Решения ОДУ в смысле Каратеодори: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
(не показано 140 промежуточных версий 2 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
 
Рассматривается система дифферинциальных уравнений:
 
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
 
<math>\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).</math>
Мы хотим понять в каком смысле определять траекторию этой системы <math>x(\cdot)</math>, если управление <math>u(\cdot)</math> измеримая функция.
+
Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы <math>- \ x(\cdot)</math>, если управление <math>- \ u(\cdot)</math> измеримая функция.
  
 
== Условия Каратеодори ==
 
== Условия Каратеодори ==
Строка 9: Строка 9:
 
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и  <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:
 
Пусть <math>(t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n </math> и  <math>\exists a > 0, r > 0</math> такие, что:
  
# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math>\forall t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
+
# Пусть <math>g(t,x)</math> определена для <math>\forall x \in B_r(x_0)</math> и почти всех <math> t \in [t_0-a,t_0+a];</math>
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
+
# <math>g(t,x)</math> измерима по <math>t</math> для <math>\forall x \in B_r(x^0)</math>, <math>g(t,x)</math> непрерывна по <math>x</math> для <math>\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];</math>
# <math>\exists m(\cdot) -- </math>  интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a,  t_0+a]</math> такая, что  
+
# <math>\exists m(\cdot) </math>  интегрируема по Лебегу при <math>t \in [t_0-a,  t_0+a]</math> такая, что:
<math> ||g(t,x)|| \geq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]; </math>
+
\begin{equation*}
 +
||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a].
 +
\end{equation*}
 
   
 
   
Эти три условия и называются условиями Каратеодори.
+
Эти три условия и называются условиями [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80%D0%B8,_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BD Каратеодори].
  
 
== Абсолютно непрерывные функции ==
 
== Абсолютно непрерывные функции ==
 
Мы бы хотели найти решение задачи Коши  
 
Мы бы хотели найти решение задачи Коши  
\begin{equation*}
+
\begin{equation}\label{syst}
 
  \begin{cases}
 
  \begin{cases}
   \dot x(t) = g(t, x(t))\\
+
   \dot x(t) = g(t, x(t)),\\
 
   x(t_0) = x^0,
 
   x(t_0) = x^0,
 
  \end{cases}
 
  \end{cases}
\end{equation*}  
+
\end{equation}  
 
в следующем классе функций:
 
в следующем классе функций:
# <math> x(\cdot) \in C; </math>
+
# <math> x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; </math>
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math>
+
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> существует <math> \exists \dot x </math> и выполнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
# для почти всех <math> \dot \forall t</math> выолнено <math> \dot x(t) = g(t, x(t))</math>.
 
 
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
 
Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
 
  \begin{cases}
 
  \begin{cases}
   \dot x(t) = 0\\
+
   \dot x(t) = 0,\\
   x(0) = 0,
+
   x(0) = 0.
 
  \end{cases}
 
  \end{cases}
 
\end{equation*}  
 
\end{equation*}  
Очевидно, что решение системы <math> x \equiv 0</math>. Но такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.
+
Очевидно, что <math>x \equiv 0</math> является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.
Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math>x</math>:
+
 
<math> x(\cdot) </math>-- решение системы <math>\Leftrightarrow </math>  
+
Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на <math> x </math> :<br> $$ x(\cdot) $$  решение системы <math>\Leftrightarrow </math> для всех <math>\forall t</math> выполнено
для всех <math>\forall t</math> выполнено  
+
\begin{equation*}
<math>// x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau.</math>
+
    x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\
Из курса функционального анализа известно, что если <math> z(\cdot) -- </math> измерима, то для любого <math> \epsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\epsilon) > 0: //</math>
+
\end{equation*}
<math> \forall: \mu Z \geq \delta \Rightarrow \int_{\tau} z(\tau) \,d\tau \geq \epsilon </math>,
+
 
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега.
+
Из курса функционального анализа [3] известно, что если <math> z(\cdot) </math> измерима, то для любого <math> \varepsilon > 0</math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math>
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два:
+
\begin{equation*}
3')  <math> \dot x -- </math> интегрируема по Лебегу;
+
\forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\
 +
\end{equation*}
 +
что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега.<br>
 +
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два:<br>
 +
3')  <math> \dot x </math> интегрируема по Лебегу;<br>
 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
 
4) Для всех <math> \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math>
+
x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. </math> <br>
Введем важное определение
+
 
Опр1(сделать красиво). Функции, удовлетворяющие условиям 1) 2) 3') и 4) будем называть абсолютно непрерывными, а класс таких функций будем обозначать AC[t_0-a, t_0+a] от англ. absolutely continuous.
+
Введём следующие определения: <br>
В курсе математического анализа, это определение вводиться по-другому  
+
 
ОПР1' Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau, \tau_1],
+
''Определение 1''. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть ''абсолютно непрерывными'', а класс таких функций будем обозначать <math> AC[t_0-a, t_0+a] </math> (от англ. ''absolutely continuous'').
</math> если для любого <math> \epsilon > 0 </math> существует <math> \delta(\epsilon) > 0: \forall \tau_1^', \dots, \tau_k^',
+
В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому. <br>
\tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''} <math> таких, что  
+
 
<math> \tau_0 \geq \tau_1^' \geq \tau_1^{''} \geq \dots \geq \tau_k^' \geq \tau_k^{''} \geq \tau_1 </math> выполнено:
+
''Определение 1'''.  Будем говорить, что <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1],
<math> // \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}| \Rightarrow  
+
</math> если для любого <math> \forall \varepsilon > 0 </math> существует <math> \exists \delta(\varepsilon) > 0: </math> <br>  <math> \forall \tau_{1}^{'}, </math> <math>  \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}</math> таких, что  
\sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \geq epsilon </math>
+
\begin{equation*}
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений.
+
\tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1,
 +
\end{equation*}
 +
выполнено: <math> \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. </math>
 +
Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].
 +
 
 +
''Замечание''. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$
  
Замечание. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $f(x) = |x|.$
 
 
Так же известно, что  
 
Так же известно, что  
$// Lip[\tau_0, \tau_1] \subseteq AC[\tau_0, tau_1], //$
+
$$ \text{Lip}[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$
 
поскольку  
 
поскольку  
$// ||x(\tau'')-x(\tau') || \geq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\epsilon) = \frac{\epsilon}{L}.$
+
\begin{equation*}
Данное вложение является строгим рассмотреть пример $x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$
+
||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}.
С учетом этих определений сформулируем новое определение.
+
\end{equation*}
ОПР3. Решением системы на $t_0-a \geq \tau_0 < \tau_1 \geq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$ по Каратеодори называется функция $x(\cdot),$ удовлетворяющая следующим критериям:
+
Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
 +
<br>
 +
С учетом этих определений сформулируем новое определение.<br>
 +
 
 +
''Определение 2''. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:
 
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
 
# <math> x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];</math>
# <math>x(t_0) = x^{0} </math>
+
# <math>x(t_0) = x^{0}; </math>
 
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
 
# для почти всех <math> \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). </math>
 +
''Замечание''. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого <math> \delta>0 </math> можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для <math> \varepsilon = \frac{1}{2} </math>, будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен <math>1 > \frac{1}{2} </math>.
  
 
== Существование решения по Каратеодори ==
 
== Существование решения по Каратеодори ==
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем.
+
Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем.<br>
ТЕОРЕМА1(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть  <math> g(t,x) -- </math>
+
'''Теорема 1'''(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть  <math> g(t,x) </math>
измерима по $t$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. Тогда <math> \forall \epsilon \Rightarroy \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K -- </math> компакт, такой что  
+
измерима по $$t$$ для всех <math> \forall x \in B_r(x^0)</math> и непрерывна по <math>x</math> для почти всех <math> \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. </math>
<math> \mu([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon </math>
+
Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow  \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что  
и  <math>g(t,x) </math> суженная на  <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по  <math>(t,x) </math>
+
\begin{equation*}
ТЕОРЕМА2(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t)--</math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K -- </math> компакт такой, что  
+
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
<math> \mu([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \epsilon </math>
+
\end{equation*}
и  <math>z(t) </math> суженная на  <math> K.
+
и  <math> g(t,x) </math> суженная на  <math> K\times B_r(x^0) </math> непрерывна по  <math>(t,x) </math>
Замечание3. Из теоремы Луиза следует, что для <math> g(t,x)</math>
+
<br>
существует <math>K(x)</math>, а из Scorza Dragoni следует существования универсального <math>K</math>(на шаре).
+
'''Теорема 2'''(Критерий измеримости Лузина). Функция <math> z(t) </math> измерима на <math> t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K </math> компакт такой, что  
Следствие 1(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)--
+
\begin{equation*}
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) --</math> измерима по <math> t</math>
+
\mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon
Доказательсво. Функция <math>u(\cdot) -- </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \epsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
+
\end{equation*}
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminusK) \leq \epsilon </math>
+
и  <math>z(t) </math> суженная на  <math> K </math> непрерывна. <br>
и <math> u </math> при сужении на <math> K -- </math> непрерывна.
+
''Доказательство''. Можно найти в [3].
 +
<br>
 +
''Замечание 3''. Из теоремы Лузина следует, что для <math> g(t,x)</math>
 +
существует <math>K(x)</math>, а из теоремы 1 следует существование универсального <math>K</math>(на шаре).
 +
<br>
 +
'''Следствие 1'''.(Частный случай Scorza Dragoni) Если <math> g(t,x)
 +
</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>\forall x </math>, непрерывна по <math> x </math> для почти всех <math>\dot \forall t</math>,а <math>x(\cdot)</math> измерима, то функция <math>g(t,x(t)) </math> измерима по <math> t. </math>
 +
<br>
 +
''Доказательство''. Функция <math>u(\cdot) </math> измерима, следовательно, из критерия Лузина <math>\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K </math> компакт:
 +
<math>\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon </math>
 +
и <math> u </math> при сужении на <math> K </math> непрерывна.
 
Тогда  
 
Тогда  
<math> z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))</math>
+
\begin{equation*}
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot)-- </math>
+
z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau))
измерима.
+
\end{equation*}
 +
непрерывна на <math>K</math>, а значит, <math> z(\cdot) </math>
 +
измерима.<math>\blacksquare</math>
 +
<br>
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
 
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
ТЕОРЕМА3(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
+
<br>
<math> \int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r. </math>
+
'''Теорема 3'''(Существование решения исходной системы). Пусть <math> 0 < h \leq a </math> и
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]--
+
\begin{equation*}
 +
\int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r.  
 +
\end{equation*}
 +
Тогда существует <math> \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h]
 
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
 
</math> решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выпишем следующую последовательность функций:
+
<br>
<math> x^{(0)}(t) \equiv x^{0}, </math>
+
''Доказательство.'' Выпишем следующую последовательность функций:
<math> x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau. </math>
+
\begin{equation*}
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarroyx^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
+
x^{(0)}(t) \equiv x^{0},
 +
\end{equation*}
 +
\begin{equation*}
 +
x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau.
 +
\end{equation*}
 +
Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку <math> g(\tau, x^{(k)}(\tau)) </math> измеримы по <math> \tau </math> в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией <math> m(t) </math> (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом <math> x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC </math>.
 
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.
 
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.
  
Равномерная ограниченность (при $t \geq t_0,$ для $t \leq t_0--$)
+
Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$)
 
аналогично):
 
аналогично):
  <math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \geq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
+
  <math> ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.</math>
 
Покажем равностепенную непрерывность:
 
Покажем равностепенную непрерывность:
<math> \forall \epsilon > 0 \exists \delta(\epsilon): \forall t;, t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
+
<math> \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: \ \forall t', t'' \in [t_0-h,t_0+h], \ t'\leq t'': |t'-t''|\leq \delta</math>
<math> \forrall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \epsilon?</math>
+
\begin{equation*}
 +
\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon?
 +
\end{equation*}
 
Для нашей последовательности  
 
Для нашей последовательности  
<math> ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s),x^{(n-1)}(s)ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \epsilon </math>
+
\begin{equation*}
 +
||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s, x^{(n-1)}(s))ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon
 +
\end{equation*}
 
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
 
в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
 
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
 
Тогда последовательность непрерывных функций <math> x^{(k)}(\cdot) </math> равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи,
<math> x^{(k)}\rightleftharpoons x(\cdot).  </math>
+
<math> x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot).  </math>
 
При этом  
 
При этом  
<math> || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, </math>
+
\begin{equation*}
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math>  x(\cdot) \in C.</math>
+
  || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||,
 +
\end{equation*}
 +
то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и <math>  x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].</math>
 
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
 
Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности:
 
<math>  x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
 
<math>  x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].</math>
Теорема доказана.
+
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math>
  
 
== Единственность решения ==
 
== Единственность решения ==
 
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
 
Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по <math> x \text{:} </math>:
<math> || g(t,x^{''} - g(t,x^{'}))|| \leq L(t)||x^{''} - x^{'}||  </math>
+
<math> || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'||  </math>
 
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу.<br>
 
Где <math>L(t) -</math> интегрируема по Лебегу.<br>
 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): <br>
 
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3): <br>
<math> 4) \ \ \forall x^{'}, x^{''} \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
+
<math> 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - </math> интегрируема по Лебегу:
<math> \langle g(t,x^{''}) - g(t,x^{'}), x^{''} - x^{'} \rangle \leq L(t)||x^{''} - x^{'} ||.</math>
+
<math> \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.</math>
 
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца.<br>
 
Нетрудно показать что всякая липшицевая по <math>x</math> функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца.<br>
 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори).<br>
 
'''Теорема 4''' (Теорема о единственности решения по Каратеодори).<br>
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори задачи Коши (1) единственно.''<br>
+
''Пусть выполнены условия Каратеодори '''1),2),3)''' а так же '''4)'''. Тогда решение по Каратеодори [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] единственно.''<br>
''Доказательтво:'' <br>Предположим противное. Пусть <math>x^{'}(t)</math> и <math>x^{''}(t) - </math> два различных решения (1) на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
+
''Доказательтво:'' <br>Предположим противное. Пусть <math>x'(t)</math> и <math>x''(t) - </math> два различных решения [[Решения ОДУ в смысле Каратеодори#Абсолютно непрерывные функции|задачи Коши]] на <math>[t_{0}, t_{0} + h]</math>. Рассмотрим вспомогательную функцию:
<math>z(t) = ||x^{''}(t) - x^{'}(t)||^{2} = \langle x^{''}(t) - x^{'}(t),x^{''}(t) - x^{'}(t) \rangle.</math>
+
<math>z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.</math>
 
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
 
Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. <math>t</math>:
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle  g(t,x^{''}),g(t,x^{'}),x^{''}(t) - x^{'}(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
+
<math> \frac{dz}{dt} = 2 \langle  g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).</math>
 
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
 
При этом <math>z(t_{0}) = 0 \ \ </math>(из определения <math> z</math>). Тогда неравенство:
 
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
 
<math> \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0</math>
 
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
 
домножим на <math> \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:</math>:
 
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
 
<math> \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 </math>
для п.в. (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
+
для п.в. <math>t</math> (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем:
 
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
 
<math> 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. </math>
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
+
Левое неравенство достигается в силу определения <math>z</math>, а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит <math>z(t_{0}) = 0.</math> Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.<br>
 +
Теорема доказана. <math>\blacksquare</math>
 
== Продолжимость решения ==
 
== Продолжимость решения ==
 
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет.<br>
 
В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции <math>m(\cdot)</math> значением <math>r</math>. Разве этого не достаточно? Оказывается, нет.<br>
Строка 165: Строка 207:
 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
 
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения:
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\overset{-}{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{решение ЗК (1) при } t \in [t_{0}, \tau]\},
+
\overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\underset{-}{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{решение ЗК (1) при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
+
\underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны).<br>
+
Где <math>x(\cdot)</math> решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны).<br>
 
'''Теорема 5.'''<br>
 
'''Теорема 5.'''<br>
''Пусть <math>\overset{-}{\tau} < t_0 + a \ (\underset{-}{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overset{-}{\tau}) (\tau \in (\underset{-}{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>''<br>
+
''Пусть <math>\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). </math> Тогда для <math>\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) </math> такое, что <math> ||x(\tau) - x^0|| = r.</math>''<br>
 
''Доказательство.''<br>  
 
''Доказательство.''<br>  
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overset{-}{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overset{-}{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overset{-}{r}. </math><br>
+
Предположим противное. Пусть <math>\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. </math><br>
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overset{-}{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overset{-}{\tau})  </math> верно
+
Пусть <math>\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,</math> тогда <math>\forall t \in [t_0, \overline{\tau})  </math> верно
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
 
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
 
B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0).
 
\end{equation*}
 
\end{equation*}
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overset{-}{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overset{-}{\tau} + \delta < t_0 + a. </math><br>
+
Возьмем <math>\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. </math> Тогда <math>\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. </math><br>
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overset{-}{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math><br>
+
Для любого <math>\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). </math><br>
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h-</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h- </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overset{-}{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overset{-}{\tau}- </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overset{-}{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overset{-}{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. <br>
+
Существует <math>\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. </math> При этом получается, что <math>h \ -</math> не зависит от <math>\tau</math> (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения<math>:</math> <math>h \ - </math> универсально для всех <math>\tau \in [t_0, \overline{\tau}),</math> то есть мы можем проинтегрировать <math>x(\cdot) </math> до момента <math>\tau + h </math> для любого <math>\tau. </math> По определению <math>\overline{\tau} \ - </math> это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума <math>: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. </math> Для этого <math>\tau </math> проинтегрируем систему до <math>\tau + h. </math> Но тогда получается, что <math>\tau + h > \overline{\tau}, </math> что приводит нас к противоречию. <br>
Теорема доказана.<br>
+
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math><br>
 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
 
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с <math>a</math> и заменим отрезок времени на <math>[t_0,t_1] </math> либо <math>\R </math> (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево).
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x,\alpha,\beta = const >0
+
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = \text{const} >0
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
Строка 192: Строка 234:
 
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
 
Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)<math>:</math>
 
\begin{equation*}
 
\begin{equation*}
||g(t,x)|| \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
+
||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = \text{const} > 0.
 
\end{equation*}
 
\end{equation*}
''Замечание 4.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
+
''Замечание.'' Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
 
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
 
\langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta.
 
\end{equation}  
 
\end{equation}  
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta. </math><br>
+
Как показать, что такие <math>\alpha, \beta </math> существуют? Положим <math>\alpha = A + 1, </math> тогда дискриминант <math>||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 </math> будет отрицательный, то есть это будет верно для всех <math>\beta > 0. </math><br>
'''Теорема 6.'''
+
'''Теорема 6.'''<br>
''Пусть выполнено условие (3). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (1) продолжимо вправо.'' <br>
+
''Пусть выполнено условие (5). Тогда решение <math>x(\cdot)</math> задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.'' <br>
 
''Доказательство.''<br>
 
''Доказательство.''<br>
 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
 
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, <math>||x(t)|| </math> не ограничена. Рассмотрим <math>z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. </math>
Строка 215: Строка 257:
 
\end{equation*}
 
\end{equation*}
 
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть.<br>
 
Значит, <math>z(t) </math> ограничена, следовательно, <math>||x|| </math> ограничена, а значит, продолжимость вправо есть.<br>
Теорема доказана.<br>
+
Теорема доказана.<math>\blacksquare</math><br>
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r- </math> из условий теоремы существования решения).
+
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив <math>m(t) = Ar + B </math> (<math>r\ -</math> из условий теоремы существования решения).
== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math>
+
 
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^n </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^n </math>);
+
== Итоговые условия на <math>f(t,x,u) </math> ==
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)- </math> измерима;
+
#<math>f(t,x,u) </math> определена на <math>\R \times \R^n \times \R^m </math> (или <math>[t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m </math>);
#<math>||f(t,x^{''},u) - f(t,x^{'},u)|| \leq L||x^{''} - x^{'}||,L = const</math>;
+
#<math>f(t,x,u)</math> непрерывна по по <math>(t,x,u), \ u(\cdot)\ - </math> измерима;
 +
#<math>||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L =\text{const}</math>;
 
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
 
#<math>||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).</math>
 
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
 
Из них следуют соответствующие условия на <math>g(t,x):</math>
 
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
 
#<math>g(t,x)</math> определена п.в. <math>t \in \R</math> для всех <math>\forall x</math> (п.в <math>t \in [t_0,t_1]</math> для всех <math>\forall x</math>);
#<math>g(t,x)-</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
+
#<math>g(t,x) \ -</math> измерима по <math>t</math> для всех <math>x</math>; <math>g(t,x)-</math> непрерывна по <math>x</math> для п.в. <math>\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) </math>;
#<math>||g(t,x^{''}) - g(t,x^{'})|| \leq L(t)||x^{''} - x^{'}||;</math>
+
#<math>||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;</math>
#Условие продолжимости вправо (влево):
+
#Условие продолжимости вправо (влево)<math>: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = \text{const} > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). </math>
\begin{equation*}
+
 
\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = const > 0
+
== Список литературы==
\end{equation*}
+
[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021.<br>
\begin{equation*}
+
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с. <br>
(-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta )
+
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
\end{equation*}
 

Текущая версия на 21:59, 12 декабря 2021

Рассматривается система дифферинциальных уравнений\[\dot x(t) = f(t, x(t), u(t)).\] Мы хотим понять, в каком смысле определять траекторию этой системы \(- \ x(\cdot)\), если управление \(- \ u(\cdot)\) измеримая функция.

Условия Каратеодори

Введем обозначение $$ g(t,x) = f(t, x, u(t)).$$ Пусть \((t_0, x^0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \) и \(\exists a > 0, r > 0\) такие, что:

  1. Пусть \(g(t,x)\) определена для \(\forall x \in B_r(x_0)\) и почти всех \( t \in [t_0-a,t_0+a];\)
  2. \(g(t,x)\) измерима по \(t\) для \(\forall x \in B_r(x^0)\), \(g(t,x)\) непрерывна по \(x\) для \(\dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a];\)
  3. \(\exists m(\cdot) \) интегрируема по Лебегу при \(t \in [t_0-a, t_0+a]\) такая, что:

\begin{equation*} ||g(t,x)|| \leq m(t), \forall x \in B_r(x^{0}), \dot \forall t \in [t_0-a, t_0+a]. \end{equation*}

Эти три условия и называются условиями Каратеодори.

Абсолютно непрерывные функции

Мы бы хотели найти решение задачи Коши \begin{equation}\label{syst} \begin{cases} \dot x(t) = g(t, x(t)),\\ x(t_0) = x^0, \end{cases} \end{equation} в следующем классе функций:

  1. \( x(\cdot) \in C[t_0-a, t_0+a]; \)
  2. для почти всех \( \dot \forall t\) существует \( \exists \dot x \) и выполнено \( \dot x(t) = g(t, x(t))\).

Покажем, что условий Каратеодори самих по себе недостаточно для определения решения. Рассмотрим следующий пример \begin{equation*} \begin{cases} \dot x(t) = 0,\\ x(0) = 0. \end{cases} \end{equation*} Очевидно, что \(x \equiv 0\) является решением системы. Такое решение в рассматриваемом классе не единственно. Рассмотрим лестницу Кантора, она так же будет являться решением этой системы при наложенных ранее ограничениях.

Чтобы избежать неоднозначности из-за различных сингулярных частей в функции, наложим дополнительные ограничения на \( x \) :
$$ x(\cdot) $$ решение системы \(\Leftrightarrow \) для всех \(\forall t\) выполнено \begin{equation*} x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} g(\tau, x(\tau)) \,d\tau. \\ \end{equation*}

Из курса функционального анализа [3] известно, что если \( z(\cdot) \) измерима, то для любого \( \varepsilon > 0\) существует \( \exists \delta(\varepsilon) > 0: \) \begin{equation*} \forall Z \text{ измеримого}: \mu (Z) \leq \delta \Rightarrow \int_{\tau \in Z} z(\tau) \,d\tau \leq \varepsilon,\\ \end{equation*} что обозначает абсолютную непрерывность интеграла Лебега.
Тогда можем заменить условие 3) в условиях Каратеодори на следующие два:
3') \( \dot x \) интегрируема по Лебегу;
4) Для всех \( \forall t \in [t_0-a, t_0+a] \Rightarrow x(t) = x^0 + \int_{t_0}^{t} \dot x(\tau) \,d\tau. \)

Введём следующие определения:

Определение 1. Функции, удовлетворяющие условиям 1), 2), 3'), 4) будем называть абсолютно непрерывными, а класс таких функций будем обозначать \( AC[t_0-a, t_0+a] \) (от англ. absolutely continuous). В курсе математического анализа, это определение вводится по-другому.

Определение 1'. Будем говорить, что \( x(\cdot) \in AC[\tau_0, \tau_1], \) если для любого \( \forall \varepsilon > 0 \) существует \( \exists \delta(\varepsilon) > 0: \)
\( \forall \tau_{1}^{'}, \) \( \dots, \tau_k^{'}, \tau_1^{''}, \dots, \tau_k^{''}\) таких, что \begin{equation*} \tau_0 \leq \tau_1^{'} < \tau_1^{''} \dots < \tau_k^{'} < \tau_k^{''} \leq \tau_1, \end{equation*} выполнено\[ \sum_{j=1}^{k}|\tau_j^{''}-\tau_j^{'}|<\delta \Rightarrow \sum_{j=1}^{k}||x(\tau_j^{''})-x(\tau_j^{'}) || \leq \varepsilon. \] Так же из курса математического анализа известна эквивалентность этих определений, подробнее можно узнать в [3].

Замечание. Абсолютно непрерывные функции являются непрерывными и равномерно непрерывными, но при этом не обязаны быть дифференцируемыми. В качестве контрпримера можно рассмотреть одномерную функцию $$f(x) = |x|.$$

Так же известно, что $$ \text{Lip}[\tau_0, \tau_1] \subset AC[\tau_0, \tau_1], $$ поскольку \begin{equation*} ||x(\tau'')-x(\tau') || \leq L |\tau''-\tau'| \Rightarrow \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{L}. \end{equation*} Данное вложение является строгим, пример: $$x(t) = t^{\alpha}, 0 < \alpha < 1.$$
С учетом этих определений сформулируем новое определение.

Определение 2. Решением системы на $$t_0-a \leq \tau_0 < \tau_1 \leq t_0+a, t_0 \in [\tau_0, \tau_1]$$ по Каратеодори называется функция $$x(\cdot),$$ удовлетворяющая следующим критериям:

  1. \( x(\cdot) \in AC[\tau_0,\tau_1];\)
  2. \(x(t_0) = x^{0}; \)
  3. для почти всех \( \dot \forall t \in (\tau_0, \tau_1) \Rightarrow \dot x(t) = g(t,x(t)). \)

Замечание. Лестница Кантора не является абсолютно непрерывной. Так как мера точек роста функции равна нулю, то можно найти для любого \( \delta>0 \) можно покрыть это множество непересекающимися отрезками. Поэтому для \( \varepsilon = \frac{1}{2} \), будет нарушено определение, так как рост на отрезке [0,1] лестницы Кантора равен \(1 > \frac{1}{2} \).

Существование решения по Каратеодори

Для доказательства основной теоремы о существовании нам потребуется сформулировать несколько вспомогательных теорем.
Теорема 1(Scorza Dragoni G., 1948). Пусть \( g(t,x) \) измерима по $$t$$ для всех \( \forall x \in B_r(x^0)\) и непрерывна по \(x\) для почти всех \( \dot \forall t \in [\tau_0, \tau_1]. \) Тогда $$\forall \varepsilon$$ $$ \Rightarrow \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K $$ компакт, такой что \begin{equation*} \mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon \end{equation*} и \( g(t,x) \) суженная на \( K\times B_r(x^0) \) непрерывна по \((t,x) \)
Теорема 2(Критерий измеримости Лузина). Функция \( z(t) \) измерима на \( t \in [\tau_0, \tau_1] \Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists K \subseteq [\tau_0, \tau_1], K \) компакт такой, что \begin{equation*} \mu ([\tau_0, \tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon \end{equation*} и \(z(t) \) суженная на \( K \) непрерывна.
Доказательство. Можно найти в [3].
Замечание 3. Из теоремы Лузина следует, что для \( g(t,x)\) существует \(K(x)\), а из теоремы 1 следует существование универсального \(K\)(на шаре).
Следствие 1.(Частный случай Scorza Dragoni) Если \( g(t,x) \) измерима по \(t\) для всех \(\forall x \), непрерывна по \( x \) для почти всех \(\dot \forall t\),а \(x(\cdot)\) измерима, то функция \(g(t,x(t)) \) измерима по \( t. \)
Доказательство. Функция \(u(\cdot) \) измерима, следовательно, из критерия Лузина \(\forall \varepsilon > 0 \exists K \subseteq [t_0-h, t_0+h], K \) компакт\[\mu([\tau_0,\tau_1] \setminus K) \leq \varepsilon \] и \( u \) при сужении на \( K \) непрерывна. Тогда \begin{equation*} z(\tau) = g(\tau, x^{(k)}(\tau)) = f(\tau, x^{(k)}(\tau),u(\tau)) \end{equation*} непрерывна на \(K\), а значит, \( z(\cdot) \) измерима.\(\blacksquare\)
Теперь можно сформулировать теорему о существовании решения.
Теорема 3(Существование решения исходной системы). Пусть \( 0 < h \leq a \) и \begin{equation*} \int_{t_0}^{t_0+h}m(\tau)d\tau \leq r, \int_{t_0-h}^{t_0}m(\tau)d\tau \leq r. \end{equation*} Тогда существует \( \exists x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h] \) решение по Каратеодори исходной системы ДУ в смысле Каратеодори.
Доказательство. Выпишем следующую последовательность функций: \begin{equation*} x^{(0)}(t) \equiv x^{0}, \end{equation*} \begin{equation*} x^{(k+1)}(t) = x^{0}+\int_{t_0}^{t}g(\tau,x^{(k)}(k))d\tau. \end{equation*} Элементы этой последовательности определены корректно, поскольку \( g(\tau, x^{(k)}(\tau)) \) измеримы по \( \tau \) в силу следствия 1, ограничены интегрируемой функцией \( m(t) \) (по условию теоремы) и, следовательно, интегрируем по Лебегу. При этом \( x^{(k)}(\cdot) \in C \Rightarrow x^{(k)}(\cdot) \in AC \). Для того, чтобы воспользоваться теоремой Арцела-Асколи, нам необходимо показать равностепенную непрерывность и равномерную ограниченность последовательности.

Равномерная ограниченность (при $$t \geq t_0,$$ для $$t \leq t_0$$) аналогично)\[ ||x^{(k+1)}(t)-x^{0}|| \leq \int_{t_0}^{t}||g(\tau,x^{(k)}(\tau))||d\tau \leq \int_{t_0}^{t}m(\tau) d\tau \leq r.\] Покажем равностепенную непрерывность\[ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta(\varepsilon) > 0: \ \forall t', t'' \in [t_0-h,t_0+h], \ t'\leq t'': |t'-t''|\leq \delta\] \begin{equation*} \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||\leq \varepsilon? \end{equation*} Для нашей последовательности \begin{equation*} ||x^{(n)}(t'')-x^{(n)}(t')||= || \int_{t'}^{t''}g(s, x^{(n-1)}(s))ds||\leq \int_{t'}^{t''}m(s)ds \leq \varepsilon \end{equation*} в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега. Тогда последовательность непрерывных функций \( x^{(k)}(\cdot) \) равностепенно непрерывно и равномерно ограничено и, в силу теоремы Арцела-Асколи, \( x^{(k)} \rightrightarrows x(\cdot). \) При этом \begin{equation*} || x^{(k)}(\cdot)-x(\cdot)||_C = \max_{t\in [t_0-h,t_0+h]}|| x^{(k)}(t)-x(t)||, \end{equation*} то есть сходимость в С аналогична равномерной сходимости, и \( x(\cdot) \in C[t_0-h, t_0+h].\) Наконец, переходим к пределу в итеративной последовательности\[ x(t) = x^{0} + \int_{t_0}^{t}g(s,x(s))ds, x(\cdot) \in AC[t_0-h, t_0+h].\] Теорема доказана.\(\blacksquare\)

Единственность решения

Для единственности решения мы обычно требуем липшицевость по \( x \text{:} \)\[ || g(t,x'' - g(t,x'))|| \leq L(t)||x'' - x'|| \] Где \(L(t) -\) интегрируема по Лебегу.
Ослабив это условие, добавим его к списку условий Каратеодори 1)-3):
\( 4) \ \ \forall x', x'' \ \ \exists L(t) - \) интегрируема по Лебегу\[ \langle g(t,x'') - g(t,x'), x'' - x' \rangle \leq L(t)||x'' - x' ||.\] Нетрудно показать что всякая липшицевая по \(x\) функция удовлетворяет этому условию в силу неравенства Коши-Буняковсвого-Шварца.
Теорема 4 (Теорема о единственности решения по Каратеодори).
Пусть выполнены условия Каратеодори 1),2),3) а так же 4). Тогда решение по Каратеодори задачи Коши единственно.
Доказательтво:
Предположим противное. Пусть \(x'(t)\) и \(x''(t) - \) два различных решения задачи Коши на \([t_{0}, t_{0} + h]\). Рассмотрим вспомогательную функцию\[z(t) = ||x''(t) - x'(t)||^{2} = \langle x''(t) - x'(t),x''(t) - x'(t) \rangle.\] Она дифференцируема почти всюду, и для п.в. \(t\)\[ \frac{dz}{dt} = 2 \langle g(t,x''),g(t,x'),x''(t) - x'(t) \rangle \leq 2L(t)z(t).\] При этом \(z(t_{0}) = 0 \ \ \)(из определения \( z\)). Тогда неравенство\[ \frac{dz}{dt} - 2L(t)z(t) \leq 0\] домножим на \( \exp \{\int_{t_{0}}^{t} L(\xi)d\xi \}:\)\[ \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi}) \leq 0 \] для п.в. \(t\) (верно там, где она дифференцируема). Проинтегрировав получаем\[ 0 \leq z(t) e^{-2\int_{t_{0}}^{t}L(\xi)d\xi} \leq 0. \] Левое неравенство достигается в силу определения \(z\), а правое следует из того факта, что производная отрицательная, а значит \(z(t_{0}) = 0.\) Тогда в обоих случаях достигаются равенства, и функции совпадают.
Теорема доказана. \(\blacksquare\)

Продолжимость решения

В случае с решением по Каратеодори также возникает вопрос продожимости решения вправо. В условиях Каратеодори есть ограниченность интегрируемой функции, в теореме о существовании решении мы ограничили интеграл от этой функции \(m(\cdot)\) значением \(r\). Разве этого не достаточно? Оказывается, нет.
Мы рассматриваем систему на отрезке времени \( [t_{0} - a, t_{0} + a]. \) Зафиксируем \(h_{1} < a\) и проинтегрируем исходную систему на \( [t_{0}, t_{0} + h_{1}]. \) При этом \(||x(t_{0}) - x^{0}| < r_{1}.\) Переобозначим полученное значение в точке \( \xi_1 = x(t_{0} + h_{1}) \) и запишем новую задачу Коши\[ \begin{cases} \dot{x}(t) = g(t,x(t)),\\ x(t_{0} + h_{1}) = \xi^{1} \end{cases} \] Таким образом, мы продвинулись на \(h_{1}\) вправо по времени.
Далее аналогичным образом выберем \(h_{2},h_{3} \) и т.д. Для каждой получившейся задачи Коши мы можем взять новую \( m(\cdot) \) и варьировать соответствующее ей значение \(r\), устремляя таким образом \(h \rightarrow a\) и \( h \rightarrow +\infty\). При этом \(r\) не будет ограничено, если \( h_{1} + h_{2} + \ldots < a. \)
Пример 1. \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}(t) = (x(t))^{2}\\ x(t) = 1 \end{cases} \end{equation*} Проинтегрировав систему: \begin{equation*} \int \frac{dx}{x^{2}} = \int dt \end{equation*} получим решение \( x(t) = \frac{1}{1 - t} \), неограниченно растущее в окрестности \(t = 1\).
Покажем, что непродолжимость решения может возникать только в случае неограниченного роста функции. Введем обозначения: \begin{equation} \overline{\tau} = \sup \{ \tau \in (t_{0}, t_{0} + a): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [t_{0}, \tau]\}, \end{equation} \begin{equation} \underline{\tau}= \inf \{ \tau \in (t_{0} - a, t_{0}): \exists x(\cdot) - \text{ при } t \in [\tau,t_{0}]\}. \end{equation} Где \(x(\cdot)\) решение задачи Коши (\ref{syst}). Введенные обозначения корректны, поскольку множества непусты в силу существования решения и его ограниченности на отрезке (функции непрерывны).
Теорема 5.
Пусть \(\overline{\tau} < t_0 + a \ (\underline{\tau} > t_0 - a). \) Тогда для \(\forall r > 0 \ \exists \tau \in (t_0, \overline{\tau}) (\tau \in (\underline{\tau}, t_0)) \) такое, что \( ||x(\tau) - x^0|| = r.\)
Доказательство.
Предположим противное. Пусть \(\exists \overline{r} > 0: \forall \tau \in (t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow ||x(\tau) - x^0|| < \overline{r}. \)
Пусть \(\Delta > 0, r = \overline{r} + \Delta,\) тогда \(\forall t \in [t_0, \overline{\tau}) \) верно \begin{equation*} B_\Delta (x(t)) \subseteq B_r(x^0). \end{equation*} Возьмем \(\delta = t_0 + a - \overline{\tau} > 0. \) Тогда \(\overline{\tau} + \delta < t_0 + a. \)
Для любого \(\forall \tau \in [t_0, \overline{\tau}) \Rightarrow [\tau - \delta, \tau + \delta]\times B_\Delta(x(\tau)) \subseteq [t_0 - a, t_0 + a]\times B_r(x^0). \)
Существует \(\exists h > 0, h < \delta: \int_{\tau}^{\tau+h}m(s)ds \leq \Delta. \) При этом получается, что \(h \ -\) не зависит от \(\tau\) (в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега). То есть мы нашли универсальный шаг, на который можем продвигаться при построении решения\(:\) \(h \ - \) универсально для всех \(\tau \in [t_0, \overline{\tau}),\) то есть мы можем проинтегрировать \(x(\cdot) \) до момента \(\tau + h \) для любого \(\tau. \) По определению \(\overline{\tau} \ - \) это супремум всех моментов времени, когда существует решение. Из определения супремума \(: \exists \tau: \overline{\tau} - \tau < h/2. \) Для этого \(\tau \) проинтегрируем систему до \(\tau + h. \) Но тогда получается, что \(\tau + h > \overline{\tau}, \) что приводит нас к противоречию.
Теорема доказана.\(\blacksquare\)
Отбросим теперь в условиях Каратеодори условие с \(a\) и заменим отрезок времени на \([t_0,t_1] \) либо \(\R \) (в 1) и 2)) и добавим условие продолжимости вправо(влево). \begin{equation} \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x;\alpha,\beta = \text{const} >0 \end{equation} \begin{equation*} (-\langle g(t,x),x \rangle \leq \alpha||x||^2 + \beta). \end{equation*} Условие продолжимости в обе стороны (условие сублинейного роста)\(:\) \begin{equation*} ||g(t,x)|| \leq A||x|| + B; \ A,B = \text{const} > 0. \end{equation*} Замечание. Из условия сублинейного роста следует продолжимость в обе стороны, поскольку \begin{equation} \langle g(t,x),x\rangle \leq ||g(t,x)||||x|| \leq A||x||^2 + B||x|| \leq \alpha||x||^2 + \beta. \end{equation} Как показать, что такие \(\alpha, \beta \) существуют? Положим \(\alpha = A + 1, \) тогда дискриминант \(||x||^2 - B||x|| + \beta \geq 0 \) будет отрицательный, то есть это будет верно для всех \(\beta > 0. \)
Теорема 6.
Пусть выполнено условие (5). Тогда решение \(x(\cdot)\) задачи Коши (\ref{syst}) продолжимо вправо.
Доказательство.
Предположим противное. Тогда в силу предыдущей теоремы, \(||x(t)|| \) не ограничена. Рассмотрим \(z(t) = ||x(t)||^2 = \langle x(t),x(t) \rangle. \) \begin{equation*} \frac{dz}{dt} = 2\langle g(t,x(t)),x(t) \rangle \leq 2\alpha z(t) + 2\beta, \end{equation*} \begin{equation*} \frac{dz}{dt} - 2\alpha z \leq 2\beta. \end{equation*} Домножим на \(exp\{-2\alpha t \}: \) \begin{equation*} \frac{d}{dt}(z(t)e^{-2\alpha t}) \leq \beta e^{-2\alpha} \Rightarrow z(t)e^{-2\alpha t} - z(t_0)e^{-2\alpha t_0} \leq \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds \Rightarrow 0 \leq z(t) \leq z(t_0)e^{-2\alpha t_0} + \int_{t_0}^{t}2\beta e^{-2\alpha s}ds. \end{equation*} Значит, \(z(t) \) ограничена, следовательно, \(||x|| \) ограничена, а значит, продолжимость вправо есть.
Теорема доказана.\(\blacksquare\)
Наконец можем заменить условие 3) в условия Каратеодори условием сублинейного роста, положив \(m(t) = Ar + B \) (\(r\ -\) из условий теоремы существования решения).

Итоговые условия на \(f(t,x,u) \)

  1. \(f(t,x,u) \) определена на \(\R \times \R^n \times \R^m \) (или \([t_0, t_1]\times \R^n \times \R^m \));
  2. \(f(t,x,u)\) непрерывна по по \((t,x,u), \ u(\cdot)\ - \) измерима;
  3. \(||f(t,x'',u) - f(t,x',u)|| \leq L||x'' - x'||,L =\text{const}\);
  4. \(||f(t,x,u)|| \leq A||x|| + B, \forall(t,x,u).\)

Из них следуют соответствующие условия на \(g(t,x):\)

  1. \(g(t,x)\) определена п.в. \(t \in \R\) для всех \(\forall x\) (п.в \(t \in [t_0,t_1]\) для всех \(\forall x\));
  2. \(g(t,x) \ -\) измерима по \(t\) для всех \(x\); \(g(t,x)-\) непрерывна по \(x\) для п.в. \(\overset{.}{\forall}t \in \R(t \in [t_0, t_1]) \);
  3. \(||g(t,x'') - g(t,x')|| \leq L(t)||x'' - x'||;\)
  4. Условие продолжимости вправо (влево)\(: \ \langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta \ \forall x, \alpha, \beta = \text{const} > 0 \ (-\langle g(t,x),x\rangle \leq \alpha ||x||^2 + \beta ). \)

Список литературы

[1] Лекции по курсу "Оптимальное управление". Лектор: Комаров Юрий, 2020/2021.
[2] Богачёв, В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009. — С. 188. — 724 с.
[3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.