Формула Коши - История изменений

Igor: /* Обобщение на случай матричных ЛДУ */

2020-12-28T17:45:30Z

Обобщение на случай матричных ЛДУ

Igor в 17:44, 28 декабря 2020

2020-12-28T17:44:59Z

Igor: /* Вывод формулы Коши */

2020-12-28T16:39:31Z

Вывод формулы Коши

Igor в 16:38, 28 декабря 2020

2020-12-28T16:38:55Z

Igor в 16:37, 28 декабря 2020

2020-12-28T16:37:52Z

Igor в 12:47, 21 декабря 2020

2020-12-21T12:47:40Z

Igor в 12:45, 21 декабря 2020

2020-12-21T12:45:19Z

Igor: Новая страница: «Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение: \[ \begin{cases} \dot x(t) = X(t)x(t...»

2020-12-21T12:11:38Z

Новая страница: «Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение: \[ \begin{cases} \dot x(t) = X(t)x(t...»

Новая страница

Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
\[
\begin{cases}
\dot x(t) = X(t)x(t) + c(t), \\
x(t_0) = x^0.
\end{cases}
\]
В оптимальном управлении в неоднородность включено еще и управление, то есть $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$.
Пусть $$X(t, \tau)$$ — [[фундаментальная матрица Коши]].
Тогда решение данного уравнения находится по '''формуле Коши''':
\[
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau.
\]

@@ Строка 67: / Строка 67: @@
 Тогда ее решением будет:
 \[
-X(t) = U(t,t_0) X^0 V(t_0,t)+\int\limits_{t_0}^t U(t,\tau)C(\tau)V(\tau,t)\,ds,
+X(t) = U(t,t_0) X^0 V(t_0,t)+\int\limits_{t_0}^t U(t,\tau)C(\tau)V(\tau,t)\,d\tau,
 \]
-где $$U(t, \tau)$$ и $$V(t, \tau)$$ — фундаментальные матрицы для задач Коши с матрицами $$A(t)$$ и $$B(T)$$ соответственно.
+где $$U(t, \tau)$$ и $$V(t, \tau)$$ — фундаментальные матрицы для задач Коши с матрицами $$A(t)$$ и $$B(t)$$ соответственно.

← Предыдущая		Версия 17:44, 28 декабря 2020
Строка 55:		Строка 55:
	x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau) \left[B(\tau)u(\tau) + f(\tau)\right]\,d\tau.		x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau) \left[B(\tau)u(\tau) + f(\tau)\right]\,d\tau.
	\]		\]
		+
		+	== Обобщение на случай матричных ЛДУ ==
		+
		+	Рассмотрим следующую задачу Коши:
		+	\[
		+	\begin{cases}
		+	\dot X(t) = A(t)X(t) - X(t)B(t) + C(t), \\
		+	X(t_0) = X^0.
		+	\end{cases}
		+	\]
		+	Тогда ее решением будет:
		+	\[
		+	X(t) = U(t,t_0) X^0 V(t_0,t)+\int\limits_{t_0}^t U(t,\tau)C(\tau)V(\tau,t)\,ds,
		+	\]
		+	где $$U(t, \tau)$$ и $$V(t, \tau)$$ — фундаментальные матрицы для задач Коши с матрицами $$A(t)$$ и $$B(T)$$ соответственно.

@@ Строка 38: / Строка 38: @@
 \[
 \begin{cases}
-\dot y(t) = X(t_0, t)c(t),
+\dot y(t) = X(t_0, t)c(t), \\
 y(t_0) = x^0,
 \end{cases}

@@ Строка 7: / Строка 7: @@
 \]
 В оптимальном управлении в неоднородность включено еще и управление, то есть $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$.
 Пусть $$X(t, \tau)$$ — [[фундаментальная матрица Коши]].
 Тогда решение данного уравнения находится по '''формуле Коши''':
@@ Строка 33: / Строка 34: @@
 \dot F(t) = -F(t)A(t).
 \]
 Тогда положим $$F(t) = X(t_0, t)$$, чтобы также выполнялось $$y(t_0) = F(t_0)x^0 = x^0$$.
 Таким образом, пришли к следующей задаче Коши для $$y(t)$$:

@@ Строка 50: / Строка 50: @@
 x(t) = F^{-1} y(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, t_0) X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau =\\
 = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau.
 \]

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 \[
 \begin{cases}
-\dot x(t) = X(t)x(t) + c(t), \\
+\dot x(t) = A(t)x(t) + c(t), \\
 x(t_0) = x^0.
 \end{cases}

@@ Строка 10: / Строка 10: @@
 Тогда решение данного уравнения находится по '''формуле Коши''':
 \[
-x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau.
+x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau,
 \]