.
Рассмотрим множество $$Z$$ на плоскости и некоторое направление $$l$$.
Для простоты положим $$\| l \| = 1$$.
Тогда опорной функцией множества $$Z$$ в направлении $$l$$ будет расстояние (со знаком!) от начала координат до самой дальней гиперплоскости с нормалью $$l$$, которая касается (в нестрогом смысле) множества.
То есть другими словами мы начинаем отодвигать гиперплоскость с нормалью $$l$$ в направлении $$l$$ до тех пор, пока дальше уже не будет множества.
И в этот момент считаем скалярное произведение, что равно произведению длины $$l$$ и расстоянию до полученной гиперплоскости.
Если в данном направлении «нет множества», но оно есть в противоположном направлении, то значение функции будет со знаком «минус».
Множество, на котором достигается супремум в определении, называется '''опорным множеством'''.
В случае, когда множество является компактом, супремум можно заменить на максимум, потому что он достигается.
Если же множество к тому же является строго выпуклым, то максимум достигается в единственной точке, которую называют '''опорным вектором'''.

== Свойства ==

Свойства опорной функции как функции от $$l$$:
# Выпуклость: $$\rho\bigl(\alpha l_1 + (1 - \alpha)l_2 \mid Z\bigr) \leqslant \alpha \rho(l_1 \mid Z) + (1 - \alpha) \rho(l_2 \mid Z), \quad
\forall \alpha \in [0, 1], \quad \forall l_1, l_2 \in \mathbb{R}^n$$.
# Положительная однородность: $$\rho(\alpha l \mid Z) = \alpha \rho(l \mid Z), \quad \forall \alpha > 0, \quad \forall l \in \mathbb{R}^n$$.
# Если $$Z$$ — ограниченное множество, то опорная функция принимает только конечные значения из $$\mathbb{R}$$.
# Ключевое свойство, делающее аппарат опорных функций крайне удобным: для любой выпуклой положительно однородной функции, принимающей конечные значения, существует единственный выпуклый компакт, для которого эта функция является опорной.

Свойства как функции от $$Z$$:
# Неотрицательная однородность: $$\rho (l \mid \alpha Z) = \alpha \rho (l \mid Z), \quad \forall Z \neq \varnothing$$.
# Аддитивность $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$, где сумма понимается в смысле Минковского. В частности, если $$Z_2 = \{z_2\}$$ — множество из одной точки, то $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \left< l, z_2 \right>$$
# Опорная функция любого замкнутого множества равно опорной функции его выпуклой оболочки.
# Опорная функция объединения множеств равна максимуму из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cup Z_2) = \rho(l \mid Z_1) \vee \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$
# Опорная функция пересечения множеств равна наибольшей выпуклой функции, не превосходящей минимум из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cap Z_2) = \mathrm{conv} \bigl( \rho(l \mid Z_1) \wedge \rho(l \mid Z_2)\bigr), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$

== Отделимость и расстояние Хаусдорфа ==

Множества $$A, B \in \mathbb{R}^n$$ называются '''(строго) отделимыми''', если существует гиперплоскость, их (строго) отделяющая:
$$\exists l \in \mathbb{R}^n \colon\ \forall x \in A, y \in B\ \left< l, x \right> \leqslant (<) \left<l, y\right>$$.
В терминах опорных функций это означает, что существует $$l \in \mathbb{R}^n$$, для которого:
\[
\rho(l \mid A) \leqslant (<) \rho(-l \mid B).
\]

[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B0 Расстояние Хаусдорфа] между двумя выпуклыми компактами выражается через опорные функции следующим образом:
\[
d_H(A, B) = \max\limits_{\| l \| \leqslant 1} \left\{ -\rho(-l \mid A) - \rho(l \mid B) \right\}.
\]
Здесь мы пишем $$\leqslant 1$$, чтобы корректно учесть случай, когда одно множество вложено в другое.
Тогда если максимизировать по всем $$l$$ из единичной сферы, может получиться отрицательное число, а расстояние всегда неотрицательно.
Поэтому мы рассматриваем $$l$$ из шара, а не из сферы.
В принципе, достаточно рассматривать $$l$$ из сферы в объединении со случаем $$l = 0$$.

== Опорные функции некоторых множеств ==

=== Точка ===
Пусть $$z \in \mathbb{R}^n$$.
Супремум в определении вырождается в скалярное произведение и имеем:
\[
\rho (l \mid z) = \left<l, z\right>.
\]

=== Невырожденный эллипсоид ===

Пусть $$Z = \mathcal{E}(p, P)$$ — эллипсоид с центром в точке $$p$$ и невырожденной симметричной положительно определенной матрицей конфигурации $$P$$.
По определению эллипсоида $$\mathcal{E}(p, P) = \{ z \in \mathbb{R}^n \mid \left< z - p, P^{-1}(z - p) \right> \leqslant 1 \}$$.
Для начала заметим, что
$$\mathcal{E}(p, P) = p + \mathcal{E}(0, P)$$, откуда $$\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \rho \bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr)$$.
Для нахождении опорной функции поставим задачу оптимизации:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> \leqslant 1.
\end{cases}
\]
Так как эллипсоид является выпуклым компактом, то максимум в определении достигается в единственной точке на границе эллипсоида, поэтому задача сводится к более простой:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> = 1.
\end{cases}
\]
Для решения применим метод множителей Лагранжа:
\[
L(z) = \left<l, z\right> - \frac\lambda2 \left<z, P^{-1}z\right>,\\
L'(z^*) = 0 = l - \lambda P^{-1}z^*.
\]
Отсюда выражаем $$z^*$$ через $$\lambda$$ и $$l$$ и подставляем в ограничение:
\[
z^* = \frac1\lambda P l, \\
\left<z^*, P^{-1}z^*\right> = 1 = \left<\frac1\lambda P l, \frac1\lambda l\right> = \frac1{\lambda^2} \left< Pl, l \right>, \\
z^* = \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]
Получили опорный вектор для направления $$l$$. Подставляя его в скалярное произведение, которое мы максимизируем, получаем:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr) = \left<l, z^*\right> = \frac{\left< l, Pl\right>}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}} = \sqrt{\left< l, Pl\right>}.
\]
Окончательно для произвольного эллипсоида:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \sqrt{\left< l, Pl\right>}, \\
z^* = p + \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]

Опорная функция множества

2020-12-28T16:47:06Z

Igor: /* Определение и интерпретация */

Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математический аппарат опорных функций.
Будем рассматривать евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$, хотя опорные функции могут быть определены и для более общего класса линейных пространств.

== Определение и интерпретация ==

[[File:Support_func.png|thumb|250px|Опорная функция множества]]

Пусть $$Z \subseteq \mathbb{R}^n$$, тогда '''опорной функцией множества $$Z$$''' будем называть функцию $$\rho(\cdot \mid Z) \colon\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$, такую что:
\[
\begin{cases}
\rho (l \mid Z) = \sup \{ \left< l, z \right> \mid z \in Z \}, & Z \neq \varnothing, \\
\rho (l \mid Z) = -\infty, & Z = \varnothing.
\end{cases}
\]

Опорная функция имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию.
Рассмотрим множество $$Z$$ на плоскости и некоторое направление $$l$$.
Для простоты положим $$\| l \| = 1$$.
Тогда опорной функцией множества $$Z$$ в направлении $$l$$ будет расстояние (со знаком!) от начала координат до самой дальней гиперплоскости с нормалью $$l$$, которая касается (в нестрогом смысле) множества.
То есть другими словами мы начинаем отодвигать гиперплоскость с нормалью $$l$$ в направлении $$l$$ до тех пор, пока дальше уже не будет множества.
И в этот момент считаем скалярное произведение, что равно произведению длины $$l$$ и расстоянию до полученной гиперплоскости.
Если в данном направлении «нет множества», но оно есть в противоположном направлении, то значение функции будет со знаком «минус».
Множество, на котором достигается супремум в определении, называется '''опорным множеством'''.
В случае, когда множество является компактом, супремум можно заменить на максимум, потому что он достигается.
Если же множество к тому же является строго выпуклым, то максимум достигается в единственной точке, которую называют '''опорным вектором'''.

== Свойства ==

Свойства опорной функции как функции от $$l$$:
# Выпуклость: $$\rho\bigl(\alpha l_1 + (1 - \alpha)l_2 \mid Z\bigr) \leqslant \alpha \rho(l_1 \mid Z) + (1 - \alpha) \rho(l_2 \mid Z), \quad
\forall \alpha \in [0, 1]$$, \quad \forall l_1, l_2 \in \mathbb{R}^n.
# Положительная однородность: $$\rho(\alpha l \mid Z) = \alpha \rho(l \mid Z), \quad \forall \alpha > 0, \quad \forall l \in \mathbb{R}^n$$.
# Если $$Z$$ — ограниченное множество, то опорная функция принимает только конечные значения из $$\mathbb{R}$$.
# Ключевое свойство, делающее аппарат опорных функций крайне удобным: для любой выпуклой положительно однородной функции, принимающей конечные значения, существует единственный выпуклый компакт, для которого эта функция является опорной.

Свойства как функции от $$Z$$:
# Неотрицательная однородность: $$\rho (l \mid \alpha Z) = \alpha \rho (l \mid Z), \quad \forall Z \neq \varnothing$$.
# Аддитивность $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$, где сумма понимается в смысле Минковского.
# Опорная функция любого замкнутого множества равно опорной функции его выпуклой оболочки.
# Опорная функция объединения множеств равна максимуму из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cup Z_2) = \rho(l \mid Z_1) \vee \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$
# Опорная функция пересечения множеств равна наибольшей выпуклой функции, не превосходящей минимум из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cap Z_2) = \mathrm{conv} \bigl( \rho(l \mid Z_1) \wedge \rho(l \mid Z_2)\bigr), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$

== Отделимость и расстояние Хаусдорфа ==

Множества $$A, B \in \mathbb{R}^n$$ называются '''(строго) отделимыми''', если существует гиперплоскость, их (строго) отделяющая:
$$\exists l \in \mathbb{R}^n \colon\ \forall x \in A, y \in B\ \left< l, x \right> \leqslant (<) \left<l, y\right>$$.
В терминах опорных функций это означает, что существует $$l \in \mathbb{R}^n$$, для которого:
\[
\rho(l \mid A) \leqslant (<) \rho(-l \mid B).
\]

[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B0 Расстояние Хаусдорфа] между двумя выпуклыми компактами выражается через опорные функции следующим образом:
\[
d_H(A, B) = \max\limits_{\| l \| \leqslant 1} \left\{ -\rho(-l \mid A) - \rho(l \mid B) \right\}.
\]
Здесь мы пишем $$\leqslant 1$$, чтобы корректно учесть случай, когда одно множество вложено в другое.
Тогда если максимизировать по всем $$l$$ из единичной сферы, может получиться отрицательное число, а расстояние всегда неотрицательно.
Поэтому мы рассматриваем $$l$$ из шара, а не из сферы.
В принципе, достаточно рассматривать $$l$$ из сферы в объединении со случаем $$l = 0$$.

== Опорные функции некоторых множеств ==

=== Точка ===
Пусть $$z \in \mathbb{R}^n$$.
Супремум в определении вырождается в скалярное произведение и имеем:
\[
\rho (l \mid z) = \left<l, z\right>.
\]

=== Невырожденный эллипсоид ===

Пусть $$Z = \mathcal{E}(p, P)$$ — эллипсоид с центром в точке $$p$$ и невырожденной симметричной положительно определенной матрицей конфигурации $$P$$.
По определению эллипсоида $$\mathcal{E}(p, P) = \{ z \in \mathbb{R}^n \mid \left< z - p, P^{-1}(z - p) \right> \leqslant 1 \}$$.
Для начала заметим, что
$$\mathcal{E}(p, P) = p + \mathcal{E}(0, P)$$, откуда $$\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \rho \bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr)$$.
Для нахождении опорной функции поставим задачу оптимизации:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> \leqslant 1.
\end{cases}
\]
Так как эллипсоид является выпуклым компактом, то максимум в определении достигается в единственной точке на границе эллипсоида, поэтому задача сводится к более простой:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> = 1.
\end{cases}
\]
Для решения применим метод множителей Лагранжа:
\[
L(z) = \left<l, z\right> - \frac\lambda2 \left<z, P^{-1}z\right>,\\
L'(z^*) = 0 = l - \lambda P^{-1}z^*.
\]
Отсюда выражаем $$z^*$$ через $$\lambda$$ и $$l$$ и подставляем в ограничение:
\[
z^* = \frac1\lambda P l, \\
\left<z^*, P^{-1}z^*\right> = 1 = \left<\frac1\lambda P l, \frac1\lambda l\right> = \frac1{\lambda^2} \left< Pl, l \right>, \\
z^* = \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]
Получили опорный вектор для направления $$l$$. Подставляя его в скалярное произведение, которое мы максимизируем, получаем:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr) = \left<l, z^*\right> = \frac{\left< l, Pl\right>}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}} = \sqrt{\left< l, Pl\right>}.
\]
Окончательно для произвольного эллипсоида:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \sqrt{\left< l, Pl\right>}, \\
z^* = p + \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]

Опорная функция множества

2020-12-28T16:45:34Z

Igor: /* Определение и интерпретация */

Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математический аппарат опорных функций.
Будем рассматривать евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$, хотя опорные функции могут быть определены и для более общего класса линейных пространств.

== Определение и интерпретация ==

[[File:Support_func.png|thumb|250px|Опорная функция множества]]

Пусть $$Z \subseteq \mathbb{R}^n$$, тогда '''опорной функцией множества $$Z$$''' будем называть функцию $$\rho(\cdot \mid Z) \colon\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$, такую что:
\[
\begin{cases}
\rho (l \mid Z) = \sup \{ \left< l, z \right> \mid z \in Z \}, & Z \neq \varnothing, \\
\rho (l \mid Z) = -\infty, & Z = \varnothing.
\end{cases}
\]

Опорная функция имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию.
Рассмотрим множество $$Z$$ на плоскости и некоторое направление $$l$$.
Для простоты положим $$\| l \| = 1$$.
Тогда опорной функций множества $$Z$$ в направлении $$l$$ будет расстояние (со знаком!) от начала координат до самой дальней гиперплоскости с нормалью $$l$$, которая касается (в нестрогом смысле) множества.
То есть мы начинаем отодвигать гиперплоскость с нормалью $$l$$ в направлении $$l$$ до тех пор, пока дальше уже не будет множества.
И в этот момент считаем скалярное произведение, что равно произведению длины $$l$$ и расстоянию до полученной гиперплоскости.
Если в данном направлении «нет множества», но оно есть в противоположном направлении, то значение функции будет со знаком «минус».
Множество, на котором достигается супремум в определении, называется '''опорным множеством'''.
В случае, когда множество является компактом, супремум можно заменить на максимум, потому что он достигается.
Если же множество к тому же является строго выпуклым, то максимум достигается в единственной точке, которую называют '''опорным вектором'''.

== Свойства ==

Свойства опорной функции как функции от $$l$$:
# Выпуклость: $$\rho\bigl(\alpha l_1 + (1 - \alpha)l_2 \mid Z\bigr) \leqslant \alpha \rho(l_1 \mid Z) + (1 - \alpha) \rho(l_2 \mid Z), \quad
\forall \alpha \in [0, 1]$$, \quad \forall l_1, l_2 \in \mathbb{R}^n.
# Положительная однородность: $$\rho(\alpha l \mid Z) = \alpha \rho(l \mid Z), \quad \forall \alpha > 0, \quad \forall l \in \mathbb{R}^n$$.
# Если $$Z$$ — ограниченное множество, то опорная функция принимает только конечные значения из $$\mathbb{R}$$.
# Ключевое свойство, делающее аппарат опорных функций крайне удобным: для любой выпуклой положительно однородной функции, принимающей конечные значения, существует единственный выпуклый компакт, для которого эта функция является опорной.

Свойства как функции от $$Z$$:
# Неотрицательная однородность: $$\rho (l \mid \alpha Z) = \alpha \rho (l \mid Z), \quad \forall Z \neq \varnothing$$.
# Аддитивность $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$, где сумма понимается в смысле Минковского.
# Опорная функция любого замкнутого множества равно опорной функции его выпуклой оболочки.
# Опорная функция объединения множеств равна максимуму из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cup Z_2) = \rho(l \mid Z_1) \vee \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$
# Опорная функция пересечения множеств равна наибольшей выпуклой функции, не превосходящей минимум из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cap Z_2) = \mathrm{conv} \bigl( \rho(l \mid Z_1) \wedge \rho(l \mid Z_2)\bigr), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$

== Отделимость и расстояние Хаусдорфа ==

Множества $$A, B \in \mathbb{R}^n$$ называются '''(строго) отделимыми''', если существует гиперплоскость, их (строго) отделяющая:
$$\exists l \in \mathbb{R}^n \colon\ \forall x \in A, y \in B\ \left< l, x \right> \leqslant (<) \left<l, y\right>$$.
В терминах опорных функций это означает, что существует $$l \in \mathbb{R}^n$$, для которого:
\[
\rho(l \mid A) \leqslant (<) \rho(-l \mid B).
\]

[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B0 Расстояние Хаусдорфа] между двумя выпуклыми компактами выражается через опорные функции следующим образом:
\[
d_H(A, B) = \max\limits_{\| l \| \leqslant 1} \left\{ -\rho(-l \mid A) - \rho(l \mid B) \right\}.
\]
Здесь мы пишем $$\leqslant 1$$, чтобы корректно учесть случай, когда одно множество вложено в другое.
Тогда если максимизировать по всем $$l$$ из единичной сферы, может получиться отрицательное число, а расстояние всегда неотрицательно.
Поэтому мы рассматриваем $$l$$ из шара, а не из сферы.
В принципе, достаточно рассматривать $$l$$ из сферы в объединении со случаем $$l = 0$$.

== Опорные функции некоторых множеств ==

=== Точка ===
Пусть $$z \in \mathbb{R}^n$$.
Супремум в определении вырождается в скалярное произведение и имеем:
\[
\rho (l \mid z) = \left<l, z\right>.
\]

=== Невырожденный эллипсоид ===

Пусть $$Z = \mathcal{E}(p, P)$$ — эллипсоид с центром в точке $$p$$ и невырожденной симметричной положительно определенной матрицей конфигурации $$P$$.
По определению эллипсоида $$\mathcal{E}(p, P) = \{ z \in \mathbb{R}^n \mid \left< z - p, P^{-1}(z - p) \right> \leqslant 1 \}$$.
Для начала заметим, что
$$\mathcal{E}(p, P) = p + \mathcal{E}(0, P)$$, откуда $$\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \rho \bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr)$$.
Для нахождении опорной функции поставим задачу оптимизации:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> \leqslant 1.
\end{cases}
\]
Так как эллипсоид является выпуклым компактом, то максимум в определении достигается в единственной точке на границе эллипсоида, поэтому задача сводится к более простой:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> = 1.
\end{cases}
\]
Для решения применим метод множителей Лагранжа:
\[
L(z) = \left<l, z\right> - \frac\lambda2 \left<z, P^{-1}z\right>,\\
L'(z^*) = 0 = l - \lambda P^{-1}z^*.
\]
Отсюда выражаем $$z^*$$ через $$\lambda$$ и $$l$$ и подставляем в ограничение:
\[
z^* = \frac1\lambda P l, \\
\left<z^*, P^{-1}z^*\right> = 1 = \left<\frac1\lambda P l, \frac1\lambda l\right> = \frac1{\lambda^2} \left< Pl, l \right>, \\
z^* = \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]
Получили опорный вектор для направления $$l$$. Подставляя его в скалярное произведение, которое мы максимизируем, получаем:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr) = \left<l, z^*\right> = \frac{\left< l, Pl\right>}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}} = \sqrt{\left< l, Pl\right>}.
\]
Окончательно для произвольного эллипсоида:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \sqrt{\left< l, Pl\right>}, \\
z^* = p + \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]

Формула Коши

2020-12-28T16:39:31Z

Igor: /* Вывод формулы Коши */

Формула Коши

2020-12-28T16:38:55Z

Igor:

Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
\[
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + c(t), \\
x(t_0) = x^0.
\end{cases}
\]
В оптимальном управлении в неоднородность включено еще и управление, то есть $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$.

Пусть $$X(t, \tau)$$ — [[фундаментальная матрица Коши]].
Тогда решение данного уравнения находится по '''формуле Коши''':
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau,
\]
Причем $$t$$ может быть как больше, так и меньше $$t_0$$, вид формулы не меняется.

== Вывод формулы Коши ==

Рассмотрим, как на данное дифференциальное уравнение действует линейная замена переменных $$y(t) = F(t)x(t)$$,
где матрица $$F(t)$$ не вырождена в любой момент времени.
Тогда:
\[
\dot y(t) = \dot F(t)x(t) + F(t) \dot x(t) = \dot F(t) F^{-1}(t) y(t) + F(t) \left( A(t) F^{-1}(t) y(t) + c(t) \right) = \\
= \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t) y(t) + F(t) c(t).
\]
Заметим, что тогда $$y(t)$$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:
\[
\dot y(t) = \tilde A(t) y(t) + \tilde c(t),
\]
где $$\tilde A(t) = \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t)$$ и $$\tilde c(t) = F(t) c(t)$$.
Тогда мы можем выбрать такую замену переменной, что $$\tilde A(t) \equiv 0$$.
Для этого должно выполняться:
\[
\dot F(t) = -F(t)A(t).
\]
Тогда положим $$F(t) = X(t_0, t)$$, чтобы также выполнялось $$y(t_0) = F(t_0)x^0 = x^0$$.
Таким образом, пришли к следующей задаче Коши для $$y(t)$$:
\[
\begin{cases}
\dot y(t) = X(t_0, t)c(t),
y(t_0) = x^0,
\end{cases}
\]
Причем правая часть не зависит от $$y(t)$$, а значит решением будет просто интеграл:
\[
y(t) = x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau.
\]
Возвращаясь к исходной переменной и используя полугрупповое свойство и его следствие $$\left( X(t_0, t)\right)^{-1} = X(t, t_0)$$, получаем формулу Коши:
\[
x(t) = F^{-1} y(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, t_0) X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau =\\
= X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau.
\]
В оптимальном управлении обычно $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$, и формула Коши принимает вид:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau) \left[B(\tau)u(\tau) + f(\tau)\right]\,d\tau.
\]

Формула Коши

2020-12-28T16:37:52Z

Igor:

Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
\[
\begin{cases}
\dot x(t) = A(t)x(t) + c(t), \\
x(t_0) = x^0.
\end{cases}
\]
В оптимальном управлении в неоднородность включено еще и управление, то есть $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$.
Пусть $$X(t, \tau)$$ — [[фундаментальная матрица Коши]].
Тогда решение данного уравнения находится по '''формуле Коши''':
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau,
\]
Причем $$t$$ может быть как больше, так и меньше $$t_0$$, вид формулы не меняется.

== Вывод формулы Коши ==

Рассмотрим, как на данное дифференциальное уравнение действует линейная замена переменных $$y(t) = F(t)x(t)$$,
где матрица $$F(t)$$ не вырождена в любой момент времени.
Тогда:
\[
\dot y(t) = \dot F(t)x(t) + F(t) \dot x(t) = \dot F(t) F^{-1}(t) y(t) + F(t) \left( A(t) F^{-1}(t) y(t) + c(t) \right) = \\
= \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t) y(t) + F(t) c(t).
\]
Заметим, что тогда $$y(t)$$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:
\[
\dot y(t) = \tilde A(t) y(t) + \tilde c(t),
\]
где $$\tilde A(t) = \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t)$$ и $$\tilde c(t) = F(t) c(t)$$.
Тогда мы можем выбрать такую замену переменной, что $$\tilde A(t) \equiv 0$$.
Для этого должно выполняться:
\[
\dot F(t) = -F(t)A(t).
\]
Обратите внимание на минут в правой части.
Тогда положим $$F(t) = X(t_0, t)$$, чтобы также выполнялось $$y(t_0) = F(t_0)x^0 = x^0$$.
Таким образом, пришли к следующей задаче Коши для $$y(t)$$:
\[
\begin{cases}
\dot y(t) = X(t_0, t)c(t),
y(t_0) = x^0,
\end{cases}
\]
Причем правая часть не зависит от $$y(t)$$, а значит решением будет просто интеграл:
\[
y(t) = x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau.
\]
Возвращаясь к исходной переменной и используя полугрупповое свойство и его следствие $$\left( X(t_0, t)\right)^{-1} = X(t, t_0)$$, получаем формулу Коши:
\[
x(t) = F^{-1} y(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, t_0) X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau =\\
= X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau.
\]
В оптимальном управлении обычно $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$, и формула Коши принимает вид:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau) \left[B(\tau)u(\tau) + f(\tau)\right]\,d\tau.
\]

Опорная функция множества

2020-12-21T15:38:11Z

Igor: /* Отделимость и расстояние Хаусдорфа */

Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математический аппарат опорных функций.
Будем рассматривать евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$, хотя опорные функции могут быть определены и для более общего класса линейных пространств.

== Определение и интерпретация ==

[[File:Support_func.png|thumb|250px|Опорная функция множества]]

Пусть $$Z \subseteq \mathbb{R}^n$$, тогда '''опорной функцией множества $$Z$$''' будем называть функцию $$\rho(\cdot \mid Z) \colon\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$, такую что:
\[
\begin{cases}
\rho (l \mid Z) = \sup \{ \left< l, z \right> \mid z \in Z \}, & Z \neq \varnothing, \\
\rho (l \mid Z) = -\infty, & Z = \varnothing.
\end{cases}
\]

Опорная функция имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию.
Рассмотрим множество $$Z$$ на плоскости и некоторое направление $$l$$.
Для простоты положим $$\| l \| = 1$$. Тогда опорной функций множества $$Z$$ в направлении $$l$$ будет расстояние (со знаком!) от начала координат до точки множества, наиболее удаленной в данном направлении.
То есть мы начинаем отодвигать гиперплоскость с нормалью $$l$$ в направлении $$l$$ до тех пор, пока дальше уже не будет множества.
И в этот момент считаем скалярное произведение, что равно произведению длины $$l$$ и расстоянию до полученной гиперплоскости.
Если в данном направлении «нет множества», но оно есть в противоположном направлении, то значение функции будет со знаком «минус».
Множество, на котором достигается супремум в определении, называется '''опорным множеством'''.
В случае, когда множество является компактом, супремум можно заменить на максимум, потому что он достигается.
Если же множество к тому же является строго выпуклым, то максимум достигается в единственной точке, которую называют '''опорным вектором'''.

== Свойства ==

Свойства опорной функции как функции от $$l$$:
# Выпуклость: $$\rho\bigl(\alpha l_1 + (1 - \alpha)l_2 \mid Z\bigr) \leqslant \alpha \rho(l_1 \mid Z) + (1 - \alpha) \rho(l_2 \mid Z), \quad
\forall \alpha \in [0, 1]$$, \quad \forall l_1, l_2 \in \mathbb{R}^n.
# Положительная однородность: $$\rho(\alpha l \mid Z) = \alpha \rho(l \mid Z), \quad \forall \alpha > 0, \quad \forall l \in \mathbb{R}^n$$.
# Если $$Z$$ — ограниченное множество, то опорная функция принимает только конечные значения из $$\mathbb{R}$$.
# Ключевое свойство, делающее аппарат опорных функций крайне удобным: для любой выпуклой положительно однородной функции, принимающей конечные значения, существует единственный выпуклый компакт, для которого эта функция является опорной.

Свойства как функции от $$Z$$:
# Неотрицательная однородность: $$\rho (l \mid \alpha Z) = \alpha \rho (l \mid Z), \quad \forall Z \neq \varnothing$$.
# Аддитивность $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$, где сумма понимается в смысле Минковского.
# Опорная функция любого замкнутого множества равно опорной функции его выпуклой оболочки.
# Опорная функция объединения множеств равна максимуму из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cup Z_2) = \rho(l \mid Z_1) \vee \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$
# Опорная функция пересечения множеств равна наибольшей выпуклой функции, не превосходящей минимум из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cap Z_2) = \mathrm{conv} \bigl( \rho(l \mid Z_1) \wedge \rho(l \mid Z_2)\bigr), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$

== Отделимость и расстояние Хаусдорфа ==

Множества $$A, B \in \mathbb{R}^n$$ называются '''(строго) отделимыми''', если существует гиперплоскость, их (строго) отделяющая:
$$\exists l \in \mathbb{R}^n \colon\ \forall x \in A, y \in B\ \left< l, x \right> \leqslant (<) \left<l, y\right>$$.
В терминах опорных функций это означает, что существует $$l \in \mathbb{R}^n$$, для которого:
\[
\rho(l \mid A) \leqslant (<) \rho(-l \mid B).
\]

[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%A5%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B4%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B0 Расстояние Хаусдорфа] между двумя выпуклыми компактами выражается через опорные функции следующим образом:
\[
d_H(A, B) = \max\limits_{\| l \| \leqslant 1} \left\{ -\rho(-l \mid A) - \rho(l \mid B) \right\}.
\]
Здесь мы пишем $$\leqslant 1$$, чтобы корректно учесть случай, когда одно множество вложено в другое.
Тогда если максимизировать по всем $$l$$ из единичной сферы, может получиться отрицательное число, а расстояние всегда неотрицательно.
Поэтому мы рассматриваем $$l$$ из шара, а не из сферы.
В принципе, достаточно рассматривать $$l$$ из сферы в объединении со случаем $$l = 0$$.

== Опорные функции некоторых множеств ==

=== Точка ===
Пусть $$z \in \mathbb{R}^n$$.
Супремум в определении вырождается в скалярное произведение и имеем:
\[
\rho (l \mid z) = \left<l, z\right>.
\]

=== Невырожденный эллипсоид ===

Пусть $$Z = \mathcal{E}(p, P)$$ — эллипсоид с центром в точке $$p$$ и невырожденной симметричной положительно определенной матрицей конфигурации $$P$$.
По определению эллипсоида $$\mathcal{E}(p, P) = \{ z \in \mathbb{R}^n \mid \left< z - p, P^{-1}(z - p) \right> \leqslant 1 \}$$.
Для начала заметим, что
$$\mathcal{E}(p, P) = p + \mathcal{E}(0, P)$$, откуда $$\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \rho \bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr)$$.
Для нахождении опорной функции поставим задачу оптимизации:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> \leqslant 1.
\end{cases}
\]
Так как эллипсоид является выпуклым компактом, то максимум в определении достигается в единственной точке на границе эллипсоида, поэтому задача сводится к более простой:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> = 1.
\end{cases}
\]
Для решения применим метод множителей Лагранжа:
\[
L(z) = \left<l, z\right> - \frac\lambda2 \left<z, P^{-1}z\right>,\\
L'(z^*) = 0 = l - \lambda P^{-1}z^*.
\]
Отсюда выражаем $$z^*$$ через $$\lambda$$ и $$l$$ и подставляем в ограничение:
\[
z^* = \frac1\lambda P l, \\
\left<z^*, P^{-1}z^*\right> = 1 = \left<\frac1\lambda P l, \frac1\lambda l\right> = \frac1{\lambda^2} \left< Pl, l \right>, \\
z^* = \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]
Получили опорный вектор для направления $$l$$. Подставляя его в скалярное произведение, которое мы максимизируем, получаем:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr) = \left<l, z^*\right> = \frac{\left< l, Pl\right>}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}} = \sqrt{\left< l, Pl\right>}.
\]
Окончательно для произвольного эллипсоида:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \sqrt{\left< l, Pl\right>}, \\
z^* = p + \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]

Опорная функция множества

2020-12-21T15:17:06Z

Igor:

Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математический аппарат опорных функций.
Будем рассматривать евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$, хотя опорные функции могут быть определены и для более общего класса линейных пространств.

== Определение и интерпретация ==

[[File:Support_func.png|thumb|250px|Опорная функция множества]]

Пусть $$Z \subseteq \mathbb{R}^n$$, тогда '''опорной функцией множества $$Z$$''' будем называть функцию $$\rho(\cdot \mid Z) \colon\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$, такую что:
\[
\begin{cases}
\rho (l \mid Z) = \sup \{ \left< l, z \right> \mid z \in Z \}, & Z \neq \varnothing, \\
\rho (l \mid Z) = -\infty, & Z = \varnothing.
\end{cases}
\]

Опорная функция имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию.
Рассмотрим множество $$Z$$ на плоскости и некоторое направление $$l$$.
Для простоты положим $$\| l \| = 1$$. Тогда опорной функций множества $$Z$$ в направлении $$l$$ будет расстояние (со знаком!) от начала координат до точки множества, наиболее удаленной в данном направлении.
То есть мы начинаем отодвигать гиперплоскость с нормалью $$l$$ в направлении $$l$$ до тех пор, пока дальше уже не будет множества.
И в этот момент считаем скалярное произведение, что равно произведению длины $$l$$ и расстоянию до полученной гиперплоскости.
Если в данном направлении «нет множества», но оно есть в противоположном направлении, то значение функции будет со знаком «минус».
Множество, на котором достигается супремум в определении, называется '''опорным множеством'''.
В случае, когда множество является компактом, супремум можно заменить на максимум, потому что он достигается.
Если же множество к тому же является строго выпуклым, то максимум достигается в единственной точке, которую называют '''опорным вектором'''.

== Свойства ==

Свойства опорной функции как функции от $$l$$:
# Выпуклость: $$\rho\bigl(\alpha l_1 + (1 - \alpha)l_2 \mid Z\bigr) \leqslant \alpha \rho(l_1 \mid Z) + (1 - \alpha) \rho(l_2 \mid Z), \quad
\forall \alpha \in [0, 1]$$, \quad \forall l_1, l_2 \in \mathbb{R}^n.
# Положительная однородность: $$\rho(\alpha l \mid Z) = \alpha \rho(l \mid Z), \quad \forall \alpha > 0, \quad \forall l \in \mathbb{R}^n$$.
# Если $$Z$$ — ограниченное множество, то опорная функция принимает только конечные значения из $$\mathbb{R}$$.
# Ключевое свойство, делающее аппарат опорных функций крайне удобным: для любой выпуклой положительно однородной функции, принимающей конечные значения, существует единственный выпуклый компакт, для которого эта функция является опорной.

Свойства как функции от $$Z$$:
# Неотрицательная однородность: $$\rho (l \mid \alpha Z) = \alpha \rho (l \mid Z), \quad \forall Z \neq \varnothing$$.
# Аддитивность $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$, где сумма понимается в смысле Минковского.
# Опорная функция любого замкнутого множества равно опорной функции его выпуклой оболочки.
# Опорная функция объединения множеств равна максимуму из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cup Z_2) = \rho(l \mid Z_1) \vee \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$
# Опорная функция пересечения множеств равна наибольшей выпуклой функции, не превосходящей минимум из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cap Z_2) = \mathrm{conv} \bigl( \rho(l \mid Z_1) \wedge \rho(l \mid Z_2)\bigr), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$

== Отделимость и расстояние Хаусдорфа ==

== Опорные функции некоторых множеств ==

=== Точка ===
Пусть $$z \in \mathbb{R}^n$$.
Супремум в определении вырождается в скалярное произведение и имеем:
\[
\rho (l \mid z) = \left<l, z\right>.
\]

=== Невырожденный эллипсоид ===

Пусть $$Z = \mathcal{E}(p, P)$$ — эллипсоид с центром в точке $$p$$ и невырожденной симметричной положительно определенной матрицей конфигурации $$P$$.
По определению эллипсоида $$\mathcal{E}(p, P) = \{ z \in \mathbb{R}^n \mid \left< z - p, P^{-1}(z - p) \right> \leqslant 1 \}$$.
Для начала заметим, что
$$\mathcal{E}(p, P) = p + \mathcal{E}(0, P)$$, откуда $$\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \rho \bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr)$$.
Для нахождении опорной функции поставим задачу оптимизации:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> \leqslant 1.
\end{cases}
\]
Так как эллипсоид является выпуклым компактом, то максимум в определении достигается в единственной точке на границе эллипсоида, поэтому задача сводится к более простой:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> = 1.
\end{cases}
\]
Для решения применим метод множителей Лагранжа:
\[
L(z) = \left<l, z\right> - \frac\lambda2 \left<z, P^{-1}z\right>,\\
L'(z^*) = 0 = l - \lambda P^{-1}z^*.
\]
Отсюда выражаем $$z^*$$ через $$\lambda$$ и $$l$$ и подставляем в ограничение:
\[
z^* = \frac1\lambda P l, \\
\left<z^*, P^{-1}z^*\right> = 1 = \left<\frac1\lambda P l, \frac1\lambda l\right> = \frac1{\lambda^2} \left< Pl, l \right>, \\
z^* = \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]
Получили опорный вектор для направления $$l$$. Подставляя его в скалярное произведение, которое мы максимизируем, получаем:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr) = \left<l, z^*\right> = \frac{\left< l, Pl\right>}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}} = \sqrt{\left< l, Pl\right>}.
\]
Окончательно для произвольного эллипсоида:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \sqrt{\left< l, Pl\right>}, \\
z^* = p + \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]

Опорная функция множества

2020-12-21T15:14:55Z

Igor: /* Опорные функции некоторых множеств */

Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математический аппарат опорных функций.
Будем рассматривать евклидово пространство $$\mathbb{R}^n$$, хотя опорные функции могут быть определены и для более общего класса линейных пространств.

== Определение и интерпретация ==

[[File:Support_func.png|thumb|250px|Опорная функция множества]]

Пусть $$Z \subseteq \mathbb{R}^n$$, тогда '''опорной функцией множества $$Z$$''' будем называть функцию $$\rho(\cdot \mid Z) \colon\ \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$$, такую что:
\[
\begin{cases}
\rho (l \mid Z) = \sup \{ \left< l, z \right> \mid z \in Z \}, & Z \neq \varnothing, \\
\rho (l \mid Z) = -\infty, & Z = \varnothing.
\end{cases}
\]

Опорная функция имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию.
Рассмотрим множество $$Z$$ на плоскости и некоторое направление $$l$$.
Для простоты положим $$\| l \| = 1$$. Тогда опорной функций множества $$Z$$ в направлении $$l$$ будет расстояние (со знаком!) от начала координат до точки множества, наиболее удаленной в данном направлении.
То есть мы начинаем отодвигать гиперплоскость с нормалью $$l$$ в направлении $$l$$ до тех пор, пока дальше уже не будет множества.
И в этот момент считаем скалярное произведение, что равно произведению длины $$l$$ и расстоянию до полученной гиперплоскости.
Если в данном направлении «нет множества», но оно есть в противоположном направлении, то значение функции будет со знаком «минус».
Множество, на котором достигается супремум в определении, называется '''опорным множеством'''.
В случае, когда множество является компактом, супремум можно заменить на максимум, потому что он достигается.
Если же множество к тому же является строго выпуклым, то максимум достигается в единственной точке, которую называют '''опорным вектором'''.

== Свойства ==

Свойства опорной функции как функции от $$l$$:
# Выпуклость: $$\rho\bigl(\alpha l_1 + (1 - \alpha)l_2 \mid Z\bigr) \leqslant \alpha \rho(l_1 \mid Z) + (1 - \alpha) \rho(l_2 \mid Z), \quad
\forall \alpha \in [0, 1]$$, \quad \forall l_1, l_2 \in \mathbb{R}^n.
# Положительная однородность: $$\rho(\alpha l \mid Z) = \alpha \rho(l \mid Z), \quad \forall \alpha > 0, \quad \forall l \in \mathbb{R}^n$$.
# Если $$Z$$ — ограниченное множество, то опорная функция принимает только конечные значения из $$\mathbb{R}$$.
# Ключевое свойство, делающее аппарат опорных функций крайне удобным: для любой выпуклой положительно однородной функции, принимающей конечные значения, существует единственный выпуклый компакт, для которого эта функция является опорной.

Свойства как функции от $$Z$$:
# Неотрицательная однородность: $$\rho (l \mid \alpha Z) = \alpha \rho (l \mid Z), \quad \forall Z \neq \varnothing$$.
# Аддитивность $$\rho(l \mid Z_1 + Z_2) = \rho(l \mid Z_1) + \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$, где сумма понимается в смысле Минковского.
# Опорная функция любого замкнутого множества равно опорной функции его выпуклой оболочки.
# Опорная функция объединения множеств равна максимуму из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cup Z_2) = \rho(l \mid Z_1) \vee \rho(l \mid Z_2), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$
# Опорная функция пересечения множеств равна наибольшей выпуклой функции, не превосходящей минимум из опорных функций множеств: $$\rho(l \mid Z_1 \cap Z_2) = \mathrm{conv} \bigl( \rho(l \mid Z_1) \wedge \rho(l \mid Z_2)\bigr), \quad \forall Z_1, Z_2 \neq \varnothing$$

== Опорные функции некоторых множеств ==

=== Точка ===
Пусть $$z \in \mathbb{R}^n$$.
Супремум в определении вырождается в скалярное произведение и имеем:
\[
\rho (l \mid z) = \left<l, z\right>.
\]

=== Невырожденный эллипсоид ===

Пусть $$Z = \mathcal{E}(p, P)$$ — эллипсоид с центром в точке $$p$$ и невырожденной симметричной положительно определенной матрицей конфигурации $$P$$.
По определению эллипсоида $$\mathcal{E}(p, P) = \{ z \in \mathbb{R}^n \mid \left< z - p, P^{-1}(z - p) \right> \leqslant 1 \}$$.
Для начала заметим, что
$$\mathcal{E}(p, P) = p + \mathcal{E}(0, P)$$, откуда $$\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \rho \bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr)$$.
Для нахождении опорной функции поставим задачу оптимизации:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> \leqslant 1.
\end{cases}
\]
Так как эллипсоид является выпуклым компактом, то максимум в определении достигается в единственной точке на границе эллипсоида, поэтому задача сводится к более простой:
\[
\begin{cases}
\left<l, z\right> \rightarrow \max, \\
\left<z, P^{-1}z\right> = 1.
\end{cases}
\]
Для решения применим метод множителей Лагранжа:
\[
L(z) = \left<l, z\right> - \frac\lambda2 \left<z, P^{-1}z\right>,\\
L'(z^*) = 0 = l - \lambda P^{-1}z^*.
\]
Отсюда выражаем $$z^*$$ через $$\lambda$$ и $$l$$ и подставляем в ограничение:
\[
z^* = \frac1\lambda P l, \\
\left<z^*, P^{-1}z^*\right> = 1 = \left<\frac1\lambda P l, \frac1\lambda l\right> = \frac1{\lambda^2} \left< Pl, l \right>, \\
z^* = \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]
Получили опорный вектор для направления $$l$$. Подставляя его в скалярное произведение, которое мы максимизируем, получаем:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(0, P)\bigr) = \left<l, z^*\right> = \frac{\left< l, Pl\right>}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}} = \sqrt{\left< l, Pl\right>}.
\]
Окончательно для произвольного эллипсоида:
\[
\rho\bigl(l \mid \mathcal{E}(p, P)\bigr) = \left<l, p\right> + \sqrt{\left< l, Pl\right>}, \\
z^* = p + \frac{Pl}{\sqrt{\left< l, Pl\right>}}.
\]

Опорная функция множества

2020-12-21T14:38:47Z

Igor: /* Свойства */

Опорная функция множества

2020-12-21T14:14:28Z

Igor: /* Определение и интерпретация */

Опорная функция множества

2020-12-21T14:13:52Z

Igor: /* Определение и интерпретация */

Файл:Support func.png

2020-12-21T13:45:27Z

Igor: Иллюстрация опорной функции множества.

== Краткое описание ==
Иллюстрация опорной функции множества.

Опорная функция множества

2020-12-21T13:42:18Z

Igor: /* Определение и интерпретация */

Опорная функция множества

2020-12-21T12:53:25Z

Igor: Новая страница: «Одним из удобных инструментов для работы с выпуклыми множествами является математическ...»

Формула Коши

2020-12-21T12:47:40Z

Igor:

Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
\[
\begin{cases}
\dot x(t) = X(t)x(t) + c(t), \\
x(t_0) = x^0.
\end{cases}
\]
В оптимальном управлении в неоднородность включено еще и управление, то есть $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$.
Пусть $$X(t, \tau)$$ — [[фундаментальная матрица Коши]].
Тогда решение данного уравнения находится по '''формуле Коши''':
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau,
\]
Причем $$t$$ может быть как больше, так и меньше $$t_0$$, вид формулы не меняется.

== Вывод формулы Коши ==

Рассмотрим, как на данное дифференциальное уравнение действует линейная замена переменных $$y(t) = F(t)x(t)$$,
где матрица $$F(t)$$ не вырождена в любой момент времени.
Тогда:
\[
\dot y(t) = \dot F(t)x(t) + F(t) \dot x(t) = \dot F(t) F^{-1}(t) y(t) + F(t) \left( A(t) F^{-1}(t) y(t) + c(t) \right) = \\
= \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t) y(t) + F(t) c(t).
\]
Заметим, что тогда $$y(t)$$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:
\[
\dot y(t) = \tilde A(t) y(t) + \tilde c(t),
\]
где $$\tilde A(t) = \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t)$$ и $$\tilde c(t) = F(t) c(t)$$.
Тогда мы можем выбрать такую замену переменной, что $$\tilde A(t) \equiv 0$$.
Для этого должно выполняться:
\[
\dot F(t) = -F(t)A(t).
\]
Обратите внимание на минут в правой части.
Тогда положим $$F(t) = X(t_0, t)$$, чтобы также выполнялось $$y(t_0) = F(t_0)x^0 = x^0$$.
Таким образом, пришли к следующей задаче Коши для $$y(t)$$:
\[
\begin{cases}
\dot y(t) = X(t_0, t)c(t),
y(t_0) = x^0,
\end{cases}
\]
Причем правая часть не зависит от $$y(t)$$, а значит решением будет просто интеграл:
\[
y(t) = x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau.
\]
Возвращаясь к исходной переменной и используя полугрупповое свойство и его следствие $$\left( X(t_0, t)\right)^{-1} = X(t, t_0)$$, получаем формулу Коши:
\[
x(t) = F^{-1} y(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, t_0) X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau =\\
= X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau.
\]
В оптимальном управлении обычно $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$, и формула Коши принимает вид:
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau) \left[B(\tau)u(\tau) + f(\tau)\right]\,d\tau.
\]

Формула Коши

2020-12-21T12:45:19Z

Igor:

Формула Коши

2020-12-21T12:11:38Z

Igor: Новая страница: «Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение: \[ \begin{cases} \dot x(t) = X(t)x(t...»

Обобщенные функции

2020-12-21T10:02:01Z

Igor: /* Дифференцирование обобщенных функций */

Обобщенные функции — один из удобных инструментов для работы с идеальными физическими моделями. Кратко проблему, которую они решают, можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу?
Объем материальной точки строго равен нулю, а значит, умножив объем на любую функцию плотности и проинтегрировав, получится так же 0. Значит, нужен некоторый более общий математический аппарат для работы с подобными объектами и моделями.

== Определения ==

''Носителем функции'' называется подмножество области определения функции, на котором она отлична от нуля.

''Линейным непрерывным функционалом'' на линейном пространстве $$\mathscr{L}$$ называется отображение $$f \colon \mathscr{L} \mapsto \mathbb{R}\ \text{или}\ \mathbb{C}$$, для которого выполнено:
# $$\forall x, y \in \mathscr{L}\quad f(x + y) = f(x) + f(y)$$
# $$\forall x \in \mathscr{L}\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\ (\mathbb{C})\quad f(\alpha x) = \alpha f(x)$$
# $$\forall {x_n}\colon\ \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad f(x_n) \rightarrow f(x)$$

Первые 2 пункта отвечают за линейность, а 3-й пункт отвечает за непрерывность.

Теперь рассмотрим некоторое линейное пространство $$\mathscr{L}$$. Тогда ''сопряженным к'' $$\mathscr{L}$$ называется пространство всех линейный непрерывных функционалов над $$\mathscr{L}$$.

Во многих линейных функциональных пространствах действие линейного функционала на элемент пространства (то есть на функцию) записывают как интеграл от произведения этой функции на какую-то другую, которая символизирует тот самый линейный непрерывный функционал.
Например, рассмотрим пространство $$\mathscr{L}_1[0, 1]$$. Это пространство функций, для которых $$\int_0^1 \left| f(x) \right|\,dx < \infty$$.
Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$.
И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$.
Также действие функционала записывают в угловых скобках (потому что в гильбертовых пространствах скалярное произведение можно рассматривать как действие функционала на элемент): $$\left< g, f \right>$$.

Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:
# $$\mathscr{D} \in C^\infty(\mathbb{R})$$ — функции из $$\mathscr{D}$$ являются бесконечно дифференцируемыми.
# $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.
Это пространство будем называть пространством ''основных функций''.
Теперь дадим определение обобщенным функциям:
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|-
| ''Обобщенной функцией'' называется линейный непрерывный функционал над пространством $$\mathscr{D}$$ основных функций.
|}

Рассмотрим самую популярную из обобщенных функций: $$\delta$$-функцию.
''$$\delta$$-функцией'' называется обобщенная функция, такая что
\[
\forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0)
\]
Интеграл здесь на самом деле не является интегралом в смысле Римана или Лебега, такая запись лишь символизирует действие функционала на элемент пространства.

== Дифференцирование обобщенных функций ==

Обобщенные функции можно не только интегрировать, но и дифференцировать, для этого запишем формулу интегрирования по частям для обобщенной функции $$g(\cdot)$$ и основной функции $$f(\cdot)$$:
\[
\left< g', f \right> =
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} g'(x) f(x)\,dx =
g(x)f(x) \bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)f'(x)\,dx =
-\left<g, f' \right>.
\]
Здесь первое слагаемое обнулилось, так как функция $$f(\cdot)$$ имеет компактный носитель, а значит $$f(-\infty) = f(+\infty) = 0$$.

Рассмотрим для примера [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%A5%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B0 ''функцию Хевисайда'']:
\[
H(x) =
\begin{cases}
0, & x < 0, \\
1, & x \geqslant 0.
\end{cases}
\]
Тогда ее производная:
\[
\left< H', f \right> =
-\left< H, f' \right> =
-\int\limits_{0}^{+\infty}f'(x)\,dx =
f(0) - f(+\infty) = f(0)
\]
То есть в классе обобщенных функций существует производная у функции Хевисайда и это $$\delta$$-функция.

Это свойство можно использовать для описания распределений дискретных случайных величин.
Если случайная величина $$\xi$$ принимает значения $$x_1, x_2, x_3, \ldots$$ с вероятностями $$p_1, p_2, p_3, \ldots$$, то ее функцию распределения можно записать через сумму функций Хевисайда:
\[
\mathbb{P}(\xi < x) = \sum\limits_k p_k H(x - x_k).
\]
Продифференцировав в обобщенном смысле можно получить выражение для плотности
\[
p_\xi(x) = \sum\limits_k p_k\delta(x - x_k).
\]

== $$\delta$$-образные последовательности ==
Последовательность функций $$g_n(x)$$ называется ''$$\delta$$-образной последовательностью'', если для любой основной функции существует следующий предел:
\[
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g_n(x) f(x)\,dx = f(0).
\]
Вот некоторые примеры:
# $$ f_n(x) = \frac{n}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{x^2 n^2}{2}\right\}$$
# $$ f_n(x) = n/2 \bigl[-1/n \leqslant x \leqslant 1/n\bigr]$$
# $$ f_n(x) = \frac{\sin nx}{\pi x}$$

Обобщенные функции

2020-12-21T09:58:59Z

Igor:

Обобщенные функции — один из удобных инструментов для работы с идеальными физическими моделями. Кратко проблему, которую они решают, можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу?
Объем материальной точки строго равен нулю, а значит, умножив объем на любую функцию плотности и проинтегрировав, получится так же 0. Значит, нужен некоторый более общий математический аппарат для работы с подобными объектами и моделями.

== Определения ==

''Носителем функции'' называется подмножество области определения функции, на котором она отлична от нуля.

''Линейным непрерывным функционалом'' на линейном пространстве $$\mathscr{L}$$ называется отображение $$f \colon \mathscr{L} \mapsto \mathbb{R}\ \text{или}\ \mathbb{C}$$, для которого выполнено:
# $$\forall x, y \in \mathscr{L}\quad f(x + y) = f(x) + f(y)$$
# $$\forall x \in \mathscr{L}\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\ (\mathbb{C})\quad f(\alpha x) = \alpha f(x)$$
# $$\forall {x_n}\colon\ \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad f(x_n) \rightarrow f(x)$$

Первые 2 пункта отвечают за линейность, а 3-й пункт отвечает за непрерывность.

Теперь рассмотрим некоторое линейное пространство $$\mathscr{L}$$. Тогда ''сопряженным к'' $$\mathscr{L}$$ называется пространство всех линейный непрерывных функционалов над $$\mathscr{L}$$.

Во многих линейных функциональных пространствах действие линейного функционала на элемент пространства (то есть на функцию) записывают как интеграл от произведения этой функции на какую-то другую, которая символизирует тот самый линейный непрерывный функционал.
Например, рассмотрим пространство $$\mathscr{L}_1[0, 1]$$. Это пространство функций, для которых $$\int_0^1 \left| f(x) \right|\,dx < \infty$$.
Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$.
И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$.
Также действие функционала записывают в угловых скобках (потому что в гильбертовых пространствах скалярное произведение можно рассматривать как действие функционала на элемент): $$\left< g, f \right>$$.

Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:
# $$\mathscr{D} \in C^\infty(\mathbb{R})$$ — функции из $$\mathscr{D}$$ являются бесконечно дифференцируемыми.
# $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.
Это пространство будем называть пространством ''основных функций''.
Теперь дадим определение обобщенным функциям:
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|-
| ''Обобщенной функцией'' называется линейный непрерывный функционал над пространством $$\mathscr{D}$$ основных функций.
|}

Рассмотрим самую популярную из обобщенных функций: $$\delta$$-функцию.
''$$\delta$$-функцией'' называется обобщенная функция, такая что
\[
\forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0)
\]
Интеграл здесь на самом деле не является интегралом в смысле Римана или Лебега, такая запись лишь символизирует действие функционала на элемент пространства.

== Дифференцирование обобщенных функций ==

Обобщенные функции можно не только интегрировать, но и дифференцировать, для этого запишем формулу интегрирования по частям для обобщенной функции $$g(\cdot)$$ и основной функции $$f(\cdot)$$:
\[
\left< g', f \right> =
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} g'(x) f(x)\,dx =
g(x)f(x) \bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)f'(x)\,dx =
-\left<g, f' \right>.
\]
Здесь первое слагаемое обнулилось, так как функция $$f(\cdot)$$ имеет компактный носитель, а значит $$f(-\infty) = f(+\infty) = 0$$.

Продифференцируем для развлечения ''функцию Хевисайда'': $$H(x) = [x \geqslant 0]$$.
\[
\left< H', f \right> =
-\left< H, f' \right> =
-\int\limits_{0}^{+\infty}f'(x)\,dx =
f(0) - f(+\infty) = f(0)
\]
То есть в классе обобщенных функций существует производная у функции Хевисайда и это $$\delta$$-функция.

Это свойство можно использовать для описания распределений дискретных случайных величин.
Если случайная величина $$\xi$$ принимает значения $$x_1, x_2, x_3, \ldots$$ с вероятностями $$p_1, p_2, p_3, \ldots$$, то ее функцию распределения можно записать через сумму функций Хевисайда:
\[
\mathbb{P}(\xi < x) = \sum\limits_k p_k H(x - x_k).
\]
Продифференцировав в обобщенном смысле можно получить выражение для плотности
\[
p_\xi(x) = \sum\limits_k p_k\delta(x - x_k).
\]

== $$\delta$$-образные последовательности ==
Последовательность функций $$g_n(x)$$ называется ''$$\delta$$-образной последовательностью'', если для любой основной функции существует следующий предел:
\[
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g_n(x) f(x)\,dx = f(0).
\]
Вот некоторые примеры:
# $$ f_n(x) = \frac{n}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{x^2 n^2}{2}\right\}$$
# $$ f_n(x) = n/2 \bigl[-1/n \leqslant x \leqslant 1/n\bigr]$$
# $$ f_n(x) = \frac{\sin nx}{\pi x}$$

Ряд Фурье

2020-12-21T09:50:04Z

Igor: /* Ряды Фурье в гильбертовом пространстве */

На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%B0%D0%BD-%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84 Жан-Батист Фурье], когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о рядах Фурье.

== Тригонометрический ряд Фурье ==

[[File:Fourier series and transform.gif|frame|right|Наглядная иллюстрация принципа работы тригонометрического ряда Фурье.]]

Пусть функция $$f(\cdot)$$ ограничена на $$\mathbb{R}$$, $$(2\pi)$$-периодична и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке $$[a, b] \subset \mathbb{R}$$. Тогда '''рядом Фурье''' для этой функции будем называть следующую формальную запись:
\[
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_k \cos kx + b_k \sin kx),
\]
где коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$ вычисляются по следующим формулам:
\[
a_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}_0, \\
b_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}.
\]

== Сходимость ряда ==

Ряды хороши тем, что они сходятся. Ряд Фурье хорош тем, что иногда он сходится к значению функции, которую мы разложили (то есть вычислили коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$) в ряд. Что-то проясняет следующая теорема.<br>
'''Достаточные условия Дирихле:''' пусть $$f(\cdot)$$ имеет на $$[-\pi, \pi]$$
* конечное число локальных экстремумов,
* не более счетное число разрывов I рода.
Тогда в любой точке на отрезке $$[-\pi, \pi]$$ ряд сходится поточечно к $$\frac{1}{2}\bigl( f(x+0) + f(x-0) \bigr)$$.

Также представляет интерес и '''равномерная сходимость рада Фурье'''. Если
* $$f'(x)$$ существует и кусочно-непрерывна на $$[-\pi, \pi]$$,
* $$f(-\pi) = f(\pi)$$.
Тогда тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно и абсолютно.

Обобщением данной теоремы можно считать теорему о '''почленном дифференцировании рядя Фурье'''. Пусть
* $$f(x)$$ и ее производные до порядка $$m$$ включительно непрерывны на $$[-\pi, \pi]$$,
* $$f^{(i)}(-\pi) = f^{(i)}(\pi), \quad i = \overline{0,m}$$,
* $$f^{(m + 1)}$$ кусочно-непрервына на $$[-\pi, \pi]$$.
Тогда тригонометрический ряд Фурье можно $$m$$ раз почленно дифференцировать на $$[-\pi, \pi]$$.

== Комплексная форма записи ==

Только что произошло разложение функции в [https://ru.wikipedia.org/wiki/Lp_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE) пространстве $$L^2$$] по полной ортогональной системе $$\left\{1, \cos kx, \sin kx \right\},\ k \in \mathbb{N}$$. Попробуем переписать это через комплексную экспоненту, вспомнив представление через нее для перечисленных функций:
\[
1 = e^{i0x}, \quad
\cos kx = \frac{e^{ikx} + e^{-ikx}}{2}, \quad
\sin kx = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2}, k \in \mathbb{N}.
\]

Затем положим

\begin{align*}
\begin{cases}
c_{-k} &= (a_k + ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}, \\
c_0 &= a_0 / 2, \\
c_k &= (a_k - ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\end{align*}

Тогда ряд Фурье записывается в виде:

\[
f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{ikx},\\
c_k = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-ikt}\,dt, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]

Этот ряд можно представлять как сумму бесконечного числа [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F гармонических колебаний], где
* $$\lvert c_k \rvert$$ — амплитуда колебаний,
* $$k$$ — их частота,
* $$\arg c_k$$ — начальная фаза.

== Ряд Фурье в гильбертовом пространстве ==

Идею разложения функции в ряд можно обобщить. Рассмотрим [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE гильбертово пространство] $$H$$ и в нем ортогональная система $$\{ \varphi_1,\ldots,\varphi_n \}$$. Хотим представить любой элемент пространства в виде:
\[
f = \sum\limits_{n=1}^\infty c_n \varphi_n.
\]
Домножая скалярно ряд на $$\varphi_k$$ и используя условие ортогональности, получаем следующее выражение для коэффициентов ряда:
\[
c_k = \frac{\left< f, \varphi_k \right>}{\| \varphi_k \|^2}.
\]
Ряд с такими коэффициентами называется '''рядом Фурье''' элемента $$f$$ по ортогональной системе $$\{ \varphi_1,\ldots,\varphi_n \}$$.
Данный ряд всегда сходится для ортогональной системы, но его сумма может быть не равна $$f$$.
Однако всегда справедливо '''неравенство Бесселя''':
\[
\sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2 \leqslant \|f\|^2.
\]
Если система является ''полной'' (то есть если для любого $$n$$ $$\left< g, \varphi_n \right> = 0$$, то $$g=0$$), то система является также ''замкнутой'' (то есть для которой неравенство Бесселя переходит в '''равенство Парсеваля''':
\[
\sum\limits_{n=1}^\infty c_n^2 = \|f\|^2.
\]

[[Категория:ПЛФ]]

Ряд Фурье

2020-12-21T09:34:17Z

Igor:

На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%B0%D0%BD-%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84 Жан-Батист Фурье], когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о рядах Фурье.

== Тригонометрический ряд Фурье ==

[[File:Fourier series and transform.gif|frame|right|Наглядная иллюстрация принципа работы тригонометрического ряда Фурье.]]

Пусть функция $$f(\cdot)$$ ограничена на $$\mathbb{R}$$, $$(2\pi)$$-периодична и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке $$[a, b] \subset \mathbb{R}$$. Тогда '''рядом Фурье''' для этой функции будем называть следующую формальную запись:
\[
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_k \cos kx + b_k \sin kx),
\]
где коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$ вычисляются по следующим формулам:
\[
a_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}_0, \\
b_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}.
\]

== Сходимость ряда ==

Ряды хороши тем, что они сходятся. Ряд Фурье хорош тем, что иногда он сходится к значению функции, которую мы разложили (то есть вычислили коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$) в ряд. Что-то проясняет следующая теорема.<br>
'''Достаточные условия Дирихле:''' пусть $$f(\cdot)$$ имеет на $$[-\pi, \pi]$$
* конечное число локальных экстремумов,
* не более счетное число разрывов I рода.
Тогда в любой точке на отрезке $$[-\pi, \pi]$$ ряд сходится поточечно к $$\frac{1}{2}\bigl( f(x+0) + f(x-0) \bigr)$$.

Также представляет интерес и '''равномерная сходимость рада Фурье'''. Если
* $$f'(x)$$ существует и кусочно-непрерывна на $$[-\pi, \pi]$$,
* $$f(-\pi) = f(\pi)$$.
Тогда тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно и абсолютно.

Обобщением данной теоремы можно считать теорему о '''почленном дифференцировании рядя Фурье'''. Пусть
* $$f(x)$$ и ее производные до порядка $$m$$ включительно непрерывны на $$[-\pi, \pi]$$,
* $$f^{(i)}(-\pi) = f^{(i)}(\pi), \quad i = \overline{0,m}$$,
* $$f^{(m + 1)}$$ кусочно-непрервына на $$[-\pi, \pi]$$.
Тогда тригонометрический ряд Фурье можно $$m$$ раз почленно дифференцировать на $$[-\pi, \pi]$$.

== Комплексная форма записи ==

Только что произошло разложение функции в [https://ru.wikipedia.org/wiki/Lp_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE) пространстве $$L^2$$] по полной ортогональной системе $$\left\{1, \cos kx, \sin kx \right\},\ k \in \mathbb{N}$$. Попробуем переписать это через комплексную экспоненту, вспомнив представление через нее для перечисленных функций:
\[
1 = e^{i0x}, \quad
\cos kx = \frac{e^{ikx} + e^{-ikx}}{2}, \quad
\sin kx = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2}, k \in \mathbb{N}.
\]

Затем положим

\begin{align*}
\begin{cases}
c_{-k} &= (a_k + ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}, \\
c_0 &= a_0 / 2, \\
c_k &= (a_k - ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\end{align*}

Тогда ряд Фурье записывается в виде:

\[
f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{ikx},\\
c_k = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-ikt}\,dt, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]

Этот ряд можно представлять как сумму бесконечного числа [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F гармонических колебаний], где
* $$\lvert c_k \rvert$$ — амплитуда колебаний,
* $$k$$ — их частота,
* $$\arg c_k$$ — начальная фаза.

== Ряды Фурье в гильбертовом пространстве ==

[[Категория:ПЛФ]]

Ряд Фурье

2020-12-21T09:33:30Z

Igor: /* Сходимость ряда */

Ряд Фурье

2020-12-21T09:32:53Z

Igor: /* Сходимость ряда */

На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%B0%D0%BD-%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84 Жан-Батист Фурье], когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о рядах Фурье.

== Тригонометрический ряд Фурье ==

[[File:Fourier series and transform.gif|frame|right|Наглядная иллюстрация принципа работы тригонометрического ряда Фурье.]]

Пусть функция $$f(\cdot)$$ ограничена на $$\mathbb{R}$$, $$(2\pi)$$-периодична и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке $$[a, b] \subset \mathbb{R}$$. Тогда '''рядом Фурье''' для этой функции будем называть следующую формальную запись:
\[
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_k \cos kx + b_k \sin kx),
\]
где коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$ вычисляются по следующим формулам:
\[
a_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}_0, \\
b_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}.
\]

== Сходимость ряда ==

Ряды хороши тем, что они сходятся. Ряд Фурье хорош тем, что иногда он сходится к значению функции, которую мы разложили (то есть вычислили коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$) в ряд. Что-то проясняет следующая теорема.<br>
'''Достаточные условия Дирихле:''' пусть $$f(\cdot)$$ имеет на $$[-\pi, \pi]$$
* конечное число локальных экстремумов,
* не более счетное число разрывов I рода.
Тогда в любой точке на отрезке $$[-\pi, \pi]$$ ряд сходится поточечно к $$\frac{1}{2}\bigl( f(x+0) + f(x-0) \bigr)$$.

Также представляет интерес и равномерная сходимость рада Фурье. Если
* $$f'(x)$$ существует и кусочно-непрерывна на $$[-\pi, \pi]$$,
* $$f(-\pi) = f(\pi)$$.
Тогда тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно и абсолютно.

Обобщением данной теоремы можно считать теорему о почленном дифференцировании рядя Фурье. Пусть
* $$f(x)$$ и ее производные до порядка $$m$$ включительно непрерывны на $$[-\pi, \pi]$$,
* $$f^{(i)}(-\pi) = f^{(i)}(\pi), \quad i = \overline{0,m}$$,
* $$f^{(m + 1)}$$ кусочно-непрервына на $$[-\pi, \pi]$$.
Тогда тригонометрический ряд Фурье можно $$m$$ раз почленно дифференцировать на $$[-\pi, \pi]$$.

== Комплексная форма записи ==

Только что произошло разложение функции в [https://ru.wikipedia.org/wiki/Lp_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE) пространстве $$L^2$$] по полной ортогональной системе $$\left\{1, \cos kx, \sin kx \right\},\ k \in \mathbb{N}$$. Попробуем переписать это через комплексную экспоненту, вспомнив представление через нее для перечисленных функций:
\[
1 = e^{i0x}, \quad
\cos kx = \frac{e^{ikx} + e^{-ikx}}{2}, \quad
\sin kx = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2}, k \in \mathbb{N}.
\]

Затем положим

\begin{align*}
\begin{cases}
c_{-k} &= (a_k + ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}, \\
c_0 &= a_0 / 2, \\
c_k &= (a_k - ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\end{align*}

Тогда ряд Фурье записывается в виде:

\[
f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{ikx},\\
c_k = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-ikt}\,dt, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]

Этот ряд можно представлять как сумму бесконечного числа [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F гармонических колебаний], где
* $$\lvert c_k \rvert$$ — амплитуда колебаний,
* $$k$$ — их частота,
* $$\arg c_k$$ — начальная фаза.
[[Категория:ПЛФ]]

Ряд Фурье

2020-12-21T08:33:23Z

Igor:

Обобщенные функции

2020-11-23T10:24:10Z

Igor:

Когда физикам перестает хватать существующего математического аппарата, они придумывают новый математический аппарат. Так было с Ньютоном, который [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 придумал матан], так было с Фурье, который придумал раскладывать в тригонометрические ряды все подряд, так произошло и с обобщенными функциями. Кратко проблему можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу?

== Определения ==

''Носителем функции'' называется подмножество области определения функции, на котором она отлична от нуля.

''Линейным непрерывным функционалом'' на линейном пространстве $$\mathscr{L}$$ называется отображение $$f \colon \mathscr{L} \mapsto \mathbb{R}\ \text{или}\ \mathbb{C}$$, для которого выполнено:
# $$\forall x, y \in \mathscr{L}\quad f(x + y) = f(x) + f(y)$$
# $$\forall x \in \mathscr{L}\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\ (\mathbb{C})\quad f(\alpha x) = \alpha f(x)$$
# $$\forall {x_n}\colon\ \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad f(x_n) \rightarrow f(x)$$

Первые 2 пункта отвечают за линейность, а 3-й пункт отвечает за непрерывность.

Теперь рассмотрим некоторое линейное пространство $$\mathscr{L}$$. Тогда ''сопряженным к'' $$\mathscr{L}$$ называется пространство всех линейный непрерывных функционалов над $$\mathscr{L}$$.

Во многих линейных функциональных пространствах действие линейного функционала на элемент пространства (то есть на функцию) записывают как интеграл от произведения этой функции на какую-то другую, которая символизирует тот самый линейный непрерывный функционал.
Например, рассмотрим пространство $$\mathscr{L}_1[0, 1]$$. Это пространство функций, для которых $$\int_0^1 \left| f(x) \right|\,dx < \infty$$.
Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$.
И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$.
Также действие функционала записывают в угловых скобках (аллюзия на гильбертовы пространства): $$\left< g, f \right>$$.

Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:
# $$\mathscr{D} \in C^\infty(\mathbb{R})$$ — функции из $$\mathscr{D}$$ являются бесконечно дифференцируемыми.
# $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.
Это пространство будем называть пространством ''основных функций''.
Плавно подошли к самому главному определению:
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|-
| ''Обобщенной функцией'' называется линейный непрерывный функционал над пространством $$\mathscr{D}$$ основных функций.
|}

Рассмотрим самую популярную из обобщенных функций: $$\delta$$-функцию.
''$$\delta$$-функцией'' называется обобщенная функция, такая что
\[
\forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0)
\]
Интеграл здесь на самом деле не интеграл, такая запись символизирует действие функционала на элемент пространства.

== Дифференцирование обобщенных функций ==

Обобщенные функции можно не только интегрировать, но и дифференцировать, для этого запишем формулу интегрирования по частям для обобщенной функции $$g(\cdot)$$ и основной функции $$f(\cdot)$$:
\[
\left< g', f \right> =
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} g'(x) f(x)\,dx =
g(x)f(x) \bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)f'(x)\,dx =
-\left<g, f' \right>.
\]
Здесь первое слагаемое обнулилось, так как функция $$f(\cdot)$$ имеет компактный носитель, а значит $$f(-\infty) = f(+\infty) = 0$$.

Продифференцируем для развлечения ''функцию Хевисайда'': $$H(x) = [x \geqslant 0]$$.
\[
\left< H', f \right> =
-\left< H, f' \right> =
-\int\limits_{0}^{+\infty}f'(x)\,dx =
f(0) - f(+\infty) = f(0)
\]
То есть в классе обобщенных функций существует производная у функции Хевисайда и это $$\delta$$-функция.

Это свойство можно использовать для описания распределений дискретных случайных величин.
Если случайная величина $$\xi$$ принимает значения $$x_1, x_2, x_3, \ldots$$ с вероятностями $$p_1, p_2, p_3, \ldots$$, то ее функцию распределения можно записать через сумму функций Хевисайда:
\[
\mathbb{P}(\xi < x) = \sum\limits_k p_k H(x - x_k).
\]
Продифференцировав в обобщенном смысле можно получить выражение для плотности
\[
p_\xi(x) = \sum\limits_k p_k\delta(x - x_k).
\]

== $$\delta$$-образные последовательности ==
Последовательность функций $$g_n(x)$$ называется ''$$\delta$$-образной последовательностью'', если для любой основной функции существует следующий предел:
\[
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g_n(x) f(x)\,dx = f(0).
\]
Вот некоторые примеры:
# $$ f_n(x) = \frac{n}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{x^2 n^2}{2}\right\}$$
# $$ f_n(x) = n/2 \bigl[-1/n \leqslant x \leqslant 1/n\bigr]$$
# $$ f_n(x) = \frac{\sin nx}{\pi x}$$

Обобщенные функции

2020-11-23T10:23:30Z

Igor:

Обобщенные функции

2020-11-23T10:20:12Z

Igor:

Обобщенные функции

2020-11-23T10:18:32Z

Igor:

Когда физикам перестает хватать существующего математического аппарата, они придумывают новый математический аппарат. Так было с Ньютоном, который [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 придумал матан], так было с Фурье, который придумал раскладывать в тригонометрические ряды все подряд, так произошло и с обобщенными функциями. Кратко проблему можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу?

== Определения ==

''Носителем функции'' называется подмножество области определения функции, на котором она отлична от нуля.

''Линейным непрерывным функционалом'' на линейном пространстве $$\mathscr{L}$$ называется отображение $$f \colon \mathscr{L} \mapsto \mathbb{R}\ \text{или}\ \mathbb{C}$$, для которого выполнено:
# $$\forall x, y \in \mathscr{L}\quad f(x + y) = f(x) + f(y)$$
# $$\forall x \in \mathscr{L}\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\ (\mathbb{C})\quad f(\alpha x) = \alpha f(x)$$
# $$\forall {x_n}\colon\ \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad f(x_n) \rightarrow f(x)$$

Первые 2 пункта отвечают за линейность, а 3-й пункт отвечает за непрерывность.

Теперь рассмотрим некоторое линейное пространство $$\mathscr{L}$$. Тогда ''сопряженным к'' $$\mathscr{L}$$ называется пространство всех линейный непрерывных функционалов над $$\mathscr{L}$$.

Во многих линейных функциональных пространствах действие линейного функционала на элемент пространства (то есть на функцию) записывают как интеграл от произведения этой функции на какую-то другую, которая символизирует тот самый линейный непрерывный функционал.
Например, рассмотрим пространство $$\mathscr{L}_1[0, 1]$$. Это пространство функций, для которых $$\int_0^1 \left| f(x) \right|\,dx < \infty$$.
Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$.
И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$.
Также действие функционала записывают в угловых скобках (аллюзия на гильбертовы пространства): $$\left< g, f \right>$$.

Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:
# $$\mathscr{D} \in C^\infty(\mathbb{R})$$ — функции из $$\mathscr{D}$$ являются бесконечно дифференцируемыми.
# $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.
Это пространство будем называть пространством ''основных функций''.
Плавно подошли к самому главному определению:
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|-
| ''Обобщенной функцией'' называется линейный непрерывный функционал над пространством $$\mathscr{D}$$ основных функций.
|}

Рассмотрим самую популярную из обобщенных функций: $$\delta$$-функцию.
''$$\delta$$-функцией'' называется обобщенная функция, такая что
\[
\forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0)
\]
Интеграл здесь на самом деле не интеграл, такая запись символизирует действие функционала на элемент пространства.

== Дифференцирование обобщенных функций ==

Обобщенные функции можно не только интегрировать, но и дифференцировать, для этого запишем формулу интегрирования по частям для обобщенной функции $$g(\cdot)$$ и основной функции $$f(\cdot)$$:
\[
\left< g', f \right> =
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} g'(x) f(x)\,dx =
g(x)f(x) \bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)f'(x)\,dx =
-\left<g, f' \right>.
\]
Здесь первое слагаемое обнулилось, так как функция $$f(\cdot)$$ имеет компактный носитель, а значит $$f(-\infty) = f(+\infty) = 0$$.

Продифференцируем для развлечения ''функцию Хевисайда'': $$H(x) = [x \geqslant 0]$$.
\[
\left< H', f \right> =
-\left< H, f' \right> =
-\int\limits_{0}^{+\infty}f'(x)\,dx =
f(0) - f(+\infty) = f(0)
\]
То есть в классе обобщенных функций существует производная у функции Хевисайда и это $$\delta$$-функция.

Это свойство можно использовать для описания распределений дискретных случайных величин.
Если случайная величина $$\xi$$ принимает значения $$x_1, x_2, x_3, \ldots$$ с вероятностями $$p_1, p_2, p_3, \ldots$$, то ее функцию распределения можно записать через сумму функций Хевисайда:
\[
\mathbb{P}(\xi < x) = \sum\limits_k p_k H(x - x_k).
\]
Продифференцировав в обобщенном смысле можно получить выражение для плотности
\[
p_\xi(x) = \sum\limits_k p_k\delta(x - x_k).
\]

== $$\delta$$-образные последовательности ==
Последовательность функций $$g_n(x)$$ называется ''$$\delta$$-образной последовательностью'', если для любой основной функции существует следующий предел:
\[
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{-\infty}{+\infty} g_n(x) f(x)\,dx = f(0).
\]
Вот некоторые примеры:
# $$f_n(x) = \frac{n}{\sqrt{2\pi}}$$

Обобщенные функции

2020-11-23T10:14:32Z

Igor:

Обобщенные функции

2020-11-23T10:08:18Z

Igor:

Когда физикам перестает хватать существующего математического аппарата, они придумывают новый математический аппарат. Так было с Ньютоном, который [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 придумал матан], так было с Фурье, который придумал раскладывать в тригонометрические ряды все подряд, так произошло и с обобщенными функциями. Кратко проблему можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу?

== Определения ==

''Носителем функции'' называется подмножество области определения функции, на котором она отлична от нуля.

''Линейным непрерывным функционалом'' на линейном пространстве $$\mathscr{L}$$ называется отображение $$f \colon \mathscr{L} \mapsto \mathbb{R}\ \text{или}\ \mathbb{C}$$, для которого выполнено:
# $$\forall x, y \in \mathscr{L}\quad f(x + y) = f(x) + f(y)$$
# $$\forall x \in \mathscr{L}\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\ (\mathbb{C})\quad f(\alpha x) = \alpha f(x)$$
# $$\forall {x_n}\colon\ \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad f(x_n) \rightarrow f(x)$$

Первые 2 пункта отвечают за линейность, а 3-й пункт отвечает за непрерывность.

Теперь рассмотрим некоторое линейное пространство $$\mathscr{L}$$. Тогда ''сопряженным к'' $$\mathscr{L}$$ называется пространство всех линейный непрерывных функционалов над $$\mathscr{L}$$.

Во многих линейных функциональных пространствах действие линейного функционала на элемент пространства (то есть на функцию) записывают как интеграл от произведения этой функции на какую-то другую, которая символизирует тот самый линейный непрерывный функционал.
Например, рассмотрим пространство $$\mathscr{L}_1[0, 1]$$. Это пространство функций, для которых $$\int_0^1 \left| f(x) \right|\,dx < \infty$$.
Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$.
И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$.
Также действие функционала записывают в угловых скобках (аллюзия на гильбертовы пространства): $$\left< g, f \right>$$.

Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:
# $$\mathscr{D} \in C^\infty(\mathbb{R})$$ — функции из $$\mathscr{D}$$ являются бесконечно дифференцируемыми.
# $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.
Это пространство будем называть пространством ''основных функций''.
Плавно подошли к самому главному определению:
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|-
| ''Обобщенной функцией'' называется линейный непрерывный функционал над пространством $$\mathscr{D}$$ основных функций.
|}

Рассмотрим самую популярную из обобщенных функций: $$\delta$$-функцию.
''$$\delta$$-функцией'' называется обобщенная функция, такая что
\[
\forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0)
\]
Интеграл здесь на самом деле не интеграл, такая запись символизирует действие функционала на элемент пространства.

== Дифференцирование обобщенных функций ==

Обобщенные функции можно не только интегрировать, но и дифференцировать, для этого запишем формулу интегрирования по частям для обобщенной функции $$g(\cdot)$$ и основной функции $$f(\cdot)$$:
\[
\left< g', f \right> =
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} g'(x) f(x)\,dx =
g(x)f(x) \bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)f'(x)\,dx =
-\left<g, f' \right>.
\]
Здесь первое слагаемое обнулилось, так как функция $$f(\cdot)$$ имеет компактный носитель, а значит $$f(-\infty) = f(\infty) = 0$$.

Продифференцируем для развлечения ''функцию Хевисайда'': $$H(x) = [x \geqslant 0]$$.
\[
\left< H', f \right> =
-\left< H, f' \right> =
-\int\limits_{0}^{+\infty}f'(x)\,dx =
f(0) - f(+\infty) = f(0)
\]

Обобщенные функции

2020-11-23T09:42:59Z

Igor:

Когда физикам перестает хватать существующего математического аппарата, они придумывают новый математический аппарат. Так было с Ньютоном, который [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 придумал матан], так было с Фурье, который придумал раскладывать в тригонометрические ряды все подряд, так произошло и с обобщенными функциями. Кратко проблему можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу?

== Определения ==

''Носителем функции'' называется подмножество области определения функции, на котором она отлична от нуля.

''Линейным непрерывным функционалом'' на линейном пространстве $$\mathscr{L}$$ называется отображение $$f \colon \mathscr{L} \mapsto \mathbb{R}\ \text{или}\ \mathbb{C}$$, для которого выполнено:
# $$\forall x, y \in \mathscr{L}\quad f(x + y) = f(x) + f(y)$$
# $$\forall x \in \mathscr{L}\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\ (\mathbb{C})\quad f(\alpha x) = \alpha f(x)$$
# $$\forall {x_n}\colon\ \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad f(x_n) \rightarrow f(x)$$

Первые 2 пункта отвечают за линейность, а 3-й пункт отвечает за непрерывность.

Теперь рассмотрим некоторое линейное пространство $$\mathscr{L}$$. Тогда ''сопряженным к'' $$\mathscr{L}$$ называется пространство всех линейный непрерывных функционалов над $$\mathscr{L}$$.

Во многих линейных функциональных пространствах действие линейного функционала на элемент пространства (то есть на функцию) записывают как интеграл от произведения этой функции на какую-то другую, которая символизирует тот самый линейный непрерывный функционал.
Например, рассмотрим пространство $$\mathscr{L}_1[0, 1]$$. Это пространство функций, для которых $$\int_0^1 \left| f(x) \right|\,dx < \infty$$.
Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$.
И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$.
Также действие функционала записывают в угловых скобках (аллюзия на гильбертовы пространства): $$\left< g, f \right>$$.

Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:
# $$\mathscr{D} \in C^\infty(\mathbb{R})$$ — функции из $$\mathscr{D}$$ являются бесконечно дифференцируемыми.
# $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.
Это пространство будем называть пространством ''основных функций''.
Плавно подошли к самому главному определению:
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|-
| ''Обобщенной функцией'' называется линейный непрерывный функционал над пространством $$\mathscr{D}$$ основных функций.
|}

Рассмотрим самую популярную из обобщенных функций: $$\delta$$-функцию.
''$$\delta$$-функцией'' называется обобщенная функция, такая что
\[
\forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0)
\]
Интеграл здесь на самом деле не интеграл, такая запись символизирует действие функционала на элемент пространства.

== Дифференцирование обобщенных функций ==

Обобщенные функции можно не только интегрировать, но и дифференцировать, для этого запишем формулу интегрирования по частям для обобщенной функции $$g(\cdot)$$ и основной функции $$f(\cdot)$$:
\[
\left< g', f \right> =
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} g'(x) f(x)\,dx =
g(x)f(x) \bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)f'(x)\,dx =
-\left<g, f' \right>.
\]
Здесь первое слагаемое обнулилось, так как функция $$f(\cdot)$$ имеет компактный носитель, а значит $$f(-\infty) = f(\infty) = 0$$.

Продифференцируем для развлечения ''функцию Хевисайда'': $$H(x) = [x \geqslant 0]$$.

Обобщенные функции

2020-11-23T09:40:47Z

Igor:

Обобщенные функции

2020-11-23T09:39:29Z

Igor:

Обобщенные функции

2020-11-23T09:38:05Z

Igor:

Когда физикам перестает хватать существующего математического аппарата, они придумывают новый математический аппарат. Так было с Ньютоном, который [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 придумал матан], так было с Фурье, который придумал раскладывать в тригонометрические ряды все подряд, так произошло и с обобщенными функциями. Кратко проблему можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу?

== Определения ==

''Носителем функции'' называется подмножество области определения функции, на котором она отлична от нуля.

''Линейным непрерывным функционалом'' на линейном пространстве $$\mathscr{L}$$ называется отображение $$f \colon \mathscr{L} \mapsto \mathbb{R}\ \text{или}\ \mathbb{C}$$, для которого выполнено:
# $$\forall x, y \in \mathscr{L}\quad f(x + y) = f(x) + f(y)$$
# $$\forall x \in \mathscr{L}\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\ (\mathbb{C})\quad f(\alpha x) = \alpha f(x)$$
# $$\forall {x_n}\colon\ \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad f(x_n) \rightarrow f(x)$$

Первые 2 пункта отвечают за линейность, а 3-й пункт отвечает за непрерывность.

Теперь рассмотрим некоторое линейное пространство $$\mathscr{L}$$. Тогда ''сопряженным к'' $$\mathscr{L}$$ называется пространство всех линейный непрерывных функционалов над $$\mathscr{L}$$.

Во многих линейных функциональных пространствах действие линейного функционала на элемент пространства (то есть на функцию) записывают как интеграл от произведения этой функции на какую-то другую, которая символизирует тот самый линейный непрерывный функционал.
Например, рассмотрим пространство $$\mathscr{L}_1[0, 1]$$. Это пространство функций, для которых $$\int_0^1 \left| f(x) \right|\,dx < \infty$$.
Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$.
И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$.
Также действие функционала записывают в угловых скобках (аллюзия на гильбертовы пространства): $$\left< g, f \right>$$.

Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:
# $$\mathscr{D} \in C^\infty(\mathbb{R})$$ — функции из $$\mathscr{D}$$ являются бесконечно дифференцируемыми.
# $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.
Это пространство будем называть пространством ''основных функций''.
Плавно подошли к самому главному определению:
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|-
| ''Обобщенной функцией'' называется линейный непрерывный функционал над пространством $$\mathscr{D}$$ основных функций.
|}

Рассмотрим самую популярную из обобщенных функций: $$\delta$$-функцию.
''$$\delta$$-функцией'' называется обобщенная функция, такая что
\[
\forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0)
\]
Интеграл здесь на самом деле не интеграл, такая запись символизирует действие функционала на элемент пространства.

== Дифференцирование обобщенных функций ==

Обобщенные функции можно не только интегрировать, но и дифференцировать, для этого запишем формулу интегрирования по частям для обобщенной функции $$g(\cdot)$$ и основной функции $$f(\cdot)$$:
\[
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} g'(x) f(x)\,dx = g(x)f(x) \bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)f'(x)\,dx
\]

Обобщенные функции

2020-11-23T09:35:16Z

Igor:

Когда физикам перестает хватать существующего математического аппарата, они придумывают новый математический аппарат. Так было с Ньютоном, который [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 придумал матан], так было с Фурье, который придумал раскладывать в тригонометрические ряды все подряд, так произошло и с обобщенными функциями. Кратко проблему можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу?

== Определения ==

''Носителем функции'' называется подмножество области определения функции, на котором она отлична от нуля.

''Линейным непрерывным функционалом'' на линейном пространстве $$\mathscr{L}$$ называется отображение $$f \colon \mathscr{L} \mapsto \mathbb{R}\ \text{или}\ \mathbb{C}$$, для которого выполнено:
# $$\forall x, y \in \mathscr{L}\quad f(x + y) = f(x) + f(y)$$
# $$\forall x \in \mathscr{L}\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\ (\mathbb{C})\quad f(\alpha x) = \alpha f(x)$$
# $$\forall {x_n}\colon\ \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad f(x_n) \rightarrow f(x)$$

Первые 2 пункта отвечают за линейность, а 3-й пункт отвечает за непрерывность.

Теперь рассмотрим некоторое линейное пространство $$\mathscr{L}$$. Тогда ''сопряженным к'' $$\mathscr{L}$$ называется пространство всех линейный непрерывных функционалов над $$\mathscr{L}$$.

Во многих линейных функциональных пространствах действие линейного функционала на элемент пространства (то есть на функцию) записывают как интеграл от произведения этой функции на какую-то другую, которая символизирует тот самый линейный непрерывный функционал.
Например, рассмотрим пространство $$\mathscr{L}_1[0, 1]$$. Это пространство функций, для которых $$\int_0^1 \left| f(x) \right|\,dx < \infty$$.
Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$.
И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$.
Также действие функционала записывают в угловых скобках (аллюзия на гильбертовы пространства): $$\left< g, f \right>$$.

Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:
# $$\mathscr{D} \in C^\infty(\mathbb{R})$$ — функции из $$\mathscr{D}$$ являются бесконечно дифференцируемыми.
# $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.
Это пространство будем называть пространством ''основных функций''.
Плавно подошли к самому главному определению:
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|-
| ''Обобщенной функцией'' называется линейный непрерывный функционал над пространством $$\mathscr{D}$$ основных функций.
|}

Рассмотрим самую популярную из обобщенных функций: $$\delta$$-функцию.
''$$\delta$$-функцией'' называется обобщенная функция, такая что
\[
\forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\,dx = f(0)
\]
Интеграл здесь на самом деле не интеграл, такая запись символизирует действие функционала на элемент пространства.

== Дифференцирование обобщенных функций ==

Обобщенные функции можно не только интегрировать, но и дифференцировать, для этого запишем формулу интегрирования по частям для обобщенной функции $$g(\cdot)$$ и основной функции $$f(\cdot)$$:
\[
\int\limits_{-\infty}^\infty g'(x) f(x)\,dx = g(x)f(x) \bigg|\limits_{-\infty}^\infty - \int\limits_{-\infty}^\infty g(x)f'(x)\,dx
\]

Обобщенные функции

2020-11-23T09:32:57Z

Igor:

Когда физикам перестает хватать существующего математического аппарата, они придумывают новый математический аппарат. Так было с Ньютоном, который [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 придумал матан], так было с Фурье, который придумал раскладывать в тригонометрические ряды все подряд, так произошло и с обобщенными функциями. Кратко проблему можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу?

== Определения ==

''Носителем функции'' называется подмножество области определения функции, на котором она отлична от нуля.

''Линейным непрерывным функционалом'' на линейном пространстве $$\mathscr{L}$$ называется отображение $$f \colon \mathscr{L} \mapsto \mathbb{R}\ \text{или}\ \mathbb{C}$$, для которого выполнено:
# $$\forall x, y \in \mathscr{L}\quad f(x + y) = f(x) + f(y)$$
# $$\forall x \in \mathscr{L}\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\ (\mathbb{C})\quad f(\alpha x) = \alpha f(x)$$
# $$\forall {x_n}\colon\ \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad f(x_n) \rightarrow f(x)$$

Первые 2 пункта отвечают за линейность, а 3-й пункт отвечает за непрерывность.

Теперь рассмотрим некоторое линейное пространство $$\mathscr{L}$$. Тогда ''сопряженным к'' $$\mathscr{L}$$ называется пространство всех линейный непрерывных функционалов над $$\mathscr{L}$$.

Во многих линейных функциональных пространствах действие линейного функционала на элемент пространства (то есть на функцию) записывают как интеграл от произведения этой функции на какую-то другую, которая символизирует тот самый линейный непрерывный функционал.
Например, рассмотрим пространство $$\mathscr{L}_1[0, 1]$$. Это пространство функций, для которых $$\int_0^1 \left| f(x) \right|\,dx < \infty$$.
Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$.
И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$.
Также действие функционала записывают в угловых скобках (аллюзия на гильбертовы пространства): $$\left< g, f \right>$$.

Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:
# $$\mathscr{D} \in C^\infty(\mathbb{R})$$ — функции из $$\mathscr{D}$$ являются бесконечно дифференцируемыми.
# $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.
Это пространство будем называть пространством ''основных функций''.
Плавно подошли к самому главному определению:
{| class="wikitable" style="margin: auto;"
|-
| ''Обобщенной функцией'' называется линейный непрерывный функционал над пространством $$\mathscr{D}$$ основных функций.
|}

Рассмотрим самую популярную из обобщенных функций: $$\delta$$-функцию.
''$$\delta$$-функцией'' называется обобщенная функция, такая что
\[
\forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\,dx = f(0)
\]
Интеграл здесь на самом деле не интеграл, такая запись символизирует действие функционала на элемент пространства.

== Дифференцирование обобщенных функций ==

Обобщенные функции можно не только интегрировать, но и дифференцировать, для этого запишем формулу интегрирования по частям для обобщенной функции $$g(\cdot)$$ и основной функции $$f(\cdot)$$:
\[
\int\limits_{-\infty}^\infty g'(x) f(x)\,dx = \left. g(x)f(x) \right|\limits_{-\infty}^\infty - \int\limits_{-\infty}^\infty g(x)f'(x)\,dx
\]

Обобщенные функции

2020-11-23T09:30:10Z

Igor:

Обобщенные функции

2020-11-23T09:29:39Z

Igor:

Обобщенные функции

2020-11-23T09:24:20Z

Igor:

Обобщенные функции

2020-11-23T09:23:07Z

Igor:

Обобщенные функции

2020-11-23T09:20:25Z

Igor:

Обобщенные функции

2020-11-23T09:19:12Z

Igor:

Обобщенные функции

2020-11-23T09:16:05Z

Igor: