Ряд Фурье - История изменений

Igor: /* Ряды Фурье в гильбертовом пространстве */

2020-12-21T09:50:04Z

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Igor в 09:34, 21 декабря 2020

2020-12-21T09:34:17Z

Igor: /* Сходимость ряда */

2020-12-21T09:33:30Z

Сходимость ряда

Igor: /* Сходимость ряда */

2020-12-21T09:32:53Z

Сходимость ряда

Igor в 08:33, 21 декабря 2020

2020-12-21T08:33:23Z

Igor в 07:13, 12 ноября 2020

2020-11-12T07:13:12Z

Igor: Начало.

2020-01-11T18:36:09Z

Начало.

Новая страница

На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%B0%D0%BD-%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84 Жан-Батист Фурье], когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о тригонометрическом ряде Фурье.

== Определение ==

Пусть функция $$f(\cdot)$$ ограничена на $$\mathbb{R}$$, $$(2\pi)$$-периодична и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке $$[a, b] \subset \mathbb{R}$$. Тогда '''рядом Фурье''' для этой функции будем называть следующую формальную запись:
\[
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_k \cos kx + b_k \sin kx),
\]
где коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$ вычисляются по следующим формулам:
\[
a_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}_0, \\
b_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin kt \,dt, \quad k \in \mathbb{N}.
\]

== Сходимость ряда ==

Ряды хороши тем, что они сходятся. Ряд Фурье хорош тем, что иногда он сходится к значению функции, которую мы разложили (то есть вычислили коэффициенты $$a_k$$ и $$b_k$$) в ряд. Что-то проясняет следующая теорема.<br>
'''Достаточные условия Дирихле:''' пусть $$f(\cdot)$$ имеет на $$[-\pi, \pi]$$
* конечное число локальных экстремумов,
* не более счетное число разрывов I рода,
Тогда в любой точке на отрезке $$[-\pi, \pi]$$ ряд сходится поточечно к $$\frac{1}{2}\bigl( f(x+0) + f(x-0) \bigr)$$.

== Комплексная форма записи ==

Только что произошло разложение функции в [https://ru.wikipedia.org/wiki/Lp_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE) пространстве $$L^2$$] по полной ортогональной системе $$\left\{1, \cos kx, \sin kx \right\},\ k \in \mathbb{N}$$. Попробуем переписать это через комплексную экспоненту, вспомнив представление через нее для перечисленных функций:
\[
1 = e^{i0x}, \quad
\cos kx = \frac{e^{ikx} + e^{-ikx}}{2}, \quad
\sin kx = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2}, k \in \mathbb{N}.
\]

Затем положим

\begin{align*}
\begin{cases}
c_{-k} &= (a_k + ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}, \\
c_0 &= a_0 / 2, \\
c_k &= (a_k - ib_k)/2, \quad k \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\end{align*}

Тогда ряд Фурье записывается в виде:

\[
f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{ikx},\\
c_k = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-ikt}\,dt, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]

Этот ряд можно представлять как сумму бесконечного числа [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B1%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F гармонических колебаний], где
* $$\lvert c_k \rvert$$ — амплитуда колебаний,
* $$k$$ — их частота,
* $$\arg c_k$$ — начальная фаза.
[[Категория:ПЛФ]]

@@ Строка 65: / Строка 65: @@
 * $$\arg c_k$$ — начальная фаза.
-== Ряды Фурье в гильбертовом пространстве ==
+== Ряд Фурье в гильбертовом пространстве ==
 [[Категория:ПЛФ]]

@@ Строка 23: / Строка 23: @@
 Тогда в любой точке на отрезке $$[-\pi, \pi]$$ ряд сходится поточечно к $$\frac{1}{2}\bigl( f(x+0) + f(x-0) \bigr)$$.
-Также представляет интерес и равномерная сходимость рада Фурье. Если
+Также представляет интерес и '''равномерная сходимость рада Фурье'''. Если
 * $$f'(x)$$ существует и кусочно-непрерывна на $$[-\pi, \pi]$$,
 * $$f(-\pi) = f(\pi)$$.
 Тогда тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно и абсолютно.
-Обобщением данной теоремы можно считать теорему о почленном дифференцировании рядя Фурье. Пусть
+Обобщением данной теоремы можно считать теорему о '''почленном дифференцировании рядя Фурье'''. Пусть
 * $$f(x)$$ и ее производные до порядка $$m$$ включительно непрерывны на $$[-\pi, \pi]$$,
 * $$f^{(i)}(-\pi) = f^{(i)}(\pi), \quad i = \overline{0,m}$$,

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%B0%D0%BD-%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84 Жан-Батист Фурье], когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о тригонометрическом ряде Фурье.
+На протяжении всей своей истории человечество стремилось придумать способ, как приближать функции на отрезке какими-то хорошими функциями с известными и приятными свойствами, легко поддающимися анализу. Одно из решений проблемы придумал [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5,_%D0%96%D0%B0%D0%BD-%D0%91%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84 Жан-Батист Фурье], когда решал уравнение теплопроводности. Здесь изложены самые общие сведения о рядах Фурье.
-== Определение ==
+== Тригонометрический ряд Фурье ==
 [[File:Fourier series and transform.gif|frame|right|Наглядная иллюстрация принципа работы тригонометрического ряда Фурье.]]

← Предыдущая		Версия 07:13, 12 ноября 2020
Строка 2:		Строка 2:

	== Определение ==		== Определение ==
		+
		+	[[File:Fourier series and transform.gif\|frame\|right\|Наглядная иллюстрация принципа работы тригонометрического ряда Фурье.]]

	Пусть функция $$f(\cdot)$$ ограничена на $$\mathbb{R}$$, $$(2\pi)$$-периодична и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке $$[a, b] \subset \mathbb{R}$$. Тогда '''рядом Фурье''' для этой функции будем называть следующую формальную запись:		Пусть функция $$f(\cdot)$$ ограничена на $$\mathbb{R}$$, $$(2\pi)$$-периодична и интегрируема по Риману на любом конечном отрезке $$[a, b] \subset \mathbb{R}$$. Тогда '''рядом Фурье''' для этой функции будем называть следующую формальную запись:

@@ Строка 20: / Строка 20: @@
 '''Достаточные условия Дирихле:''' пусть $$f(\cdot)$$ имеет на $$[-\pi, \pi]$$
 * конечное число локальных экстремумов,
-* не более счетное число разрывов I рода,
+* не более счетное число разрывов I рода.
 Тогда в любой точке на отрезке $$[-\pi, \pi]$$ ряд сходится поточечно к $$\frac{1}{2}\bigl( f(x+0) + f(x-0) \bigr)$$.
 == Комплексная форма записи ==