Просмотр кода страницы Обратный оператор. Теорема Банаха об обратном операторе

==Обратный и непрерывно обратимый оператор==
'''Определение 1.''' $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора#:~:text=оператор}{\text{Оператор}}$$ $$A$$ называется '''обратимым''', если для любого $$y \in \operatorname{Im} A$$ уравнение $$Ax = y$$ имеет единственное решение.

Если $$A$$ обратим, то каждому $$y \in \operatorname{Im} A$$ можно поставить в соответствие единственный элемент $$x \in $$ $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора#:~:text=множеством%20определения}{D(A)},$$ являющийся решением уравнения $$Ax = y.$$ Оператор, осуществляющий это соответствие, называется '''обратным''' к $$A$$ и обозначается $$A^{-1}.$$

'''Теорема 1.''' Оператор $$ A^{-1} $$ существует и ограничен на $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Норма_линейного_оператора#:~:text=областью%20значений}{\text{области значений}}$$ тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной $$ m > 0 $$ и любого $$ x \in D(A) $$ выполняется неравенство $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

'''Необходимость'''

Докажем, что существует $$m > 0$$ такое, что для всех $$x \in D(A)$$ верно $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Из ограниченности $$A^{-1}$$ следует: существует $$c > 0$$ такое, что для любого $$y \in \operatorname{Im} A$$ выполняется $$\|A^{-1}y\| \leqslant c \|y\|.$$

Возьмём произвольный $$x \in D(A)$$ и положим $$y = Ax$$, тогда $$y \in \operatorname{Im} A.$$
Так как $$A^{-1}$$ существует, имеем $$A^{-1}y = x.$$

Подставляем $$y = Ax$$ в неравенство ограниченности:
: $$\|x\| = \|A^{-1}y\| \leqslant c \|y\| = c \|Ax\| \Longleftrightarrow \|Ax\| \geqslant \dfrac{1}{c} \|x\|.$$

Обозначая $$m = \dfrac{1}{c} > 0$$, получаем искомое неравенство.

'''Достаточность'''

Теперь известно, что существует $$m > 0$$ такое, что для всех $$x \in D(A)$$ выполнено неравенство $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

Докажем существование $$A^{-1}$$.
Из неравенства следует, что
:$$Ax = 0 ⇒ 0 = \|Ax\| \geqslant m \|x\| \geqslant 0,$$

откуда $$\|x\| = 0$$, то есть $$x = 0$$.

Это означает, что ядро оператора $$A$$ тривиально: 
:$$\operatorname{ker}(A) = \{ x \in D(A) : Ax = 0 \} = \{0\}.$$

Для линейного оператора инъективность ($$\operatorname{ker}(A) = \{0\}$$) эквивалентна существованию обратного оператора $$A^{-1}$$, определённого на $$ \operatorname{Im} A$$. Таким образом, $$A^{-1}$$ существует.

Докажем ограниченность $$A^{-1}$$.
Возьмём произвольный $$y \in \operatorname{Im} A.$$ Так как $$A^{-1}$$ существует, найдётся единственный $$x \in D(A)$$ такой, что $$Ax = y$$ и $$x = A^{-1}y.$$

Подставим $$x = A^{-1}y$$ в исходное неравенство: 
:$$\|A(A^{-1}y)\| \geqslant m \|A^{-1}y\|.$$

Но $$A(A^{-1}y) = y$$, поэтому: $$\|y\| \geqslant m \|A^{-1}y\| \Longleftrightarrow \|A^{-1}y\| \leqslant \dfrac{1}{m} \|y\|.$$

Это и означает ограниченность оператора $$A^{-1}$$ на $$\operatorname{Im} A$$ константой $$c = \dfrac{1}{m}. &#9632;$$


'''Определение 2.''' Линейный оператор $$A: X \to Y$$ называется '''непрерывно обратимым''', если оператор $$A$$ обратим и обратный оператор имеет конечную норму $$||A^{-1}||<\infty.$$

'''Теорема 2.''' Пусть $$X, Y &mdash;$$ нормированные пространства. Оператор $$A: X \to Y$$ непрерывно обратим тогда и только тогда, когда $$\operatorname{Im} A = Y$$ и для некоторой постоянной $$m > 0$$ и для всех $$x \in X$$ выполняется неравенство $$\|Ax\| \geqslant m\|x\|.$$

==Теорема Банаха об обратном операторе==
'''Теорема 3 (Банаха об обратном операторе).''' Пусть $$X, Y &mdash;$$ $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=банаховым%20пространством}{\text{банаховы пространства}}$$, оператор $$A: X \to Y &mdash;$$ линейный $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=ограниченным}{\text{ограниченный }}$$и обратимый. Тогда $$A$$ непрерывно обратим.

Для доказательства теоремы воспользуемся леммой о разложении элемента по всюду плотному множеству.

'''Лемма.''' Пусть $$ X $$ $$&mdash;$$ банахово пространство; $$ M \subset X $$ $$&mdash;$$ всюду плотное множество в $$ X $$; $$ y \in X $$ — произвольный ненулевой элемент. Тогда $$ y $$ можно представить в виде сходящегося ряда <math>\sum_{n=1}^{\infty} y_n, </math>
где <math>\| y_k \| \leqslant \dfrac{3\|y\|}{2^k}, \quad k = 1,2,\dots</math>

Так как $$ M $$ плотно в $$ X $$, для любого элемента $$ z \in X $$ и любого $$ \varepsilon > 0 $$ существует $$ m \in M $$ такая, что
$$
\| z - m \| < \varepsilon.
$$ Элементы $$ y_k $$ строим последовательно, используя плотность $$ M $$. Выберем $$ y_1 \in M $$ так, чтобы $$
  \| y - y_1 \| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2}.$$ Это возможно, так как шар $$ B $$ <math>\left(y, \dfrac{\|y\|}{2}\right)</math> содержит элементы из $$ M $$. Выберем $$ y_2 \in M $$ так, чтобы $$
  \| y - y_1 - y_2 \| \leqslant \dfrac{\|y\|}{4}.$$ После выбора $$ y_1, \dots, y_{n-1} $$ выберем $$ y_n \in M $$ так, чтобы
$$\left\| y - \sum_{k=1}^n y_k \right\| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2^n}. (*)$$
Это возможно, так как множество $$ M $$ плотно и позволяет аппроксимировать остаток $$ y - \sum_{k=1}^{n-1} y_k $$ с точностью $$ \dfrac{\|y\|}{2^n} $$.

Из $$(*)$$ следует, что $$
\left\| y - \sum_{k=1}^n y_k \right\| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2^n} \to 0 \quad \text{при } n \to \infty.
$$
Следовательно,
$$
y = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n y_k = \sum_{k=1}^\infty y_k.
$$

Докажем по индукции, что $$ \| y_k \| \leqslant \dfrac{3\|y\|}{2^k} $$.

Для $$ y_1 $$: $$
  \| y_1 \| = \| y_1 - y + y \| \leqslant \| y_1 - y \| + \| y \| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2} + \|y\| = \dfrac{3\|y\|}{2}.
$$

Для $$ y_2 $$: $$
  \| y_2 \| = \| y_2 + (y_1 - y) + (y - y_1) \| \leqslant \| y - y_1 - y_2 \| + \| y - y_1 \| \leqslant \dfrac{\|y\|}{4} + \dfrac{\|y\|}{2} = \dfrac{3\|y\|}{4}.$$

Для $$ y_n $$: $$
  \| y_n \| = \| (y_n + \dots + y_1 - y) + (y - y_1 - \dots - y_{n-1}) \| \leqslant \left\| y - \sum_{k=1}^n y_k \right\| + \left\| y - \sum_{k=1}^{n-1} y_k \right\| \leqslant \dfrac{\|y\|}{2^n} + \dfrac{\|y\|}{2^{n-1}} = \dfrac{3\|y\|}{2^n}.$$

Таким образом, для всех $$ k $$ выполняется
$$
\| y_k \| \leqslant \dfrac{3\|y\|}{2^k}.
$$ $$&#9632;$$

Докажем теперь теорему Банаха об обратном операторе. 

Для каждого $$ k \in \mathbb{N} $$ определим множество:
\[
M_k = \{ y \in Y : \|A^{-1}y\| \leqslant k\|y\| \}.
\]

Каждое $$ M_k $$ замкнуто как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении. Любой $$ y \in Y $$ принадлежит некоторому $$ M_k $$ $$&mdash;$$ достаточно взять $$ k \geqslant \dfrac{\|A^{-1}y\|}{\|y\|} $$ для $$ y \neq 0 $$, следовательно, $$ Y = \bigcup_{k=1}^\infty M_k. $$

Так как $$ Y $$ — полное метрическое пространство, по теореме $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Замкнутый_линейный_оператор#:~:text=банахово%20пространство%20является%20множеством%20II%20категории}{\text{Бэра-Хаусдорфа о категориях}}$$ хотя бы одно из $$ M_k $$ (обозначим его $$ M_n $$) не является нигде не плотным. Значит, существует шар $$ B \subset Y $$, в котором $$ M_n $$ плотно.

Пусть $$ B = B(y_0, r) $$ — шар, в котором $$ M_n $$ плотно. Рассмотрим шаровой слой:
\[
P = \{ z \in Y : \beta < \|z - y_0\| < \alpha \},
\]
где $$ 0 < \beta < \alpha < r $$.

Слой $$ P $$ содержится в $$ B $$ и также содержит плотное в нём множество $$ M_n $$.

Рассмотрим сдвинутый слой:
\[
P_0 = P - y_0 = \{ z \in Y : \beta < \|z\| < \alpha \}.
\]
Для любого $$ z \in P \cap M_n $$ имеем $$ z - y_0 \in P_0 $$. Оценим:
\[
\begin{aligned}
\|A^{-1}(z - y_0)\| &\leqslant \|A^{-1}z\| + \|A^{-1}y_0\| \leqslant n\|z\| + n\|y_0\| = n(\|z - y_0 + y_0\| + \|y_0\|) \leqslant\\
&\leqslant n(\|z - y_0\| + 2\|y_0\|) = n\|z - y_0\|\left(1 + \dfrac{2\|y_0\|}{\|z - y_0\|}\right) \leqslant n\|z - y_0\|\left(1 + \dfrac{2\|y_0\|}{\beta}\right).
\end{aligned}
\]
Положим:
\[
N = n\left(1 + \dfrac{2\|y_0\|}{\beta}\right).
\]
Тогда для всех $$ z \in P \cap M_n $$ выполняется:
\[
\|A^{-1}(z - y_0)\| \leqslant N\|z - y_0\|,
\]
т.е. $$ z - y_0 \in M_N $$.

Так как $$ M_n $$ плотно в $$ P $$, множество $$ \{z - y_0 : z \in P \cap M_n\} $$ плотно в $$ P_0 $$. Следовательно, $$ M_N $$ плотно в $$ P_0 $$.

Возьмём произвольный ненулевой $$ y \in Y $$. Подберём $$ \lambda \in \mathbb{R} $$ так, чтобы:
\[
\beta < \|\lambda y\| < \alpha \quad \Rightarrow \quad \lambda y \in P_0.
\]
Так как $$ M_N $$ плотно в $$ P_0 $$, существует последовательность $$ \{y_k\} \subset M_N $$, сходящаяся к $$ \lambda y $$. Тогда $$ \dfrac{1}{\lambda}y_k \in M_N $$ : множество $$ M_N $$ однородно, и $$ \dfrac{1}{\lambda}y_k \to y $$.

Таким образом, $$ M_N $$ плотно в $$ Y \setminus \{0\} $$, а значит, и в $$ Y $$.

Для произвольного ненулевого $$ y \in Y $$ по лемме о разложении (так как $$ M_N $$ плотно в $$ Y $$):
\[
y = \sum_{k=1}^\infty y_k, \quad y_k \in M_N, \quad \|y_k\| \leqslant \dfrac{3\|y\|}{2^k}.
\]

Рассмотрим элементы $$ x_k = A^{-1}y_k \in X $$. Так как $$ y_k \in M_N $$:
\[
\|x_k\| = \|A^{-1}y_k\| \leqslant N\|y_k\| \leqslant \dfrac{3N\|y\|}{2^k}.
\]

Ряд $$ \sum_{k=1}^\infty x_k $$ сходится в $$ X $$ по признаку Вейерштрасса, так как:
\[
\sum_{k=1}^\infty \|x_k\| \leqslant 3N\|y\|\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^k} = 3N\|y\|.
\]

Обозначим $$ x = \sum_{k=1}^\infty x_k $$. Тогда $$ \|x\| \leqslant 3N\|y\|. $$

В силу непрерывности $$ A $$:
\[
Ax = A\left(\sum_{k=1}^\infty x_k\right) = \sum_{k=1}^\infty A x_k = \sum_{k=1}^\infty y_k = y.
\]
Так как $$ A $$ взаимно однозначен, то $$ x = A^{-1}y $$.

Из полученной оценки следует:
\[
\|A^{-1}y\| = \|x\| \leqslant 3N\|y\| \quad \forall y \in Y.
\]
Таким образом, $$ A^{-1} $$ ограничен константой $$ 3N $$, значит, имеет конечную норму, следовательно, $$A$$ непрерывно обратим. $$&#9632;$$

'''Следствие 1 (теорема об открытом отображении).''' Линейное непрерывное отображение $$A$$ банахова пространства $$X$$ на все банахово пространство $$Y$$ открыто.

'''Следствие 2 (лемма о тройке).''' Пусть <math> E, E_1, E_2 </math> $$&mdash;$$ банаховы пространства и <math>A: E \to E_1</math>, <math>B: E \to E_2</math> $$&mdash;$$ непрерывные линейные операторы, причем <math>B</math> отображает <math>E</math> на все <math>E_2</math> (т.е. <math>\operatorname{Im}\, B = E_2</math>). Если при этом
: <math> \operatorname{Ker} \, A \supset \operatorname{Ker}\, B,</math>
то существует такой непрерывный линейный оператор <math>C: E_2 \to E_1</math>, что <math>A = C B</math>, то есть
\begin{array}{ccccc}
\operatorname{Ker}\,B & \to & E & \xrightarrow{B} & E_2 \\
\bigcap & & || & & \downarrow C \\
\operatorname{Ker}\,A & \to & E & \xrightarrow{A}& E_1. 
\end{array}

==Левый и правый обратные операторы==

'''Определение 3.''' Пусть $$A \in $$ $$\href{https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство#:~:text=линейным%2C%20если}{\mathcal{L}(X, Y).}$$ Оператор $$A_r^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$ будем называть '''правым обратным''' для $$A$$, если $$AA_r^{-1} = I_Y.$$

'''Определение 4.''' Пусть $$A \in \mathcal{L}(X, Y)$$. Оператор $$A_l^{-1} \in \mathcal{L}(Y, X)$$ будем называть '''левым обратным''' к $$A$$, если $$A_l^{-1}A = I_X.$$

'''Замечание.''' Таким образом, оператор называется обратным, если $$AA_r^{-1} = A_l^{-1}A = AA^{-1} = A^{-1}A = I_Y = I_X.$$

===Условия существования обратного оператора=== 
$$\forall y\in Y \, \exists A^{-1} \Longleftrightarrow $$ уравнение $$Ax=y$$ имеет единственное решение $$\forall y\in Y$$ $$\Longleftrightarrow \operatorname{ker}A = \{0\}$$ и $$\operatorname{Im}A = Y.$$

'''Замечание.''' Наличие только нуля у ядра является необходимым условием существования левого обратного оператора; совпадение образа оператора со всем пространством &mdash; необходимым условием существования правого обратного оператора.

Докажем эти необходимые условия$$&#58$$
:1) если $$\exists$$ $$A_r^{-1}$$, то $$\operatorname{Im}(A) = Y;$$
:2) если $$\exists$$ $$A_l^{-1}$$, то $$\operatorname{ker}(A) = \{0\}.$$

'''1).''' По условию $$\exists A_r^{-1} : Y \to X$$ — правый обратный к $$A$$, то есть $$A \big( A_r^{-1} y \big) = y \quad \forall y \in Y.$$

Зафиксируем произвольный $$y \in Y$$. Из равенства $$A(A_r^{-1} y) = y$$ следует, что элемент $$x = A_r^{-1} y \in X$$ таков, что $$A x = y.$$

Значит, для каждого $$y \in Y$$ найдётся $$x \in X$$, а именно $$x = A_r^{-1} y$$, для которого $$A x = y.$$

Поэтому $$y \in \operatorname{Im}(A)$$ для любого $$y \in Y$$. Отсюда $$Y \subset \operatorname{Im}(A).$$

По определению $$\operatorname{Im}(A) \subset Y$$, следовательно, $$\operatorname{Im}(A) = Y.$$

'''Замечание.''' Условие существования правого обратного $$A_r^{-1}$$ гарантирует, что оператор $$A$$ действует сюръективно на $$Y$$ и таким образом является условием существования решения $$Ax = y$$ для любого $$y \in Y.$$

'''2).''' Возьмём любой элемент $$x \in \operatorname{ker}(A)$$. Тогда $$Ax = 0,$$ так как по определению ядра $$\operatorname{ker}(A) = \{ x \in X : Ax = 0 \}.$$

Применим к обеим частям левый обратный оператор $$A_l^{-1}$$ &#58; $$A_l^{-1}(Ax) = A_l^{-1}(0).$$

Упростим полученное выражение:
:Левая часть &#58; $$A_l^{-1}(Ax) = (A_l^{-1}A)x = I_X \cdot x = x$$
:Правая часть &#58; $$A_l^{-1}(0) = 0$$, так как любой линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой.

Следовательно, $$x = 0.$$

Таким образом, единственный элемент в ядре $$\operatorname{ker}(A)$$ — это нулевой вектор.

'''Замечание.''' Из тривиальности ядра следует единственность решения. Предположим, что уравнение $$Ax = y$$ имеет два различных решения $$x_1$$ и $$x_2$$, уравнения которых будут выглядеть так $$&#58 Ax_1 = y, Ax_2 = y.$$ Вычтем одно равенство из другого$$&#58 Ax_1 - Ax_2 = y - y = 0.$$ Из линейности оператора следует, что $$A (x_1 - x_2) = 0.$$ Это означает, что разность $$x_1 - x_2$$ принадлежит ядру оператора. Но мы доказали, что $$\operatorname{ker}(A) = \{0\}$$, следовательно, $$x_1 - x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2.$$

'''Теорема 4.''' Если для оператора $$A \in \mathcal{L}(X,Y)$$ существуют одновременно правый обратный $$A_r^{-1}$$ и левый обратный $$A_l^{-1}$$, то существует оператор $$A^{-1}$$, обратный к $$A$$, и $$A^{-1} = A_l^{-1} = A_r^{-1}.$$

Воспользуемся тождественными оператороми $$A A_r^{-1}$$ и $$A_l^{-1} A$$ в $$Y$$ и $$X$$ соответственно и свойством ассоциативности умножения:
:$$A_l^{-1} = A_l^{-1} (A A_r^{-1}) = (A_l^{-1} A) A_r^{-1} = I_X \cdot A_r^{-1} = A_r^{-1}.$$

Отсюда следует, что оператор $$A$$ обратим, причём $$ A^{-1} = A_l^{-1} = A_r^{-1}.$$

Оператор $$A$$ сюръективен в силу существования решения для любого $$y$$, что гарантируется правым обратным оператором, и инъективен в силу единственности решения, что гарантируется левым обратным оператором.

Таким образом, $$A$$ является биекцией между пространствами $$X$$ и $$Y$$, и обратный оператор существует как левый и правый одновременно. $$&#9632;$$

==Примеры==

===Пример обратного оператора===
Рассмотрим в пространстве непрерывных функций $$C[0,1]$$ интегральное уравнение вида:

$$(Ax)(t) \equiv x(t) - \int_{0}^{1} t s \, x(s) \, ds = y(t),$$

где $$y(t) \in C[0,1]$$ задана, $$x(t)$$ — искомая функция.

Заметим, что интеграл $$\int_{0}^{1} s x(s) \, ds$$ представляет собой постоянное число, не зависящее от $$t$$. Обозначим:

$$c = \int_{0}^{1} s x(s) \, ds.$$

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$$x(t) - t \cdot c = y(t),$$

откуда $$x(t) = y(t) + t \cdot c.$$

Подставим выражение для $$x(t)$$ в определение $$c:$$

:$$c = \int_{0}^{1} s \left( y(s) + s c \right) ds = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds + c \int_{0}^{1} s^{2} \, ds = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds + \dfrac{c}{3}.$$

Решаем относительно $$c$$$$&#58$$

:$$c - \dfrac{c}{3} = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds,$$

:$$\dfrac{2c}{3} = \int_{0}^{1} s y(s) \, ds,$$

:$$c = \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} s y(s) \, ds.$$

Итого, находим:

:$$x(t) = y(t) + t \cdot \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} s y(s) \, ds = y(t) + \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} t s \, y(s) \, ds.$$

Из полученной формулы следует, что решение существует и единственно для любой $$y \in C[0,1]$$, и оператор $$A^{-1}$$ задаётся явно:

:$$(A^{-1}y)(t) = y(t) + \dfrac{3}{2} \int_{0}^{1} t s \, y(s) \, ds.$$

Из $$A(A^{-1}y) = y$$ следует, что оператор $$A^{-1}$$ действительно является обратным для любой функции $$y$$ и оператор $$A$$ непрерывно обратим в пространстве $$C[0,1].$$

===Пример оператора, не являющегося обратным===
Рассмотрим оператор $$A$$, действующий из пространства непрерывно дифференцируемых функций $$C^1[0,1]$$ в пространство непрерывных функций $$C[0,1],$$ который имеет вид $$(Ax)(t) = x'(t).$$

Докажем существование правого оператора. Имеем:
:$$Ax = y; \quad x'(t)=y;$$
:$$x = A_r^{-1} y.$$

Рассмотрим $$x(t) = \int_{0}^{t} y dt + C.$$

Поскольку можно интегрировать любую непрерывную функцию, получаем:
:$$\forall f \in Y \equiv C[0,1],$$

то есть образ состоит из непрерывных функций:

:$$\operatorname{Im} A=Y \Rightarrow \exists A_r^{-1}. $$

Теперь покажем, что левый обратный оператор, напротив, не существует.

Условие $$\operatorname{ker} A = 0$$ означает, что $$Ax = 0 \Rightarrow x' = 0,$$ что достигается при любой константе, а не только при $$x = 0.$$ Таким образом, получаем противоречие с определением левого обратного оператора.

==Источники==
1. Треногин В.А. Функциональный анализ, 2002.

2. Точилин П.А., Ашабоков А.Н., Паршиков М.В. Лекции по курсу "Функциональный анализ", 2024&mdash;2025

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976.