Просмотр кода страницы Лемма о перестановке интеграла и супремума


Условия перестановки интеграла и супремума складываются в лемму, которая возникает в [https://sawiki.cs.msu.ru//index.php/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%B1%D1%8B%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F задаче быстродействия] (т.е. поиска управления, оптимального по времени) и применяется для облегчения расчета [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0 опорной функции] множества достижимости.

== Задача быстродействия ==

Тип задач оптимального управления, заключающегося в переводе системы из начального фиксированного положения в конечное, также фиксированное, за минимальное время.

Пусть наша система описывается следующими условиями:

\begin{equation}\label{ms}
    \begin{cases}
    \dot{x} = A(t)x(t) + B(t)u(t)+f(t), \\
    x(t_0) = x^0, \\
    x(t_1) = x^1, \\
    u(\tau) \in \mathcal{P} \in \textit{conv}R^m, \\
    t_1 - t_0 \longrightarrow \text{inf},
    \end{cases}
\end{equation}

где $$ x^0,\,x^1,\,t_0 $$ - фиксированы, $$ A(t),\,B(t),\,f(t) $$ - непрерывны, а $$ \mathcal{P} $$ непрерывно, как многозначное отображение (это требование гарантирует нам непрерывность  [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F опорной функции] $$ 
\mathcal{\rho(l|\mathcal{P}(\tau))} $$ по $$ \tau $$ для любого $$ l $$).

== Множество достижимости ==

Введем множество достижимости $$ \mathcal{X}[t_1] $$:

\[
    \mathcal{X}[t_1] = \mathcal{X}(t_1,t_0,x^0) = \{x = x(t_1,t_0,x^0\,|\,u(\cdot)), u(\tau) \in \mathcal{P}\}.
\]

Обозначение $$ \mathcal{X}[t_1] $$ означает, что в данный момент нам интересна зависимость $$ \mathcal{X} $$ только от переменной $$ t_1 $$, хотя в общем случае значение $$ \mathcal{X} $$ зависит от большего числа переменных.

Введем также трубку достижимости (функцию, отображающую время на соответствующее множество достижимости) как $$ \mathcal{X}[\cdot] $$. Ее графиком будем называть множество: 

\[
    \mathcal{X}[\cdot] = \{(t,\,x): x\in \mathcal{X}[t]\}.
\]

Тогда [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F опорная функция] множества достижимости будет рассчитываться по следующей формуле:

\[
    \rho(l\,|\,\mathcal{X}[t_1]) = \sup\limits_{u(\cdot)} \left[ \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u(\tau) 
    \rangle d\tau + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau \right] = 
\]
\[
    = \langle l,\,X(t_1,t_0) \rangle + \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle l,\,X(t_1,\tau)f(\tau) \rangle d\tau + \sup\limits_{u(\cdot)} \left[  
    \int\limits^{t_1}_{t_0}\langle B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l,\,u(\tau) \rangle d\tau  \right]. 
\]

Теперь, у нас все готово для рассмотрения основной леммы.

== Формулировка леммы о перестановке интеграла и супремума ==
''Пусть рассматривается задача быстродействия \eqref{ms}. Тогда, обозначив $$s(\tau) = B^T(\tau)X^T(t_1,\tau)l$$, получим верное тождество:''
\[
    \sup\limits_{u(\cdot)}\left[ \int\limits^{t_1}_{t_0} \langle s(\tau),\,u(\tau) \rangle \,d\tau\right] = \int\limits^{t_1}_{t_0}\left[\sup\limits_{u \in 
    \mathcal{P}} \langle s(\tau),\,u \rangle\right] d\tau.
\]

== Доказательство леммы ==
Так как $$ s(\tau) $$ - непрерывная функция, то $$ \rho(s(\tau)|\mathcal{P}(t)) = \sup\limits_{u \in \mathcal{P}(\tau)} \langle s(\tau),\,u \rangle $$ непрерывно по $$ \tau $$, и, следовательно, интегрируема.
Рассмотрим $$ \mathcal{P}^*(\tau) = \underset{u(\cdot) \in \mathcal{P}(\tau)}{Arg\,max} \langle s(\tau),\,u \rangle $$. Проверим, что это многозначное отображение является измеримым. Для этого достаточно доказать его полунепрерывность сверху. Так как полунепрерывность сверху равносильна замкнутости графика $$ \mathcal{P}^*(\tau) $$, то нам надо показать, что из $$ \tau^n \longrightarrow \tau $$, $$ u^n \longrightarrow u $$, $$ u^n \in \mathcal{P}^*(\tau^n) $$, при $$ n \longrightarrow \infty $$, следует, что $$ u \in \mathcal{P}^*(\tau) $$. Это равносильно соотношениям:
\[
    \langle s(\tau^n),\,u^n \rangle = \rho(s(\tau^n)\,|\,\mathcal{P}(\tau^n)),
\] 
\[
    \langle l,\,u^n \rangle \leq \rho(l\,|\,\mathcal{P}^*(\tau^n)),
\] 

для любого $$ l $$. Тогда 

\[
    \langle s(\tau),\,u \rangle = \rho(s(\tau)\,|\,\mathcal{P}(\tau)),
\]
\[
    \langle l,\,u \rangle \leq \rho(l\,|\,\mathcal{P}^*(\tau)),
\] 

что верно, и, стало быть, $$ u \in \mathcal{P}^*(\tau) $$, что и дает нам замкнутость графика, и, следовательно, измеримость.

Воспользуемся ''леммой об измеримом селекторе'' из курса многозначного анализа:


"Если многозначное отображение $$\mathcal{P}^*$$ измеримо, то существует такая измеримая функция (селектор) $$ u^*(\cdot) $$, что $$ u^*(\tau) \in \mathcal{P}^*(\tau) $$ для почти всех $$ \tau $$."

Для этого селектора $$ \langle s(\tau),\,u^*(\tau) \rangle \leq \rho(s(\tau)\,|\,\mathcal{P}(\tau)) $$, интегралы в условии леммы существуют, что влечет за собой достижение точной верхней грани на $$ u(\tau) \in \mathcal{P}^*(\tau) $$, что и требовалось доказать. $$\blacksquare$$

== Результаты применения леммы ==


[[Категория:ОУ]]