sawiki - Вклад участника [ru]

Предельное поведение траекторий. Предельные циклы. Теорема Дюлака-Бендиксона

2024-12-10T18:23:40Z

Ilya24: /* Предельное поведение траекторий */

__TOC__

=Предельное поведение траекторий=
Рассмотрим [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамическую систему]
\[
\begin{cases}
\dot{u} = f(u), \\
u(0) = u_0.
\label{*} \tag{*}
\end{cases}
u \in U \subset \mathbb{R}^n.
\]

[[Файл:Stable cycle.png|мини|Пример устойчивого цикла]]

[[Файл:Non stable cycle.png|мини|Пример неустойчивого цикла]]

[[Файл:Semi Stable cycle.png|мини|Пример полуустойчивого цикла_1]]

[[Файл:Semi Stable2.png|мини|Пример полуустойчивого цикла_2]]

'''Определение.'''
Кривая $$\gamma$$ - предельный цикл \eqref{*}, если
# $$\gamma$$ - траектория системы,
# $$\gamma$$ - замкнутая кривая,
# в малой окрестности $$\gamma$$ нет других замкнутых траекторий.

Предельные циклы могут быть трёх видов
# устойчивые
# неустойчивые
# полуустойчивые.

''' Определение.'''
$$u^{*}$$ - предельная точка системы \eqref{*}, если $$\exists \{ t_k \} : ~ t_k \to \infty$$ при $$k \to \infty$$ - последовательность моментов времени и начальное условие $$u_0$$:
\[
\lim\limits_{k \to \infty} u(t_k, u_0) = u^{*}.
\]
Если $$t_0 < t_1 < \ldots < t_n < \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\omega$$-предельная точка. 
Если же $$t_0 > t_1 > \ldots > t_n > \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\alpha$$-предельная точка,

'''Определение''' Инвариантное множество $$L$$ относительно системы \eqref{*} - множество точек $$\hat{x}: \forall \hat{x} \in L ~ x(t,\hat{x}) \in L,~ \forall t \geqslant 0$$.

'''Определение.'''
Предельное множество $$w_{lim}(u_0)$$ - совокупность всех предельных точек.

'''Свойства предельного множества $$ w_{lim}(u_0):$$'''
# Предельное множество является замкнутым(точечным) множеством
# Предельное множество является инвариантным и состоит из целых траекторий.
# Для того, чтобы $$w_{lim}(u_0)$$ состояло из единственной точки необходимо и достаточно, чтобы вся траектория стремилась к $$ x^{*} \equiv w_{lim}(u_0),~ x(t,x_0) \to x^{*} $$ при $$ t \to +\infty$$.
# Чтобы $$w_{lim}(u_0) = \varnothing$$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось $$ \sum\limits_{i=1}^n x_i^2(t, x_0) \to +\infty$$ при $$ t \to +\infty$$.

''' Необходимое условие инвариантности:'''
Пусть у нас есть вектор-функция $$f$$ из задачи \eqref{*}.
Рассмотрим область $$D$$ с гладкой границей $$\partial D$$ и вектор нормали $$n$$: 
Если $$ <f, n> \leqslant 0$$ выполняется для любой точки на границе $$\partial D$$, то область $$D$$ инвариантна относительно \eqref{*}.

=Теорема Дюлака-Бендиксона=

Теперь рассмотрим двумерную область $$(x_1, x_2) \in D \subset \mathbb{R}^2$$ и в ней систему
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} = f_1(x_1, x_2), \\
\dot{x_2} = f_2(x_1, x_2).
\label{**} \tag{**}
\end{cases}
\]
Далее будут рассматриваться случаи, где $$D$$ - односвязная область.

Для доказательства теоремы нам потребуется Формула Грина, напомним, что это такое. 
Пусть у нас есть некоторая вектор-функция $$(P(x,y), Q(x,y))$$

\[
\int\limits_{\partial D} \Big(P(x,y) dx + Q(x,y) dy \Big) =
\iint\limits_{D} \Big( \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \Big)dxdy
\tag{G} \label{Формула Грина}
\]

'''Теорема Дюлака-Бендиксона.'''
Если $$div f = \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2}$$ знакоопределена, то есть либо $$div f > 0$$, либо $$div f < 0$$ в области $$D$$, тогда в $$D$$ нет замкнутых траекторий системы \eqref{**}.

'''Доказательство:'''
Доказательство будет построено от противного. 

Предположим обратное, пусть в $$D$$ существует замкнутая траектория (будет обозначать её $$\gamma$$, а область, соответствующую ей - $$\Gamma$$). 
В равенстве \eqref{Формула Грина} возьмём
\[
Q(x_1,x_2) = f_1(x_1,x_2), \\
P(x_1,x_2) = - f_2(x_1,x_2).
\]

\[
\int\limits_{\partial \gamma} \Big(P(x_1,x_2) dx_1 + Q(x_1,x_2) dx_2 \Big) =
\iint\limits_{\Gamma} \Big( \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2} \Big)dx_1 dx_2 = \iint\limits_{\Gamma} div f dx_1 dx_2.
\tag{G1} \label{G1}
\]
С другой стороны, воспользуемся \eqref{**} и перепишем левую часть равенства \eqref{G1}
\[
\int\limits_{\partial \gamma} \Big(-f_2(x_1,x_2) f_1(x_1,x_2) dt + f_1(x_1,x_2) f_2(x_1,x_2) dt \Big) = 0.
\]
Таким образом, мы получаем противоречие со знакоопределенностью $$div f$$. 
Следовательно, в $$D$$ нет замкнутых траекторий \eqref{**}.

'''Теорема доказана'''

= Список литературы =
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Предельное поведение траекторий. Предельные циклы. Теорема Дюлака-Бендиксона

2024-12-10T18:23:23Z

Ilya24: /* Предельное поведение траекторий */

__TOC__

=Предельное поведение траекторий=
Рассмотрим [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамическую систему]
\[
\begin{cases}
\dot{u} = f(u), \\
u(0) = u_0.
\label{*} \tag{*}
\end{cases}
u \in U \subset \mathbb{R}^n.
\]

[[Файл:Stable cycle.png|мини|Пример устойчивого цикла]]

[[Файл:Non stable cycle.png|мини|Пример неустойчивого цикла]]

[[Файл:Semi Stable cycle.png|мини|Пример полуустойчивого цикла_1]]

[[Файл:Semi Stable2.png|мини|Пример полуустойчивого цикла_2]]

'''Определение.'''
Кривая $$\gamma$$ - предельный цикл \eqref{*}, если
# $$\gamma$$ - траектория системы,
# $$\gamma$$ - замкнутая кривая,
# в малой окрестности $$\gamma$$ нет других замкнутых траекторий.

Предельные циклы могут быть трёх видов
# устойчивые
# неустойчивые
# полуустойчивые.

''' Определение.'''
$$u^{*}$$ - предедельная точка системы \eqref{*}, если $$\exists \{ t_k \} : ~ t_k \to \infty$$ при $$k \to \infty$$ - последовательность моментов времени и начальное условие $$u_0$$:
\[
\lim\limits_{k \to \infty} u(t_k, u_0) = u^{*}.
\]
Если $$t_0 < t_1 < \ldots < t_n < \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\omega$$-предельная точка. 
Если же $$t_0 > t_1 > \ldots > t_n > \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\alpha$$-предельная точка,

'''Определение''' Инвариантное множество $$L$$ относительно системы \eqref{*} - множество точек $$\hat{x}: \forall \hat{x} \in L ~ x(t,\hat{x}) \in L,~ \forall t \geqslant 0$$.

'''Определение.'''
Предельное множество $$w_{lim}(u_0)$$ - совокупность всех предельных точек.

'''Свойства предельного множества $$ w_{lim}(u_0):$$'''
# Предельное множество является замкнутым(точечным) множеством
# Предельное множество является инвариантным и состоит из целых траекторий.
# Для того, чтобы $$w_{lim}(u_0)$$ состояло из единственной точки необходимо и достаточно, чтобы вся траектория стремилась к $$ x^{*} \equiv w_{lim}(u_0),~ x(t,x_0) \to x^{*} $$ при $$ t \to +\infty$$.
# Чтобы $$w_{lim}(u_0) = \varnothing$$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось $$ \sum\limits_{i=1}^n x_i^2(t, x_0) \to +\infty$$ при $$ t \to +\infty$$.

''' Необходимое условие инвариантности:'''
Пусть у нас есть вектор-функция $$f$$ из задачи \eqref{*}.
Рассмотрим область $$D$$ с гладкой границей $$\partial D$$ и вектор нормали $$n$$: 
Если $$ <f, n> \leqslant 0$$ выполняется для любой точки на границе $$\partial D$$, то область $$D$$ инвариантна относительно \eqref{*}.

=Теорема Дюлака-Бендиксона=

Теперь рассмотрим двумерную область $$(x_1, x_2) \in D \subset \mathbb{R}^2$$ и в ней систему
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} = f_1(x_1, x_2), \\
\dot{x_2} = f_2(x_1, x_2).
\label{**} \tag{**}
\end{cases}
\]
Далее будут рассматриваться случаи, где $$D$$ - односвязная область.

Для доказательства теоремы нам потребуется Формула Грина, напомним, что это такое. 
Пусть у нас есть некоторая вектор-функция $$(P(x,y), Q(x,y))$$

\[
\int\limits_{\partial D} \Big(P(x,y) dx + Q(x,y) dy \Big) =
\iint\limits_{D} \Big( \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \Big)dxdy
\tag{G} \label{Формула Грина}
\]

'''Теорема Дюлака-Бендиксона.'''
Если $$div f = \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2}$$ знакоопределена, то есть либо $$div f > 0$$, либо $$div f < 0$$ в области $$D$$, тогда в $$D$$ нет замкнутых траекторий системы \eqref{**}.

'''Доказательство:'''
Доказательство будет построено от противного. 

Предположим обратное, пусть в $$D$$ существует замкнутая траектория (будет обозначать её $$\gamma$$, а область, соответствующую ей - $$\Gamma$$). 
В равенстве \eqref{Формула Грина} возьмём
\[
Q(x_1,x_2) = f_1(x_1,x_2), \\
P(x_1,x_2) = - f_2(x_1,x_2).
\]

\[
\int\limits_{\partial \gamma} \Big(P(x_1,x_2) dx_1 + Q(x_1,x_2) dx_2 \Big) =
\iint\limits_{\Gamma} \Big( \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2} \Big)dx_1 dx_2 = \iint\limits_{\Gamma} div f dx_1 dx_2.
\tag{G1} \label{G1}
\]
С другой стороны, воспользуемся \eqref{**} и перепишем левую часть равенства \eqref{G1}
\[
\int\limits_{\partial \gamma} \Big(-f_2(x_1,x_2) f_1(x_1,x_2) dt + f_1(x_1,x_2) f_2(x_1,x_2) dt \Big) = 0.
\]
Таким образом, мы получаем противоречие со знакоопределенностью $$div f$$. 
Следовательно, в $$D$$ нет замкнутых траекторий \eqref{**}.

'''Теорема доказана'''

= Список литературы =
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Предельное поведение траекторий. Предельные циклы. Теорема Дюлака-Бендиксона

2024-12-10T18:22:57Z

Ilya24: /* Теорема Дюлака-Бендиксона */

__TOC__

=Предельное поведение траекторий=
Рассмотрим [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамическую систему]
\[
\begin{cases}
\dot{u} = f(u), \\
u(0) = u_0.
\label{*} \tag{*}
\end{cases}
u \in U \subset \mathbb{R}^n.
\]

[[Файл:Stable cycle.png|мини|Пример устойчивого цикла]]

[[Файл:Non stable cycle.png|мини|Пример неустойчивого цикла]]

[[Файл:Semi Stable cycle.png|мини|Пример полуустойчивого цикла_1]]

[[Файл:Semi Stable2.png|мини|Пример полуустойчивого цикла_2]]

'''Определение.'''
Кривая $$\gamma$$ - предельный цикл \eqref{*}, если
# $$\gamma$$ - траектория системы,
# $$\gamma$$ - замкнутая кривая,
# в малой окрестности $$\gamma$$ нет других замкнутых траекторий.

Предельные циклы могут быть трёх видов
# устойчивые
# неустойчивые
# полуустойчивые.

''' Определение.'''
$$u^{*}$$ - предедельная точка системы \eqref{*}, если $$\exists \{ t_k \} : ~ t_k \to \infty$$ при $$k \to \infty$$ - последовательность моментов времени и начальное условие $$u_0$$:
\[
\lim\limits_{k \to \infty} u(t_k, u_0) = u^{*}.
\]
Если $$t_0 < t_1 < \ldots < t_n < \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\omega$$-предельная точка. 
Если же $$t_0 > t_1 > \ldots > t_n > \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\alpha$$-предельная точка,

'''Определение''' Инвариантное множество $$L$$ отношение системы \eqref{*} - множество точек $$\hat{x}: \forall \hat{x} \in L ~ x(t,\hat{x}) \in L,~ \forall t \geqslant 0$$.

'''Определение.'''
Предельное множество $$w_{lim}(u_0)$$ - совокупность всех предельных точек.

'''Свойства предельного множества $$ w_{lim}(u_0):$$'''
# Предельное множество является замкнутым(точечным) множеством
# Предельное множество является инвариантным и состоит из целых траекторий.
# Для того, чтобы $$w_{lim}(u_0)$$ состояло из единственной точки необходимо и достаточно, чтобы вся траектория стремилась к $$ x^{*} \equiv w_{lim}(u_0),~ x(t,x_0) \to x^{*} $$ при $$ t \to +\infty$$.
# Чтобы $$w_{lim}(u_0) = \varnothing$$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось $$ \sum\limits_{i=1}^n x_i^2(t, x_0) \to +\infty$$ при $$ t \to +\infty$$.

''' Необходимое условие инвариантности:'''
Пусть у нас есть вектор-функция $$f$$ из задачи \eqref{*}.
Рассмотрим область $$D$$ с гладкой границей $$\partial D$$ и вектор нормали $$n$$: 
Если $$ <f, n> \leqslant 0$$ выполняется для любой точки на границе $$\partial D$$, то область $$D$$ инвариантна относительно \eqref{*}.

=Теорема Дюлака-Бендиксона=

Теперь рассмотрим двумерную область $$(x_1, x_2) \in D \subset \mathbb{R}^2$$ и в ней систему
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} = f_1(x_1, x_2), \\
\dot{x_2} = f_2(x_1, x_2).
\label{**} \tag{**}
\end{cases}
\]
Далее будут рассматриваться случаи, где $$D$$ - односвязная область.

Для доказательства теоремы нам потребуется Формула Грина, напомним, что это такое. 
Пусть у нас есть некоторая вектор-функция $$(P(x,y), Q(x,y))$$

\[
\int\limits_{\partial D} \Big(P(x,y) dx + Q(x,y) dy \Big) =
\iint\limits_{D} \Big( \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \Big)dxdy
\tag{G} \label{Формула Грина}
\]

'''Теорема Дюлака-Бендиксона.'''
Если $$div f = \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2}$$ знакоопределена, то есть либо $$div f > 0$$, либо $$div f < 0$$ в области $$D$$, тогда в $$D$$ нет замкнутых траекторий системы \eqref{**}.

'''Доказательство:'''
Доказательство будет построено от противного. 

Предположим обратное, пусть в $$D$$ существует замкнутая траектория (будет обозначать её $$\gamma$$, а область, соответствующую ей - $$\Gamma$$). 
В равенстве \eqref{Формула Грина} возьмём
\[
Q(x_1,x_2) = f_1(x_1,x_2), \\
P(x_1,x_2) = - f_2(x_1,x_2).
\]

\[
\int\limits_{\partial \gamma} \Big(P(x_1,x_2) dx_1 + Q(x_1,x_2) dx_2 \Big) =
\iint\limits_{\Gamma} \Big( \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2} \Big)dx_1 dx_2 = \iint\limits_{\Gamma} div f dx_1 dx_2.
\tag{G1} \label{G1}
\]
С другой стороны, воспользуемся \eqref{**} и перепишем левую часть равенства \eqref{G1}
\[
\int\limits_{\partial \gamma} \Big(-f_2(x_1,x_2) f_1(x_1,x_2) dt + f_1(x_1,x_2) f_2(x_1,x_2) dt \Big) = 0.
\]
Таким образом, мы получаем противоречие со знакоопределенностью $$div f$$. 
Следовательно, в $$D$$ нет замкнутых траекторий \eqref{**}.

'''Теорема доказана'''

= Список литературы =
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Файл:Stable cycle.png

2024-12-10T18:18:44Z

Ilya24: Ilya24 загрузил новую версию Файл:Stable cycle.png

Пример устойчивого цикла

Файл:Non stable cycle.png

2024-12-10T18:18:28Z

Ilya24: Ilya24 загрузил новую версию Файл:Non stable cycle.png

Пример неустойчивого цикла

Файл:Semi Stable cycle.png

2024-12-10T18:17:41Z

Ilya24: Ilya24 загрузил новую версию Файл:Semi Stable cycle.png

Пример полуустойчивого цикла_1

Файл:Semi Stable2.png

2024-12-10T18:17:22Z

Ilya24: Ilya24 загрузил новую версию Файл:Semi Stable2.png

Пример полуустойчивого цикла_2

Предельное поведение траекторий. Предельные циклы. Теорема Дюлака-Бендиксона

2024-12-09T20:39:45Z

Ilya24:

__TOC__

=Предельное поведение траекторий=
Рассмотрим [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Динамическая_система динамическую систему]
\[
\begin{cases}
\dot{u} = f(u), \\
u(0) = u_0.
\label{*} \tag{*}
\end{cases}
u \in U \subset \mathbb{R}^n.
\]

[[Файл:Stable cycle.png|мини|Пример устойчивого цикла]]

[[Файл:Non stable cycle.png|мини|Пример неустойчивого цикла]]

[[Файл:Semi Stable cycle.png|мини|Пример полуустойчивого цикла_1]]

[[Файл:Semi Stable2.png|мини|Пример полуустойчивого цикла_2]]

'''Определение.'''
Кривая $$\gamma$$ - предельный цикл \eqref{*}, если
# $$\gamma$$ - траектория системы,
# $$\gamma$$ - замкнутая кривая,
# в малой окрестности $$\gamma$$ нет других замкнутых траекторий.

Предельные циклы могут быть трёх видов
# устойчивые
# неустойчивые
# полуустойчивые.

''' Определение.'''
$$u^{*}$$ - предедельная точка системы \eqref{*}, если $$\exists \{ t_k \} : ~ t_k \to \infty$$ при $$k \to \infty$$ - последовательность моментов времени и начальное условие $$u_0$$:
\[
\lim\limits_{k \to \infty} u(t_k, u_0) = u^{*}.
\]
Если $$t_0 < t_1 < \ldots < t_n < \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\omega$$-предельная точка. 
Если же $$t_0 > t_1 > \ldots > t_n > \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\alpha$$-предельная точка,

'''Определение''' Инвариантное множество $$L$$ отношение системы \eqref{*} - множество точек $$\hat{x}: \forall \hat{x} \in L ~ x(t,\hat{x}) \in L,~ \forall t \geqslant 0$$.

'''Определение.'''
Предельное множество $$w_{lim}(u_0)$$ - совокупность всех предельных точек.

'''Свойства предельного множества $$ w_{lim}(u_0):$$'''
# Предельное множество является замкнутым(точечным) множеством
# Предельное множество является инвариантным и состоит из целых траекторий.
# Для того, чтобы $$w_{lim}(u_0)$$ состояло из единственной точки необходимо и достаточно, чтобы вся траектория стремилась к $$ x^{*} \equiv w_{lim}(u_0),~ x(t,x_0) \to x^{*} $$ при $$ t \to +\infty$$.
# Чтобы $$w_{lim}(u_0) = \varnothing$$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось $$ \sum\limits_{i=1}^n x_i^2(t, x_0) \to +\infty$$ при $$ t \to +\infty$$.

''' Необходимое условие инвариантности:'''
Пусть у нас есть вектор-функция $$f$$ из задачи \eqref{*}.
Рассмотрим область $$D$$ с гладкой границей $$\partial D$$ и вектор нормали $$n$$: 
Если $$ <f, n> \leqslant 0$$ выполняется для любой точки на границе $$\partial D$$, то область $$D$$ инвариантна относительно \eqref{*}.

=Теорема Дюлака-Бендиксона=

Теперь рассмотрим двумерную область $$(x_1, x_2) \in D \subset \mathbb{R}^2$$ и в ней систему
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} = f_1(x_1, x_2), \\
\dot{x_2} = f_2(x_1, x_2).
\label{**}, \tag{**}
\end{cases}
\]
Далее будут рассматриваться случаи, где $$D$$ - односвязная область.

Для доказательства теоремы нам потребуется Формула Грина, напомним, что это такое. 
Пусть у нас есть некоторая вектор-функция $$(P(x,y), Q(x,y))$$

\[
\int\limits_{\partial D} \Big(P(x,y) dx + Q(x,y) dy \Big) =
\iint\limits_{D} \Big( \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \Big)dxdy
\tag{G} \label{Формула Грина}
\]

'''Теорема Дюлака-Бендиксона.'''
Если $$div f = \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2}$$ знакоопределена, то есть либо $$div f > 0$$, либо $$div f < 0$$ в области $$D$$, тогда в $$D$$ нет замкнутых траекторий системы \eqref{**}.

'''Доказательство:'''
Доказательство будет построено от противного. 

Предположим обратное, пусть в $D$ существует замкнутая траектория (будет обозначать её $$\gamma$$, а область, соответствующую ей - $$\Gamma$$). 
В равенстве \eqref{Формула Грина} возьмём
\[
Q(x_1,x_2) = f_1(x_1,x_2), \\
P(x_1,x_2) = - f_2(x_1,x_2).
\]

\[
\int\limits_{\partial \gamma} \Big(P(x_1,x_2) dx_1 + Q(x_1,x_2) dx_2 \Big) =
\iint\limits_{\Gamma} \Big( \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2} \Big)dx_1 dx_2 = \iint\limits_{\Gamma} div f dx_1 dx_2.
\tag{G1} \label{G1}
\]
С другой стороны, воспользуемся \eqref{**} и перепишем левую часть равенства \eqref{G1}
\[
\int\limits_{\partial \gamma} \Big(-f_2(x_1,x_2) f_1(x_1,x_2) dt + f_1(x_1,x_2) f_2(x_1,x_2) dt \Big) = 0.
\]
Таким образом, мы получаем противоречие со знакоопределенностью $$div f$$. 
Следовательно, в $$D$$ нет замкнутых траекторий \eqref{**}.

'''Теорема доказана'''

= Список литературы =
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Предельное поведение траекторий. Предельные циклы. Теорема Дюлака-Бендиксона

2024-12-09T20:29:30Z

Ilya24: Новая страница: « =Предельное поведение траекторий= \[ \begin{cases} \dot{u} = f(u), \\ u(0) = u_0. \label{*} \tag{*} \end{cases} u \in U...»

=Предельное поведение траекторий=

\[
\begin{cases}
\dot{u} = f(u), \\
u(0) = u_0.
\label{*} \tag{*}
\end{cases}
u \in U \subset \mathbb{R}^n.
\]

[[Файл:Stable cycle.png|мини|Пример устойчивого цикла]]

[[Файл:Non stable cycle.png|мини|Пример неустойчивого цикла]]

[[Файл:Semi Stable cycle.png|мини|Пример полуустойчивого цикла_1]]

[[Файл:Semi Stable2.png|мини|Пример полуустойчивого цикла_2]]

'''Определение.'''
Кривая $$\gamma$$ - предельный цикл \eqref{*}, если
# $$\gamma$$ - траектория системы,
# $$\gamma$$ - замкнутая кривая,
# в малой окрестности $$\gamma$$ нет других замкнутых траекторий.

Предельные циклы могут быть трёх видов
# устойчивые
# неустойчивые
# полуустойчивые.

''' Определение.'''
$$u^{*}$$ - предедельная точка системы \eqref{*}, если $$\exists \{ t_k \} : ~ t_k \to \infty$$ при $$k \to \infty$$ - последовательность моментов времени и начальное условие $$u_0$$:
\[
\lim\limits_{k \to \infty} u(t_k, u_0) = u^{*}.
\]
Если $$t_0 < t_1 < \ldots < t_n < \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\omega$$-предельная точка. 
Если же $$t_0 > t_1 > \ldots > t_n > \ldots $$, значит $$u^{*}$$ - $$\alpha$$-предельная точка,

'''Определение''' Инвариантное множество $$L$$ отношение системы \eqref{*} - множество точек $$\hat{x}: \forall \hat{x} \in L ~ x(t,\hat{x}) \in L,~ \forall t \geqslant 0$$.

'''Определение.'''
Предельное множество $$w_{lim}(u_0)$$ - совокупность всех предельных точек.

'''Свойства $$ w_{lim}(u_0):$$'''
# Предельное множество является замкнутым(точечным) множеством
# Предельное множество является инвариантным и состоит из целых траекторий.
# Для того, чтобы $$w_{lim}(u_0)$$ состояло из единственной точки необходимо и достаточно, чтобы вся траектория стремилась к $$ x^{*} \equiv w_{lim}(u_0),~ x(t,x_0) \to x^{*} $$ при $$ t \to +\infty$$.
# Чтобы $$w_{lim}(u_0) = \varnothing$$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось $$ \sum\limits_{i=1}^n x_i^2(t, x_0) \to +\infty$$ при $$ t \to +\infty$$.

''' Необходимое условие инвариантности:'''
Пусть у нас есть вектор-функция $$f$$ из задачи \eqref{*}.
Рассмотрим область $$D$$ с гладкой границей $$\partial D$$ и вектор нормали $$n$$: 
Если $$ <f, n> \leqslant 0$$ выполняется для любой точки на границе $$\partial D$$, то область $$D$$ инвариантна относительно \eqref{*}.

=Теорема Дюлака-Бендиксона=

Теперь рассмотрим двумерную область $$(x_1, x_2) \in D \subset \mathbb{R}^2$$ и в ней систему
\[
\begin{cases}
\dot{x_1} = f_1(x_1, x_2), \\
\dot{x_2} = f_2(x_1, x_2).
\label{**}, \tag{**}
\end{cases}
\]
Далее будут рассматриваться случаи, где $$D$$ - односвязная область.

Для доказательства теоремы нам потребуется Формула Грина, напомним, что это такое. 
Пусть у нас есть некоторая вектор-функция $$(P(x,y), Q(x,y))$$

\[
\int\limits_{\partial D} \Big(P(x,y) dx + Q(x,y) dy \Big) =
\iint\limits_{D} \Big( \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} - \frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \Big)dxdy
\tag{G} \label{Формула Грина}
\]

'''Теорема Дюлака-Бендиксона.'''
Если $$div f = \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2}$$ знакоопределена, то есть либо $$div f > 0$$, либо $$div f < 0$$ в области $$D$$, тогда в $$D$$ нет замкнутых траекторий системы \eqref{**}.

'''Доказательство:'''
Доказательство будет построено от противного. 

Предположим обратное, пусть в $D$ существует замкнутая траектория (будет обозначать её $$\gamma$$, а область, соответствующую ей - $$\Gamma$$). 
В равенстве \eqref{Формула Грина} возьмём
\[
Q(x_1,x_2) = f_1(x_1,x_2), \\
P(x_1,x_2) = - f_2(x_1,x_2).
\]

\[
\int\limits_{\partial \gamma} \Big(P(x_1,x_2) dx_1 + Q(x_1,x_2) dx_2 \Big) =
\iint\limits_{\Gamma} \Big( \frac{\partial f_1(x_1,x_2)}{\partial x_1} + \frac{\partial f_2(x_1,x_2)}{\partial x_2} \Big)dx_1 dx_2 = \iint\limits_{\Gamma} div f dx_1 dx_2.
\tag{G1} \label{G1}
\]
С другой стороны, воспользуемся \eqref{**} и перепишем левую часть равенства \eqref{G1}
\[
\int\limits_{\partial \gamma} \Big(-f_2(x_1,x_2) f_1(x_1,x_2) dt + f_1(x_1,x_2) f_2(x_1,x_2) dt \Big) = 0.
\]
Таким образом, мы получаем противоречие со знакоопределенностью $$div f$$. 
Следовательно, в $$D$$ нет замкнутых траекторий \eqref{**}.

'''Теорема доказана'''

Файл:Semi Stable2.png

2024-12-09T19:56:53Z

Ilya24:

Пример полуустойчивого цикла_2

Файл:Semi Stable cycle.png

2024-12-09T19:49:55Z

Ilya24:

Пример полуустойчивого цикла_1

Файл:Non stable cycle.png

2024-12-09T19:48:09Z

Ilya24:

Пример неустойчивого цикла

Файл:Stable cycle.png

2024-12-09T19:47:24Z

Ilya24:

Пример устойчивого цикла