Просмотр кода страницы Непрерывность и дифференцируемость траекторий по начальным данным

Рассмотрим следующую задачу Коши: <math>\begin{aligned}
  \left\{
    \begin{aligned}
      &\dot x(t) = g(t, x(t)),\\
      &x(t_0) = x^0.
    \end{aligned}
  \right.\end{aligned}</math> Решение системы обозначим <math>x[t] \stackrel{\text{def}}{=}x(t, t_0, x^0).</math>

== Непрерывность, частный случай ==

Будем предполагать, что <math>\begin{aligned}
  g: [T_0, T_1] \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n, -\infty \leqslant T_0 < T_1 \leqslant+\infty.\end{aligned}</math> Также наложим следующие ограничения:

\begin{equation}\label{Restrictions}
\end{equation} 

# <math>\begin{aligned}[t]\label{technical}
   &g(t) \text{ измерима по } t \in [T_0, T_1] \forall x \in \mathbb{R}^n, \\
   &g(t) \text { непрерывна по } x \text{ для почти всех } \dot \forall t \in [T_0, T_1],
  \end{aligned}</math>
# <math>\begin{aligned}[t]\label{Lipsh}
    \exists L = const > 0: \left\lVert g(t, x_1) - g(t, x_2) \right\rVert \leqslant L\left\lVert x_1 - x_2 \right\rVert
    \quad \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n, \dot \forall t \in [T_0, T_1],
  \end{aligned}</math>
# <math>\begin{aligned}[t]\label{sublinear}
    \exists A, B = const: A, B > 0: \left\lVert g(t, x) \right\rVert \leqslant A\left\lVert x \right\rVert + B
    \quad \forall x \in \mathbb{R}^n,\dot \forall t \in [T_0, T_1].
  \end{aligned}</math>

Под записью <math>\dot \forall t</math> подразумевается &quot;для почти всех <math>t</math>&quot;. Ограничения '''1.''' носят технический характер и необходимы для обеспечения существования решения. Ограничениe '''2.'''  —условие Липшица. Ограничениe '''3.''' называется условием сублинейного роста (в данных теоремах оно не потребуется, однако оно потребуется в дальнейшем для продолжимости решения).

Далее введем введем переобозначения и будем рассматривать следующую систему:

\begin{equation}\label{newSys}
 \begin{cases}
      \dot x(t) = g(t, x(t)),\\
      x(\tau) = \xi,\\
      \tau \in (T_0, T_1).
 \end{cases}
\end{equation} 


''Определение.''
функция <math>y(t)</math> называется <math>\varepsilon-</math>решением системы \eqref{newSys}, если

\begin{equation*}
y(t) \in AC([\tau_0, \tau_1, \mathbb{R}^n]),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left\lVert\dot y(t)- g(t, y(t)) \right\rVert \leqslant\varepsilon
\end{equation*}
\begin{equation*}
\dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1],
\end{equation*}

где \(AC\)  —множество абсолютно непрерывных функций на множестве непрерывных функций.
То есть производная абсолютно непрерывной функции <math>y(t)</math> является решением уравнения <math>\dot y(t) = g(t, y(t))</math> с погрешностью не больше, чем <math>\varepsilon.</math>

'''Лемма'''.
Пусть <math>y_1(t)</math>  — <math>\varepsilon_1</math>-решение, а <math>y_2(t)</math>  — <math>\varepsilon_2</math>-решение задачи \eqref{newSys}, <math>\varepsilon_1, \varepsilon_2 > 0, y_1(\tau), y_2(\tau)</math> определены на <math>[\tau_0, \tau_1],</math> <math>T_0 < \tau_0 < \tau  < \tau_1 < T_1</math> и <math>\left\lVert y_1(\tau) - y_2(\tau) \right\rVert \leqslant\delta.</math> Тогда \begin{equation*}
    \left\lVert y_1(t) - y_2(t) \right\rVert \leqslant\delta e^{L\left|t - \tau\right|} + 
    \frac{\varepsilon}{L}\left(e^{L\left|t - \tau\right|} - 1\right),
    \varepsilon= \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \geqslant 0, \tau_0 < t < \tau_1.
  \end{equation*}

Доказательство.
Раз <math>y_j(t)</math>  — <math>\varepsilon</math>-решение, то справедливо <math>\left\lVert\dot y(t) - g(t, y(t)) \right\rVert \leqslant\varepsilon_j.</math> Обозначим <math> z_j (t) = \dot y_j(t) - g(t, y_j(t)).</math> Ясно, что <math>\left\lVert z_j \right\rVert \leqslant\varepsilon_j.</math> Проинтегрируем <math>z_j(t):</math>

\begin{equation*}
    \int \limits_{\tau}^{t}z_j(s)ds = y_j(t) - y_j(\tau) 
    - \int \limits_{\tau}^{t}g(s, y_j(s)ds.
  \end{equation*}

Вычтем друг из друг равенства для <math>j = 1, 2:</math>

\begin{equation*}
    \int \limits_{\tau}^{t}\left[z_1(s) - z_2(s)ds\right] = 
    y_1(t) - y_1(\tau) - (y_2(t) - y_2(\tau) )-
    - \int \limits_{\tau}^{t}\left[g(s, y_1(s) - g(s, y_2(s)) \right]ds.
  \end{equation*}

Обозначим <math>\Delta y(t) = y_1(t) - y_2(t), r(t) = \left\lVert\Delta y(t) \right\rVert.</math> Воспользовавшись липшицевостью функции <math>g(t, y_j(t))</math>, и тем, что <math>\left\lVert z_j(t) \right\rVert < \varepsilon_j,</math> получим следующее равенство:

\begin{equation}\label{eq1}
    r(t) \leqslant r(\tau) + 
    L \int \limits_{\min (t, \tau)}^{\max (t, \tau)}r(s)ds + \varepsilon\left|t - \tau\right|.
\end{equation} 

Не ограничивая общности, положим <math>t > \tau</math> (если не так, просто переобозначим <math>t = \tau, \tau = t</math>). Обозначим <math>r(t) = \dot R(t).</math> Тогда после того, как воспользуемся условием <math>r(\tau) < \delta</math>, \eqref{eq1} примет вид:

\begin{equation*}
    \dot R(t) - LR(t) \leqslant\delta + \varepsilon(t - \tau).
  \end{equation*}

Домножим на интегрирующий множитель <math>e^{-Lt},</math> и получим:

\begin{equation*}
    \frac{d}{dt}(R e^{Lt}) \leqslant(\delta + \varepsilon(t - \tau))e^{-Lt}.
  \end{equation*}

Проинтегрировав на отрезке <math>[\tau, t]</math> и домножив на <math>e^{Lt}</math> получим:

\begin{equation*}
    R(t) = \frac{\delta}{L}\left(e^{-L(t - \tau)} -1 \right) - 
    \frac{\varepsilon}{L}(t - \tau) + \frac{\varepsilon}{L^2}\left(e^{L(t - \tau)} -1  \right).
  \end{equation*}

Подставим получившийся результат в \eqref{eq1} вместо интеграла, получим:

\begin{equation*}
    r(t) \leqslant\delta + 
    \delta \left(e^{l(t - \tau)} -1  \right) + 
    \varepsilon\left( \frac{e^{L(t - \tau)} - 1}{L}\right).
  \end{equation*}
<math>\blacksquare</math>

'''Теорема 1'''.
Пусть <math>x(t, \tau, \xi)</math>  — решение задачи \eqref{newSys} и выполняются условия \eqref{Restrictions}. Тогда <math>x(t, \tau, \xi) \in C((T_0, T_1)^2 \times \mathbb{R}^n).</math><br>
''Доказательство.''
Обозначим <math>V = (T_0, T_1)^2 \times \mathbb{R}^n.</math> Решение будем строить методом последовательных приближений. Положим

\begin{equation*}
    x_0(t, \tau, \xi) = y[t] + \xi - y[\tau],
  \end{equation*}
где <math>y[t] = x(t, t_0, x_0)</math>  — решение для некоторого <math>T_0 < t_0 < T_1.</math> То есть

\begin{equation*}
    y(t) = y(\tau) + \int \limits_{\tau}^{t}g(s, y(s))ds.
  \end{equation*}

Положим <math>k</math>-ое приближение:

\begin{equation*}
    x_k(t, \tau, \xi) = \xi + 
    \int \limits_{\tau}^{t}g(s, x_{k-1}(s, \tau, \xi))ds.
  \end{equation*}

Далее под индукции покажем оценку для <math>\left\lVert x_k(t, \tau, \xi) - x_{k-1}(t, \tau, \xi) \right\rVert.</math> База:

<math>\begin{aligned}
    \left\lVert x_1(t, \tau, \xi) - x_{0}(t, \tau, \xi) \right\rVert 
    =\left\lVert\int \limits_{tau}^{t}
    \left[g(s, x_0(s, \tau, \xi)) -  g(s, y[s])ds\right] \right\rVert \leqslant
    L\left\lVert\xi - y[\tau] \right\rVert\left|t - \tau\right|.
  \end{aligned}</math>

Аналогично для произвольного <math>k</math> имеем

<math>\begin{aligned}
    \left\lVert x_k(t, \tau, \xi) - x_{k-1}(t, \tau, \xi) \right\rVert \leqslant
    L^{k+1}\frac{\left|t - \tau\right|^{k+1}}{(k+1)!}\left\lVert\xi -y[\tau] \right\rVert \to 0, k \to +\infty.
  \end{aligned}</math>

Представим <math>x_k(t, \tau, \xi) = \sum \limits_{i = 0}^{k}x_{i}(t, \tau, \xi) - x_{i-1}(t, \tau, \xi).</math> Тогда, подставив полученные выше оценки, получим:

<math>\begin{aligned}
    \left\lVert x_k(t, \tau, \xi) - y[t] \right\rVert = 
    \left\lVert\sum \limits_{i = 1}^{k}x_{i}(t, \tau, \xi) - x_{i-1}(t, \tau, \xi) \right\rVert \leqslant
    \sum \limits_{i = 1}^{k}\left\lVert x_{i}(t, \tau, \xi) - x_{i-1}(t, \tau, \xi) \right\rVert \leqslant
    \leqslant\sum \limits_{i = 1}^{k} L^{i+1}\frac{\left|t - \tau\right|^{i+1}}{(i+1)!}\left\lVert\xi -y[\tau] \right\rVert \leqslant
    e^{L(t - \tau)}\left\lVert\xi - y[\tau] \right\rVert.
  \end{aligned}</math>

Получили, что функциональный ряд ограничен сверху на любом компакте <math>K \subset V</math>, значит по признаку Даламбера он равномерно сходится. Из непрерывности <math>y[t]</math> \eqref{Restrictions} следует непрерывность <math>x_k(t, \tau, \xi).</math> При этом заметим, что <math>x</math>  — неподвижная точка сжимающего отображения <math>G(x) = \xi + \int \limits_{\tau}^{t}g(s, x(s, \tau, t)),</math> значит

\begin{equation*}
    x_k[t] \rightrightarrows x[t], k \to \infty.
  \end{equation*}

Тогда, выполнив предельный переход, получаем, что

<math>\begin{aligned}
    \left\lVert x(t, \tau, \xi) - y[t] \right\rVert \leqslant e^{L(t - \tau)}\left\lVert\xi - y[\tau] \right\rVert.
  \end{aligned}</math>

При этом, в силу непрерывности <math>x_k[t]</math> и равномерной сходимости следует, что <math>x[t]</math> непрерывна.
<math>\blacksquare</math>

'''Следствие.'''
<math>x(t, \tau, \cdot)</math> является гомеоморфизмом, т. е. <math>x(t, \tau, \cdot): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> взаимооднозначное непрерывное, и обратное также непрерывно, при этом:

<math>\begin{aligned}
  \left\{
    \begin{aligned}
      &\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)),\\
      &x(t_0) = x_0,\\
      & u(t) \in {\mathcal{P}}(t).
    \end{aligned}
  \right.\end{aligned}</math>

<math>{\mathcal{X}}[t] = {\mathcal{X}}(t, t_0, x_0).</math> Тогда если <math>\xi \in int {\mathcal{X}}[\tau],</math> <math>\forall t > \tau, \forall u(\cdot), s \in [t, \tau]</math>

Доказательство.
<math>\begin{aligned}
  x[s] = x(s, \tau, \xi | u(\cdot)).\end{aligned}</math>

Если <math>\xi \in \int {\mathcal{X}}[\tau],</math> то некоторая окрестность <math>U(\xi) \subset {\mathcal{X}}[\tau].</math> Тогда возьмем <math>x \in U(\xi)</math> и рассмотрим <math>y[s] = x(s, \tau, x|u(\cdot)):</math> <math>\begin{aligned}
    \bigcup \limits_{x \in U(\xi)}\{y[s]\} \subset {\mathcal{X}}[s] 
    \Rightarrow x[s] \in \int \bigcup \limits_{x \in U(\xi)} \{y[s]\}.
  \end{aligned}</math>
<math>\blacksquare</math> 

То есть если в какой-то момент времени траектория провалилась внутрь трубки достижимости, то обратно на границу она вернуться не может. В линейных система траектория движется вдоль границы постоянно.

== Дифференцируемость ==
'''Теорема 2'''.
Пусть выполнены условия \eqref{Restrictions} и, кроме того, производная <math>\frac{\partial g}{\partial x}</math> существует <math>\forall x \in \mathbb{R}^n, \dot \forall t \in [T_0, T_1],</math> измерима по <math>t</math> непрерывна по <math>x</math>, а также удовлетворяет следующему условию регулярности: пусть <math>\forall \tau_0, \tau_1: T_0 < \tau_0 < \tau_1 < T_1, 
  \forall \varepsilon> 0, \forall D \subset \mathbb{R}^n, D</math>  — непустой компакт, <math>\exists \delta(\varepsilon, \tau_0, \tau_1, D) > 0:</math>

\begin{equation*}
    \forall x_1, x_2 \in D: \left\lVert x_1 - x_2 \right\rVert \leqslant\delta \Rightarrow 
    \Rightarrow \left\lVert\frac{\partial g}{\partial x}(t, x_1) - \frac{\partial g}{\partial x}(t, x_2) \right\rVert \leqslant\varepsilon
    \forall t \in [\tau_0, \tau_1].
  \end{equation*}

Тогда <math>\exists \frac{\partial x(t, \tau, \xi)}{\partial \xi} \left|_{(t, t_0, x_0)} \right.
  = Y(t, \tau, \xi), Y[\cdot] \in AC,</math> удовлетворяет уравнению в вариациях:

<math>\begin{aligned}
    \left\{
      \begin{aligned}
        &\dot Y[t] = \frac{\partial g(t, x(t, \tau, \xi))}{\partial x}Y[t],\\
        &Y[\tau] = E.
      \end{aligned}
    \right.
  \end{aligned}</math>

'''Доказательство.'''

Обозначим <math>y[t] = x(t, \tau, \xi),</math> зафиксируем <math>\forall h \in \mathbb{R}^n</math> и рассмотрим <math>x_h(t)  = x(t, \tau, \xi + \alpha h), \alpha \in \mathbb{R}^n, \alpha > 0.</math> Обозначим <math>\nu_h(t, \tau, \xi, \alpha) = x_h[t] - y[t].</math> Применим доказанную лемму для оценки нормы этой величины:

<math>\begin{aligned}
    \left\lVert\nu_h(t, \tau, \xi, \alpha) \right\rVert 
    \leqslant\left|\alpha\right| \left\lVert h \right\rVert e^{L(t - \tau)} \xrightarrow{\alpha \to 0}0,
  \end{aligned}</math>

При этом сходимость равномерная по <math>(t, \tau, \xi)</math> на произвольном компакте. Продифференцируем <math>\nu_h</math> по времени:

<math>\begin{aligned}
    \frac{d \nu_h(t, \tau, \xi, \alpha)}{dt} = g(t, x_h[t]) - g(t, y[t])
    =\{\text{формула конечных приращений}\} =
    =\left[ \frac{\partial g}{\partial x} (t, y[t] + \beta(t)(x_h[t] - y[t])
    \right]\nu_h(t, \tau, \xi, \alpha) = **,
  \end{aligned}</math>

где <math>\beta(t) \in (0, 1)</math>  — множитель из формулы конечных приращений. Выберем <math>\tau_0, \tau_1: T_0 < \tau_0 < \tau_1 < T_1</math> и <math>D \subset \mathbb{R}^n</math>  — компакт такой, что

<math>\begin{aligned}
    \forall
    \left\{
      \begin{aligned}
        &t \in [\tau_0, \tau_1], \\
        &\beta \in [0, 1], \\
        &\tau \in [\tau_0, \tau_1], \\
        &\alpha: \left|\alpha\right| < \alpha_0,\\
      \end{aligned}
    \right|
    \Rightarrow y[t] + \beta \nu_h(t, \tau, \xi, \alpha) \in D.
  \end{aligned}</math>

Такое сделать возможно ввиду ограниченности <math>y[t]</math> и оценки на <math>\nu_h.</math> Из условий регулярности на <math>g:</math>

\begin{equation*}
    \forall \varepsilon> 0 
    \exists \delta = \delta(\varepsilon, \tau_0, \tau_1, D) > 0:
    \left\lVert\frac{\partial g(t, y[t])}{\partial x} - 
    \frac{\partial g(t, y[t] + \beta[t]\nu_h)}{\partial x} \right\rVert \leqslant\varepsilon,
    \quad \left\lVert\nu_h \right\rVert \leqslant\delta.
  \end{equation*}

Введем обозначение: <math>\Gamma \stackrel{\text{def}}{=}-\frac{\partial g(t, y[t])}{\partial x} - 
    \frac{\partial g(t, y[t] + \beta[t]\nu_h)}{\partial x}.</math> Тогда продолжая равенство <math>**</math> получим:

<math>\begin{aligned}
    ** = \left[  \frac{\partial g}{\partial x}(t, y[t]) + \Gamma \right]
    \nu_h(t, \tau, \xi, \alpha) = 
    \{\gamma: \alpha \gamma = \Gamma \nu_h 
    \Rightarrow \left\lVert\gamma \right\rVert \leqslant\left\lVert\Gamma \right\rVert\left\lVert h \right\rVert e^{L\left|t - \tau\right|}  \} = 
    = \frac{\partial g}{\partial x}(t, y[t])\nu_h(t, \tau, \xi, \alpha) + \gamma \alpha.
  \end{aligned}</math>

Введем еще одну функцию <math>\varphi_h(t, \tau, \xi, \alpha) \stackrel{\text{def}}{=}\frac{\nu_h(t, \tau, \xi, \alpha)}{\alpha}.</math> Для нее справедливо:

<math>\begin{aligned}
    \frac{\partial \varphi_h}{\partial t}(t, \tau, \xi, \alpha) = 
    \frac{\partial g}{\partial x}(t, y[t])\varphi_h(t, \tau, \xi, \alpha) + \gamma.
  \end{aligned}</math>

То есть <math>\varphi_h</math>  — <math>\tilde \varepsilon</math>-решение уравнения в вариациях.

\begin{equation*}
    \dot z[t] = \frac{\partial g}{\partial x}(t, y[t])z[t],
  \end{equation*}

где в качестве <math>\tilde \varepsilon</math> выступает <math>\gamma: \left\lVert\gamma \right\rVert \leqslant\tilde \varepsilon.</math> Пусть <math>\psi_h[\cdot] = \psi_h(\cdot, \tau)</math>  — решение уравнения в вариациях из условия теоремы c начальный условием <math>\psi_h[\tau] = h.</math> Тогда верно, что

\begin{equation*}
    \varphi_h(\tau, \tau, \xi, \alpha) = 
    \frac{x_h[\tau] - y[\tau]}{\alpha} = \frac{\xi + \alpha h - \xi}{\alpha} = h.
  \end{equation*}

Значит верно, что

\begin{equation*}
    \left\lVert\varphi_h(\tau, \tau, \xi, \alpha) - \psi_h(\tau, \tau) \right\rVert = 0.
  \end{equation*}

Применим доказанную лемму: при <math>\delta = 0, \varepsilon_1 = \tilde \varepsilon, \varepsilon_2 = 0</math> верно:

<math>\begin{aligned}
    \left\lVert\varphi_h(t, \tau, \xi, \alpha) - \psi_h(t, \tau) \right\rVert \leqslant
    \frac{\varepsilon}{L}(e^{L\left|t - \tau\right|} - 1) < \varepsilon^*,
  \end{aligned}</math>

где <math>\varepsilon^*</math>  — требуемая на этом шаге оценка. Она выполняется при <math>\left|\alpha\right| \leqslant\alpha_0.</math> Далее, раскручивая цепочку замен для <math>\varepsilon^* \to \tilde \varepsilon\to \varepsilon\to \delta,</math> воспользуемся ранее полученной оценкой

\begin{equation*}
    \left\lVert\nu_h \right\rVert \leqslant\left|\alpha\right|\left\lVert h \right\rVert e^{L\left|t - \tau\right|}.
  \end{equation*}

Из нее можно очевидным образом

\begin{equation*}
    \forall \varepsilon^* > 0 \exists \tilde \alpha > 0: 
    \left|\alpha\right| \leqslant\tilde \alpha \Rightarrow \left\lVert\nu_h \right\rVert \leqslant\delta.
  \end{equation*}

То есть
\begin{equation*}
    \varphi_h \rightrightarrows \psi_h, \quad \alpha \to 0,
  \end{equation*}

на компакте <math>K = [\tau_0, \tau_1] \times [\tau_0, \tau_1].</math> То есть искомый предел существует, и теперь можно вычислять <math>\frac{\partial x}{\partial h}</math>  — производная по направлению <math>h.</math> В силу того, что <math>h</math> произвольный, можем вместо него подставить по очереди произвольный ортонормированный базис <math>e_1, \dots, e_n.</math> Чтобы получить итоговое <math>Y[\cdot],</math> найдем <math>\frac{\partial x}{\partial e_1}, \dots, \frac{\partial x}{\partial e_n},</math> и результаты запишем в матрицу. Тогда получим <math>Y[\cdot],</math> которое удовлетворяем уравнению в вариациях и начальному условию <math>Y[\tau] = I.</math>
<math>\blacksquare</math> 

'''Следствие'''
(Чувствительность к вариации в начале).:

<math>\begin{aligned}
    x(t, \tau, \xi) = x(t, \tau, \xi_0) + Y[t, \tau, \xi_0](\xi - \xi_0) 
    + o(\left\lVert\xi - \xi_0 \right\rVert).
  \end{aligned}</math>
'''Замечание.'''
Условие регулярности из предыдущей теоремы выполнено тогда,
когда \(\frac{\partial f}{\partial x}(t, x, u)\) непрерывна по \((t, x, u)\).

Доказательство. Ограничим <math>u</math> замкнутым шаром радиуса <math>C > 0: B_C(0),</math> выберем <math>\forall D \subset \mathbb{R}^n</math>  — компакт. Тогда <math>\forall [\tau_0, \tau_1] \Rightarrow 
  K = [\tau_0, \tau_1] \times D \times B_C(0)</math>  — компакт. А значит из непрерывности <math>\frac{\partial f}{\partial x}(t, x, u)</math> следует равномерная непрерывность на <math>K.</math> Тогда

\begin{equation*}
    \left\lVert\frac{\partial f}{\partial x}(t, x_1, u) - 
    \frac{\partial f}{\partial x}(t, x_2, u) \right\rVert \leqslant\varepsilon\quad \forall 
    x_1, x_2 \in K, \tau \in [\tau_0, \tau_1], u \in B_C(0).
  \end{equation*}

В силу произвольности <math>K</math> получаем требуемое утверждение.
<math>\blacksquare</math> 

== Список литературы ==
1) Комаров Ю.A. Лекции по курсу "Оптимальное управление", 2020/2021.

2) Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. "Математическая теория оптимальных процессов", М.: Наука, 1983.