Мера Лебега - История изменений

Gleb22: /* Множество Халмоша */

2024-01-11T16:47:43Z

Множество Халмоша

Gleb22: /* Внешняя мера */

2024-01-11T16:43:04Z

Внешняя мера

Gleb22: /* Измеримые множества в \mathbb{R}^n */

2023-12-29T05:27:01Z

Измеримые множества в \mathbb{R}^n

Gleb22: /* Пример неизмеримого множества */

2023-12-29T05:23:20Z

Пример неизмеримого множества

Gleb22 в 05:22, 29 декабря 2023

2023-12-29T05:22:40Z

Gleb22: /* Свойства меры Лебега */

2023-12-29T05:14:08Z

Свойства меры Лебега

Gleb22: /* Свойства меры Лебега */

2023-12-29T05:11:58Z

Свойства меры Лебега

Gleb22: /* Внутренняя мера */

2023-12-29T05:11:28Z

Внутренняя мера

Gleb22: /* Множество Хаммоша */

2023-12-29T04:54:17Z

Множество Хаммоша

Gleb22: /* Определение внешней меры */

2023-12-29T04:34:24Z

Определение внешней меры

@@ Строка 93: / Строка 93: @@
 \end{cases}
 </math>
-Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> - соответствующие ей верхняя и нижняя меры.
+Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> — соответствующие ей верхняя и нижняя меры.
 Построенное таким образом множество используется при доказательстве утверждения о том, что из измеримости по Лебегу не следует измеримость по Борелю. Приведём тезисно план доказательства утверждения:
-Пусть <math>k(x)</math> - "канторова лестница". Рассмотрим <math>f(x) = x + k(x)</math> на отрезке <math>[0,1]</math>. Функция <math>f</math> непрерывная и строго возрастающая. Найдём меру Лебега множества <math>f(C)</math>, где <math>C</math> - канторово множества. Оказывается, что она равна единице. Далее положим <math>D = f(C) \bigcap M </math>, где <math>M</math> - множество Халмоша. Тогда <math>D</math> не является измеримым по Лебегу (по критерию измеримости). Далее рассмотрим множество <math>H = f^{-1}(f(C)\bigcap M) \subseteq C</math>. В силу того, что канторово множество имеет меру нуль, множество <math>H</math> также имеет меру нуль (из свойства полноты меры Лебега). Если теперь мы предположим, что <math> H</math> - борелевское, то <math>H</math> является суперпозицией интервалов. Значит, в силу того, что непрерывная функция отображает борелевское множество в борелевское множество <math>D = f(H)</math> - борелевское. Но <math>D</math> не является измеримым по Лебегу, а значит, не является измеримым по Борелю. Таким образом, наше исходное предположение о том, что <math> H</math> - борелевское было неверным. Значит, из измеримости по Лебегу (а <math>H</math> - измеримо по Лебегу, т.к. является множеством нулевой меры) не следует измеримость по Борелю. Что и требовалось доказать.
+Пусть <math>k(x)</math> — "канторова лестница". Рассмотрим <math>f(x) = x + k(x)</math> на отрезке <math>[0,1]</math>. Функция <math>f</math> непрерывная и строго возрастающая. Найдём меру Лебега множества <math>f(C)</math>, где <math>C</math> — канторово множество. Оказывается, что она равна единице.
 = Список литературы =

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 = Внешняя мера =
 == Определение внешней меры ==
-Пусть <math>S</math> - полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> - наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом <math>S</math>. Рассмотрим продолжение <math> \mu </math> на кольцо <math> K(S) </math>, а впоследствии - на алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:
+Пусть <math>S</math> — полукольцо с заданной на нём <math>\sigma</math>-аддитивной мерой <math>\mu</math>. Пусть <math>K(S)</math> — наименьшее кольцо, порождённое данным полукольцом <math>S</math>. Рассмотрим продолжение <math> \mu </math> на кольцо <math> K(S) </math>, а впоследствии — на алгебру/<math>\sigma</math>-алгебру. Для этого вспомним теоремы из курса функционального анализа:
 ===Теорема (о продолжении меры с полукольца на кольцо)===

← Предыдущая		Версия 05:27, 29 декабря 2023
Строка 73:		Строка 73:

	= Измеримые множества в <math>\mathbb{R}^n</math> =		= Измеримые множества в <math>\mathbb{R}^n</math> =
		+	Множество всех измеримых по Лебегу множеств в \( \mathbb {R} ^{n} \) представляет собой семейство множеств, которое обладает следующими свойствами:
		+
		+	1. Семейство измеримых множеств замкнуто относительно операций разности, симметрической разности, счётного объединения, счётного пересечения и дополнения.
		+
		+	2. Мера Лебега является счётно-аддитивной на этом множестве.
		+
		+	3. Мера Лебега полна, то есть любое множество, внешняя мера которого равна 0, измеримо, и его мера Лебега равна 0.
		+
		+	4. Мера Лебега непрерывна относительно монотонного предельного перехода.

	= Множество Халмоша =		= Множество Халмоша =

@@ Строка 72: / Строка 72: @@
 Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).
-= Измеримые множества в <math>\mathbb{R}^n</math>
+= Измеримые множества в <math>\mathbb{R}^n</math> =
 = Множество Халмоша =

← Предыдущая		Версия 05:22, 29 декабря 2023
Строка 71:		Строка 71:

	Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).		Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).
		+
		+	= Измеримые множества в <math>\mathbb{R}^n</math>
		+

	= Множество Халмоша =		= Множество Халмоша =

@@ Строка 39: / Строка 39: @@
 ) '''Нулевая мера''': Если множество A имеет нулевую меру (т.е. <math>\mu_L(A) = 0.</math>), то оно называется '''множеством нулевой меры'''.
-) '''Счетная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:
+) '''Счётная полуаддитивность''': Для любого конечного или счетного набора множеств <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> мера Лебега их объединения не превосходит суммы мер каждого множества по отдельности. Формально:
 <math> \mu_L(\bigcup A_i) \leqslant \sum\limits_i \mu_L(A_i).</math>

@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 Данное свойство следует из аналогичного свойства внешней меры.
-) '''Счетная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:
+) '''Счётная аддитивность''': Если множества <math>A_1, A_2, A_3, \ldots </math> попарно не пересекаются, то мера Лебега их объединения равна сумме мер каждого множества по отдельности. Формально:
 <math>\forall i \neq j: ~ A_i\cap A_j = \varnothing \Rightarrow \mu(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum\limits_{i=1}^{\infty} \mu(A_i). </math>
@@ Строка 51: / Строка 51: @@
 ) '''Полнота''': Пусть <math>\mu_L(A)=0</math>. Тогда:
 :<math>\forall B \subseteq A:~ \mu_L(B)=0.</math>
 = Пример неизмеримого множества =

@@ Строка 24: / Строка 24: @@
 '''Внутренней мерой''' множества <math>A</math> называется
 : <math>\mu_*(A)=\mu(A)-\mu^*(X\setminus A)~(X \in K(S); ~ A\subseteq X).</math>
 = Мера Лебега =

@@ Строка 74: / Строка 74: @@
 Заметим, что построение этого примера неизмеримого множества на отрезке было бы невозможно без принятия аксиомы выбора (нельзя было бы выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности).
-= Множество Хаммоша =
+= Множество Халмоша =
 Приведём без доказательства полезную теорему.
-'''Теорема (Множество Хаммоша)''':
+'''Теорема (Множество Халмоша)''':
 :<math> \exists M \subseteq \mathbb{R}:~ \forall X \subseteq \mathbb{R}: ~ \mu_*(X)=\mu^*(X)>0:\\
 \begin{cases}
@@ Строка 85: / Строка 85: @@
 </math>
 Здесь <math>\mu</math> - мера Лебега на прямой, <math>\mu^*, \mu_*</math> - соответствующие ей верхняя и нижняя меры.
 = Список литературы =