Просмотр кода страницы Сумма двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

Данная глава посвящена рассмотрению суммы двух эллипсоидов, будут выведены внутренние и внешние оценки.
Здесь и далее в главе рассматриваются исключительно невырожденные эллипсоиды.
\begin{gather*}
    \mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}); \\
    \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2}); \\
\end{gather*}

==Определения==
===Сумма по Минковскому===
''Пусть даны два множества $$\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 \subset \mathbb{R}^n$$, геометрической суммой(суммой по Минковскому) называется следующая сумма:
\begin{equation}
\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2 = \bigcup_{h_1 \in \mathcal{H}_1} \bigcup_{h_2 \in \mathcal{H}_2} \{ h_1 + h_2\}.
\end{equation} ''

===Внешняя и внутренняя оценки===
''Пусть даны два эллипсоида $$\mathcal{E}_{1} = \mathcal{E} (a_1, Q_{1}),  \mathcal{E}_{2} = \mathcal{E} (a_2, Q_{2})$$, будем рассматривать их сумму $$\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}$$. Внешней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(+)}$$:
\begin{equation}
\mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} \subseteq \mathcal{E}_+^{(+)};
\end{equation}
''Внутренней оценкой будем называть $$\mathcal{E}_+^{(-)}$$:
\begin{equation}
 \mathcal{E}_+^{(-)} \subseteq \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2}.
\end{equation}

==Внешние оценки==
===Леммы===
'''Лемма 1'''<br>

'''(a)''' Эллипсоид \( \mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(P)), p > 0\) верно определен, а его внешняя оценка суммы \(\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2\) суть есть   
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))
\]
для любого \(p > 0 \) \[\]
'''(b)''' По данному вектору \( l \in R^n, \|l\| = 1\) выражение 
\[
p = (Q_1l,l)^{\frac{1}{2}}(Q_2l,l)^{-\frac{1}{2}}
\] определяет параметр \(p \in \Pi^{+}\), такой что
\[ \rho(l|\mathcal{E} (a_1 + a_2,Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}(a_1,Q_1) + \mathcal{E}(a_2,Q_2))\] 
И обратно, по данному параметру \(p \in \Pi^{+}\), существует вектор \( l \in R^n, \|l\| = 1\), удовлетворяющий вышеуказанным равенствам.  

'''Лемма 2'''<br>

Зафиксируем вектор \( l \in R^n, \|l\| = 1\) и предположим, что для некоторого \( m \in [0,n]\) имеем
\[
l_j = 0, если j \in \overline{1,m}\\
l_j \neq 0, если j = \overline{m+1,n}
\]
Помимо этого будем считать, что $$\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2)$$, а матрицы Q_1, Q_2 диагональные. В таком случае следующее верно:
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q),
\]
а также \[\rho(l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) \]
Тогда 
\[
c_{ij}, \text{ для всех } i \neq j, i \in \overline{m+1,n}
\]

'''Лемма 3'''<br>

Возьмем эллипсоид \(\mathcal{E}(0, C)\) вместе с \(\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(0,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(0,Q_2),\) предполагая \(Q_1 \text{ и } Q_2 \) диагональными. Также считаем данным вектор \( l \in R^n, \|l\| = 1\), параметр \(p\) считается известным ввиду Леммы 1. Тогда:
\[
 \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, C) \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p))
\]
и
\[
\rho(l|\mathcal{E}(0, Q(p))) = \rho(l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
тогда
\[
\mathcal{E}(0,Q(p)) = \mathcal{E}(0, C)\text{ и }p\in\Pi^{+} 
\]
===Теоремы===
'''Теорема 1'''<br>
Предполагая, что \(\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}(a_1,Q_1), \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}(a_2,Q_2),\) предполагая \(Q_1 \text{ и } Q_2 \) положительно определенными, а также \(Q(p)\) определенным в соответствии с Леммой 1.
<br>
Тогда внутренне множество достижимости сумм \( \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2\) состоит из эллипсоидов вида \( \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q(p)), где p\in\Pi^{+}\)

'''Доказательство'''<br>
Не ограничивая общности, ссылаясь на Лемму из первого раздела, мы можем предложить, что все центры эллипсоидов находятся в нуле, т.е.\(a_1 = a_2 = 0\)<br>
Пусть есть такой эллипсоид, что \( \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q)\).Давайте найдем параметр \(p\), такой, чтобы эллипсоид \(\mathcal{E}(0, Q(p))\) был зажат между \(\mathcal{E}(0, Q)\) и \( \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \). Итого мы имеем
\[
\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q(p)) \subseteq \mathcal{E}(0, Q)
\]
Мы можем считать, что \(\mathcal{E}(0, Q)\) касательно к \(\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2\), предполагая существование вектора \( l = \overline l \in R^n, \|\overline l\| = 1\), такое, что
\[
\rho(\overline l|\mathcal{E}(0, Q)) = \rho(\overline l|\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2)
\]
Давайте теперь выберем обратимую матрицу T такую, чтобы матрицы \( Q^{*}_1 = T'Q^{*}_1T ,Q^{*}_2 = T'Q^{*}_2T\) были бы обе диагональными. Существование подобной трансформационной матрицы T следует из результатов Линейной Алгебры и теории матриц.
<br>
Трансформационная матрица Т очевидно не подчиняется включению \( \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*})\) так мы имеем \( Q^{*} = T'QT\)
\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq  \mathcal{E}(0, Q^{*}) 
\]
Пользуясь отображением \( l = T z \) можно преобразовать тождество
\[
(\overline l, Q \overline l)^{\frac{1}{2}} = (\overline l, Q_1 \overline l)^{\frac{1}{2}} + (\overline l, Q_2 \overline l)^{\frac{1}{2}}
\]

К виду 
\[
(\overline z, Q^{*} \overline z)^{\frac{1}{2}} = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} + (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{\frac{1}{2}}
\]

где \(\overline z = T^{-1} \overline l \) 
Далее можно будут справедливыми следующие преобразования:

\[
\overline p = (\overline z, Q^{*}_1 \overline z)^{\frac{1}{2}} (\overline z, Q^{*}_2 \overline z)^{-\frac{1}{2}}
\]





\[
Q^{*}(\overline p) = (1 + \overline p^{-1})Q^{*}_1 + (1 + \overline p)Q^{*}_2
\]
Приходим к соотношению

\[
\mathcal{E}(0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}(0, Q^{*}_2) \subseteq \mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))
\]


\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_1)) +\rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}_2)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p)) = \rho(\overline z|\mathcal{E}(0, Q^{*})
\]

Из Леммы 3
Существует вектор \( z^{*}\) удовлетворяющий следующее:
\[
\rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*}(\overline p))) \gt \rho(z^{*}|\mathcal{E}(0, Q^{*})) 
\]

Очевидно , что вектора \( z^{*}\) и \(\overline z \) неколлинеарны. Определим пространство Z как пространство, натянутое на данные векторы. А  \(\mathcal{E}_z (0, Q) \) есть проекция эллипсоида на пространство Z.

\[
\mathcal{E}_z (0, Q^{*}) \subseteq \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p)) 
\]

\[
\rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*})) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}(\overline p))) = \rho(\overline z|\mathcal{E}_z (0, Q^{*}_1) + \mathcal{E}_z (0, Q^{*})_2)
\]

Из результатов Леммы 3 \( \mathcal{E}_z (0, Q^{*}) = \mathcal{E}_z (0, Q^{*}(p)) \) $$\blacksquare$$

==Внутренние оценки==
Пусть даны эллипсоиды $$\mathcal{E}(a_1, Q_1), \mathcal{E}(a_2, Q_2), Q_1 > 0, Q_2 > 0$$, рассмотрим матрицу $$Q_+[S]$$
\begin{equation}
Q_+[S] = S^{-1}[(SQ_1S')^{\frac{1}{2}} + (SQ_2S')^{\frac{1}{2}}]^2S'^{-1},
\end{equation}
и $$S \in \Sigma$$, где
\begin{equation}
\Sigma = \{S \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n) : S' = S, |S| \neq 0\}
\end{equation} 

===Леммы===
'''Лемма 1'''<br>

Эллипсоид $$\mathcal{E} = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) $$ является внутренним приближением суммы(по Минковскому) $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$, а именно для любого $$S \in \Sigma:$$ 
\begin{equation}
\mathcal{E}[S] = \mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2.
\end{equation}
Для любого $$S \in \Sigma$$ существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq1}
\rho(l|\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S])) = \rho(l|\mathcal{E}_1) + \rho(l|\mathcal{E}_2).
\end{equation}
И наоборот, для любого $$l \in \mathbb{R}^n, \|l\| = 1$$, существует матрица $$S^* \in \Sigma$$: при $$S = S^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}.



===Теоремы===
'''Теорема 1'''<br>

Рассмотрим эллипсоид $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$  с матрицей $$Q_+[S]$$, максимальное по включению множество оценивающее сумму $$\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ состоит из эллипсоидов вида $$\mathcal{E}(a_1 + a_2, Q_+[S]), S \in \Sigma$$.

'''Доказательство'''<br>

Как и в теореме о внешних оценках предположим, что $$a_1 = a_2 = 0.$$

Для того, чтобы доказать максимальность $$\mathcal{E}(0, Q_+[S])$$, мы должны показать, что для любого эллипсоида $$\mathcal{E}(0, Q)$$ из того, что $$\mathcal{E}(0, Q_+[S]) \subseteq \mathcal{E}(0, Q) \subseteq \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2$$ следует, что $$Q_+[S] = Q.$$


Согласно Лемме 1 о внутренних оценках существует вектор $$l:\|l\| = 1$$, такой, что при $$l = l^*$$ выполняется равенство \ref{eq1}. 

Пусть $$z = Q_2^{-\frac{1}{2}}l^*.$$ Существует такая обратимая матрица $$B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$$, которая отображает $$i$$-ый единичный вектор $$e_i \in \mathbb{R}^n$$ в $$Q_2^{-\frac{1}{2}}z_i \in \mathbb{R}^n$$, для любых $$i = 1, ..., n.$$ Это приводит к 
\begin{equation}\label{eq2}
\rho(l, \mathcal{E}(0, B'Q_+[S]B)) \leq \rho(l, \mathcal{E}(0, B'QB)) \leq \rho(l, B'\mathcal{E}_1) + \rho(l, B'\mathcal{E}_2),
\end{equation}
для любых $$l \in \mathbb{R}^n$$. Это означает, что диагональные элементы $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ совпадают. 

Подставляя $$l = e_i + e_j, i \neq j, $$ получим 
\begin{equation}
q_{ii}^{(+)} + 2q_{ij}^{(+)} + q_{jj}^{(+)} \leq q_{ii} + 2q_{ij} + q_{jj},
\end{equation}
для произвольных фиксированных $$i$$ и $$j$$, где $$q_{kr}^{(+)}$$ и $$q_{kr}$$ обозначают элементы в $$k$$-ом ряду и $$r$$-ом столбце матриц $$B'Q_+[S]B$$ и $$B'QB$$ соответственно. Т.к. диагональные элементы равны, получим: $$q_{ij}^{(+)} \leq q_{ij}$$. 

Подставляя $$l = e_i - e_j $$ в \ref{eq2} приходим к обратному неравенству. Следовательно, $$B'Q_+[S]B = B'QB$$ и благодаря обратимости $$B$$, получаем, что $$Q_+[S] = Q.$$ $$\blacksquare$$

==Примеры==
'''Пример 1'''<br>
\[
a_1 = (3, 2), a_2 = (1, -1), 
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 2 & 7  \end{pmatrix},  
Q_2 = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 2  \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum2.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext2.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int2.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]


<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>



'''Пример 2'''<br>
\[
a_1 = (0, 0), a_2 = (1, -1), a_3 = (-2, 2),
\]
\[
Q_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3  \end{pmatrix}, 
Q_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3  \end{pmatrix}, 
Q_3 = \begin{pmatrix} 4 & -1\\ -1 & 3  \end{pmatrix}.
\]

[[Файл:Sum1.png|center|Сумма эллипсоидов]]
[[Файл:Ext1.png|600px|left|Внешняя аппроксимация]]
[[Файл:Int1.png|600px|right|Внутренняя аппроксимация]]