Просмотр кода страницы Множество достижимости линейной системы

Будем рассматривать систему
\begin{equation}\label{syst}
\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f(t), \quad t \in [t_0, t_1],
\end{equation}
где $$x \in \mathrm{R}^{n}$$ &mdash; вектор фазового состояния, $$u \in \mathrm{R}^m$$ &mdash; вектор управлений.

Пусть наша система движется из положения $$x(t_0) = x^0$$ и должна попасть в положение $$x(t_1) = x^1$$, при этом мы минимизируем следующий функционал:

\[
J[u(\cdot)] = \lVert u(\cdot) \rVert = \left( \int\limits_{t_0}^{t_1} \lVert u(t) \rVert^2 dt \right)^\frac{1}{2} \to \min.
\]

== Задача моментов ==

Найдём условия на $$u(\cdot)$$, чтобы $$x(t_0) = x^0,\ x(t_1) = x^1$$. Для этого выпишем [[Формула Коши|формулу Коши]]:

\[
x^1 = X(t_1, t_0) x^0 + \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) \left( B(t) u(t) + f(t) \right) dt.
\]

Перенесём все слагаемые, содержащие $$u(t)$$ в одну сторону.

\[
\int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) B(t) u(t) dt = x^1 - X(t_1, t_0) x^0 - \int\limits_{t_0}^{t_1} X(t_1, t) f(t) dt.
\]

Обозначим за $$c \in \mathrm{R}^n$$ правую часть этого равенства, а $$H(t_1, t) = X(t_1, t) B(t)$$. Получим '''задачу моментов''':

\begin{equation}\label{zm}
\int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) u(t) dt = c.
\end{equation}

== Определение ==

Найдём такие $$\mu > 0$$, что существует $$u(\cdot)$$ такое, что $$\lVert u(\cdot) \rVert_{L_2} и задача моментов \eqref{zm} разрешима. Для начала введём новое понятие.

'''Множеством достижимости''' называется множество
\[
\chi_\mu^0[t_0, t_1] = \bigcup\limits_{\begin{matrix} u(\cdot)\colon \\ \lVert u(\cdot) \rVert_{L_2} \le \mu \end{matrix}} \left( \int\limits_{t_0}^{t_1} H(t_1, t) u(t) dt \right).
\]
То есть это множество всех состояний, достижимых из $$x^0 = 0$$ при $$f = 0$$ при всех $$u$$ таких, что $$\lVert