Просмотр кода страницы Теорема А.А. Фельдбаума о числе переключений

== Постановка задачи ==
Закон движения объекта записывается в виде линейной системы дифференциальных уравнений:
\[
\frac{dx_i}{dt} = \sum\limits_{k = 1}^{n}a_{ik}x_k + \sum\limits_{l = 1}^m b_{il}u_l,
\]
или в векторной форме:
\[
\frac{dx}{dt} = Ax + Bu,
\]
где $$A$$ — матрица коэффициентов, имеющая все действительные собственные значения.<br>
Будем рассматривать задачу быстродействия, то есть задачу о минимизации времени перехода: \[t_1 - t_0 = \int\limits_{t_0}^{t_1}dt.\]<br>
Множество допустимых управлений $$U$$ представляет собой параллелепипед, определенный неравенствами:
\[
\alpha_i \leq u_i \leq \beta_i, i = 1, ..., m.
\]
Гамильтониан $$\mathscr{H}(\psi, x, u)$$ системы (1) имеет вид:
\[
\mathscr{H} = (\psi, Ax) + (\psi, Bu) = \sum\limits_{j = 1}^n \psi_j \sum\limits_{i = 1}^n a_{ji}x_i + \sum\limits_{j = 1}^n \psi_j \sum\limits_{i = 1}^m b_{ji}u_i.
\]
<br>
Вспомогательная система уравнений записывается следующим образом:
\[
\frac{d\psi_j}{dt} = - \sum\limits_{i = 1}^na_{ji}\psi_j, j = 1, ..., n, 
\]
или в векторной форме:
\[
\frac{d\psi}{dt} = -A^{T}\psi.
\]
На основании принципа максимума можно заключить, что если $$u(t)$$ — оптимальное управление, переводящее точку $$x_0(t)$$ в точку $$x_k(t)$$, то существует такое решение $$\psi(t)$$ вспомогательной системы (2,5), что:
\[
(\psi(t), Bu(t)) = M(\psi(t)),
\]
где $$M(\psi, x) = \sup\limits_{u \in U} \mathscr{H}(\psi, x, u).$$

== Формулировка теоремы А.А.Фельдбаума ==
Пусть множество допустимых управлений $$U$$ представляет собой параллелепипед, определенный неравенствами (2), и все собственные значения матрицы $$A$$ действительны. Тогда для каждого ненулевого решения $$\psi(t)$$ уравнений (3) соотношение (4) однозначно определяет управление $$u(t) = (u_1(t), ..., u_m(t)).$$ При этом оказывается, что каждая из функций $$u_k (k = 1, ..., m)$$ кусочно-постоянна , принимает только значения $$\alpha_k$$ и $$\beta_k$$ и имеет не более $$(n - 1)$$ переключений (не более $$n$$ интервалов постоянства), где n - порядок системы уравнений (1).

== Доказательство теоремы А.А.Фельдбаума ==