sawiki - Вклад участника [ru]

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-18T22:53:32Z

Nikita23:

== Определение и основные свойства ==
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F#:~:text=%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%E2%80%94%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%20%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F,%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BA%20%D0%BD%D1%83%D0%BB%D1%8E. частных производных]
этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> \mathrm{grad} \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C определитель] называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \det D_x{f}(x)= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

== Теорема о локальной обратимости ==
'''Теорема 1.'''

$$\quad$$ Пусть нам известно, что
* <math> Y \subset \mathbb{R}^n </math> — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE открытое множество];
* <math> g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n </math>, непрерывна вместе со своими частными производными в <math> Y</math>;
* якобиан <math> \det D_y g(y) \neq 0 \ \forall y \in Y</math>.
Тогда <math> g(y) </math> локально обратима, то есть <math> \forall y_0 \in Y </math> существует открытое множество <math> Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y</math> и
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F обратное отображение] <math> (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 </math>, где <math> X_0 = g(Y_0)</math>. 
''Доказательство.'' 
Зафиксируем <math> \forall y_0 \in Y</math>. Обозначим <math> x_0 = g(y_0) </math>. <math> F(x, y)</math> примем равным <math> g(y) - x</math>. Применим к ней [[#Используемые теоремы|теорему о неявной функции]], для этого покажем выполнимость её условий:
# <math> F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0</math>.
# <math> F(x, y)</math> — непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки <math> (x_0, y_0)</math> из условия.
# Якобиан <math> \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D_y{g(y_0)} \neq 0</math> по условию.
Поэтому <math> \exists \gamma > 0, \delta > 0 </math> и непрерывно дифференцируемая функция <math> \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)</math> такая, что:
<math> \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. </math>
Таким образом, мы доказали, что для <math> x</math> и <math> y</math>, взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции <math> g(y)</math> существует обратная к ней <math> \phi(x) </math>.
$$\blacksquare$$

== Лемма о выпрямлении векторного поля ==
'''Лемма.'''

$$\quad$$ Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{d x_i}{dt} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, </math>
с непрерывно дифференцируемой правой частью <math> f(x)</math> и некоторая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B нестационарная точка] <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U(a)</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, для которых <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{dy_i}{dt} = 0, \dfrac{dy_n}{dt} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
''Доказательство.'' 
Будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{dx_i}{dt} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U(a') </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C гиперплоскостью], но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет.
[[Файл:Traj_2.png|300px|thumb|right|Изначальное векторное поле в окрестности точки <math> a </math>. Зелёным цветом изображено <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>]]
Приведённые рассуждения позволяют провести
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F взаимнооднозначное соответствие] между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать решения. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t, (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{dy_i}{dt} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> не изменяется. <math> \dfrac{dy_n}{dt} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться [[#Используемые теоремы| теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям]] и в совокупности с определением <math> x(t, (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, получить, что <math> \psi_i(t, \xi')</math> имеет непрерывные частные производные в прообразе <math> U(a)</math>. Это в свою очередь является [[#Используемые теоремы| достаточным условием дифференцируемости]]. Вычислим значения частных производных:
[[Файл:Traj_1.png|300px|thumb|right|Прямое векторное поле после замены координат]]:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить в числитель сразу <math>( \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i )</math>. <math> \delta_{ij}</math> — это [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB_%D0%9A%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%B0 символ Кронекера]. :
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{dx_n}{dt} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{d{y}_k}{d{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}} \bigg{\}} = \dfrac{d{x}_n}{d{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
</math>
окрестность <math> U(a)</math> подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\det D_y\psi(0, \xi') = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
Подытожим некоторые факты, доказанные выше:
# <math> \psi(y)</math> является непрерывной вместе со своими частными производными для <math> y</math>, соответствующих прообразу <math> U(a)</math>.
# Якобиан <math> \det D_y\psi(0, \xi') \neq 0</math>.
Что позволяет нам использовать [[#Теорема о локальной обратимости| теорему о локальной обратимости]] для функции <math> \psi(y) </math> в окрестности точки <math> y_0 = (a', 0) </math> и тем самым завершить доказательство.
$$\blacksquare$$

== Используемые теоремы ==

'''Теорема 2.''' (О неявной функции)

$$\quad$$ Пусть
* <math> F_1(x, y_1, \dots, y_m), \dots, F_m(x, y_1, \dots, y_m)</math> непрерывны в окрестности точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math> вместе со своими частными производными;
* <math> F_i(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) = 0, i = \overline{1, m}</math>;
* якобиан <math> \det D_y{F(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0)} \neq 0</math>.
Тогда существует окрестность точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math>, в которой
<math> y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 </math> и, кроме того, функции <math> \phi_i(x), i = \overline{1, m}</math> непрерывно дифференцируемы в окрестности точки <math> x^0</math>.

'''Теорема 3.''' (О непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным данным)

$$\quad$$ Рассмотрим в области <math> Q_{\mu} = \{ (t, y, \mu): |t - t_0| \leqslant T, \ A \leqslant y \leqslant B, \ \mu_1 \leqslant \mu \leqslant \mu_2 \}</math> задачу Коши:
<math>
\begin{cases}
y'(t) = f(t, y, \mu), \\
y(t_0) = y_0(\mu).
\end{cases}
</math>
Пусть для неё выполняются следующие условия
* <math> f(t, y, \mu)</math> непрерывна в <math> Q_{\mu}</math> и имеет в <math> Q_{\mu}</math> непрерывные частные производные <math> f_y(t, y, \mu), f_{\mu}(t, y, \mu)</math>;
* функция <math> y_0(\mu)</math> непрерывно дифференцируема на отрезке <math> [\mu_1, \mu_2] </math>.
Тогда, если <math> y(t, \mu)</math> — решение задачи Коши на отрезке <math> [t_0 - T, t_0 + T]</math> для всех <math> \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math>, то функция <math> y(t, \mu)</math> имеет в <math> t \in [t_0 - T, t_0 + T], \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math> непрерывную производную по <math> \mu </math>.

'''Теорема 4.''' (Достаточное условие дифференцируемости)

$$\quad$$ Если функция определена на множестве и имеет в точке непрерывные частные производные по всем переменным, то она в этой точке дифференцируема.

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.
#Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1985

<math> </math>

Файл:Traj 2.png

2023-12-18T22:26:00Z

Nikita23: Nikita23 загрузил новую версию Файл:Traj 2.png

Файл:Traj 1.png

2023-12-18T22:23:31Z

Nikita23:

Файл:Traj 2.png

2023-12-18T22:17:45Z

Nikita23:

Файл:Trajectories.png

2023-12-18T22:14:42Z

Nikita23: Nikita23 загрузил новую версию Файл:Trajectories.png

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-18T22:14:20Z

Nikita23:

== Определение и основные свойства ==
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F#:~:text=%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%E2%80%94%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%20%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F,%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BA%20%D0%BD%D1%83%D0%BB%D1%8E. частных производных]
этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> \mathrm{grad} \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C определитель] называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \det D_x{f}(x)= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

== Теорема о локальной обратимости ==
'''Теорема 1.'''

$$\quad$$ Пусть нам известно, что
* <math> Y \subset \mathbb{R}^n </math> — [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE открытое множество];
* <math> g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n </math>, непрерывна вместе со своими частными производными в <math> Y</math>;
* якобиан <math> \det D_y g(y) \neq 0 \ \forall y \in Y</math>.
Тогда <math> g(y) </math> локально обратима, то есть <math> \forall y_0 \in Y </math> существует открытое множество <math> Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y</math> и
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F обратное отображение] <math> (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 </math>, где <math> X_0 = g(Y_0)</math>. 
''Доказательство.'' 
Зафиксируем <math> \forall y_0 \in Y</math>. Обозначим <math> x_0 = g(y_0) </math>. <math> F(x, y)</math> примем равным <math> g(y) - x</math>. Применим к ней [[#Используемые теоремы|теорему о неявной функции]], для этого покажем выполнимость её условий:
# <math> F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0</math>.
# <math> F(x, y)</math> — непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки <math> (x_0, y_0)</math> из условия.
# Якобиан <math> \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D_y{g(y_0)} \neq 0</math> по условию.
Поэтому <math> \exists \gamma > 0, \delta > 0 </math> и непрерывно дифференцируемая функция <math> \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)</math> такая, что:
<math> \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. </math>
Таким образом, мы доказали, что для <math> x</math> и <math> y</math>, взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции <math> g(y)</math> существует обратная к ней <math> \phi(x) </math>.
$$\blacksquare$$

== Лемма о выпрямлении векторного поля ==
'''Лемма.'''

$$\quad$$ Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{d x_i}{dt} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, </math>
с непрерывно дифференцируемой правой частью <math> f(x)</math> и некоторая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B нестационарная точка] <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U(a)</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, для которых <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{dy_i}{dt} = 0, \dfrac{dy_n}{dt} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
''Доказательство.'' 
Будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{dx_i}{dt} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U(a') </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C гиперплоскостью], но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет.
[[Файл:Trajectories.png|400px|thumb|right|Изначальное векторное поле в окрестности точки <math> a </math>. Зелёным цветом изображено <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>]]
Приведённые рассуждения позволяют провести
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F взаимнооднозначное соответствие] между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать решения. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{dy_i}{dt} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> не изменяется. <math> \dfrac{dy_n}{dt} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться [[#Используемые теоремы| теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям]] и в совокупности с определением <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, получить, что <math> \psi_i(t, \xi')</math> имеет непрерывные частные производные в прообразе <math> U(a)</math>. Это в свою очередь является [[#Используемые теоремы| достаточным условием дифференцируемости]]. Вычислим значения частных производных:
[[Файл:Trajectories_2.png|400px|thumb|right|Прямое векторное поле после замены координат]]:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить в числитель сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB_%D0%9A%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%B0 символ кронекера]. :
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{dx_n}{dt} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{d{y}_k}{d{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}} \bigg{\}} = \dfrac{d{x}_n}{d{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
</math>
окрестность <math> U(a)</math> подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\det D_y\psi(0, \xi') = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
Подытожим некоторые факты, доказанные выше:
# <math> \psi(y)</math> является непрерывной вместе со своими частными производными для <math> y</math>, соответствующих прообразу <math> U(a)</math>.
# Якобиан <math> \det D_y\psi(0, \xi') \neq 0</math>.
поэтому использовав теорему о локальной обратимости для <math> y_0 = (a', 0) \ | \ \psi(y_0) = a</math>, завершим доказательство.
$$\blacksquare$$

== Используемые теоремы ==

'''Теорема 2.''' (О неявной функции)

$$\quad$$ Пусть
* <math> F_1(x, y_1, \dots, y_m), \dots, F_m(x, y_1, \dots, y_m)</math> непрерывны в окрестности точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math> вместе со своими частными производными;
* <math> F_i(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) = 0, i = \overline{1, m}</math>;
* якобиан <math> \det D_y{F(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0)} \neq 0</math>.
Тогда существует окрестность точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math>, в которой
<math> y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 </math> и, кроме того, функции <math> \phi_i(x), i = \overline{1, m}</math> непрерывно дифференцируемы в окрестности точки <math> x^0</math>.

'''Теорема 3.''' (О непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным данным)
$$\quad$$
* Рассматривается область <math> Q_{\mu} = \{ (t, y, \mu): |t - t_0| \leqslant T, \ A \leqslant y \leqslant B, \ \mu_1 \leqslant \mu \leqslant \mu_2 \}</math>;
* задача Коши в которой имеет вид
<math>
\begin{cases}
y'(t) = f(t, y, \mu), \\
y(t_0) = y_0(\mu).
\end{cases}
</math>
* пусть <math> f(t, y, \mu)</math> непрерывна в <math> Q_{\mu}</math> и имеет в <math> Q_{\mu}</math> непрерывные частные производные <math> f_y(t, y, \mu), f_{\mu}(t, y, \mu)</math>;
* функция <math> y_0(\mu)</math> непрерывно дифференцируема на отрезке <math> [\mu_1, \mu_2] </math>.
Тогда, если <math> y(t, \mu)</math> — решение задачи Коши на отрезке <math> [t_0 - T, t_0 + T]</math> для всех <math> \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math>, то функция <math> y(t, \mu)</math> имеет в <math> t \in [t_0 - T, t_0 + T], \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math> непрерывную производную по <math> \mu </math>.

'''Теорема 4.''' (Достаточное условие дифференцируемости)

$$\quad$$ Если функция определена на множестве и имеет в точке непрерывные частные производные по всем переменным, то она в этой точке дифференцируема.

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.
#Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1985

<math> </math>

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-18T16:13:34Z

Nikita23:

== Определение и основные свойства ==
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F#:~:text=%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%E2%80%94%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%20%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F,%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BA%20%D0%BD%D1%83%D0%BB%D1%8E. частных производных]
этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C определитель] называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

== Теорема о локальной обратимости ==
'''Теорема 1.'''

$$\quad$$ Пусть нам известно, что
* <math> Y \subset \mathbb{R}^n </math> - [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE открытое];
* <math> g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n </math>, непрерывна вместе со своими частными производными в <math> Y</math>;
* Якобиан <math> \det Dg(y) \neq 0 \ \forall y \in Y</math>;
Тогда <math> g(y) </math> локально обратима, то есть <math> \forall y_0 \in Y \ \exists </math> открытое множество <math> Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y</math> и <math> \exists </math>
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F обратное отображение] <math> (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 </math>, где <math> X_0 = g(Y_0)</math>. 
''Доказательство.'' 
Зафиксируем <math> \forall y_0 \in Y</math>. Обозначим <math> x_0 = g(y_0) </math>. <math> F(x, y)</math> примем равным <math> g(y) - x</math>. Применим к ней теорему о неявной функции (формулировку которой, как и других теорем, используемых в данной статье, можно найти в разделе "используемые теоремы"), для этого покажем выполнимость её условий:
# <math> F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0</math>.
# <math> F(x, y)</math> - непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки <math> (x_0, y_0)</math> из условия.
# Якобиан <math> \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D{g(y_0)} \neq 0</math> по условию.
Поэтому <math> \exists \gamma > 0, \delta > 0 </math> и непрерывно дифференцируемая функция <math> \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)</math> такая, что:
<math> \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. </math>
Таким образом, мы доказали, что для <math> x</math> и <math> y</math>, взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции <math> g(y)</math> существует обратная к ней <math> \phi(x) </math>.
$$\blacksquare$$

== Лемма о выпрямлении векторного поля ==
'''Лемма.'''

$$\quad$$ Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{d x_i}{dt} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, </math>
с непрерывно дифференцируемой правой частью <math> f(x)</math> и некоторая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B нестационарная точка] <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U(a)</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, для которых <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{dy_i}{dt} = 0, \dfrac{dy_n}{dt} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
''Доказательство.'' 
Будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{dx_i}{dt} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U(a') </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C гиперплоскостью], но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет.
[[Файл:Trajectories.png|400px|thumb|right|Изначальное векторное поле в окрестности точки <math> a </math>. Зелёным цветом изображено <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>]]
Приведённые рассуждения позволяют провести
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F взаимнооднозначное соответствие] между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать решения. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{dy_i}{dt} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> не изменяется. <math> \dfrac{dy_n}{dt} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям и в совокупности с определением <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, получить, что <math> \psi_i(t, \xi')</math> имеет непрерывные частные производные в прообразе <math> U(a)</math>. Это в свою очередь является достаточным условием дифференцируемости. Вычислим значения частных производных:
[[Файл:Trajectories_2.png|400px|thumb|right|Прямое векторное поле после замены координат]]:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить в числитель сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB_%D0%9A%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%B0 символ кронекера]. :
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{dx_n}{dt} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{d{y}_k}{d{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}} \bigg{\}} = \dfrac{d{x}_n}{d{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
</math>
окрестность <math> U(a)</math> подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
Подытожим некоторые факты, доказанные выше:
# <math> \psi(y)</math> является непрерывной вместе со своими частными производными для <math> y</math>, соответствующих прообразу <math> U(a)</math>;
# Якобиан <math> \det D\psi(0, \xi') \neq 0</math>;
поэтому использовав теорему о локальной обратимости для <math> y_0 = (a', 0) \ | \ \psi(y_0) = a</math>, завершим доказательство.
$$\blacksquare$$

== Используемые теоремы ==

'''Теорема 2.''' (О неявной функции)

$$\quad$$ Пусть
# <math> F_1(x, y_1, \dots, y_m), \dots, F_m(x, y_1, \dots, y_m)</math> непрерывны в окрестности точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math> вместе со своими частными производными;
# <math> F_i(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) = 0, i = \overline{1, m}</math>;
# Якобиан <math> \det D_y{F(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0)} \neq 0</math>;
Тогда существует окрестность точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math>, в которой
<math> y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 </math> и, кроме того, функции <math> \phi_i(x), i = \overline{1, m}</math> непрерывно дифференцируемы в окрестности точки <math> x^0</math>.

'''Теорема 3.''' (О непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным данным)

$$\quad$$ Пусть выполнены нижеперечисленные условия
* Рассматривается область <math> Q_{\mu} = \{ (t, y, \mu): |t - t_0| \leqslant T, \ A \leqslant y \leqslant B, \ \mu_1 \leqslant \mu \leqslant \mu_2 \}</math>;
* Задача Коши в которой имеет вид
<math>
\begin{cases}
y'(t) = f(t, y, \mu), \\
y(t_0) = y_0(\mu).
\end{cases}
</math>
* Пусть <math> f(t, y, \mu)</math> непрерывна в <math> Q_{\mu}</math> и имеет в <math> Q_{\mu}</math> непрерывные частные производные <math> f_y(t, y, \mu), f_{\mu}(t, y, \mu)</math>;
* Функция <math> y_0(\mu)</math> непрерывно дифференцируема на отрезке <math> [\mu_1, \mu_2] </math>;
Тогда, если <math> y(t, \mu)</math> - решение нашей задачи Коши на отрезке <math> [t_0 - T, t_0 + T]</math> для всех <math> \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math>, то функция <math> y(t, \mu)</math> имеет в <math> t \in [t_0 - T, t_0 + T], \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math> непрерывную производную по <math> \mu </math>.

'''Теорема 4.''' (Достаточное условие дифференцируемости)

$$\quad$$ Если функция определена на множестве и имеет в точке непрерывные частные производные по всем переменным, то она в этой точке дифференцируема.

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.
#Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1985

<math> </math>

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-18T15:28:07Z

Nikita23:

== Определение и основные свойства ==
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F#:~:text=%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%E2%80%94%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%20%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F,%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BA%20%D0%BD%D1%83%D0%BB%D1%8E. частных производных]
этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C определитель] называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

== Теорема о локальной обратимости ==
* <math> Y \subset \mathbb{R}^n </math> - [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE открытое];
* <math> g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n </math>, непрерывна вместе со своими частными производными в <math> Y</math>;
* Якобиан <math> \det Dg(y) \neq 0 \ \forall y \in Y</math>;
Тогда <math> g(y) </math> локально обратима, то есть <math> \forall y_0 \in Y \ \exists </math> открытое множество <math> Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y</math> и <math> \exists </math>
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F обратное отображение] <math> (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 </math>, где <math> X_0 = g(Y_0)</math>. 
''Доказательство.'' 
Зафиксируем <math> \forall y_0 \in Y</math>. Обозначим <math> x_0 = g(y_0) </math>. <math> F(x, y)</math> примем равным <math> g(y) - x</math>. Применим к ней теорему о неявной функции (формулировку которой, как и других теорем, используемых в данной статье, можно найти в разделе "используемые теоремы"), для этого покажем выполнимость её условий:
# <math> F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0</math>.
# <math> F(x, y)</math> - непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки <math> (x_0, y_0)</math> из условия.
# Якобиан <math> \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D{g(y_0)} \neq 0</math> по условию.
Поэтому <math> \exists \gamma > 0, \delta > 0 </math> и непрерывно дифференцируемая функция <math> \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)</math> такая, что:
<math> \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. </math>
Таким образом, мы доказали, что для <math> x</math> и <math> y</math>, взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции <math> g(y)</math> существует обратная к ней <math> \phi(x) </math>.
$$\blacksquare$$

== Лемма о выпрямлении векторного поля ==
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, </math>
с непрерывно дифференцируемой правой частью <math> f(x)</math> и некоторая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B нестационарная точка] <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U(a)</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, для которых <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
''Доказательство.'' 
Будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U(a') </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C гиперплоскостью], но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет.
[[Файл:Trajectories.png|400px|thumb|right|Изначальное векторное поле в окрестности точки <math> a </math>. Зелёным цветом изображено <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>]]
Приведённые рассуждения позволяют провести
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F взаимнооднозначное соответствие] между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать решения. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям и в совокупности с определением <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, получить, что <math> \psi_i(t, \xi')</math> имеет непрерывные частные производные в прообразе <math> U(a)</math>. Это в свою очередь является достаточным условием дифференцируемости. Вычислим значения частных производных:
[[Файл:Trajectories_2.png|400px|thumb|right|Прямое векторное поле после замены координат]]:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить в числитель сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB_%D0%9A%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%B0 символ кронекера]. :
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}} \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
</math>
окрестность <math> U(a)</math> подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
Подытожим некоторые факты, доказанные выше:
# <math> \psi(y)</math> является непрерывной вместе со своими частными производными для <math> y</math>, соответствующих прообразу <math> U(a)</math>;
# Якобиан <math> \det D\psi(0, \xi') \neq 0</math>;
поэтому использовав теорему о локальной обратимости для <math> y_0 = (a', 0) \ | \ \psi(y_0) = a</math>, завершим доказательство.
$$\blacksquare$$

== Используемые теоремы ==

'''Теорема 1. (О неявной функции)'''
# Пусть <math> F_1(x, y_1, \dots, y_m), \dots, F_m(x, y_1, \dots, y_m)</math> непрерывны в окрестности точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math> вместе со своими частными производными;
# <math> F_i(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) = 0, i = \overline{1, m}</math>;
# Якобиан <math> \det D_y{F(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0)} \neq 0</math>;
Тогда существует окрестность точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math>, в которой
<math> y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 </math> и, кроме того, функции <math> \phi_i(x), i = \overline{1, m}</math> непрерывно дифференцируемы в окрестности точки <math> x^0</math>.

'''Теорема 2. (О непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным данным)'''
* Рассматривается область <math> Q_{\mu} = \{ (t, y, \mu): |t - t_0| \leqslant T, \ A \leqslant y \leqslant B, \ \mu_1 \leqslant \mu \leqslant \mu_2 \}</math>;
* Задача Коши в которой имеет вид
<math>
\begin{cases}
y'(t) = f(t, y, \mu), \\
y(t_0) = y_0(\mu).
\end{cases}
</math>
* Пусть <math> f(t, y, \mu)</math> непрерывна в <math> Q_{\mu}</math> и имеет в <math> Q_{\mu}</math> непрерывные частные производные <math> f_y(t, y, \mu), f_{\mu}(t, y, \mu)</math>;
* Функция <math> y_0(\mu)</math> непрерывно дифференцируема на отрезке <math> [\mu_1, \mu_2] </math>;
Тогда, если <math> y(t, \mu)</math> - решение нашей задачи Коши на отрезке <math> [t_0 - T, t_0 + T]</math> для всех <math> \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math>, то функция <math> y(t, \mu)</math> имеет в <math> t \in [t_0 - T, t_0 + T], \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math> непрерывную производную по <math> \mu </math>.

'''Теорема 3. (Достаточное условие дифференцируемости)''' 
Если функция определена на множестве и имеет в точке непрерывные частные производные по всем переменным, то она в этой точке дифференцируема.

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.
#Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1985

<math> </math>

Файл:Trajectories 2.png

2023-12-18T14:49:48Z

Nikita23: Nikita23 загрузил новую версию Файл:Trajectories 2.png

Файл:Trajectories 2.png

2023-12-18T14:41:23Z

Nikita23:

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-18T14:40:53Z

Nikita23:

== Определение и основные свойства ==
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F#:~:text=%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%E2%80%94%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%20%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F,%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BA%20%D0%BD%D1%83%D0%BB%D1%8E. частных производных]
этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C определитель] называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

== Теорема о локальной обратимости ==
* <math> Y \subset \mathbb{R}^n </math> - открытое;
* <math> g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n </math>, непрерывна вместе со своими частными производными в <math> Y</math>;
* Якобиан <math> \det Dg(y) \neq 0 \ \forall y \in Y</math>;
Тогда <math> g(y) </math> локально обратима, то есть <math> \forall y_0 \in Y \ \exists </math> открытое множество <math> Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y</math> и <math> \exists </math>
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F обратное отображение] <math> (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 </math>, где <math> X_0 = g(Y_0)</math>. 
''Доказательство.'' 
Зафиксируем <math> \forall y_0 \in Y</math>. Обозначим <math> x_0 = g(y_0) </math>. <math> F(x, y)</math> примем равным <math> g(y) - x</math>. Применим к ней теорему о неявной функции (формулировку которой, как и других теорем, используемых в данной статье можно найти в разделе "используемые теоремы"), для этого покажем выполнимость её условий:
# <math> F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0</math>.
# <math> F(x, y)</math> - непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки <math> (x_0, y_0)</math> из условия.
# Якобиан <math> \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D{g(y_0)} \neq 0</math> по условию.
Поэтому <math> \exists \gamma > 0, \delta > 0 </math> и непрерывно дифференцируемая функция <math> \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)</math> такая, что:
<math> \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. </math>
Таким образом, мы показали, что для <math> x</math> и <math> y</math>, взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции <math> g(y)</math> существует обратная к ней <math> \phi(x) </math>.
$$\blacksquare$$

== Лемма о выпрямлении векторного поля ==
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, </math>
с непрерывно дифференцируемой правой частью <math> f(x)</math> и некоторая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B нестационарная точка] <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U(a)</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, для которых <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
''Доказательство.'' 
Не умаляя общности, будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U(a') </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C гиперплоскостью], но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет.
[[Файл:Trajectories.png|400px|thumb|right|Изначальное векторное поле в окрестности точки <math> a </math>]]
Рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U(a) </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью, иллюстрирует наши умозаключения. Приведённые рассуждения позволяют провести
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F взаимнооднозначное соответствие] между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать решения. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям и в совокупности с определением <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, получить, что <math> \psi_i(t, \xi')</math> имеет непрерывные частные производные в прообразе <math> U(a)</math>. Это в свою очередь является достаточным условием дифференцируемости. Вычислим значения частных производных:
[[Файл:Trajectories_2.jpg|400px|thumb|right|Рис. 2 Прямое векторное поле в окрестности точки <math> a </math> после замены координат]]:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить в числитель сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB_%D0%9A%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%B0 символ кронекера]. :
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}} \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
</math>
окрестность <math> U(a)</math> подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
Подытожим некоторые факты, доказанные выше:
# <math> \psi(y)</math> является непрерывной вместе со своими частными производными для <math> y</math>, соответствующих прообразу <math> U(a)</math>;
# Якобиан <math> \det D\psi(0, \xi') \neq 0</math>;
поэтому использовав теорему о локальной обратимости для <math> y_0 = (a', 0) \ | \ \psi(y_0) = a</math>, завершим доказательство.
$$\blacksquare$$

== Используемые теоремы ==

'''Теорема 1. (О неявной функции)'''
# Пусть <math> F_1(x, y_1, \dots, y_m), \dots, F_m(x, y_1, \dots, y_m)</math> непрерывны в окрестности точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math> вместе со своими частными производными;
# <math> F_i(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) = 0, i = \overline{1, m}</math>;
# Якобиан <math> \det D_y{F(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0)} \neq 0</math>;
Тогда существует окрестность точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math>, в которой
<math> y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 </math> и, кроме того, функции <math> \phi_i(x), i = \overline{1, m}</math> непрерывно дифференцируемы в окрестности точки <math> x^0</math>.

'''Теорема 2. (О непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным данным)'''
* Рассматривается область <math> Q_{\mu} = \{ (t, y, \mu): |t - t_0| \leqslant T, \ A \leqslant y \leqslant B, \ \mu_1 \leqslant \mu \leqslant \mu_2 \}</math>;
* Задача Коши в которой имеет вид
<math>
\begin{cases}
y'(t) = f(t, y, \mu), \\
y(t_0) = y_0(\mu).
\end{cases}
</math>
* Пусть <math> f(t, y, \mu)</math> непрерывна в <math> Q_{\mu}</math> и имеет в <math> Q_{\mu}</math> непрерывные частные производные <math> f_y(t, y, \mu), f_{\mu}(t, y, \mu)</math>;
* Функция <math> y_0(\mu)</math> непрерывно дифференцируема на отрезке <math> [\mu_1, \mu_2] </math>;
Тогда, если <math> y(t, \mu)</math> - решение нашей задачи Коши на отрезке <math> [t_0 - T, t_0 + T]</math> для всех <math> \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math>, то функция <math> y(t, \mu)</math> имеет в <math> t \in [t_0 - T, t_0 + T], \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math> непрерывную производную по <math> \mu </math>.

'''Теорема 3. (Достаточное условие дифференцируемости)''' 
Если функция определена на множестве и имеет в точке непрерывные частные производные по всем переменным, то она в этой точке дифференцируема.

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

<math> </math>

Файл:Trajectories.png

2023-12-18T14:21:03Z

Nikita23:

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-18T10:49:36Z

Nikita23:

== Определение и основные свойства ==
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F#:~:text=%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%E2%80%94%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%20%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F,%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BA%20%D0%BD%D1%83%D0%BB%D1%8E. частных производных]
этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C определитель] называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

== Теорема о локальной обратимости ==
* <math> Y \subset \mathbb{R}^n </math> - открытое;
* <math> g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n </math>, непрерывна вместе со своими частными производными в <math> Y</math>;
* Якобиан <math> \det Dg(y) \neq 0 \ \forall y \in Y</math>;
Тогда <math> g(y) </math> локально обратима, то есть <math> \forall y_0 \in Y \ \exists </math> открытое множество <math> Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y</math> и <math> \exists </math>
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F обратное отображение] <math> (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 </math>, где <math> X_0 = g(Y_0)</math>. 
''Доказательство.'' 
Зафиксируем <math> \forall y_0 \in Y</math>. Обозначим <math> x_0 = g(y_0) </math>. <math> F(x, y)</math> примем равным <math> g(y) - x</math>. Применим к ней теорему о неявной функции (формулировку которой, как и других теорем, используемых в данной статье можно найти в разделе "используемые теоремы"), для этого покажем выполнимость её условий:
# <math> F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0</math>.
# <math> F(x, y)</math> - непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки <math> (x_0, y_0)</math> из условия.
# Якобиан <math> \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D{g(y_0)} \neq 0</math> по условию.
Поэтому <math> \exists \gamma > 0, \delta > 0 </math> и непрерывно дифференцируемая функция <math> \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)</math> такая, что:
<math> \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. </math>
Таким образом, мы показали, что для <math> x</math> и <math> y</math>, взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции <math> g(y)</math> существует обратная к ней <math> \phi(x) </math>.
$$\blacksquare$$

== Лемма о выпрямлении векторного поля ==
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, </math>
с непрерывно дифференцируемой правой частью <math> f(x)</math> и некоторая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B нестационарная точка] <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U(a)</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, для которых <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
''Доказательство.'' 
Не умаляя общности, будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U(a') </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C гиперплоскостью], но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет.
[[Файл:Trajectories.jpg|400px|thumb|right|Рис. 1 Изначальное векторное поле в окрестности точки <math> a </math>]]
Рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U(a) </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью, иллюстрирует наши умозаключения. Приведённые рассуждения позволяют провести
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F взаимнооднозначное соответствие] между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать решения. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям и в совокупности с определением <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, получить, что <math> \psi_i(t, \xi')</math> имеет непрерывные частные производные в прообразе <math> U(a)</math>. Это в свою очередь является достаточным условием дифференцируемости. Вычислим значения частных производных:
[[Файл:Trajectories_2.jpg|400px|thumb|right|Рис. 2 Прямое векторное поле в окрестности точки <math> a </math> после замены координат]]:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить в числитель сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB_%D0%9A%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%B0 символ кронекера]. :
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}} \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
</math>
окрестность <math> U(a)</math> подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
Подытожим некоторые факты, доказанные выше:
# <math> \psi(y)</math> является непрерывной вместе со своими частными производными для <math> y</math>, соответствующих прообразу <math> U(a)</math>;
# Якобиан <math> \det D\psi(0, \xi') \neq 0</math>;
поэтому использовав теорему о локальной обратимости для <math> y_0 = (a', 0) \ | \ \psi(y_0) = a</math>, завершим доказательство.
$$\blacksquare$$

== Используемые теоремы ==

'''Теорема 1. (О неявной функции)'''
# Пусть <math> F_1(x, y_1, \dots, y_m), \dots, F_m(x, y_1, \dots, y_m)</math> непрерывны в окрестности точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math> вместе со своими частными производными;
# <math> F_i(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) = 0, i = \overline{1, m}</math>;
# Якобиан <math> \det D_y{F(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0)} \neq 0</math>;
Тогда существует окрестность точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math>, в которой
<math> y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 </math> и, кроме того, функции <math> \phi_i(x), i = \overline{1, m}</math> непрерывно дифференцируемы в окрестности точки <math> x^0</math>.

'''Теорема 2. (О непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным данным)'''
* Рассматривается область <math> Q_{\mu} = \{ (t, y, \mu): |t - t_0| \leqslant T, \ A \leqslant y \leqslant B, \ \mu_1 \leqslant \mu \leqslant \mu_2 \}</math>;
* Задача Коши в которой имеет вид
<math>
\begin{cases}
y'(t) = f(t, y, \mu), \\
y(t_0) = y_0(\mu).
\end{cases}
</math>
* Пусть <math> f(t, y, \mu)</math> непрерывна в <math> Q_{\mu}</math> и имеет в <math> Q_{\mu}</math> непрерывные частные производные <math> f_y(t, y, \mu), f_{\mu}(t, y, \mu)</math>;
* Функция <math> y_0(\mu)</math> непрерывно дифференцируема на отрезке <math> [\mu_1, \mu_2] </math>;
Тогда, если <math> y(t, \mu)</math> - решение нашей задачи Коши на отрезке <math> [t_0 - T, t_0 + T]</math> для всех <math> \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math>, то функция <math> y(t, \mu)</math> имеет в <math> t \in [t_0 - T, t_0 + T], \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math> непрерывную производную по <math> \mu </math>.

'''Теорема 3. (Достаточное условие дифференцируемости)''' 
Если функция определена на множестве и имеет в точке непрерывные частные производные по всем переменным, то она в этой точке дифференцируема.

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

<math> </math>

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-18T10:45:56Z

Nikita23:

== Определение и основные свойства ==
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F#:~:text=%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%E2%80%94%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%20%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F,%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8%20%D1%8D%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%20%D0%BF%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F%20%D0%BA%20%D0%BD%D1%83%D0%BB%D1%8E. частных производных]
этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C определитель] называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

== Теорема о локальной обратимости ==
* <math> Y \subset \mathbb{R}^n </math> - открытое;
* <math> g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n </math>, непрерывна вместе со своими частными производными в <math> Y</math>;
* Якобиан <math> \det Dg(y) \neq 0 \ \forall y \in Y</math>;
Тогда <math> g(y) </math> локально обратима, то есть <math> \forall y_0 \in Y \ \exists </math> открытое множество <math> Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y</math> и <math> \exists </math>
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F обратное отображение] <math> (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 </math>, где <math> X_0 = g(Y_0)</math>. 
''Доказательство.'' 
Зафиксируем <math> \forall y_0 \in Y</math>. Обозначим <math> x_0 = g(y_0) </math>. <math> F(x, y)</math> примем равным <math> g(y) - x</math>. Применим к ней теорему о неявной функции, для этого покажем выполнимость её условий:
# <math> F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0</math>.
# <math> F(x, y)</math> - непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки <math> (x_0, y_0)</math> из условия.
# Якобиан <math> \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D{g(y_0)} \neq 0</math> по условию.
Поэтому <math> \exists \gamma > 0, \delta > 0 </math> и непрерывно дифференцируемая функция <math> \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)</math> такая, что:
<math> \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. </math>
Таким образом, мы показали, что для <math> x</math> и <math> y</math>, взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции <math> g(y)</math> существует обратная к ней <math> \phi(x) </math>.
$$\blacksquare$$

== Лемма о выпрямлении векторного поля ==
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, </math>
с непрерывно дифференцируемой правой частью <math> f(x)</math> и некоторая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B нестационарная точка] <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U(a)</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, для которых <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
''Доказательство.'' 
Не умаляя общности, будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U(a') </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C гиперплоскостью], но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет.
[[Файл:Trajectories.jpg|400px|thumb|right|Рис. 1 Изначальное векторное поле в окрестности точки <math> a </math>]]
Рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U(a) </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью, иллюстрирует наши умозаключения. Приведённые рассуждения позволяют провести
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F взаимнооднозначное соответствие] между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать решения. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям и в совокупности с определением <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, получить, что <math> \psi_i(t, \xi')</math> имеет непрерывные частные производные в прообразе <math> U(a)</math>. Это в свою очередь является достаточным условием дифференцируемости. Вычислим значения частных производных:
[[Файл:Trajectories_2.jpg|400px|thumb|right|Рис. 2 Прямое векторное поле в окрестности точки <math> a </math> после замены координат]]:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить в числитель сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB_%D0%9A%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%B0 символ кронекера]. :
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}} \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
</math>
окрестность <math> U(a)</math> подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
Подытожим некоторые факты, доказанные выше:
# <math> \psi(y)</math> является непрерывной вместе со своими частными производными для <math> y</math>, соответствующих прообразу <math> U(a)</math>;
# Якобиан <math> \det D\psi(0, \xi') \neq 0</math>;
поэтому использовав теорему о локальной обратимости для <math> y_0 = (a', 0) \ | \ \psi(y_0) = a</math>, завершим доказательство.
$$\blacksquare$$

== Используемые теоремы ==

'''Теорема 1. (О неявной функции)'''
# Пусть <math> F_1(x, y_1, \dots, y_m), \dots, F_m(x, y_1, \dots, y_m)</math> непрерывны в окрестности точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math> вместе со своими частными производными;
# <math> F_i(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) = 0, i = \overline{1, m}</math>;
# Якобиан <math> \det D_y{F(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0)} \neq 0</math>;
Тогда существует окрестность точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math>, в которой
<math> y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 </math> и, кроме того, функции <math> \phi_i(x), i = \overline{1, m}</math> непрерывно дифференцируемы в окрестности точки <math> x^0</math>.

'''Теорема 2. (О непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным данным)'''
* Рассматривается область <math> Q_{\mu} = \{ (t, y, \mu): |t - t_0| \leqslant T, \ A \leqslant y \leqslant B, \ \mu_1 \leqslant \mu \leqslant \mu_2 \}</math>;
* Задача Коши в которой имеет вид
<math>
\begin{cases}
y'(t) = f(t, y, \mu), \\
y(t_0) = y_0(\mu).
\end{cases}
</math>
* Пусть <math> f(t, y, \mu)</math> непрерывна в <math> Q_{\mu}</math> и имеет в <math> Q_{\mu}</math> непрерывные частные производные <math> f_y(t, y, \mu), f_{\mu}(t, y, \mu)</math>;
* Функция <math> y_0(\mu)</math> непрерывно дифференцируема на отрезке <math> [\mu_1, \mu_2] </math>;
Тогда, если <math> y(t, \mu)</math> - решение нашей задачи Коши на отрезке <math> [t_0 - T, t_0 + T]</math> для всех <math> \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math>, то функция <math> y(t, \mu)</math> имеет в <math> t \in [t_0 - T, t_0 + T], \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math> непрерывную производную по <math> \mu </math>.

'''Теорема 3. (Достаточное условие дифференцируемости)''' 
Если функция определена на множестве и имеет в точке непрерывные частные производные по всем переменным, то она в этой точке дифференцируема.

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

<math> </math>

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-18T10:16:01Z

Nikita23:

== Определение и основные свойства ==
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных частных производных этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

== Теорема о локальной обратимости ==
* <math> Y \subset \mathbb{R}^n </math> - открытое;
* <math> g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n </math>, непрерывна вместе со своими частными производными в <math> Y</math>;
* Якобиан <math> \det Dg(y) \neq 0 \ \forall y \in Y</math>;
Тогда <math> g(y) </math> локально обратима, то есть <math> \forall y_0 \in Y \ \exists </math> открытое множество <math> Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y</math> и <math> \exists </math> обратное отображение <math> (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 </math>, где <math> X_0 = g(Y_0)</math>. 
''Доказательство.'' 
Зафиксируем <math> \forall y_0 \in Y</math>. Обозначим <math> x_0 = g(y_0) </math>. <math> F(x, y)</math> примем равным <math> g(y) - x</math>. Применим к ней теорему о неявной функции, для этого покажем выполнимость её условий:
# <math> F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0</math>.
# <math> F(x, y)</math> - непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки <math> (x_0, y_0)</math> из условия.
# Якобиан <math> \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D{g(y_0)} \neq 0</math> по условию.
Поэтому <math> \exists \gamma > 0, \delta > 0 </math> и непрерывно дифференцируемая функция <math> \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)</math> такая, что:
<math> \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. </math>
Таким образом, мы показали, что для <math> x</math> и <math> y</math>, взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции <math> g(y)</math> существует обратная к ней <math> \phi(x) </math>.
$$\blacksquare$$

== Лемма о выпрямлении векторного поля ==
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, </math>
с непрерывно дифференцируемой правой частью <math> f(x)</math> и некоторая нестационарная точка <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U(a)</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, для которых <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
''Доказательство.'' 
Не умаляя общности, будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U(a') </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет.
[[Файл:Trajectories.jpg|400px|thumb|right|Рис. 1 Изначальное векторное поле в окрестности точки <math> a </math>]]
Рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U(a) </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью, иллюстрирует наши умозаключения. Приведённые рассуждения позволяют провести взаимнооднозначное соответствие между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать решения. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям и в совокупности с определением <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, получить, что <math> \psi_i(t, \xi')</math> имеет непрерывные частные производные в прообразе <math> U(a)</math>. Это в свою очередь является достаточным условием дифференцируемости. Вычислим значения частных производных:
[[Файл:Trajectories_2.jpg|400px|thumb|right|Рис. 2 Прямое векторное поле в окрестности точки <math> a </math> после замены координат]]:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить в числитель сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это символ кронекера. :
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}} \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
</math>
окрестность <math> U(a)</math> подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
Подытожим некоторые факты, доказанные выше:
# <math> \psi(y)</math> является непрерывной вместе со своими частными производными для <math> y</math>, соответствующих прообразу <math> U(a)</math>;
# Якобиан <math> \det D\psi(0, \xi') \neq 0</math>;
поэтому использовав теорему о локальной обратимости для <math> y_0 = (a', 0) \ | \ \psi(y_0) = a</math>, завершим доказательство.
$$\blacksquare$$

== Связанные теоремы ==

'''Теорема 1. (О неявной функции)'''
# Пусть <math> F_1(x, y_1, \dots, y_m), \dots, F_m(x, y_1, \dots, y_m)</math> непрерывны в окрестности точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math> вместе со своими частными производными;
# <math> F_i(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) = 0, i = \overline{1, m}</math>;
# Якобиан <math> \det D_y{F(x^0, y_1^0, \dots, y_m^0)} \neq 0</math>;
Тогда существует окрестность точки <math> (x^0, y_1^0, \dots, y_m^0) </math>, в которой
<math> y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 </math> и, кроме того, функции <math> \phi_i(x), i = \overline{1, m}</math> непрерывно дифференцируемы в окрестности точки <math> x^0</math>.

'''Теорема 2. (О непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным данным)'''
* Рассматривается область <math> Q_{\mu} = \{ (t, y, \mu): |t - t_0| \leqslant T, \ A \leqslant y \leqslant B, \ \mu_1 \leqslant \mu \leqslant \mu_2 \}</math>;
* Задача Коши в которой имеет вид
<math>
\begin{cases}
y'(t) = f(t, y, \mu), \\
y(t_0) = y_0(\mu).
\end{cases}
</math>
* Пусть <math> f(t, y, \mu)</math> непрерывна в <math> Q_{\mu}</math> и имеет в <math> Q_{\mu}</math> непрерывные частные производные <math> f_y(t, y, \mu), f_{\mu}(t, y, \mu)</math>;
* Функция <math> y_0(\mu)</math> непрерывно дифференцируема на отрезке <math> [\mu_1, \mu_2] </math>;
Тогда, если <math> y(t, \mu)</math> - решение нашей задачи Коши на отрезке <math> [t_0 - T, t_0 + T]</math> для всех <math> \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math>, то функция <math> y(t, \mu)</math> имеет в <math> t \in [t_0 - T, t_0 + T], \mu \in [\mu_1, \mu_2]</math> непрерывную производную по <math> \mu </math>.

'''Теорема 3. (Достаточное условие дифференцируемости)''' 
Если функция определена на множестве и имеет в точке непрерывные частные производные по всем переменным, то она в этой точке дифференцируема.

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

<math> </math>

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-18T09:13:06Z

Nikita23:

== Определение и основные свойства ==
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных частных производных этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

== Теорема о локальной обратимости ==
* <math> Y \subset \mathbb{R}^n </math> - открытое;
* <math> g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n </math>, непрерывна вместе со своими частными производными в <math> Y</math>;
* Якобиан <math> \det Dg(y) \neq 0 \ \forall y \in Y</math>;
Тогда <math> g(y) </math> локально обратима, то есть <math> \forall y_0 \in Y \ \exists </math> открытое множество <math> Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y</math> и <math> \exists </math> обратное отображение <math> (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 </math>, где <math> X_0 = g(Y_0)</math>. 
''Доказательство.'' 
Зафиксируем <math> \forall y_0 \in Y</math>. Обозначим <math> x_0 = g(y_0) </math>. <math> F(x, y)</math> примем равным <math> g(y) - x</math>. Применим к ней теорему о неявной функции, для этого покажем выполнимость её условий:
# <math> F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0</math>.
# <math> F(x, y)</math> - непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки <math> (x_0, y_0)</math> из условия.
# Якобиан <math> \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D{g(y_0)} \neq 0</math> по условию.
Поэтому <math> \exists \gamma > 0, \delta > 0 </math> и непрерывно дифференцируемая функция <math> \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)</math> такая, что:
<math> \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. </math>
Таким образом, мы показали, что для <math> x</math> и <math> y</math>, взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции <math> g(y)</math> существует обратная к ней <math> \phi(x) </math>.
$$\blacksquare$$

== Лемма о выпрямлении векторного поля ==
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, </math>
с непрерывно дифференцируемой правой частью <math> f(x)</math> и некоторая нестационарная точка <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U(a)</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, для которых <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
''Доказательство.'' 
Не умаляя общности, будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U(a') </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет.
[[Файл:Trajectories.jpg|400px|thumb|right|Рис. 1 Изначальное векторное поле в окрестности точки <math> a </math>]]
Рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U(a) </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью, иллюстрирует наши умозаключения. Приведённые рассуждения позволяют провести взаимнооднозначное соответствие между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать решения. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям и в совокупности с определением <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, получить, что <math> \psi_i(t, \xi')</math> имеет непрерывные частные производные в прообразе <math> U(a)</math>. Это в свою очередь является достаточным условием дифференцируемости. Вычислим значения частных производных:
[[Файл:Trajectories_2.jpg|400px|thumb|right|Рис. 2 Прямое векторное поле в окрестности точки <math> a </math> после замены координат]]:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить в числитель сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это символ кронекера. :
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}} \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
</math>
окрестность <math> U(a)</math> подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
Подытожим некоторые факты, доказанные выше:
# <math> \psi(y)</math> является непрерывной вместе со своими частными производными для <math> y</math>, соответствующих прообразу <math> U(a)</math>;
# Якобиан <math> \det D\psi(0, \xi') \neq 0</math>;
поэтому использовав теорему о локальной обратимости для <math> y_0 = (a', 0)</math>, завершим доказательство.
$$\blacksquare$$

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

<math> </math>

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-17T19:09:49Z

Nikita23:

== Определение и основные свойства ==
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных частных производных этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

== Теорема о локальной обратимости ==
* <math> Y \subset \mathbb{R}^n </math> - открытое;
* <math> g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n </math>, непрерывна вместе со своими частными производными в <math> Y</math>;
* Якобиан <math> \det Dg(y) \neq 0 \ \forall y \in Y</math>;
Тогда <math> g(y) </math> локально обратима, то есть <math> \forall y_0 \in Y \ \exists </math> открытое множество <math> Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y</math> и <math> \exists </math> обратное отображение <math> (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 </math>, где <math> X_0 = g(Y_0)</math>. 
''Доказательство.'' 
Зафиксируем <math> \forall y_0 \in Y</math>. Обозначим <math> x_0 = g(y_0) </math>. <math> F(x, y)</math> примем равным <math> g(y) - x</math>. Применим к ней теорему о неявной функции, для этого покажем выполнимость её условий:
# <math> F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0</math>.
# <math> F(x, y)</math> - непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки <math> (x_0, y_0)</math> из условия.
# Якобиан <math> \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D{g(y_0)} \neq 0</math> по условию.
Поэтому <math> \exists \gamma > 0, \delta > 0 </math> и непрерывно дифференцируемая функция <math> \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)</math> такая, что:
<math> \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. </math>
Таким образом, мы показали, что для <math> x</math> и <math> y</math>, взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции <math> g(y)</math> существует обратная к ней <math> \phi(x) </math>.
$$\blacksquare$$

== Лемма о выпрямлении векторного поля ==
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, </math>
с непрерывно дифференцируемой правой частью <math> f(x)</math> и некоторая нестационарная точка <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U(a)</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, для которых <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
''Доказательство.'' 
Не умаляя общности, будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U(a') </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет.
[[Файл:Trajectories.jpg|400px|thumb|right|Рис. 1 Изначальное векторное поле в окрестности точки <math> a </math>]]
Рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U(a) </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью, иллюстрирует наши умозаключения. Приведённые рассуждения позволяют провести взаимнооднозначное соответствие между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать решения. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям и в совокупности с определением <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, получить, что <math> \psi_i(t, \xi')</math> имеет непрерывные частные производные в прообразе <math> U(a)</math>. Это в свою очередь является достаточным условием дифференцируемости. Вычислим значения частных производных:
[[Файл:Trajectories_2.jpg|400px|thumb|right|Рис. 2 Прямое векторное поле в окрестности точки <math> a </math> после замены координат]]:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить в числитель сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это символ кронекера. :
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}} \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
</math>
окрестность <math> U(a)</math> подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
Подытожим некоторые факты, доказанные выше:
# <math> \psi(y)</math> является непрерывной вместе со своими частными производными для <math> y</math>, соответствующих прообразу <math> U(a)</math>;
# Якобиан <math> \det D\psi(0, \xi') \neq 0</math>;
поэтому использовав теорему о локальной обратимости завершим доказательство.
$$\blacksquare$$

==Список литературы==

#Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии 2011.
#Абрамова В.В. Лекции по курсу "Динамические системы и биоматематика", 2023.

<math> </math>

Файл:Trajectories 2.jpg

2023-12-17T18:52:54Z

Nikita23:

Файл:Trajectories.jpg

2023-12-17T18:20:36Z

Nikita23:

Файл:Dioloma.jpg

2023-12-17T18:15:21Z

Nikita23:

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-17T18:04:33Z

Nikita23:

== Определение и основные свойства ==
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных частных производных этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

== Теорема о локальной обратимости ==
* <math> Y \subset \mathbb{R}^n </math> - открытое;
* <math> g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n </math>, непрерывна вместе со своими частными производными в <math> Y</math>;
* Якобиан <math> \det Dg(y) \neq 0 \ \forall y \in Y</math>;
Тогда <math> g(y) </math> локально обратима, то есть <math> \forall y_0 \in Y \ \exists </math> открытое множество <math> Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y</math> и <math> \exists </math> обратное отображение <math> (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 </math>, где <math> X_0 = g(Y_0)</math>. 
''Доказательство.'' 
Зафиксируем <math> \forall y_0 \in Y</math>. Обозначим <math> x_0 = g(y_0) </math>. <math> F(x, y)</math> примем равным <math> g(y) - x</math>. Применим к ней теорему о неявной функции, для этого покажем выполнимость её условий:
# <math> F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0</math>.
# <math> F(x, y)</math> - непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки <math> (x_0, y_0)</math> из условия.
# Якобиан <math> \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D{g(y_0)} \neq 0</math> по условию.
Поэтому <math> \exists \gamma > 0, \delta > 0 </math> и непрерывно дифференцируемая функция <math> \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)</math> такая, что:
<math> \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. </math>
Таким образом, мы показали, что для <math> x</math> и <math> y</math>, взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции <math> g(y)</math> существует обратная к ней <math> \phi(x) </math>.
$$\blacksquare$$

== Лемма о выпрямлении векторного поля ==
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, </math>
с непрерывно дифференцируемой правой частью <math> f(x)</math> и некоторая нестационарная точка <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U(a)</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, для которых <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
''Доказательство.'' 
Не умаляя общности, будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U(a') </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет. Рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U(a) </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью, иллюстрирует наши умозаключения. Приведённые рассуждения позволяют провести взаимнооднозначное соответствие между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать решения. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям и в совокупности с определением <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, получить, что <math> \psi_i(t, \xi')</math> имеет непрерывные частные производные в прообразе <math> U(a)</math>. Это в свою очередь является достаточным условием дифференцируемости. Вычислим значения частных производных:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это символ кронекера. :
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}, по\ доказанному \ выше \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
</math>
окрестность <math> U(a)</math> подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
Подытожим некоторые факты, доказанные выше:
# <math> \psi(y)</math> является непрерывной вместе со своими частными производными для <math> y</math>, соответствующих прообразу <math> U(a)</math>;
# Якобиан <math> \det D\psi(0, \xi') \neq 0</math>;
поэтому использовав теорему о локальной обратимости завершим доказательство.
$$\blacksquare$$

<math> </math>

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-17T15:18:48Z

Nikita23:

== Определение и основные свойства ==
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных частных производных этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

== Теорема о локальной обратимости ==
* <math> Y \subset \mathbb{R}^n </math> - открытое;
* <math> g(y): Y \rightarrow \mathbb{R}^n </math>, непрерывно дифференцируемая;
* Якобиан <math> \det Dg(y) \neq 0 \ \forall y \in Y</math>;
Тогда <math> g(y) </math> локально обратима, то есть <math> \forall y_0 \in Y \ \exists </math> открытое множество <math> Y_0: y_0 \in Y_0 \subset Y</math> и <math> \exists </math> обратное отображение <math> (g(y)|_{Y_0})^{-1}: X_0 \rightarrow Y_0 </math>, где <math> X_0 = g(Y_0)</math>. 
''Доказательство.'' 
Зафиксируем <math> \forall y_0 \in Y</math>. Обозначим <math> x_0 = g(y_0) </math>. <math> F(x, y)</math> примем равным <math> g(y) - x</math>. Применим к ней теорему о неявной функции, для этого покажем выполнимость её условий:
# <math> F(x_0, y_0) = g(y_0) - x_0 = 0</math>.
# <math> F(x, y)</math> - непрерывно дифференцируема в окрестности точки <math> (x_0, y_0)</math> из условия.
# Якобиан <math> \det D_y{F(x_0, y_0)} = \det D{g(y_0)} \neq 0</math> по условию.
Поэтому <math> \exists \gamma > 0, \delta > 0 </math> и непрерывно дифференцируемая функция <math> \phi: U_{\gamma}(x_0) \rightarrow U_{\delta}(y_0)</math> такая, что:
<math> \forall x \in U_{\gamma}(x_0), y \in U_{\delta}(y_0) \Rightarrow y = \phi(x) \Leftrightarrow F(x, y) = 0 \Leftrightarrow g(y) = x. </math>
Таким образом, мы показали, что для <math> x</math> и <math> y</math>, взятых из данных достаточно малых окрестностей, у функции <math> g(y)</math> существует обратная к ней <math> \phi(x) </math>.
$$\blacksquare$$

== Лемма о выпрямлении векторного поля ==
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, </math>
с непрерывно дифференцируемой правой частью <math> f(x)</math> и некоторая нестационарная точка <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U(a)</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, для которых <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
''Доказательство.'' 
Не умаляя общности, будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U(a') </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт в зависимости от начальных условий фазовую траекторию, которую выпустили с <math> U(a) \cap \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, нам достаточно анализировать только траектории, лежащие в малой окрестности точки <math> a </math>, пересекающие <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности <math> a </math>, считаем несущественным, так как будет понятно в дальнейшем: на выпрямление векторного поля он не влияет. Рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U(a) </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью, иллюстрирует наши умозаключения. Приведённые рассуждения позволяют провести взаимнооднозначное соответствие между "существенными" траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать траектории. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> \{ x \ | \ x_n = a_n \}</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены. Из того, что у исходной системы уравнений гладкая правая часть, мы можем воспользоваться теоремой о непрерывной дифференцируемости решений задачи Коши по начальным значениям и в совокупности с определением <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, получить, что <math> \psi_i(t, \xi')</math> имеет непрерывные частные производные в прообразе <math> U(a)</math>. Это в свою очередь является достаточным условием дифференцируемости. Вычислим значения частных производных:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n</math>-ой координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это символ кронекера. :
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}, по\ доказанному \ выше \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(\xi', a_n) \neq 0,
</math>
окрестность <math> U(a)</math> подбирается таким образом, чтобы в ней сохранялось <math> f_n(\xi', a_n) \neq 0 </math>. Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
Подытожим некоторые факты, доказанные выше:
# <math> \psi(y)</math> является непрерывно дифференцируемой для <math> y</math>, соответствующих прообразу <math> U(a)</math>;
# Якобиан <math> \det D\psi(0, \xi') \neq 0</math>;
поэтому использовав теорему о локальной обратимости завершим доказательство.
$$\blacksquare$$

<math> </math>

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-16T20:38:37Z

Nikita23:

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-16T19:34:12Z

Nikita23:

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-16T18:52:10Z

Nikita23:

=== '''Определение и основные свойства.''' ===
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных частных производных этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

=== '''Лемма о выпрямлении векторного поля.''' ===
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n} </math>
и некоторая нестационарная точка <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U_a</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, определяемые как <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
<math> \textit{Доказательство.} </math> 
Не умаляя общности, будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U_{a'} </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт фазовую траекторию, которую выпустили с гиперплоскости <math> x_n(0) = a_n</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, все траектории, лежащие в достаточно малой окрестности точки <math> a </math> будут пересекать <math> x_n = a_n</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности, считаем невозможным, так как нет искривления векторного поля (точка не особая, а <math> U_a </math> берётся столь малым, что влияние стационарных решений не чувствуется). Что хорошо иллюстрирует рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> x_n = a_n</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U_a </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью. Эти рассуждения позволяют нам провести взаимнооднозначное соответствие между траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> x_n = a_n</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать траектории. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> x_n = a_n</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены<math> :</math>:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n-ой</math> координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это символ кронекера.
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}, по\ доказанному \ выше \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(a_n, \xi') \neq 0.
</math>
Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n(\xi', a_n) \\
\end{vmatrix} = f_n(\xi', a_n) \neq 0.
</math>
$$\blacksquare$$

<math> </math>

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-16T18:34:28Z

Nikita23:

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-16T18:32:57Z

Nikita23:

=== '''Определение и основные свойства.''' ===
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных частных производных этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

=== '''Лемма о выпрямлении векторного поля.''' ===
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n} </math>
и некоторая нестационарная точка <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U_a</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, определяемые как <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
<math> \textit{Доказательство.} </math> 
Не умаляя общности, будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U_{a'} </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт фазовую траекторию, которую выпустили с гиперплоскости <math> x_n(0) = a_n</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, все траектории, лежащие в достаточно малой окрестности точки <math> a </math> будут пересекать <math> x_n = a_n</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности, считаем невозможным, так как нет искривления векторного поля (точка не особая, а <math> U_a </math> берётся столь малым, что влияние стационарных решений не чувствуется). Что хорошо иллюстрирует рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> x_n = a_n</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U_a </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью. Эти рассуждения позволяют нам провести взаимнооднозначное соответствие между траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> x_n = a_n</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать траектории. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> x_n = a_n</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению. 
Корректность замены<math> :</math>:
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_i}{\partial{y}_j}\bigg{|}_{t = 0} = \delta_{ij}, \ \ \ i = \overline{1, n}, j = \overline{1, n-1},
</math>
так как частные производные берём не по <math> n-ой</math> координате, то можем её значение <math> y_n = t = 0</math> подставить сразу (<math> \psi_i(0, y') = \xi_i = y_i </math>). <math> \delta_{ij}</math> здесь это символ кронекера.
<math>
\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_n}\bigg{|}_{t = 0} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}\bigg{|}_{t = 0} = \bigg{\{} \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t} = \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{y}_k}} \dfrac{\mathrm{d}{y}_k}{\mathrm{d}{t}} = \dfrac{\partial{\psi}_n}{\partial{t}}, по\ доказанному \ выше \bigg{\}} = \dfrac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}{t}}\bigg{|}_{t = 0} = f_n(a_n, \xi') \neq 0.
</math>
Записывая якобиан для замены переменных в момент времени <math> t = 0</math>, получим:
<math>
\mathcal{J} = \begin{vmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 & * \\
0 & 1 & \dots & 0 & * \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
0 & 0& \dots & 1 & * \\
0 & 0 & \dots & 0 & f_n() \\
\end{vmatrix} = f_n() \neq 0.
</math>

<math> </math>

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-16T18:30:36Z

Nikita23: /* Определение и основные свойства. */

=== '''Определение и основные свойства.''' ===
'''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным
<math> x_1, \dots, x_n </math> в точке <math> \bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n) </math> называется матрица, составленная из всевозможных частных производных этих функций, взятых в рассматриваемой точке:
<math>
J(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
В частном случае, при <math> m = 1 </math> матрица Якоби состоит из одной строки: этот вектор называется '''градиентом''' функции <math> f(x_1, \dots, x_n) </math> в точке <math>
\bar{x} = (\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n): </math>:
<math> grad \ f(\bar{x}) = \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(\bar{x}) & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(\bar{x}) & \dots & \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(\bar{x}) \\
\end{pmatrix}.
</math>
Можно сказать, что в общем случае системы функций их матрица Якоби состоит из строк, являющихся градиентами этих функций. 
В другом частном случае, когда <math> m = n </math>, матрица Якоби становится квадратной и тогда ее определитель называется '''якобианом''' или '''определителем Якоби''' или '''функциональным определителем''' системы из <math> n </math> функций <math> \{f_1(x_1, x_2, \dots, x_n), \dots, f_n(x_1, x_2, \dots, x_n) \} </math> по переменным <math> x_1, \dots, x_n: </math>:
<math>
\mathcal{J}(x_1, \dots, x_n) = \dfrac{D(f_1, \dots, f_n)}{D(x_1, \dots, x_n)}= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_n}}(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots \\
\dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_1}}(x) & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_2}}(x) & \dots & \dfrac{\partial{f_n}}{\partial{x_n}}(x) \\
\end{vmatrix}.
</math>

=== '''Лемма о выпрямлении векторного поля.''' ===
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n} </math>
и некоторая нестационарная точка <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U_a</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, определяемые как <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
<math> \textit{Доказательство.} </math> 
Не умаляя общности, будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U_{a'} </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт фазовую траекторию, которую выпустили с гиперплоскости <math> x_n(0) = a_n</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, все траектории, лежащие в достаточно малой окрестности точки <math> a </math> будут пересекать <math> x_n = a_n</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности, считаем невозможным, так как нет искривления векторного поля (точка не особая, а <math> U_a </math> берётся столь малым, что влияние стационарных решений не чувствуется). Что хорошо иллюстрирует рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> x_n = a_n</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U_a </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью. Эти рассуждения позволяют нам провести взаимнооднозначное соответствие между траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> x_n = a_n</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать траектории. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> x_n = a_n</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению. 

=== '''Лемма о выпрямлении векторного поля.''' ===
Пусть нам задана система:
<math> \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n} </math>
и некоторая нестационарная точка <math> a </math> (<math>f(a) \neq 0 </math>), тогда найдётся такая окрестность <math> U_a</math> и новые координаты <math> y_1, \dots, y_n</math>, определяемые как <math> x_i = \psi_i(y_1, \dots, y_n) </math>, такие, что:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1, \ \ \ i = \overline{1, n-1}.</math>
<math> \textit{Доказательство.} </math> 
Не умаляя общности, будем считать, что <math> f_n(a) \neq 0 </math> (пользуемся тем, что <math> f(a) \neq 0 </math>). Рассмотрим задачу Коши:
<math>
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{cases}
\dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t} = f_i(x_1, \dots, x_n), \ \ \ i = \overline{1, n}, \\
x_1(0) = \xi_1, \ \dots, \ x_{n-1}(0) = \xi_{n-1}, \ x_n(0) = a_n.
\end{cases}
\end{equation}
</math>
Обозначим за <math> a' </math> первые <math> n - 1 </math> координаты точки <math> a </math>, а <math> \xi' </math> примем равным <math> (\xi_1, \dots, \xi_{n-1}),</math> причём <math> \xi' </math> будем брать из <math> U_{a'} </math>. Тогда система <math> \eqref{eq1}</math> задаёт фазовую траекторию, которую выпустили с гиперплоскости <math> x_n(0) = a_n</math>. Тут важно отметить, что в силу <math> \dot{x}_n(a) \neq 0</math>, все траектории, лежащие в достаточно малой окрестности точки <math> a </math> будут пересекать <math> x_n = a_n</math>, ведь в случае касания обнуляется производная, а случай, когда решение не имеет общих точек с рассматриваемой гиперплоскостью, но лежит в окрестности, считаем невозможным, так как нет искривления векторного поля (точка не особая, а <math> U_a </math> берётся столь малым, что влияние стационарных решений не чувствуется). Что хорошо иллюстрирует рис. 1, на котором красным цветом изображена наша точка <math> a </math>, синим<math>~- </math> пересечения орбит с <math> x_n = a_n</math>, зелёным<math>~- </math> окрестность <math> U_a </math> в пересечении с исследуемой гиперплоскостью. Эти рассуждения позволяют нам провести взаимнооднозначное соответствие между траекториями из окрестности точки <math> a </math> и координатами их пересечений с <math> x_n = a_n</math> (воспользовались тем, что в фазовом пространстве решения не пересекаются), что в совокупности с параметризацией по времени позволяет нам целиком восстанавливать траектории. 
Формализуем проведённый выше анализ и отталкиваясь от него докажем лемму. Взаимнооднозначное соответствие представим как <math> x(t; (\xi', a_n)) = \psi(t, \xi')</math>, а начальные условия <math> \eqref{eq1}</math> перепишем в виде <math> \psi_i(0, \xi') = \xi_i, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, \psi_n(0, \xi') = a_n </math> (в момент времени 0 находимся в точке <math> (\xi', a_n) </math>). Теперь покажем, что <math> y_i = \xi_i, \ i = \overline{1, n-1}, y_n = t </math> является искомой заменой координат, то есть, что в новых координатах получается требуемая система дифференциальных уравнений и якобиан перехода не вырожден (замена корректна).:
<math> \dfrac{\mathrm{d}y_i}{\mathrm{d}t} = 0, \ \ \ i = \overline{1, n-1}, </math>
поскольку со временем координата пересечения траектории с <math> x_n = a_n</math> не изменяется. <math> \dfrac{\mathrm{d}y_n}{\mathrm{d}t} = 1,</math> по построению.

Матрица Якоби. Лемма о выпрямлении векторного поля

2023-12-16T18:29:25Z

Nikita23: Новая страница: «=== '''Определение и основные свойства.''' === '''Матрицей Якоби''', системы из <math> m </math> функций...»