http://sawiki.cs.msu.su/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Yanyan25 2026-06-05T09:04:56Z Вклад участника MediaWiki 1.33.1 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5491 2025-12-15T21:58:33Z

<p>Yanyan25: /* Список литературы */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%91%D1%8D%D1%80%D0%B0 теорему Бэра о категориях]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> Так как $$M_{k_0}$$ замкнуто и имеет внутреннюю точку, оно содержит некоторый '''замкнутый шар''' $$\bar{B}(x_0, r)$$. То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что:<br /> \begin{equation*}<br /> \bar{B}(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| \leqslant r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leqslant 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей (обозначим его $$E$$). Элементами $$E$$ являются последовательности, у которых лишь конечное число членов отлично от нуля. Норма задается как $$\|x\| = \max_i |x_i|$$.<br /> Это пространство '''не является полным''' (его пополнение — пространство $$c_0$$ последовательностей, сходящихся к нулю).<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П.А.'' Семинары по функциональному анализу, 2024.<br /> <br /> 2. ''Полосин А.А.'', Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022.<br /> <br /> 3. ''Треногин В.А.'' Функциональный анализ: учебник. 4-е изпр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5490 2025-12-15T21:52:40Z

<p>Yanyan25: /* Доказательство */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%91%D1%8D%D1%80%D0%B0 теорему Бэра о категориях]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> Так как $$M_{k_0}$$ замкнуто и имеет внутреннюю точку, оно содержит некоторый '''замкнутый шар''' $$\bar{B}(x_0, r)$$. То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что:<br /> \begin{equation*}<br /> \bar{B}(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| \leqslant r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leqslant 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей (обозначим его $$E$$). Элементами $$E$$ являются последовательности, у которых лишь конечное число членов отлично от нуля. Норма задается как $$\|x\| = \max_i |x_i|$$.<br /> Это пространство '''не является полным''' (его пополнение — пространство $$c_0$$ последовательностей, сходящихся к нулю).<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П.А.'' Семинары по функциональному анализу, 2024.<br /> <br /> 2. ''Полосин А. А.'', Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022.<br /> <br /> 3. ''Треногин В.А.'' Функциональный анализ: учебник. 4-е изпр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5489 2025-12-15T21:52:17Z

<p>Yanyan25: /* Доказательство */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%91%D1%8D%D1%80%D0%B0|теорему Бэра о категориях]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> Так как $$M_{k_0}$$ замкнуто и имеет внутреннюю точку, оно содержит некоторый '''замкнутый шар''' $$\bar{B}(x_0, r)$$. То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что:<br /> \begin{equation*}<br /> \bar{B}(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| \leqslant r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leqslant 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей (обозначим его $$E$$). Элементами $$E$$ являются последовательности, у которых лишь конечное число членов отлично от нуля. Норма задается как $$\|x\| = \max_i |x_i|$$.<br /> Это пространство '''не является полным''' (его пополнение — пространство $$c_0$$ последовательностей, сходящихся к нулю).<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П.А.'' Семинары по функциональному анализу, 2024.<br /> <br /> 2. ''Полосин А. А.'', Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022.<br /> <br /> 3. ''Треногин В.А.'' Функциональный анализ: учебник. 4-е изпр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5488 2025-12-15T21:51:59Z

<p>Yanyan25: /* Доказательство */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%91%D1%8D%D1%80%D0%B0|теорему Бэра о категориях]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> Так как $$M_{k_0}$$ замкнуто и имеет внутреннюю точку, оно содержит некоторый '''замкнутый шар''' $$\bar{B}(x_0, r)$$. То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что:<br /> \begin{equation*}<br /> \bar{B}(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| \leqslant r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leqslant 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей (обозначим его $$E$$). Элементами $$E$$ являются последовательности, у которых лишь конечное число членов отлично от нуля. Норма задается как $$\|x\| = \max_i |x_i|$$.<br /> Это пространство '''не является полным''' (его пополнение — пространство $$c_0$$ последовательностей, сходящихся к нулю).<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П.А.'' Семинары по функциональному анализу, 2024.<br /> <br /> 2. ''Полосин А. А.'', Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022.<br /> <br /> 3. ''Треногин В.А.'' Функциональный анализ: учебник. 4-е изпр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5487 2025-12-15T21:51:48Z

<p>Yanyan25: /* Доказательство */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%91%D1%8D%D1%80%D0%B0|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> Так как $$M_{k_0}$$ замкнуто и имеет внутреннюю точку, оно содержит некоторый '''замкнутый шар''' $$\bar{B}(x_0, r)$$. То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что:<br /> \begin{equation*}<br /> \bar{B}(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| \leqslant r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leqslant 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей (обозначим его $$E$$). Элементами $$E$$ являются последовательности, у которых лишь конечное число членов отлично от нуля. Норма задается как $$\|x\| = \max_i |x_i|$$.<br /> Это пространство '''не является полным''' (его пополнение — пространство $$c_0$$ последовательностей, сходящихся к нулю).<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П.А.'' Семинары по функциональному анализу, 2024.<br /> <br /> 2. ''Полосин А. А.'', Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022.<br /> <br /> 3. ''Треногин В.А.'' Функциональный анализ: учебник. 4-е изпр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5486 2025-12-15T21:45:13Z

<p>Yanyan25: /* Важность условия полноты */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> Так как $$M_{k_0}$$ замкнуто и имеет внутреннюю точку, оно содержит некоторый '''замкнутый шар''' $$\bar{B}(x_0, r)$$. То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что:<br /> \begin{equation*}<br /> \bar{B}(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| \leqslant r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leqslant 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей (обозначим его $$E$$). Элементами $$E$$ являются последовательности, у которых лишь конечное число членов отлично от нуля. Норма задается как $$\|x\| = \max_i |x_i|$$.<br /> Это пространство '''не является полным''' (его пополнение — пространство $$c_0$$ последовательностей, сходящихся к нулю).<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П.А.'' Семинары по функциональному анализу, 2024.<br /> <br /> 2. ''Полосин А. А.'', Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022.<br /> <br /> 3. ''Треногин В.А.'' Функциональный анализ: учебник. 4-е изпр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5485 2025-12-15T21:43:30Z

<p>Yanyan25: /* Доказательство */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> Так как $$M_{k_0}$$ замкнуто и имеет внутреннюю точку, оно содержит некоторый '''замкнутый шар''' $$\bar{B}(x_0, r)$$. То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что:<br /> \begin{equation*}<br /> \bar{B}(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| \leqslant r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leqslant 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П.А.'' Семинары по функциональному анализу, 2024.<br /> <br /> 2. ''Полосин А. А.'', Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022.<br /> <br /> 3. ''Треногин В.А.'' Функциональный анализ: учебник. 4-е изпр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5484 2025-12-15T21:37:18Z

<p>Yanyan25: /* Список литературы */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leqslant 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П.А.'' Семинары по функциональному анализу, 2024.<br /> <br /> 2. ''Полосин А. А.'', Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022.<br /> <br /> 3. ''Треногин В.А.'' Функциональный анализ: учебник. 4-е изпр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5483 2025-12-15T21:37:08Z

<p>Yanyan25: /* Список литературы */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leqslant 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П.А.'' Семинары по функциональному анализу, 2024.<br /> <br /> 2. ''Полосин А. А.'', Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 3. ''Треногин В.А.'' Функциональный анализ: учебник. 4-е изпр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5482 2025-12-15T21:29:25Z

<p>Yanyan25: /* Доказательство */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leqslant 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5481 2025-12-15T21:28:33Z

<p>Yanyan25: /* Доказательство */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5480 2025-12-15T21:26:07Z

<p>Yanyan25: /* Доказательство */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5479 2025-12-15T21:24:41Z

<p>Yanyan25: /* Доказательство */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \leqslant_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5478 2025-12-15T21:21:45Z

<p>Yanyan25: /* Основные определения */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5477 2025-12-15T21:20:39Z

<p>Yanyan25: /* Доказательство */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leqslant k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leqslant k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \geqslant C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leqslant r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leqslant k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leqslant \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leqslant k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leqslant 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leqslant 1} \|A_\alpha z\| \leqslant \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5476 2025-12-15T20:49:29Z

<p>Yanyan25: /* Аннотация */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе）]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5475 2025-12-15T19:39:11Z

<p>Yanyan25: /* Доказательство */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|теорему Бэра о категориях.]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5474 2025-12-15T19:38:07Z

<p>Yanyan25: /* Аннотация */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5473 2025-12-15T19:36:08Z

<p>Yanyan25: /* Аннотация */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5472 2025-12-15T19:34:45Z

<p>Yanyan25: /* Аннотация */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор|теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5471 2025-12-15T19:34:18Z

<p>Yanyan25: /* Аннотация */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[теоремой об открытом отображении (или теоремой об обратном операторе|Обратный оператор]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5470 2025-12-15T19:33:13Z

<p>Yanyan25: /* Аннотация */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5469 2025-12-15T19:32:49Z

<p>Yanyan25: /* Аннотация */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5468 2025-12-15T19:32:28Z

<p>Yanyan25: /* Аннотация */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5467 2025-12-15T19:31:33Z

<p>Yanyan25: /* Основные определения */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5466 2025-12-15T19:29:47Z

<p>Yanyan25: /* Основные определения */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5465 2025-12-15T19:27:24Z

<p>Yanyan25: /* Основные определения */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между между нормированными пространствами.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывное отображение.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5464 2025-12-15T19:21:18Z

<p>Yanyan25: /* Список литературы */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированного пространства.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывное отображение.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5463 2025-12-15T19:20:52Z

<p>Yanyan25: /* Список литературы */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированного пространства.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывное отображение.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 3. Полосин А. А., Курс лекций &quot;Теория функций и функциональный анализ&quot;, 2021-2022 г.<br /> <br /> 4. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2016.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5462 2025-12-15T19:16:14Z

<p>Yanyan25: /* Важность условия полноты */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированного пространства.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывное отображение.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.<br /> <br /> == Список литературы ==<br /> 1. ''Точилин П. А.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.<br /> <br /> 2. ''Моисеев Е. И.'' Лекции по функциональному анализу, 2021г.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5461 2025-12-15T19:13:50Z

<p>Yanyan25: /* Геометрическая интерпретация */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированного пространства.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывное отображение.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5460 2025-12-15T19:09:40Z

<p>Yanyan25: /* Доказательство */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированного пространства.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывное отображение.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> [[Файл:BanachSteinhaus_Vis.svg|thumb|300px|Рис. 1. Иллюстрация принципа: Если для любого вектора $$x$$ (синие точки) образы $$A_n x$$ не уходят в бесконечность, то и «размеры» операторов (красная граница) не могут расти неограниченно.]]<br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Метрическое пространство|Метрическое пространство]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5459 2025-12-15T19:05:45Z

<p>Yanyan25: /* Основные определения */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между нормированного пространства.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывное отображение.<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> [[Файл:BanachSteinhaus_Vis.svg|thumb|300px|Рис. 1. Иллюстрация принципа: Если для любого вектора $$x$$ (синие точки) образы $$A_n x$$ не уходят в бесконечность, то и «размеры» операторов (красная граница) не могут расти неограниченно.]]<br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Теорема Бэра|теорему Бэра о категориях]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> [[Файл:Baire_Ball_Shift.svg|thumb|center|400px|Рис. 2. Схема доказательства: Находим шар внутри множества $$M_{k_0}$$ и сдвигаем его в начало координат.]]<br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5458 2025-12-15T19:03:52Z

<p>Yanyan25: /* Основные определения */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между Нормированного пространства.<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его [[Непрерывное отображение|непрерывности]].<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> [[Файл:BanachSteinhaus_Vis.svg|thumb|300px|Рис. 1. Иллюстрация принципа: Если для любого вектора $$x$$ (синие точки) образы $$A_n x$$ не уходят в бесконечность, то и «размеры» операторов (красная граница) не могут расти неограниченно.]]<br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Теорема Бэра|теорему Бэра о категориях]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> [[Файл:Baire_Ball_Shift.svg|thumb|center|400px|Рис. 2. Схема доказательства: Находим шар внутри множества $$M_{k_0}$$ и сдвигаем его в начало координат.]]<br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5457 2025-12-15T18:59:53Z

<p>Yanyan25: /* Аннотация */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем функционального анализа, наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.<br /> <br /> == Основные определения ==<br /> Для понимания теоремы необходимо ввести несколько предварительных понятий. Мы будем рассматривать отображения между [[Нормированное пространство|нормированными пространствами]].<br /> <br /> '''Определение 1'''. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — линейные нормированные пространства. Отображение $$A: X \to Y$$ называется '''линейным оператором''', если для любых $$x, y \in X$$ и любого скаляра $$\alpha$$ выполнены условия:<br /> # $$A(x+y) = Ax + Ay$$ (аддитивность);<br /> # $$A(\alpha x) = \alpha (Ax)$$ (однородность).<br /> <br /> '''Определение 2'''. Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''ограниченным''', если существует такое число $$C &gt; 0$$, что для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство:<br /> \begin{equation*}<br /> \|Ax\|_Y \leq C \|x\|_X.<br /> \end{equation*}<br /> ''Замечание'': В функциональном анализе ограниченность линейного оператора равносильна его [[Непрерывное отображение|непрерывности]].<br /> <br /> '''Определение 3'''. '''Нормой оператора''' $$A$$ называется наименьшая из констант $$C$$, удовлетворяющих определению 2. Она вычисляется по формуле:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\|=1} \|Ax\|.<br /> \end{equation*}<br /> Геометрически норма оператора показывает, во сколько раз оператор может максимально «растянуть» вектор единичной длины.<br /> <br /> '''Определение 4'''. Нормированное пространство $$X$$ называется '''полным''' (или '''банаховым'''), если любая фундаментальная последовательность в нем сходится к элементу, принадлежащему этому же пространству.<br /> :''Пример'': Пространство вещественных чисел $$\mathbb{R}$$ — полное. Пространство многочленов на отрезке с интегральной нормой — неполное (его пополнение — $$L^2$$).<br /> <br /> == Формулировка теоремы ==<br /> <br /> '''Теорема (Банаха-Штейнгауза)'''.<br /> Пусть $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово пространство]], $$Y$$ — линейное нормированное пространство. Пусть $$\{A_\alpha\}_{\alpha \in \Lambda}$$ — некоторое семейство линейных непрерывных операторов из $$X$$ в $$Y$$.<br /> <br /> Если для каждого элемента $$x \in X$$ множество значений норм этих операторов ограничено, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha x\| &lt; \infty \quad \text{для каждого } x \in X,<br /> \end{equation*}<br /> то нормы операторов ограничены в совокупности, то есть:<br /> \begin{equation*}<br /> \sup_{\alpha \in \Lambda} \|A_\alpha\| &lt; \infty.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> === Геометрическая интерпретация ===<br /> Смысл теоремы можно пояснить на простом языке. Представьте, что у вас есть набор «растягивающих механизмов» (операторов). Если вы берете любой конкретный вектор $$x$$ и применяете к нему все эти механизмы, и результат никогда не уходит в бесконечность (ограничен), то теорема гарантирует, что «сила растяжения» (норма) всех механизмов ограничена какой-то одной общей константой. Не может быть такого, что механизмы становятся сколь угодно мощными, даже если в каждой конкретной точке они дают конечный результат.<br /> <br /> [[Файл:BanachSteinhaus_Vis.svg|thumb|300px|Рис. 1. Иллюстрация принципа: Если для любого вектора $$x$$ (синие точки) образы $$A_n x$$ не уходят в бесконечность, то и «размеры» операторов (красная граница) не могут расти неограниченно.]]<br /> == Доказательство ==<br /> Доказательство опирается на [[Теорема Бэра|теорему Бэра о категориях]]. Это классический пример применения топологических методов в анализе.<br /> <br /> '''Шаг 1. Построение множеств.'''<br /> Введем множества $$M_k$$ (для $$k = 1, 2, \dots$$), состоящие из таких векторов $$x$$, на которых все операторы семейства не превосходят $$k$$:<br /> \begin{equation*}<br /> M_k = \{ x \in X : \|A_\alpha x\| \leq k \text{ для всех } \alpha \in \Lambda \}.<br /> \end{equation*}<br /> Так как каждый оператор $$A_\alpha$$ непрерывен, то множества $$ \{x : \|A_\alpha x\| \leq k\} $$ замкнуты (как прообразы замкнутого луча $$(-\infty, k]$$). Множество $$M_k$$ есть пересечение таких замкнутых множеств, следовательно, каждое $$M_k$$ '''замкнуто'''.<br /> <br /> '''Шаг 2. Применение условия поточечной ограниченности.'''<br /> По условию теоремы, для каждого $$x \in X$$ существует константа $$C_x$$, такая что $$\|A_\alpha x\| \le C_x$$ для всех $$\alpha$$. Это значит, что каждый $$x$$ попадет в какое-нибудь $$M_k$$ (где $$k \ge C_x$$).<br /> Следовательно, пространство $$X$$ является объединением этих множеств:<br /> \begin{equation*}<br /> X = \bigcup_{k=1}^{\infty} M_k.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> '''Шаг 3. Использование полноты пространства.'''<br /> Так как $$X$$ — [[Банахово пространство|банахово]] (полное метрическое) пространство, к нему применима '''теорема Бэра''': полное пространство нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.<br /> Это значит, что существует хотя бы одно множество $$M_{k_0}$$, которое имеет внутреннюю точку.<br /> <br /> То есть, существуют $$x_0 \in M_{k_0}$$ и радиус $$r &gt; 0$$, такие что шар $$B(x_0, r)$$ целиком лежит в $$M_{k_0}$$.<br /> \begin{equation*}<br /> B(x_0, r) = \{ x \in X : \|x - x_0\| &lt; r \} \subset M_{k_0}.<br /> \end{equation*}<br /> <br /> [[Файл:Baire_Ball_Shift.svg|thumb|center|400px|Рис. 2. Схема доказательства: Находим шар внутри множества $$M_{k_0}$$ и сдвигаем его в начало координат.]]<br /> '''Шаг 4. Оценка нормы.'''<br /> Возьмем произвольный вектор $$z \in X$$ с нормой $$\|z\| \leq 1$$. Рассмотрим вектор:<br /> \begin{equation*}<br /> y = x_0 + r z.<br /> \end{equation*}<br /> Очевидно, что $$\|y - x_0\| = \|rz\| = r\|z\| \leq r$$, то есть $$y \in B(x_0, r) \subset M_{k_0}$$.<br /> Значит, для всех $$\alpha$$ выполняется:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha y\| \leq k_0 \quad \text{и} \quad \|A_\alpha x_0\| \leq k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Используя линейность оператора:<br /> \begin{equation*}<br /> A_\alpha (rz) = A_\alpha (y - x_0) = A_\alpha y - A_\alpha x_0.<br /> \end{equation*}<br /> Оценим норму:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha (rz)\| = \|A_\alpha y - A_\alpha x_0\| \leq \|A_\alpha y\| + \|A_\alpha x_0\| \leq k_0 + k_0 = 2k_0.<br /> \end{equation*}<br /> Так как $$A_\alpha$$ линеен, выносим скаляр $$r$$:<br /> \begin{equation*}<br /> r \|A_\alpha z\| \leq 2k_0 \implies \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Это неравенство верно для любого $$z$$ с единичной нормой. Следовательно:<br /> \begin{equation*}<br /> \|A_\alpha\| = \sup_{\|z\| \leq 1} \|A_\alpha z\| \leq \frac{2k_0}{r}.<br /> \end{equation*}<br /> Константа $$\frac{2k_0}{r}$$ не зависит от $$\alpha$$. Теорема доказана.<br /> <br /> == Важность условия полноты ==<br /> Требование полноты пространства $$X$$ является существенным. Если пространство не полное, теорема может не выполняться.<br /> <br /> '''Контрпример''':<br /> Рассмотрим пространство финитных последовательностей $$c_{00}$$ (последовательности, у которых лишь конечное число элементов отлично от нуля) с нормой $$\|x\| = \max |x_i|$$. Это пространство не является полным.<br /> Рассмотрим последовательность функционалов (операторов в $$\mathbb{R}$$) $$f_n$$, действующих по правилу:<br /> \begin{equation*}<br /> f_n(x) = n \cdot x_n.<br /> \end{equation*}<br /> Для любого фиксированного $$x = (x_1, x_2, \dots, x_M, 0, \dots)$$ при $$n &gt; M$$ имеем $$f_n(x) = 0$$. Значит, для каждого $$x$$ последовательность значений ограничена.<br /> Однако нормы этих операторов равны $$n$$ (достигаются на векторе $$e_n$$), то есть $$\|f_n\| = n \to \infty$$. Принцип равномерной ограниченности нарушен.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5456 2025-12-15T18:56:27Z

<p>Yanyan25: /* Аннотация */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем Функциональный анализ , наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5455 2025-12-15T18:55:31Z

<p>Yanyan25: /* Аннотация */</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем [[Функциональный анализ|функционального анализа]], наряду с [[Теорема Хана-Банаха и её следствия|теоремой Хана-Банаха и её следствия]] и [[Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе|Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.</div>

Yanyan25 http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0-%D0%A8%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B3%D0%B0%D1%83%D0%B7%D0%B0&diff=5454 2025-12-15T18:47:37Z

<p>Yanyan25: Аннотация</p> <hr /> <div>== Аннотация ==<br /> '''Теорема Банаха-Штейнгауза''' (известная также как '''принцип равномерной ограниченности''') — одна из фундаментальных теорем [[Функциональный анализ|функционального анализа]], наряду с [[Теорема Хана-Банаха|теоремой Хана-Банаха]] и [[Теорема об открытом отображении|теоремой об открытом отображении]].<br /> <br /> Эта теорема утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов, определенных на полном нормированном пространстве ([[Банахово пространство|банаховом пространстве]]), выполнение условия ограниченности в каждой точке (поточечная ограниченность) влечет за собой ограниченность норм этих операторов в совокупности (равномерная ограниченность).<br /> <br /> Теорема имеет важнейшие приложения в теории приближений, вычислительной математике (сходимость квадратурных формул) и теории рядов Фурье.</div>

Yanyan25