Интегральные уравнения Фредгольма

Определение и классификация

Определение. Интегральное уравнение Фредгольма - это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма.

Определение. Ядро интегрального оператора (ядро Фредгольма) - это функция от двух аргументов \(K(x,\;y)\), определяющая некий интегральный оператор \(\mathcal{A}\) равенством\[\varphi(y)=\mathcal{A}[\varphi(x)]=\int K(x,\;y)\varphi(x)\,d\mu(x),\] где \(x\in\mathbb{X}\) — пространство с мерой \(d\mu(x)\), а \(\varphi(x)\) принадлежит некоторому пространству функций, определённых на \(\mathbb{X}\).

Интегральные уравнения Фредгольма подразделяются на два типа (каждый из типов может быть однородным (\(f(x) \equiv 0 \)) или неоднородным (\(f(x) \not\equiv 0 \))):

Интегральное уравнение Фредгольма первого рода.

\[f(x)=\int\limits_a^b\!K(x, s)\varphi(s)\,ds.\]

Задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра \(K(x, s)\) и функции \( f(x)\) найти функцию \(\varphi(s)\).

Интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

\[f(x) =\varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds,\] где \(\lambda\) - числовой параметр.

Задача состоит в том, чтобы, имея ядро \(K(t, s)\) и функцию \(f(x)\), найти функцию \(\varphi(x)\). При этом существование решения и его множественность зависит от числа \(\lambda \), называемого характеристическим числом (обратное ему называется собственным).

Основные методы решения

Метод последовательных приближений (метод Неймана)

Метод Неймана является одним из основных методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Для уравнения

\[f(x) =\varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds\]

решение ищется в виде ряда Неймана:

\[\varphi(x) = \sum_{n=0}^\infty \lambda^n\varphi_n(x),\]

где

\[\varphi_0(x) = f(x),\,\varphi_{n+1} = \int\limits_a^b\!K(x, s)\varphi_n(s)\,ds\]

Теорема о сходимости метода Неймана. Если \(|\lambda| < 1/\|K\|\), где \(\|K\|\) - норма ядра, то ряд Неймана сходится равномерно, и его сумма является единственным решением интегрального уравнения.

Метод Фредгольма (резольвента)

Метод Фредгольма основан на использовании резольвенты R(x, s, \(\lambda\)). Она определяется как решение интегрального уравнения:

\[R(x, s, \lambda) = K(x, s) + \lambda\int\limits_a^b\!K(x, t)R(t, s, \lambda)\,ds.\]

Определитель Фредгольма представим в виде целого ряда:

\[D(\lambda) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-\lambda)^n}{n!}\int\limits_a^b\!...\int\limits_a^b\!K(^{x_1, ... ,x_n}_{x_1, ... ,x_n})\,dx_1...dx_n.\] При условии, что определитель Фредгольма \(D(\lambda) \neq 0\), решение неоднородного уравнения выражается формулой

\[\varphi(x) = f(x) + \lambda\int\limits_a^b\!R(x, s, \lambda)f(s)\,ds.\]

Теоремы Фредгольма

Первая теорема Фредгольма. Однородное уравнение

\[0 =\varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds\]

и сопряженное с ним уравнение

\[0 =\psi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! \overline{K(s, x)}\psi(s)\,ds\]

имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений.

Вторая теорема Фредгольма. Для разрешимости неоднородного уравнения

\[f(x) =\varphi(x) - \lambda \int\limits_a^b\! K(x, s)\varphi(s)\,ds\]

необходимо и достаточно, чтобы левая часть f(x) была ортогональная всем линейно независимым решениям решениям сопряженного однородного уравнения.

Третья теорема Фредгольма. Каково бы ни было R > 0, круг \(|\lambda| \leq R\) содержит лишь конечное число характеристических значений.

Альтернатива Фредгольма. Либо неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода имеет единственное решение при любой левой части f(x), либо соответствующее однородное уравнение имеет нетривиальные решения.

Примеры решения интегральных уравнений

Решение уравнения методом Фредгольма

Пусть дано неоднородное интегральное уравнение второго рода

\[ y(x) = f(x) + \lambda \int\limits_0^\pi\! y(s)cos(x + s)\,ds.\]

Резольвента представима в виде

\[R(x, s, \lambda) = \sum_{n=0}^{\infty}\lambda^n K_{n+1}(x, s),\]

где

\[K_1(x, s) = K(x, s), \, K_{n+1}(x, s) = \int\limits_a^b\!K(x, t)K_n(t, s).\]

Найдем ядра следующих порядков:

\[K_1(x, s)= cos(x+s),\]

\[K_2(x, s)= \int\limits_0^\pi\!cos(x+t)cos(t+s)\,dt = \frac{\pi}{2}cos(x-s),\]

\[K_3(x, s)= \frac{\pi}{2}\int\limits_0^\pi\!cos(x+t)cos(t-s)\,dt = \frac{\pi^2}{4}cos(x+s),\]

\[K_4(x, s)= \frac{\pi^2}{4}\int\limits_0^\pi\!cos(x+t)cos(t+s)\,dt = \frac{\pi^3}{8}cos(x-s),\]

\[K_5(x, s)= \frac{\pi^3}{8}\int\limits_0^\pi\!cos(x+t)cos(t-s)\,dt = \frac{\pi^4}{16}cos(x+s).\]

Заметим, что

\[K_{2n}(x, s)= (\frac{\pi}{2})^{2n-1}cos(x-s), \, K_{2n+1}(x, s)= (\frac{\pi}{2})^{2n}cos(x+s).\]

Тогда

\[R(x, s, \lambda)= cos(x + s) + \lambda\frac{\pi}{2}cos(x-s) + \lambda^2\frac{\pi^2}{4}cos(x+s) + ... = \]

\[=cos(x+s)\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{\lambda\pi}{2})^{2n} + cos(x-s)\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{\lambda\pi}{2})^{2n+1} =\]

\[= [cos(x+s) + (\frac{\lambda\pi}{2})cos(x-s)]\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{\lambda\pi}{2})^{2n} = \{Сумма \,\, геометрической\,\, прогрессии\} =\]

\[= \frac{1}{1 - (\frac{\lambda\pi}{2})^{2}}[cos(x+s) + (\frac{\lambda\pi}{2})cos(x-s)].\]

\[y(x)= f(x) + \frac{1}{1 - (\frac{\lambda\pi}{2})^{2}}\int\limits_0^{\pi}f(s)[cos(x+s) + (\frac{\lambda\pi}{2})cos(x-s)]\,ds.\]

Такое решение является универсальным, но имеет несколько проблем - во-первых, не всегда получается найти закономерность в ряде повторных ядер, а во-вторых, не всегда можно записать для резольвенты ряд в явном виде. Поэтому рассмотрим специальный прием - решение уравнений с вырожденными ядрами.

Решение уравнений с вырожденными ядрами

Определение. Вырожденное ядро - это ядро, представило в виде \(K(x, s) = \sum_{n = 1}^{N} \alpha_n(x)\beta_n(s).\)

Рассмотрим уравнение

\[ y(x) = f(x) + \lambda \int\limits_0^1\! y(s)(x^2 + s^2)\,ds.\]

Заметим, что тут вырожденное ядро, разобьем интеграл на две части:

\[ y(x) = f(x) + \lambda x^2 \int\limits_0^1\! y(s)\,ds + \lambda \int\limits_0^1\! y(s)s^2\,ds.\]

Обозначим \( С_1 = \int\limits_0^1\! y(s)\,ds, \, С_2 = \int\limits_0^1\! y(s)s^2\,ds,\) где \(C_1, \, C_2 = const.\)

Тогда

\[ y(x) = f(x) + \lambda x^2 С_1 + \lambda С_2\]

\[ \int\limits_0^1\!y(x)\,dx = \int\limits_0^1\!f(x)\,dx + \lambda С_1 \int\limits_0^1\!x^2\,dx+ \lambda С_2\int\limits_0^1\!dx.\]

\[ C_1 = F_1 + \frac{1}{3}\lambda С_1 + \lambda С_2\]

\[ \int\limits_0^1\!y(x)x^2\,dx = \int\limits_0^1\!f(x)x^2\,dx + \lambda С_1 \int\limits_0^1\!x^4\,dx+ \lambda С_2\int\limits_0^1\!x^2\,dx.\]

\[ C_2 = F_2 + \frac{1}{5}\lambda С_1 + \frac{1}{3}\lambda С_2\]

\begin{equation*} \begin{cases} C_1 = F_1 + \frac{1}{3}\lambda С_1 + \lambda С_2,\\ C_2 = F_2 + \frac{1}{5}\lambda С_1 + \frac{1}{3}\lambda С_2. \end{cases} \end{equation*}

Решив эту систему, получим:

\begin{equation*} \begin{cases} C_1 = -15\frac{F_1(3 - \lambda) + 3\lambda F_2}{4\lambda^2 + 30\lambda - 45},\\ C_2 = -\frac{15F_2(3 - \lambda) + 9\lambda F_1}{4\lambda^2 + 30\lambda - 45}. \end{cases} \end{equation*}

Тогда, подставив $$С_1$$ и $$С_2$$ и сократив подобные, получим:

\[ y(x) = f(x) - \frac{3\lambda}{4\lambda^2 + 30\lambda - 45} \int\limits_0^1\! f(s)[5(3 - \lambda)(x^2 + s^2) + 3\lambda(5x^2s^2 + 1)]\,ds.\]

Этот метод имеет свои достоинства и недостатки, но уравнения с вырожденными ядрами им решать проще, за исключением вычислительной составляющей.

Применение

Интегральные уравнения Фредгольма имеют широкое применение во многих областях:

1. Физика
   1. Квантовая механика: Уравнение Шрёдингера в интегральной форме приводит к интегральным уравнениям Фредгольма при решении задач рассеяния
   2. Теория упругости: Задачи о деформации упругих тел сводятся к интегральным уравнениям через использование функций влияния
   3. Электродинамика: Краевые задачи для уравнений Максвелла в сложных геометрических областях решаются методами теории потенциала
   4. Акустика: Задачи распространения звуковых волн в неоднородных средах формулируются в терминах интегральных уравнений
2. Техника
   1. Геоэлектрика: Интерпретация данных электромагнитного зондирования основана на решении интегральных уравнений для определения структуры подземных слоев
   2. Обработка сигналов: Фильтрация и восстановление сигналов часто сводится к решению интегральных уравнений первого рода
   3. Теория управления: Оптимальное управление системами с интегральными ограничениями формулируется через интегральные уравнения Фредгольма
3. Экономические и биологические модели
   1. Математическая экономика: Модели равновесия на рынках с непрерывным множеством товаров приводят к интегральным уравнениям Фредгольма
   2. Биология: Модели популяционной динамики с учетом пространственного распределения и миграции описываются интегро-дифференциальными уравнениями

Список литературы

1. Крицков Л. В. Лекции по математическому анализу для 2 курса, 2025
2. Ягола А. Г. Интегральные уравнения и вариационное исчисление. Конспект лекций.
3. Сумин Е.В., Шерстюков В.Б., Шерстюкова О.В. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра, краевые задачи и методы их решения: Учебно-методическое пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2016