sawiki - Вклад участника [ru]

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T22:58:16Z

Taisia23:

__TOC__
'''Математические модели эпидемиологии''' — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамические системы], описывающие распространение инфекционных популяций среди здоровых.
 
 
Не все заболевания рассматриваются в рамках такого исследования: моделируются инфекции, вызываемые микропаразитами. В таком случае можно пренебречь динамикой каждого паразита (в отличие от случая макропаразитов), поскольку заболевание протекает у инфицированных с одинаковым характером. Поэтому обладания информацией о динамике здоровой популяции и заражённой достаточно для анализа модели.

==Общая формулировка SIR-модели==
Одна из простейших моделей распространения эпидемий — '''SIR-модель'''. Это модель ''ящикового вида'', в которой все особи популяции разделяются на группы — ''"ящики"'', — внутри которых особи неразличимы.
 
 
[[Файл:SIR-model.png|мини|Рис. 1. Диаграмма эволюции особи популяции в SIR-модели]]
В SIR-модели все особи поделены на 3 группы:
# <math>S(t)</math> — подверженные заболеванию особи (от англ. ''susceptible'')
# <math>I(t)</math> — заражённые особи (от англ. ''infected'')
# <math>R(t)</math> — переболевшие (от англ. ''resistant'')
 
Важно отметить, что ящиковая модель, в том числе и SIR-модель, подразумевает собой '''замкнутую популяцию''', в которой не происходят процессы рождаемости и смертности. Поэтому на введённые классы можно выписать ограничение:
<math> S + I + R = N, </math>
где <math> N </math> — общее число особей популяции.
 
 
'''''Замечание.''''' Из замкнутости популяции и характера эволюции особи можно сделать вывод, что с течением времени "ящик" <math>I</math> заражённых особей станет пустым.

==Исследование SIR-модели==
===Функция инфективности===
Для анализа сформулированной модели вводится '''функция инфективности''' <math>A(\tau)</math>, которая характеризует вероятность того, что произойдёт заражение индивида при контакте с заражённым индивидом <math>\tau</math> единиц времени назад.

В общем виде функция инфективности выглядит следующим образом::
<math>
A(\tau) =
\begin{equation}
\begin{cases}
c \cdot p,\ \ t \in [T_1,\ T_2]\\
0,\ \ \text{иначе}.
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>

Здесь <math>p</math> — вероятность заражения, а <math>c</math> — среднее число контактов в единицу времени. Промежуток времени <math>t \in [T_1,\ T_2]</math> — окно, в течение которого индивид заразен.
 
 
Таким образом, в частном случае <math>A(\tau)</math> можно ввести так::
<math> A(\tau) = \underbrace{\beta N}_{c} \cdot \underbrace{\exp\{ -\gamma\tau \} }_{p},\ \ \beta=const>0,</math>
то есть промежуток времени для заражения других особей [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 распределен экспоненциально] со средним <math>\frac{1}{\gamma}</math>. Следовательно, средняя длина промежутка времени, в течение которого индивид заразен, равна <math>\frac{1}{\gamma}</math>.
 
 
'''''Замечание.''''' Введя подобным образом функцию инфективности, получают, что число контактов растёт линейно с общим объёмом популяции <math>N</math>, что, вообще говоря, является довольно грубым допущением. Однако оно необходимо для упрощения исследования и его наглядности.

===Получение аналитического вида SIR-модели===
Рассмотрим ещё одну величину <math>i(t)</math> — число новых заболевших в момент времени <math>t</math>. Таким образом, <math>i(t) = -\dot{S}(t)</math>.

При этом <math>i(t)</math> можно выразить через уже введённую функцию инфективности::
<math>i(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) i(t-\tau) d\tau.</math>

Интеграл в правой части можно трактовать как среднее число "удачных" контактов (т.е. таких, при которых заражение произошло). Причём, в силу выведенной связи на <math>i(t)</math> и <math>S(t)</math> можно получить следующее::
<math>
\begin{equation}
\dot{S}(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau. \label{sys2}
\end{equation}
</math>
 
 
Далее вводится <math>I(t)</math> следующим образом::
<math> I(t) = -\frac{1}{\beta} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau\ =\ \{s:=t-\tau\}\ =\
-\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-s) \dot{S}(s) ds\ =\ \{ \tau:=s\}\ =\ -\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau.</math>
С учётом того, что функция инфективности <math> A(\tau) </math> введена так, что <math> \dot{A}(\tau) = -\gamma A(\tau)</math>, [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC) продифференцируем полученное равенство по параметру] <math>t</math>::
<math>
\dot{I}(t) = -\frac{1}{\beta} A(0) \dot{S}(t) + \frac{1}{\beta} \underbrace{A(\infty)}_{= 0}\dot{S}(-\infty) - \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t \left( -\gamma A(t-\tau) \dot{S}(\tau) \right) d\tau =
</math>
:
<math>
= -\frac{\beta N}{\beta}\dot{S}(t) + \gamma\cdot \underbrace{ \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau}_{= - I(t)} = \{ \text{в силу } (\ref{sys2}) \} = \underbrace{-\frac{N S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau}_{=\beta SI} - \gamma I(t) = \beta S(t)I(t) - \gamma I(t).
</math>

Таким образом, для <math>I(t)</math> получается следующее уравнение динамики — <math> \dot{I}(t) = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) = I(t) \left( \beta S(t) - \gamma \right)</math>.
 
 
Итоговая динамическая система, описывающая SIR-модель, выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{I}(t) = I(t)\left( \beta S(t) - \gamma \right),\\
\dot{S}(t) + \dot{I}(t) + \dot{R}(t) = 0.
\end{cases} \label{sys3}
\end{equation}
</math>
Последнее уравнение системы следует из её замкнутости, упомянутой выше. Причём из системы <math>(\ref{sys3})</math> можно выразить и динамику класса переболевших — <math> \dot{R}(t) = \gamma I(t)</math>.

===Анализ SIR-модели===
Исследуя полученную динамическую систему <math>(\ref{sys3})</math> SIR-модели, можно заметить, что по переменной <math>I</math> существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B особая точка] при <math>S = \frac{\gamma}{\beta} := \sigma</math>. При <math> S(t) > \sigma</math> число инфицированных растёт, и, наоборот, при <math> S(t) < \sigma</math> — убывает.
 
 
Однако из первого уравнения системы <math>(\ref{sys3})\ \ \dot{S}(t)\leqslant 0</math>, поэтому поведение системы разделяется на два существенно разных случая в зависимости от начального количества подверженных заболеванию <math> S_0 </math>:
# <math> S_0 < \sigma\ \Longrightarrow</math> эпидемии в системе нет, поскольку число заражённых монотонно уменьшается до нуля;
# <math> S_0 > \sigma\ \Longrightarrow</math> происходит эпидемия в системе.
 
[[Файл:SIR-s0.png|700px|центр|мини|Рис. 2. Временная эволюция численностей здоровых, заболевших и переболевших особей для SIR-модели. (а) В системе есть эпидемия с максимальным числом заболевших <math>I_{max}</math>. Параметры <math>\sigma = 500,\ \gamma = 5,</math> <math>N=1000,\ S_0=994,\ I_0=2.</math>
 (б) В системе не возникает эпидемия, так как <math>S_0<\sigma</math>. Параметры <math>\sigma = 800,\ \gamma = 5,\ N=1000,\ S_0=700.</math>]]

Рассмотрим далее случай, когда в системе возникает эпидемия. Важным прикладным результатом исследования такой системы является, например, '''максимальное количество инфицированных''', поскольку это помогает рассчитать эффективное число койко-мест в больницах во время пика эпидемии. На рис. 2 (а) можно наблюдать этот пик, обозначенный за <math>I_{max}</math>. Можно найти его значение аналитически, исследовав <math>\frac{dI}{dS}</math>::

<math>
\frac{dI}{dS} = \frac{\beta SI - \gamma I}{-\beta SI} = -1 + \frac{\sigma}{S}\ \ \Longrightarrow\ \ I+S-\sigma\ln S = const.
</math>
Последнее выражение является [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB первым интегралом] системы <math>(\ref{sys3})</math>, поэтому, учитывая начальные условия <math>S(0) = S_0,\ I(0) = I_0</math>, получается следующее::

<math>
I + S - \sigma\ln S = I_0 + S_0 - \sigma\ln S_0\ \ \Longrightarrow\ \ I_{max} = I_0 + S_0 - \sigma - \sigma \ln \frac{S_0}{\sigma}.
</math>
 
 
Помимо максимального числа заражённых полезно знать количество особей, '''так и не переболевших''' за всё время эпидемии. Для этого рассматривается отношение <math>\frac{dS}{dR}</math>::
<math>
\frac{dS}{dR} = \frac{-\beta SI}{\gamma I} = -\frac{1}{\gamma}S\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma\frac{dS}{S}=-dR\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma \ln |S| = -R+C\ \ \Longrightarrow\ \ S(t)=C_0 \exp \{-\sigma R\}.
</math>

Как уже было замечено выше, в силу замкнутости популяции <math>I(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} 0\ \ \Longrightarrow\ \ S(\infty) + R(\infty) = N.</math>

Тогда можно составить [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 трансцендентное уравнение]::
<math>S(\infty) = C_0 \exp \left\{ \frac{S(\infty)-N}{\sigma} \right\},</math>
у которого существует единственное решение, и оно положительно. На рис. 2 можно наблюдать, что со временем количество так и не переболевших особей <math>S(\infty)</math> действительно стабилизируется.

==Формулировка SEIR-модели==
Существуют более продвинутые модели, учитывающие различные аспекты протекания болезни. Например, '''SEIR-модель''' включает в себя новый, четвёртый ящик <math>E(t)</math> — особи, находящиеся в латентном периоде заболевания, то есть уже заболевшие, но ещё не заразные (англ. ''exposed'').
[[Файл:SEIR-model.png|мини|Рис. 3. Диаграмма эволюции особи популяции в SEIR-модели]]
Описывающая такую динамику система выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{E}(t) = \beta S(t) I(t) - \alpha E(t),\\
\dot{I}(t) = \alpha E(t) - \gamma I(t),\\
\dot{R}(t) = \gamma I(t).
\end{cases}
\end{equation}
</math>

 
==Список литературы==
# Абрамова В.В. "Лекции по прикладным задачам системного анализа: задачам биоматематики", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T22:57:23Z

Taisia23:

__TOC__
'''Математические модели эпидемиологии''' — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамические системы], описывающие распространение инфекционных популяций среди здоровых.
 
 
Не все заболевания рассматриваются в рамках такого исследования: моделируются инфекции, вызываемые микропаразитами. В таком случае можно пренебречь динамикой каждого паразита (в отличие от случая макропаразитов), поскольку заболевание протекает у инфицированных с одинаковым характером. Поэтому обладания информацией о динамике здоровой популяции и заражённой достаточно для анализа модели.

==Общая формулировка SIR-модели==
Одна из простейших моделей распространения эпидемий — '''SIR-модель'''. Это модель ''ящикового вида'', в которой все особи популяции разделяются на группы — ''"ящики"'', — внутри которых особи неразличимы.
 
 
[[Файл:SIR-model.png|мини|Рис. 1. Диаграмма эволюции особи популяции в SIR-модели]]
В SIR-модели все особи поделены на 3 группы:
# <math>S(t)</math> — подверженные заболеванию особи (от англ. ''susceptible'')
# <math>I(t)</math> — заражённые особи (от англ. ''infected'')
# <math>R(t)</math> — переболевшие (от англ. ''resistant'')
 
Важно отметить, что ящиковая модель, в том числе и SIR-модель, подразумевает собой '''замкнутую популяцию''', в которой не происходят процессы рождаемости и смертности. Поэтому на введённые классы можно выписать ограничение:
<math> S + I + R = N, </math>
где <math> N </math> — общее число особей популяции.
 
 
'''''Замечание.''''' Из замкнутости популяции и характера эволюции особи можно сделать вывод, что с течением времени "ящик" <math>I</math> заражённых особей станет пустым.

==Исследование SIR-модели==
===Функция инфективности===
Для анализа сформулированной модели вводится '''функция инфективности''' <math>A(\tau)</math>, которая характеризует вероятность того, что произойдёт заражение индивида при контакте с заражённым индивидом <math>\tau</math> единиц времени назад.

В общем виде функция инфективности выглядит следующим образом::
<math>
A(\tau) =
\begin{equation}
\begin{cases}
c \cdot p,\ \ t \in [T_1,\ T_2]\\
0,\ \ \text{иначе}.
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>

Здесь <math>p</math> — вероятность заражения, а <math>c</math> — среднее число контактов в единицу времени. Промежуток времени <math>t \in [T_1,\ T_2]</math> — окно, в течение которого индивид заразен.
 
 
Таким образом, в частном случае <math>A(\tau)</math> можно ввести так::
<math> A(\tau) = \underbrace{\beta N}_{c} \cdot \underbrace{\exp\{ -\gamma\tau \} }_{p},\ \ \beta=const>0,</math>
то есть промежуток времени для заражения других особей [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 распределен экспоненциально] со средним <math>\frac{1}{\gamma}</math>. Следовательно, средняя длина промежутка времени, в течение которого индивид заразен, равна <math>\frac{1}{\gamma}</math>.
 
 
'''''Замечание.''''' Введя подобным образом функцию инфективности, получают, что число контактов растёт линейно с общим объёмом популяции <math>N</math>, что, вообще говоря, является довольно грубым допущением. Однако оно необходимо для упрощения исследования и его наглядности.

===Получение аналитического вида SIR-модели===
Рассмотрим ещё одну величину <math>i(t)</math> — число новых заболевших в момент времени <math>t</math>. Таким образом, <math>i(t) = -\dot{S}(t)</math>.

При этом <math>i(t)</math> можно выразить через уже введённую функцию инфективности::
<math>i(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) i(t-\tau) d\tau.</math>

Интеграл в правой части можно трактовать как среднее число "удачных" контактов (т.е. таких, при которых заражение произошло). Причём, в силу выведенной связи на <math>i(t)</math> и <math>S(t)</math> можно получить следующее::
<math>
\begin{equation}
\dot{S}(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau. \label{sys2}
\end{equation}
</math>
 
 
Далее вводится <math>I(t)</math> следующим образом::
<math> I(t) = -\frac{1}{\beta} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau\ =\ \{s:=t-\tau\}\ =\
-\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-s) \dot{S}(s) ds\ =\ \{ \tau:=s\}\ =\ -\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau.</math>
С учётом того, что функция инфективности <math> A(\tau) </math> введена так, что <math> \dot{A}(\tau) = -\gamma A(\tau)</math>, [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC) продифференцируем полученное равенство по параметру] <math>t</math>::
<math>
\dot{I}(t) = -\frac{1}{\beta} A(0) \dot{S}(t) + \frac{1}{\beta} \underbrace{A(\infty)}_{= 0}\dot{S}(-\infty) - \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t \left( -\gamma A(t-\tau) \dot{S}(\tau) \right) d\tau =
</math>
:
<math>
= -\frac{\beta N}{\beta}\dot{S}(t) + \gamma\cdot \underbrace{ \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau}_{= - I(t)} = \{ \text{в силу } (\ref{sys2}) \} = \underbrace{-\frac{N S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau}_{=\beta SI} - \gamma I(t) = \beta S(t)I(t) - \gamma I(t).
</math>

Таким образом, для <math>I(t)</math> получается следующее уравнение динамики — <math> \dot{I}(t) = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) = I(t) \left( \beta S(t) - \gamma \right)</math>.
 
 
Итоговая динамическая система, описывающая SIR-модель, выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{I}(t) = I(t)\left( \beta S(t) - \gamma \right),\\
\dot{S}(t) + \dot{I}(t) + \dot{R}(t) = 0.
\end{cases} \label{sys3}
\end{equation}
</math>
Последнее уравнение системы следует из её замкнутости, упомянутой выше. Причём из системы <math>(\ref{sys3})</math> можно выразить и динамику класса переболевших — <math> \dot{R}(t) = \gamma I(t)</math>.

===Анализ SIR-модели===
Исследуя полученную динамическую систему <math>(\ref{sys3})</math> SIR-модели, можно заметить, что по переменной <math>I</math> существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B особая точка] при <math>S = \frac{\gamma}{\beta} := \sigma</math>. При <math> S(t) > \sigma</math> число инфицированных растёт, и, наоборот, при <math> S(t) < \sigma</math> — убывает.
 
 
Однако из первого уравнения системы <math>(\ref{sys3})\ \ \dot{S}(t)\leqslant 0</math>, поэтому поведение системы разделяется на два существенно разных случая в зависимости от начального количества подверженных заболеванию <math> S_0 </math>:
# <math> S_0 < \sigma\ \Longrightarrow</math> эпидемии в системе нет, поскольку число заражённых монотонно уменьшается до нуля;
# <math> S_0 > \sigma\ \Longrightarrow</math> происходит эпидемия в системе.
 
[[Файл:SIR-s0.png|700px|центр|мини|Рис. 2. Временная эволюция численностей здоровых, заболевших и переболевших особей для SIR-модели. (а) В системе есть эпидемия с максимальным числом заболевших <math>I_{max}</math>. Параметры <math>\sigma = 500,\ \gamma = 5,</math> <math>N=1000,\ S_0=994,\ I_0=2.</math>
 (б) В системе не возникает эпидемия, так как <math>S_0<\sigma</math>. Параметры <math>\sigma = 800,\ \gamma = 5,\ N=1000,\ S_0=700.</math>]]

Рассмотрим далее случай, когда в системе возникает эпидемия. Важным прикладным результатом исследования такой системы является, например, '''максимальное количество инфицированных''', поскольку это помогает рассчитать эффективное число койко-мест в больницах во время пика эпидемии. На рис. 2 (а) можно наблюдать этот пик, обозначенный за <math>I_{max}</math>. Можно посчитать его аналитически, исследовав <math>\frac{dI}{dS}</math>::

<math>
\frac{dI}{dS} = \frac{\beta SI - \gamma I}{-\beta SI} = -1 + \frac{\sigma}{S}\ \ \Longrightarrow\ \ I+S-\sigma\ln S = const.
</math>
Последнее выражение является [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB первым интегралом] системы <math>(\ref{sys3})</math>, поэтому, учитывая начальные условия <math>S(0) = S_0,\ I(0) = I_0</math>, получается следующее::

<math>
I + S - \sigma\ln S = I_0 + S_0 - \sigma\ln S_0\ \ \Longrightarrow\ \ I_{max} = I_0 + S_0 - \sigma - \sigma \ln \frac{S_0}{\sigma}.
</math>
 
 
Помимо максимального числа заражённых полезно знать количество особей, '''так и не переболевших''' за всё время эпидемии. Для этого рассматривается отношение <math>\frac{dS}{dR}</math>::
<math>
\frac{dS}{dR} = \frac{-\beta SI}{\gamma I} = -\frac{1}{\gamma}S\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma\frac{dS}{S}=-dR\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma \ln |S| = -R+C\ \ \Longrightarrow\ \ S(t)=C_0 \exp \{-\sigma R\}.
</math>

Как уже было замечено выше, в силу замкнутости популяции <math>I(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} 0\ \ \Longrightarrow\ \ S(\infty) + R(\infty) = N.</math>

Тогда можно составить [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 трансцендентное уравнение]::
<math>S(\infty) = C_0 \exp \left\{ \frac{S(\infty)-N}{\sigma} \right\},</math>
у которого существует единственное решение, и оно положительно. На рис. 2 можно наблюдать, что со временем количество так и не переболевших особей <math>S(\infty)</math> действительно стабилизируется.

==Формулировка SEIR-модели==
Существуют более продвинутые модели, учитывающие различные аспекты протекания болезни. Например, '''SEIR-модель''' включает в себя новый, четвёртый ящик <math>E(t)</math> — особи, находящиеся в латентном периоде заболевания, то есть уже заболевшие, но ещё не заразные (англ. ''exposed'').
[[Файл:SEIR-model.png|мини|Рис. 3. Диаграмма эволюции особи популяции в SEIR-модели]]
Описывающая такую динамику система выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{E}(t) = \beta S(t) I(t) - \alpha E(t),\\
\dot{I}(t) = \alpha E(t) - \gamma I(t),\\
\dot{R}(t) = \gamma I(t).
\end{cases}
\end{equation}
</math>

 
==Список литературы==
# Абрамова В.В. "Лекции по прикладным задачам системного анализа: задачам биоматематики", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T22:56:35Z

Taisia23:

__TOC__
'''Математические модели эпидемиологии''' — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамические системы], описывающие распространение инфекционных популяций среди здоровых.
 
 
Не все заболевания рассматриваются в рамках такого исследования: моделируются инфекции, вызываемые микропаразитами. В таком случае можно пренебречь динамикой каждого паразита (в отличие от случая макропаразитов), поскольку заболевание протекает у инфицированных с одинаковым характером. Поэтому обладания информацией о динамике здоровой популяции и заражённой достаточно для анализа модели.

==Общая формулировка SIR-модели==
Одна из простейших моделей распространения эпидемий — '''SIR-модель'''. Это модель ''ящикового вида'', в которой все особи популяции разделяются на группы — ''"ящики"'', — внутри которых особи неразличимы.
 
 
[[Файл:SIR-model.png|мини|Рис. 1. Диаграмма эволюции особи популяции в SIR-модели]]
В SIR-модели все особи поделены на 3 группы:
# <math>S(t)</math> — подверженные заболеванию особи (от англ. ''susceptible'')
# <math>I(t)</math> — заражённые особи (от англ. ''infected'')
# <math>R(t)</math> — переболевшие (от англ. ''resistant'')
 
Важно отметить, что ящиковая модель, в том числе и SIR-модель, подразумевает собой '''замкнутую популяцию''', в которой не происходят процессы рождаемости и смертности. Поэтому на введённые классы можно выписать ограничение:
<math> S + I + R = N, </math>
где <math> N </math> — общее число особей популяции.
 
 
'''''Замечание.''''' Из замкнутости популяции и характера эволюции особи можно сделать вывод, что с течением времени "ящик" <math>I</math> заражённых особей станет пустым.

==Исследование SIR-модели==
===Функция инфективности===
Для анализа сформулированной модели вводится '''функция инфективности''' <math>A(\tau)</math>, которая характеризует вероятность того, что произойдёт заражение индивида при контакте с заражённым индивидом <math>\tau</math> единиц времени назад.

В общем виде функция инфективности выглядит следующим образом::
<math>
A(\tau) =
\begin{equation}
\begin{cases}
c \cdot p,\ \ t \in [T_1,\ T_2]\\
0,\ \ \text{иначе}.
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>

Здесь <math>p</math> — вероятность заражения, а <math>c</math> — среднее число контактов в единицу времени. Промежуток времени <math>t \in [T_1,\ T_2]</math> — окно, в течение которого индивид заразен.
 
 
Таким образом, в частном случае <math>A(\tau)</math> можно ввести так::
<math> A(\tau) = \underbrace{\beta N}_{c} \cdot \underbrace{\exp\{ -\gamma\tau \} }_{p},\ \ \beta=const>0,</math>
то есть промежуток времени для заражения других особей [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 распределен экспоненциально] со средним <math>\frac{1}{\gamma}</math>. Следовательно, средняя длина промежутка времени, в течение которого индивид заразен, равна <math>\frac{1}{\gamma}</math>.
 
 
'''''Замечание.''''' Введя подобным образом функцию инфективности, получают, что число контактов растёт линейно с общим объёмом популяции <math>N</math>, что, вообще говоря, является довольно грубым допущением. Однако оно необходимо для упрощения исследования и его наглядности.

===Получение аналитического вида SIR-модели===
Рассмотрим ещё одну величину <math>i(t)</math> — число новых заболевших в момент времени <math>t</math>. Таким образом, <math>i(t) = -\dot{S}(t)</math>.

При этом <math>i(t)</math> можно выразить через уже введённую функцию инфективности::
<math>i(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) i(t-\tau) d\tau.</math>

Интеграл в правой части можно трактовать как среднее число "удачных" контактов (т.е. таких, при которых заражение произошло). Причём, в силу выведенной связи на <math>i(t)</math> и <math>S(t)</math> можно получить следующее::
<math>
\begin{equation}
\dot{S}(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau. \label{sys2}
\end{equation}
</math>
 
 
Далее вводится <math>I(t)</math> следующим образом::
<math> I(t) = -\frac{1}{\beta} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau\ =\ \{s:=t-\tau\}\ =\
-\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-s) \dot{S}(s) ds\ =\ \{ \tau:=s\}\ =\ -\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau.</math>
С учётом того, что функция инфективности <math> A(\tau) </math> введена так, что <math> \dot{A}(\tau) = -\gamma A(\tau)</math>, [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC) продифференцируем полученное равенство по параметру] <math>t</math>::
<math>
\dot{I}(t) = -\frac{1}{\beta} A(0) \dot{S}(t) + \frac{1}{\beta} \underbrace{A(\infty)}_{= 0}\dot{S}(-\infty) - \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t \left( -\gamma A(t-\tau) \dot{S}(\tau) \right) d\tau =
</math>
:
<math>
= -\frac{\beta N}{\beta}\dot{S}(t) + \gamma\cdot \underbrace{ \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau}_{= - I(t)} = \{ \text{в силу } (\ref{sys2}) \} = \underbrace{-\frac{N S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau}_{\beta SI} - \gamma I(t) = \beta S(t)I(t) - \gamma I(t).
</math>

Таким образом, для <math>I(t)</math> получается следующее уравнение динамики — <math> \dot{I}(t) = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) = I(t) \left( \beta S(t) - \gamma \right)</math>.
 
 
Итоговая динамическая система, описывающая SIR-модель, выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{I}(t) = I(t)\left( \beta S(t) - \gamma \right),\\
\dot{S}(t) + \dot{I}(t) + \dot{R}(t) = 0.
\end{cases} \label{sys3}
\end{equation}
</math>
Последнее уравнение системы следует из её замкнутости, упомянутой выше. Причём из системы <math>(\ref{sys3})</math> можно выразить и динамику класса переболевших — <math> \dot{R}(t) = \gamma I(t)</math>.

===Анализ SIR-модели===
Исследуя полученную динамическую систему <math>(\ref{sys3})</math> SIR-модели, можно заметить, что по переменной <math>I</math> существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B особая точка] при <math>S = \frac{\gamma}{\beta} := \sigma</math>. При <math> S(t) > \sigma</math> число инфицированных растёт, и, наоборот, при <math> S(t) < \sigma</math> — убывает.
 
 
Однако из первого уравнения системы <math>(\ref{sys3})\ \ \dot{S}(t)\leqslant 0</math>, поэтому поведение системы разделяется на два существенно разных случая в зависимости от начального количества подверженных заболеванию <math> S_0 </math>:
# <math> S_0 < \sigma\ \Longrightarrow</math> эпидемии в системе нет, поскольку число заражённых монотонно уменьшается до нуля;
# <math> S_0 > \sigma\ \Longrightarrow</math> происходит эпидемия в системе.
 
[[Файл:SIR-s0.png|700px|центр|мини|Рис. 2. Временная эволюция численностей здоровых, заболевших и переболевших особей для SIR-модели. (а) В системе есть эпидемия с максимальным числом заболевших <math>I_{max}</math>. Параметры <math>\sigma = 500,\ \gamma = 5,</math> <math>N=1000,\ S_0=994,\ I_0=2.</math>
 (б) В системе не возникает эпидемия, так как <math>S_0<\sigma</math>. Параметры <math>\sigma = 800,\ \gamma = 5,\ N=1000,\ S_0=700.</math>]]

Рассмотрим далее случай, когда в системе возникает эпидемия. Важным прикладным результатом исследования такой системы является, например, '''максимальное количество инфицированных''', поскольку это помогает рассчитать эффективное число койко-мест в больницах во время пика эпидемии. На рис. 2 (а) можно наблюдать этот пик, обозначенный за <math>I_{max}</math>. Можно посчитать его аналитически, исследовав <math>\frac{dI}{dS}</math>::

<math>
\frac{dI}{dS} = \frac{\beta SI - \gamma I}{-\beta SI} = -1 + \frac{\sigma}{S}\ \ \Longrightarrow\ \ I+S-\sigma\ln S = const.
</math>
Последнее выражение является [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB первым интегралом] системы <math>(\ref{sys3})</math>, поэтому, учитывая начальные условия <math>S(0) = S_0,\ I(0) = I_0</math>, получается следующее::

<math>
I + S - \sigma\ln S = I_0 + S_0 - \sigma\ln S_0\ \ \Longrightarrow\ \ I_{max} = I_0 + S_0 - \sigma - \sigma \ln \frac{S_0}{\sigma}.
</math>
 
 
Помимо максимального числа заражённых полезно знать количество особей, '''так и не переболевших''' за всё время эпидемии. Для этого рассматривается отношение <math>\frac{dS}{dR}</math>::
<math>
\frac{dS}{dR} = \frac{-\beta SI}{\gamma I} = -\frac{1}{\gamma}S\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma\frac{dS}{S}=-dR\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma \ln |S| = -R+C\ \ \Longrightarrow\ \ S(t)=C_0 \exp \{-\sigma R\}.
</math>

Как уже было замечено выше, в силу замкнутости популяции <math>I(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} 0\ \ \Longrightarrow\ \ S(\infty) + R(\infty) = N.</math>

Тогда можно составить [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 трансцендентное уравнение]::
<math>S(\infty) = C_0 \exp \left\{ \frac{S(\infty)-N}{\sigma} \right\},</math>
у которого существует единственное решение, и оно положительно. На рис. 2 можно наблюдать, что со временем количество так и не переболевших особей <math>S(\infty)</math> действительно стабилизируется.

==Формулировка SEIR-модели==
Существуют более продвинутые модели, учитывающие различные аспекты протекания болезни. Например, '''SEIR-модель''' включает в себя новый, четвёртый ящик <math>E(t)</math> — особи, находящиеся в латентном периоде заболевания, то есть уже заболевшие, но ещё не заразные (англ. ''exposed'').
[[Файл:SEIR-model.png|мини|Рис. 3. Диаграмма эволюции особи популяции в SEIR-модели]]
Описывающая такую динамику система выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{E}(t) = \beta S(t) I(t) - \alpha E(t),\\
\dot{I}(t) = \alpha E(t) - \gamma I(t),\\
\dot{R}(t) = \gamma I(t).
\end{cases}
\end{equation}
</math>

 
==Список литературы==
# Абрамова В.В. "Лекции по прикладным задачам системного анализа: задачам биоматематики", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T22:55:59Z

Taisia23:

__TOC__
'''Математические модели эпидемиологии''' — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамические системы], описывающие распространение инфекционных популяций среди здоровых.
 
 
Не все заболевания рассматриваются в рамках такого исследования: моделируются инфекции, вызываемые микропаразитами. В таком случае можно пренебречь динамикой каждого паразита (в отличие от случая макропаразитов), поскольку заболевание протекает у инфицированных с одинаковым характером. Поэтому обладания информацией о динамике здоровой популяции и заражённой достаточно для анализа модели.

==Общая формулировка SIR-модели==
Одна из простейших моделей распространения эпидемий — '''SIR-модель'''. Это модель ''ящикового вида'', в которой все особи популяции разделяются на группы — ''"ящики"'', — внутри которых особи неразличимы.
 
 
[[Файл:SIR-model.png|мини|Рис. 1. Диаграмма эволюции особи популяции в SIR-модели]]
В SIR-модели все особи поделены на 3 группы:
# <math>S(t)</math> — подверженные заболеванию особи (от англ. ''susceptible'')
# <math>I(t)</math> — заражённые особи (от англ. ''infected'')
# <math>R(t)</math> — переболевшие (от англ. ''resistant'')
 
Важно отметить, что ящиковая модель, в том числе и SIR-модель, подразумевает собой '''замкнутую популяцию''', в которой не происходят процессы рождаемости и смертности. Поэтому на введённые классы можно выписать ограничение:
<math> S + I + R = N, </math>
где <math> N </math> — общее число особей популяции.
 
 
'''''Замечание.''''' Из замкнутости популяции и характера эволюции особи можно сделать вывод, что с течением времени "ящик" <math>I</math> заражённых особей станет пустым.

==Исследование SIR-модели==
===Функция инфективности===
Для анализа сформулированной модели вводится '''функция инфективности''' <math>A(\tau)</math>, которая характеризует вероятность того, что произойдёт заражение индивида при контакте с заражённым индивидом <math>\tau</math> единиц времени назад.

В общем виде функция инфективности выглядит следующим образом::
<math>
A(\tau) =
\begin{equation}
\begin{cases}
c \cdot p,\ \ t \in [T_1,\ T_2]\\
0,\ \ \text{иначе}.
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>

Здесь <math>p</math> — вероятность заражения, а <math>c</math> — среднее число контактов в единицу времени. Промежуток времени <math>t \in [T_1,\ T_2]</math> — окно, в течение которого индивид заразен.
 
 
Таким образом, в частном случае <math>A(\tau)</math> можно ввести так::
<math> A(\tau) = \underbrace{\beta N}_{c} \cdot \underbrace{\exp\{ -\gamma\tau \} }_{p},\ \ \beta=const>0,</math>
то есть промежуток времени для заражения других особей [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 распределен экспоненциально] со средним <math>\frac{1}{\gamma}</math>. Следовательно, средняя длина промежутка времени, в течение которого индивид заразен, равна <math>\frac{1}{\gamma}</math>.
 
 
'''''Замечание.''''' Введя подобным образом функцию инфективности, получают, что число контактов растёт линейно с общим объёмом популяции <math>N</math>, что, вообще говоря, является довольно грубым допущением. Однако оно необходимо для упрощения исследования и его наглядности.

===Получение аналитического вида SIR-модели===
Рассмотрим ещё одну величину <math>i(t)</math> — число новых заболевших в момент времени <math>t</math>. Таким образом, <math>i(t) = -\dot{S}(t)</math>.

При этом <math>i(t)</math> можно выразить через уже введённую функцию инфективности::
<math>i(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) i(t-\tau) d\tau.</math>

Интеграл в правой части можно трактовать как среднее число "удачных" контактов (т.е. таких, при которых заражение произошло). Причём, в силу выведенной связи на <math>i(t)</math> и <math>S(t)</math> можно получить следующее::
<math>
\begin{equation}
\dot{S}(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau. \label{sys2}
\end{equation}
</math>
 
 
Далее вводится <math>I(t)</math> следующим образом::
<math> I(t) = -\frac{1}{\beta} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau\ =\ \{s:=t-\tau\}\ =\
-\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-s) \dot{S}(s) ds\ =\ \{ \tau:=s\}\ =\ -\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau.</math>
С учётом того, что функция инфективности <math> A(\tau) </math> введена так, что <math> \dot{A}(\tau) = -\gamma A(\tau)</math>, [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC) продифференцируем полученное равенство по параметру] <math>t</math>::
<math>
\dot{I}(t) = -\frac{1}{\beta} A(0) \dot{S}(t) + \frac{1}{\beta} \underbrace{A(\infty)}_{= 0}\dot{S}(-\infty) - \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t \left( -\gamma A(t-\tau) \dot{S}(\tau) \right) d\tau =
</math>
:
<math>
= -\frac{\beta N}{\beta}\dot{S}(t) + \gamma\cdot \underbrace{ \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau}_{= - I(t)} = \{ \text{в силу } (\ref{sys2}) \} = \underbrace{-\frac{N S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau}_{\beta SI} - \gamma I(t) = \beta S(t)I(t) - \gamma I(t).
</math>

Таким образом, для <math>I(t)</math> получается следующее уравнение динамики — <math> \dot{I}(t) = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) = I(t) \left( \beta S(t) - \gamma \right)</math>.
 
 
Итоговая динамическая система, описывающая SIR-модель, выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{I}(t) = I(t)\left( \beta S(t) - \gamma \right),\\
\dot{S}(t) + \dot{I}(t) + \dot{R}(t) = 0.
\end{cases} \label{sys3}
\end{equation}
</math>
Последнее уравнение системы следует из её замкнутости, упомянутой выше. Причём из системы <math>(\ref{sys3})</math> можно выразить и динамику класса переболевших — <math> \dot{R}(t) = \gamma I(t)</math>.

===Анализ SIR-модели===
Исследуя полученную динамическую систему <math>(\ref{sys3})</math> SIR-модели, можно заметить, что по переменной <math>I</math> существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B особая точка] при <math>S = \frac{\gamma}{\beta} := \sigma</math>. При <math> S(t) > \sigma</math> число инфицированных растёт, и, наоборот, при <math> S(t) < \sigma</math> — убывает.
 
 
Однако из первого уравнения системы <math>(\ref{sys3})\ \ \dot{S}(t)\leqslant 0</math>, поэтому поведение системы разделяется на два существенно разных случая в зависимости от начального количества подверженных заболеванию <math> S_0 </math>:
# <math> S_0 < \sigma\ \Longrightarrow</math> эпидемии в системе нет, поскольку число заражённых монотонно уменьшается до нуля;
# <math> S_0 > \sigma\ \Longrightarrow</math> происходит эпидемия в системе.
 
[[Файл:SIR-s0.png|700px|центр|мини|Рис. 2. Временная эволюция численностей здоровых, заболевших и переболевших особей для SIR-модели. (а) В системе есть эпидемия с максимальным числом заболевших <math>I_{max}</math>. Параметры <math>\sigma = 500,\ \gamma = 5,</math> <math>N=1000,\ S_0=994,\ I_0=2.</math>
 (б) В системе не возникает эпидемия, так как <math>S_0<\sigma</math>. Параметры <math>\sigma = 800,\ \gamma = 5,\ N=1000,\ S_0=700.</math>]]

Рассмотрим далее случай, когда в системе возникает эпидемия. Важным прикладным результатом исследования такой системы является, например, '''максимальное количество инфицированных''', поскольку это помогает рассчитать эффективное число койко-мест в больницах во время пика эпидемии. На рис. 2 (а) можно наблюдать этот пик, обозначенный за <math>I_{max}</math>. Можно посчитать его аналитически, исследовав <math>\frac{dI}{dS}</math>::

<math>
\frac{dI}{dS} = \frac{\beta SI - \gamma I}{-\beta SI} = -1 + \frac{\sigma}{S}\ \ \Longrightarrow\ \ I+S-\sigma\ln S = const.
</math>
Последнее выражение является [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB первым интегралом] системы <math>(\ref{sys3})</math>, поэтому, учитывая начальные условия <math>S(0) = S_0,\ I(0) = I_0</math>, получается следующее::

<math>
I + S - \sigma\ln S = I_0 + S_0 - \sigma\ln S_0\ \ \Longrightarrow\ \ I_{max} = I_0 + S_0 - \sigma - \sigma \ln \frac{S_0}{\sigma}.
</math>
 
 
Помимо максимального числа заражённых полезно знать количество особей, '''так и не переболевших''' за всё время эпидемии. Для этого рассматривается отношение <math>\frac{dS}{dR}</math>::
<math>
\frac{dS}{dR} = \frac{-\beta SI}{\gamma I} = -\frac{1}{\gamma}S\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma\frac{dS}{S}=-dR\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma \ln |S| = -R+C\ \ \Longrightarrow\ \ S(t)=C_0 \exp \{-\sigma R\}.
</math>

Как уже было замечено выше, в силу замкнутости популяции <math>I(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} 0\ \ \Longrightarrow\ \ S(\infty) + R(\infty) = N.</math>

Тогда можно составить [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 трансцендентное уравнение]::
<math>S(\infty) = C_0 \exp \left\{ \frac{S(\infty)-N}{\sigma} \right\},</math>
у которого существует единственное решение, и оно положительно. На рис. 2 можно наблюдать, что со временем количество так и не переболевших людей <math>S(\infty)</math> действительно стабилизируется.

==Формулировка SEIR-модели==
Существуют более продвинутые модели, учитывающие различные аспекты протекания болезни. Например, '''SEIR-модель''' включает в себя новый, четвёртый ящик <math>E(t)</math> — особи, находящиеся в латентном периоде заболевания, то есть уже заболевшие, но ещё не заразные (англ. ''exposed'').
[[Файл:SEIR-model.png|мини|Рис. 3. Диаграмма эволюции особи популяции в SEIR-модели]]
Описывающая такую динамику система выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{E}(t) = \beta S(t) I(t) - \alpha E(t),\\
\dot{I}(t) = \alpha E(t) - \gamma I(t),\\
\dot{R}(t) = \gamma I(t).
\end{cases}
\end{equation}
</math>

 
==Список литературы==
# Абрамова В.В. "Лекции по прикладным задачам системного анализа: задачам биоматематики", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T21:50:27Z

Taisia23:

__TOC__
'''Математические модели эпидемиологии''' — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамические системы], описывающие распространение инфекционных популяций среди здоровых.
 
 
Не все заболевания рассматриваются в рамках такого исследования: моделируются инфекции, вызываемые микропаразитами. В таком случае можно пренебречь динамикой каждого паразита (в отличие от случая макропаразитов), поскольку заболевание протекает у инфицированных с одинаковым характером. Поэтому обладания информацией о динамике здоровой популяции и заражённой достаточно для анализа модели.

==Общая формулировка SIR-модели==
Одна из простейших моделей распространения эпидемий — '''SIR-модель'''. Это модель ''ящикового вида'', в которой все особи популяции разделяются на группы — ''"ящики"'', — внутри которых особи неразличимы.
 
 
[[Файл:SIR-model.png|мини|Рис. 1. Диаграмма эволюции особи популяции в SIR-модели]]
В SIR-модели все особи поделены на 3 группы:
# <math>S(t)</math> — подверженные заболеванию особи (от англ. ''susceptible'')
# <math>I(t)</math> — заражённые особи (от англ. ''infected'')
# <math>R(t)</math> — переболевшие (от англ. ''resistant'')
 
Важно отметить, что ящиковая модель, в том числе и SIR-модель, подразумевает собой '''замкнутую популяцию''', в которой не происходят процессы рождаемости и смертности. Поэтому на введённые классы можно выписать ограничение:
<math> S + I + R = N, </math>
где <math> N </math> — общее число особей популяции.
 
 
'''''Замечание.''''' Из замкнутости популяции и характера эволюции особи можно сделать вывод, что с течением времени "ящик" <math>I</math> заражённых особей станет пустым.

==Исследование SIR-модели==
===Функция инфективности===
Для анализа сформулированной модели вводится '''функция инфективности''' <math>A(\tau)</math>, которая характеризует вероятность того, что произойдёт заражение индивида при контакте с заражённым индивидом <math>\tau</math> единиц времени назад.

В общем виде функция инфективности выглядит следующим образом::
<math>
A(\tau) =
\begin{equation}
\begin{cases}
c \cdot p,\ \ t \in [T_1,\ T_2]\\
0,\ \ \text{иначе}.
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>

Здесь <math>p</math> — вероятность заражения, а <math>c</math> — среднее число контактов в единицу времени. Промежуток времени <math>t \in [T_1,\ T_2]</math> — окно, в течение которого индивид заразен.
 
 
Таким образом, в частном случае <math>A(\tau)</math> можно ввести так::
<math> A(\tau) = \underbrace{\beta N}_{c} \cdot \underbrace{\exp\{ -\gamma\tau \} }_{p},\ \ \beta=const>0,</math>
то есть промежуток времени для заражения других особей [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 распределен экспоненциально] со средним <math>\frac{1}{\gamma}</math>. Следовательно, средняя длина промежутка времени, в течение которого индивид заразен, равна <math>\frac{1}{\gamma}</math>.
 
 
'''''Замечание.''''' Введя подобным образом функцию инфективности, получают, что число контактов растёт линейно с общим объёмом популяции <math>N</math>, что, вообще говоря, является довольно грубым допущением. Однако оно необходимо для упрощения исследования и его наглядности.

===Получение аналитического вида SIR-модели===
Рассмотрим ещё одну величину <math>i(t)</math> — число новых заболевших в момент времени <math>t</math>. Таким образом, <math>i(t) = -\dot{S}(t)</math>.

При этом <math>i(t)</math> можно выразить через уже введённую функцию инфективности::
<math>i(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) i(t-\tau) d\tau.</math>

Интеграл в правой части можно трактовать как среднее число "удачных" контактов (т.е. таких, при которых заражение произошло). Причём, в силу выведенной связи на <math>i(t)</math> и <math>S(t)</math> можно получить следующее::
<math>
\begin{equation}
\dot{S}(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau. \label{sys2}
\end{equation}
</math>
 
 
Далее вводится <math>I(t)</math> следующим образом::
<math> I(t) = -\frac{1}{\beta} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau\ =\ \{s:=t-\tau\}\ =\
-\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-s) \dot{S}(s) ds\ =\ \{ \tau:=s\}\ =\ -\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau.</math>
С учётом того, что функция инфективности <math> A(\tau) </math> введена так, что <math> \dot{A}(\tau) = -\gamma A(\tau)</math>, [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC) продифференцируем полученное равенство по параметру] <math>t</math>::
<math>
\dot{I}(t) = -\frac{1}{\beta} A(0) \dot{S}(t) + \frac{1}{\beta} \underbrace{A(\infty)}_{= 0}\dot{S}(-\infty) - \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t \left( -\gamma A(t-\tau) \dot{S}(\tau) \right) d\tau =
</math>
:
<math>
= -\frac{\beta N}{\beta}\dot{S}(t) + \gamma\cdot \underbrace{ \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau}_{= - I(t)} = \{ \text{в силу } (\ref{sys2}) \} = \underbrace{-\frac{N S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau}_{\beta SI} - \gamma I(t) = \beta S(t)I(t) - \gamma I(t).
</math>

Таким образом, для <math>I(t)</math> получается следующее уравнение динамики — <math> \dot{I}(t) = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) = I(t) \left( \beta S(t) - \gamma \right)</math>.
 
 
Итоговая динамическая система, описывающая SIR-модель, выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{I}(t) = I(t)\left( \beta S(t) - \gamma \right),\\
\dot{S}(t) + \dot{I}(t) + \dot{R}(t) = 0.
\end{cases} \label{sys3}
\end{equation}
</math>
Последнее уравнение системы следует из её замкнутости, упомянутой выше. Причём из системы <math>(\ref{sys3})</math> можно выразить и динамику класса переболевших — <math> \dot{R}(t) = \gamma I(t)</math>.

===Анализ SIR-модели===
Исследуя полученную динамическую систему <math>(\ref{sys3})</math> SIR-модели, можно заметить, что по переменной <math>I</math> существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B особая точка] при <math>S = \frac{\gamma}{\beta} := \sigma</math>. При <math> S(t) > \sigma</math> число инфицированных растёт, и, наоборот, при <math> S(t) < \sigma</math> — убывает.
 
 
Однако из первого уравнения системы <math>(\ref{sys3})\ \ \dot{S}(t)\leqslant 0</math>, поэтому поведение системы разделяется на два существенно разных случая в зависимости от начального количества подверженных заболеванию <math> S_0 </math>:
# <math> S_0 < \sigma\ \Longrightarrow</math> эпидемии в системе нет, поскольку число заражённых монотонно уменьшается до нуля;
# <math> S_0 > \sigma\ \Longrightarrow</math> происходит эпидемия в системе.
 
[[Файл:SIR-s0.png|700px|центр|мини|Рис. 2. Временная эволюция численностей здоровых, заболевших и переболевших особей для SIR-модели. (а) В системе есть эпидемия с максимальным числом заболевших <math>I_{max}</math>. Параметры <math>\sigma = 500,\ \gamma = 5,</math> <math>N=1000,\ S_0=994,\ I_0=2.</math>
 (б) В системе не возникает эпидемия, так как <math>S_0<\sigma</math>. Параметры <math>\sigma = 800,\ \gamma = 5,\ N=1000,\ S_0=700.</math>]]

Рассмотрим далее случай, когда в системе возникает эпидемия. Важным прикладным результатом исследования такой системы является, например, '''максимальное количество инфицированных''', поскольку это помогает рассчитать эффективное число койко-мест в больницах во время пика эпидемии. На рис. 2 (а) можно наблюдать этот пик, обозначенный за <math>I_{max}</math>. Можно посчитать его аналитически, исследовав <math>\frac{dI}{dS}</math>::

<math>
\frac{dI}{dS} = \frac{\beta SI - \gamma I}{-\beta SI} = -1 + \frac{\sigma}{S}\ \ \Longrightarrow\ \ I=S-\sigma\ln S = const.
</math>
Последнее выражение является [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB первым интегралом] системы <math>(\ref{sys3})</math>, поэтому, учитывая начальные условия <math>S(0) = S_0,\ I(0) = I_0</math>, получается следующее::

<math>
I + S - \sigma\ln S = I_0 + S_0 - \sigma\ln S_0\ \ \Longrightarrow\ \ I_{max} = I_0 + S_0 - \sigma - \sigma \ln \frac{S_0}{\sigma}.
</math>
 
 
Помимо максимального числа заражённых полезно знать количество особей, '''так и не переболевших''' за всё время эпидемии. Для этого рассматривается отношение <math>\frac{dS}{dR}</math>::
<math>
\frac{dS}{dR} = \frac{-\beta SI}{\gamma I} = -\frac{1}{\gamma}S\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma\frac{dS}{S}=-dR\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma \ln |S| = -R+C\ \ \Longrightarrow\ \ S(t)=C_0 \exp \{-\sigma R\}.
</math>

Как уже было замечено выше, в силу замкнутости популяции <math>I(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} 0\ \ \Longrightarrow\ \ S(\infty) + R(\infty) = N.</math>

Тогда можно составить [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 трансцендентное уравнение]::
<math>S(\infty) = C_0 \exp \left\{ \frac{S(\infty)-N}{\sigma} \right\},</math>
у которого существует единственное решение, и оно положительно. На рис. 2 можно наблюдать, что со временем количество так и не переболевших людей <math>S(\infty)</math> действительно стабилизируется.

==Формулировка SEIR-модели==
Существуют более продвинутые модели, учитывающие различные аспекты протекания болезни. Например, '''SEIR-модель''' включает в себя новый, четвёртый ящик <math>E(t)</math> — особи, находящиеся в латентном периоде заболевания, то есть уже заболевшие, но ещё не заразные (англ. ''exposed'').
[[Файл:SEIR-model.png|мини|Рис. 3. Диаграмма эволюции особи популяции в SEIR-модели]]
Описывающая такую динамику система выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{E}(t) = \beta S(t) I(t) - \alpha E(t),\\
\dot{I}(t) = \alpha E(t) - \gamma I(t),\\
\dot{R}(t) = \gamma I(t).
\end{cases}
\end{equation}
</math>

 
==Список литературы==
# Абрамова В.В. "Лекции по прикладным задачам системного анализа: задачам биоматематики", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T21:49:05Z

Taisia23:

__TOC__
'''Математические модели эпидемиологии''' — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамические системы], описывающие распространение инфекционных популяций среди здоровых.
 
 
Не все заболевания рассматриваются в рамках такого исследования: моделируются инфекции, вызываемые микропаразитами. В таком случае можно пренебречь динамикой каждого паразита (в отличие от случая макропаразитов), поскольку заболевание протекает у инфицированных с одинаковым характером. Поэтому обладания информацией о динамике здоровой популяции и заражённой достаточно для анализа модели.

==Общая формулировка SIR-модели==
Одна из простейших моделей распространения эпидемий — '''SIR-модель'''. Это модель ''ящикового вида'', в которой все особи популяции разделяются на группы — ''"ящики"'', — внутри которых особи неразличимы.
 
 
[[Файл:SIR-model.png|мини|Рис. 1. Диаграмма эволюции особи популяции в SIR-модели]]
В SIR-модели все особи поделены на 3 группы:
# <math>S(t)</math> — подверженные заболеванию особи (от англ. ''susceptible'')
# <math>I(t)</math> — заражённые особи (от англ. ''infected'')
# <math>R(t)</math> — переболевшие (от англ. ''resistant'')
 
Важно отметить, что ящиковая модель, в том числе и SIR-модель, подразумевает собой '''замкнутую популяцию''', в которой не происходят процессы рождаемости и смертности. Поэтому на введённые классы можно выписать ограничение:
<math> S + I + R = N, </math>
где <math> N </math> — общее число особей популяции.
 
 
'''''Замечание.''''' Из замкнутости популяции и характера эволюции особи можно сделать вывод, что с течением времени "ящик" <math>I</math> заражённых особей станет пустым.

==Исследование SIR-модели==
===Функция инфективности===
Для анализа сформулированной модели вводится '''функция инфективности''' <math>A(\tau)</math>, которая характеризует вероятность того, что произойдёт заражение индивида при контакте с заражённым индивидом <math>\tau</math> единиц времени назад.

В общем виде функция инфективности выглядит следующим образом::
<math>
A(\tau) =
\begin{equation}
\begin{cases}
c \cdot p,\ \ t \in [T_1,\ T_2]\\
0,\ \ \text{иначе}.
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>

Здесь <math>p</math> — вероятность заражения, а <math>c</math> — среднее число контактов в единицу времени. Промежуток времени <math>t \in [T_1,\ T_2]</math> — окно, в течение которого индивид заразен.
 
 
Таким образом, в частном случае <math>A(\tau)</math> можно ввести так::
<math> A(\tau) = \underbrace{\beta N}_{c} \cdot \underbrace{\exp\{ -\gamma\tau \} }_{p},\ \ \beta=const>0,</math>
то есть промежуток времени для заражения других особей [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 распределен экспоненциально] со средним <math>\frac{1}{\gamma}</math>. Следовательно, средняя длина промежутка времени, в течение которого индивид заразен, равна <math>\frac{1}{\gamma}</math>.
 
 
'''''Замечание.''''' Введя подобным образом функцию инфективности, получают, что число контактов растёт линейно с общим объёмом популяции <math>N</math>, что, вообще говоря, является довольно грубым допущением. Однако оно необходимо для упрощения исследования и его наглядности.

===Получение аналитического вида SIR-модели===
Рассмотрим ещё одну величину <math>i(t)</math> — число новых заболевших в момент времени <math>t</math>. Таким образом, <math>i(t) = -\dot{S}(t)</math>.

При этом <math>i(t)</math> можно выразить через уже введённую функцию инфективности::
<math>i(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) i(t-\tau) d\tau.</math>

Интеграл в правой части можно трактовать как среднее число "удачных" контактов (т.е. таких, при которых заражение произошло). Причём, в силу выведенной связи на <math>i(t)</math> и <math>S(t)</math> можно получить следующее::
<math>
\begin{equation}
\dot{S}(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau. \label{sys2}
\end{equation}
</math>
 
 
Далее вводится <math>I(t)</math> следующим образом::
<math> I(t) = -\frac{1}{\beta} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau\ =\ \{s:=t-\tau\}\ =\
-\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-s) \dot{S}(s) ds\ =\ \{ \tau:=s\}\ =\ -\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau.</math>
С учётом того, что функция инфективности <math> A(\tau) </math> введена так, что <math> \dot{A}(\tau) = -\gamma A(\tau)</math>, [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC) продифференцируем полученное равенство по параметру] <math>t</math>::
<math>
\dot{I}(t) = -\frac{1}{\beta} A(0) \dot{S}(t) + \frac{1}{\beta} \underbrace{A(\infty)}_{= 0}\dot{S}(-\infty) - \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t \left( -\gamma A(t-\tau) \dot{S}(\tau) \right) d\tau =
</math>
:
<math>
= -\frac{\beta N}{\beta}\dot{S}(t) + \gamma\cdot \underbrace{ \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau}_{= - I(t)} = \{ \text{в силу } (\ref{sys2}) \} = \underbrace{-\frac{N S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau}_{\beta SI} - \gamma I(t) = \beta S(t)I(t) - \gamma I(t).
</math>

Таким образом, для <math>I(t)</math> получается следующее уравнение динамики — <math> \dot{I}(t) = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) = I(t) \left( \beta S(t) - \gamma \right)</math>.
 
 
Итоговая динамическая система, описывающая SIR-модель, выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{I}(t) = I(t)\left( \beta S(t) - \gamma \right),\\
\dot{S}(t) + \dot{I}(t) + \dot{R}(t) = 0.
\end{cases} \label{sys3}
\end{equation}
</math>
Последнее уравнение системы следует из её замкнутости, упомянутой выше. Причём из системы <math>(\ref{sys3})</math> можно выразить и динамику класса переболевших — <math> \dot{R}(t) = \gamma I(t)</math>.

===Анализ SIR-модели===
Исследуя полученную динамическую систему <math>(\ref{sys3})</math> SIR-модели, можно заметить, что по переменной <math>I</math> существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B особая точка] при <math>S = \frac{\gamma}{\beta} := \sigma</math>. При <math> S(t) > \sigma</math> число инфицированных растёт, и, наоборот, при <math> S(t) < \sigma</math> — убывает.
 
 
Однако из первого уравнения системы <math>(\ref{sys3})\ \ \dot{S}(t)\leqslant 0</math>, поэтому поведение системы разделяется на два существенно разных случая в зависимости от начального количества подверженных заболеванию <math> S_0 </math>:
# <math> S_0 < \sigma\ \Longrightarrow</math> эпидемии в системе нет, поскольку число заражённых монотонно уменьшается до нуля;
# <math> S_0 > \sigma\ \Longrightarrow</math> происходит эпидемия в системе.
 
[[Файл:SIR-s0.png|700px|центр|мини|Рис. 2. Временная эволюция численностей здоровых, заболевших и переболевших особей для SIR-модели. (а) В системе есть эпидемия с максимальным числом заболевших <math>I_{max}</math>. Параметры <math>\sigma = 500,\ \gamma = 5,</math> <math>N=1000,\ S_0=994,\ I_0=2.</math>
 (б) В системе не возникает эпидемия, так как <math>S_0<\sigma</math>. Параметры <math>\sigma = 800,\ \gamma = 5,\ N=1000,\ S_0=700.</math>]]

Рассмотрим далее случай, когда в системе возникает эпидемия. Важным прикладным результатом исследования такой системы является, например, '''максимальное количество инфицированных''', поскольку это помогает рассчитать эффективное число койко-мест в больницах во время пика эпидемии. На рис. 2 (а) можно наблюдать этот пик, обозначенный за <math>I_{max}</math>. Можно посчитать его аналитически, исследовав <math>\frac{dI}{dS}</math>::

<math>
\frac{dI}{dS} = \frac{\beta SI - \gamma I}{-\beta SI} = -1 + \frac{\sigma}{S}\ \ \Longrightarrow\ \ I=S-\sigma\ln S = const.
</math>
Последнее выражение является [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB первым интегралом] системы <math>(\ref{sys3})</math>, поэтому, учитывая начальные условия <math>S(0) = S_0,\ I(0) = I_0</math>, получается следующее::

<math>
I + S - \sigma\ln S = I_0 + S_0 - \sigma\ln S_0\ \ \Longrightarrow\ \ I_{max} = I_0 + S_0 - \sigma - \sigma \ln \frac{S_0}{\sigma}.
</math>
 
 
Помимо максимального числа заражённых полезно знать количество особей, '''так и не переболевших''' за всё время эпидемии. Для этого рассматривается отношение <math>\frac{dS}{dR}</math>::
<math>
\frac{dS}{dR} = \frac{-\beta SI}{\gamma I} = -\frac{1}{\gamma}S\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma\frac{dS}{S}=-dR\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma \ln |S| = -R+C\ \ \Longrightarrow\ \ S(t)=C_0 \exp \{-\sigma R\}.
</math>

Как уже было замечено выше, в силу замкнутости популяции <math>I(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} 0\ \ \Longrightarrow\ \ S(\infty) + R(\infty) = N.</math>

Тогда можно составить [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 трансцендентное уравнение]::
<math>S(\infty) = C_0 \exp \left\{ \frac{S(\infty)-N}{\sigma} \right\},</math>
у которого существует единственное решение, и оно положительно. На рис. 2 можно наблюдать, что со временем количество так и не переболевших людей <math>S(\infty)</math> действительно стабилизируется.

==Формулировка SEIR-модели==
Существуют более продвинутые модели, учитывающие различные аспекты протекания болезни. Например, '''SEIR-модель''' включает в себя новый, четвёртый ящик <math>E(t)</math> — особи, находящиеся в латентном периоде заболевания, то есть уже заболевшие, но ещё не заразные (англ. ''exposed'').
[[Файл:SEIR-model.png|мини|Рис. 3. Диаграмма эволюции особи популяции в SEIR-модели]]
Описывающая такую динамику система выглядит следующим образом:
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{E}(t) = \beta S(t) I(t) - \alpha E(t),\\
\dot{I}(t) = \alpha E(t) - \gamma I(t),\\
\dot{R}(t) = \gamma I(t).
\end{cases}
\end{equation}
</math>

 
==Список литературы==
# Абрамова В.В. "Лекции по прикладным задачам системного анализа: задачам биоматематики", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T21:45:31Z

Taisia23:

__TOC__
'''Математические модели эпидемиологии''' — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамические системы], описывающие распространение инфекционных популяций среди здоровых.
 
 
Не все заболевания рассматриваются в рамках такого исследования: моделируются инфекции, вызываемые микропаразитами. В таком случае можно пренебречь динамикой каждого паразита (в отличие от случая макропаразитов), поскольку заболевание протекает у инфицированных с одинаковым характером. Поэтому обладания информацией о динамике здоровой популяции и заражённой достаточно для анализа модели.

==Общая формулировка SIR-модели==
Одна из простейших моделей распространения эпидемий — '''SIR-модель'''. Это модель ''ящикового вида'', в которой все особи популяции разделяются на группы — ''"ящики"'', — внутри которых особи неразличимы.
 
 
[[Файл:SIR-model.png|мини|Рис. 1. Диаграмма эволюции особи популяции в SIR-модели]]
В SIR-модели все особи поделены на 3 группы:
# <math>S(t)</math> — подверженные заболеванию особи (от англ. ''susceptible'')
# <math>I(t)</math> — заражённые особи (от англ. ''infected'')
# <math>R(t)</math> — переболевшие (от англ. ''resistant'')
 
Важно отметить, что ящиковая модель, в том числе и SIR-модель, подразумевает собой '''замкнутую популяцию''', в которой не происходят процессы рождаемости и смертности. Поэтому на введённые классы можно выписать ограничение:
<math> S + I + R = N, </math>
где <math> N </math> — общее число особей популяции.
 
 
'''''Замечание.''''' Из замкнутости популяции и характера эволюции особи можно сделать вывод, что с течением времени "ящик" <math>I</math> заражённых особей станет пустым.

==Исследование SIR-модели==
===Функция инфективности===
Для анализа сформулированной модели вводится '''функция инфективности''' <math>A(\tau)</math>, которая характеризует вероятность того, что произойдёт заражение индивида при контакте с заражённым индивидом <math>\tau</math> единиц времени назад.

В общем виде функция инфективности выглядит следующим образом::
<math>
A(\tau) =
\begin{equation}
\begin{cases}
c \cdot p,\ \ t \in [T_1,\ T_2]\\
0,\ \ \text{иначе}.
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>

Здесь <math>p</math> — вероятность заражения, а <math>c</math> — среднее число контактов в единицу времени. Промежуток времени <math>t \in [T_1,\ T_2]</math> — окно, в течение которого индивид заразен.
 
 
Таким образом, в частном случае <math>A(\tau)</math> можно ввести так::
<math> A(\tau) = \underbrace{\beta N}_{c} \cdot \underbrace{\exp\{ -\gamma\tau \} }_{p},\ \ \beta=const>0,</math>
то есть промежуток времени для заражения других особей [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 распределен экспоненциально] со средним <math>\frac{1}{\gamma}</math>. Следовательно, средняя длина промежутка времени, в течение которого индивид заразен, равна <math>\frac{1}{\gamma}</math>.
 
 
'''''Замечание.''''' Введя подобным образом функцию инфективности, получают, что число контактов растёт линейно с общим объёмом популяции <math>N</math>, что, вообще говоря, является довольно грубым допущением. Однако оно необходимо для упрощения исследования и его наглядности.

===Получение аналитического вида SIR-модели===
Рассмотрим ещё одну величину <math>i(t)</math> — число новых заболевших в момент времени <math>t</math>. Таким образом, <math>i(t) = -\dot{S}(t)</math>.

При этом <math>i(t)</math> можно выразить через уже введённую функцию инфективности::
<math>i(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) i(t-\tau) d\tau.</math>

Интеграл в правой части можно трактовать как среднее число "удачных" контактов (т.е. таких, при которых заражение произошло). Причём, в силу выведенной связи на <math>i(t)</math> и <math>S(t)</math> можно получить следующее::
<math>
\begin{equation}
\dot{S}(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau. \label{sys2}
\end{equation}
</math>
 
 
Далее вводится <math>I(t)</math> следующим образом::
<math> I(t) = -\frac{1}{\beta} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau\ =\ \{s:=t-\tau\}\ =\
-\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-s) \dot{S}(s) ds\ =\ \{ \tau:=s\}\ =\ -\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau.</math>
С учётом того, что функция инфективности <math> A(\tau) </math> введена так, что <math> \dot{A}(\tau) = -\gamma A(\tau)</math>, [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC) продифференцируем полученное равенство по параметру] <math>t</math>::
<math>
\dot{I}(t) = -\frac{1}{\beta} A(0) \dot{S}(t) + \frac{1}{\beta} \underbrace{A(\infty)}_{= 0}\dot{S}(-\infty) - \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t \left( -\gamma A(t-\tau) \dot{S}(\tau) \right) d\tau =
</math>
:
<math>
= -\frac{\beta N}{\beta}\dot{S}(t) + \gamma\cdot \underbrace{ \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau}_{= - I(t)} = \{ \text{в силу } (\ref{sys2}) \} = \underbrace{-\frac{N S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau}_{\beta SI} - \gamma I(t) = \beta S(t)I(t) - \gamma I(t).
</math>

Таким образом, для <math>I(t)</math> получается следующее уравнение динамики — <math> \dot{I}(t) = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) = I(t) \left( \beta S(t) - \gamma \right)</math>.
 
 
Итоговая динамическая система, описывающая SIR-модель, выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{I}(t) = I(t)\left( \beta S(t) - \gamma \right),\\
\dot{S}(t) + \dot{I}(t) + \dot{R}(t) = 0.
\end{cases} \label{sys3}
\end{equation}
</math>
Последнее уравнение системы следует из её замкнутости, упомянутой выше. Причём из системы <math>(\ref{sys3})</math> можно выразить и динамику класса переболевших — <math> \dot{R}(t) = \gamma I(t)</math>.

===Анализ SIR-модели===
Исследуя полученную динамическую систему <math>(\ref{sys3})</math> SIR-модели, можно заметить, что по переменной <math>I</math> существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B особая точка] при <math>S = \frac{\gamma}{\beta} := \sigma</math>. При <math> S(t) > \sigma</math> число инфицированных растёт, и, наоборот, при <math> S(t) < \sigma</math> — убывает.
 
 
Однако из первого уравнения системы <math>(\ref{sys3})\ \ \dot{S}(t)\leqslant 0</math>, поэтому поведение системы разделяется на два существенно разных случая в зависимости от начального количества подверженных заболеванию <math> S_0 </math>:
# <math> S_0 < \sigma\ \Longrightarrow</math> эпидемии в системе нет, поскольку число заражённых монотонно уменьшается до нуля;
# <math> S_0 > \sigma\ \Longrightarrow</math> происходит эпидемия в системе.
 
[[Файл:SIR-s0.png|700px|центр|мини|Рис. 2. Временная эволюция численностей здоровых, заболевших и переболевших особей для SIR-модели. (а) В системе есть эпидемия с максимальным числом заболевших <math>I_{max}</math>. Параметры <math>\sigma = 500,\ \gamma = 5,</math> <math>N=1000,\ S_0=994,\ I_0=2.</math>
 (б) В системе не возникает эпидемия, так как <math>S_0<\sigma</math>. Параметры <math>\sigma = 800,\ \gamma = 5,\ N=1000,\ S_0=700.</math>]]

Рассмотрим далее случай, когда в системе возникает эпидемия. Важным прикладным результатом исследования такой системы является, например, '''максимальное количество инфицированных''', поскольку это помогает рассчитать эффективное число койко-мест в больницах во время пика эпидемии. На рис. 2 (а) можно наблюдать этот пик, обозначенный за <math>I_{max}</math>. Можно посчитать его аналитически, исследовав <math>\frac{dI}{dS}</math>::

<math>
\frac{dI}{dS} = \frac{\beta SI - \gamma I}{-\beta SI} = -1 + \frac{\sigma}{S}\ \ \Longrightarrow\ \ I=S-\sigma\ln S = const.
</math>
Последнее выражение является [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB первым интегралом] системы <math>(\ref{sys3})</math>, поэтому, учитывая начальные условия <math>S(0) = S_0,\ I(0) = I_0</math>, получается следующее::

<math>
I + S - \sigma\ln S = I_0 + S_0 - \sigma\ln S_0\ \ \Longrightarrow\ \ I_{max} = I_0 + S_0 - \sigma - \sigma \ln \frac{S_0}{\sigma}.
</math>
 
 
Помимо максимального числа заражённых полезно знать количество особей, '''так и не переболевших''' за всё время эпидемии. Для этого рассматривается отношение <math>\frac{dS}{dR}</math>::
<math>
\frac{dS}{dR} = \frac{-\beta SI}{\gamma I} = -\frac{1}{\gamma}S\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma\frac{dS}{S}=-dR\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma \ln |S| = -R+C\ \ \Longrightarrow\ \ S(t)=C_0 \exp \{-\sigma R\}.
</math>

Как уже было замечено выше, в силу замкнутости популяции <math>I(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} 0\ \ \Longrightarrow\ \ S(\infty) + R(\infty) = N.</math>

Тогда можно составить [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 трансцендентное уравнение]::
<math>S(\infty) = C_0 \exp \left\{ \frac{S(infty)-N}{\sigma} \right\},</math>
у которого существует единственное решение, и оно положительно. На рис. 2 можно наблюдать, что со временем количество так и не переболевших людей <math>S(\infty)</math> действительно стабилизируется.

==Формулировка SEIR-модели==
Существуют более продвинутые модели, учитывающие различные аспекты протекания болезни. Например, '''SEIR-модель''' включает в себя новый, четвёртый ящик <math>E(t)</math> — особи, находящиеся в латентном периоде заболевания, то есть уже заболевшие, но ещё не заразные (англ. ''exposed'').
[[Файл:SEIR-model.png|мини|Рис. 3. Диаграмма эволюции особи популяции в SEIR-модели]]
Описывающая такую динамику система выглядит следующим образом:
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{E}(t) = \beta S(t) I(t) - \alpha E(t),\\
\dot{I}(t) = \alpha E(t) - \gamma I(t),\\
\dot{R}(t) = \gamma I(t).
\end{cases}
\end{equation}
</math>

 
==Список литературы==
# Абрамова В.В. "Лекции по прикладным задачам системного анализа: задачам биоматематики", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Файл:SEIR-model.png

2025-01-22T21:43:59Z

Taisia23:

Схема, описывающая динамику SEIR-модели

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T21:41:54Z

Taisia23:

__TOC__
'''Математические модели эпидемиологии''' — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамические системы], описывающие распространение инфекционных популяций среди здоровых.
 
 
Не все заболевания рассматриваются в рамках такого исследования: моделируются инфекции, вызываемые микропаразитами. В таком случае можно пренебречь динамикой каждого паразита (в отличие от случая макропаразитов), поскольку заболевание протекает у инфицированных с одинаковым характером. Поэтому обладания информацией о динамике здоровой популяции и заражённой достаточно для анализа модели.

==Общая формулировка SIR-модели==
Одна из простейших моделей распространения эпидемий — '''SIR-модель'''. Это модель ''ящикового вида'', в которой все особи популяции разделяются на группы — ''"ящики"'', — внутри которых особи неразличимы.
 
 
[[Файл:SIR-model.png|мини|Рис. 1. Диаграмма эволюции особи популяции в SIR-модели]]
В SIR-модели все особи поделены на 3 группы:
# <math>S(t)</math> — подверженные заболеванию особи (от англ. ''susceptible'')
# <math>I(t)</math> — заражённые особи (от англ. ''infected'')
# <math>R(t)</math> — переболевшие (от англ. ''resistant'')
 
Важно отметить, что ящиковая модель, в том числе и SIR-модель, подразумевает собой '''замкнутую популяцию''', в которой не происходят процессы рождаемости и смертности. Поэтому на введённые классы можно выписать ограничение:
<math> S + I + R = N, </math>
где <math> N </math> — общее число особей популяции.
 
 
'''''Замечание.''''' Из замкнутости популяции и характера эволюции особи можно сделать вывод, что с течением времени "ящик" <math>I</math> заражённых особей станет пустым.

==Исследование SIR-модели==
===Функция инфективности===
Для анализа сформулированной модели вводится '''функция инфективности''' <math>A(\tau)</math>, которая характеризует вероятность того, что произойдёт заражение индивида при контакте с заражённым индивидом <math>\tau</math> единиц времени назад.

В общем виде функция инфективности выглядит следующим образом::
<math>
A(\tau) =
\begin{equation}
\begin{cases}
c \cdot p,\ \ t \in [T_1,\ T_2]\\
0,\ \ \text{иначе}.
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>

Здесь <math>p</math> — вероятность заражения, а <math>c</math> — среднее число контактов в единицу времени. Промежуток времени <math>t \in [T_1,\ T_2]</math> — окно, в течение которого индивид заразен.
 
 
Таким образом, в частном случае <math>A(\tau)</math> можно ввести так::
<math> A(\tau) = \underbrace{\beta N}_{c} \cdot \underbrace{\exp\{ -\gamma\tau \} }_{p},\ \ \beta=const>0,</math>
то есть промежуток времени для заражения других особей [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 распределен экспоненциально] со средним <math>\frac{1}{\gamma}</math>. Следовательно, средняя длина промежутка времени, в течение которого индивид заразен, равна <math>\frac{1}{\gamma}</math>.
 
 
'''''Замечание.''''' Введя подобным образом функцию инфективности, получают, что число контактов растёт линейно с общим объёмом популяции <math>N</math>, что, вообще говоря, является довольно грубым допущением. Однако оно необходимо для упрощения исследования и его наглядности.

===Получение аналитического вида SIR-модели===
Рассмотрим ещё одну величину <math>i(t)</math> — число новых заболевших в момент времени <math>t</math>. Таким образом, <math>i(t) = -\dot{S}(t)</math>.

При этом <math>i(t)</math> можно выразить через уже введённую функцию инфективности::
<math>i(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) i(t-\tau) d\tau.</math>

Интеграл в правой части можно трактовать как среднее число "удачных" контактов (т.е. таких, при которых заражение произошло). Причём, в силу выведенной связи на <math>i(t)</math> и <math>S(t)</math> можно получить следующее::
<math>
\begin{equation}
\dot{S}(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau. \label{sys2}
\end{equation}
</math>
 
 
Далее вводится <math>I(t)</math> следующим образом::
<math> I(t) = -\frac{1}{\beta} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau\ =\ \{s:=t-\tau\}\ =\
-\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-s) \dot{S}(s) ds\ =\ \{ \tau:=s\}\ =\ -\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau.</math>
С учётом того, что функция инфективности <math> A(\tau) </math> введена так, что <math> \dot{A}(\tau) = -\gamma A(\tau)</math>, [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC) продифференцируем полученное равенство по параметру] <math>t</math>::
<math>
\dot{I}(t) = -\frac{1}{\beta} A(0) \dot{S}(t) + \frac{1}{\beta} \underbrace{A(\infty)}_{= 0}\dot{S}(-\infty) - \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t \left( -\gamma A(t-\tau) \dot{S}(\tau) \right) d\tau =
</math>
:
<math>
= -\frac{\beta N}{\beta}\dot{S}(t) + \gamma\cdot \underbrace{ \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau}_{= - I(t)} = \{ \text{в силу } (\ref{sys2}) \} = \underbrace{-\frac{N S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau}_{\beta SI} - \gamma I(t) = \beta S(t)I(t) - \gamma I(t).
</math>

Таким образом, для <math>I(t)</math> получается следующее уравнение динамики — <math> \dot{I}(t) = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) = I(t) \left( \beta S(t) - \gamma \right)</math>.
 
 
Итоговая динамическая система, описывающая SIR-модель, выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{I}(t) = I(t)\left( \beta S(t) - \gamma \right),\\
\dot{S}(t) + \dot{I}(t) + \dot{R}(t) = 0.
\end{cases} \label{sys3}
\end{equation}
</math>
Последнее уравнение системы следует из её замкнутости, упомянутой выше. Причём из системы <math>(\ref{sys3})</math> можно выразить и динамику класса переболевших — <math> \dot{R}(t) = \gamma I(t)</math>.

===Анализ SIR-модели===
Исследуя полученную динамическую систему <math>(\ref{sys3})</math> SIR-модели, можно заметить, что по переменной <math>I</math> существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B особая точка] при <math>S = \frac{\gamma}{\beta} := \sigma</math>. При <math> S(t) > \sigma</math> число инфицированных растёт, и, наоборот, при <math> S(t) < \sigma</math> — убывает.
 
 
Однако из первого уравнения системы <math>(\ref{sys3})\ \ \dot{S}(t)\leqslant 0</math>, поэтому поведение системы разделяется на два существенно разных случая в зависимости от начального количества подверженных заболеванию <math> S_0 </math>:
# <math> S_0 < \sigma\ \Longrightarrow</math> эпидемии в системе нет, поскольку число заражённых монотонно уменьшается до нуля;
# <math> S_0 > \sigma\ \Longrightarrow</math> происходит эпидемия в системе.
 
[[Файл:SIR-s0.png|700px|центр|мини|Рис. 2. Временная эволюция численностей здоровых, заболевших и переболевших особей для SIR-модели. (а) В системе есть эпидемия с максимальным числом заболевших <math>I_{max}</math>. Параметры <math>\sigma = 500,\ \gamma = 5,</math> <math>N=1000,\ S_0=994,\ I_0=2.</math>
 (б) В системе не возникает эпидемия, так как <math>S_0<\sigma</math>. Параметры <math>\sigma = 800,\ \gamma = 5,\ N=1000,\ S_0=700.</math>]]

Рассмотрим далее случай, когда в системе возникает эпидемия. Важным прикладным результатом исследования такой системы является, например, '''максимальное количество инфицированных''', поскольку это помогает рассчитать эффективное число койко-мест в больницах во время пика эпидемии. На рис. 2 (а) можно наблюдать этот пик, обозначенный за <math>I_{max}</math>. Можно посчитать его аналитически, исследовав <math>\frac{dI}{dS}</math>::

<math>
\frac{dI}{dS} = \frac{\beta SI - \gamma I}{-\beta SI} = -1 + \frac{\sigma}{S}\ \ \Longrightarrow\ \ I=S-\sigma\ln S = const.
</math>
Последнее выражение является [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB первым интегралом] системы <math>(\ref{sys3})</math>, поэтому, учитывая начальные условия <math>S(0) = S_0,\ I(0) = I_0</math>, получается следующее::

<math>
I + S - \sigma\ln S = I_0 + S_0 - \sigma\ln S_0\ \ \Longrightarrow\ \ I_{max} = I_0 + S_0 - \sigma - \sigma \ln \frac{S_0}{\sigma}.
</math>
 
 
Помимо максимального числа заражённых полезно знать количество особей, '''так и не переболевших''' за всё время эпидемии. Для этого рассматривается отношение <math>\frac{dS}{dR}</math>::
<math>
\frac{dS}{dR} = \frac{-\beta SI}{\gamma I} = -\frac{1}{\gamma}S\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma\frac{dS}{S}=-dR\ \ \Longrightarrow\ \ \sigma \ln |S| = -R+C\ \ \Longrightarrow\ \ S(t)=C_0 \exp \{-\sigma R\}.
</math>

Как уже было замечено выше, в силу замкнутости популяции <math>I(t)\xrightarrow[t\to\infty]{} 0\ \ \Longrightarrow\ \ S(\infty) + R(\infty) = N.</math>

Тогда можно составить [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 трансцендентное уравнение]::
<math>S(\infty) = C_0 \exp \left\{ \frac{S(infty)-N}{\sigma} \right\},</math>
у которого существует единственное решение, и оно положительно. На рис. 2 можно наблюдать, что со временем количество так и не переболевших людей <math>S(\infty)</math> действительно стабилизируется.

==Формулировка SEIR-модели==
Существуют более продвинутые модели, учитывающие различные аспекты протекания болезни. Например, '''SEIR-модель''' включает в себя новый, четвёртый ящик <math>E(t)</math> — особи, находящиеся в латентном периоде заболевания, то есть уже заболевшие, но ещё не заразные (англ. ''exposed'').

Описывающая такую динамику система выглядит следующим образом:
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{E}(t) = \beta S(t) I(t) - \alpha E(t),\\
\dot{I}(t) = \alpha E(t) - \gamma I(t),\\
\dot{R}(t) = \gamma I(t).
\end{cases}
\end{equation}
</math>

==Список литературы==
# Абрамова В.В. "Лекции по прикладным задачам системного анализа: задачам биоматематики", 2024.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011.

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T21:14:07Z

Taisia23:

__TOC__
'''Математические модели эпидемиологии''' — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамические системы], описывающие распространение инфекционных популяций среди здоровых.
 
 
Не все заболевания рассматриваются в рамках такого исследования: моделируются инфекции, вызываемые микропаразитами. В таком случае можно пренебречь динамикой каждого паразита (в отличие от случая макропаразитов), поскольку заболевание протекает у инфицированных с одинаковым характером. Поэтому обладания информацией о динамике здоровой популяции и заражённой достаточно для анализа модели.

==Общая формулировка SIR-модели==
Одна из простейших моделей распространения эпидемий — '''SIR-модель'''. Это модель ''ящикового вида'', в которой все особи популяции разделяются на группы — ''"ящики"'', — внутри которых особи неразличимы.
 
 
[[Файл:SIR-model.png|мини|Рис. 1. Диаграмма эволюции особи популяции в SIR-модели]]
В SIR-модели все особи поделены на 3 группы:
# <math>S(t)</math> — подверженные заболеванию особи (от англ. ''susceptible'')
# <math>I(t)</math> — заражённые особи (от англ. ''infected'')
# <math>R(t)</math> — переболевшие (от англ. ''resistant'')
 
Важно отметить, что ящиковая модель, в том числе и SIR-модель, подразумевает собой '''замкнутую популяцию''', в которой не происходят процессы рождаемости и смертности. Поэтому на введённые классы можно выписать ограничение:
<math> S + I + R = N, </math>
где <math> N </math> — общее число особей популяции.
 
 
'''''Замечание.''''' Из замкнутости популяции и характера эволюции особи можно сделать вывод, что с течением времени "ящик" <math>I</math> заражённых особей станет пустым.

==Исследование SIR-модели==
===Функция инфективности===
Для анализа сформулированной модели вводится '''функция инфективности''' <math>A(\tau)</math>, которая характеризует вероятность того, что произойдёт заражение индивида при контакте с заражённым индивидом <math>\tau</math> единиц времени назад.

В общем виде функция инфективности выглядит следующим образом::
<math>
A(\tau) =
\begin{equation}
\begin{cases}
c \cdot p,\ \ t \in [T_1,\ T_2]\\
0,\ \ \text{иначе}.
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>

Здесь <math>p</math> — вероятность заражения, а <math>c</math> — среднее число контактов в единицу времени. Промежуток времени <math>t \in [T_1,\ T_2]</math> — окно, в течение которого индивид заразен.
 
 
Таким образом, в частном случае <math>A(\tau)</math> можно ввести так::
<math> A(\tau) = \underbrace{\beta N}_{c} \cdot \underbrace{\exp\{ -\gamma\tau \} }_{p},\ \ \beta=const>0,</math>
то есть промежуток времени для заражения других особей [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 распределен экспоненциально] со средним <math>\frac{1}{\gamma}</math>. Следовательно, средняя длина промежутка времени, в течение которого индивид заразен, равна <math>\frac{1}{\gamma}</math>.
 
 
'''''Замечание.''''' Введя подобным образом функцию инфективности, получают, что число контактов растёт линейно с общим объёмом популяции <math>N</math>, что, вообще говоря, является довольно грубым допущением. Однако оно необходимо для упрощения исследования и его наглядности.

===Получение аналитического вида SIR-модели===
Рассмотрим ещё одну величину <math>i(t)</math> — число новых заболевших в момент времени <math>t</math>. Таким образом, <math>i(t) = -\dot{S}(t)</math>.

При этом <math>i(t)</math> можно выразить через уже введённую функцию инфективности::
<math>i(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) i(t-\tau) d\tau.</math>

Интеграл в правой части можно трактовать как среднее число "удачных" контактов (т.е. таких, при которых заражение произошло). Причём, в силу выведенной связи на <math>i(t)</math> и <math>S(t)</math> можно получить следующее::
<math>
\begin{equation}
\dot{S}(t) = \frac{S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau. \label{sys2}
\end{equation}
</math>
 
 
Далее вводится <math>I(t)</math> следующим образом::
<math> I(t) = -\frac{1}{\beta} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau\ =\ \{s:=t-\tau\}\ =\
-\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-s) \dot{S}(s) ds\ =\ \{ \tau:=s\}\ =\ -\frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau.</math>
С учётом того, что функция инфективности <math> A(\tau) </math> введена так, что <math> \dot{A}(\tau) = -\gamma A(\tau)</math>, [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D1%81_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC) продифференцируем полученное равенство по параметру] <math>t</math>::
<math>
\dot{I}(t) = -\frac{1}{\beta} A(0) \dot{S}(t) + \frac{1}{\beta} \underbrace{A(\infty)}_{= 0}\dot{S}(-\infty) - \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t \left( -\gamma A(t-\tau) \dot{S}(\tau) \right) d\tau =
</math>
:
<math>
= -\frac{\beta N}{\beta}\dot{S}(t) + \gamma\cdot \underbrace{ \frac{1}{\beta} \int\limits_{-\infty}^t A(t-\tau) \dot{S}(\tau) d\tau}_{= - I(t)} = \{ \text{в силу } (\ref{sys2}) \} = \underbrace{-\frac{N S(t)}{N} \int\limits_0^{\infty} A(\tau) \dot{S}(t-\tau) d\tau}_{\beta SI} - \gamma I(t) = \beta S(t)I(t) - \gamma I(t).
</math>

Таким образом, для <math>I(t)</math> получается следующее уравнение динамики — <math> \dot{I}(t) = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) = I(t) \left( \beta S(t) - \gamma \right)</math>.
 
 
Итоговая динамическая система, описывающая SIR-модель, выглядит следующим образом::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{S}(t) = - \beta S(t) I(t),\\
\dot{I}(t) = I(t)\left( \beta S(t) - \gamma \right),\\
\dot{S}(t) + \dot{I}(t) + \dot{R}(t) = 0.
\end{cases} \label{sys3}
\end{equation}
</math>
Последнее уравнение системы следует из её замкнутости, упомянутой выше. Причём из системы <math>(\ref{sys3})</math> можно выразить и динамику класса переболевших — <math> \dot{R}(t) = \gamma I(t)</math>.

===Анализ SIR-модели===
Исследуя полученную динамическую систему <math>(\ref{sys3})</math> SIR-модели, можно заметить, что по переменной <math>I</math> существует [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B особая точка] при <math>S = \frac{\gamma}{\beta} := \sigma</math>. При <math> S(t) > \sigma</math> число инфицированных растёт, и, наоборот, при <math> S(t) < \sigma</math> — убывает.
 
 
Однако из первого уравнения системы <math>(\ref{sys3})\ \ \dot{S}(t)\leqslant 0</math>, поэтому поведение системы разделяется на два существенно разных случая в зависимости от начального количества подверженных заболеванию <math> S_0 </math>:
# <math> S_0 < \sigma\ \Longrightarrow</math> эпидемии в системе нет, поскольку число заражённых монотонно уменьшается до нуля;
# <math> S_0 > \sigma\ \Longrightarrow</math> происходит эпидемия в системе.
 
[[Файл:SIR-s0.png|700px|центр|мини|Рис. 2. Временная эволюция численностей здоровых, заболевших и переболевших особей для SIR-модели. (а) В системе есть эпидемия с максимальным числом заболевших <math>I_{max}</math>. Параметры <math>\sigma = 500,\ \gamma = 5,</math> <math>N=1000,\ S_0=994,\ I_0=2.</math>
 (б) В системе не возникает эпидемия, так как <math>S_0<\sigma</math>. Параметры <math>\sigma = 800,\ \gamma = 5,\ N=1000,\ S_0=700.</math>]]

Рассмотрим далее случай, когда в системе возникает эпидемия. Важным прикладным результатом исследования такой системы является, например, максимальное количество инфицированных, поскольку это помогает рассчитать эффективное число койко-мест в больницах во время пика эпидемии. На рис. 2 (а) можно наблюдать этот пик, обозначенный за <math>I_{max}</math>. Можно посчитать его аналитически, исследовав <math>\frac{dI}{dS}</math>::

<math>
\frac{dI}{dS} = \frac{\beta SI - \gamma I}{-\beta SI} = -1 + \frac{\sigma}{S}\ \ \Longrightarrow\ \ I=S-\sigma\ln S = const.
</math>
Последнее выражение является [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB первым интегралом] системы <math>(\ref{sys3})</math>, поэтому, учитывая начальные условия <math>S(0) = S_0,\ I(0) = I_0</math>, получается следующее::

<math>
I + S - \sigma\ln S = I_0 + S_0 - \sigma\ln S_0\ \ \Longrightarrow\ \ I_{max} = I_0 + S_0 - \sigma - \sigma \ln \frac{S_0}{\sigma}.
</math>

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T20:52:51Z

Taisia23:

Файл:SIR-s0.png

2025-01-22T20:42:02Z

Taisia23:

Два графика динамики SIR-модели, отображающие два принципиально разных случая: есть эпидемия в системе, нет эпидемии

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T18:24:35Z

Taisia23:

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T18:03:36Z

Taisia23:

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T14:55:39Z

Taisia23:

Математическая модель распространения эпидемий

2025-01-22T14:39:03Z

Taisia23: Новая страница: «__TOC__ '''Математические модели эпидемиологии''' — [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0...»

Файл:SIR-model.png

2025-01-22T13:32:46Z

Taisia23:

модель SIR

Циклы в системах с дискретным временем. Теорема Шарковского

2023-12-26T11:17:19Z

Taisia23:

__TOC__
==Понятие цикла==
Пусть задана следующая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамическая система] с дискретным временем::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
v_{t+1}=f(v_t),\ \ t=0,1,2,...\\
v|_{t=0}=v_0,
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>
где <math> f: v \mapsto f(v),\ v\in{U}\subset\mathbb R^n,\ f:U\to U </math>. 
 
 
'''''Определение 1.''''' Несовпадающие точки <math>v_1,v_2,...,v_k</math> фазового пространства системы <math>(\ref{sys1})</math> образуют '''цикл длины''' <math>k</math>, если <math>f(v_1)=v_2,\ f(v_2)=v_3,...,\ f(v_{k-1})=v_k,\ f(v_k)=v_1</math>.
 
Обозначим за <math>f^k</math> <math>k</math>-ю степень отображения <math>f</math>: $$f^k(v) = \overbrace{f(f(...f(f}^{k\ раз}(v))))$$. Тогда если в системе <math>(\ref{sys1})</math> есть цикл длины <math>k</math>, где <math> v_i</math> — неподвижные точки этого цикла, <math>i\in\overline{1,k}</math>, то:
# <math>f(v_i)=f^{i-1}(v_1)</math>, то есть любая точка цикла получается из первой (вообще говоря, любой) его точки несколькими итерациями применения отображения <math>f</math>;
# <math>f^k(v_i)=v_i</math>, что как раз показывает цикличность этого отображения — через <math>k</math> итераций мы возвращаемся в ту же точку, откуда стартовали, вне зависимости от самой точки.

==Устойчивость цикла==
Свойство устойчивости цикла неразрывно связано с терминами устойчивости составляющих его точек.
 
 
'''''Определение 2.'''''
Цикл длины <math>k</math> называют '''устойчивым''', если устойчивы составляющие его [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B неподвижные точки] отображения <math>f^k</math>.
 
 
Вычислим для начала для <math>1</math>-й неподвижной точки <math>v_1</math> производную отображения <math>f^k</math>::
<math>(f^k(v_1))'=\left(f(f^{k-1}(v_1))\right)'=[по\ формуле\ производной\ сложной\ функции]=
f'(f^{k-1}(v_1)) \cdot (f^{k-1}(v_1))' = f'(f^{k-1}(v_1)) \cdot f'(f^{k-2}(v_1)) \cdot (f^{k-2}(v_1))' =
</math>
:
<math>
=\ ...\ = f'(\overbrace{f^{k-1}(v_1)}^{v_k}) \cdot f'(\overbrace{f^{k-2}(v_1)}^{v_{k-1}}) \cdot ... \cdot f'(v_1)\ =\ f'(v_k)f'(v_{k-1}) \cdot ... \cdot f'(v_1).
</math>

Как уже было описано выше, рассматриваемая конструкция обладает свойством цикличности. Это можно переформулировать как симметричность цикла относительно любой его точки. Поэтому будет получен тот же результат, если будем считать производную <math>f^k</math> не в точке <math>v_1</math>, а в любой другой точке цикла. Также не стоит забывать, что для проверки неподвижной точки на устойчивость необходимо взять модуль полученной производной и сравнить его с единицей.
 
 
Таким образом, для проверки цикла на устойчивость проводится следующее сравнение::
<math>|f'(v_k)f'(v_{k-1})...f'(v_1)|\vee 1.</math>
Выводы о характере устойчивости, в зависимости от полученного неравенства, можно сделать следующие:
# если получен знак $$<$$, то устойчивость цикла асимптотическая;
# если получен знак $$>$$, то цикл является неустойчивым;
# в противном случае, если получен знак равенства, то требуются дополнительные исследования устойчивости цикла.

==Теорема Шарковского==
При анализе существования циклов разных длин полезна теорема [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9,_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80_%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87 Шарковского]. Прежде, чем её формулировать, введём упорядочивание всех натуральных чисел особым образом:
 
 
$$
\begin{array}{ll}
3\succ5\succ7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, кроме 1} \\
\succ 2\cdot3\succ2\cdot5\succ2\cdot7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, умноженные на 2, кроме 1} \\
\succ 2^2\cdot3\succ2^2\cdot5\succ2^2\cdot7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, умноженные на } 2^2\text{, кроме 1} \\
\succ 2^3\cdot3\succ2^3\cdot5\succ2^3\cdot7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, умноженные на } 2^3\text{, кроме 1} \\
\succ...\succ & \\
\succ2^3\succ2^2\succ2\succ1. &
\end{array}
$$
 
 
'''''Определение 2.''''' Такое упорядочивание называют упорядочиванием '''по Шарковскому'''.
 
 
'''''Теорема Шарковского.'''''
Пусть функция <math>f</math>, задающая систему <math>(\ref{sys1})</math>, [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F непрерывна]. Если в такой дискретной динамической системе есть цикл длины <math>k</math>, то в ней есть и циклы любых длин, стоящих после <math>k</math> в порядке по Шарковскому.
 
Доказательство этой теоремы можно найти в [https://www.math.arizona.edu/~dwang/BurnsHasselblattRevised-1.pdf].
 
 
'''''Замечание.''''' Теорема Шарковского ничего не говорит об устойчивости каких-либо циклов в исследуемой системе.
 
 
'''''Следствие 1.'''''
Если в системе есть цикл длины <math>3</math>, то есть и цикл любой другой длины, что рождает хаос в системе.
 
 
'''''Следствие 2.'''''
Если в системе нет циклов длины <math>2</math>, то циклы в системе отсутствуют вовсе.
 
 
Поэтому на начальном этапе исследования системы на наличие циклов особый интерес представляют циклы именно этих длин.

==Пример исследования системы на предмет циклов==
[[Файл:F(f(u)), r = 2, 3 экстремума.png|мини|3 точки экстремума функции f(f(v)), значение параметра r=2.]]
[[Файл:F(f(v)), r = 1.5, 3 экстремума.png|мини|3 точки экстремума функции f(f(v)), значение параметра r=1.5.]]
[[Файл:F(f(u)), r = 2, 1 экстремум.png|мини|1 точка экстремума функции f(f(v)), значение параметра r=1.2.]]
Продемонстрируем применение определения цикла на отображении, относящемся к классу так называемых [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8_%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&action=edit&redlink=1 ''логистических отображений'']. Рассматриваемое нами задаётся следующим уравнением::
<math> v_{t+1} = rv_t(1-v_t^3).</math>
Уравнение для поиска [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B ''неподвижной точки''] тогда будет выглядеть следующим образом::
<math>v^* = rv^*(1-{v^*}^3).</math>

Решим это уравнение::
<math>
v^*(1 - r + r{v^*}^3) = 0 \Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
v^* = 0, \\
v^* = \sqrt[3]{1-\frac{1}{r}}. \\
\end{array}\right.
</math>
Таким образом, получены две неподвижные точки: $$v^*_1 = 0,\ v^*_2 = \sqrt[3]{1-\frac{1}{r}}$$.
 
===== Наличие цикла длины 2 =====
Для проверки наличия цикла длины $$2$$ необходимо решить уравнение $$f(f(v))=v$$, причем найти корни, не совпадающие с уже найденными $$v_1^*$$ и $$v_2^*$$.:
<math>
f(f(v))=v \ \ \Rightarrow \ \ r\left(rv\left(1-v^3\right)\right)\left(1-\left(rv\left(1-v^3\right)\right)^3\right)=v \ \ \Rightarrow
\ \ v\left( r^2\left(1-v^3\right)\left(1-\left(rv\left(1-v^3\right)\right)^3\right) - 1 \right) = 0.
</math>
Аналитическое получение решения данного уравнения достаточно трудоёмко. В таких случаях помогает качественный анализ функции $$g(v)=f(f(v))$$. Её производная по $$v$$ после упрощений выглядит следующим образом::
<math>
\frac{\partial g(v)}{\partial v} = r^2 v (1 - v^3) (1 - (r v (1 - v^3))^3).
</math>
Она всегда обращается в ноль при $$v=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$$ — в этой точке всегда будем иметь экстремум функции $$g(v)=f(f(v))$$. Два других возникают по разные стороны от $$v=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$$ при $$r>\frac{4}{3}$$. При $$r\in(0,\frac{4}{3}]$$ у $$g(v)$$ всего $$1$$ экстремальная точка. На графиках справа наглядно представлено изменение количества точек, где производная обращается в $$0$$, в зависимости от $$r$$.
 
 
Вернемся к уравнению $$g(v)=v$$. У него всегда есть $$2$$ решения, совпадающих с $$v_1^*$$ и $$v_2^*$$. Значит, для существования цикла длины $$2$$ необходимо существование ещё двух действительных решений этого уравнения. При этом из проведенного исследования видно, что $$r$$ должно быть как минимум больше $$\frac{4}{3}$$, иначе будет только $$2$$ пересечения с биссектрисой первой координатной четверти — в уже упомянутых точках. Численно можно установить, что при $$r>\tilde{r}\approx \frac{5}{3}$$ решений у рассматриваемого уравнения будет уже $$4$$. Значит, при таких $$r$$ в системе будет образовываться цикл длины $$2$$. При $$r\leqslant\tilde{r}$$ цикла длины $$2$$ образовываться не будет.
 
 
Приведём пример цикла длины $$2$$ при $$r=2$$. Его составляют две точки:
$$v_{1}' = \frac{1}{2} \sqrt[3]{7 - \sqrt{13} - \sqrt{2 (\sqrt{13} - 1)}}$$ и $$v_{2}' = \frac{1}{2} \sqrt[3]{7 - \sqrt{13} + \sqrt{2 (\sqrt{13} - 1)}}$$. Этот случай проиллюстрирован на графике ниже.
 
[[Файл:Цикл длины 2 в примере, r=2.png|мини|центр|Наличие цикла длины 2 при r=2. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(v)).]]
 

===== Устойчивость цикла длины 2 =====
Проверим цикл длины $$2$$ системы на устойчивость. Для этого надо исследовать функцию $$q(v, r) = f'(v_{r,1}')f'(v_{r,2}')$$ (где $$v_{r,i}'$$ — $$i$$-я точка цикла, записанная в общем виде для произвольного $$r$$) и проверим, при каких $$r$$ она будет лежать в отрезке $$[-1,1]$$. Значения $$r$$ берутся из луча $$(\frac{5}{3},+\infty)$$ — при этих значениях параметра существует цикл длины $$2$$.
 
 
В данном примере цикл длины $$2$$ неустойчив на всей области определения, поскольку $$|q(v, r)| > 60\ \forall r$$ из описанного промежутка, что нетрудно проверить. В качестве иллюстрации неустойчивости цикла при $$r=2$$ приведен рисунок ниже, где в качестве начальной точки взята точка $$\tilde{v} = v_{1}' - 0.01$$. При небольшом смещении от начального положения цикла траектории не приближаются к траекториям цикла.
[[Файл:Неустойчивость цикла длины 2, r=2.png|мини|центр|Неустойчивость цикла длины 2 при r=2. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(v)).]]

===== Наличие цикла длины 3 =====
[[Файл:Цикл длины 3 в примере, r=1.981.png|мини|справа|Наличие цикла длины 3 при r=1.981. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(f(v))).]]
Аналогично действиям при нахождении цикла длины $$2$$, необходимо найти решения уравнения $$f^{(3)}(v)=v$$, не совпадающие с неподвижными точками заданной системы. Аналитически это уравнение решается достаточно сложно, поэтому полезным будет применить графический подход, аналогичный уже рассмотренному.
 
 
При $$r\approx \overline{r}=1.981$$ график $$f^{(3)}(v)$$ касается $$h(v)=v$$ в $$3$$-х точках одновременно. При этом возникает цикл длины $$3$$ (график справа), состоящий из точек $$\{0.3383,0.6442,0.9352\}$$. При $$r\in(1,\overline{r})$$ в заданной системе цикла длины $$3$$ не существует.
 
 
Если $$r>\overline{r}$$, то решений у исследуемого нами уравнения будет $$6$$. При таких значениях параметра будут образовываться $$2$$ цикла длины $$3$$. На графиках ниже представлены $$2$$ цикла для $$r=2.06$$: $$\{0.277252,0.558967,0.950372\},$$ и $$\{0.366477,0.717785,0.931817\}$$.
[[Файл:Циклы длины 3 в примере, r=2.06.png|600px|мини|центр|Наличие двух циклов длины 3 при r=2.06. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(f(v))).]]

===== Устойчивость цикла длины 3 =====
Для проверки цикла длины $$3$$ на устойчивость проведем аналогичные анализу на устойчивость цикла длины $$2$$ действия. Исследуется функция $$q(v, r) = f'(v_{r,1}')f'(v_{r,2}')f'(v_{r,3}')$$, ищутся такие $$r$$, при которых её значения будут лежать в отрезке $$[-1,1]$$.
 
Проведя эти рассуждения, получается, что при $$r\in[1.981,+\infty)$$ циклы длины $$3$$ будут неустойчивыми. Это иллюстрирует рисунок справа — траектории цикла, выпущенного вблизи одной из его точек (из $$v=0.28$$) не приближаются к траекториям цикла, наблюдаемого на предыдущем рисунке.
[[Файл:Неустойчивость цикла длины 3, r=2.06.png|мини|центр|Неустойчивость цикла длины 3 при r=2.06. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(v)).]]

===== Существование циклов других длин =====
Согласно приведенной ранее теореме Шарковского и её следствиям, в рассматриваемой системе имеются циклы всех возможных длин при соответствующих им значениях параметра $$r$$, так как существует цикл длины $$3$$. При этом из существования цикла длины $$3$$ действительно следует существование цикла длины $$2$$ — область существования цикла длины $$3$$ входит в область существования в системе цикла длины $$2$$.

==Список литературы==
# К. Бернс, Б. Хассельблатт, [https://www.math.arizona.edu/~dwang/BurnsHasselblattRevised-1.pdf "Теорема Шарковского: естественное прямое доказательство"], 2008.
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011

Циклы в системах с дискретным временем. Теорема Шарковского

2023-12-25T11:46:23Z

Taisia23:

__TOC__
==Понятие цикла==
Пусть задана следующая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамическая система] с дискретным временем::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
v_{t+1}=f(v_t),\ \ t=0,1,2,...\\
v|_{t=0}=v_0,
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>
где <math> f: v \mapsto f(v),\ v\in{U}\subset\mathbb R^n,\ f:U\to U </math>. 
 
 
'''''Определение 1.''''' Несовпадающие точки <math>v_1,v_2,...,v_k</math> фазового пространства системы <math>(\ref{sys1})</math> образуют '''цикл длины''' <math>k</math>, если <math>f(v_1)=v_2,\ f(v_2)=v_3,...,\ f(v_{k-1})=v_k,\ f(v_k)=v_1</math>.
 
Обозначим за <math>f^k</math> <math>k</math>-ю степень отображения <math>f</math>: $$f^k(v) = \overbrace{f(f(...f(f}^{k\ раз}(v))))$$. Тогда если в системе <math>(\ref{sys1})</math> есть цикл длины <math>k</math>, где <math> v_i</math> — неподвижные точки этого цикла, <math>i\in\overline{1,k}</math>, то:
# <math>f(v_i)=f^{i-1}(v_1)</math>, то есть любая точка цикла получается из первой (вообще говоря, любой) его точки несколькими итерациями применения отображения <math>f</math>;
# <math>f^k(v_i)=v_i</math>, что как раз показывает цикличность этого отображения — через <math>k</math> итераций мы возвращаемся в ту же точку, откуда стартовали, вне зависимости от самой точки.

==Устойчивость цикла==
Свойство устойчивости цикла неразрывно связано с терминами устойчивости составляющих его точек.
 
 
'''''Определение 2.'''''
Цикл длины <math>k</math> называют '''устойчивым''', если устойчивы составляющие его [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B неподвижные точки] отображения <math>f^k</math>.
 
 
Вычислим для начала для <math>1</math>-й неподвижной точки <math>v_1</math> производную отображения <math>f^k</math>::
<math>(f^k(v_1))'=\left(f(f^{k-1}(v_1))\right)'=[по\ формуле\ производной\ сложной\ функции]=
f'(f^{k-1}(v_1)) \cdot (f^{k-1}(v_1))' = f'(f^{k-1}(v_1)) \cdot f'(f^{k-2}(v_1)) \cdot (f^{k-2}(v_1))' =
</math>
:
<math>
=\ ...\ = f'(\overbrace{f^{k-1}(v_1)}^{v_k}) \cdot f'(\overbrace{f^{k-2}(v_1)}^{v_{k-1}}) \cdot ... \cdot f'(v_1)\ =\ f'(v_k)f'(v_{k-1}) \cdot ... \cdot f'(v_1).
</math>

Как уже было описано выше, рассматриваемая конструкция обладает свойством цикличности. Это можно переформулировать как симметричность цикла относительно любой его точки. Поэтому будет получен тот же результат, если будем считать производную <math>f^k</math> не в точке <math>v_1</math>, а в любой другой точке цикла. Также не стоит забывать, что для проверки неподвижной точки на устойчивость необходимо взять модуль полученной производной и сравнить его с единицей.
 
 
Таким образом, для проверки цикла на устойчивость проводится следующее сравнение::
<math>|f'(v_k)f'(v_{k-1})...f'(v_1)|\vee 1.</math>
Выводы о характере устойчивости, в зависимости от полученного неравенства, можно сделать следующие::
# если получен знак $$<$$, то устойчивость цикла асимптотическая;
# если получен знак $$>$$, то цикл является неустойчивым;
# в противном случае, если получен знак равенства, то требуются дополнительные исследования устойчивости цикла.

==Теорема Шарковского==
При анализе существования циклов разных длин полезна теорема [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9,_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80_%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87 Шарковского]. Прежде, чем её формулировать, введём упорядочивание всех натуральных чисел особым образом:
 
 
$$
\begin{array}{ll}
3\succ5\succ7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, кроме 1} \\
\succ 2\cdot3\succ2\cdot5\succ2\cdot7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, умноженные на 2, кроме 1} \\
\succ 2^2\cdot3\succ2^2\cdot5\succ2^2\cdot7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, умноженные на } 2^2\text{, кроме 1} \\
\succ 2^3\cdot3\succ2^3\cdot5\succ2^3\cdot7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, умноженные на } 2^3\text{, кроме 1} \\
\succ...\succ & \\
\succ2^3\succ2^2\succ2\succ1. &
\end{array}
$$
 
 
'''''Определение 2.''''' Такое упорядочивание называют упорядочиванием '''по Шарковскому'''.
 
 
'''''Теорема Шарковского.'''''
Пусть функция <math>f</math>, задающая систему <math>(\ref{sys1})</math>, [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F непрерывна]. Если в такой дискретной динамической системе есть цикл длины <math>k</math>, то в ней есть и циклы любых длин, стоящих после <math>k</math> в порядке по Шарковскому.
 
Доказательство этой теоремы можно найти в [https://www.math.arizona.edu/~dwang/BurnsHasselblattRevised-1.pdf (3)]
 
 
'''''Замечание.''''' Теорема Шарковского ничего не говорит об устойчивости каких-либо циклов в исследуемой системе.
 
 
'''''Следствие 1.'''''
Если в системе есть цикл длины <math>3</math>, то есть и цикл любой другой длины, что рождает хаос в системе.
 
 
'''''Следствие 2.'''''
Если в системе нет циклов длины <math>2</math>, то циклы в системе отсутствуют вовсе.
 
 
Поэтому на начальном этапе исследования системы на наличие циклов особый интерес представляют циклы именно этих длин.

==Пример исследования системы на предмет циклов==
[[Файл:F(f(u)), r = 2, 3 экстремума.png|мини|3 точки экстремума функции f(f(v)), значение параметра r=2.]]
[[Файл:F(f(v)), r = 1.5, 3 экстремума.png|мини|3 точки экстремума функции f(f(v)), значение параметра r=1.5.]]
[[Файл:F(f(u)), r = 2, 1 экстремум.png|мини|1 точка экстремума функции f(f(v)), значение параметра r=1.2.]]
Продемонстрируем применение определения цикла на отображении, относящемся к классу так называемых [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8_%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&action=edit&redlink=1 ''логистических отображений'']. Рассматриваемое нами задаётся следующим уравнением::
<math> v_{t+1} = rv_t(1-v_t^3).</math>
Уравнение для поиска [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B ''неподвижной точки''] тогда будет выглядеть следующим образом::
<math>v^* = rv^*(1-{v^*}^3).</math>

Решим это уравнение::
<math>
v^*(1 - r + r{v^*}^3) = 0 \Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
v^* = 0, \\
v^* = \sqrt[3]{1-\frac{1}{r}}. \\
\end{array}\right.
</math>
Таким образом, получены две неподвижные точки: $$v^*_1 = 0,\ v^*_2 = \sqrt[3]{1-\frac{1}{r}}$$.
 
===== Наличие цикла длины 2 =====
Для проверки наличия цикла длины $$2$$ необходимо решить уравнение $$f(f(v))=v$$, причем найти корни, не совпадающие с уже найденными $$v_1^*$$ и $$v_2^*$$.:
<math>
f(f(v))=v \ \ \Rightarrow \ \ r\left(rv\left(1-v^3\right)\right)\left(1-\left(rv\left(1-v^3\right)\right)^3\right)=v \ \ \Rightarrow
\ \ v\left( r^2\left(1-v^3\right)\left(1-\left(rv\left(1-v^3\right)\right)^3\right) - 1 \right) = 0.
</math>
Аналитическое получение решения данного уравнения достаточно трудоёмко. В таких случаях помогает качественный анализ функции $$g(v)=f(f(v))$$. Её производная по $$v$$ после упрощений выглядит следующим образом::
<math>
\frac{\partial g(v)}{\partial v} = r^2 v (1 - v^3) (1 - (r v (1 - v^3))^3).
</math>
Она всегда обращается в ноль при $$v=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$$ — в этой точке всегда будем иметь экстремум функции $$g(v)=f(f(v))$$. Два других возникают по разные стороны от $$v=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$$ при $$r>\frac{4}{3}$$. При $$r\in(0,\frac{4}{3}]$$ у $$g(v)$$ всего $$1$$ экстремальная точка. На графиках справа наглядно представлено изменение количества точек, где производная обращается в $$0$$, в зависимости от $$r$$.
 
 
Вернемся к уравнению $$g(v)=v$$. У него всегда есть $$2$$ решения, совпадающих с $$v_1^*$$ и $$v_2^*$$. Значит, для существования цикла длины $$2$$ необходимо существование ещё двух действительных решений этого уравнения. При этом из проведенного исследования видно, что $$r$$ должно быть как минимум больше $$\frac{4}{3}$$, иначе будет только $$2$$ пересечения с биссектрисой первой координатной четверти — в уже упомянутых точках. Численно можно установить, что при $$r>\tilde{r}\approx \frac{5}{3}$$ решений у рассматриваемого уравнения будет уже $$4$$. Значит, при таких $$r$$ в системе будет образовываться цикл длины $$2$$. При $$r\leqslant\tilde{r}$$ цикла длины $$2$$ образовываться не будет.
 
 
Приведём пример цикла длины $$2$$ при $$r=2$$. Его составляют две точки:
$$v_{1}' = \frac{1}{2} \sqrt[3]{7 - \sqrt{13} - \sqrt{2 (\sqrt{13} - 1)}}$$ и $$v_{2}' = \frac{1}{2} \sqrt[3]{7 - \sqrt{13} + \sqrt{2 (\sqrt{13} - 1)}}$$. Этот случай проиллюстрирован на графике ниже.
 
[[Файл:Цикл длины 2 в примере, r=2.png|мини|центр|Наличие цикла длины 2 при r=2. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(v)).]]
 

===== Устойчивость цикла длины 2 =====
Проверим цикл длины $$2$$ системы на устойчивость. Для этого надо исследовать функцию $$q(v, r) = f'(v_{r,1}')f'(v_{r,2}')$$ (где $$v_{r,i}'$$ — $$i$$-я точка цикла, записанная в общем виде для произвольного $$r$$) и проверим, при каких $$r$$ она будет лежать в отрезке $$[-1,1]$$. Значения $$r$$ берутся из луча $$(\frac{5}{3},+\infty)$$ — при этих значениях параметра существует цикл длины $$2$$.
 
 
В данном примере цикл длины $$2$$ неустойчив на всей области определения, поскольку $$|q(v, r)| > 60\ \forall r$$ из описанного промежутка, что нетрудно проверить. В качестве иллюстрации неустойчивости цикла при $$r=2$$ приведен рисунок ниже, где в качестве начальной точки взята точка $$\tilde{v} = v_{1}' - 0.01$$. При небольшом смещении от начального положения цикла траектории не приближаются к траекториям цикла.
[[Файл:Неустойчивость цикла длины 2, r=2.png|мини|центр|Неустойчивость цикла длины 2 при r=2. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(v)).]]

===== Наличие цикла длины 3 =====
[[Файл:Цикл длины 3 в примере, r=1.981.png|мини|справа|Наличие цикла длины 3 при r=1.981. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(f(v))).]]
Аналогично действиям при нахождении цикла длины $$2$$, необходимо найти решения уравнения $$f^{(3)}(v)=v$$, не совпадающие с неподвижными точками заданной системы. Аналитически это уравнение решается достаточно сложно, поэтому полезным будет применить графический подход, аналогичный уже рассмотренному.
 
 
При $$r\approx \overline{r}=1.981$$ график $$f^{(3)}(v)$$ касается $$h(v)=v$$ в $$3$$-х точках одновременно. При этом возникает цикл длины $$3$$ (график справа), состоящий из точек $$\{0.3383,0.6442,0.9352\}$$. При $$r\in(1,\overline{r})$$ в заданной системе цикла длины $$3$$ не существует.
 
 
Если $$r>\overline{r}$$, то решений у исследуемого нами уравнения будет $$6$$. При таких значениях параметра будут образовываться $$2$$ цикла длины $$3$$. На графиках ниже представлены $$2$$ цикла для $$r=2.06$$: $$\{0.277252,0.558967,0.950372\},$$ и $$\{0.366477,0.717785,0.931817\}$$.
[[Файл:Циклы длины 3 в примере, r=2.06.png|600px|мини|центр|Наличие двух циклов длины 3 при r=2.06. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(f(v))).]]

===== Устойчивость цикла длины 3 =====
Для проверки цикла длины $$3$$ на устойчивость проведем аналогичные анализу на устойчивость цикла длины $$2$$ действия. Исследуется функция $$q(v, r) = f'(v_{r,1}')f'(v_{r,2}')f'(v_{r,3}')$$, ищутся такие $$r$$, при которых её значения будут лежать в отрезке $$[-1,1]$$.
 
Проведя эти рассуждения, получается, что при $$r\in[1.981,+\infty)$$ циклы длины $$3$$ будут неустойчивыми. Это иллюстрирует рисунок справа — траектории цикла, выпущенного вблизи одной из его точек (из $$v=0.28$$) не приближаются к траекториям цикла, наблюдаемого на предыдущем рисунке.
[[Файл:Неустойчивость цикла длины 3, r=2.06.png|мини|центр|Неустойчивость цикла длины 3 при r=2.06. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым — h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(v)).]]

===== Существование циклов других длин =====
Согласно приведенной ранее теореме Шарковского и её следствиям, в рассматриваемой системе имеются циклы всех возможных длин при соответствующих им значениях параметра $$r$$, так как существует цикл длины $$3$$. При этом из существования цикла длины $$3$$ действительно следует существование цикла длины $$2$$ — область существования цикла длины $$3$$ входит в область существования в системе цикла длины $$2$$.

==Список литературы==
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011
# К. Бернс, Б. Хассельблатт, [https://www.math.arizona.edu/~dwang/BurnsHasselblattRevised-1.pdf "Теорема Шарковского: естественное прямое доказательство"], 2008.

Циклы в системах с дискретным временем. Теорема Шарковского

2023-12-24T14:17:37Z

Taisia23:

Несмотря на кажущуюся простоту, одномерные дискретные динамические системы могут иметь достаточно сложное поведение. В частности, скалярные динамические системы с дискретным временем могут иметь решения в виде циклов. Введём и исследуем понятие цикла в динамической системе с дискретным временем.
__TOC__
==Понятие цикла==
Пусть задана следующая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамическая система] с дискретным временем::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
N_{t+1}=f(N_t),\ \ t=0,1,2,...\\
N|_{t=0}=N_0,
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>
где <math> f: u \mapsto f(u),\ u\in{U}\subset\mathbb R^n,\ f:U\to U </math>. 
 
 
'''''Определение 1.''''' Несовпадающие точки <math>v_1,v_2,...,v_k</math> фазового пространства системы <math>(\ref{sys1})</math> образуют '''цикл длины''' <math>k</math>, если <math>f(v_1)=v_2,\ f(v_2)=v_3,...,\ f(v_{k-1})=v_k,\ f(v_k)=v_1</math>.
 
 
Обозначим за <math>f^k</math> <math>k</math>-ю степень отображения <math>f</math> (то есть его применение самого к себе <math>k</math> раз). Тогда если в системе <math>(\ref{sys1})</math> есть цикл длины <math>k</math>, где где <math> v_i</math> — неподвижные точки этого цикла, <math>i\in\overline{1,k}</math>, то:
# <math>f(v_i)=f^{i-1}(v_1)</math>, то есть любая точка цикла получается из первой (вообще говоря, любой) его точки несколькими итерациями применения отображения <math>f</math>;
# <math>f^k(v_i)=v_i</math>, что как раз показывает цикличность этого отображения — через <math>k</math> итераций мы возвращаемся в ту же точку, откуда стартовали, вне зависимости от самой точки.

==Устойчивость цикла==
Свойство устойчивости цикла неразрывно связано с терминами устойчивости составляющих его точек.
 
 
'''''Определение 2.'''''
Цикл длины <math>k</math> называют '''устойчивым''', если устойчивы составляющие его [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B неподвижные точки] отображения <math>f^k</math>.
 
 
Вычислим для начала для <math>1</math>-й неподвижной точки <math>v_1</math> производную отображения <math>f^k</math>::
<math>(f^k(v_1))'=\left(f(f^{k-1}(v_1))\right)'=[по\ формуле\ производной\ сложной\ функции]=
f'(f^{k-1}(v_1)) \cdot (f^{k-1}(v_1))' = f'(f^{k-1}(v_1)) \cdot f'(f^{k-2}(v_1)) \cdot (f^{k-2}(v_1))' =
</math>
:
<math>
=\ ...\ = f'(\overbrace{f^{k-1}(v_1)}^{v_k}) \cdot f'(\overbrace{f^{k-2}(v_1)}^{v_{k-1}}) \cdot ... \cdot f'(v_1)\ =\ f'(v_k)f'(v_{k-1}) \cdot ... \cdot f'(v_1).
</math>

Как уже было описано выше, рассматриваемая конструкция обладает свойством цикличности. Это можно переформулировать как симметричность цикла относительно любой его точки. Поэтому будет получен тот же результат, если будем считать производную <math>f^k</math> не в точке <math>v_1</math>, а в любой другой точке цикла. Также не стоит забывать, что для проверки неподвижной точки на устойчивость необходимо взять модуль полученной производной и сравнить его с единицей.
 
 
Таким образом, для проверки цикла на устойчивость используется следующее неравенство::
<math>|f'(u_k)f'(u_{k-1})...f'(u_1)|\vee 1.</math>

==Теорема Шарковского==
При анализе существования циклов разных длин полезна теорема Шарковского. Прежде, чем её формулировать, введём упорядочивание всех натуральных чисел особым образом:
 
 
$$
\begin{array}{ll}
3\succ5\succ7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, кроме 1} \\
\succ 2\cdot3\succ2\cdot5\succ2\cdot7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, умноженные на 2, кроме 1} \\
\succ 2^2\cdot3\succ2^2\cdot5\succ2^2\cdot7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, умноженные на } 2^2\text{, кроме 1} \\
\succ 2^3\cdot3\succ2^3\cdot5\succ2^3\cdot7\succ...\succ & \text{все нечетные числа, умноженные на } 2^3\text{, кроме 1} \\
\succ...\succ & \\
\succ2^3\succ2^2\succ2\succ1. &
\end{array}
$$
 
 
'''''Определение 2.''''' Такое упорядочивание называют упорядочиванием '''по Шарковскому'''.
 
 
'''''Теорема Шарковского.'''''
Пусть функционал <math>f</math>, задающий систему <math>(\ref{sys1})</math>, непрерывен. Если в такой дискретной динамической системе есть цикл длины <math>k</math>, то в ней есть и циклы любых длин, стоящих после <math>k</math> в порядке по Шарковскому.
 
 
'''''Следствие 1.'''''
Если в системе есть цикл длины <math>3</math>, то есть и цикл любой другой длины, что рождает хаос в системе.
 
 
'''''Следствие 2.'''''
Если в системе нет циклов длины <math>2</math>, то циклы в системе отсутствуют вовсе.
 
 
Поэтому на начальном этапе исследования системы на наличие циклов особый интерес представляют циклы именно этих длин.

==Пример исследования системы на предмет циклов==
[[Файл:F(f(u)), r = 2, 3 экстремума.png|мини|3 точки экстремума функции f(f(v)), значение параметра r=2.]]
[[Файл:F(f(v)), r = 1.5, 3 экстремума.png|мини|3 точки экстремума функции f(f(v)), значение параметра r=1.5.]]
[[Файл:F(f(u)), r = 2, 1 экстремум.png|мини|1 точка экстремума функции f(f(v)), значение параметра r=1.2.]]
Продемонстрируем применение определения цикла на отображении, относящемся к классу так называемых [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8_%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0&action=edit&redlink=1 ''логистических отображений'']. Рассматриваемое нами задаётся следующим уравнением::
<math> v_{t+1} = rv_t(1-v_t^3).</math>
Уравнение для поиска [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B ''неподвижной точки''] тогда будет выглядеть следующим образом::
<math>v^* = rv^*(1-{v^*}^3).</math>

Решим это уравнение::
<math>
v^*(1 - r + r{v^*}^3) = 0 \Leftrightarrow
\left[
\begin{array}{l}
v^* = 0, \\
v^* = \sqrt[3]{1-\frac{1}{r}}. \\
\end{array}\right.
</math>
Таким образом, получены две неподвижные точки: $$v^*_1 = 0,\ v^*_2 = \sqrt[3]{1-\frac{1}{r}}$$.
 
===== Наличие цикла длины 2 =====
Для проверки наличия цикла длины $$2$$ необходимо решить уравнение $$f(f(v))=u$$, причем найти корни, не совпадающие с уже найденными $$v_1^*$$ и $$v_2^*$$.:
<math>
f(f(v))=v \ \ \Rightarrow \ \ r\left(rv\left(1-v^3\right)\right)\left(1-\left(rv\left(1-v^3\right)\right)^3\right)=v \ \ \Rightarrow
\ \ v\left( r^2\left(1-v^3\right)\left(1-\left(rv\left(1-v^3\right)\right)^3\right) - 1 \right) = 0.
</math>
Аналитическое получение решения данного уравнения достаточно трудоёмко. В таких случаях помогает качественный анализ функции $$g(v)=f(f(v))$$. Её производная по $$v$$ после упрощений выглядит следующим образом::
<math>
\frac{\partial g(v)}{\partial v} = r^2 v (1 - v^3) (1 - (r v (1 - v^3))^3).
</math>
Она всегда обращается в ноль при $$v=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$$ — в этой точке всегда будем иметь экстремум функции $$g(v)=f(f(v))$$. Два других возникают по разные стороны от $$v=\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$$ при $$r>\frac{4}{3}$$. При $$r\in(0,\frac{4}{3}]$$ у $$g(v)$$ всего $$1$$ экстремальная точка. На графиках справа наглядно представлено изменение количества точек, где производная обращается в $$0$$, в зависимости от $$r$$.
 
 
Вернемся к уравнению $$g(v)=v$$. У него всегда есть $$2$$ решения, совпадающих с $$v_1^*$$ и $$v_2^*$$. Значит, для существования цикла длины $$2$$ необходимо существование ещё двух действительных решений этого уравнения. При этом из проведенного исследования видно, что $$r$$ должно быть как минимум больше $$\frac{4}{3}$$, иначе будет только $$2$$ пересечения с биссектрисой первой координатной четверти - в уже упомянутых точках. Численно можно установить, что при $$r>\tilde{r}\approx \frac{5}{3}$$ решений у рассматриваемого уравнения будет уже $$4$$. Значит, при таких $$r$$ в системе будет образовываться цикл длины $$2$$. При $$r\leqslant\tilde{r}$$ цикла длины $$2$$ образовываться не будет.
 
 
Приведём пример цикла длины $$2$$ при $$r=2$$. Его составляют две точки:
$$v_{1}' = \frac{1}{2} \sqrt[3]{7 - \sqrt{13} - \sqrt{2 (\sqrt{13} - 1)}}$$ и $$v_{2}' = \frac{1}{2} \sqrt[3]{7 - \sqrt{13} + \sqrt{2 (\sqrt{13} - 1)}}$$. Этот случай проиллюстрирован на графике ниже.
 
[[Файл:Цикл длины 2 в примере, r=2.png|мини|центр|Наличие цикла длины 2 при r=2. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым - h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(v)).]]
 

===== Устойчивость цикла длины 2 =====
Проверим цикл длины $$2$$ системы на устойчивость. Для этого надо исследовать функцию $$q(v, r) = f'(v_{r,1}')f'(v_{r,2}')$$ (где $$v_{r,i}'$$ - $$i$$-я точка цикла, записанная в общем виде для произвольного $$r$$) и проверим, при каких $$r$$ она будет лежать в отрезке $$[-1,1]$$. Значения $$r$$ берутся из луча $$(\frac{5}{3},+\infty)$$ - при этих значениях параметра существует цикл длины $$2$$.
 
 
В данном примере цикл длины $$2$$ неустойчив на всей области определения, поскольку $$|q(v, r)| > 60\ \forall r$$ из описанного промежутка, что нетрудно проверить. В качестве иллюстрации неустойчивости цикла при $$r=2$$ приведен рисунок ниже, где в качестве начальной точки взята точка $$\tilde{v} = v_{1}' - 0.01$$. При небольшом смещении от начального положения цикла траектории не приближаются к траекториям цикла.
[[Файл:Неустойчивость цикла длины 2, r=2.png|мини|центр|Неустойчивость цикла длины 2 при r=2. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым - h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(v)).]]

===== Наличие цикла длины 3 =====
[[Файл:Цикл длины 3 в примере, r=1.981.png|мини|справа|Наличие цикла длины 3 при r=1.981. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым - h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(f(v))).]]
Аналогично действиям при нахождении цикла длины $$2$$, необходимо найти решения уравнения $$f^{(3)}(v)=v$$, не совпадающие с неподвижными точками заданной системы. Аналитически это уравнение решается достаточно сложно, поэтому полезным будет применить графический подход, аналогичный уже рассмотренному.
 
 
При $$r\approx \overline{r}=1.981$$ график $$f^{(3)}(v)$$ касается $$h(v)=v$$ в $$3$$-х точках одновременно. При этом возникает цикл длины $$3$$ (график справа), состоящий из точек $$\{0.3383,0.6442,0.9352\}$$. При $$r\in(1,\overline{r})$$ в заданной системе цикла длины $$3$$ не существует.
 
 
Если $$r>\overline{r}$$, то решений у исследуемого нами уравнения будет $$6$$. При таких значениях параметра будут образовываться $$2$$ цикла длины $$3$$. На графиках ниже представлены $$2$$ цикла для $$r=2.06$$: $$\{0.277252,0.558967,0.950372\},$$ и $$\{0.366477,0.717785,0.931817\}$$.
[[Файл:Циклы длины 3 в примере, r=2.06.png|600px|мини|центр|Наличие двух циклов длины 3 при r=2.06. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым - h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(f(v))).]]

===== Устойчивость цикла длины 3 =====
Для проверки цикла длины $$3$$ на устойчивость проведем аналогичные анализу на устойчивость цикла длины $$2$$ действия. Исследуется функция $$q(v, r) = f'(v_{r,1}')f'(v_{r,2}')f'(v_{r,3}')$$, ищутся такие $$r$$, при которых её значения будут лежать в отрезке $$[-1,1]$$.
 
Проведя эти рассуждения, получается, что при $$r\in[1.981,+\infty)$$ циклы длины $$3$$ будут неустойчивыми. Это иллюстрирует рисунок справа — траектории цикла, выпущенного вблизи одной из его точек (из $$v=0.28$$) не приближаются к траекториям цикла, наблюдаемого на предыдущем рисунке.
[[Файл:Неустойчивость цикла длины 3, r=2.06.png|мини|центр|Неустойчивость цикла длины 3 при r=2.06. Оранжевым отмечена f(v), жёлтым - h(v)=v, фиолетовым для наглядности f(f(v)).]]

===== Существование циклов других длин =====
Согласно приведенной ранее теореме Шарковского и её следствиям, в рассматриваемой системе имеются циклы всех возможных длин при соответствующих им значениях параметра $$r$$, так как существует цикл длины $$3$$. При этом из существования цикла длины $$3$$ действительно следует существование цикла длины $$2$$ - область существования цикла длины $$3$$ входит в область существования в системе цикла длины $$2$$.

==Список литературы==
# Абрамова В.В. "Лекции по динамическим системам и биоматематике", 2023.
# Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. "Динамические системы и модели биологии", 2011

Файл:Неустойчивость цикла длины 3, r=2.06.png

2023-12-24T14:15:04Z

Taisia23:

Иллюстрация неустойчивого цикла длины 3 в примере, r=2.06

Файл:Циклы длины 3 в примере, r=2.06.png

2023-12-24T14:05:24Z

Taisia23:

Иллюстрация обоих циклов длины 3 при r=2.06 в примере

Файл:2й цикл длины 3 в примере, r=2.06.png

2023-12-24T13:57:07Z

Taisia23:

Иллюстрация одного из циклов длины 3 в примере

Файл:1й цикл длины 3 в примере, r=2.06.png

2023-12-24T13:54:53Z

Taisia23:

Иллюстрация одного из циклов длины 3 в примере

Файл:Цикл длины 3 в примере, r=1.981.png

2023-12-24T13:50:54Z

Taisia23:

Наличие цикла длины 3 (одного) в системе из примера

Файл:Неустойчивость цикла длины 2, r=2.png

2023-12-24T13:19:46Z

Taisia23:

График, демонстрирующий неуст. цикл в примере при r=2

Файл:Цикл длины 2 в примере, r=2.png

2023-12-24T13:07:35Z

Taisia23:

Цикл длины 2 в примере, r=2

Файл:F(f(u)), r = 2, 1 экстремум.png

2023-12-24T12:49:28Z

Taisia23:

Функция из примера, 1 экстремум f(f(u))

Файл:F(f(v)), r = 1.5, 3 экстремума.png

2023-12-24T11:19:29Z

Taisia23:

Пример, 3 экстремума у f(f(v))

Файл:F(f(u)), r = 2, 3 экстремума.png

2023-12-24T11:09:21Z

Taisia23:

График функции f(f(u)) из примера, при таком значении параметра имеем 3 экстремума

Циклы в системах с дискретным временем. Теорема Шарковского

2023-12-23T21:00:58Z

Taisia23:

Циклы в системах с дискретным временем. Теорема Шарковского

2023-10-26T18:50:56Z

Taisia23:

Циклы в системах с дискретным временем. Теорема Шарковского

2023-10-25T17:57:30Z

Taisia23: Новая страница: «==Циклы в системах с дискретным временем== Пусть задана следующая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%...»

==Циклы в системах с дискретным временем==
Пусть задана следующая [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php?title=%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0 динамическая система] с дискретным временем::
<math>
\begin{equation}
\begin{cases}
N_{t+1}=f(N_t),\ \ t=0,1,2,...\\
N|_{t=0}=N_0,
\end{cases} \label{sys1}
\end{equation}
</math>
где <math> f: u \mapsto f(u),\ u\in{U}\subset\mathbb R^n,\ f:U\to U </math>. 

'''''Определение 1.''''' Несовпадающие точки <math>v_1,v_2,...,v_k</math> фазового пространства системы <math>(\ref{sys1})</math> образуют '''цикл длины k''', если <math>f(v_1)=v_2,\ f(v_2)=v_3,...,\ f(v_{k-1})=v_k,\ f(v_k)=v_1</math>.