sawiki - Вклад участника [ru]

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T14:26:52Z

Konst25: /* Свойства сопряженных операторов */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Доказательство свойств.''
1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{K}(\mathbb{R} или \mathbb{C})$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $$g \in Y^*$$, $$x \in X$$. Тогда:

$$((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).$$

3.1)$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный).
По линейности функционала $$g$$:
$$g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).$$
Следовательно, $$(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.

3.2)$$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный).
По определению значения функционала на скалярно умноженном векторе в комплексном случае:
$$g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax).$$
Тогда:
$$\overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).$$
Таким образом, $$(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

В обоих случаях верно $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, что в вещественном случае совпадает с $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$ в силу $$\overline{\lambda} = \lambda$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$X,Y$$- банаховы пространства, $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, причем $$A$$ сюръективен($$IM A = Y$$). Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) '''Включение $$\operatorname{Im} A^* \subset (\operatorname{Ker} A)^\perp$$:'''

Пусть $$f \in \operatorname{Im} A^*$$, т.е. существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$4. Для любого $$x \in \operatorname{Ker} A$$:
$$f(x) = (A^*g)(x) = g(Ax) = g(0) = 0$$,
следовательно, $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$.

2) '''Включение $$(\operatorname{Ker} A)^\perp \subset \operatorname{Im} A^*$$:'''

Пусть $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$. Определим функционал $$g$$ на $$\operatorname{Im} A = Y$$ следующим образом: для $$y = Ax$$ положим $$g(y) = f(x)$$.
Это определение корректно: если $$Ax_1 = Ax_2$$, то $$x_1 - x_2 \in \operatorname{Ker} A$$, и так как $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$, то $$f(x_1 - x_2) = 0$$, откуда $$f(x_1) = f(x_2)$$.

Линейность $$g$$ очевидна. Докажем ограниченность. По теореме Банаха об открытом отображении (применённой к $$A: X \to Y$$), существует константа $$C > 0$$ такая, что для любого $$y \in Y$$ найдётся $$x \in X$$ с $$Ax = y$$ и $$\|x\| \leq C \|y\|$$. Тогда:
$$|g(y)| = |f(x)| \leq \|f\| \cdot \|x\| \leq C \|f\| \cdot \|y\|.$$
Следовательно, $$g$$ ограничен. По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия теореме Хана-Банаха] $$g$$ можно продолжить на всё $$Y$$ с сохранением нормы (обозначим продолжение тем же символом). По построению $$f = A^*g$$, поэтому $$f \in \operatorname{Im} A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T14:26:32Z

Konst25: /* Свойства сопряженных операторов */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Доказательство свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{K}(\mathbb{R} или \mathbb{C})$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $$g \in Y^*$$, $$x \in X$$. Тогда:

$$((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).$$

3.1)$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный).
По линейности функционала $$g$$:
$$g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).$$
Следовательно, $$(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.

3.2)$$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный).
По определению значения функционала на скалярно умноженном векторе в комплексном случае:
$$g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax).$$
Тогда:
$$\overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).$$
Таким образом, $$(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

В обоих случаях верно $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, что в вещественном случае совпадает с $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$ в силу $$\overline{\lambda} = \lambda$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$X,Y$$- банаховы пространства, $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, причем $$A$$ сюръективен($$IM A = Y$$). Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) '''Включение $$\operatorname{Im} A^* \subset (\operatorname{Ker} A)^\perp$$:'''

Пусть $$f \in \operatorname{Im} A^*$$, т.е. существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$4. Для любого $$x \in \operatorname{Ker} A$$:
$$f(x) = (A^*g)(x) = g(Ax) = g(0) = 0$$,
следовательно, $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$.

2) '''Включение $$(\operatorname{Ker} A)^\perp \subset \operatorname{Im} A^*$$:'''

Пусть $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$. Определим функционал $$g$$ на $$\operatorname{Im} A = Y$$ следующим образом: для $$y = Ax$$ положим $$g(y) = f(x)$$.
Это определение корректно: если $$Ax_1 = Ax_2$$, то $$x_1 - x_2 \in \operatorname{Ker} A$$, и так как $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$, то $$f(x_1 - x_2) = 0$$, откуда $$f(x_1) = f(x_2)$$.

Линейность $$g$$ очевидна. Докажем ограниченность. По теореме Банаха об открытом отображении (применённой к $$A: X \to Y$$), существует константа $$C > 0$$ такая, что для любого $$y \in Y$$ найдётся $$x \in X$$ с $$Ax = y$$ и $$\|x\| \leq C \|y\|$$. Тогда:
$$|g(y)| = |f(x)| \leq \|f\| \cdot \|x\| \leq C \|f\| \cdot \|y\|.$$
Следовательно, $$g$$ ограничен. По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия теореме Хана-Банаха] $$g$$ можно продолжить на всё $$Y$$ с сохранением нормы (обозначим продолжение тем же символом). По построению $$f = A^*g$$, поэтому $$f \in \operatorname{Im} A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T14:24:05Z

Konst25: /* Связь ядра и образа */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Доказательство свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $$g \in Y^*$$, $$x \in X$$. Тогда:

$$((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).$$

3.1)$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный).
По линейности функционала $$g$$:
$$g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).$$
Следовательно, $$(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.

3.2)$$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный).
По определению значения функционала на скалярно умноженном векторе в комплексном случае:
$$g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax).$$
Тогда:
$$\overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).$$
Таким образом, $$(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

В обоих случаях верно $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, что в вещественном случае совпадает с $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$ в силу $$\overline{\lambda} = \lambda$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$X,Y$$- банаховы пространства, $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, причем $$A$$ сюръективен($$IM A = Y$$). Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) '''Включение $$\operatorname{Im} A^* \subset (\operatorname{Ker} A)^\perp$$:'''

Пусть $$f \in \operatorname{Im} A^*$$, т.е. существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$4. Для любого $$x \in \operatorname{Ker} A$$:
$$f(x) = (A^*g)(x) = g(Ax) = g(0) = 0$$,
следовательно, $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$.

2) '''Включение $$(\operatorname{Ker} A)^\perp \subset \operatorname{Im} A^*$$:'''

Пусть $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$. Определим функционал $$g$$ на $$\operatorname{Im} A = Y$$ следующим образом: для $$y = Ax$$ положим $$g(y) = f(x)$$.
Это определение корректно: если $$Ax_1 = Ax_2$$, то $$x_1 - x_2 \in \operatorname{Ker} A$$, и так как $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$, то $$f(x_1 - x_2) = 0$$, откуда $$f(x_1) = f(x_2)$$.

Линейность $$g$$ очевидна. Докажем ограниченность. По теореме Банаха об открытом отображении (применённой к $$A: X \to Y$$), существует константа $$C > 0$$ такая, что для любого $$y \in Y$$ найдётся $$x \in X$$ с $$Ax = y$$ и $$\|x\| \leq C \|y\|$$. Тогда:
$$|g(y)| = |f(x)| \leq \|f\| \cdot \|x\| \leq C \|f\| \cdot \|y\|.$$
Следовательно, $$g$$ ограничен. По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия теореме Хана-Банаха] $$g$$ можно продолжить на всё $$Y$$ с сохранением нормы (обозначим продолжение тем же символом). По построению $$f = A^*g$$, поэтому $$f \in \operatorname{Im} A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T14:20:43Z

Konst25: /* Связь ядра и образа */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Доказательство свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $$g \in Y^*$$, $$x \in X$$. Тогда:

$$((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).$$

3.1)$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный).
По линейности функционала $$g$$:
$$g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).$$
Следовательно, $$(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.

3.2)$$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный).
По определению значения функционала на скалярно умноженном векторе в комплексном случае:
$$g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax).$$
Тогда:
$$\overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).$$
Таким образом, $$(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

В обоих случаях верно $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, что в вещественном случае совпадает с $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$ в силу $$\overline{\lambda} = \lambda$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$X,Y$$- банаховы пространства, $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, причем $$A$$ сюръективен($$IM A = Y$$). Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) '''Включение $$\operatorname{Im} A^* \subset (\operatorname{Ker} A)^\perp$$:'''

Пусть $$f \in \operatorname{Im} A^*$$, т.е. существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$4. Для любого $$x \in \operatorname{Ker} A$$:
$$f(x) = (A^*g)(x) = g(Ax) = g(0) = 0$$,
следовательно, $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$.

2) '''Включение $$(\operatorname{Ker} A)^\perp \subset \operatorname{Im} A^*$$:'''

Пусть $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$. Определим функционал $$g$$ на $$\operatorname{Im} A = Y$$ следующим образом: для $$y = Ax$$ положим $$g(y) = f(x)$$.
Это определение корректно: если $$Ax_1 = Ax_2$$, то $$x_1 - x_2 \in \operatorname{Ker} A$$, и так как $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$, то $$f(x_1 - x_2) = 0$$, откуда $$f(x_1) = f(x_2)$$.

Линейность $$g$$ очевидна. Докажем ограниченность. По теореме Банаха об открытом отображении (применённой к $$A: X \to Y$$), существует константа $$C > 0$$ такая, что для любого $$y \in Y$$ найдётся $$x \in X$$ с $$Ax = y$$ и $$\|x\| \leq C \|y\|$$. Тогда:
$$|g(y)| = |f(x)| \leq \|f\| \cdot \|x\| \leq C \|f\| \cdot \|y\|.$$
Следовательно, $$g$$ ограничен. По теореме Хана---Банаха $$g$$ можно продолжить на всё $$Y$$ с сохранением нормы (обозначим продолжение тем же символом). По построению $$f = A^*g$$, поэтому $$f \in \operatorname{Im} A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T14:15:52Z

Konst25: /* Связь ядра и образа */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Доказательство свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $$g \in Y^*$$, $$x \in X$$. Тогда:

$$((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).$$

3.1)$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный).
По линейности функционала $$g$$:
$$g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).$$
Следовательно, $$(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.

3.2)$$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный).
По определению значения функционала на скалярно умноженном векторе в комплексном случае:
$$g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax).$$
Тогда:
$$\overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).$$
Таким образом, $$(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

В обоих случаях верно $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, что в вещественном случае совпадает с $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$ в силу $$\overline{\lambda} = \lambda$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$X,Y$$- банаховы пространства, $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, причем $$A$$ сюръективен($$IM A = Y$$). Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) '''Включение $$\operatorname{Im} A^* \subset (\operatorname{Ker} A)^\perp$$:'''

Пусть $$f \in \operatorname{Im} A^*$$, т.е. существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$4. Для любого $$x \in \operatorname{Ker} A$$:
$$f(x) = (A^*g)(x) = g(Ax) = g(0) = 0$$,
следовательно, $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$.

2) '''{Включение $$(\operatorname{Ker} A)^\perp \subset \operatorname{Im} A^*$$:'''

Пусть $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$. Определим функционал $$g$$ на $$\operatorname{Im} A = Y$$ следующим образом: для $$y = Ax$$ положим $$g(y) = f(x)$$.
Это определение корректно: если $$Ax_1 = Ax_2$$, то $$x_1 - x_2 \in \operatorname{Ker} A$$, и так как $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$, то $$f(x_1 - x_2) = 0$$, откуда $$f(x_1) = f(x_2)$$.

Линейность $$g$$ очевидна. Докажем ограниченность. По теореме Банаха об открытом отображении (применённой к $$A: X \to Y$$), существует константа $$C > 0$$ такая, что для любого $$y \in Y$$ найдётся $$x \in X$$ с $$Ax = y$$ и $$\|x\| \leq C \|y\|$$. Тогда:
$$|g(y)| = |f(x)| \leq \|f\| \cdot \|x\| \leq C \|f\| \cdot \|y\|.$$
Следовательно, $$g$$ ограничен. По теореме Хана---Банаха $$g$$ можно продолжить на всё $$Y$$ с сохранением нормы (обозначим продолжение тем же символом). По построению $$f = A^*g$$, поэтому $$f \in \operatorname{Im} A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T14:13:57Z

Konst25: /* Связь ядра и образа */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Доказательство свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $$g \in Y^*$$, $$x \in X$$. Тогда:

$$((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).$$

3.1)$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный).
По линейности функционала $$g$$:
$$g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).$$
Следовательно, $$(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.

3.2)$$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный).
По определению значения функционала на скалярно умноженном векторе в комплексном случае:
$$g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax).$$
Тогда:
$$\overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).$$
Таким образом, $$(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

В обоих случаях верно $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, что в вещественном случае совпадает с $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$ в силу $$\overline{\lambda} = \lambda$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$X,Y$$- банаховы пространства, $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, причем $$A$$ сюръективен($$IM A = Y$$). Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) \textbf{Включение $\operatorname{Im} A^* \subset (\operatorname{Ker} A)^\perp$:}

Пусть $f \in \operatorname{Im} A^*$, т.е. существует $g \in Y^*$ такой, что $f = A^*g$. Для любого $x \in \operatorname{Ker} A$:
\[
f(x) = (A^*g)(x) = g(Ax) = g(0) = 0,
\]
следовательно, $f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$.

2) '''{Включение $$(\operatorname{Ker} A)^\perp \subset \operatorname{Im} A^*$$:}'''

Пусть $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$. Определим функционал $$g$$ на $$\operatorname{Im} A = Y$$ следующим образом: для $$y = Ax$$ положим $$g(y) = f(x)$$.
Это определение корректно: если $$Ax_1 = Ax_2$$, то $$x_1 - x_2 \in \operatorname{Ker} A$$, и так как $$f \in (\operatorname{Ker} A)^\perp$$, то $$f(x_1 - x_2) = 0$$, откуда $$f(x_1) = f(x_2)$$.

Линейность $$g$$ очевидна. Докажем ограниченность. По теореме Банаха об открытом отображении (применённой к $$A: X \to Y$$), существует константа $$C > 0$$ такая, что для любого $$y \in Y$$ найдётся $$x \in X$$ с $$Ax = y$$ и $$\|x\| \leq C \|y\|$$. Тогда:
$$|g(y)| = |f(x)| \leq \|f\| \cdot \|x\| \leq C \|f\| \cdot \|y\|.$$
Следовательно, $$g$$ ограничен. По теореме Хана---Банаха $$g$$ можно продолжить на всё $$Y$$ с сохранением нормы (обозначим продолжение тем же символом). По построению $$f = A^*g$$, поэтому $$f \in \operatorname{Im} A^*$$.

Оба включения доказаны. $\square$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T14:01:27Z

Konst25: /* Свойства сопряженных операторов */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Доказательство свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $$g \in Y^*$$, $$x \in X$$. Тогда:

$$((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).$$

3.1)$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный).
По линейности функционала $$g$$:
$$g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).$$
Следовательно, $$(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.

3.2)$$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный).
По определению значения функционала на скалярно умноженном векторе в комплексном случае:
$$g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax).$$
Тогда:
$$\overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).$$
Таким образом, $$(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

В обоих случаях верно $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, что в вещественном случае совпадает с $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$ в силу $$\overline{\lambda} = \lambda$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $\square$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T13:58:52Z

Konst25:

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Доказательство свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $$g \in Y^*$$, $$x \in X$$. Тогда:

$$((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).$$

#$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный).
По линейности функционала $$g$$:
$$g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).$$
Следовательно, $$(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.

#$$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный).
По определению значения функционала на скалярно умноженном векторе в комплексном случае:
$$g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax).$$
Тогда:
$$\overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).$$
Таким образом, $$(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

В обоих случаях верно $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, что в вещественном случае совпадает с $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$ в силу $$\overline{\lambda} = \lambda$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $\square$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T13:58:03Z

Konst25:

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Доказательство свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $$g \in Y^*$$, $$x \in X$$. Тогда:

$$((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).$$

#$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный).
По линейности функционала $$g$$:
$$g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).$$
Следовательно, $$(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.

#$$\mathbb{K} = \mathbb{C}$ (комплексный).
По определению значения функционала на скалярно умноженном векторе в комплексном случае:
$$g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax).$$
Тогда:
$$\overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).$$
Таким образом, $$(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

В обоих случаях верно $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, что в вещественном случае совпадает с $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$ в силу $$\overline{\lambda} = \lambda$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $\square$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T13:56:59Z

Konst25:

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Доказательство свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $$g \in Y^*$$, $$x \in X$$. Тогда:

$$((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).$$

#$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный).
По линейности функционала $$g$$:
$$g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).$$
Следовательно, $$(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.

#$$\mathbb{K} = \mathbb{C}$ (комплексный).
По определению значения функционала на скалярно умноженном векторе в комплексном случае:
$$
g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax).
$$
Тогда:
$$
\overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).
$$
Таким образом, $$(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

В обоих случаях верно $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, что в вещественном случае совпадает с $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$ в силу $$\overline{\lambda} = \lambda$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $\square$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T13:55:19Z

Konst25: /* Свойства сопряженных операторов */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Доказательство свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $$g \in Y^*$$, $$x \in X$$. Тогда:

$$((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).$$

#$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный).
По линейности функционала $$g$$:
$$g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).$$
Следовательно, $$(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.

#$$\mathbb{K} = \mathbb{C}$ (комплексный).
По определению значения функционала на скалярно умноженном векторе в комплексном случае:
$$
g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax).
$$
Тогда:
$$
\overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).
$$
Таким образом, $$(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$$ для всех $$g$$, откуда $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

В обоих случаях верно $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, что в вещественном случае совпадает с $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$ в силу $$\overline{\lambda} = \lambda$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T13:48:07Z

Konst25: /* Свойства сопряженных операторов */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
# Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Вывод свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $g \in Y^*$, $x \in X$. Тогда:

\[
((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).
\]

\textbf{Случай 1: $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ (вещественный).}
По линейности функционала $g$:
\[
g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).
\]
Следовательно, $(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$ для всех $g$, откуда $(\lambda A)^* = \lambda A^*$.

\textbf{Случай 2: $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ (комплексный).}
В комплексном случае линейный функционал является \textbf{линейным относительно умножения на скаляр}, но в определении сопряжённого оператора используется \textbf{эрмитова симметрия} скалярного произведения (или соответствующее свойство для функционалов). Конкретно:
\[
g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax),
\]
поскольку в комплексном пространстве значение функционала на векторе $\lambda Ax$ равно $\overline{\lambda}$ умноженному на значение функционала на $Ax$ (сопряжение возникает из-за того, что в эрмитовом скалярном произведении линейность по первому аргументу — обычная, а по второму — сопряжённо-линейная). Поэтому:
\[
g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).
\]
Следовательно, $(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$ для всех $g$, откуда $(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$.

Таким образом, в общем случае $(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$, что в вещественном случае сводится к $(\lambda A)^* = \lambda A^*$, а в комплексном — к $(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$. $\square$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T13:47:38Z

Konst25: /* Свойства сопряженных операторов */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

#1). Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
#2). Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Вывод свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $g \in Y^*$, $x \in X$. Тогда:

\[
((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).
\]

\textbf{Случай 1: $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ (вещественный).}
По линейности функционала $g$:
\[
g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).
\]
Следовательно, $(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$ для всех $g$, откуда $(\lambda A)^* = \lambda A^*$.

\textbf{Случай 2: $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ (комплексный).}
В комплексном случае линейный функционал является \textbf{линейным относительно умножения на скаляр}, но в определении сопряжённого оператора используется \textbf{эрмитова симметрия} скалярного произведения (или соответствующее свойство для функционалов). Конкретно:
\[
g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax),
\]
поскольку в комплексном пространстве значение функционала на векторе $\lambda Ax$ равно $\overline{\lambda}$ умноженному на значение функционала на $Ax$ (сопряжение возникает из-за того, что в эрмитовом скалярном произведении линейность по первому аргументу — обычная, а по второму — сопряжённо-линейная). Поэтому:
\[
g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).
\]
Следовательно, $(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$ для всех $g$, откуда $(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$.

Таким образом, в общем случае $(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$, что в вещественном случае сводится к $(\lambda A)^* = \lambda A^*$, а в комплексном — к $(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$. $\square$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T13:47:02Z

Konst25: /* Свойства сопряженных операторов */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.

#1). Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
#2). Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.

''Вывод свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $g \in Y^*$, $x \in X$. Тогда:

\[
((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).
\]

\textbf{Случай 1: $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ (вещественный).}
По линейности функционала $g$:
\[
g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).
\]
Следовательно, $(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$ для всех $g$, откуда $(\lambda A)^* = \lambda A^*$.

\textbf{Случай 2: $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ (комплексный).}
В комплексном случае линейный функционал является \textbf{линейным относительно умножения на скаляр}, но в определении сопряжённого оператора используется \textbf{эрмитова симметрия} скалярного произведения (или соответствующее свойство для функционалов). Конкретно:
\[
g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax),
\]
поскольку в комплексном пространстве значение функционала на векторе $\lambda Ax$ равно $\overline{\lambda}$ умноженному на значение функционала на $Ax$ (сопряжение возникает из-за того, что в эрмитовом скалярном произведении линейность по первому аргументу — обычная, а по второму — сопряжённо-линейная). Поэтому:
\[
g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).
\]
Следовательно, $(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$ для всех $g$, откуда $(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$.

Таким образом, в общем случае $(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$, что в вещественном случае сводится к $(\lambda A)^* = \lambda A^*$, а в комплексном — к $(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$. $\square$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T13:42:56Z

Konst25: /* Свойства сопряженных операторов */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$, где $$\overline{\lambda}$$ — комплексное сопряжение числа $$\lambda$$.
\begin{itemize}
\item Если $$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ (вещественный случай), то $$\overline{\lambda} = \lambda$$ и $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$.
\item Если $$\mathbb{K} = \mathbb{C}$$ (комплексный случай), то $$(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$$.
\end{itemize}

''Вывод свойств.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Пусть $g \in Y^*$, $x \in X$. Тогда:

\[
((\lambda A)^* g)(x) = g((\lambda A)x) = g(\lambda Ax).
\]

\textbf{Случай 1: $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ (вещественный).}
По линейности функционала $g$:
\[
g(\lambda Ax) = \lambda g(Ax) = \lambda (A^* g)(x) = (\lambda A^* g)(x).
\]
Следовательно, $(\lambda A)^* g = \lambda A^* g$ для всех $g$, откуда $(\lambda A)^* = \lambda A^*$.

\textbf{Случай 2: $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ (комплексный).}
В комплексном случае линейный функционал является \textbf{линейным относительно умножения на скаляр}, но в определении сопряжённого оператора используется \textbf{эрмитова симметрия} скалярного произведения (или соответствующее свойство для функционалов). Конкретно:
\[
g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax),
\]
поскольку в комплексном пространстве значение функционала на векторе $\lambda Ax$ равно $\overline{\lambda}$ умноженному на значение функционала на $Ax$ (сопряжение возникает из-за того, что в эрмитовом скалярном произведении линейность по первому аргументу — обычная, а по второму — сопряжённо-линейная). Поэтому:
\[
g(\lambda Ax) = \overline{\lambda} g(Ax) = \overline{\lambda} (A^* g)(x) = (\overline{\lambda} A^* g)(x).
\]
Следовательно, $(\lambda A)^* g = \overline{\lambda} A^* g$ для всех $g$, откуда $(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$.

Таким образом, в общем случае $(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$, что в вещественном случае сводится к $(\lambda A)^* = \lambda A^*$, а в комплексном — к $(\lambda A)^* = \overline{\lambda} A^*$. $\square$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T13:30:04Z

Konst25: /* Примеры */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((\lambda A)^*g, x) = (g, (\lambda A)x) = (g, \lambda Ax) = \lambda(g, Ax) = \lambda(A^*g, x) = (\lambda A^*g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся '''транспонированной матрицей'''.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T13:21:38Z

Konst25: /* Примеры */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((\lambda A)^*g, x) = (g, (\lambda A)x) = (g, \lambda Ax) = \lambda(g, Ax) = \lambda(A^*g, x) = (\lambda A^*g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T13:21:14Z

Konst25: /* Примеры */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((\lambda A)^*g, x) = (g, (\lambda A)x) = (g, \lambda Ax) = \lambda(g, Ax) = \lambda(A^*g, x) = (\lambda A^*g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся $\textbf{транспонированной матрицей}$.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T13:16:01Z

Konst25:

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: X \rightarrow Y$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$X^*$$ и $$Y^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } g \in Y^*, x \in X.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

'''Замечание 1.''' Если $$X$$ и $$Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Гильбертово_пространство гильбертовы пространства], то сопряженный оператор $$A^*: Y^* \rightarrow X^*$$ можно определить через скалярное произведение:
$$\langle Ax, y \rangle_Y = \langle x, A^* y \rangle_X \quad \text{для всех } x \in X, \; y \in Y.$$

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in Y^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in X$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$:
\begin{align*}
((\lambda A)^*g, x) = (g, (\lambda A)x) = (g, \lambda Ax) = \lambda(g, Ax) = \lambda(A^*g, x) = (\lambda A^*g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===
'''Определение 2''' Пусть $$X$$ и $$Y$$ — нормированные пространства, $$A : X \to Y$$ — линейный ограниченный оператор. Нормой оператора $$A$$ называется число:$$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X = 1} \|Ax\|_Y$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y$$ - [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства] $$A: X \rightarrow Y$$ — ограниченный линейный оператор, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in Y^*$$ и любого $$x \in X$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in Y^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: X \to Y$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$X$$ на всё $$Y$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in Y^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in X$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L_2[0,1] \rightarrow L_2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L_2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T12:43:17Z

Konst25: /* Норма сопряженного оператора */

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T12:00:33Z

Konst25: /* Определение сопряженного оператора */

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T11:55:52Z

Konst25: /* Определение сопряженного оператора */

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T11:52:01Z

Konst25: /* Определение сопряженного оператора */

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T11:40:15Z

Konst25: /* Примеры */

Сопряжённый линейный оператор

2025-12-06T11:31:35Z

Konst25:

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T22:16:54Z

Konst25: /* Примеры */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in E_1^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in E$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((\lambda A)^*g, x) = (g, (\lambda A)x) = (g, \lambda Ax) = \lambda(g, Ax) = \lambda(A^*g, x) = (\lambda A^*g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример 1''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T05:16:07Z

Konst25: /* Связь ядра и образа */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in E_1^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in E$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((\lambda A)^*g, x) = (g, (\lambda A)x) = (g, \lambda Ax) = \lambda(g, Ax) = \lambda(A^*g, x) = (\lambda A^*g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример в конечномерном пространстве''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T05:15:19Z

Konst25: /* Норма сопряженного оператора */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in E_1^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in E$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((\lambda A)^*g, x) = (g, (\lambda A)x) = (g, \lambda Ax) = \lambda(g, Ax) = \lambda(A^*g, x) = (\lambda A^*g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=Теорема_Хана-Банаха_и_её_следствия&action=edit&redlink=1 следствию из теоремы Хана-Банаха], для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример в конечномерном пространстве''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T05:12:38Z

Konst25: /* Свойства сопряженных операторов */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in E_1^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in E$$, получаем:
$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((\lambda A)^*g, x) = (g, (\lambda A)x) = (g, \lambda Ax) = \lambda(g, Ax) = \lambda(A^*g, x) = (\lambda A^*g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример в конечномерном пространстве''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T05:11:16Z

Konst25: /* Определение сопряженного оператора */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банаховы пространства], и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in E_1^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in E$$, получаем:
$$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((\lambda A)^*g, x) = (g, (\lambda A)x) = (g, \lambda Ax) = \lambda(g, Ax) = \lambda(A^*g, x) = (\lambda A^*g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример в конечномерном пространстве''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T05:05:32Z

Konst25: /* Приложения */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in E_1^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) = (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) = \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) = \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) = (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in E$$, получаем:
$$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((\lambda A)^*g, x) = (g, (\lambda A)x) = (g, \lambda Ax) = \lambda(g, Ax) = \lambda(A^*g, x) = (\lambda A^*g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример в конечномерном пространстве''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

== Список литературы ==
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2025г.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T04:37:57Z

Konst25: /* Свойства сопряженных операторов */

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T04:37:06Z

Konst25: /* Свойства сопряженных операторов */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in E_1^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) &= (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) \\
&= \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) \\
&= \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) \\
&= (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in E$$, получаем:
$$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) = (g, Ax + Bx) = (g, Ax) + (g, Bx) = (A^*g, x) + (B^*g, x) = ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((\lambda A)^*g, x) &= (g, (\lambda A)x) \\
&= (g, \lambda Ax) \\
&= \lambda(g, Ax) \\
&= \lambda(A^*g, x) \\
&= (\lambda A^*g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример в конечномерном пространстве''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

=== Приложения ===

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T04:35:30Z

Konst25: /* Свойства сопряженных операторов */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' 1) '''Линейность $$A^*$$:'''
Для любых $$g_1, g_2 \in E_1^*$$ и $$\alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ имеем:
\begin{align*}
(A^*(\alpha g_1 + \beta g_2), x) &= (\alpha g_1 + \beta g_2, Ax) \\
&= \alpha(g_1, Ax) + \beta(g_2, Ax) \\
&= \alpha(A^*g_1, x) + \beta(A^*g_2, x) \\
&= (\alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2, x)
\end{align*}
Поскольку равенство выполняется для всех $$x \in E$$, получаем:
$$$A^*(\alpha g_1 + \beta g_2) = \alpha A^*g_1 + \beta A^*g_2$$$

2) '''Равенство $$(A + B)^* = A^* + B^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((A + B)^*g, x) &= (g, (A + B)x) \\
&= (g, Ax + Bx) \\
&= (g, Ax) + (g, Bx) \\
&= (A^*g, x) + (B^*g, x) \\
&= ((A^* + B^*)g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(A + B)^* = A^* + B^*$$.

3) '''Равенство $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$:'''
Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$:
\begin{align*}
((\lambda A)^*g, x) &= (g, (\lambda A)x) \\
&= (g, \lambda Ax) \\
&= \lambda(g, Ax) \\
&= \lambda(A^*g, x) \\
&= (\lambda A^*g, x)
\end{align*}
Следовательно, $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример в конечномерном пространстве''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

=== Приложения ===

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T04:28:14Z

Konst25: /* Примеры */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' Следует непосредственно из определения сопряженного оператора. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример в конечномерном пространстве''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

=== Приложения ===

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T04:28:00Z

Konst25: /* Пример интегрального оператора */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' Следует непосредственно из определения сопряженного оператора. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

== Примеры ==
'''Пример в конечномерном пространстве''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

=== Приложения ===

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T04:27:29Z

Konst25: /* Пример в конечномерном пространстве */

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:44:22Z

Konst25: /* Связь ядра и образа */

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Пример в конечномерном пространстве ===

'''Пример 1.''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' Следует непосредственно из определения сопряженного оператора. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

=== Пример интегрального оператора ===

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

=== Приложения ===

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:43:39Z

Konst25:

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' ''Сопряжённым оператором'' к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Пример в конечномерном пространстве ===

'''Пример 1.''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$

Отсюда следует, что:
$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' Следует непосредственно из определения сопряженного оператора. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$\|A^*\| = \|A\|.$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \to E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$$(\text{Ker}A)^\perp = \text{Im}A^*$$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\text{Im}A^* \subset (\text{Ker}A)^\perp$$:

Если $$f \in \text{Im}A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \text{Ker}A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$.

2) Включение $$(\text{Ker}A)^\perp \subset \text{Im}A^*$$:

Пусть $$f \in (\text{Ker}A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \text{Im}A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

=== Пример интегрального оператора ===

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$$

Отсюда получаем:
$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

=== Приложения ===

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:41:19Z

Konst25: /* Норма сопряженного оператора */

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:38:54Z

Konst25: /* Определение сопряженного оператора */

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:36:31Z

Konst25: /* Связь ядра и образа */

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:32:44Z

Konst25: /* Связь ядра и образа */

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:31:50Z

Konst25: /* Определение сопряженного оператора */

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:28:18Z

Konst25: /* Определение сопряженного оператора */

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:27:26Z

Konst25: /* Свойства нормы оператора */

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:27:09Z

Konst25: /* Пространство линейных операторов */

\begin{abstract}
\textbf{Курсивное описание:} Сопряженный оператор — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе, естественным образом обобщающее операцию транспонирования матрицы на случай бесконечномерных банаховых пространств.
\end{abstract}

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' \textbf{Сопряжённым оператором} к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Пример в конечномерном пространстве ===

'''Пример 1.''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$$

Отсюда следует, что:
$$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' Следует непосредственно из определения сопряженного оператора. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$$\|A^*\| = \|A\|.$$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$$(\Ker A)^\perp = \ImOp A^*.$$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\ImOp A^* \subset (\Ker A)^\perp$$:

Если $$f \in \ImOp A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \Ker A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\Ker A)^\perp$$.

2) Включение $$(\Ker A)^\perp \subset \ImOp A^*$$:

Пусть $$f \in (\Ker A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \ImOp A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

=== Пример интегрального оператора ===

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$$

Отсюда получаем:
$$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

=== Приложения ===

== Свойства нормы оператора ==

'''Теорема 1.''' Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:

1. $$\forall A \in \LL(X, Y)$$; $$\|A\| \geq 0$$; $$\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$$,

2. $$\forall A \in \LL(X, Y)$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R}$$; $$\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$,

3. $$\forall A, B \in \LL(X, Y)$$; $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

''Доказательство.''

1) Очевидно, $$\|A\| \geq 0$$. Если $$\|A\| = 0$$, то $$\|Ax\| = 0$$ для всех $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$, откуда $$A = 0$$.

2) $$\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$.

3) Для любого $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$ имеем:

$$\|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

Переходя к супремуму, получаем $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$. $$\square$$

=== Основная оценка для ограниченных операторов ===

'''Теорема 2.''' Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка

$$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$

для всех $$x \in X$$, где $$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

''Доказательство.''

При $$x = 0$$ неравенство очевидно. Пусть $$x \neq 0$$, рассмотрим $$x' = \frac{x}{\|x\|}$$. Поскольку $$\|x'\| = 1$$, то по определению нормы $$\|Ax'\| \leq \|A\|$$. Подставляя $$x'$$, получим $$\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$$, т.е. $$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$, что и требовалось доказать. $$\square$$

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:26:59Z

Konst25: /* Приложения */

\begin{abstract}
\textbf{Курсивное описание:} Сопряженный оператор — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе, естественным образом обобщающее операцию транспонирования матрицы на случай бесконечномерных банаховых пространств.
\end{abstract}

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' \textbf{Сопряжённым оператором} к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Пример в конечномерном пространстве ===

'''Пример 1.''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$$

Отсюда следует, что:
$$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' Следует непосредственно из определения сопряженного оператора. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$$\|A^*\| = \|A\|.$$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$$(\Ker A)^\perp = \ImOp A^*.$$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\ImOp A^* \subset (\Ker A)^\perp$$:

Если $$f \in \ImOp A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \Ker A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\Ker A)^\perp$$.

2) Включение $$(\Ker A)^\perp \subset \ImOp A^*$$:

Пусть $$f \in (\Ker A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \ImOp A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

=== Пример интегрального оператора ===

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$$

Отсюда получаем:
$$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

=== Приложения ===

== Пространство линейных операторов ==

Пусть $$L(X, Y)$$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $$X$$ в $$Y$$. Введём в $$L(X, Y)$$ операции сложения и умножения на скаляр:
$$(A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax$$.

Множество $$L(X, Y)$$ с такими операциями образует линейное пространство.

==== Определение нормы ====

'''Определение 1.''' Пусть $$X$$ — линейное пространство. Функция $$\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$$, определённая на $$X$$, является нормой, если выполнены аксиомы:

1. $$\forall x \in X \|x\| \geq 0$$; $$\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$$,

2. $$\forall x \in X$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R}$$; $$\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$$,

3. $$\forall x, y \in X$$; $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$$.

Любая норма порождает метрику над $$X$$: $$\rho(x,y) = \|x - y\|$$.

==== Норма линейного оператора ====

'''Определение 2.''' '''Нормой линейного оператора''' $$A \in '''L'''(X, Y)$$ называется число

$$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

== Свойства нормы оператора ==

'''Теорема 1.''' Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:

1. $$\forall A \in \LL(X, Y)$$; $$\|A\| \geq 0$$; $$\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$$,

2. $$\forall A \in \LL(X, Y)$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R}$$; $$\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$,

3. $$\forall A, B \in \LL(X, Y)$$; $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

''Доказательство.''

1) Очевидно, $$\|A\| \geq 0$$. Если $$\|A\| = 0$$, то $$\|Ax\| = 0$$ для всех $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$, откуда $$A = 0$$.

2) $$\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$.

3) Для любого $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$ имеем:

$$\|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

Переходя к супремуму, получаем $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$. $$\square$$

=== Основная оценка для ограниченных операторов ===

'''Теорема 2.''' Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка

$$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$

для всех $$x \in X$$, где $$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

''Доказательство.''

При $$x = 0$$ неравенство очевидно. Пусть $$x \neq 0$$, рассмотрим $$x' = \frac{x}{\|x\|}$$. Поскольку $$\|x'\| = 1$$, то по определению нормы $$\|Ax'\| \leq \|A\|$$. Подставляя $$x'$$, получим $$\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$$, т.е. $$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$, что и требовалось доказать. $$\square$$

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:26:43Z

Konst25: /* Пространство линейных операторов и норма */

\begin{abstract}
\textbf{Курсивное описание:} Сопряженный оператор — одно из фундаментальных понятий в функциональном анализе, естественным образом обобщающее операцию транспонирования матрицы на случай бесконечномерных банаховых пространств.
\end{abstract}

=== Определение сопряженного оператора ===

Пусть $$E$$ и $$E_1$$ — банаховы пространства, и пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор. Обозначим через $$E^*$$ и $$E_1^*$$ сопряжённые пространства.

'''Определение 1.''' \textbf{Сопряжённым оператором} к оператору $$A$$ называется оператор $$A^*: E_1^* \rightarrow E^*$$, действующий по правилу:
$$$(A^*g, x) = (g, Ax) \quad \text{для всех } x \in E.$$$
Здесь запись $$(f, x)$$ означает значение функционала $$f$$ на элементе $$x$$.

=== Пример в конечномерном пространстве ===

'''Пример 1.''' Пусть $$A: \RR^n \rightarrow \RR^m$$ — линейный оператор, заданный матрицей $$\|a_{ij}\|$$. Тогда:

- Отображение $$y = Ax$$:
$$$y_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j, \quad i = 1, 2, \ldots, m.$$$

- Функционал $$g \in (\RR^m)^*$$:
$$$(g, y) = \sum_{i=1}^m g_i y_i.$$$

- Функционал $$f \in (\RR^n)^*$$:
$$$(f, x) = \sum_{j=1}^n f_j x_j.$$$

Вычисляя $$(g, Ax)$$, получаем:
$$$(g, Ax) = \sum_{i=1}^m g_i \left( \sum_{j=1}^n a_{ij} x_j \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m g_i a_{ij} \right) x_j.$$$

Отсюда следует, что:
$$$(A^*g)_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} g_i,$$$
то есть оператор $$A^*$$ задаётся \textbf{транспонированной матрицей}.

=== Свойства сопряженных операторов ===

'''Теорема 1.''' Для сопряженных операторов выполняются следующие свойства:

1. $$A^*$$ — линейный оператор

2. $$(A + B)^* = A^* + B^*$$

3. $$(\lambda A)^* = \lambda A^*$$

''Доказательство.'' Следует непосредственно из определения сопряженного оператора. $$\square$$

=== Норма сопряженного оператора ===

'''Теорема 2.''' Если $$A: E \rightarrow E_1$$ — ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами, то:
$$$\|A^*\| = \|A\|.$$$

''Доказательство.''

1) Оценка сверху: $$\|A^*\| \leq \|A\|$$

Для любого $$g \in E_1^*$$ и любого $$x \in E$$ имеем:
$$$|(A^*g, x)| = |(g, Ax)| \leq \|g\| \cdot \|A\| \cdot \|x\|.$$$
Отсюда $$\|A^*g\| \leq \|A\| \cdot \|g\|$$, следовательно $$\|A^*\| \leq \|A\|$$.

2) Оценка снизу: $$\|A\| \leq \|A^*\|$$

По следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого $$x \in E$$ существует функционал $$g \in E_1^*$$ с $$\|g\| = 1$$ такой, что $$(g, Ax) = \|Ax\|$$. Тогда:
$$$\|Ax\| = (g, Ax) = (A^*g, x) \leq \|A^*g\| \cdot \|x\| \leq \|A^*\| \cdot \|x\|.$$$
Следовательно $$\|A\| \leq \|A^*\|$$.

Из двух оценок получаем равенство норм. $$\square$$

=== Связь ядра и образа ===

'''Теорема 3.''' Пусть $$A: E \rightarrow E_1$$ — непрерывный линейный оператор, отображающий $$E$$ на всё $$E_1$$. Тогда:
$$$(\Ker A)^\perp = \ImOp A^*.$$$

''Доказательство.''

1) Включение $$\ImOp A^* \subset (\Ker A)^\perp$$:

Если $$f \in \ImOp A^*$$, то существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$f = A^*g$$. Для любого $$x \in \Ker A$$:
$$$(f, x) = (A^*g, x) = (g, Ax) = (g, 0) = 0.$$$
Следовательно, $$f \in (\Ker A)^\perp$$.

2) Включение $$(\Ker A)^\perp \subset \ImOp A^*$$:

Пусть $$f \in (\Ker A)^\perp$$. По лемме о тройке существует $$g \in E_1^*$$ такой, что $$(f, x) = (g, Ax)$$ для всех $$x \in E$$, то есть $$f = A^*g$$. Следовательно, $$f \in \ImOp A^*$$.

Оба включения доказаны. $$\square$$

=== Пример интегрального оператора ===

'''Пример 2.''' Рассмотрим оператор $$A: L^2[0,1] \rightarrow L^2[0,1]$$:
$$$(Ax)(t) = \int_0^1 K(t, s) x(s) ds,$$$
где $$K(t, s)$$ — непрерывная функция.

Скалярное произведение в $$L^2$$: $$(g, x) = \int_0^1 g(t) x(t) dt$$. Вычисляем:
$$$(g, Ax) = \int_0^1 g(t) \left( \int_0^1 K(t, s) x(s) ds \right) dt = \int_0^1 x(s) \left( \int_0^1 g(t) K(t, s) dt \right) ds.$$$

Отсюда получаем:
$$$(A^*g)(s) = \int_0^1 K(t, s) g(t) dt,$$$
то есть сопряжённый оператор также является интегральным с транспонированным ядром.

=== Приложения ===

\begin{itemize}
\item \textbf{Спектральная теория:} Изучение спектра оператора и его сопряженного
\item \textbf{Решение операторных уравнений:} Анализ разрешимости уравнений вида $$Ax = y$$
\item \textbf{Математическая физика:} Приложения в квантовой механике и теории дифференциальных уравнений
\end{itemize}

== Пространство линейных операторов ==

Пусть $$L(X, Y)$$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $$X$$ в $$Y$$. Введём в $$L(X, Y)$$ операции сложения и умножения на скаляр:
$$(A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax$$.

Множество $$L(X, Y)$$ с такими операциями образует линейное пространство.

==== Определение нормы ====

'''Определение 1.''' Пусть $$X$$ — линейное пространство. Функция $$\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$$, определённая на $$X$$, является нормой, если выполнены аксиомы:

1. $$\forall x \in X \|x\| \geq 0$$; $$\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$$,

2. $$\forall x \in X$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R}$$; $$\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$$,

3. $$\forall x, y \in X$$; $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$$.

Любая норма порождает метрику над $$X$$: $$\rho(x,y) = \|x - y\|$$.

==== Норма линейного оператора ====

'''Определение 2.''' '''Нормой линейного оператора''' $$A \in '''L'''(X, Y)$$ называется число

$$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

== Свойства нормы оператора ==

'''Теорема 1.''' Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:

1. $$\forall A \in \LL(X, Y)$$; $$\|A\| \geq 0$$; $$\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$$,

2. $$\forall A \in \LL(X, Y)$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R}$$; $$\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$,

3. $$\forall A, B \in \LL(X, Y)$$; $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

''Доказательство.''

1) Очевидно, $$\|A\| \geq 0$$. Если $$\|A\| = 0$$, то $$\|Ax\| = 0$$ для всех $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$, откуда $$A = 0$$.

2) $$\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$.

3) Для любого $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$ имеем:

$$\|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

Переходя к супремуму, получаем $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$. $$\square$$

=== Основная оценка для ограниченных операторов ===

'''Теорема 2.''' Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка

$$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$

для всех $$x \in X$$, где $$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

''Доказательство.''

При $$x = 0$$ неравенство очевидно. Пусть $$x \neq 0$$, рассмотрим $$x' = \frac{x}{\|x\|}$$. Поскольку $$\|x'\| = 1$$, то по определению нормы $$\|Ax'\| \leq \|A\|$$. Подставляя $$x'$$, получим $$\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$$, т.е. $$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$, что и требовалось доказать. $$\square$$

Сопряжённый линейный оператор

2025-10-13T02:01:42Z

Konst25: /* Свойства нормы оператора */

== Пространство линейных операторов и норма ==

\begin{abstract}
\textbf{Курсивное описание:} В этой статье вводится пространство линейных непрерывных операторов $\LL(X, Y)$ и изучается понятие нормы линейного оператора. Доказываются основные свойства нормы и её связь с ограниченностью операторов.
\end{abstract}

== Пространство линейных операторов ==

Пусть $$L(X, Y)$$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $$X$$ в $$Y$$. Введём в $$L(X, Y)$$ операции сложения и умножения на скаляр:
$$(A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax$$.

Множество $$L(X, Y)$$ с такими операциями образует линейное пространство.

==== Определение нормы ====

'''Определение 1.''' Пусть $$X$$ — линейное пространство. Функция $$\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$$, определённая на $$X$$, является нормой, если выполнены аксиомы:

1. $$\forall x \in X \|x\| \geq 0$$; $$\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$$,

2. $$\forall x \in X$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R}$$; $$\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$$,

3. $$\forall x, y \in X$$; $$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$$.

Любая норма порождает метрику над $$X$$: $$\rho(x,y) = \|x - y\|$$.

==== Норма линейного оператора ====

'''Определение 2.''' '''Нормой линейного оператора''' $$A \in '''L'''(X, Y)$$ называется число

$$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

== Свойства нормы оператора ==

'''Теорема 1.''' Функция $\|\cdot\| : \LL(X, Y) \to \mathbb{R}$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:

1. $$\forall A \in \LL(X, Y)$$; $$\|A\| \geq 0$$; $$\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$$,

2. $$\forall A \in \LL(X, Y)$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R}$$; $$\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$,

3. $$\forall A, B \in \LL(X, Y)$$; $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

''Доказательство.''

1) Очевидно, $$\|A\| \geq 0$$. Если $$\|A\| = 0$$, то $$\|Ax\| = 0$$ для всех $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$, откуда $$A = 0$$.

2) $$\|\lambda A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|\lambda Ax\| = |\lambda| \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$.

3) Для любого $$x$$ с $$\|x\| \leq 1$$ имеем:

$$\|(A + B)x\| = \|Ax + Bx\| \leq \|Ax\| + \|Bx\| \leq \|A\| + \|B\|$$.

Переходя к супремуму, получаем $$\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|$$. $$\square$$

=== Основная оценка для ограниченных операторов ===

'''Теорема 2.''' Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка

$$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$

для всех $$x \in X$$, где $$\|A\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$$.

''Доказательство.''

При $$x = 0$$ неравенство очевидно. Пусть $$x \neq 0$$, рассмотрим $$x' = \frac{x}{\|x\|}$$. Поскольку $$\|x'\| = 1$$, то по определению нормы $$\|Ax'\| \leq \|A\|$$. Подставляя $$x'$$, получим $$\frac{\|Ax\|}{\|x\|} \leq \|A\|$$, т.е. $$\|Ax\| \leq \|A\| \cdot \|x\|$$, что и требовалось доказать. $$\square$$