Просмотр кода страницы Геометрическая разность двух эллипсоидов. Внутренние и внешние оценки

В этой статье будут рассмотрены геометрическая разность двух эллипсоидов и ее внутренние и внешние оценки.
== Определение ==
Разностью двух эллипсоидов будем называть $$\varepsilon_{1} \dot{—} \varepsilon_{2}$$
\begin{gather*}
    \rho (l | \varepsilon_{1} \dot{—} \varepsilon_{2}) = conv( \rho(l | \varepsilon_{1}) - \rho (l | \varepsilon_{2} ))
\end{gather*}
== Основные понятия ==
Пусть $$ q \in \mathbb{R}^{n}, Q \in \mathbb{R}^{n \times n} $$ и $$Q$$ неотрицательно определена. Эллипсоидом $$\varepsilon (q, Q) $$ с центром q и матрицей Q называется выпуклое замкнутое множество точек $$\mathcal{R}^{n}$$, опорная функция $$\rho (l | \varepsilon (q, Q)$$ которого равна $$\langle l, q \rangle + \langle l, Ql \rangle^{\frac{1}{2}}$$.

В случае, когда центр $$q$$ не упоминается будем считать, что он находится в центре координат.

== Внутренние эллипсоидальные оценки ==
Пусть $$Q_{2}$$ - положительно определена, а $$Q_{1}$$ - неотрицательно определенная матрицы. Для оценивания разности эллипсоидов $$\varepsilon(q_{2}, Q_{2}) \dot{—} \varepsilon(q_{21}, Q_{1})$$ введем некоторые обозначения. Введем семейство параметрических матриц
\begin{gather}
Q(p) = (1-p)Q_{2} - (1 - \frac{1}{p})Q_{1}.
\end{gather}
Также рассмотрим уравнение
\begin{gather}
det (Q_{2} - \lambda Q_{1}) = 0
\end{gather}
и обозначим корни этого уравнения
\begin{gather}
\lambda_{min} = \lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \ldots \leqslant \lambda_{n} = \lambda_{max}, (\lambda_{1} > 0, lambda_{n} < \infty).
\end{gather}
Также обозначим
\begin{gather}
Pi^{+} = \left[ \lambda_{min}^{1/2}, \lambda_{max}^{1/2} \right],
Pi^{-} = Pi^{+} \cap (1, \lambda_{min}).
\end{gather}
'''Лемма 1'''
Пусть $$\varepsilon(Q_{1}) \subseteq \varepsilon(Q_{2})$$, тогда справедливы следующие утверждения:

* Эллипcоид $$\varepsilon(Q(p))$$ невырожденный тогда и только тогда, когда $$p \in (\lambda_{max},1)$$;

* Для таких p эллипсоид $$\varepsilon(Q(p))$$  - внутренняя оценка разности $$\varepsilon(q_{2}, Q_{2}) \dot{—} \varepsilon(q_{21}, Q_{1})$$, то есть $$\varepsilon(Q(p)) \subseteq \varepsilon(q_{2}, Q_{2}) \dot{—} \varepsilon(q_{21}, Q_{1})$$.

'''Доказательство.'''
Из неравенства 
\begin{gather}
\varepsilon(Q_{1}) \subseteq \varepsilon(Q_{2})
\end{gather}
следует
\begin{gather}
\langle l, Q_{1} l \rangle < \langle l, Q_{2} l \rangle
\end{gather}
для любого вектора $$l \in \mathbb{R}^{n}$$ из чего можно вывести неравенство
\begin{gather}
\displaystyle p = \frac{\langle l, Q_{2} l \rangle^{1/2}}{\langle l, Q_{2} l \rangle^{1/2}} > 1.
\end{gather}


Будем оценивать разность эллипсоидами.
\begin{gather*}
    \varepsilon_{1} = \varepsilon (0, Q_{1}); \\
    \varepsilon_{2} = \varepsilon (0, Q_{2}); \\
    \varepsilon_{-} \displaystyle = \varepsilon (0, Q_{-}), \, где \, Q_{-} = (p_{1} - p_{1}) ( \frac{Q_{1}}{p_{1}} - \frac{Q_{2}}{p_{2}} );
\end{gather*}
Оценим опорной функцией:
\begin{gather*}
    \rho^{2} ( l | \varepsilon_{-} ) \displaystyle = \langle l, Q_{1}l \rangle + \langle l, Q_{2}l \rangle - \frac{p_{2}}{p_{1}}  \langle l, Q_{1}l \rangle - \frac{p_{1}}{p_{2}}  \langle l, Q_{2}l \rangle \leq \\
\displaystyle \leq \langle l, Q_{1}l \rangle + \langle l, Q_{2}l \rangle - 2 \sqrt{ \frac{p_{2}}{p_{1}} \langle l, Q_{1}l \rangle \frac{p_{1}}{p_{2}} \langle l, Q_{2}l \rangle } = \\
= \displaystyle \langle l, Q_{1}l \rangle - 2 \langle l, Q_{1}l \rangle^{0.5} \langle l, Q_{2}l \rangle^{0.5} = \\
\displaystyle = [ \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ]^{2}
\end{gather*}
равенство достигается при 
\begin{gather*}
    p_{1} = \langle l, Q_{1}l \rangle^{0.5}; \\
    p_{2} = \langle l, Q_{2}l \rangle^{0.5}.
\end{gather*}.
Необходимо, чтобы $$Q_{-} \geqslant 0 $$. Это достигается при 
\begin{gather*}
    \begin{cases}
        \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) \geqslant 0,
        ( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) = conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ).
    \end{cases}
\end{gather*}
При этом если известно, что $$Q_{-} \geqslant 0 $$, то
\begin{gather*}
    \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ).
\end{gather*}
Из этого получаем, что $$ \rho ( l | \varepsilon_{1} \dot{-} \varepsilon_{2} ) $$ - максимальная выпуклая функция, не превосходящая $$ conv ( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) $$. 
Применим овыпукление к предыдущему неравенству: <br />
I способ.
\begin{gather*}
    conv( \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \geqslant \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \\
    conv( \rho ( l | \varepsilon_{-} )  ) \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) ) \Rightarrow \\
    \text{ \{ так как} \rho ( l | \varepsilon_{-} ) \text{выпуклая функция \} } \Rightarrow \\
    \rho ( l | \varepsilon_{-} )   \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) )
\end{gather*}
II способ.
\begin{gather*}
    \rho ( l | \varepsilon_{-} ) - \text{выпуклая функция}  \geqslant conv( \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ) \\
    \text{Выбираем эллипсоид} \rho ( l | \varepsilon_{-} ) = \rho ( l | \varepsilon_{1} ) - \rho ( l | \varepsilon_{2} ), \\
    \text{но тогда обязательно возникнет точка, которая вылезет за границу множества}
\end{gather*}
но тогда обязательно возникнет точка, которая вылезет за границу множества - такого не может быть, так как в этом случае

== Внешние эллипсоидальные оценки. ==