Просмотр кода страницы Теорема Хана-Банаха и её следствия

__TOC__

=Формулировка и доказательство=
'''Определение.'''
Линейным вещественным функционалом называется линейный оператор, действующий из некоторого вещественного линейного пространства $$X$$ во множество действительных чисел.

'''Теорема (Хана-Банаха в линейном вещественном пространстве).'''
Пусть $$X$$ &mdash; вещественное линейное пространство, $$L \subset X$$ &mdash; его линейное подпространство. Пусть также $$p(x)$$ &mdash; положительно-однородный $$(p(\alpha x) = \alpha p(x), \forall \alpha > 0, \forall x)$$ [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Выпуклая_функция_и_ее_свойства выпуклый] функционал на $$X,\ f(x)$$ &mdash; линейный вещественный функционал на $$L$$ и выполнено неравенство
\begin{equation*}
f(x) \leqslant p(x),\ \forall x \in L.
\end{equation*}

Тогда существует $$f^*(x)$$ &mdash; линейный вещественный функционал на $$X$$ такой, что
\begin{equation*}
\begin{cases}
f^*(x) = f(x),\ \forall x \in L,\\
f^*(x) \leqslant p(x),\ \forall x \in X.
\end{cases}
\end{equation*}

'''Доказательство''' проведем в предположении существования счётной системы элементов $$\{x_n\}_{n=1}^{+\infty}$$, порождающей пространство $$X.$$ В случае отсутствия такой системы доказательство можно найти в [1]. Сначала докажем лемму.

'''Лемма (об элементарном продолжении).'''
Пусть в условиях теоремы Хана-Банаха $$L$$ является собственным подпространством $$X$$ и $$x \not\in L.$$ 
Пусть $$L_1$$ &mdash; линейное подпространство всевозможных элементов вида $$y+tx,\ y\in L,\ t\in \mathbb{R}.$$
Тогда существует линейный вещественный функционал $$f^*(x)$$ на $$L_1$$ такой, что 
\begin{equation*}
\begin{cases}
f^*(x) = f(x),\ \forall x \in L,\\
f^*(x) \leqslant p(x),\ \forall x \in L_1.
\end{cases}
\end{equation*}


'''Доказательство.'''
Пусть $$f^*$$ &mdash; искомое продолжение функционала. Тогда 
\begin{equation*}
f^*(y + tx) = f^*(y) + tf^*(x).
\end{equation*}

Положим $$f^*(x)= c.$$ Тогда равенство переписывается в виде
\begin{equation} \label{eq1}    
f^*(y+tx) = f^*(y)+tc.
\end{equation}


Выберем $$c$$ таким образом, чтобы неравенство
\begin{equation*}
f^*(y) + tc \leqslant p(y + tx)
\end{equation*}
выполнялось для всех $$y \in L,\ t\in \mathbb{R}.$$

При $$t > 0$$ оно равносильно следующему 
\begin{equation*}
c \leqslant p\left(\frac{y}{t}+x\right) - f^*\left(\frac{y}{t}\right).
\end{equation*}

При $$t < 0:$$
\begin{equation*}
c \geqslant -p\left(-\frac{y}{t}-x\right) - f^*\left(\frac{y}{t}\right).
\end{equation*}

Рассмотрим $$y'$$ и $$y''$$ &mdash; произвольные элементы $$L.$$
Тогда
\begin{equation*}
f(y'') - f(y') \leqslant p(y''-y') = p((y''+x)-(y'+x)) \underset{p - \text{выпуклый}}{\leqslant} p(y''+x) + p(-y' - x) \Longleftrightarrow -f(y'') + p(y'' + x) \geqslant -f(y') - p(-y'-x).
\end{equation*}

Положим
$$
c'' = \underset{y''}{\inf}(-f(y'') + p(y'' + x)),\ c'=\underset{y'}{\sup}(-f(y') - p(-y'-x)).
$$

В силу произвольности $$y'$$ и $$y''$$ выполнено неравенство $$c'' \geqslant c'.$$ Выберем $$c \in [c',\ c'']$$ и определим $$f^*$$ в соответствии с формулой \eqref{eq1}. Очевидно, он удовлетворяет требованиям леммы. Лемма доказана.

Рассмотрим систему элементов $$\{x_n\}_{n=1}^\infty,$$ порождающую $$X.$$ Функционал $$f^*$$ будем строить по индукции с помощью доказанной леммы, рассматривая неубывающую цепочку подпространств $$L^{(1)} = \{L,x_1\},\ L^{(2)}=\{L^{(1)},x_2\}, \dots$$ Здесь $$\{L^{(k)},x_{k+1}\}$$ &mdash; минимальное линейное подпространство в $$X,$$ содержащее $$L^{(k)}$$ и $$x_{k+1}.$$  Таким образом, будет построено продолжение $$f^*$$ функционала $$f$$ на все пространство $$X$$ с сохранением неравенства.
$$~~\blacksquare$$

=Формулировка в нормированном пространстве=

'''Теорема (Хана-Банаха в [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство нормированном пространстве]).'''
Пусть $$X$$ &mdash; вещественное нормированное пространство, $$Y \subset X$$ &mdash; его линейное подпространство. Пусть $$f$$ &mdash; ограниченный линейный функционал на $$Y.$$ Тогда этот функционал может быть продлен до некоторого линейного функционала $$f^*$$ на всем пространстве $$X$$ так, что 
\[
    ||f^*||_{\text{на }X}=||f||_{\text{на }L}.
\]

Здесь $$||f^*||_{\text{на } M} = \underset{x \in M,\ x \not= 0}{\sup}\dfrac{|f^*(x)|}{||x||_M},$$ где $$M$$ &mdash; линейное нормированное пространство.

'''Доказательство.'''
Пусть $$||f||_{\text{на }L} = k.$$ Функционал $$p(x)=k||x||$$ является положительно-однородным и выпуклым. Применяя теорему Хана-Банаха для линейных вещественных пространств, получим требуемое.
$$~~\blacksquare$$

В данной формулировке теорема допускает следующую геометрическую интерпретацию.
Рассмотрим уравнение $$f(x) = 1.$$ Оно определяет в подпространстве $$L$$ гиперплоскость, лежащую на расстоянии $$\frac{1}{||f||}$$ от нуля. Продолжая $$f$$ без увеличения нормы до функционала $$f^*$$ на всем $$X,$$ мы проводим через эту "частичную" гиперплоскость "большую" гиперплоскость во всем $$X,$$ находящуюся на не меньшем расстоянии от нуля.

Приведем также комплексный аналог теоремы Хана-Банаха. В [2] он называется теоремой Сухомлинова.

'''Теорема (Сухомлинова).'''
Пусть $$X$$ &mdash; комплексное нормированное пространство, $$L$$ &mdash; его комплексно-линейное (т.е. коэффициенты при проверке принадлежности линейной комбинации подпространству должны быть комплексными) подпространство. Пусть $$f$$ &mdash; линейный ограниченный функционал, определенный на $$L.$$ Тогда существует $$f^*$$ &mdash; линейный ограниченный функционал на $$X$$ такой, что
\[
    \begin{cases}
        f^*(x) = f(x),\ \forall x \in L\\
        ||f^*||_{\text{на } X}=||f||_{\text{на } L}
    \end{cases}.
\]

'''Доказательство''' этой теоремы можно найти в [2].

=Следствия=

'''Определение.''' (Отделимость в бесконечномерных пространствах). Пусть $$X$$ – бесконечномерное [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Банахово_пространство банахово пространство], множества $$A, \, B \subset X$$. Будем говорить, что множества $$A$$ и $$B$$ отделимы, если найдётся такой действующий на $$X$$ линейный функционал $$f \not= 0$$, что 
\begin{gather*}
\sup\limits_{x \in A}f(x)\leq\inf\limits_{y \in B}f(y).
\end{gather*}

Также говорят, что функционал $$f$$ разделяет множества $$A$$ и $$B$$.

Если неравенство строгое, то говорят, что множества $$A$$ и $$B$$ строго отделимы.

В этом случае говорят, что функционал $$f$$ строго разделяет множества $$A$$ и $$B$$.

В случае конечномерного пространства требуют также непрерывность функционала $$f.$$

'''Теорема (об отделимости множеств).'''
Пусть $$A,\ B$$ &mdash; непустые выпуклые подмножества $$X$$, $$intA \not= \emptyset$$ и $$intA \cap intB = \emptyset.$$ Тогда множества $$A$$ и $$B$$ можно отделить.

Доказательство для конечномерного случая можно найти на [https://sawiki.cs.msu.ru/index.php/Отделимость_множеств этой странице].

'''Теорема (об аннуляторе).'''
Пусть $$L \subset X$$ &mdash; собственное подпространство нормированного пространства $$X.$$ Тогда существует ненулевой непрерывный линейный функционал $$f,$$ определенный на $$X$$ и равный нулю на $$L.$$

'''Доказательство.'''
Пусть $$x_0 \not\in L,\ f$$ &mdash; непрерывный линейный функционал, строго разделяющий $$x_0$$ и $$L:$$
\[
f(x_0) > \sup_{x\in L}f(x).
\]
Если $$\exists x\in L:f(x) \not=0,$$ то супремум в правой части равен $$+\infty.$$ Значит, $$f(x) \equiv 0, \forall x \in L.$$
$$~~\blacksquare$$

'''Теорема.'''
Пусть $$x_0 \in X$$ &mdash; ненулевой элемент в нормированном пространстве $$X.$$ Тогда существует такой непрерывный линейный функционал $$f$$, что
\[
||f||=1,\ f(x_0) = ||x_0||.
\]

'''Доказательство.'''
Пусть $$f_0(\alpha x_0) = \alpha ||x_0||, \forall \alpha \in \mathbb{R}.$$ Этот функционал определен на подпространстве $$L = \{x\in X\mid \exists \alpha \in \mathbb{R}:\ x = \alpha x_0\}.$$ Применяя теорему Хана-Банаха, получим требуемый функционал, поскольку $$||f|| \leqslant ||f_0|| = 1, ||f(x_0)||=||x_0|| \implies ||f|| = 1.$$
$$~~\blacksquare$$

=Список литературы=

# ''Колмогоров A.Н., Фомин С.В.'' Элементы теории функций и функционального анализа. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
# ''Треногин В.А.'' Функциональный анализ: учебник. 3-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
# ''Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С.'' Задачи и упражнения по функциональному анализу, 1984.
# ''Точилин П.А.'' Семинары по функциональному анализу, 2024.