sawiki - Вклад участника [ru]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-29T07:42:30Z

Lidia: /* Теоремы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Рассмотрим эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)) $ для любых $ p > 0 $, тогда он оценивает сумму $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ следующим образом:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p)),
\]
для любого $p > 0 $, если $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, а $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2)).\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 .\]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2, Q$ диагональные. Если верно следующее:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) .\]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}.
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2),
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+} .
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество, оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$. 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q).
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2).
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}) .
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

к виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}},
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}};
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2.
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p));
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}).
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующему:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*})) .
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p)) ;
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2).
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $. $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q[S]$$
\begin{equation}
Q[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим несколько различных эллипсоидов подобного вида: $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$, порожденных различными матрицами $$Q[S]$$, тогда множество внутренних оценок максимального включения суммы эллипсоидов $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-29T07:40:51Z

Lidia: /* Леммы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Рассмотрим эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)) $ для любых $ p > 0 $, тогда он оценивает сумму $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ следующим образом:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p)),
\]
для любого $p > 0 $, если $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, а $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2)).\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 .\]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2, Q$ диагональные. Если верно следующее:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) .\]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}.
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2),
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+} .
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$. 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q).
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2).
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}) .
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

к виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}},
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}};
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2.
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p));
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}).
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующему:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*})) .
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p)) ;
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2).
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $. $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q[S]$$
\begin{equation}
Q[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим несколько различных эллипсоидов подобного вида: $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$, порожденных различными матрицами $$Q[S]$$, тогда множество внутренних оценок максимального включения суммы эллипсоидов $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-29T07:35:03Z

Lidia: /* Внешние оценки */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Рассмотрим эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)) $ для любых $ p > 0 $, тогда он оценивает сумму $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ следующим образом:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p)),
\]
для любого $p > 0 $, если $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, а $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2)).\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 .\]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) .\]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}.
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2),
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+} .
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$. 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q).
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2).
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}) .
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

к виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}},
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}};
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2.
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p));
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}).
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующему:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*})) .
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p)) ;
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2).
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $. $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q[S]$$
\begin{equation}
Q[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим несколько различных эллипсоидов подобного вида: $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$, порожденных различными матрицами $$Q[S]$$, тогда множество внутренних оценок максимального включения суммы эллипсоидов $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-29T07:34:11Z

Lidia: /* Леммы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Рассмотрим эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)) $ для любых $ p > 0 $ тогда он оценивает сумму $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ следующим образом:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p)),
\]
для любого $p > 0 $, если $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, а $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2)).\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 .\]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) .\]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}.
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2),
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+} .
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$. 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q).
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2).
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}) .
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

к виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}},
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}};
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2.
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p));
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}).
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующему:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*})) .
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p)) ;
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2).
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $. $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q[S]$$
\begin{equation}
Q[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим несколько различных эллипсоидов подобного вида: $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$, порожденных различными матрицами $$Q[S]$$, тогда множество внутренних оценок максимального включения суммы эллипсоидов $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-29T07:26:10Z

Lidia: /* Леммы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p)),
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2)).\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 .\]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) .\]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}.
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2),
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+} .
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$. 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q).
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2).
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}) .
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

к виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}},
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}};
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2.
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p));
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}).
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующему:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*})) .
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p)) ;
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2).
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $. $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q[S]$$
\begin{equation}
Q[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим несколько различных эллипсоидов подобного вида: $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$, порожденных различными матрицами $$Q[S]$$, тогда множество внутренних оценок максимального включения суммы эллипсоидов $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-27T19:51:17Z

Lidia: /* Теоремы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p)),
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2)).\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 .\]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) .\]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}.
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2),
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+} .
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$. 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q).
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2).
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}) .
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

к виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}},
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}};
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2.
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p));
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}).
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующему:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*})) .
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p)) ;
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2).
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $. $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q[S]$$
\begin{equation}
Q[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим несколько различных эллипсоидов подобного вида: $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$, порожденных различными матрицами $$Q[S]$$, тогда множество внутренних оценок максимального включения суммы эллипсоидов $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-27T19:50:37Z

Lidia: /* Внутренние оценки */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p)),
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2)).\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 .\]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) .\]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}.
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2),
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+} .
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$. 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q).
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2).
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}) .
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

к виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}},
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}};
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2.
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p));
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}).
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующему:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*})) .
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p)) ;
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2).
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $. $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q[S]$$
\begin{equation}
Q[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим несколько различных эллипсоидов подобного вида: $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$, порожденных различными матрицами $$Q[S]$$, тогда множество внутренних оценок максимального включения суммы эллипсоидов $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-27T18:53:40Z

Lidia: /* Теоремы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p)),
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2)).\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 .\]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) .\]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}.
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2),
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+} .
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$. 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q).
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2).
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}) .
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

к виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}},
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}};
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2.
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p));
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}).
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующему:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*})) .
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p)) ;
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2).
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $. $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим несколько различных эллипсоидов подобного вида: $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$, порожденных различными матрицами $$Q_+[S]$$, тогда множество внутренних оценок максимального включения суммы эллипсоидов $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-27T18:32:46Z

Lidia: /* Внешняя и внутренняя оценки */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p)),
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2)).\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 .\]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) .\]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}.
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2),
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+} .
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$. 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q).
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2).
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}) .
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

к виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}},
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}};
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2.
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p));
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}).
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующему:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*})) .
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p)) ;
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2).
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $. $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-27T09:29:34Z

Lidia: /* Теоремы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p)),
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2)).\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 .\]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) .\]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}.
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2),
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+} .
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$. 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q).
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2).
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}) .
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

к виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}},
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}};
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2.
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p));
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}).
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующему:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*})) .
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p)) ;
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2).
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $. $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-27T09:26:40Z

Lidia: /* Леммы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p)),
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2)).\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 .\]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) .\]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}.
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2),
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+} .
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-27T09:12:47Z

Lidia: /* Леммы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 \]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}.
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-27T09:10:13Z

Lidia: /* Леммы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 \]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij} = 0, \text{ для всех } i \neq j,\text{ } i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-27T08:50:07Z

Lidia: /* Леммы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 \]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-27T08:49:03Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 \]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда минимальное по включению множество оценивающее сумму $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где \text{ }p\in\Pi^{+}.$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Преобразование T не будет нарушать следующего соотношения: $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$, таким образом с конфигурационной матрицей $ Q^{*} = T'QT$ будет справедливо следующее
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-27T08:42:24Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 \]

'''Лемма 2''' 
Пусть $ C $ положительно определенная симметричная матрица с элементами $ {c_{ij}} $. 
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m};\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}.
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы $Q_1, Q_2$ диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-27T08:38:30Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 \]

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0,\text{ }если\text{ }j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0,\text{ }если\text{ } j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T22:27:49Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам. 
Обратим внимание, что $ \Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right] $,где \[\ \lambda_{min} = \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq ... \leq \lambda_{n} = \lambda_{max}, \] корни уравнения \[ det(Q_1 - \lambda Q_2) = 0 \]

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T22:16:19Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)) $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p =
\langle Q_1l,l \rangle^{\frac{1}{2}} \langle Q_2l,l \rangle^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T22:11:55Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), $ существует для любых $ p > 0 $, а внешняя оценка суммы эллипсоидов $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ такова:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $, где $ Q(p) = (1 + p^{-1})Q_1 + (1 + p)Q_2$, где в свою очередь $ Q_1, Q_2 $ конфигурационные матрицы (симметричные и невырожденные) первого и второго эллипсоидов соответственно.\[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T14:20:50Z

Lidia: /* Леммы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы (по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T14:19:59Z

Lidia: /* Теоремы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \eqref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T14:19:03Z

Lidia: /* Внутренние оценки */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}.
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T14:18:39Z

Lidia: /* Леммы */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \eqref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T14:16:43Z

Lidia: /* Сумма по Минковскому */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой (суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T14:16:07Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}). \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T14:15:56Z

Lidia: /* Определения */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T14:15:15Z

Lidia: /* Внешняя и внутренняя оценки */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T14:14:03Z

Lidia: /* Примеры */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T14:12:57Z

Lidia: /* Примеры */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1''' 
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Файл:Int2.png

2022-12-26T14:12:26Z

Lidia:

Внутренняя аппроксимация

Файл:Ext2.png

2022-12-26T14:11:50Z

Lidia:

Внешняя аппроксимация

Файл:Sum2.png

2022-12-26T14:11:13Z

Lidia:

Сумма эллипсоидов

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T14:02:59Z

Lidia: /* Примеры */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T14:00:43Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|thumb|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|thumb|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|thumb|right|Внутренняя аппроксимация]]

Файл:Int1.png

2022-12-26T13:59:23Z

Lidia:

Внутренняя аппроксимация

Файл:Ext1.png

2022-12-26T13:56:49Z

Lidia:

Внешняя аппроксимация

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T13:51:23Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Сумма 2|мини|Сумма эллипсоидов]]

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T13:51:05Z

Lidia:

[[Файл:Sum1.png|мини|Сумма эллипсоидов]]
Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 2''' 
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix},
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3 \end{pmatrix}.
\]

Файл:Sum1.png

2022-12-26T13:49:40Z

Lidia:

Сумма эллипсоидов

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T12:42:03Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T12:31:19Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T12:30:49Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1''' 

'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.

'''Лемма 2''' 

Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3''' 

Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1''' 
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$

'''Доказательство''' 
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
'''Лемма 1''' 

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
'''Теорема 1''' 

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.
'''Доказательство''' 

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-26T12:22:43Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
Лемма 1
'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.
Лемма 2
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]
Лемма 3
Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
Теорема 1
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$
Доказательство
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
====Лемма 1====
Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
====Теорема 1====
Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.
=====Доказательство=====
Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-25T14:10:54Z

Lidia: /* Доказательство */

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Определение 1===
Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation}

===Определение 2===
Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
====Лемма 1====
'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.
====Лемма 2====
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]
====Лемма 3====
Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
====Теорема 1====
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$
=====Доказательство=====
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
====Лемма 1====
Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
====Теорема 1====
Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.
=====Доказательство=====
Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-25T14:10:22Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Определение 1===
Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation}

===Определение 2===
Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
====Лемма 1====
'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.
====Лемма 2====
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]
====Лемма 3====
Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
====Теорема 1====
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$
=====Доказательство=====
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
====Лемма 1====
Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
====Теорема 1====
Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.
=====Доказательство=====
Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$

Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают.

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$.

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-25T14:08:06Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Определение 1===
Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation}

===Определение 2===
Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
====Лемма 1====
'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.
====Лемма 2====
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]
====Лемма 3====
Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$ вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
====Теорема 1====
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$
=====Доказательство=====
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $ $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
====Лемма 1====
Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
====Теорема 1====
Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.
=====Доказательство=====
Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$ Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$
Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}. Пусть $$z = Q_2^{\frac{-1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \ in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{\frac{-1}{2}}z_i \in \matbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают. Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$. Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-25T12:58:40Z

Lidia:

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}); \\
\mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Определение 1===
Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}
\end{equation}

===Определение 2===
Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a, Q_{1}), \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
====Лемма 1====
'''(a)''' Эллипсоид $ \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0$ верно определен, а его внешняя оценка суммы $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ суть есть
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого $p > 0 $ \[\]
'''(b)''' По данному вектору $ l \in R^n, \|l\| = 1$ выражение
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр $p \in \Pi^{+}$, такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\]
И обратно, по данному параметру $p \in \Pi^{+}$, существует вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, удовлетворяющий вышеуказанные равенства.
====Лемма 2====
Зафиксируем вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$ и предположим, что для некоторого $ m \in [0,n]$ имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда
\[
c_{ij} \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]
====Лемма 3====
Возьмем эллипсоид $\mathcal{E}(0, C)$вместе с $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $диагональными. Также считаем данным вектор $ l \in R^n, \|l\| = 1$, параметр $p$ считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+}
\]
===Теоремы===
====Теорема 1====
Предполагая, что $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),$ предполагая $Q_1 \text{ и } Q_2 $ положительно определенными, а также $Q(p)$ определенным в соответствии с Леммой 1.
 
Тогда внутренне множество достижимости сумм $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$ состоит из эллипсоидов вида $ \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}$
=====Доказательство=====
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.$a_1 = a_2 = 0$ 
Пусть есть такой эллипсоид, что $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)$.Давайте найдем параметр $p$, такой, чтобы эллипсоид $\mathcal{E}(0, Q(p))$ был зажат между $\mathcal{E}(0, Q)$ и $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 $. Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что $\mathcal{E}(0, Q)$ касательно к $\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$, предполагая существование вектора $ l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1$, такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы $ Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T$ были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
 
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению $ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})$ так мы имеем $ Q^{*} = T'QT$
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})
\]
Пользуясь отображением $ l = T z $ можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где $\overline z = T^{-1} \overline l $
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]

\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор $ z^{*}$ удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}))
\]

Очевидно , что вектора $ z^{*}$ и $\overline z $ неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А $\mathcal{E}_z (0, Q) $ есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 $ \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) $
ЧТД

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation}

===Леммы===
====Лемма 1====
Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.

===Теоремы===
====Теорема 1====
Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$ с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.
=====Доказательство=====
Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$ Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$
Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}. Пусть $$z = Q_2^{\frac{-1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \ in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{\frac{-1}{2}}z_i \in \matbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают. Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$. Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-20T22:13:33Z

Lidia:

Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

2022-12-20T20:57:28Z

Lidia: