http://sawiki.cs.msu.su/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Liza22sawiki - Вклад участника [ru]2026-06-04T04:49:17ZВклад участникаMediaWiki 1.33.1http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3386Системы множеств2023-12-04T19:22:44Z<p>Liza22: /* Борелевские множества */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\<br />
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
<br />
== Ключевые инструменты==<br />
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств, называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.<br />
<br />
'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\<br />
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ — полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\<br />
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
Введем понятие канторова множества. Из отрезка $$[0,1]$$ удалим интервал $$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$$, из оставшегося множества – интервалы $$(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$$ и<br />
$$(\frac{7}{9}, \frac{8}{9})$$, и т.д. В итоге получится множество, не содержащее ни одного интервала. Оно замкнуто, так как его дополнение открыто, имеет меру нуль, так как дополнение к нему имеет меру единица: $$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \dots = 1$$, и имеет мощность континуума, так как входящие в него числа в троичной системе – это всевозможные бесконечные дроби, состоящие из нулей и двоек.<br />
<br />
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой – континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов). Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).<br />
<br />
'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.<br />
<br />
''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. По определению оно получается путем удаления счетного числа интервалов из отрезка, поэтому канторово множество является борелевским. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^K$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.<br />
<br />
'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры. <br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n=1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое. <br />
''Теорема доказана''<br />
<br />
'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу]. <br />
<br />
''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.<br />
<br />
===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===<br />
<br />
Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].<br />
<br />
===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===<br />
<br />
Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).<br />
<br />
'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], порожденная топологией. Под топологией понимаем введение класса открытых множеств.<br />
<br />
'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.<br />
<br />
'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа $$\sigma$$-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими<br />
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А., Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.<br />
<br />
5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3385Системы множеств2023-12-04T19:20:49Z<p>Liza22: /* Борелевские множества */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\<br />
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
<br />
== Ключевые инструменты==<br />
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств, называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.<br />
<br />
'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\<br />
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ — полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\<br />
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
Введем понятие канторова множества. Из отрезка $$[0,1]$$ удалим интервал $$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$$, из оставшегося множества – интервалы $$(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$$ и<br />
$$(\frac{7}{9}, \frac{8}{9})$$, и т.д. В итоге получится множество, не содержащее ни одного интервала. Оно замкнуто, так как его дополнение открыто, имеет меру нуль, так как дополнение к нему имеет меру единица: $$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \cdot = 1$$, и имеет мощность континуума, так как входящие в него числа в троичной системе – это всевозможные бесконечные дроби, состоящие из нулей и двоек.<br />
<br />
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой – континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов). Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).<br />
<br />
'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.<br />
<br />
''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. По определению оно получается путем удаления счетного числа интервалов из отрезка, поэтому канторово множество является борелевским. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^K$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.<br />
<br />
'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры. <br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n=1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое. <br />
''Теорема доказана''<br />
<br />
'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу]. <br />
<br />
''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.<br />
<br />
===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===<br />
<br />
Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].<br />
<br />
===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===<br />
<br />
Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).<br />
<br />
'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], порожденная топологией. Под топологией понимаем введение класса открытых множеств.<br />
<br />
'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.<br />
<br />
'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа $$\sigma$$-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими<br />
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А., Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.<br />
<br />
5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3384Системы множеств2023-12-04T19:16:21Z<p>Liza22: /* Борелевские множества */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\<br />
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
<br />
== Ключевые инструменты==<br />
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств, называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.<br />
<br />
'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\<br />
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ — полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\<br />
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.<br />
<br />
'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа $$\sigma$$-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими<br />
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.<br />
<br />
Введем понятие канторова множества. Из отрезка $$[0,1]$$ удалим интервал $$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$$, из оставшегося множества – интервалы $$(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$$ и<br />
$$(\frac{7}{9}, \frac{8}{9})$$, и т.д. В итоге получится множество, не содержащее ни одного интервала. Оно замкнуто, так как его дополнение открыто, имеет меру нуль, так как дополнение к нему имеет меру единица: $$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \cdot = 1$$, и имеет мощность континуума, так как входящие в него числа в троичной системе – это всевозможные бесконечные дроби, состоящие из нулей и двоек.<br />
<br />
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой – континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов). Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна).<br />
<br />
'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.<br />
<br />
''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. По определению оно получается путем удаления счетного числа интервалов из отрезка, поэтому канторово множество является борелевским. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^K$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.<br />
<br />
'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры. <br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n=1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое. <br />
''Теорема доказана''<br />
<br />
'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу]. <br />
<br />
''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.<br />
<br />
===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===<br />
<br />
Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].<br />
<br />
===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===<br />
<br />
Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А., Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.<br />
<br />
5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3383Системы множеств2023-12-04T18:43:06Z<p>Liza22: /* Ключевые инструменты */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\<br />
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
<br />
== Ключевые инструменты==<br />
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств, называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.<br />
<br />
'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$, пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\<br />
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ — полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\<br />
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.<br />
<br />
'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими<br />
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.<br />
<br />
Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна). <br />
<br />
'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.<br />
<br />
''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^K$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.<br />
<br />
'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры. <br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n=1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое. <br />
''Теорема доказана''<br />
<br />
'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу]. <br />
<br />
''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.<br />
<br />
===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===<br />
<br />
Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].<br />
<br />
===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===<br />
<br />
Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А., Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.<br />
<br />
5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3382Системы множеств2023-12-03T20:07:14Z<p>Liza22: /* Борелевские множества */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\<br />
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
<br />
== Ключевые инструменты==<br />
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.<br />
<br />
'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\<br />
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ — полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\<br />
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.<br />
<br />
'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими<br />
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.<br />
<br />
Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна). <br />
<br />
'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.<br />
<br />
''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^K$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.<br />
<br />
'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры. <br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n=1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое. <br />
''Теорема доказана''<br />
<br />
'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу]. <br />
<br />
''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.<br />
<br />
===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===<br />
<br />
Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].<br />
<br />
===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===<br />
<br />
Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А., Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.<br />
<br />
5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3381Системы множеств2023-12-03T20:06:49Z<p>Liza22: /* Борелевские множества */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\<br />
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
<br />
== Ключевые инструменты==<br />
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.<br />
<br />
'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\<br />
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ — полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\<br />
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.<br />
<br />
'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими<br />
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.<br />
<br />
Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна). <br />
<br />
'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.<br />
<br />
''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.<br />
<br />
'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры. <br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n=1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое. <br />
''Теорема доказана''<br />
<br />
'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу]. <br />
<br />
''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.<br />
<br />
===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===<br />
<br />
Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].<br />
<br />
===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===<br />
<br />
Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А., Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.<br />
<br />
5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3380Системы множеств2023-12-03T20:06:00Z<p>Liza22: /* Борелевские множества */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\<br />
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
<br />
== Ключевые инструменты==<br />
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.<br />
<br />
'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\<br />
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ — полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\<br />
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.<br />
<br />
'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими<br />
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.<br />
<br />
Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна). <br />
<br />
'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.<br />
<br />
''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.<br />
<br />
'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры. <br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое. <br />
''Теорема доказана''<br />
<br />
'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу]. <br />
<br />
''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_i^{0}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{1}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{i=1}^{\infty} \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.<br />
<br />
===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===<br />
<br />
Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].<br />
<br />
===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===<br />
<br />
Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А., Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
3. Полосин А. А., Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.<br />
<br />
5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. "Контрпримеры в анализе", М: ЛКИ, 2007 г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3370Системы множеств2023-12-03T19:43:53Z<p>Liza22: /* Ключевые инструменты */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\\<br />
A \cap(B \cup C) =(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
<br />
== Ключевые инструменты==<br />
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
'''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$, где $$S$$ – некоторое семейство множеств называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
Объединение попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, ..., A_n$$ будем обозначать $$\coprod_{k=1}^n A_k$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$.<br />
<br />
'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\\<br />
=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ — полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i (i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\\<br />
=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. <br />
<br />
''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Борелевская_сигма-алгебра Борелевская сигма-алгебра] — минимальная [https://ru.wikipedia.org/wiki/Сигма-алгебра сигма-алгебра], содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
'''Замечание 1'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.<br />
<br />
'''Замечание 2'''. Легко видеть, что пересечение произвольного числа σ-алгебр — снова некоторая $$\sigma$$-алгебра, поэтому наименьшая $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$, содержащая данное множество $$R \subset 2^X$$ совпадает с пересечением всех $$\sigma$$-алгебр, содержащих $$R$$. В частности, если в качестве $$R$$ взять некоторую топологию, то соответствующая $$\sigma(R)$$ называется борелевской $$\sigma$$-алгеброй, соответствующей топологии R, а элементы этой $$\sigma$$-алгебры — борелевскими<br />
подмножествами $$X$$. Ясно, что борелевская $$\sigma$$-алгебра $$\sigma(R)$$ содержит не только все открытые, но и все замкнутые множества топологии $$R$$, и может быть также определена как наименьшая $$\sigma$$-алгебра, содержащая все замкнутые множества.<br />
<br />
Борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма-алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна). <br />
<br />
'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.<br />
<br />
''Доказательство.'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.<br />
<br />
'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры. <br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое. <br />
''Теорема доказана''<br />
<br />
'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/Мера_Лебега измеримо по Лебегу]. <br />
<br />
''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.<br />
<br />
===Множество Витали: пример неизмеримого по Лебегу множества===<br />
<br />
Опираемся на [https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_выбора аксиому выбора]. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны. Более подробно о построении множества Витали можно изучить [5].<br />
<br />
===Пример измеримого по Лебегу, но не по Борелю множества===<br />
<br />
Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - [https://ru.wikipedia.org/wiki/Канторова_Лестница канторова лестница]. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.<br />
<br />
5. Гелбаум, Б., Олмстед, Дж. Контрпримеры в анализе", М.: ЛКИ, 2007 г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3276Системы множеств2023-11-25T17:35:21Z<p>Liza22: /* Ключевые инструменты */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
'''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
'''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
'''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
'''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
'''Определение'''. Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
'''Определение'''. Непустое семейство множеств $$S$$ из $$X$$ называется полукольцом, если для любых множеств $$A, B \in S \quad A \cap B \in S$$ и $$A \backslash B=\coprod_{k=1}^n A_k$$ (объединение попарно непересекающихся множеств), где $$A_1, A_2, ..., A_n \in S$$ <br />
<br />
'''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
'''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
'''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ — полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ — полукольцо, $$K(S)$$ — минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ — совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$ —минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. <br />
<br />
''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
'''Определение'''. Борелевская сигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
'''Замечание'''. Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.<br />
<br />
Мощность всех борелевских множеств на прямой — континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).Кроме того, борелевские множества измеримы по Лебегу (мера Бореля на этих множествах по определению равна мере Лебега) и образуют сигма=алгебру (мера Бореля счетно-аддитивна). <br />
<br />
'''Утверждение'''. Борелевская мера неполна.<br />
''Доказательство'' Докажем от противного. Допустим, что мера Бореля полна. Рассмотрим канторово множество $$K$$. Очевидно, оно борелевское. Рассмотрим множество всех его подмножеств $$2^K$$. По определению полной меры любое множество $$A \in 2^K$$ должно быть измеримо по Борелю и иметь меру Бореля нуль. Стало быть, мощность всех борелевских множеств не меньше мощности множества $$2^\kappa$$, а это гиперконтинуум — противоречие. Значит, существуют неборелевские множества.<br />
<br />
'''Теорема'''. Любое измеримое множество можно заключить в борелевское множество той же меры. <br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$A$$ — измеримое множество. В силу измеримости для любого натурального $$n$$ существует борелевское множество $$C_n$$ такое, что $$A \subset C_n$$ и $$\mu\left(C_n\right) \leq \mu(A)+1 / n$$. Положим теперь $$C=\bigcap_{n-1}^{\infty} C_n$$, тогда $$C$$ — искомое. <br />
''Теорема доказана''<br />
<br />
'''Теорема''' Любое открытое множество $$G \subset \mathrm{R}^m$$ измеримо по Лебегу. <br />
<br />
''Доказательство''. Накроем все пространство $$\mathrm{R}^m$$ сеткой с шагом 1. Среди кубиков сетки оставим только те, которые целиком содержатся в множестве $$G$$. Обозначим их $$\Delta_j^{\circ}$$. Затем уменьшим вдвое шаг сетки и добавим к имеющимся кубикам новые, обозначив их $$\Delta_i^{\prime}$$, и т.д. Легко видеть, что для таких кубиков $$\coprod_{n=0}^{\infty} \coprod_{m 1}^{\infty} \Delta_i^n \subset G$$, но справедливо и обратное включение $$\coprod_{n-0} \coprod_{n=1}^n \Delta_i^n \supset G$$, откуда следует равенство. Теорема доказана.<br />
<br />
===Пример неизмеримого по Лебегу множества===<br />
<br />
Опираемся на аксиому выбора. Рассмотрим отрезок $$[0,1]$$. Для каждого $$x \in[0,1]$$ определим класс $$K_x=\{y \in[0,1] \mid y-x \in \mathrm{Q}\}$$. Легко видеть, что любые два таких класса либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, весь отрезок $$[0,1]$$ разбивается на попарно непересекающиеся классы. Возьмем теперь по одному представителю из каждого класса. Построенное множество неизмеримо, поскольку отрезок $$[0,1]$$ есть счетное объединение таких множеств, эти множества попарно не пересекаются и конгруэнтны.<br />
доступно контекстное меню<br />
<br />
===Примеры измеримого по Лебегу но не по Борелю множества===<br />
1. Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но не измеримо по Борелю.<br />
<br />
2. Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{1}{2}(x+c(x))$$ на отрезке $$[0,1]$$, где $$c(x)$$ - канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие - измерима. Также измерима обратная к ней функция $$g$$. Мера образа канторова множества равна $$\frac{1}{2}$$, так как мера образа его дополнения равна $$\frac{1}{2}$$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество $$A$$. Тогда его прообраз $$D=f^{-1}(A)$$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе $$A$$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества $$D$$ при измеримом отображении $$g$$ ).<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", М: Физматлит, 2023 г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3261Системы множеств2023-11-20T10:41:52Z<p>Liza22: /* Лемма № 2 (о конечном разложении) */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right).<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. <br />
<br />
''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021 - 2022 г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954 г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3260Системы множеств2023-11-20T10:40:50Z<p>Liza22: /* Список литературы */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. <br />
<br />
''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021 - 2022 г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022 г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954 г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3259Системы множеств2023-11-20T10:40:38Z<p>Liza22: /* Список литературы */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. <br />
<br />
''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2021 - 2022г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2021-2022г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3258Системы множеств2023-11-20T10:39:25Z<p>Liza22: /* Аннотация */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории [https://ru.wikipedia.org/wiki/Мера_множества меры].<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. <br />
<br />
''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2022 - 2023г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3257Системы множеств2023-11-20T10:37:59Z<p>Liza22: /* Борелевские множества */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. <br />
<br />
''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/Топологическое_пространство топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2022 - 2023г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3256Системы множеств2023-11-20T10:37:34Z<p>Liza22: /* Лемма № 2 (о конечном разложении) */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по [https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_индукция индукции].<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. <br />
<br />
''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2022 - 2023г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3255Системы множеств2023-11-20T10:35:28Z<p>Liza22: /* Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по индукции.<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. <br />
<br />
''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2022 - 2023г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3254Системы множеств2023-11-20T10:34:42Z<p>Liza22: /* Лемма № 1 */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по индукции.<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2022 - 2023г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3253Системы множеств2023-11-20T10:33:31Z<p>Liza22: /* Лемма № 2 (о конечном разложении) */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} \quad A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} \quad A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по индукции.<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2022 - 2023г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3252Системы множеств2023-11-20T10:31:59Z<p>Liza22: /* Лемма № 1 */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$A \backslash \left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
''Лемма доказана''.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по индукции.<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2022 - 2023г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3251Системы множеств2023-11-20T10:29:29Z<p>Liza22: /* Ключевые инструменты */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''. Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$\left.A \backslash \coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по индукции.<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2022 - 2023г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3250Системы множеств2023-11-20T10:28:39Z<p>Liza22: /* Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$\left.A \backslash \coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по индукции.<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2022 - 2023г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3249Системы множеств2023-11-20T10:28:34Z<p>Liza22: /* Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$\left.A \backslash \coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по индукции.<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. <br />
''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2022 - 2023г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3248Системы множеств2023-11-20T10:28:12Z<p>Liza22: /* Борелевские множества */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
Пусть $$S$$ – некоторое семейство множеств.<br />
* '''Определение'''. Минимальным кольцом $$K(S)$$ называется кольцо $$K$$, которое содержится в любом кольце, содержащем $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим все кольца, содержащие $$S$$. Такие кольца существуют; примером может служить множество всех подмножеств $$S$$. Возьмем теперь пересечение всех таких колец. Легко видеть, что это и будет минимальное кольцо $$K(S)$$. Таким образом, минимальное кольцо существует.<br />
В общем случае, описание кольца может быть трудной задачей, поэтому мы рассмотрим понятие полукольца.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Пример'''Множество полусегментов $${[a, b)}$$ вещественной прямой образует полукольцо.<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Лемма № 1===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, множества $$A, B_1, B_2, \ldots, B_n \in S$$, причем множества $$B_1, B_2, \ldots, B_n$$ попарно не пересекаются, тогда существует конечный набор попарно непересекающихся множеств $$A_1, A_2, \ldots, A_m \in S$$ таких, что $$\left.A \backslash \coprod_{k=1}^n B_k\right)=\coprod_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство''. <br />
<br />
По индукции. Пусть $$n=1$$. Представим рассматриваемое множество в виде $$A \backslash B_1=A \backslash\left(A \cap B_1\right)$$. В силу определения полукольца $$A \cap B_1 \in S$$, поэтому возможно представление $$A \cap B_1=\coprod_{i=1}^n A_i$$, где все $$A_j \in S$$, откуда и следует утверждение.<br />
<br />
Совершим теперь индуктивный переход. Пусть утверждение справедливо для $$n$$. Докажем его для $$n+1$$. Представим рассматриваемое множество в виде<br />
\begin{equation*}<br />
A \backslash\left(\coprod_{k=1}^{n+1} B_k\right)=\left(A \backslash\left(\coprod_{k=1}^n B_k\right)\right) \backslash B_{n+1}=\left(\coprod_{i=1}^m A_i\right) \backslash B_{n+1}=\coprod_{i=1}^m\left(A_i \backslash B_{n+1}\right)=\coprod_{j=1}^m\left(\coprod_{j=1}^k C_{i j}\right),<br />
\end{equation*}<br />
где все $$C_{i j} \in S$$ (последнее разложение вытекает из предыдущего пункта), что и требовалось доказать.<br />
<br />
===Лемма № 2 (о конечном разложении)===<br />
Пусть:<br />
<br />
1) $$S$$ - полукольцо,<br />
<br />
2) $$A, A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$,<br />
<br />
3) $$\forall i=\overline{1, n} A_i \subset A$$,<br />
<br />
4) $$\forall i, j=\overline{1, n} A_i \cap A_j=\varnothing$$.<br />
<br />
Тогда $$\exists A_{n+1}, \ldots, A_m \in S$$ такие, что $$A=\bigsqcup_{i=1}^m A_i$$.<br />
<br />
''Доказательство.''<br />
<br />
Докажем это утверждения по индукции.<br />
<br />
При $$n=1$$ утверждение леммы составляет часть определения полукольца. <br />
<br />
Пусть теперь утверждение доказано для $$n=k$$, докажем его для $$n=k+1$$. <br />
<br />
Итак, пусть $$A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_l$$ (здесь мы переобозначили «дополняющие» множества, чтобы не возникло путаницы с $$A_k$$ ). Пусть также $$A_{k+1}$$ не пересекается с $$A_1, \ldots A_k$$. Для каждого $$B_i(i=\overline{1, l})$$ рассмотрим $$B_{i 0} \equiv A_{k+1} \cap B_i$$ и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения $$B_i=\bigsqcup_{j=0}^{J_i} B_{i j}$$. Тогда исходное множество $$A$$ можно представить в виде<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_k \sqcup B_1 \sqcup \ldots . \cup B_l=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=0}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктивное. А теперь заметим, что $$A_{k+1}=\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}$$, поскольку множества $$B_i$$ дают разложение $$A \backslash\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right)$$ и $$A_i \cap A_{k+1}=\varnothing$$, $$i=\overline{1, k}$$. Поэтому можно перегруппировать разложение и получить:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
A=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{i=1}^l B_{i 0}\right) \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right)=\left(\bigsqcup_{i=1}^k A_i\right) \sqcup A_{k+1} \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_1} B_{1 j}\right) \sqcup \ldots \sqcup\left(\bigsqcup_{j=1}^{J_l} B_{l j}\right) .<br />
\end{equation*}<br />
''Лемма доказана.''<br />
<br />
===Теорема о структура минимального кольца, порожденного полукольцом===<br />
<br />
Пусть $$S$$ - полукольцо, $$K(S)$$ - минимальное кольцо, порожденное $$S$$, тогда $$K(S)$$ состоит из элементов вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$.<br />
<br />
''Доказательство''. Пусть $$K(S)$$ - совокупность всевозможных множеств вида $$\coprod_{k=1}^n A_k$$, где $$A_1, A_2, \ldots, A_n \in S$$. Докажем, что $$K(S)$$-минимальное кольцо над $$S$$.<br />
<br />
Рассмотрим два множества указанного вида: $$A=\coprod_{k=1}^n A_k, B=\coprod_{j=1}^m B_j$$.<br />
<br />
Сначала докажем, что $$A \cup B \in K(S)$$. Если $$A \cap B=\varnothing$$, то это очевидно. Если же $$A \cap B \neq \varnothing$$, то докажем, что $$A \backslash B \in K(S)$$. Для этого рассмотрим два случая:<br />
<br />
а) Частный случай: $$A \in S$$. Тогда в силу леммы $$A \backslash B=A \backslash\left(\coprod_{j=1}^m B_j\right)=\coprod_{i=1}^{\prime} C_i$$, где все $$C_i \in S$$. Стало быть, $$A \backslash B \in K(S)$$;<br />
<br />
б) Общий случай: $$A$$ не обязательно принадлежит $$S$$. Но тогда $$A \backslash B=\left(\coprod_{k=1}^n A_k\right) \backslash B=\coprod_{k=1}^n\left(A_k \backslash B\right) \in K(S)$$ в силу пункта а). Осталось заметить, что $$A \cup B=B \bigsqcup(A \backslash B) \in K(S)$$.<br />
<br />
Теперь докажем, что $$A \triangle B \in K(S)$$. В самом деле, $$A \triangle B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A) \in K(S)$$. ''Теорема доказана''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
==Борелевские множества==<br />
*'''Определение'''. Борелевскими называются множества, получающиеся в результате счетного объединения или пересечения открытых множеств.<br />
<br />
Заметим, что мощность всех борелевских множеств на прямой - континуум (это следует из того, что всякое открытое множество представимо в виде объединения попарно непересекающихся интервалов).<br />
<br />
*'''Определение'''. Борелевская сиигма-алгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE топологического пространства]. Эти подмножества также называются борелевскими.<br />
<br />
==Список литературы==<br />
<br />
1. Точилин П. А. Курс занятий "Функциональный анализ", 2022 - 2023г.<br />
<br />
2. Моисеев Е. И. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
3. Полосин А. А. Курс лекций "Теория функций и функциональный анализ", 2022-2023г.<br />
<br />
4. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. "Элементы теории функций и функционального анализа", 1954г.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3132Системы множеств2023-11-06T22:28:36Z<p>Liza22: </p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. <br />
<br />
Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3131Системы множеств2023-11-06T22:25:46Z<p>Liza22: </p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Ключевые инструменты==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
* '''Определение'''. Система множеств $$S$$ называется ''полукольцом'', если:<br />
<br />
$$1) \varnothing \in S;$$<br />
<br />
$$2) \forall A \in S, \forall B \in S: A \cap B \in S;$$<br />
<br />
$$3) \forall A \in S, \forall A_1 \in S, A_1 \subset A, \exists n \in \mathbb{N}, \exists A_2, \ldots A_n \in S: A_1 \sqcup A_2 \sqcup \ldots \sqcup A_n=A.$$<br />
<br />
* '''Замечание'''. Не всякое кольцо (или полукольцо) множеств содержит единицу. Примеры:<br />
<br />
а) семейство всех конечных подмножеств бесконечного множества;<br />
<br />
б) семейство всех ограниченных подмножеств числовой прямой (или плоскости); <br />
<br />
в) множество всех промежутков с рациональными концами, содержащихся в отрезке $$[0; \pi].$$ <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\sigma$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ объединение $$\cup_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$. <br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо $$K$$ называется ''$$\delta$$-кольцом'', если для любой последовательности множеств $$\left\{A_n\right\}_{n=1}^{\infty}, A_n \in K$$ пересечение $$\cap_{n=1}^{\infty} A_n$$ также содержится в $$K$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'', $$\sigma$$-кольцо множеств с единицей называется $$\sigma$$-''алгеброй'', $$\delta$$-кольцо множеств с единицей называется $$\delta$$-''алгеброй''.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3106Системы множеств2023-11-03T19:58:55Z<p>Liza22: </p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Кольцо ==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$S$$, если оно принадлежит $$S$$ и если для любого $$A \in S$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$S$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$S$$ множества.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'' множеств.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
4. Система всех ограниченных подмножеств числовой прямой является кольцом множеств, не содержащим единицы.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3105Системы множеств2023-11-03T19:46:29Z<p>Liza22: </p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I}^{} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.<br />
== Кольцо ==<br />
* '''Определение'''. Непустая система множеств $$K$$ называется ''кольцом'', если для любых $$A,\ B \in K$$:<br />
\[1) A \Delta B \in K,\]<br />
<br />
\[2) A \cap B \in K.\]<br />
<br />
Так как для любых $$A$$ и $$B$$: $$A \cup B=(A \triangle B) \cup(A \cap B)$$ и $$A \backslash B=A \triangle(A \cap B)$$,то из $$A, B \in K$$ вытекает также принадлежность к $$K$$ множеств $$A \cup B$$ и $$A \backslash B$$. Таким образом, ''кольцо'' множеств есть система множеств, замкнутая относительно операций пересечения и симметрической разности. Кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений вида<br />
\[<br />
C=\bigcup_{k=1}^n A_k, \quad D=\bigcap_{k=1}^n A_k<br />
\]<br />
<br />
Любое кольцо содержит пустое множество $$\varnothing$$, так как $$A \backslash A=\varnothing$$. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.<br />
<br />
* '''Определение'''. Множество $$E$$ называется ''единицей'' системы множеств $$\mathfrak{S}$$, если оно принадлежит $$\mathfrak{S}$$ и если для любого $$A \in \mathfrak{S}$$ имеет место равенство:<br />
\[<br />
A \cap E=A.<br />
\]<br />
<br />
Таким образом, единица системы множеств $$\mathfrak{S}$$ есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в $$\mathfrak{S}$$ множества.<br />
<br />
* '''Определение'''. Кольцо множеств с единицей называется ''алгеброй'' множеств.<br />
<br />
===Примеры===<br />
1. Для любого множества $$A$$ система всех его подмножеств представляет собой алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
2. Для любого непустого множества $$A$$ система, состоящая из множества $$A$$ и пустого множества $$\varnothing$$, образует алгебру множеств с единицей $$E=A$$.<br />
<br />
3. Система всех конечных подмножеств произвольного множества $$A$$ представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том и только том случае, когда множество $$A$$ конечно.<br />
<br />
4. Система всех ограниченных подмножеств числовой прямой является кольцом множеств, не содержащим единицы.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3104Системы множеств2023-11-02T21:24:40Z<p>Liza22: /* Операции над множествами */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
* '''Определение'''. ''Объединением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''объединением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Пересечением'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется ''пересечением'' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность:''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность:''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность:''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
* '''Определение'''. ''Симметрической разностью'' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3103Системы множеств2023-11-02T21:10:03Z<p>Liza22: /* Определение 2 */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
=== Определение 1 ===<br />
'''Объединением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется '''объединением''' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
=== Определение 2 ===<br />
'''Пересечением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется '''пересечением''' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность''<br />
\[A \cup B=B \cup A,\quad A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C);\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C),\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
=== Определение 3 ===<br />
'''Разностью''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
=== Определение 4 ===<br />
'''Симметрической разностью''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3102Системы множеств2023-11-02T21:04:44Z<p>Liza22: </p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
=== Определение 1 ===<br />
'''Объединением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется '''объединением''' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcup_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
=== Определение 2 ===<br />
'''Пересечением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется '''пересечением''' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$\Lambda_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
<br />
1) ''коммутативность''<br />
\[A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A ;\]<br />
<br />
2) ''ассоциативность''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C):\]<br />
<br />
3) ''дистрибутивность''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C), A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
=== Определение 3 ===<br />
'''Разностью''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$A \backslash B$$ ), состоящее из элементов множества $$A$$, не принадлежащих множеству $$B$$.<br />
<br />
=== Определение 4 ===<br />
'''Симметрической разностью''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$A \Delta B=$$ $$(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3101Системы множеств2023-11-02T21:01:35Z<p>Liza22: </p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
=== Определение 1 ===<br />
'''Объединением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $$C$$ называется '''объединением''' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\cup_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
=== Определение 2 ===<br />
'''Пересечением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C= A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. Множество $$C$$ называется '''пересечением''' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $$C=\cap_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $$\Lambda_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими '''свойствами''':<br />
1) ''коммутативность''<br />
\[A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A ;\]<br />
2) ''ассоциативность''<br />
\[(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C):\]<br />
3) ''дистрибутивность''<br />
\[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C), A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).\]<br />
<br />
=== Определение 3 ===<br />
Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $C$ (обозначается $A \backslash B$ ), состоящее из элементов множества $A$, не принадлежащих множеству $B$.<br />
<br />
Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $A \Delta B=$ $(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3100Системы множеств2023-11-02T20:58:59Z<p>Liza22: </p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
=== Определение 1 ===<br />
'''Объединением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C = A \cup B$$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A$$ или $$B$$. <br />
<br />
Множество $C$ называется '''объединением''' множеств $$A_\alpha$$, где $$\alpha$$ пробегает множество индексов $$I$$, и обозначается $$C=\cup_{\alpha \in I} A_\alpha$$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$A_\alpha$$, т.е.<br />
\[<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
\]<br />
<br />
=== Определение 3 ===<br />
'''Пересечением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C=$ $A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. Множество $$C$$ называется '''пересечением''' множеств $A_\alpha$, где $\alpha$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $C=\cap_{\alpha \in I} A_\alpha$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $\Lambda_\alpha$, т.е.<br />
$$<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
$$<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами:<br />
1) ''коммутативность''<br />
$$A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A ;$$<br />
2) ''ассоциативность''<br />
$$(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C):$$<br />
3) ''дистрибутивность''<br />
$$A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C), A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).$$<br />
<br />
Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $C$ (обозначается $A \backslash B$ ), состоящее из элементов множества $A$, не принадлежащих множеству $B$.<br />
<br />
Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $A \Delta B=$ $(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3099Системы множеств2023-11-02T20:58:09Z<p>Liza22: </p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
=== Определение 1 ===<br />
'''Объединением''' множеств $$A$$ и $B$ называется множество C (обозначается $C = A \cup B$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$. <br />
<br />
Множество $C$ называется '''объединением''' множеств $A_\alpha$, где $\alpha$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $C=\cup_{\alpha \in I} A_\alpha$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A_\alpha$, т.е.<br />
$$<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
$$<br />
<br />
=== Определение 3 ===<br />
'''Пересечением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C=$ $A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. Множество $$C$$ называется '''пересечением''' множеств $A_\alpha$, где $\alpha$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $C=\cap_{\alpha \in I} A_\alpha$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $\Lambda_\alpha$, т.е.<br />
$$<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
$$<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами:<br />
1) ''коммутативность''<br />
$$A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A ;$$<br />
2) ''ассоциативность''<br />
$$(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C):$$<br />
3) ''дистрибутивность''<br />
$$A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C), A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).$$<br />
<br />
Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $C$ (обозначается $A \backslash B$ ), состоящее из элементов множества $A$, не принадлежащих множеству $B$.<br />
<br />
Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $A \Delta B=$ $(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3098Системы множеств2023-11-02T20:57:49Z<p>Liza22: </p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==<br />
=== Определение 1 ===<br />
'''Объединением''' множеств $A$ и $B$ называется множество C (обозначается $C = A \cup B$), состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A$ или $B$. <br />
<br />
Множество $C$ называется '''объединением''' множеств $A_\alpha$, где $\alpha$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $C=\cup_{\alpha \in I} A_\alpha$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $A_\alpha$, т.е.<br />
$$<br />
x \in C \Longleftrightarrow \exists \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
$$<br />
<br />
=== Определение 3 ===<br />
'''Пересечением''' множеств $$A$$ и $$B$$ называется множество $$C$$ (обозначается $$C=$ $A \cap B)$$, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из множеств $$A$$ и $$B$$. Множество $$C$$ называется '''пересечением''' множеств $A_\alpha$, где $\alpha$ пробегает множество индексов $I$, и обозначается $C=\cap_{\alpha \in I} A_\alpha$, если оно состоит из всех таких элементов, которые принадлежат каждому множеству $\Lambda_\alpha$, т.е.<br />
$$<br />
x \in C \Longleftrightarrow \forall \alpha \in I: x \in A_\alpha .<br />
$$<br />
<br />
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами:<br />
1) ''коммутативность''<br />
$$A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A ;$$<br />
2) ''ассоциативность''<br />
$$(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C),(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C):$$<br />
3) ''дистрибутивность''<br />
$$A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C), A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C).$$<br />
<br />
Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $C$ (обозначается $A \backslash B$ ), состоящее из элементов множества $A$, не принадлежащих множеству $B$.<br />
<br />
Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называется множество $A \Delta B=$ $(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$.</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2&diff=3097Системы множеств2023-11-02T20:20:48Z<p>Liza22: Новая страница: «== Аннотация == В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, эл...»</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будут рассматриваются системы множеств, т.е. те множества, элементы которых сами представляют собой какие-либо множества. Мотивация изучения этих объектов состоит в том, что они служат фундаментом при изложении общей теории меры.<br />
<br />
== Операции над множествами ==</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2036Достаточные условия существования оптимального управления2022-12-01T13:31:23Z<p>Liza22: /* Пример 4 */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будет рассмотрена теорема существования оптимального управления для нелинейной системы в $$\mathbb{R}^n$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\dot x = f(t, x(t), u(t))<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Приведём контрпримеры, демонстрирующие невозможность отыскать оптимальное управление при помощи [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП].<br />
<br />
== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
Ограничивающее множество $$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Тогда функция Гамильтона-Понтрягина примет вид:<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
Множество обобщенных скоростей (векторграмма) $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$ <br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1): \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi)$$<br />
<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$. Далее для простоты записи чёрточки над $$x$$ и $$f$$ будем опускать.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2035Достаточные условия существования оптимального управления2022-12-01T13:30:52Z<p>Liza22: /* Пример 4 */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будет рассмотрена теорема существования оптимального управления для нелинейной системы в $$\mathbb{R}^n$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\dot x = f(t, x(t), u(t))<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Приведём контрпримеры, демонстрирующие невозможность отыскать оптимальное управление при помощи [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП].<br />
<br />
== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
Ограничивающее множество $$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Тогда функция Гамильтона-Понтрягина примет вид:<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
Множество обобщенных скоростей (векторграмма) $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$ <br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi)$$<br />
<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$. Далее для простоты записи чёрточки над $$x$$ и $$f$$ будем опускать.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2034Достаточные условия существования оптимального управления2022-12-01T13:30:40Z<p>Liza22: /* Пример 4 */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будет рассмотрена теорема существования оптимального управления для нелинейной системы в $$\mathbb{R}^n$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\dot x = f(t, x(t), u(t))<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Приведём контрпримеры, демонстрирующие невозможность отыскать оптимальное управление при помощи [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП].<br />
<br />
== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
Ограничивающее множество $$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Тогда функция Гамильтона-Понтрягина примет вид:<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
Множество обобщенных скоростей (векторграмма) $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$ <br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi)$$<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$. Далее для простоты записи чёрточки над $$x$$ и $$f$$ будем опускать.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2033Достаточные условия существования оптимального управления2022-12-01T13:28:36Z<p>Liza22: /* Пример 2 */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будет рассмотрена теорема существования оптимального управления для нелинейной системы в $$\mathbb{R}^n$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\dot x = f(t, x(t), u(t))<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Приведём контрпримеры, демонстрирующие невозможность отыскать оптимальное управление при помощи [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП].<br />
<br />
== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
Ограничивающее множество $$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
Тогда функция Гамильтона-Понтрягина примет вид:<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
Множество обобщенных скоростей (векторграмма) $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$ <br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$. Далее для простоты записи чёрточки над $$x$$ и $$f$$ будем опускать.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2032Достаточные условия существования оптимального управления2022-12-01T13:27:49Z<p>Liza22: /* Пример 2 */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будет рассмотрена теорема существования оптимального управления для нелинейной системы в $$\mathbb{R}^n$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\dot x = f(t, x(t), u(t))<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Приведём контрпримеры, демонстрирующие невозможность отыскать оптимальное управление при помощи [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП].<br />
<br />
== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
Ограничивающее множество $$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
Множество обобщенных скоростей (векторграмма) $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$ <br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$. Далее для простоты записи чёрточки над $$x$$ и $$f$$ будем опускать.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2031Достаточные условия существования оптимального управления2022-12-01T13:26:38Z<p>Liza22: /* Пример 3 */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будет рассмотрена теорема существования оптимального управления для нелинейной системы в $$\mathbb{R}^n$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\dot x = f(t, x(t), u(t))<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Приведём контрпримеры, демонстрирующие невозможность отыскать оптимальное управление при помощи [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП].<br />
<br />
== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
$$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$, т.е. ограничивающее множество не является компактным:<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
Множество обобщенных скоростей (векторграмма) $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$ <br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$. Далее для простоты записи чёрточки над $$x$$ и $$f$$ будем опускать.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2030Достаточные условия существования оптимального управления2022-12-01T13:24:40Z<p>Liza22: /* Пример 2 */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будет рассмотрена теорема существования оптимального управления для нелинейной системы в $$\mathbb{R}^n$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\dot x = f(t, x(t), u(t))<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Приведём контрпримеры, демонстрирующие невозможность отыскать оптимальное управление при помощи [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП].<br />
<br />
== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
$$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$, т.е. ограничивающее множество не является компактным:<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
$$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$<br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$. Далее для простоты записи чёрточки над $$x$$ и $$f$$ будем опускать.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2029Достаточные условия существования оптимального управления2022-12-01T13:03:04Z<p>Liza22: /* Аннотация */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будет рассмотрена теорема существования оптимального управления для нелинейной системы в $$\mathbb{R}^n$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\dot x = f(t, x(t), u(t))<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Приведём контрпримеры, демонстрирующие невозможность отыскать оптимальное управление при помощи [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП].<br />
<br />
== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
$$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$:<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
$$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$<br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$. Далее для простоты записи чёрточки над $$x$$ и $$f$$ будем опускать.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2028Достаточные условия существования оптимального управления2022-12-01T13:02:33Z<p>Liza22: /* Аннотация */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будет рассмотрена теорема существования оптимального управления для нелинейной системы в $$\mathbb{R}^n$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\dot x = f(t, x(t), u(t))<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Приведём контрпримеры, демонстрирующие невозможность отыскать оптимальное управление при помощи [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП.]<br />
<br />
== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
$$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$:<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
$$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$<br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$. Далее для простоты записи чёрточки над $$x$$ и $$f$$ будем опускать.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2027Достаточные условия существования оптимального управления2022-12-01T13:01:25Z<p>Liza22: /* Аннотация */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будет рассмотрена теорема существования оптимального управления для нелинейной системы в $\mathbb{R}^n$:<br />
$$\dot x = f(t, x(t), u(t))$$<br />
<br />
Приведём контрпримеры, демонстрирующие невозможность отыскать оптимальное управление при помощи [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП.]<br />
<br />
== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
$$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$:<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
$$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$<br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$. Далее для простоты записи чёрточки над $$x$$ и $$f$$ будем опускать.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2026Достаточные условия существования оптимального управления2022-12-01T12:59:16Z<p>Liza22: /* Аннотация */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будет рассмотрена теорема существования оптимального управления для нелинейной системы. Приведём контрпримеры, демонстрирующие невозможность отыскать оптимальное управление при помощи [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП]<br />
<br />
== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
$$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$:<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
$$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$<br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$. Далее для простоты записи чёрточки над $$x$$ и $$f$$ будем опускать.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2025Достаточные условия существования оптимального управления2022-12-01T12:58:31Z<p>Liza22: /* Случаи, когда решения не существует */</p>
<hr />
<div>== Аннотация ==<br />
В этой статье будет рассмотрена теорема существования оптимальных управлений для нелинейных систем. Приведём контрпримеры, демонстрирующие невозможность отыскать оптимальное управление при помощи [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП]<br />
== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
$$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$:<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
$$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$<br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$. Далее для простоты записи чёрточки над $$x$$ и $$f$$ будем опускать.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2002Достаточные условия существования оптимального управления2022-11-29T11:47:13Z<p>Liza22: /* Доказательство */</p>
<hr />
<div>== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
$$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$:<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
$$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$<br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \widetilde{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \widetilde{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\widetilde{t}, \overline{x}^*(\widetilde{t}, \widetilde{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2001Достаточные условия существования оптимального управления2022-11-29T11:46:04Z<p>Liza22: /* Доказательство */</p>
<hr />
<div>== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
$$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$:<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
$$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$<br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u) = \frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{d\overline{x}^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \bar{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \bar{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, \overline{x}^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\bar{t}, \overline{x}^*(\bar{t}, \bar{u})),\\<br />
\frac{d\overline{x}^*(t_k)}{dt} \to \frac{d\overline{x}^*(\widetilde{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\widetilde{u} \in \mathcal{P}^*(\widetilde{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D1%83%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=2000Достаточные условия существования оптимального управления2022-11-29T11:42:21Z<p>Liza22: /* Доказательство */</p>
<hr />
<div>== Случаи, когда решения не существует==<br />
=== Пример 1 ===<br />
Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ пусто:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = 0, \\<br />
x(0) = 0,\\<br />
x(1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
=== Пример 2 ===<br />
$$\mathcal{P} \notin \mathrm{conv}~\R$$:<br />
[[Файл:Elis1.png|мини|справа]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, & u \in \R, \\<br />
x(0) = 1,\\<br />
x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 x^2(t) dt \to \inf.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Перейдём к расширенной системе:<br />
<br />
\begin{equation*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x_0} = x_1^2, \\<br />
\dot{x_1} = u.<br />
\end{cases}<br />
\end{equation*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 x_1^2 + \psi_1 u,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
В этом случае $$u = \pm \infty$$. Рассмотрим управления $$u_k$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
-k, &\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0, &\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1-kt,\; t \in \left[0, \frac{1}{k}\right],\\<br />
0,\; \text{иначе}.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Тогда $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$, т.к. $$J(\cdot) \geqslant 0.$$<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = \int\limits_0^{\frac{1}{k}}(1 - kt)^2 dt = \frac{1}{3k} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Но $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается в силу непрерывности $$x(\cdot)$$.<br />
<br />
=== Пример 3 ===<br />
$$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) \notin \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$<br />
[[Файл:2.png|мини]]<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1, \\<br />
x(0) = x(1) = 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = \int_0^1 [x^2(t) + (1 - u^2(t))^2] dt \rightarrow \underset{u(\cdot)}{\mathrm{inf}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_0 (u_1^2 + (1 - u^2)^2) + \psi_1 u, \\<br />
\begin{cases}<br />
\dot{\psi}_0 = 0, \\<br />
\dot{\psi}_1 = -2 \psi_0 x_1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-1, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x_k(t) =<br />
\begin{cases}<br />
t - \frac{2j}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j}{2k}, \frac{2j + 1}{2k}\right],\\<br />
-t + \frac{2j + 2}{2k}, \; t \in \left[\frac{2j + 1}{2k}, \frac{2j + 2}{2k}\right].<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J\left(u_k(\cdot)\right) = k \int\limits_0^{\frac{1}{k}} x_k^2(t) dt = 2k \int\limits_0^{\frac{1}{2k}} t^2 dt = \frac{1}{3(2k)^2} \underset{k \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\mathrm{inf}J(\cdot)$$ не достигается даже при ограничении $$|u| \leqslant 1$$.<br />
<br />
''Замечание:'' В отличие от '''Примера 2''' [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D0%9B.%D0%A1._%D0%9F%D0%BE%D0%BD%D1%82%D1%80%D1%8F%D0%B3%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F ПМП] даёт результат, но неправильный.<br />
<br />
=== Пример 4 ===<br />
$$\overline{\varphi} \notin C(E)$$<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{cases}<br />
\dot{x} = u, \; |u| \leqslant 1,\\<br />
x(0) = 0,\\<br />
t_1 x(t_1) = 1.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
J = x(t_1) \rightarrow \mathrm{inf}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{H} = \psi_1 u, <br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
u^* =<br />
\begin{cases}<br />
1, \; \psi_1 > 0, \\<br />
[-1, 1],\; \psi_1 = 0, \\<br />
-1, \;\psi_1 < 0.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
Отсюда:<br />
\begin{gather*}<br />
\begin{matrix}<br />
\dot{\psi_1} = 0, \\<br />
\psi_1[0] = - \lambda_3 \; \mathcal{H}\vert_{t = t_0} = \lambda_2, \\<br />
\psi_1[t_1] = \lambda_0 + \lambda_1 t_1 \; \mathcal{H} \vert_{t = t_1} = -\lambda_1 x(t_1).<br />
\end{matrix}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Фиксируем $$\tau > 0$$:<br />
\begin{gather*}<br />
u(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
1, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t) = <br />
\begin{cases}<br />
0, \; t \in [0, \tau], \\<br />
t - \tau, \; t > \tau.<br />
\end{cases}<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
x(t_1) t_1 = 1 \Rightarrow t_1^2 - \tau t_1 - 1 = 0,\\<br />
t_1 = \frac{\tau + \sqrt{\tau^2 + 4}}{2}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
При $$\tau \rightarrow +\infty$$: $$t_1 \rightarrow +\infty$$ и $$x(t_1) = \frac{1}{t_1} \rightarrow 0$$. Следовательно, $$\mathrm{inf}J(\cdot) = 0$$ не достигается.<br />
<br />
== Теорема о существовании оптимального управления ==<br />
<br />
Пусть $$\dot x = f(t, x(t), u(t)),\ u(t) \in \mathcal{P}$$, где $$f$$ удовлетворяет описанию, обозначенному в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9E%D0%94%D0%A3_%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8 итоговых условиях на функцию]:<br />
\begin{gather*}<br />
\varphi_0(e) \rightarrow \infty,\\<br />
\varphi_1(e) = \varphi_2(e) = \ldots = \varphi_k(e) = 0.<br />
\end{gather*}<br />
Пусть также:<br />
# Множество допустимых пар $$\{x(\cdot),\ u(\cdot)\}$$ не пусто, то есть $$S^1 = \{(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot)) \in S | \varphi(e) = 0,\ e = e(t_0,\ t_1,\ x^0,\ u(\cdot))\} \neq \emptyset$$. [[#Пример 1|Пример 1.]]<br />
# $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}^m$$. [[#Пример 2|Пример 2.]]<br />
# $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$, $$\mathcal{F}(t,\ \overline{x})$$ $$-$$ множество возможных скоростей (векторграмма). [[#Пример 3|Пример 3.]]<br />
# $$E = \{e = (t_0,\ x^0, t_1, x^1) \in \mathbb{R}^{2n+2}: \varphi(e) = 0\}$$ $$-$$ компакт, $$\overline{\varphi} = (\varphi_0,\ \varphi) \in C(E)$$. [[#Пример 4|Пример 4.]]<br />
Тогда решение задачи оптимального управления существует ($$\exists u^*$$ $$-$$ измеримое).<br />
<br />
''Замечание:'' Если $$f(t,\ x,\ u) = f^0(t,\ x) + g(t,\ x)\cdot u$$, то условие $$3$$ можно заменить на $$\mathcal{P} \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$.<br />
<br />
=== Доказательство ===<br />
Пусть $$\varphi_* = \mathrm{inf}\{\varphi_0(e): e = e(s), s \in S^1\}$$, $$\varphi_* > -\infty$$, т.к. $$\overline{\varphi} \in C(E)$$, $$E$$ $$-$$ компакт. По определению инфимума:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon = \frac{1}{k} \;\; \exists (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}): \;\; \varphi_* \leqslant \varphi_0(e^{(k)}) \leqslant \varphi_* + \frac{1}{k},\ e^{(k)} = (t_0^{(k)},\ x^{0,\ (k)}, t_1^{(k)}, u(\cdot)^{(k)}).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
''План доказательства:''<br />
* Доказать, что $$x^{(k)}(\cdot) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} x^*(\cdot)$$ в пространстве $$C$$.<br />
* Доказать, что $$x^*(\cdot)$$ порождается некоторым управлением $$u^*(\cdot)$$.<br />
<br />
Без ограничения общности, положим $$t_0^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_0^*$$, $$t_1^{(k)}(\cdot) \rightarrow t_1^*$$, $$x^{0,(k)}(\cdot) \rightarrow x^{0,*}$$ (т.к. $$E$$ $$-$$ компакт).<br />
<br />
1) $$\frac{d}{dt}{\|x(t)\|}^2 = 2\langle x, f(t,\ x,\ u) \rangle \leqslant 2\|x\|\|f(t,\ x,\ u)\| \overset{\text{условие сублинейного роста}}{\leqslant} 2A\|x\|^2 + 2B\|x\| = (2A + 1) \|x\|^2 + \tilde{B}$$.<br />
<br />
Откуда:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{d}{dt}\left(\|x(t)\|^2e^{-(2A+1)t}\right) \leqslant \tilde{B} e^{-(2A + 1)t}\|,\\<br />
\|x(t)\|^2 e^{-(2A+1)t} - \|{x(t_0)}^2\| e^{-(2A+1)t_0} \leqslant \int\limits_{t_0}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s} ds,\\<br />
\|{x^{(k)}(t)}\|^2 \leqslant \underbrace{\|{x^{(k)}(t_0^{(k)})}\|^2 e^{(2A + 1)(t - t_0^{(k)})} + e^{(2A + 1)t} \int\limits_{t_0^{(k)}}^{t} \tilde{B} e^{-(2A + 1)s}ds}_{\text{ограниченная функция}}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит, $$\{x^k(\cdot)\}$$ равномерно ограничена: $$\forall k$$ $$\exists M: \|x^{(k)}\| \leqslant M$$.<br />
<br />
Теперь покажем равностепенную непрерывность: $$\|x^{(k)}(t_2) - x^{(k)}(t_1)\| \leqslant \int\limits_{t_1}^{t_2}\|f(t,\ x^{(k)}(t),\ u^{(k)}(t)\|dt \leqslant \underbrace{(AM + B)}_{L}\underbrace{|t_2 - t_1|}_{\delta} < \varepsilon$$.<br />
<br />
Тогда по теореме Арцела-Асколи: <br />
\begin{gather*}<br />
x^{(k)}(\cdot) \rightrightarrows x^*(\cdot),<br />
\end{gather*}<br />
Таким образом, $$x^{(k)}\rightrightarrows x^*$$ в пространстве $$C$$.<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^*(t_2) - x^*(t_1)}\| \leqslant L |t_2 - t_1|,<br />
\end{gather*}<br />
Получаем <br />
\begin{gather*}<br />
x^*(\cdot) \in \mathrm{Lip} \Rightarrow x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Всё, изложенное выше, выполняется и для $$\overline{x} = (x_0,\ x)$$.<br />
<br />
2) Докажем, что $$\forall t$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}}\{\overline{f}(t,\ \overline{x},\ u)\}$$.<br />
<br />
Пусть $$t$$ такое, что $$\exists$$ $$\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt}$$. Обозначим $$\mathcal{F}_{\varepsilon, t} = \mathcal{F}_t + B_{\varepsilon}(0) \in \mathrm{conv}~\R^{n+1}$$. $$f(t,\ x,\ u) \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\times B_M(0) \times \mathcal{P})$$, следовательно $$f$$ равномерно непрерывна, т.е.:<br />
\begin{gather*}<br />
\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0: \forall (t_1, x_1, u_1), (t_2, x_2, u_2) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \times \mathcal{P},\\<br />
|t_1 - t_2| + \|{x_1 - x_2}\| + \|{u_1 - u_2}\| < \delta,\\<br />
\|{f(t_1, x_1, u_1) - f(t_2, x_2, u_2)}\| < \varepsilon.<br />
\end{gather*}<br />
Возьмем $$u_1 = u_2 = u$$, тогда $$\forall (\tau, x) \in [T_0, T_1] \times B_{M}(0) \colon$$<br />
\begin{gather*}<br />
|\tau - t| + \|{x - x^*(t)}\| < \delta,<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather}<br />
\Delta f = \|f(\tau, x, u) - f(t, x^*, u)\| \leqslant \varepsilon, \label{ex1}<br />
\end{gather}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\forall u \in \mathcal{P}: f(\tau, x, u) = f(t, x^*, u) + \Delta f,<br />
\end{gather*}<br />
<br />
\begin{gather*}<br />
\mathcal{F}(\tau,\ \overline{x}) = \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(\tau,\ \overline{x},\ u) \right\} \subseteq \bigcup\limits_{u \in \mathcal{P}} \left\{ \overline{f}(t,\ \overline{x}^*,\ u) \right\} + B_{\varepsilon}(0) = \mathcal{F}_{\varepsilon, t},\\<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Рассмотрим неравенство:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^*(t)}\| \leqslant \|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| + \|{x^{(k)}(t) - x^*(t)}\|.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Выберем $$\tau$$:<br />
\begin{gather*}<br />
\|{x^{(k)}(\tau) - x^{(k)}(t)}\| \leqslant L \|\tau - t\| < \frac{\delta}{4},\\<br />
\exists K \;\; \forall k \geqslant K \;\; \|{x^{(k)}(t) - x^{*}(t)}\| \leqslant \frac{\delta}{4},\\<br />
|\tau - t| < \mathrm{min}\{\frac{\delta}{4L},\ \frac{\delta}{2}\}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
<br />
Тогда из \eqref{ex1} получаем:<br />
\begin{gather}<br />
\mathcal{F}(\tau, x^{(k)}(\tau)) \subseteq \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \label{ex2}.<br />
\end{gather}<br />
<br />
Рассмотрим последовательность $$z^{(k)}(s) = f(s, x^{(k)}(s), u^{(k)}(s))$$, выполнено:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} = \frac{1}{h} \int\limits_{t}^{t+h} \underbrace{z^{(k)}(s)}_{\in \mathcal{F}(s,\ x^{(k)}(s))} ds \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t}.<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Значит:<br />
\begin{gather*}<br />
\frac{x^{(k)}(t+h) - x^{(k)}(t)}{h} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \bigg| \lim\limits_{h \to 0} \; \lim\limits_{k \to \infty},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}_{\varepsilon, t} \; \forall \varepsilon > 0 \bigg| \lim\limits_{\varepsilon \to 0 + 0},\\<br />
\frac{d \overline{x}^*(t)}{dt} \in \mathcal{F}(t, \overline{x}^*(t)).<br />
\end{gather*}<br />
<br />
Таким образом, $$\frac{d\overline{x}^*(t)}{dt} \overset{\text{п. в.} t}{=} \overline{f}(t, \overline{x}^*(t), u^*(t))$$.<br />
<br />
Покажем, что множество $$\mathcal{P}^*(t) = \left\{ u \in \mathcal{P}\colon \overline{f}(t, x^*(t), u) = \frac{dx^*(t)}{dt} \right\}$$ измеримо по $$t$$. <br />
<br />
$$x^*(\cdot) \in \mathrm{AC}$$, тогда $$\frac{dx^*(t)}{dt}$$ $$-$$ измеримо. По теореме Лузина $$\frac{dx^*}{dt} \in \mathrm{C}([T_0,\ T_1]\setminus Z),\ \mu(Z) < \tilde{\varepsilon}$$.<br />
<br />
Рассмотрим <br />
\begin{gather*}<br />
t_k \in [T_0, T_1] \setminus Z, \; t_k \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \bar{t},<br />
\end{gather*}<br />
\begin{gather*}<br />
u_k \in \mathcal{P}^*(t_k) \to \bar{u} \in \mathcal{P},\\<br />
\frac{dx^*(t_k)}{dt} = \overline{f}(t_k, x^*(t_k), u_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \overline{f}(\bar{t}, x^*(\bar{t}, \bar{u})),\\<br />
\frac{dx^*(t_k)}{dt} \to \frac{dx^*(\bar{t})}{dt}.<br />
\end{gather*}<br />
Следовательно, $$\bar{u} \in \mathcal{P}^*(\bar{t})$$, получаем, что $$\mathcal{P}$$ полунепрерывная сверху. Отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримое, то есть существует измеримый селектор $$u^*(t) \in \mathcal{P}^*(t)$$.<br />
$$\blacksquare$$<br />
<br />
== Список литературы ==<br />
* И.А. Чистяков "Лекции по оптимальному управлению", 2022<br />
* Э.Б. Ли, Л. Маркус "Основы теории оптимального управления", М.: Наука, 1972</div>Liza22