sawiki - Вклад участника [ru]

Гильбертово пространство

2024-12-27T14:00:18Z

Sin24:

==Определение==

'''Определение 1.'''
Полное евклидово (унитарное) бесконечномерное пространство называется Гильбертовым.
Обозначается как $$H$$ .

Гильбертово пространство это частный случай [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE ''банахова пространства''].

==Связь нормы и скалярного произведения==
В '''гильбертовом пространстве''', как и во всяком евклидовом или унитарном пространстве, норма согласована со скалярным произведением.
В общем случае норма и скалярное произведение никак не связаны между собой.

В '''гильбертовом пространстве''' норма связана со скалярным произведением следующим образом:
$$
||x||=\sqrt{\left<x,x\right>}
$$

Из аксиом скалярного произведения вытекает '''неравенство Коши-Буняковкого''':
$$|\left<x,y\right>| \leq ||x|||y||$$, $$\forall x, y \in H$$

'''Теорема 1.'''

Норма порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено '''тождество параллелограмма'''.

:<math>||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2), \forall x, y \in H.</math>

'''Доказательство:'''

'''$$\Rightarrow$$''' Если норма порождается скалярным произведением, то тогда
:<math> ||x+y||^2=\left<x+y,x+y\right>=||x||^2+||y||^2+\left<x,y\right>+\left<y,x\right>, </math>
:<math> ||x-y||^2=\left<x-y,x-y\right>=||x||^2+||y||^2-\left<x,y\right>-\left<y,x\right>. </math>
После сложения (1) и (2) получаем требуемое.

$$\Leftarrow$$ Вещественный случай:
:<math>\left<x,y\right>=\frac{1}{2} \left( ||x+y||^2-||x||^2-||y||^2 \right) </math>

Проверим аксиомы скалярного произведения

'''1)''' $$\left<x,y\right>=\left<y,x\right>$$, очевидно выполняется.

'''2)''' $$\left<x+y,z\right>=\left<x,z\right>+\left<y,z\right>$$,

:<math>\Delta=2(\left<x+y,z\right>-\left<x,z\right>-\left<y,z\right>)=||x+y+z||^2-||x+y||^2-||z||^2-||x+z||^2+||x||^2+||z||^2-||y+z||^2+||y||^2+||z||^2, </math>

Упростим

:<math>||x+y+z||^2-||x+y||^2-||x+z||^2-||y+z||^2+||x||^2+||y||^2+||z||^2, </math>

Применим '''тождество параллелограмма''' к вектору $$x+y+2z=(x+y+z)+z=(x+z)+(y+z)$$ и получим:
:<math>||x+y+2z||^2+||x+y||^2=2||x+y+z||^2+2||z||^2 ,</math>
:<math>||x+y+2z||^2+||x-y||^2=2||x+z||^2+2||y+z||^2 .</math>

Вычитаем из первого второе

:<math>||x+y||^2-||x-y||^2=2||x+y+z||^2-2||x+z||^2-2||y+z||^2+2||z||^2 ,</math>

:<math>\Delta=\frac{1}{2}\left(||x+y||^2-||x-y||^2\right)+||x+z||^2+||y+z||^2-||z||^2-||x+z||^2-||y+z||^2-||x+y||^2+||x||^2+||y||^2+||z||^2 .</math>

После сокращений

:<math>\frac{1}{2}\left(||x+y||^2-||x-y||^2\right)+||x||^2+||y||^2-||x+y||^2 ,</math>

:<math>||x||^2+||y||^2-\frac{1}{2}\left(||x+y||^2+||x-y||^2\right)=0 .</math>

Получили, что вторая аксиома выполняется.

'''3)''' Третья аксиомы выводится из второй
$$\left<\alpha x,y\right>=\alpha\left<x,y\right>$$.

:<math>\left<2x,y\right>=\left<x+x,y\right>=\left<x,y\right>+\left<x,y\right>=2\left<x,y\right>.</math>
Верно для $$\alpha=2$$, покажем для $$\alpha=n$$:

:<math>\left<nx,y\right>=\left<(n-1)x+x,y\right>.</math>

То есть для всех натуральных чисел аксиома выполнена.

'''Для нуля:'''
:<math>\left<0,y\right>=\frac{||0+y||^2-||0||^2-||y||^2}{2},</math>
:<math>0=\left<0,y\right>=\left<x-x,y\right>=\left<x+(-x),y\right>=\left<x,y\right>+\left<-x,y\right>: \left<(-x),y\right>=-\left<x,y\right>.</math>

Таким образом распространили на все целые $$\alpha$$, далее распространим на рациональные $$\alpha \in Q$$:

:<math> \left<x,y\right>=n\left<\frac{x}{n},y\right>=n\left<\frac{x}{n},y\right>, \left<\frac{x}{n},y\right>=\frac{1}{n}\left<x,y\right> ,</math>
:<math> \left<\frac{m}{n}x,y\right>=m\left<\frac{x}{n},y\right>=\frac{m}{n} \left<x,y\right> .</math>

Случай $$\alpha \in R$$ докажем через предельный переход и непрерывность нормы.

Норма непрерывна. Раз скалярное произведение вводится через норму, то будет непрерывным и предполагаемое скалярное произведение.
Значит, можно совершать предельный переход под знаком скалярного произведения. Вещественное число приближаем последовательностью рациональных чисел, которая сходится к этому числу. Переходя к пределу получим, что для вещественных чисел 3 аксиома справедлива.

'''4)''' $$\left<x,x\right>\geq 0$$, причем $$\left<x,x\right>=0 \leftrightarrow x=0$$. Очевидно.

Все 4 аксиомы проверены. Для '''вещественного''' случая доказано.

Теперь для '''комплексного случая'''.
:<math> ||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2 Re\left<x,y\right> ,</math>
:<math> ||x+iy||^2=||x||^2+||y||^2-2 Im\left<x,y\right> ,</math>
:<math> \left<x,y\right>=\frac{||x+y||^2-||x-y||^2}{4}-i \frac{||x+iy||^2-||x-iy||^2}{4} .</math>

Справедливость аксиом вытекает из вещественного случая. Здесь они автоматически будут выполнены.

Теорема доказана. $$\blacksquare$$

==Теорема об элементе с наименьшей нормой==

'''Определение 2.''' Множество называется '''выпуклым''', если вместе с любой парой своих элементов оно содержит и соединяющий их отрезок

$$x=tx_1+(1-t)x_2, t \in [0,1]$$.

'''Теорема 2 (об элементе с наименьшей нормой).'''

Пусть $$M$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%92%D1%8B%D0%BF%D1%83%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%B8_%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0 ''выпуклое''] замкнутое множество в гильбертовом пространстве, тогда в $$M$$ существует единственный элемент с наименьшей нормой.

'''Доказательство'''

Пусть $$d=\displaystyle{\inf_{x\in M}||x||}$$. Точная нижняя грань всегда существует, так как ограничена нулем. Нужно доказать, что она достигается,
и что элемент, на котором это происходит, определяется однозначно.

Пусть $$\{x_n\}: x_n \in M, ||x_n|| \to d,$$

тогда рассмотрим

:<math> \frac{x_n+x_m}{2} \in M, \left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right|\geq d ,</math>
:<math> \left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right|=\left|\left|\frac{x_n}{2}+\frac{x_m}{2}\right|\right|\leq \frac{||x_n||}{2} + \frac{||x_m||}{2} ,</math>
:<math> d \leq \left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right| \leq \frac{||x_n||+||x_m||}{2}, </math>
:<math>\frac{||x_n||+||x_m||}{2} \to d .</math>

Устремим $$ n,m \to \infty $$. Правая часть стремится к $$d$$, значит
:<math> \left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right| \to d .</math>

Воспользуемся '''тождеством параллелограмма'''. Запишем его как:
:<math> ||x_n-x_m||^2=2||x_m||^2+2||x_n||^2-4\left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right|^2, n,m \to \infty .</math>

Получим $$||x_n-x_m||^2 \to 0$$. $$\{x_n\}$$ — фундаментальная последовательность, так как $$M$$ — гильбертово, то существует предел
$$\tilde{x} = \displaystyle{\lim_{n\to\infty}}x_n, \tilde{x} \in H $$. $$||\tilde{x}||=d$$. $$M$$ замкнуто, значит содержит все свои предельные элементы,
значит $$\tilde{x} \in M$$.
Мы нашли элемент из $$M$$, на котором достигается значение $$d$$, таким образом доказали существование.

Докажем единственность:

Пусть $$\tilde{x}, \tilde{x}' \in M$$, $$||\tilde{x}||=||\tilde{x}'||=d$$, тогда

:<math> \left|\left|\frac{\tilde{x} + \tilde{x}'}{2}\right|\right| = d.</math>

Применим тождество параллелограмма к этим двум векторам, тогда
:<math>||\tilde{x} - \tilde{x}'||^2 = 2||\tilde{x}||^2 + 2|| \tilde{x}'||^2 - 4 \left|\left| \frac{\tilde{x} + \tilde{x}'}{2}\right|\right|^2=2d^2+2d^2-4d^2=0.</math>

Значит $$\tilde{x} = \tilde{x}'$$.

Теорема полностью доказана. $$\blacksquare$$

==Разложение гильбертова пространства в прямую ортогональную сумму подпространств==

'''Определение 3.''' Множество элементов, ортогональных данному множеству $$L$$, называется ортогональным дополнением. Обозначается как $$L^{\perp}$$.

'''Теорема 3 (о разложении гильбертова пространства).'''

Если $$L$$ подпространство (то есть замкнутое линейное подмножество) $$H$$, то $$H = L \oplus L^{\perp}$$, то есть $$\forall x \in H ~\exists ! ~x_1 \in L, x_2 \in L^{\perp}: x=x_1+x_2.$$

'''Доказательство'''

$$L$$ замкнутое линейное подмножество, значит $$x_1$$ элемент доставляющий минимум расстояния между $$x$$ и $$L$$.

'''1) Существование:'''
:<math> x_1 = \operatorname{argmin} \rho(x_1, H_1) = \displaystyle{ \operatorname{argmin_{y \in H_1}} } ||x-y|| </math>.

$$x_2=x-x_1$$, так что $$\rho(x_1, H_1) = ||x_2||$$. Покажем, что $$x_2 \perp x_1$$. Если $$x_1=0$$, то утверждение справедливо, так что можно считать, что $$x_1 \neq 0$$.

Пусть $$x_2 \not\perp x_1$$, тогда положим $$e_1 = \frac{x_1}{||x_1||}$$ и выберем $$x_{1}^{'}$$ и $$x_{2}^{'}$$ следующим образом:
:<math> x_{2}^{'} = x_2 - \left<x_2, e_1\right>e_1 ,</math>
:<math> x_{1}^{'} = x_1 + \left<x_2, e_1\right>e_1 .</math>

Очевидно, что $$x_{1}^{'} + x_{2}^{'} =x$$, $$\rho(x, H_1) \leq ||x_{2}^{'}||$$,
:<math> ||x_{2}^{'}||=||x_{2}||^2 + |\left<x_2,e_1\right>|^2 - |\left<x_2,e_1\right>|^2 - |\left<x_2,e_1\right>|^2 = </math>
:<math> =||x_2||^2 - |\left<x_2, e_1\right>|^2 < ||x_2||^2 .</math>

Откуда следует неравенство $$\rho (x, H_1) \leq ||x_{2}^{'}|| < ||x_2|| = \rho(x, H_1)$$, противоречие.

'''2) Единственность:'''

Пусть существуют два разложения:
:<math> x=x_1+x_2 ,</math>
:<math> x=x_{1}^{'}+x_{2}^{'} ,</math>

где $$x_1, x_{1}^{'} \in H_1$$ и $$x_2, x_{2}^{'} \in H_1^{\perp}$$. Тогда

:<math> x_1 - x_{1}^{'} = x_2 - x_{2}^{'} \Rightarrow x_1 = x_{1}^{'},~ x_2 = x_{2}^{'}.</math>

Теорема доказана. $$\blacksquare$$

==Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала==

''' Опеделение 4.''' Рассмотрим отображение $$f: X \rightarrow Y$$. Коядром $$f$$ назовем $$\coker (f)=Y \backslash \im(f).$$

''' Вспомогательная лемма.'''

Пусть линейный ограниченный функционал $$f(x), x \in H$$ не является аннулирующим $$f \not\equiv 0$$, тогда размерность коядра $$\dim \coker f = 1$$.

'''Доказательство:'''

$$\ker f \neq H$$. Пусть $$x_1$$ и $$x_2 \notin \ker f$$. Тогда $$f(x_2)x_1 - f(x_1)x_2 \in \ker f$$. Значит $$0 < \dim \coker f<2$$. $$\blacksquare$$

'''Теорема Рисса'''
Для $$\forall f(x), x \in H$$, где $$f$$ линейно ограниченный функционал, $$\exists ! h \in H: f(x)=\left<x,h\right>$$, причем $$||f|| = ||h||$$.

'''Доказательство:'''

'''1) Существование:''' Воспользуемся леммой: $$\dim(\ker f)^{\perp} = 1$$. $$\ker f$$ замкнутое множество, значит $$H = \ker f \oplus (\ker f)^{\perp}$$.

:<math>\forall x \in H ~\exists! ~x_1 \in \ker f, x_2 \in (\ker f)^{\perp},</math>
:<math> x = x_1 + x_2, ~f(x)=f(x_1)+f(x_2)=f(x_2),</math>
:<math> (\ker f)^{\perp} = \mathcal{L}(e) ,</math>
:<math> x_2 = \left<x,e\right>e, f(x_2)=\left<x,e\right>f(e)=\left<x,h\right>.</math>
Тогда $$h=\overline{f(e)}e$$. Существование доказано.

'''2) Норма:''' $$f \not\equiv 0: f(x)=\left<x,h\right>.$$
:<math> |f(x)| \leq ||x||||h|| \Rightarrow ||f|| \leq ||h|| .</math>
Пусть $$x_0 = \frac{h}{||h||}:$$
:<math> f(x_0) = \left(\frac{h}{||h||},h\right) = \frac{||h||^2}{||h||} = ||h|| \Rightarrow ||f|| = ||h||.</math>

'''3) Единственность:'''
:<math> f(x) = \left<x,h_1\right> = \left<x,h_2\right> , \left<x, h_1 - h_2\right> = 0, \forall x \in H \Rightarrow h_1 = h_2.</math>

Теорема доказана. $$\blacksquare$$

'''Следствия:'''

# $$f \leftrightarrow h$$, всякому $$f$$ соответствует единственное $$h$$ и наоборот.
# Оператор соответствия $$f \rightarrow h$$ антилинейный.
# $$H \cong H^* \cong H^{**}$$.

==Список литературы==

1. ''Полосин А.А.'' Лекции по курсу "Функциональный анализ", 2023.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976

== Примеры ==
=== Два основных примера гильбертовых пространств ===

==== Пространство l² ====
'''Определение.''' Пространство <math>\ell^2</math> состоит из всех последовательностей <math>x = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math> комплексных чисел, для которых конечна сумма:

:<math>\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty</math>

'''Скалярное произведение''' определяется формулой:
:<math>(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y_n}</math>

'''Норма:'''
:<math>\|x\| = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2}</math>

'''Важные свойства:'''
* Полнота пространства
* Сепарабельность
* Наличие счётного базиса
* Рефлексивность

===== Доказательство полноты =====
'''Теорема.''' Пространство <math>\ell^2</math> полно.

'''Доказательство:'''
# Пусть <math>\{x^{(k)}\}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\ell^2</math>
# Для каждого фиксированного <math>n</math> последовательность <math>\{x_n^{(k)}\}_{k=1}^{\infty}</math> фундаментальна в <math>\mathbb{C}</math>
# Существует предел <math>x_n = \lim_{k \to \infty} x_n^{(k)}</math>
# Проверим, что <math>x = \{x_n\} \in \ell^2</math>
# Используя неравенство Фату получаем:
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 \leq \liminf_{k \to \infty} \sum_{n=1}^{\infty} |x_n^{(k)}|^2 < \infty</math>

==== Пространство L² ====
'''Определение.''' Пространство <math>L^2[a,b]</math> состоит из измеримых функций <math>f: [a,b] \to \mathbb{C}</math>, для которых:

:<math>\int_a^b |f(x)|^2 dx < \infty</math>

'''Скалярное произведение:'''
:<math>(f,g) = \int_a^b f(x)\overline{g(x)} dx</math>

'''Норма:'''
:<math>\|f\| = \sqrt{\int_a^b |f(x)|^2 dx}</math>

'''Важные свойства:'''
* Полнота
* Сепарабельность
* Наличие ортонормированного базиса
* Рефлексивность

===== Доказательство полноты =====
'''Теорема.''' Пространство <math>L^2[a,b]</math> полно.

'''Доказательство:'''
# Пусть <math>\{f_n\}</math> — фундаментальная последовательность
# Существует подпоследовательность <math>\{f_{n_k}\}</math>, сходящаяся почти всюду
# По лемме Фату:
:<math>\int_a^b |f(x)|^2 dx \leq \liminf_{k \to \infty} \int_a^b |f_{n_k}(x)|^2 dx < \infty</math>

==== Сравнение пространств l² и L² ====
'''Общие черты:'''
* Оба являются гильбертовыми пространствами
* Имеют счётный ортонормированный базис
* Являются сепарабельными
* Рефлексивны

'''Различия:'''
* В <math>\ell^2</math> элементы — последовательности, в <math>L^2</math> — функции
* Разные способы задания скалярного произведения
* Различные области применения

=== Связь между пространствами ===
'''Теорема Рисса-Фишера.''' Существует изометрический изоморфизм между пространствами <math>L^2[0,2\pi]</math> и <math>\ell^2</math>, осуществляемый с помощью коэффициентов Фурье.

== Литература ==
* Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа
* Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу
* Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве

[[Категория:Функциональный анализ]]
[[Категория:Гильбертовы пространства]]
[[Категория:Теория операторов]]
```

Гильбертово пространство

2024-12-27T09:44:27Z

Sin24:

==Определение==

'''Определение 1.'''
Полное евклидово (унитарное) бесконечномерное пространство называется Гильбертовым.
Обозначается как $$H$$ .

Гильбертово пространство это частный случай [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE ''банахова пространства''].

==Связь нормы и скалярного произведения==
В '''гильбертовом пространстве''', как и во всяком евклидовом или унитарном пространстве, норма согласована со скалярным произведением.
В общем случае норма и скалярное произведение никак не связаны между собой.

В '''гильбертовом пространстве''' норма связана со скалярным произведением следующим образом:
$$
||x||=\sqrt{\left<x,x\right>}
$$

Из аксиом скалярного произведения вытекает '''неравенство Коши-Буняковкого''':
$$|\left<x,y\right>| \leq ||x|||y||$$, $$\forall x, y \in H$$

'''Теорема 1.'''

Норма порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено '''тождество параллелограмма'''.

:<math>||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2), \forall x, y \in H.</math>

'''Доказательство:'''

'''$$\Rightarrow$$''' Если норма порождается скалярным произведением, то тогда
:<math> ||x+y||^2=\left<x+y,x+y\right>=||x||^2+||y||^2+\left<x,y\right>+\left<y,x\right>, </math>
:<math> ||x-y||^2=\left<x-y,x-y\right>=||x||^2+||y||^2-\left<x,y\right>-\left<y,x\right>. </math>
После сложения (1) и (2) получаем требуемое.

$$\Leftarrow$$ Вещественный случай:
:<math>\left<x,y\right>=\frac{1}{2} \left( ||x+y||^2-||x||^2-||y||^2 \right) </math>

Проверим аксиомы скалярного произведения

'''1)''' $$\left<x,y\right>=\left<y,x\right>$$, очевидно выполняется.

'''2)''' $$\left<x+y,z\right>=\left<x,z\right>+\left<y,z\right>$$,

:<math>\Delta=2(\left<x+y,z\right>-\left<x,z\right>-\left<y,z\right>)=||x+y+z||^2-||x+y||^2-||z||^2-||x+z||^2+||x||^2+||z||^2-||y+z||^2+||y||^2+||z||^2, </math>

Упростим

:<math>||x+y+z||^2-||x+y||^2-||x+z||^2-||y+z||^2+||x||^2+||y||^2+||z||^2, </math>

Применим '''тождество параллелограмма''' к вектору $$x+y+2z=(x+y+z)+z=(x+z)+(y+z)$$ и получим:
:<math>||x+y+2z||^2+||x+y||^2=2||x+y+z||^2+2||z||^2 ,</math>
:<math>||x+y+2z||^2+||x-y||^2=2||x+z||^2+2||y+z||^2 .</math>

Вычитаем из первого второе

:<math>||x+y||^2-||x-y||^2=2||x+y+z||^2-2||x+z||^2-2||y+z||^2+2||z||^2 ,</math>

:<math>\Delta=\frac{1}{2}\left(||x+y||^2-||x-y||^2\right)+||x+z||^2+||y+z||^2-||z||^2-||x+z||^2-||y+z||^2-||x+y||^2+||x||^2+||y||^2+||z||^2 .</math>

После сокращений

:<math>\frac{1}{2}\left(||x+y||^2-||x-y||^2\right)+||x||^2+||y||^2-||x+y||^2 ,</math>

:<math>||x||^2+||y||^2-\frac{1}{2}\left(||x+y||^2+||x-y||^2\right)=0 .</math>

Получили, что вторая аксиома выполняется.

'''3)''' Третья аксиомы выводится из второй
$$\left<\alpha x,y\right>=\alpha\left<x,y\right>$$.

:<math>\left<2x,y\right>=\left<x+x,y\right>=\left<x,y\right>+\left<x,y\right>=2\left<x,y\right>.</math>
Верно для $$\alpha=2$$, покажем для $$\alpha=n$$:

:<math>\left<nx,y\right>=\left<(n-1)x+x,y\right>.</math>

То есть для всех натуральных чисел аксиома выполнена.

'''Для нуля:'''
:<math>\left<0,y\right>=\frac{||0+y||^2-||0||^2-||y||^2}{2},</math>
:<math>0=\left<0,y\right>=\left<x-x,y\right>=\left<x+(-x),y\right>=\left<x,y\right>+\left<-x,y\right>: \left<(-x),y\right>=-\left<x,y\right>.</math>

Таким образом распространили на все целые $$\alpha$$, далее распространим на рациональные $$\alpha \in Q$$:

:<math> \left<x,y\right>=n\left<\frac{x}{n},y\right>=n\left<\frac{x}{n},y\right>, \left<\frac{x}{n},y\right>=\frac{1}{n}\left<x,y\right> ,</math>
:<math> \left<\frac{m}{n}x,y\right>=m\left<\frac{x}{n},y\right>=\frac{m}{n} \left<x,y\right> .</math>

Случай $$\alpha \in R$$ докажем через предельный переход и непрерывность нормы.

Норма непрерывна. Раз скалярное произведение вводится через норму, то будет непрерывным и предполагаемое скалярное произведение.
Значит, можно совершать предельный переход под знаком скалярного произведения. Вещественное число приближаем последовательностью рациональных чисел, которая сходится к этому числу. Переходя к пределу получим, что для вещественных чисел 3 аксиома справедлива.

'''4)''' $$\left<x,x\right>\geq 0$$, причем $$\left<x,x\right>=0 \leftrightarrow x=0$$. Очевидно.

Все 4 аксиомы проверены. Для '''вещественного''' случая доказано.

Теперь для '''комплексного случая'''.
:<math> ||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2 Re\left<x,y\right> ,</math>
:<math> ||x+iy||^2=||x||^2+||y||^2-2 Im\left<x,y\right> ,</math>
:<math> \left<x,y\right>=\frac{||x+y||^2-||x-y||^2}{4}-i \frac{||x+iy||^2-||x-iy||^2}{4} .</math>

Справедливость аксиом вытекает из вещественного случая. Здесь они автоматически будут выполнены.

Теорема доказана. $$\blacksquare$$

==Теорема об элементе с наименьшей нормой==

'''Определение 2.''' Множество называется '''выпуклым''', если вместе с любой парой своих элементов оно содержит и соединяющий их отрезок

$$x=tx_1+(1-t)x_2, t \in [0,1]$$.

'''Теорема 2 (об элементе с наименьшей нормой).'''

Пусть $$M$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%92%D1%8B%D0%BF%D1%83%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%B8_%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0 ''выпуклое''] замкнутое множество в гильбертовом пространстве, тогда в $$M$$ существует единственный элемент с наименьшей нормой.

'''Доказательство'''

Пусть $$d=\displaystyle{\inf_{x\in M}||x||}$$. Точная нижняя грань всегда существует, так как ограничена нулем. Нужно доказать, что она достигается,
и что элемент, на котором это происходит, определяется однозначно.

Пусть $$\{x_n\}: x_n \in M, ||x_n|| \to d,$$

тогда рассмотрим

:<math> \frac{x_n+x_m}{2} \in M, \left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right|\geq d ,</math>
:<math> \left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right|=\left|\left|\frac{x_n}{2}+\frac{x_m}{2}\right|\right|\leq \frac{||x_n||}{2} + \frac{||x_m||}{2} ,</math>
:<math> d \leq \left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right| \leq \frac{||x_n||+||x_m||}{2}, </math>
:<math>\frac{||x_n||+||x_m||}{2} \to d .</math>

Устремим $$ n,m \to \infty $$. Правая часть стремится к $$d$$, значит
:<math> \left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right| \to d .</math>

Воспользуемся '''тождеством параллелограмма'''. Запишем его как:
:<math> ||x_n-x_m||^2=2||x_m||^2+2||x_n||^2-4\left|\left|\frac{x_n+x_m}{2}\right|\right|^2, n,m \to \infty .</math>

Получим $$||x_n-x_m||^2 \to 0$$. $$\{x_n\}$$ — фундаментальная последовательность, так как $$M$$ — гильбертово, то существует предел
$$\tilde{x} = \displaystyle{\lim_{n\to\infty}}x_n, \tilde{x} \in H $$. $$||\tilde{x}||=d$$. $$M$$ замкнуто, значит содержит все свои предельные элементы,
значит $$\tilde{x} \in M$$.
Мы нашли элемент из $$M$$, на котором достигается значение $$d$$, таким образом доказали существование.

Докажем единственность:

Пусть $$\tilde{x}, \tilde{x}' \in M$$, $$||\tilde{x}||=||\tilde{x}'||=d$$, тогда

:<math> \left|\left|\frac{\tilde{x} + \tilde{x}'}{2}\right|\right| = d.</math>

Применим тождество параллелограмма к этим двум векторам, тогда
:<math>||\tilde{x} - \tilde{x}'||^2 = 2||\tilde{x}||^2 + 2|| \tilde{x}'||^2 - 4 \left|\left| \frac{\tilde{x} + \tilde{x}'}{2}\right|\right|^2=2d^2+2d^2-4d^2=0.</math>

Значит $$\tilde{x} = \tilde{x}'$$.

Теорема полностью доказана. $$\blacksquare$$

==Разложение гильбертова пространства в прямую ортогональную сумму подпространств==

'''Определение 3.''' Множество элементов, ортогональных данному множеству $$L$$, называется ортогональным дополнением. Обозначается как $$L^{\perp}$$.

'''Теорема 3 (о разложении гильбертова пространства).'''

Если $$L$$ подпространство (то есть замкнутое линейное подмножество) $$H$$, то $$H = L \oplus L^{\perp}$$, то есть $$\forall x \in H ~\exists ! ~x_1 \in L, x_2 \in L^{\perp}: x=x_1+x_2.$$

'''Доказательство'''

$$L$$ замкнутое линейное подмножество, значит $$x_1$$ элемент доставляющий минимум расстояния между $$x$$ и $$L$$.

'''1) Существование:'''
:<math> x_1 = \operatorname{argmin} \rho(x_1, H_1) = \displaystyle{ \operatorname{argmin_{y \in H_1}} } ||x-y|| </math>.

$$x_2=x-x_1$$, так что $$\rho(x_1, H_1) = ||x_2||$$. Покажем, что $$x_2 \perp x_1$$. Если $$x_1=0$$, то утверждение справедливо, так что можно считать, что $$x_1 \neq 0$$.

Пусть $$x_2 \not\perp x_1$$, тогда положим $$e_1 = \frac{x_1}{||x_1||}$$ и выберем $$x_{1}^{'}$$ и $$x_{2}^{'}$$ следующим образом:
:<math> x_{2}^{'} = x_2 - \left<x_2, e_1\right>e_1 ,</math>
:<math> x_{1}^{'} = x_1 + \left<x_2, e_1\right>e_1 .</math>

Очевидно, что $$x_{1}^{'} + x_{2}^{'} =x$$, $$\rho(x, H_1) \leq ||x_{2}^{'}||$$,
:<math> ||x_{2}^{'}||=||x_{2}||^2 + |\left<x_2,e_1\right>|^2 - |\left<x_2,e_1\right>|^2 - |\left<x_2,e_1\right>|^2 = </math>
:<math> =||x_2||^2 - |\left<x_2, e_1\right>|^2 < ||x_2||^2 .</math>

Откуда следует неравенство $$\rho (x, H_1) \leq ||x_{2}^{'}|| < ||x_2|| = \rho(x, H_1)$$, противоречие.

'''2) Единственность:'''

Пусть существуют два разложения:
:<math> x=x_1+x_2 ,</math>
:<math> x=x_{1}^{'}+x_{2}^{'} ,</math>

где $$x_1, x_{1}^{'} \in H_1$$ и $$x_2, x_{2}^{'} \in H_1^{\perp}$$. Тогда

:<math> x_1 - x_{1}^{'} = x_2 - x_{2}^{'} \Rightarrow x_1 = x_{1}^{'},~ x_2 = x_{2}^{'}.</math>

Теорема доказана. $$\blacksquare$$

==Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного функционала==

''' Опеделение 4.''' Рассмотрим отображение $$f: X \rightarrow Y$$. Коядром $$f$$ назовем $$\coker (f)=Y \backslash \im(f).$$

''' Вспомогательная лемма.'''

Пусть линейный ограниченный функционал $$f(x), x \in H$$ не является аннулирующим $$f \not\equiv 0$$, тогда размерность коядра $$\dim \coker f = 1$$.

'''Доказательство:'''

$$\ker f \neq H$$. Пусть $$x_1$$ и $$x_2 \notin \ker f$$. Тогда $$f(x_2)x_1 - f(x_1)x_2 \in \ker f$$. Значит $$0 < \dim \coker f<2$$. $$\blacksquare$$

'''Теорема Рисса'''
Для $$\forall f(x), x \in H$$, где $$f$$ линейно ограниченный функционал, $$\exists ! h \in H: f(x)=\left<x,h\right>$$, причем $$||f|| = ||h||$$.

'''Доказательство:'''

'''1) Существование:''' Воспользуемся леммой: $$\dim(\ker f)^{\perp} = 1$$. $$\ker f$$ замкнутое множество, значит $$H = \ker f \oplus (\ker f)^{\perp}$$.

:<math>\forall x \in H ~\exists! ~x_1 \in \ker f, x_2 \in (\ker f)^{\perp},</math>
:<math> x = x_1 + x_2, ~f(x)=f(x_1)+f(x_2)=f(x_2),</math>
:<math> (\ker f)^{\perp} = \mathcal{L}(e) ,</math>
:<math> x_2 = \left<x,e\right>e, f(x_2)=\left<x,e\right>f(e)=\left<x,h\right>.</math>
Тогда $$h=\overline{f(e)}e$$. Существование доказано.

'''2) Норма:''' $$f \not\equiv 0: f(x)=\left<x,h\right>.$$
:<math> |f(x)| \leq ||x||||h|| \Rightarrow ||f|| \leq ||h|| .</math>
Пусть $$x_0 = \frac{h}{||h||}:$$
:<math> f(x_0) = \left(\frac{h}{||h||},h\right) = \frac{||h||^2}{||h||} = ||h|| \Rightarrow ||f|| = ||h||.</math>

'''3) Единственность:'''
:<math> f(x) = \left<x,h_1\right> = \left<x,h_2\right> , \left<x, h_1 - h_2\right> = 0, \forall x \in H \Rightarrow h_1 = h_2.</math>

Теорема доказана. $$\blacksquare$$

'''Следствия:'''

# $$f \leftrightarrow h$$, всякому $$f$$ соответствует единственное $$h$$ и наоборот.
# Оператор соответствия $$f \rightarrow h$$ антилинейный.
# $$H \cong H^* \cong H^{**}$$.

==Список литературы==

1. ''Полосин А.А.'' Лекции по курсу "Функциональный анализ", 2023.

2. ''Колмогоров А. Н., Фомин С. В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1976

== Примеры ==
=== Два основных примера гильбертовых пространств ===

==== Пространство l² ====
'''Определение.''' Пространство <math>\ell^2</math> состоит из всех последовательностей <math>x = \{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math> комплексных чисел, для которых конечна сумма:

:<math>\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty</math>

'''Скалярное произведение''' определяется формулой:
:<math>(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y_n}</math>

'''Норма:'''
:<math>\|x\| = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2}</math>

'''Важные свойства:'''
* Полнота пространства
* Сепарабельность
* Наличие счётного базиса
* Рефлексивность

===== Доказательство полноты =====
'''Теорема.''' Пространство <math>\ell^2</math> полно.

'''Доказательство:'''
# Пусть <math>\{x^{(k)}\}</math> — фундаментальная последовательность в <math>\ell^2</math>
# Для каждого фиксированного <math>n</math> последовательность <math>\{x_n^{(k)}\}_{k=1}^{\infty}</math> фундаментальна в <math>\mathbb{C}</math>
# Существует предел <math>x_n = \lim_{k \to \infty} x_n^{(k)}</math>
# Проверим, что <math>x = \{x_n\} \in \ell^2</math>
# Используя неравенство Фату получаем:
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 \leq \liminf_{k \to \infty} \sum_{n=1}^{\infty} |x_n^{(k)}|^2 < \infty</math>

==== Пространство L² ====
'''Определение.''' Пространство <math>L^2[a,b]</math> состоит из измеримых функций <math>f: [a,b] \to \mathbb{C}</math>, для которых:

:<math>\int_a^b |f(x)|^2 dx < \infty</math>

'''Скалярное произведение:'''
:<math>(f,g) = \int_a^b f(x)\overline{g(x)} dx</math>

'''Норма:'''
:<math>\|f\| = \sqrt{\int_a^b |f(x)|^2 dx}</math>

'''Важные свойства:'''
* Полнота
* Сепарабельность
* Наличие ортонормированного базиса
* Рефлексивность

===== Доказательство полноты =====
'''Теорема.''' Пространство <math>L^2[a,b]</math> полно.

'''Доказательство:'''
# Пусть <math>\{f_n\}</math> — фундаментальная последовательность
# Существует подпоследовательность <math>\{f_{n_k}\}</math>, сходящаяся почти всюду
# По лемме Фату:
:<math>\int_a^b |f(x)|^2 dx \leq \liminf_{k \to \infty} \int_a^b |f_{n_k}(x)|^2 dx < \infty</math>

==== Сравнение пространств l² и L² ====
'''Общие черты:'''
* Оба являются гильбертовыми пространствами
* Имеют счётный ортонормированный базис
* Являются сепарабельными
* Рефлексивны

'''Различия:'''
* В <math>\ell^2</math> элементы — последовательности, в <math>L^2</math> — функции
* Разные способы задания скалярного произведения
* Различные области применения

=== Связь между пространствами ===
'''Теорема Рисса-Фишера.''' Существует изометрический изоморфизм между пространствами <math>L^2[0,2\pi]</math> и <math>\ell^2</math>, осуществляемый с помощью коэффициентов Фурье.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа
* Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу
* Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве

[[Категория:Функциональный анализ]]
[[Категория:Гильбертовы пространства]]
[[Категория:Теория операторов]]
```