sawiki - Вклад участника [ru]

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T15:47:20Z

Shumo24: /* Lp свойства */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0.</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}.</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}.</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu.</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}.</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}.</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}.</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p).</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu.</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}.</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}.</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

Что и требовалось доказать.

===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}.</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

'''Доказательства свойств '''

'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}.</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}.</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Полнота пространства ''L''''p'' ===
====Теорема====
Пусть <math>\mu(X) < \infty</math>. При любом <math>p > 1</math> пространство <math>L_p(X,\mu)</math> является полным.

'''Доказательство'''

Пусть последовательность функций <math>f_n(x) \in L_p(X,\mu)</math> фундаментальная в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>:

:<math>\|f_n - f_m\|_{L_p} \to 0, \text{ при } n, m \to \infty.</math>

Докажем, что существует функция <math>f(x) \in L_p(X,\mu)</math> такая, что <math>f_n(x) \to f(x)</math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu).</math>

:<math>\int\limits_X |f_n - f_m| \cdot 1d\mu \leq \|f_n - f_m\|_{L_p(X,\mu)} \cdot (\mu(X))^{1/q}.</math>

Следовательно, последовательность <math>\{f_n\}</math> фундаментальна в <math>L_1(X,\mu)</math>. Из теоремы о полноте <math>L_1(X,\mu)</math> следует, что

:<math>\exists\{f_{n_k}\}: f_{n_k} \to f \in L_1(X,\mu)</math> почти всюду на <math> X </math>, <math>k = 1,2,3,...</math>

Тогда:

:<math>|f_{n_k} - f_m|^p \to |f_{n_k} - f|^p, \text{ при } n_l \to \infty, \int\limits_X |f_{n_k} - f_m|^p d\mu < \varepsilon.</math>

Следовательно, по [[теореме Фату]], <math>|f_{n_k} - f|^p</math> - интегрируема на <math> X </math> и

:<math>\int\limits_X |f_{n_k} - f|^p d\mu \leq \varepsilon, \forall n_k \geq N, \Rightarrow f_{n_k} \to f \text{ в } L_p(X,\mu).</math>

:<math>|f| \leq |f_{n_k}| + |f - f_{n_k}| \Rightarrow |f|^p \leq 2^p(|f_{n_k}|^p + |f - f_{n_k}|^p) \Rightarrow f \in L_p(X,\mu).</math>

Следовательно, и исходная последовательность сходится к <math> f </math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu).</math>

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' ===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu.</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu).</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu).</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q.</math>

* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1.</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T15:45:53Z

Shumo24: /* Теорема */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0.</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}.</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}.</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu.</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}.</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}.</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}.</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p).</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu.</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}.</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}.</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

Что и требовалось доказать.

===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}.</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

'''Доказательства свойств '''

'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}.</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0.</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0.</math>

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}.</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Полнота пространства ''L''''p'' ===
====Теорема====
Пусть <math>\mu(X) < \infty</math>. При любом <math>p > 1</math> пространство <math>L_p(X,\mu)</math> является полным.

'''Доказательство'''

Пусть последовательность функций <math>f_n(x) \in L_p(X,\mu)</math> фундаментальная в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>:

:<math>\|f_n - f_m\|_{L_p} \to 0, \text{ при } n, m \to \infty.</math>

Докажем, что существует функция <math>f(x) \in L_p(X,\mu)</math> такая, что <math>f_n(x) \to f(x)</math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu).</math>

:<math>\int\limits_X |f_n - f_m| \cdot 1d\mu \leq \|f_n - f_m\|_{L_p(X,\mu)} \cdot (\mu(X))^{1/q}.</math>

Следовательно, последовательность <math>\{f_n\}</math> фундаментальна в <math>L_1(X,\mu)</math>. Из теоремы о полноте <math>L_1(X,\mu)</math> следует, что

:<math>\exists\{f_{n_k}\}: f_{n_k} \to f \in L_1(X,\mu)</math> почти всюду на <math> X </math>, <math>k = 1,2,3,...</math>

Тогда:

:<math>|f_{n_k} - f_m|^p \to |f_{n_k} - f|^p, \text{ при } n_l \to \infty, \int\limits_X |f_{n_k} - f_m|^p d\mu < \varepsilon.</math>

Следовательно, по [[теореме Фату]], <math>|f_{n_k} - f|^p</math> - интегрируема на <math> X </math> и

:<math>\int\limits_X |f_{n_k} - f|^p d\mu \leq \varepsilon, \forall n_k \geq N, \Rightarrow f_{n_k} \to f \text{ в } L_p(X,\mu).</math>

:<math>|f| \leq |f_{n_k}| + |f - f_{n_k}| \Rightarrow |f|^p \leq 2^p(|f_{n_k}|^p + |f - f_{n_k}|^p) \Rightarrow f \in L_p(X,\mu).</math>

Следовательно, и исходная последовательность сходится к <math> f </math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu).</math>

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' ===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu.</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu).</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu).</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q.</math>

* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1.</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T15:44:11Z

Shumo24: /* Сопряжённое пространство Lp */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0.</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}.</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}.</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu.</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}.</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}.</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}.</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p).</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu.</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}.</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}.</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

Что и требовалось доказать.

===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}.</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

'''Доказательства свойств '''

'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}.</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0.</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0.</math>

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}.</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Полнота пространства ''L''''p'' ===
====Теорема====
Пусть <math>\mu(X) < \infty</math>. При любом <math>p > 1</math> пространство <math>L_p(X,\mu)</math> является полным.

'''Доказательство'''

Пусть последовательность функций <math>f_n(x) \in L_p(X,\mu)</math> фундаментальная в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>:

:<math>\|f_n - f_m\|_{L_p} \to 0, \text{ при } n, m \to \infty.</math>

Докажем, что существует функция <math>f(x) \in L_p(X,\mu)</math> такая, что <math>f_n(x) \to f(x)</math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>.

:<math>\int\limits_X |f_n - f_m| \cdot 1d\mu \leq \|f_n - f_m\|_{L_p(X,\mu)} \cdot (\mu(X))^{1/q}.</math>

Следовательно, последовательность <math>\{f_n\}</math> фундаментальна в <math>L_1(X,\mu)</math>. Из теоремы о полноте <math>L_1(X,\mu)</math> следует, что

:<math>\exists\{f_{n_k}\}: f_{n_k} \to f \in L_1(X,\mu)</math> почти всюду на <math> X </math>, <math>k = 1,2,3,...</math>

Тогда:

:<math>|f_{n_k} - f_m|^p \to |f_{n_k} - f|^p, \text{ при } n_l \to \infty, \int\limits_X |f_{n_k} - f_m|^p d\mu < \varepsilon.</math>

Следовательно, по [[теореме Фату]], <math>|f_{n_k} - f|^p</math> - интегрируема на <math> X </math> и

:<math>\int\limits_X |f_{n_k} - f|^p d\mu \leq \varepsilon, \forall n_k \geq N, \Rightarrow f_{n_k} \to f \text{ в } L_p(X,\mu).</math>

:<math>|f| \leq |f_{n_k}| + |f - f_{n_k}| \Rightarrow |f|^p \leq 2^p(|f_{n_k}|^p + |f - f_{n_k}|^p) \Rightarrow f \in L_p(X,\mu).</math>

Следовательно, и исходная последовательность сходится к <math> f </math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' ===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu.</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu).</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu).</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q.</math>

* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1.</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T15:43:17Z

Shumo24: /* Вложение пространств Lp при конечной мере */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0.</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}.</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}.</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu.</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}.</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}.</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}.</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p).</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu.</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}.</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}.</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

Что и требовалось доказать.

===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}.</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

'''Доказательства свойств '''

'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}.</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0.</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0.</math>

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}.</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Полнота пространства ''L''''p'' ===
====Теорема====
Пусть <math>\mu(X) < \infty</math>. При любом <math>p > 1</math> пространство <math>L_p(X,\mu)</math> является полным.

'''Доказательство'''

Пусть последовательность функций <math>f_n(x) \in L_p(X,\mu)</math> фундаментальная в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>:

:<math>\|f_n - f_m\|_{L_p} \to 0, \text{ при } n, m \to \infty.</math>

Докажем, что существует функция <math>f(x) \in L_p(X,\mu)</math> такая, что <math>f_n(x) \to f(x)</math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>.

:<math>\int\limits_X |f_n - f_m| \cdot 1d\mu \leq \|f_n - f_m\|_{L_p(X,\mu)} \cdot (\mu(X))^{1/q}.</math>

Следовательно, последовательность <math>\{f_n\}</math> фундаментальна в <math>L_1(X,\mu)</math>. Из теоремы о полноте <math>L_1(X,\mu)</math> следует, что

:<math>\exists\{f_{n_k}\}: f_{n_k} \to f \in L_1(X,\mu)</math> почти всюду на <math> X </math>, <math>k = 1,2,3,...</math>

Тогда:

:<math>|f_{n_k} - f_m|^p \to |f_{n_k} - f|^p, \text{ при } n_l \to \infty, \int\limits_X |f_{n_k} - f_m|^p d\mu < \varepsilon.</math>

Следовательно, по [[теореме Фату]], <math>|f_{n_k} - f|^p</math> - интегрируема на <math> X </math> и

:<math>\int\limits_X |f_{n_k} - f|^p d\mu \leq \varepsilon, \forall n_k \geq N, \Rightarrow f_{n_k} \to f \text{ в } L_p(X,\mu).</math>

:<math>|f| \leq |f_{n_k}| + |f - f_{n_k}| \Rightarrow |f|^p \leq 2^p(|f_{n_k}|^p + |f - f_{n_k}|^p) \Rightarrow f \in L_p(X,\mu).</math>

Следовательно, и исходная последовательность сходится к <math> f </math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' ===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu.</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu).</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q.</math>

* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1.</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T15:42:19Z

Shumo24: /* Пространство Lp */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0.</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}.</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}.</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu.</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}.</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}.</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}.</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p).</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu.</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}.</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}.</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

Что и требовалось доказать.

===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}.</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}.</math>

'''Доказательства свойств '''

'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}.</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0.</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0.</math>

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}.</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Полнота пространства ''L''''p'' ===
====Теорема====
Пусть <math>\mu(X) < \infty</math>. При любом <math>p > 1</math> пространство <math>L_p(X,\mu)</math> является полным.

'''Доказательство'''

Пусть последовательность функций <math>f_n(x) \in L_p(X,\mu)</math> фундаментальная в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>:

:<math>\|f_n - f_m\|_{L_p} \to 0, \text{ при } n, m \to \infty.</math>

Докажем, что существует функция <math>f(x) \in L_p(X,\mu)</math> такая, что <math>f_n(x) \to f(x)</math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>.

:<math>\int\limits_X |f_n - f_m| \cdot 1d\mu \leq \|f_n - f_m\|_{L_p(X,\mu)} \cdot (\mu(X))^{1/q}.</math>

Следовательно, последовательность <math>\{f_n\}</math> фундаментальна в <math>L_1(X,\mu)</math>. Из теоремы о полноте <math>L_1(X,\mu)</math> следует, что

:<math>\exists\{f_{n_k}\}: f_{n_k} \to f \in L_1(X,\mu)</math> почти всюду на <math> X </math>, <math>k = 1,2,3,...</math>

Тогда:

:<math>|f_{n_k} - f_m|^p \to |f_{n_k} - f|^p, \text{ при } n_l \to \infty, \int\limits_X |f_{n_k} - f_m|^p d\mu < \varepsilon.</math>

Следовательно, по [[теореме Фату]], <math>|f_{n_k} - f|^p</math> - интегрируема на <math> X </math> и

:<math>\int\limits_X |f_{n_k} - f|^p d\mu \leq \varepsilon, \forall n_k \geq N, \Rightarrow f_{n_k} \to f \text{ в } L_p(X,\mu).</math>

:<math>|f| \leq |f_{n_k}| + |f - f_{n_k}| \Rightarrow |f|^p \leq 2^p(|f_{n_k}|^p + |f - f_{n_k}|^p) \Rightarrow f \in L_p(X,\mu).</math>

Следовательно, и исходная последовательность сходится к <math> f </math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' ===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu.</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu)</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q</math>

* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T15:38:36Z

Shumo24: /* Полнота пространства Lp */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.

===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

'''Доказательства свойств '''

'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Полнота пространства ''L''''p'' ===
====Теорема====
Пусть <math>\mu(X) < \infty</math>. При любом <math>p > 1</math> пространство <math>L_p(X,\mu)</math> является полным.

'''Доказательство'''

Пусть последовательность функций <math>f_n(x) \in L_p(X,\mu)</math> фундаментальная в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>:

:<math>\|f_n - f_m\|_{L_p} \to 0, \text{ при } n, m \to \infty</math>

Докажем, что существует функция <math>f(x) \in L_p(X,\mu)</math> такая, что <math>f_n(x) \to f(x)</math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>.

:<math>\int\limits_X |f_n - f_m| \cdot 1d\mu \leq \|f_n - f_m\|_{L_p(X,\mu)} \cdot (\mu(X))^{1/q}</math>

Следовательно, последовательность <math>\{f_n\}</math> фундаментальна в <math>L_1(X,\mu)</math>. Из теоремы о полноте <math>L_1(X,\mu)</math> следует, что

:<math>\exists\{f_{n_k}\}: f_{n_k} \to f \in L_1(X,\mu)</math> почти всюду на <math> X </math>, <math>k = 1,2,3,...</math>

Тогда:

:<math>|f_{n_k} - f_m|^p \to |f_{n_k} - f|^p, \text{ при } n_l \to \infty, \int\limits_X |f_{n_k} - f_m|^p d\mu < \varepsilon</math>

Следовательно, по [[теореме Фату]], <math>|f_{n_k} - f|^p</math> - интегрируема на <math> X </math> и

:<math>\int\limits_X |f_{n_k} - f|^p d\mu \leq \varepsilon, \forall n_k \geq N, \Rightarrow f_{n_k} \to f \text{ в } L_p(X,\mu)</math>

:<math>|f| \leq |f_{n_k}| + |f - f_{n_k}| \Rightarrow |f|^p \leq 2^p(|f_{n_k}|^p + |f - f_{n_k}|^p) \Rightarrow f \in L_p(X,\mu)</math>

Следовательно, и исходная последовательность сходится к <math> f </math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' ===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu)</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q</math>

* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T14:04:18Z

Shumo24: /* Вложение пространств Lp при конечной мере */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.

===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

'''Доказательства свойств '''

'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Полнота пространства ''L''''p'' ===
====Теорема====
Пусть <math>\mu(X) < \infty</math>. При любом <math>p > 1</math> пространство <math>L_p(X,\mu)</math> является полным.

'''Доказательство.'''

Пусть последовательность функций <math>f_n(x) \in L_p(X,\mu)</math> фундаментальная в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>:

:<math>\|f_n - f_m\|_{L_p} \to 0, \text{ при } n, m \to \infty</math>.

Докажем, что существует функция <math>f(x) \in L_p(X,\mu)</math> такая, что <math>f_n(x) \to f(x)</math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>.

:<math>\int\limits_X |f_n - f_m| \cdot 1d\mu \leq \|f_n - f_m\|_{L_p(X,\mu)} \cdot (\mu(X))^{1/q}</math>

Следовательно, последовательность <math>\{f_n\}</math> фундаментальна в <math>L_1(X,\mu)</math>. Из теоремы о полноте <math>L_1(X,\mu)</math> следует, что

:<math>\exists\{f_{n_k}\}: f_{n_k} \to f \in L_1(X,\mu)</math> почти всюду на <math> X </math>, <math>k = 1,2,3,...</math>

Тогда:

:<math>|f_{n_k} - f_m|^p \to |f_{n_k} - f|^p, \text{ при } n_l \to \infty, \int\limits_X |f_{n_k} - f_m|^p d\mu < \varepsilon</math>.

Следовательно, по [[теореме Фату]], <math>|f_{n_k} - f|^p</math> - интегрируема на <math> X </math> и

:<math>\int\limits_X |f_{n_k} - f|^p d\mu \leq \varepsilon, \forall n_k \geq N, \Rightarrow f_{n_k} \to f \text{ в } L_p(X,\mu)</math>.

:<math>|f| \leq |f_{n_k}| + |f - f_{n_k}| \Rightarrow |f|^p \leq 2^p(|f_{n_k}|^p + |f - f_{n_k}|^p) \Rightarrow f \in L_p(X,\mu)</math>.

Следовательно, и исходная последовательность сходится к <math> f </math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' ===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu)</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q</math>

* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T13:59:46Z

Shumo24: /* Сопряжённое пространство Lp при конечной мере */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.

===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

'''Доказательства свойств '''

'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Полнота пространства ''L''''p'' ===
====Теорема====
Пусть <math>\mu(X) < \infty</math>. При любом <math>p > 1</math> пространство <math>L_p(X,\mu)</math> является полным.

'''Доказательство.'''

Пусть последовательность функций <math>f_n(x) \in L_p(X,\mu)</math> фундаментальная в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>:

:<math>\|f_n - f_m\|_{L_p} \to 0, \text{ при } n, m \to \infty</math>.

Докажем, что существует функция <math>f(x) \in L_p(X,\mu)</math> такая, что <math>f_n(x) \to f(x)</math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>.

:<math>\int\limits_X |f_n - f_m| \cdot 1d\mu \leq \|f_n - f_m\|_{L_p(X,\mu)} \cdot (\mu(X))^{1/q}</math>

Следовательно, последовательность <math>\{f_n\}</math> фундаментальна в <math>L_1(X,\mu)</math>. Из теоремы о полноте <math>L_1(X,\mu)</math> следует, что

:<math>\exists\{f_{n_k}\}: f_{n_k} \to f \in L_1(X,\mu)</math> почти всюду на <math> X </math>, <math>k = 1,2,3,...</math>

Тогда:

:<math>|f_{n_k} - f_m|^p \to |f_{n_k} - f|^p, \text{ при } n_l \to \infty, \int\limits_X |f_{n_k} - f_m|^p d\mu < \varepsilon</math>.

Следовательно, по [[теореме Фату]], <math>|f_{n_k} - f|^p</math> - интегрируема на <math> X </math> и

:<math>\int\limits_X |f_{n_k} - f|^p d\mu \leq \varepsilon, \forall n_k \geq N, \Rightarrow f_{n_k} \to f \text{ в } L_p(X,\mu)</math>.

:<math>|f| \leq |f_{n_k}| + |f - f_{n_k}| \Rightarrow |f|^p \leq 2^p(|f_{n_k}|^p + |f - f_{n_k}|^p) \Rightarrow f \in L_p(X,\mu)</math>.

Следовательно, и исходная последовательность сходится к <math> f </math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' ===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu)</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q</math>
* Точная константа равна:
:<math>\|I\|_{q,p} = \mu(X)^{1/p-1/q}</math>
* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T13:55:34Z

Shumo24: /* Полнота пространства Lp */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.

===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

'''Доказательства свойств '''

'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Полнота пространства ''L''''p'' ===
====Теорема====
Пусть <math>\mu(X) < \infty</math>. При любом <math>p > 1</math> пространство <math>L_p(X,\mu)</math> является полным.

'''Доказательство.'''

Пусть последовательность функций <math>f_n(x) \in L_p(X,\mu)</math> фундаментальная в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>:

:<math>\|f_n - f_m\|_{L_p} \to 0, \text{ при } n, m \to \infty</math>.

Докажем, что существует функция <math>f(x) \in L_p(X,\mu)</math> такая, что <math>f_n(x) \to f(x)</math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>.

:<math>\int\limits_X |f_n - f_m| \cdot 1d\mu \leq \|f_n - f_m\|_{L_p(X,\mu)} \cdot (\mu(X))^{1/q}</math>

Следовательно, последовательность <math>\{f_n\}</math> фундаментальна в <math>L_1(X,\mu)</math>. Из теоремы о полноте <math>L_1(X,\mu)</math> следует, что

:<math>\exists\{f_{n_k}\}: f_{n_k} \to f \in L_1(X,\mu)</math> почти всюду на <math> X </math>, <math>k = 1,2,3,...</math>

Тогда:

:<math>|f_{n_k} - f_m|^p \to |f_{n_k} - f|^p, \text{ при } n_l \to \infty, \int\limits_X |f_{n_k} - f_m|^p d\mu < \varepsilon</math>.

Следовательно, по [[теореме Фату]], <math>|f_{n_k} - f|^p</math> - интегрируема на <math> X </math> и

:<math>\int\limits_X |f_{n_k} - f|^p d\mu \leq \varepsilon, \forall n_k \geq N, \Rightarrow f_{n_k} \to f \text{ в } L_p(X,\mu)</math>.

:<math>|f| \leq |f_{n_k}| + |f - f_{n_k}| \Rightarrow |f|^p \leq 2^p(|f_{n_k}|^p + |f - f_{n_k}|^p) \Rightarrow f \in L_p(X,\mu)</math>.

Следовательно, и исходная последовательность сходится к <math> f </math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' при конечной мере===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu)</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q</math>
* Точная константа равна:
:<math>\|I\|_{q,p} = \mu(X)^{1/p-1/q}</math>
* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Теореме Фату

2024-11-24T13:51:38Z

Shumo24: Новая страница: «==Теорема Фату== Если последовательность измеримых неотрицательных функций <math>\{f_n(x)\}</math...»

==Теорема Фату==

Если последовательность измеримых неотрицательных функций <math>\{f_n(x)\}</math> сходится почти всюду на X к <math>f(x)</math>, и

:<math>\int\limits_X f_n(x)d\mu \leq K</math>

то функция <math>f(x)</math> интегрируема на X, причём

:<math>\int\limits_X f(x)d\mu \leq K</math>.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T13:49:37Z

Shumo24: /* Lp свойства */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.

===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

'''Доказательства свойств '''

'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Полнота пространства ''L''''p'' ===
====Теорема====
Пусть <math>\mu(X) < \infty</math>. При любом <math>p > 1</math> пространство <math>L_p(X,\mu)</math> является полным.

'''Доказательство.'''

Пусть последовательность функций <math>f_n(x) \in L_p(X,\mu)</math> фундаментальная в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>:

:<math>\|f_n - f_m\|_{L_p} \to 0, \text{ при } n, m \to \infty</math>.

Докажем, что существует функция <math>f(x) \in L_p(X,\mu)</math> такая, что <math>f_n(x) \to f(x)</math> в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>.

:<math>\int\limits_X |f_n - f_m| \cdot 1d\mu \leq \|f_n - f_m\|_{L_p(X,\mu)} \cdot (\mu(X))^{1/q}</math>

Следовательно, последовательность <math>\{f_n\}</math> фундаментальна в <math>L_1(X,\mu)</math>. Из теоремы о полноте <math>L_1(X,\mu)</math> следует, что

:<math>\exists\{f_{n_k}\}: f_{n_k} \to f \in L_1(X,\mu)</math> почти всюду на <math> X </math>, <math>k = 1,2,3,...</math>

Тогда:

:<math>|f_{n_k} - f_m|^p \to |f_{n_k} - f|^p, \text{ при } n_l \to \infty, \int\limits_X |f_{n_k} - f_m|^p d\mu < \varepsilon</math>.

Следовательно, по [[теореме Фату]], <math>|f_{n_k} - f|^p</math> - интегрируема на <math> X </math> и

:<math>\int\limits_X |f_{n_k} - f|^p d\mu \leq \varepsilon, \forall n_k \geq N, \Rightarrow f_{n_k} \to f \text{ в } L_p(X,\mu)</math>.

:<math>|f| \leq |f_{n_k}| + |f - f_{n_k}| \Rightarrow |f|^p \leq 2^p(|f_{n_k}|^p + |f - f_{n_k}|^p) \Rightarrow f \in L_p(X,\mu)</math>.

Следовательно, и исходная последовательность сходится к f в смысле нормы пространства <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' при конечной мере===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu)</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q</math>
* Точная константа равна:
:<math>\|I\|_{q,p} = \mu(X)^{1/p-1/q}</math>
* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T13:39:03Z

Shumo24: /* Доказательства свойств */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.

===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

==== Доказательства свойств ====
'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' при конечной мере===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu)</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q</math>
* Точная константа равна:
:<math>\|I\|_{q,p} = \mu(X)^{1/p-1/q}</math>
* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)

2024-11-24T13:36:06Z

Shumo24: Новая страница: «=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) === Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(...»

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T13:34:53Z

Shumo24: /* Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.

===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

=== Доказательства свойств ===
'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' при конечной мере===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu)</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q</math>
* Точная константа равна:
:<math>\|I\|_{q,p} = \mu(X)^{1/p-1/q}</math>
* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T13:34:01Z

Shumo24: /* Сопряжённое пространство Lp при конечной мере */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.
===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

=== Доказательства свойств ===
'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' при конечной мере===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

=== Вложение пространств ''L''''p'' при конечной мере ===

Пусть <math>\mu(X) < \infty</math> (случай конечной меры).

Тогда для <math>1 \leqslant p < q \leqslant \infty</math> имеет место вложение:
:<math>L^q(X,\mu) \subset L^p(X,\mu)</math>

Более того:
* Оператор вложения непрерывен, т.е. существует константа <math>C > 0</math> такая, что:
:<math>\|f\|_p \leqslant C\|f\|_q</math>
* Точная константа равна:
:<math>\|I\|_{q,p} = \mu(X)^{1/p-1/q}</math>
* Равенство достигается при <math>f = 1</math> почти всюду.

'''Замечание.''' При конечной мере пространства с большим показателем вложены в пространства с меньшим показателем, т.е.:
:<math>L^\infty \subset L^q \subset L^p \subset L^1</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T13:22:43Z

Shumo24: /* Пространство Lp */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.
===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

=== Доказательства свойств ===
'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' при конечной мере===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T13:21:22Z

Shumo24: /* Сопряжённое пространство Lp */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''2'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ определяется как пространство функций, удовлетворяющих следующему условию:
\begin{equation*}
L_{2}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2}d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\int\limits_{X} \vert f(x) \vert^{2} d \mu}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}

Скалярное произведение в пространстве $$L_{2}$$ определяется следующим образом:
\begin{equation*}
\langle f, g \rangle = \int\limits_{X} f(x) \overline{g(x)} d \mu, \forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
===Гильбертовость пространства $$L_{2}$$===
Пространство $$L_{2}(X, \mu)$$ является [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE&action=edit&redlink=1 гильбертовым].

'''Доказательство'''
Норма пространства $$L_{2}$$ выражается через скалярное произведение (то есть является полным относительно метрики):
\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \sqrt{\langle f(x), f(x) \rangle}, \forall f(x) \in L_{2}(X, \mu).
\end{equation*}
Также, данное пространство является линейным, так как $$\forall f(x), g(x) \in L_{2}(X, \mu), \forall \alpha, beta \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha f(x) + \beta g(x) \in L_{2}(X, \mu)$$.

Таким образом, $$L_{2}(X, \mu)$$ является гильбертовым пространством по определению.
= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть <math>p \geqslant 1</math>. Рассмотрим множество функций <math>L_p(X, \mu)</math>, интегрируемых в степени <math>p</math> (без модуля и с модулем).

:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}, \quad p > 1.</math>

==Пространства ''L''''p''==
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.
===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

=== Доказательства свойств ===
'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' при конечной мере===

1. '''Общий случай (<math>1 ):'''
* Для конечной меры <math>\mu(X) < \infty</math>, сопряжённое пространство <math>L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu</math>

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: для конечной меры <math>\mu</math>, сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: для конечной меры, сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math>:
** Изометрически изоморфно пространству ограниченных знакопеременных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В случае конечной меры, существует вложение <math>L_1(\mu) \hookrightarrow (L_\infty(\mu))^*</math>

= Список литературы =
1. ''Точилин П. А.'' Семинарские занятия по функциональному анализу, 2023г.

2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.

3. ''Люстерник Л. А., Соболев В. И.'' Элементы функционального анализа. М: Наука, 1965.

4. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976.

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T13:05:25Z

Shumo24: /* Сопряжённое пространство Lp */

= Пространство ''L''''1'' =
=== Определение ===
Пусть $$X$$ --- некоторое пространство с полной мерой $$\mu$$. Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ определяется как пространство измеримых функций, интегрируемых по Лебегу:
\begin{equation*}
L_{1}(X, \mu) = \left\lbrace f(x), x \in X: \exists \int\limits_{X} f(x)d \mu < \infty, \exists \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu < \infty \right\rbrace.
\end{equation*}

Норма в данном пространстве определяется следующим образом:

\begin{equation*}
\Vert f \Vert = \int\limits_{X} \vert f(x) \vert d \mu, \forall f(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

==Полнота пространства ''L''''1''==
Введем в пространстве $$L_{1}(X, \mu)$$ расстояние (метрику):
\begin{equation*}
\rho (f, g) = \Vert f-g \Vert_{L_{1}}, \forall f(x), g(x) \in L_{1}(X, \mu).
\end{equation*}

=== Теорема о полноте пространства $$L_{1}$$===
Пространство $$L_{1}(X, \mu)$$ является полным, то есть любая фундаментальная последовательность является сходящейся.

'''Доказательство.'''
Рассмотрим $$\lbrace f_{n}(x) \rbrace$$ --- фундаментальная последовательность функций из $$L_{1}$$:

\begin{equation*}
\Vert f_{n}-f_{m} \Vert \rightarrow 0, \text{ при } n,m \rightarrow \infty.
\end{equation*}

Тогда можно выделить такую подпоследовательность $$\lbrace f_{n_{k}}\rbrace$$, что:
\begin{equation}\label{eq1}
\Vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \Vert = \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}-f_{n_{k+1}} \vert d\mu < \frac{1}{2^{k}}.
\end{equation}

Рассмотрим новую последовательность функций $$\lbrace g_{m} \rbrace$$, которые определяются следующим образом:

\begin{equation*}
g_{m} (x) = \vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + ... + \vert f_{n_{m}} (x) - f_{n_{m-1}} (x) \vert.
\end{equation*}

Полученные функции $$g_{m}(x)$$ являются интегрируемыми, $$g_{m+1}(x) > g_{m}(x), \forall x \in X$$, и в силу (\ref{eq1}) справедливо:
\begin{equation*}
\int\limits_{X} g_{m}(x) d\mu \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \leqslant \Vert f_{n_{1}} \Vert + 1.
\end{equation*}

Используя [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Леви], получаем сходимость почти всюду ряда
\begin{equation*}
\vert f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) \vert + \vert f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) \vert + ...
\end{equation*}

Тогда почти всюду сходится к некоторой функции и ряд без модулей
\begin{equation*}
f_{n_{1}} (x) + ( f_{n_{2}} (x) - f_{n_{1}} (x) ) + ( f_{n_{3}} (x) - f_{n_{2}} (x) ) + ... \Rightarrow \exists f(x) = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} f_{n_{k}} (x).
\end{equation*}

Докажем теперь, что подпоследовательность $$f_{n_{k}}$$ сходится в смысле метрики в $$L_{1}$$ (в среднем) к той же функции $$f(x)$$.
Используя условие фундаментальности последовательности:

\begin{equation*}
\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall k, l > N: \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}} (x) - f_{n_{l}} (x)\vert d\mu < \varepsilon.
\end{equation*}
А также [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%B3%D0%B0 теорему Фату], переходя к пределу при $$l \rightarrow \infty$$ получаем:

\begin{equation*}
\int\limits_{X} \vert f(x) \vert d\mu - \int\limits_{X} \vert f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \int\limits_{X} \vert f(x) - f_{n_{k}}(x) \vert d\mu \leqslant \varepsilon.
\end{equation*}

Таким образом, функция $$f(x)$$ является интегрируемой и $$\lbrace f_{n_{k}} \rbrace$$ сходится к данной функции в среднем. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой функции, то и сама последовательность сходится к ней, что и требовалось доказать.

= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть <math>p \geqslant 1</math>. Рассмотрим множество функций <math>L_p(X, \mu)</math>, интегрируемых в степени <math>p</math> (без модуля и с модулем).

:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}, \quad p > 1.</math>

==Пространства ''L''''p''==
=== Определение ===
Пусть p ≥ 1. Рассмотрим множество функций Lp(X,μ), интегрируемых в степени p (без модуля и с модулем).
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p},p \geqslant 0</math>
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.
===''L''''p'' свойства===

1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

=== Доказательства свойств ===
'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется неравенство Гёльдера для интегралов и неравенство Минковского для интегралов.

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в [[теореме(о неравенстве Минковского для интегралов)]].

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>.

=== Сопряжённое пространство ''L''''p'' ===

1. '''Общий случай (1 L_p(\mu)</math> естественно изоморфно <math>L_q(\mu)</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>
* Изоморфизм <math>\kappa_p : L_q(\mu) \to L_p(\mu)^*</math> определяется как: <math>\kappa_p(g)(f) = \int fg\,d\mu</math>
* Этот изоморфизм изометрический

2. '''Особые случаи:'''
* При <math>p = 1</math>: если <math>\mu</math> есть <math>\sigma</math>-конечная мера, то сопряжённое пространство <math>L_1(\mu)</math> изометрически изоморфно <math>L_\infty(\mu)</math>
* При <math>p = \infty</math>: сопряжённое пространство <math>L_\infty(\mu)</math> более сложное:
** Может быть отождествлено с пространством ограниченных знакопеременных конечно-аддитивных мер, абсолютно непрерывных относительно <math>\mu</math>
** В общем случае больше <math>L_1(\mu)</math>
** В специальной теории множеств [[аксиоматике Цермело — Френкеля]] + DC + [[свойство Бэра]], для пространства последовательностей имеем <math>(\ell_\infty)^* = \ell_1</math>

Пространства интегрируемых функций

2024-11-24T12:38:39Z

Shumo24: /* Свойства пространства Lp */

Пространства интегрируемых функций

2024-11-10T18:46:12Z

Shumo24: Новая страница: «= Пространство ''L''''p'' = === Определение === Пусть <math>p \geqslant 1</math>. Рассмотрим множество...»

= Пространство ''L''''p'' =
=== Определение ===
Пусть <math>p \geqslant 1</math>. Рассмотрим множество функций <math>L_p(X, \mu)</math>, интегрируемых в степени <math>p</math> (без модуля и с модулем).

:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}, \quad p > 1.</math>

== Свойства о пространстве ''L''''p''==
'''Замечание.''' Для доказательства неравенства треугольника потребуется [[неравенство Гёльдера для интегралов]] и [[неравенство Минковского для интегралов]].
=== Теорема (о неравенстве Гёльдера для интегралов）===
Для любых функций <math>f(x) \in L_p(X, \mu)</math> и <math>g(x) \in L_q(X, \mu)</math>, где <math>p,q > 1</math> и <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\left|\int\limits_X f(x)g(x)d\mu\right| \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

'''Доказательство.'''
Разобьём доказательство на несколько шагов:

1. '''Тривиальный случай:'''
Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math> или <math>\|g\|_{L_q} = 0</math>, то неравенство очевидно выполняется, так как левая часть будет равна нулю.

2. '''Основной случай:'''
Для случая, когда нормы отличны от нуля, введем вспомогательные функции:

:<math>F = \frac{|f|}{\|f\|_{L_p}}, \quad G = \frac{|g|}{\|g\|_{L_q}}</math>

Используя предыдущую лемму, получаем:

:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu + \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu</math>

Подставляя определения F и G, получаем:
:<math>\int\limits_X \frac{F^p}{p}d\mu = \frac{1}{p}, \quad \int\limits_X \frac{G^q}{q}d\mu = \frac{1}{q}</math>

Следовательно:
:<math>\int\limits_X FGd\mu \leqslant \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>

Возвращаясь к исходным функциям:

:<math>\left|\int\limits_X fgd\mu\right| \leqslant \int\limits_X |fg|d\mu = \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q} \cdot \int\limits_X FGd\mu \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|g\|_{L_q}</math>

Что и требовалось доказать.

=== Теорема (о неравенстве Минковского для интегралов) ===
Для измеримых функций <math>f, g \in L_p(X,\mu)</math>, где <math>p \geqslant 1</math>, справедливо неравенство:

:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

то есть:

:<math>\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p d\mu\right)^{1/p} \leqslant \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} + \left(\int\limits_X |g(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>

'''Замечание.''' Неравенство Минковского является аналогом неравенства треугольника для <math>L_p</math>-норм и показывает, что пространство <math>L_p</math> является нормированным.

'''Доказательство.'''

Сначала докажем неравенство:

:<math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant (2\max\{|f|, |g|\})^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

Следовательно, <math>|f + g|^p</math> интегрируема, а значит <math>f + g \in L_p(X, \mu)</math>.

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu = \int\limits_X |f| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu + \int\limits_X |g| \cdot |f + g|^{p-1}d\mu</math>

Применяя неравенство Гёльдера с показателями <math>p</math> и <math>q</math>, где <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math>, получаем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q} + \|g\|_{L_p} \cdot \left(\int\limits_X |f + g|^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q}</math>

Поскольку <math>(p-1)q = p</math>, имеем:

:<math>\|f + g\|^p_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p} + \|g\|_{L_p} \cdot \|f + g\|^{p/q}_{L_p}</math>

:<math>\Rightarrow \|f + g\|^{p-p/q}_{L_p} = \|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

Что и требовалось доказать.
===Свойство===
1. '''(Неотрицательность и определенность):'''
:<math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0, \forall f; \|f\|_{L_p} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0</math> почти всюду

2. '''(Однородность):'''
:<math>\|cf\|_{L_p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''(Неравенство треугольника):'''
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

=== Доказательства свойств ===

1. '''Доказательство неотрицательности и определенности:'''

а) Неотрицательность <math>\|f\|_{L_p} \geqslant 0</math> следует из определения:
:<math>\|f\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p}</math>
Так как <math>|f(x)|^p \geqslant 0</math> и мера <math>\mu</math> неотрицательна, то интеграл неотрицателен, и после возведения в степень <math>1/p</math> результат также неотрицателен.

б) Для доказательства второй части:
* "<math>\Rightarrow</math>": Если <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>, то <math>\int\limits_X |f(x)|^p d\mu = 0</math>. Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, это возможно только если <math>f(x) = 0</math> почти всюду.
* "<math>\Leftarrow</math>": Если <math>f(x) = 0</math> почти всюду, то очевидно <math>\|f\|_{L_p} = 0</math>.

2. '''Доказательство однородности:'''

:<math>\|cf\|_{L_p} = \left(\int\limits_X |cf(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = \left(\int\limits_X |c|^p|f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c|\left(\int\limits_X |f(x)|^p d\mu\right)^{1/p} = |c| \cdot \|f\|_{L_p}</math>

3. '''Доказательство неравенства треугольника:'''

Это неравенство уже доказано в теореме Минковского (Теорема 11.5). Напомним основные шаги:

а) Сначала доказывается, что <math>|f + g|^p \leqslant (|f| + |g|)^p \leqslant 2^p(|f|^p + |g|^p)</math>

б) Затем используется неравенство Гёльдера:
:<math>\|f + g\|^p_{L_p} = \int\limits_X |f + g|^p d\mu \leqslant \int\limits_X |f + g|^{p-1}(|f| + |g|)d\mu</math>

в) После применения неравенства Гёльдера и соответствующих преобразований получаем:
:<math>\|f + g\|_{L_p} \leqslant \|f\|_{L_p} + \|g\|_{L_p}</math>

'''Замечание.''' Эти три свойства показывают, что <math>\|\cdot\|_{L_p}</math> действительно является нормой на пространстве <math>L_p(X,\mu)</math>. ∎