Норма линейного оператора

Понятие оператора

Определение 1. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — произвольные множества. А множество $$D \subseteq X$$ выделенное подмножество в $$X$$. Если каждому элементу $$x \in D$$ ставится в соответствие определенный элемент $$y \in Y$$, то говорят что задан оператор $$y = F(x)$$. При этом множество $$D$$ называется множеством определения оператора $$F$$ и обозначается $$D(F)$$. Множество

\[ R = R(F) = \{y \in Y : y = F(x), x \in D\} \]

называется областью значений оператора $$F$$.

Для краткости будем использовать обозначение $$F: X \to Y$$, где $$D(F) = X$$ и $$R(F) = Y$$.

Линейные операторы

Определение 2. Пусть $$X$$ и $$Y$$ — $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=называется-,линейным,-%2C%20или%20векторным%2C%20пространством}{\text{линейные пространства}}$$ (оба вещественные или оба комплексные). Оператор $$A: X \to Y$$ с областью определения $$D(A)$$ называется линейным, если:

1. $$D(A)$$ — линейное подпространство,

2. $$A(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) = \lambda_1 A(x_1) + \lambda_2 A(x_2)$$ для любых $$x_1, x_2 \in D(A)$$ и любых $$\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$$.

Это означает, что оператор сохраняет линейные операции - сложение и умножение на число.

Непрерывность и ограниченность

Пусть $$X$$ и $$Y$$ — $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=нормированным%20пространством}{\text{нормированные пространства}}$$, и линейный оператор $$A$$ задан всюду в $$X$$ т.е. $$D(A) = X$$.

Определение 3. Оператор $$A$$ называется непрерывным в точке $$x_0 \in X$$, если для любой последовательности $$\{x_k\}_{k=0}^{\infty}, x_k \in X$$, такой что $$x_k \to x_0$$ по норме $$\|\cdot\|_X$$, верно, что $$Ax_k \to Ax_0$$.

Теорема 1. Пусть линейный оператор $$A$$ непрерывен в точке $$x_0 = 0$$, тогда оператор непрерывен в любой точке $$x_0 \in X$$.

Доказательство. Если последовательность $$x_k \to x_0$$, то $$z_k = x_k - x_0 \to 0$$. Из непрерывности в нуле следует, что $$Az_k \to 0$$. Таким образом получаем, что $$Ax_k - Ax_0 \to 0$$, т.е. для любого $$x_0 \in X$$ и для любой последовательности $$x_k \to x_0$$ справедливо $$Ax_k \to Ax_0$$. Это и есть непрерывность оператора $$A$$ в любой точке множества $$X$$. $$\square$$

Данное свойство значительно упрощает анализ таких операторов.

Определение 4. Линейный оператор $$A$$ называется непрерывным, если он непрерывен в точке $$x_0 = 0$$.

Непрерывность оператора — важное свойство, которое показывает, что оператор не совершает резких скачков, т.е. близкие элементы переходят в близкие.

Определение 5. Линейный оператор $$A$$ называется ограниченным, если он ограничен на единичном шаре $$S_1(0) = \{ x \in X: \|x\|_X \leqslant 1 \}$$, т.е. существует $$\sup_{\|x\|_X \leqslant 1} \|Ax\|_Y < \infty$$.

Ограниченность оператора означает, что существует константа $$C > 0$$ такая, что для всех $$x$$ выполняется $$\|Ax\|_Y \leqslant C\|x\|_X$$, т.е. оператор не может увеличить норму элемента больше чем в $$C$$ раз.

Эквивалентность непрерывности и ограниченности

Теорема 2. Пусть $$A: X \to Y$$ — линейный оператор, $$X, Y$$ — $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=банаховым%20пространством}{\text{банаховы пространства}}$$, $$D(A) = X$$. Для того чтобы $$A$$ был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

Доказательство.

$$\Rightarrow$$ Пусть $$A$$ непрерывен. Допустим, что $$A$$ неограничен. Тогда для любого натурального $$n$$ существует $$x_n \in X$$ с $$\|x_n\|_X \leqslant 1$$ такой, что $$\|Ax_n\|_Y \geqslant n$$.

Рассмотрим $$x_n' = \frac{x_n}{n}$$. Тогда $$\|x_n'\|_X = \frac{\|x_n\|_X}{n} \leqslant \frac{1}{n} \to 0$$ при $$n \to \infty$$. Из непрерывности оператора $$A$$ имеем $$Ax_n' \to 0$$. С другой стороны: \[ \|Ax_n'\|_Y = \frac{\|Ax_n\|_Y}{n} \geqslant 1. \] Полученное противоречие доказывает необходимость.

$$\Leftarrow$$ Пусть $$A$$ ограничен. Тогда существует $$C > 0$$ такое, что: \[ \|Ax\|_Y \leqslant C\|x\|_X ~\forall x \in X. \] Если $$x \to 0$$, то и $$Ax \to 0$$, т.е. $$A$$ непрерывен в точке $$0$$, а значит, и всюду. $$\square$$

Ограниченность линейного оператора в конечномерном пространстве

Теорема 3. Пусть $$X$$, $$Y$$ — нормированные пространства, причем $$X$$ конечномерно. Тогда любой линейный оператор $$A: X \to Y$$ ограничен.

Доказательство

Так как $$X$$ конечномерно, то $$\dim X = n$$ и $$\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$$ — базис в $$X$$. Тогда для любого $$x \in X$$ имеем представление: $$ x = \sum\limits_{k=1}^{n} c_k e_k,$$ где $$c_k \in \mathbb{R}$$( или $$\mathbb{C}$$).

Рассмотрим норму на $$X$$: \[ \|x\|_1 = \sum\limits_{k=1}^n |c_k|. \] В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, поэтому существует константа $$C_1 > 0$$ такая, что:

\[ \|x\|_1 \leqslant C_1 \|x\|_X ~\forall x \in X. \]

Оценим норму оператора $$A$$: \[ \|Ax\|_Y = \left\| \sum\limits_{k=1}^n c_k A e_k \right\|_Y \leqslant \sum_\limits{k=1}^n |c_k| \cdot \|A e_k\|_Y. \]

Обозначим $$M = \max\limits_{1 \leqslant k \leqslant n} \|A e_k\|_Y$$. Тогда:

\[ \|Ax\|_Y \leqslant M \sum_\limits{k=1}^n |c_k| = M \|x\|_1 \leqslant M C_1 \|x\|_X. \]

Таким образом, для любого $$x \in X$$ выполняется: \[ \|Ax\|_Y \leqslant C \|x\|_X, \] где $$C = M C_1$$, что и означает ограниченность оператора $$A$$. $$\square$$

Пространство линейных операторов и норма

Пусть $$\mathcal{L}(X, Y)$$ — множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из $$X$$ в $$Y$$. Введём в $$\mathcal{L}(X, Y)$$ операции сложения и умножения на скаляр: \[ (A + B)x = Ax + Bx, \quad (\lambda A)x = \lambda Ax. \] Множество $$\mathcal{L}(X, Y)$$ с такими операциями образует линейное пространство.

Напомним общее определение нормы для линейного пространства.

Определение 6. Пусть $$X$$ — линейное пространство. Функция $$\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$$, определённая на $$X$$, является нормой, если выполнены аксиомы:

1. $$\forall x \in X \|x\| \geqslant 0$$; $$\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$$,

2. $$\forall x \in X$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R};$$ $$\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\|$$,

3. $$\forall x, y \in X;$$ $$\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|$$.

Любая норма порождает $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Метрическое_пространство#:~:text=%2C%20называемое-,метрикой,-или%20расстоянием%2C%20удовлетворяющее}{\text{метрику}}$$ $$d(x,y) = |x - y|$$.

Определение 7. Нормой линейного оператора $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ называется число \[ \|A\| = \sup\limits_{\|x\| \leqslant 1} \|Ax\|_Y. \]

Убедимся, что это действительно норма.

Теорема 4. Функция $$\|\cdot\| : \mathcal{L}(X, Y) \to \mathbb{R}$$ является нормой, т.е. удовлетворяет аксиомам:

1. $$\forall A \in \mathcal{L}(X, Y);$$ $$\|A\| \geqslant 0$$; $$\|A\| = 0 \Leftrightarrow A = 0$$,

2. $$\forall A \in \mathcal{L}(X, Y)$$ $$\forall \lambda \in \mathbb{R};$$ $$\|\lambda A\| = |\lambda| \cdot \|A\|$$,

3. $$\forall A, B \in \mathcal{L}(X, Y);$$ $$\|A + B\| \leqslant \|A\| + \|B\|$$.

Доказательство.

1) Очевидно, $$\|A\| \geqslant 0$$. Если $$\|A\| = 0$$, то $$\|Ax\|_Y = 0$$ для всех $$x$$ с $$\|x\|_X \leqslant 1$$, откуда $$A = 0$$.

2) $$\|\lambda A\| = \sup\limits_{\|x\|_X \leqslant 1} \|\lambda Ax\|_Y = |\lambda| \sup\limits_{\|x\|_X \leqslant 1} \|Ax\|_Y = |\lambda| \cdot \|A\|$$.

3) Для любого $$x$$ с $$\|x\|_X \leqslant 1$$ имеем: \[ \|(A + B)x\|_Y = \|Ax + Bx\|_Y \leqslant \|Ax\|_Y + \|Bx\|_Y \leqslant \|A\| + \|B\|. \] Переходя к супремуму, получаем $$\|A + B\| \leqslant \|A\| + \|B\|$$. $$\square$$

Понятие нормы линейного оператора позволяет изучать операторы как элементы нормированных пространств, применять к ним методы математического анализа и исследовать сходимость последовательностей операторов.

Докажем еще одно полезное утверждение для ограниченного оператора.

Теорема 5. Если $$A$$ — ограниченный линейный оператор, то справедлива оценка: \[ \|Ax\|_Y \leqslant \|A\| \cdot \|x\|_X \] для всех $$x \in X$$, где $$\|A\| = \sup\limits_{\|x\|_X \leqslant 1} \|Ax\|_Y$$.

Доказательство.

При $$x = 0$$ неравенство очевидно. Пусть $$x \neq 0$$, будем считать $$x' = \frac{x}{\|x\|_X}$$. Поскольку $$\|x'\|_X = 1$$, то по определению нормы$$\|Ax'\|_Y \leqslant \|A\|$$. После подстановки $$x'$$ получим $$\frac{\|Ax\|_Y}{\|x\|_X} \leqslant \|A\|$$ т.е. $$\|Ax\|_Y \leqslant \|A\| \cdot \|x\|_X$$, что и требовалось доказать. $$\square$$

Примеры вычисления норм линейных операторов

Пример 1: Максимум достигается

Рассмотрим оператор $$A: C[0,1] \to C[0,1] $$, который действует по формуле: \[ (Ax)(t) = \int_\limits0^t x(\tau) d\tau. \]

Найдем норму оператора:

Заметим, что оператор является ограниченным: \[ \sup\limits_{\|x\|_{C[0,1]} \leqslant 1}\|Ax\|_{C[0,1]} = \sup\limits_{\|x\|_{C[0,1]} \leqslant 1} \max\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}\left|\int\limits_0^t x(\tau) d\tau\right| \leqslant \sup\limits_{\|x\|_{C[0,1]} \leqslant 1} \max\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}\int\limits_0^t \left| x(\tau)\right| d\tau \leqslant 1, \]

так как функция под интегралом $$\left|x(t)\right|$$ удовлетворяет условию $$\left|x(t)\right| \leqslant 1$$ для всех $$t$$. Значит, $$\|A\| \leqslant 1$$.

Покажем, что равенство достигается, подобрав максимизатор $$x(t) \equiv 1$$, норма которого $$\|x\|_{C[0,1]} = 1$$: \[ (Ax)(t) = \int_\limits0^t x(\tau) d\tau = \int_\limits0^t 1 d\tau = t, \] \[ \|Ax\|_{C[0,1]} = \max\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \left| t \right| = 1. \] Таким образом, $$\|A\| = 1$$ и максимум достигается на функции $$x(t) \equiv 1$$.

Пример 2: Максимум не достигается (супремум)

Рассмотрим оператор $$A: C^1[0,1] \to C[0,1] $$, который действует по формуле: \[ (Ax)(t) = x'(t). \]

Найдем норму оператора:

Заметим, что оператор также является ограниченным: \[ \sup\limits_{\|x\|_{C^1[0,1]} \leqslant 1}\|Ax\|_{C[0,1]} = \sup\limits_{\|x\|_{C^1[0,1]} \leqslant 1} \max\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}\left|x'(t)\right| \leqslant \sup\limits_{\|x\|_{C^1[0,1]} \leqslant 1} (\max\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}\left|x'(t)\right| + \max\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}\left|x(t)\right|) = \sup\limits_{\|x\|_{C^1[0,1]} \leqslant 1} \|x\|_{C^1[0,1]} \leqslant 1. \]

Значит, $$\|A\| \leqslant 1$$.

Равенство достигается при $$\max\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}\left|x(t)\right| = 0$$, то есть при $$x(t) \equiv 0$$, но нулевые векторы в поиске $$\sup$$ мы не рассматриваем, следовательно, максимизатора не существует.

Отсутствие максимизатора означает, что нужно искать максимизирующую последовательность. Рассмотрим последовательность внутри единичного шара $$x_n(t) = \dfrac{t^n}{1+n} \to 0$$ при $$n \to \infty$$. Тогда:

\[ x'_n(t) = \frac{n}{1+n} \cdot t^{n-1} \to 1 \text{ при }n \to \infty, \]

\[ \|x_n\|_{C^1[0,1]} = \frac{1}{1+n} \left(\max\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}\left|n\cdot t^{n-1}\right| + \max\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1}\left|t^n\right|\right) = 1. \] Покажем, что последовательность из единичного шара $$B_1^C(0)$$ стремится к исходному равенству нормы: \[ (Ax_n)(t) = \frac{n}{1+n} \cdot t^{n-1}, \] \[ \|Ax_n\|_{C[0,1]} = \max\limits_{0 \leqslant t \leqslant 1} \left| \frac{n}{1+n} \cdot t^{n-1} \right| = \frac{n}{1+n} \to 1 \text{ при }n \to \infty. \] Таким образом, $$\|A\| = 1$$, но максимум не достигается, а супремум реализуется на последовательности $$\{x_n\}$$.

Список литературы

1. Точилин П.А. Лекции по курсу "Функциональный анализ", 2025.

2. Треногин В.А. "Функциональный анализ", 2002.