Принцип сжимающих отображений

2025-12-20T19:41:57Z

Ilya25:

Принцип сжимающих отображений

2025-12-20T19:40:56Z

Ilya25:

Принцип сжимающих отображений

2025-12-20T19:32:38Z

Ilya25:

Принцип сжимающих отображений

2025-12-20T19:22:58Z

Ilya25:

== Последовательности ==

'''Определение.''' $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство#:~:text=Метрическим%20пространством}{\text{Метрическим пространством}}$$ $$M$$ называется множество элементов
$$x, y, \dots,$$ в котором любой паре элементов $$x, y$$ поставлено в соответствие некоторое число
$$d(x, y),$$ называемое метрикой или расстоянием, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. $$\, d(x, y) \ge 0,\ \text{причём } d(x, y) = 0 \;\Leftrightarrow\; x = y.$$

2. $$\, d(x, y) = d(y, x).$$

3. $$\, d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y), \quad \forall x, y, z \in M \ \text{(неравенство треугольника).}$$

'''Определение.''' Последовательность $$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$$, где все $$x_n \in M$$,
называется '''сходящейся''' к элементу $$x \in M$$, если

\[
\lim_{n \to \infty} d(x_n, x) = 0.
\]

'''Определение.''' Последовательность $$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$$, где все $$x_n \in M$$,
называется '''фундаментальной''' (последовательностью Коши), если

\[
\lim_{m,n \to \infty} d(x_n, x_m) = 0,
\]

то есть

\[
\forall \varepsilon > 0 \ \exists N = N(\varepsilon) :
\forall n, m > N \quad d(x_n, x_m) < \varepsilon.
\]

== Отображения ==

'''Определение.''' Метрическое пространство $$M$$ называется '''полным''',
если всякая фундаментальная последовательность сходится в $$M$$.

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство#:~:text=Метрическим%20пространством}{\text{метрические пространства}}$$.

'''Определение.''' Отображение $$\, f : X \to Y$$ называется '''непрерывным''' в точке $$x \in X$$,
если для любой последовательности $$\{x_n\}$$, сходящейся к $$x$$, выполняется

\[
x_n \to x \;\Rightarrow\; f(x_n) \to f(x).
\]

'''Определение.''' Отображение $$\, f : M \to M$$ называется '''сжимающим''',
если существует число $$\alpha \in (0,1)$$ такое, что

\[
d(f(x), f(y)) \le \alpha\, d(x, y), \qquad \forall x, y \in M.
\]

== Теорема о сжимающих отображениях ==

'''Теорема (принцип сжимающих отображений).'''
У любого сжимающего отображения, действующего в полном метрическом пространстве,
существует и притом единственная неподвижная точка.

'''Доказательство.'''
Пусть $$M$$ — $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство#:~:text=называется%20полным}{\text{полное метрическое пространство}}$$,
$$\, f : M \to M$$ — сжимающее отображение.
Возьмём произвольный $$x_0 \in M$$ и построим последовательность
$$x_{n+1} = f(x_n)$$.

Так как (для определённости полагаем $$n > m$$)

\[
d(x_{n+1}, x_n) \le \alpha d(x_n, x_{n-1}) \le \dots \le \alpha^n d(x_1, x_0),
\]

то

\[
d(x_n, x_m) \le d(x_n, x_{n-1}) + \dots + d(x_{m+1}, x_m)
\le (\alpha^{\,n-1} + \dots + \alpha^{\,m}) d(x_1, x_0)
\le \frac{\alpha^{\,m}}{1 - \alpha}\, d(x_1, x_0),
\]

следовательно, эта последовательность фундаментальна.
Поскольку пространство $$M$$ полно, существует её предел $$x$$.

Переходя к пределу в равенстве $$x_{n+1} = f(x_n)$$, получаем
$$x = f(x)$$. Легко видеть, что другой неподвижной точки быть не может.
Теорема доказана.

'''Замечание.'''
Скорость сходимости:

\[
d(x_n, x) \le \alpha^n\, \frac{d(x_1, x_0)}{1 - \alpha}.
\]

== Теоремы о сжимающих отображениях ==

'''Теорема.'''
Пусть $$M$$ — полное метрическое пространство,
$$\, f : M \to M$$, $$\, f^m$$ — сжимающее при некотором $$m \in \mathbb{N}$$.
Тогда $$\exists !\, x \in M : f(x) = x$$.

'''Доказательство.'''
В силу принципа сжимающих отображений $$\exists !\, x \in M : f^{\,m}(x) = x$$.
Но тогда

\[
d(f(x), x) = d(f(f^{\,m}(x)), f^{\,m}(x))
= d(f^{\,m}(f(x)), f^{\,m}(x))
\le \alpha\, d(f(x), x) \;\Rightarrow\; d(f(x), x) = 0.
\]

Единственность вытекает из того, что если $$x$$ — неподвижная точка для $$f$$,
то она неподвижная и для $$f^{\,m}$$. Теорема доказана.

'''Теорема.'''
Пусть $$M$$ — полное метрическое пространство,
$$\, f : \overline{B(x_0, r)} \to M$$,
$$\, f$$ — сжимающее на $$\overline{B(x_0, r)}$$ и
$$d(f(x_0), x_0) \le (1 - \alpha) r$$.
Тогда $$\exists !\, x \in \overline{B(x_0, r)} : f(x) = x$$.

Достаточно заметить, что
$$f : \overline{B(x_0, r)} \to \overline{B(x_0, r)}$$:

\[
d(f(x), x_0)
\le d(f(x), f(x_0)) + d(f(x_0), x_0)
\le \alpha d(x, x_0) + (1 - \alpha) r \le r ,
\]

и взять $$\overline{B(x_0, r)}$$ в качестве полного метрического пространства.

'''Замечание.'''
Если вместо неравенства
\[
d(f(x), f(y)) \le \alpha d(x, y)
\]
выполнено лишь строгое неравенство
$$d(f(x), f(y)) < d(x, y), \; x \ne y,$$
то неподвижной точки может и не быть.

== Теорема о неподвижной точке в компактном пространстве ==

'''Определение.'''
Метрическое пространство называется '''компактным''',
если из любой последовательности его элементов можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

'''Теорема.'''
Пусть $$M$$ — полное метрическое и компактное пространство,
$$\, f : M \to M$$,
и выполнено строгое сжатие

\[
d(f(x), f(y)) < d(x, y) \quad \forall\, x, y \in M,\; x \ne y.
\]

Тогда $$\exists !\, x \in M : f(x) = x.$$

'''Доказательство.'''
Обозначим

\[
d_0 = \inf_{x \in M} d(f(x), x) \ge 0.
\]

Если $$d_0 = 0$$, то $$\exists\, x_n \in M :\; d(f(x_n), x_n) \to 0.$$
В силу компактности $$\exists\, x_{n_k} \to x \in M$$.
Легко убедиться, что $$f(x) = x.$$

Если $$d_0 > 0$$, то, рассуждая аналогично, находим $$x_0 :\; d(f(x_0), x_0) = d_0$$.
Но тогда

\[
d_0 = d(f(f(x_0)), f(x_0)) < d(f(x_0), x_0) = d_0,
\]

что является противоречием.

Единственность легко доказывается от противного:

\[
d(x, \tilde{x}) = d(f(x), f(\tilde{x})) < d(x, \tilde{x}).
\]

Теорема доказана.

== Примеры ==

'''Пример 1. Линейное интегральное уравнение'''

\[
x(t) = \lambda \int_a^b K(t,\tau)\, x(\tau)\, d\tau + y(t), \quad t \in [a,b],
\]

где $$K(t,\tau) \in C([a,b]\times[a,b]),\; \lambda \in \mathbb{C}.$$

Положим
$$M = C[a,b], \qquad d(x,y) = \max_{t \in [a,b]} |x(t) - y(t)|, \qquad
K_1 = \max_{t \in [a,b]} \int_a^b |K(t,\tau)|\, d\tau.$$

Тогда

\[
f(x(t)) = \lambda \int_a^b K(t,\tau)\, x(\tau)\, d\tau + y(t),
\]

и оператор $$f$$ является сжимающим при условии
\[
|\lambda| K_1 < 1.
\]

'''Пример 2. Нелинейное интегральное уравнение'''

\[
x(t) = \lambda \int_a^b K(t,\tau, x(\tau))\, d\tau + y(t), \quad t \in [a,b],
\]

где $$K(t,\tau,s) \in C([a,b]\times[a,b]\times \mathbb{R}),\; \lambda \in \mathbb{C}.$$

Положим
$$M = C[a,b], \qquad d(x,y) = \max_{t \in [a,b]} |x(t)-y(t)|.$$

Тогда

\[
f(x(t)) = \lambda \int_a^b K(t,\tau, x(\tau))\, d\tau + y(t).
\]

Потребуем, чтобы ядро удовлетворяло условию Липшица по третьему аргументу:

\[
|K(t,\tau, z_2) - K(t,\tau, z_1)| \le K_0 |z_2 - z_1|
\]

равномерно по остальным аргументам. Тогда оператор $$f$$ — сжимающий при

\[
|\lambda| K_0 (b-a) < 1.
\]

'''Пример 3. Уравнение Вольтерра'''

\[
x(t) = \lambda \int_a^t K(t,\tau)\, x(\tau)\, d\tau + y(t), \quad t \in [a,b],
\]

где $$K(t,\tau) \in C([a,b]\times[a,b]),\; \lambda \in \mathbb{C}.$$

Положим
$$M = C[a,b], \qquad d(x,y) = \max_{t \in [a,b]} |x(t)-y(t)|,$$
и
$$K_0 = \max_{t,\tau \in [a,b]} |K(t,\tau)|.$$

Тогда

\[
f(x(t)) = \lambda \int_a^b K(t,\tau)\, x(\tau)\, d\tau + y(t).
\]

Из оценки

\[
|f(x_2) - f(x_1)| \le |\lambda| K_0 (t-a)\, d(x_1, x_2),
\]

и более общей оценки

\[
|f^{\,m}(x_2) - f^{\,m}(x_1)|
\le \frac{(|\lambda| K_0 (b-a))^m}{m!}\, d(x_1, x_2),
\]

следует, что $$f^{\,m}$$ становится сжимающим при некотором $$m$$.
Отсюда получается однозначная разрешимость уравнения Вольтерра при любом $$\lambda$$.

== Список литературы ==
1. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

Принцип сжимающих отображений

2025-12-20T19:18:04Z

Ilya25:

Принцип сжимающих отображений

2025-12-20T19:17:42Z

Ilya25:

Принцип сжимающих отображений

2025-12-20T19:07:48Z

Ilya25:

== Последовательности ==

'''Определение.''' Метрическим пространством $$M$$ называется множество элементов
$$x, y, \dots,$$ в котором любой паре элементов $$x, y$$ поставлено в соответствие некоторое число
$$d(x, y),$$ называемое метрикой или расстоянием, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. $$\, d(x, y) \ge 0,\ \text{причём } d(x, y) = 0 \;\Leftrightarrow\; x = y.$$

2. $$\, d(x, y) = d(y, x).$$

3. $$\, d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y), \quad \forall x, y, z \in M \ \text{(неравенство треугольника).}$$

'''Определение.''' Последовательность $$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$$, где все $$x_n \in M$$,
называется '''сходящейся''' к элементу $$x \in M$$, если

\[
\lim_{n \to \infty} d(x_n, x) = 0.
\]

'''Определение.''' Последовательность $$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$$, где все $$x_n \in M$$,
называется '''фундаментальной''' (последовательностью Коши), если

\[
\lim_{m,n \to \infty} d(x_n, x_m) = 0,
\]

то есть

\[
\forall \varepsilon > 0 \ \exists N = N(\varepsilon) :
\forall n, m > N \quad d(x_n, x_m) < \varepsilon.
\]

== Отображения ==

'''Определение.''' Метрическое пространство $$M$$ называется '''полным''',
если всякая фундаментальная последовательность сходится в $$M$$.

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — метрические пространства.

'''Определение.''' Отображение $$\, f : X \to Y$$ называется '''непрерывным''' в точке $$x \in X$$,
если для любой последовательности $$\{x_n\}$$, сходящейся к $$x$$, выполняется

\[
x_n \to x \;\Rightarrow\; f(x_n) \to f(x).
\]

'''Определение.''' Отображение $$\, f : M \to M$$ называется '''сжимающим''',
если существует число $$\alpha \in (0,1)$$ такое, что

\[
d(f(x), f(y)) \le \alpha\, d(x, y), \qquad \forall x, y \in M.
\]

== Теорема о сжимающих отображениях ==

'''Теорема (принцип сжимающих отображений).'''
У любого сжимающего отображения, действующего в полном метрическом пространстве,
существует и притом единственная неподвижная точка.

'''Доказательство.'''
Пусть $$M$$ — полное метрическое пространство,
$$\, f : M \to M$$ — сжимающее отображение.
Возьмём произвольный $$x_0 \in M$$ и построим последовательность
$$x_{n+1} = f(x_n)$$.

Так как (для определённости полагаем $$n > m$$)

\[
d(x_{n+1}, x_n) \le \alpha d(x_n, x_{n-1}) \le \dots \le \alpha^n d(x_1, x_0),
\]

то

\[
d(x_n, x_m) \le d(x_n, x_{n-1}) + \dots + d(x_{m+1}, x_m)
\le (\alpha^{\,n-1} + \dots + \alpha^{\,m}) d(x_1, x_0)
\le \frac{\alpha^{\,m}}{1 - \alpha}\, d(x_1, x_0),
\]

следовательно, эта последовательность фундаментальна.
Поскольку пространство $$M$$ полно, существует её предел $$x$$.

Переходя к пределу в равенстве $$x_{n+1} = f(x_n)$$, получаем
$$x = f(x)$$. Легко видеть, что другой неподвижной точки быть не может.
Теорема доказана.

'''Замечание.'''
Скорость сходимости:

\[
d(x_n, x) \le \alpha^n\, \frac{d(x_1, x_0)}{1 - \alpha}.
\]

== Теоремы о сжимающих отображениях ==

'''Теорема.'''
Пусть $$M$$ — полное метрическое пространство,
$$\, f : M \to M$$, $$\, f^m$$ — сжимающее при некотором $$m \in \mathbb{N}$$.
Тогда $$\exists !\, x \in M : f(x) = x$$.

'''Доказательство.'''
В силу принципа сжимающих отображений $$\exists !\, x \in M : f^{\,m}(x) = x$$.
Но тогда

\[
d(f(x), x) = d(f(f^{\,m}(x)), f^{\,m}(x))
= d(f^{\,m}(f(x)), f^{\,m}(x))
\le \alpha\, d(f(x), x) \;\Rightarrow\; d(f(x), x) = 0.
\]

Единственность вытекает из того, что если $$x$$ — неподвижная точка для $$f$$,
то она неподвижная и для $$f^{\,m}$$. Теорема доказана.

'''Теорема.'''
Пусть $$M$$ — полное метрическое пространство,
$$\, f : \overline{B(x_0, r)} \to M$$,
$$\, f$$ — сжимающее на $$\overline{B(x_0, r)}$$ и
$$d(f(x_0), x_0) \le (1 - \alpha) r$$.
Тогда $$\exists !\, x \in \overline{B(x_0, r)} : f(x) = x$$.

Достаточно заметить, что
$$f : \overline{B(x_0, r)} \to \overline{B(x_0, r)}$$:

\[
d(f(x), x_0)
\le d(f(x), f(x_0)) + d(f(x_0), x_0)
\le \alpha d(x, x_0) + (1 - \alpha) r \le r ,
\]

и взять $$\overline{B(x_0, r)}$$ в качестве полного метрического пространства.

'''Замечание.'''
Если вместо неравенства
\[
d(f(x), f(y)) \le \alpha d(x, y)
\]
выполнено лишь строгое неравенство
$$d(f(x), f(y)) < d(x, y), \; x \ne y,$$
то неподвижной точки может и не быть.

== Теорема о неподвижной точке в компактном пространстве ==

'''Определение.'''
Метрическое пространство называется '''компактным''',
если из любой последовательности его элементов можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

'''Теорема.'''
Пусть $$M$$ — полное метрическое и компактное пространство,
$$\, f : M \to M$$,
и выполнено строгое сжатие

\[
d(f(x), f(y)) < d(x, y) \quad \forall\, x, y \in M,\; x \ne y.
\]

Тогда $$\exists !\, x \in M : f(x) = x.$$

'''Доказательство.'''
Обозначим

\[
d_0 = \inf_{x \in M} d(f(x), x) \ge 0.
\]

Если $$d_0 = 0$$, то $$\exists\, x_n \in M :\; d(f(x_n), x_n) \to 0.$$
В силу компактности $$\exists\, x_{n_k} \to x \in M$$.
Легко убедиться, что $$f(x) = x.$$

Если $$d_0 > 0$$, то, рассуждая аналогично, находим $$x_0 :\; d(f(x_0), x_0) = d_0$$.
Но тогда

\[
d_0 = d(f(f(x_0)), f(x_0)) < d(f(x_0), x_0) = d_0,
\]

что является противоречием.

Единственность легко доказывается от противного:

\[
d(x, \tilde{x}) = d(f(x), f(\tilde{x})) < d(x, \tilde{x}).
\]

Теорема доказана.

== Примеры ==

'''Пример 1. Линейное интегральное уравнение'''

\[
x(t) = \lambda \int_a^b K(t,\tau)\, x(\tau)\, d\tau + y(t), \quad t \in [a,b],
\]

где $$K(t,\tau) \in C([a,b]\times[a,b]),\; \lambda \in \mathbb{C}.$$

Положим
$$M = C[a,b], \qquad d(x,y) = \max_{t \in [a,b]} |x(t) - y(t)|, \qquad
K_1 = \max_{t \in [a,b]} \int_a^b |K(t,\tau)|\, d\tau.$$

Тогда

\[
f(x(t)) = \lambda \int_a^b K(t,\tau)\, x(\tau)\, d\tau + y(t),
\]

и оператор $$f$$ является сжимающим при условии
\[
|\lambda| K_1 < 1.
\]

'''Пример 2. Нелинейное интегральное уравнение'''

\[
x(t) = \lambda \int_a^b K(t,\tau, x(\tau))\, d\tau + y(t), \quad t \in [a,b],
\]

где $$K(t,\tau,s) \in C([a,b]\times[a,b]\times \mathbb{R}),\; \lambda \in \mathbb{C}.$$

Положим
$$M = C[a,b], \qquad d(x,y) = \max_{t \in [a,b]} |x(t)-y(t)|.$$

Тогда

\[
f(x(t)) = \lambda \int_a^b K(t,\tau, x(\tau))\, d\tau + y(t).
\]

Потребуем, чтобы ядро удовлетворяло условию Липшица по третьему аргументу:

\[
|K(t,\tau, z_2) - K(t,\tau, z_1)| \le K_0 |z_2 - z_1|
\]

равномерно по остальным аргументам. Тогда оператор $$f$$ — сжимающий при

\[
|\lambda| K_0 (b-a) < 1.
\]

'''Пример 3. Уравнение Вольтерра'''

\[
x(t) = \lambda \int_a^t K(t,\tau)\, x(\tau)\, d\tau + y(t), \quad t \in [a,b],
\]

где $$K(t,\tau) \in C([a,b]\times[a,b]),\; \lambda \in \mathbb{C}.$$

Положим
$$M = C[a,b], \qquad d(x,y) = \max_{t \in [a,b]} |x(t)-y(t)|,$$
и
$$K_0 = \max_{t,\tau \in [a,b]} |K(t,\tau)|.$$

Тогда

\[
f(x(t)) = \lambda \int_a^b K(t,\tau)\, x(\tau)\, d\tau + y(t).
\]

Из оценки

\[
|f(x_2) - f(x_1)| \le |\lambda| K_0 (t-a)\, d(x_1, x_2),
\]

и более общей оценки

\[
|f^{\,m}(x_2) - f^{\,m}(x_1)|
\le \frac{(|\lambda| K_0 (b-a))^m}{m!}\, d(x_1, x_2),
\]

следует, что $$f^{\,m}$$ становится сжимающим при некотором $$m$$.
Отсюда получается однозначная разрешимость уравнения Вольтерра при любом $$\lambda$$.

== Список литературы ==
1. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

2025-12-03T22:16:40Z

Ilya25: Новая страница: «== Последовательности == '''Определение 1.''' Последовательность $$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$$, где все $$x_n \...»