Просмотр кода страницы Теорема о чередовании нулей и её приложения

Рассмотрим движение материальной точки в нелинейном поле:

\begin{equation*}
\ddot x + f(x, \dot x) = u,
\end{equation*}
\begin{equation*}\label{newSys}
 \begin{cases}
      \dot x_1 = x_2,\\
      \dot x_2 = -f(x_1, x_2) + u,\\
      x_1(t_0) = x_1^0, x_2(t_0) = x_2^0,\\
      |u| \leq 1.
 \end{cases}
\end{equation*}

Пусть <math>f(0, 0) = 0</math> (иначе воспользуемся заменой переменных).
Требуется стабилизировать систему:
\begin{equation*}
 \begin{cases}
      \dot x_1(t_1) = \dot x_2(t_1) = 0,\\
      t_1 \rightarrow min. 
 \end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
H = \psi_1 x_2 - \psi_2 f(x_1, x_2) + \psi_2 u
\end{equation*}

Сопряженная система:
\begin{equation*}
 \begin{cases}
      \dot \psi_1 = \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_1},\\
      \dot \psi_2 = -\psi_1 + \psi_2 \frac{\partial f(x_1, x_2)}{\partial x_2},\\
 \end{cases}
\end{equation*}
Условие максимума:
\begin{equation*}
u^* = 
 \begin{cases}
      \sign \psi_2, \psi_2 \neq 0,\\
      [-1, 1], \psi_2 = 0.\\
 \end{cases}
\end{equation*}