Преобразование Лапласа: различия между версиями
Janus (обсуждение | вклад) м |
Janus (обсуждение | вклад) м |
||
Строка 7: | Строка 7: | ||
'''Преобразованием Лапласа''' действительнозначной функции $$f(t)$$ называется функция $$F(p)$$ комплексной переменной такая, что | '''Преобразованием Лапласа''' действительнозначной функции $$f(t)$$ называется функция $$F(p)$$ комплексной переменной такая, что | ||
− | + | \begin{equation}\label{intLapl} | |
− | + | \boxed{F(p) = \int\limits^{+\infty}_0 f(t) e^{-pt} dt, \quad p \in \mathbb(C).} | |
− | |||
− | F(p) = \int\limits^{+\infty}_0 f(t) e^{-pt} dt, \quad p \in \mathbb(C). | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | |||
Строка 18: | Строка 15: | ||
Правая часть этого выражения называется ''интегралом Лапласа''. | Правая часть этого выражения называется ''интегралом Лапласа''. | ||
− | Выясним, при каких условиях существует интеграл Лапласа для заданной функции $$f(t)$$. Будем рассматривать функцию $$f_\mu(t) = e^{-\mu t} f(t)$$, $$\mu \in \mathbb{R}$$. Пусть существуют константы $$A$$, $$\mu_0$$ такие, что $$|f(t)| \le Ae^{-\mu_0 t}$$ $$\forall t\ge T$$ | + | Выясним, при каких условиях существует интеграл Лапласа для заданной функции $$f(t)$$. Будем рассматривать функцию $$f_\mu(t) = e^{-\mu t} f(t)$$, $$\mu \in \mathbb{R}$$. Пусть существуют константы $$A$$, $$\mu_0$$ такие, что $$|f(t)| \le Ae^{-\mu_0 t}$$ $$\forall t\ge T$$. Тогда для любого $$\mu \ge \mu_0$$ $$\exists \int\limits_0^{+\infty} |e^{-\mu t} f(t)|dt < \infty$$. Поставим в соответствие функции $$f_\mu(t)$$ функцию $$F_\mu(t)$$, определяемую как прямое преобразование Фурье функции $$f_\mu(t)$$: $$F_\mu(t) = \int\limits_0^{+\infty} f_\mu(t) e^{-i\omega t} dt = \int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{-\mu t} e^{-i\omega t} dt = \left\{\text{обозначим } p = \mu + i\omega\in \mathbb{C}\right\} = \int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{-pt} dt \equiv F(p)$$. |
Получаем следующие достаточные условия существования прямого преобразования Лапласа: | Получаем следующие достаточные условия существования прямого преобразования Лапласа: | ||
− | # $$ \exists A | + | # функция $$f$$ растёт не быстрее показательной функции, т.е. |
+ | \begin{equation}\label{growth_cond} | ||
+ | \exists A, \mu_0 \text{ такие, что } |f(t)|\le Ae^{-\mu_0 t} \quad \forall t\ge T | ||
+ | \end{equation} | ||
# интеграл $$\int\limits_0^{+\infty}|f(t) dt|$$ существует и конечен. | # интеграл $$\int\limits_0^{+\infty}|f(t) dt|$$ существует и конечен. | ||
Строка 50: | Строка 50: | ||
Домножив обе части равенства на $$e^{\mu t}$$, окончательно получим формулу '''обратного преобразования Лапласа''': | Домножив обе части равенства на $$e^{\mu t}$$, окончательно получим формулу '''обратного преобразования Лапласа''': | ||
− | + | \[ | |
− | + | \boxed{f(t)\chi(t) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\mu-i\infty}^{\mu+i\infty} F(p)e^{pt} dp.} | |
− | |||
− | f(t)\chi(t) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\mu-i\infty}^{\mu+i\infty} F(p)e^{pt} dp. | ||
\] | \] | ||
− | |||
Правая часть этого выражения называется ''формулой Меллина''. | Правая часть этого выражения называется ''формулой Меллина''. | ||
== Теорема об области существовании изображения == | == Теорема об области существовании изображения == | ||
+ | [[File:LT_ImageArea.png|frame|right|Область существования изображения.]] | ||
Для всякого оригинала $$f(t)$$ изображение по Лапласу $$F(p)$$ определено в полуплоскости <math>\mathrm{Re} p > \mu_0</math> и является в этой области аналитической функцией. | Для всякого оригинала $$f(t)$$ изображение по Лапласу $$F(p)$$ определено в полуплоскости <math>\mathrm{Re} p > \mu_0</math> и является в этой области аналитической функцией. | ||
− | '''Доказательство'''. Докажем, сначала, что интеграл Лапласа сходится абсолютно | + | '''Доказательство'''. Докажем, сначала, что интеграл Лапласа \eqref{intLapl} сходится абсолютно в области $$\mathrm{Re} p = \mu > \mu_0$$. В силу общего признака сравнения и условия роста \eqref{growth_cond} получаем, что |
+ | |||
+ | \[ | ||
+ | \left|\int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{pt} dt\right| \le \int\limits_0^{+\infty} |f(t)| e^{-\mu t} dt < A \int\limits_0^{+\infty} e^{-(\mu-\mu_0)t} dt. | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Итак, для $$\mu>\mu_0$$: | ||
+ | \[ | ||
+ | \left| \int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{-pt} dt \right| < \frac{A}{\mu-\mu_0}, | ||
+ | \] | ||
+ | то есть интеграл Лапласа сходится абсолютно. | ||
+ | |||
+ | Докажем теперь существование производной несобственного интеграла \eqref{intLapl} по параметру $$p$$. Для этого убедимся в равномерной сходимости в области $$\mathrm{Re}\,p > \mu_0$$ интеграла | ||
+ | \[ | ||
+ | F'(p) = J(p) = \int\limits_0^{+\infty} (-t) f(t) e^{(\mu + i\omega)t} dt | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Выберем произвольное положительное действительное число $$\mu_1$$ такое, что $$\mathrm{Re}\,p \ge \mu_1 > \mu_0$$. Тогда, в соответствии с признаком Вейерштрасса равномерной сходимости получаем, что | ||
+ | |||
+ | \[ | ||
+ | |J(p)| \le \int\limits_0^{+\infty} t |f(t)| e^{-\mu_1 t} dt < A\int\limits_0^{+\infty} t e^{-(\mu_1-\mu_0)t} dt = \frac{A}{(\mu_1-\mu_0)^2} < \infty, | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | что и доказывает возможность дифференцирования интеграла \eqref{intLapl} по параметру $$p$$ в области $$\mathrm{Re}\,p \ge \mu_1 > \mu_0$$. В силу произвольности выбора $$\mu_1$$ мы доказали аналитичность изображения в области $$\mathrm{Re}\,p > \mu_0$$. |
Версия 12:22, 23 ноября 2020
Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию $$F(p)$$ комплексного переменного (изображение) с функцией $$f(t)$$ вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения. Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.
Содержание
Определение
Прямое преобразование
Преобразованием Лапласа действительнозначной функции $$f(t)$$ называется функция $$F(p)$$ комплексной переменной такая, что
\begin{equation}\label{intLapl} \boxed{F(p) = \int\limits^{+\infty}_0 f(t) e^{-pt} dt, \quad p \in \mathbb(C).} \end{equation}
Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.
Выясним, при каких условиях существует интеграл Лапласа для заданной функции $$f(t)$$. Будем рассматривать функцию $$f_\mu(t) = e^{-\mu t} f(t)$$, $$\mu \in \mathbb{R}$$. Пусть существуют константы $$A$$, $$\mu_0$$ такие, что $$|f(t)| \le Ae^{-\mu_0 t}$$ $$\forall t\ge T$$. Тогда для любого $$\mu \ge \mu_0$$ $$\exists \int\limits_0^{+\infty} |e^{-\mu t} f(t)|dt < \infty$$. Поставим в соответствие функции $$f_\mu(t)$$ функцию $$F_\mu(t)$$, определяемую как прямое преобразование Фурье функции $$f_\mu(t)$$: $$F_\mu(t) = \int\limits_0^{+\infty} f_\mu(t) e^{-i\omega t} dt = \int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{-\mu t} e^{-i\omega t} dt = \left\{\text{обозначим } p = \mu + i\omega\in \mathbb{C}\right\} = \int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{-pt} dt \equiv F(p)$$.
Получаем следующие достаточные условия существования прямого преобразования Лапласа:
- функция $$f$$ растёт не быстрее показательной функции, т.е.
\begin{equation}\label{growth_cond} \exists A, \mu_0 \text{ такие, что } |f(t)|\le Ae^{-\mu_0 t} \quad \forall t\ge T \end{equation}
- интеграл $$\int\limits_0^{+\infty}|f(t) dt|$$ существует и конечен.
Обратное преобразование
Будем рассматривать физически реализуемую функцию $$\chi(t)f_\mu(t)$$, где функция $$\chi(t)$$ — функция Хевисайда: \[ \chi(t) = \left\{\begin{align*} 1,\ &t\ge0,\\ 0,\ &t<0. \end{align*}\right. \]
В этом случае $$t$$ может иметь смысл времени, поэтому получаем, что функция $$f(t)\chi(t)$$ задана только на положительной полуоси $$t\ge0$$.
Рассмотрим обратное преобразование Фурье от функции $$F_\mu(\omega)$$: \[ f(t) e^{-\mu t} \chi(t) = f_\mu(t) \chi(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} F_\mu(\omega) e^{i\omega t} dt = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(p) e^{i\omega t} dt. \]
Сделаем замену $$p = \mu + i\omega$$. Тогда $$d\omega = \frac{dp}{i}$$, а верхний и нижний пределы интегрирования равны: $$\omega = +\infty \Rightarrow p = \mu + i\infty$$, $$\omega = -\infty \Rightarrow p = \mu - i\infty$$. Получаем:
\[ f(t) e^{-\mu t} \chi(t) = \frac{1}{2\pi i} e^{-\mu t} \int\limits_{\mu-i\infty}^{\mu+i\infty} F(p) e^{pt} dp \quad \forall \mu > \tilde{\mu}. \]
Домножив обе части равенства на $$e^{\mu t}$$, окончательно получим формулу обратного преобразования Лапласа:
\[ \boxed{f(t)\chi(t) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\mu-i\infty}^{\mu+i\infty} F(p)e^{pt} dp.} \]
Правая часть этого выражения называется формулой Меллина.
Теорема об области существовании изображения
Для всякого оригинала $$f(t)$$ изображение по Лапласу $$F(p)$$ определено в полуплоскости \(\mathrm{Re} p > \mu_0\) и является в этой области аналитической функцией.
Доказательство. Докажем, сначала, что интеграл Лапласа \eqref{intLapl} сходится абсолютно в области $$\mathrm{Re} p = \mu > \mu_0$$. В силу общего признака сравнения и условия роста \eqref{growth_cond} получаем, что
\[ \left|\int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{pt} dt\right| \le \int\limits_0^{+\infty} |f(t)| e^{-\mu t} dt < A \int\limits_0^{+\infty} e^{-(\mu-\mu_0)t} dt. \]
Итак, для $$\mu>\mu_0$$: \[ \left| \int\limits_0^{+\infty} f(t) e^{-pt} dt \right| < \frac{A}{\mu-\mu_0}, \] то есть интеграл Лапласа сходится абсолютно.
Докажем теперь существование производной несобственного интеграла \eqref{intLapl} по параметру $$p$$. Для этого убедимся в равномерной сходимости в области $$\mathrm{Re}\,p > \mu_0$$ интеграла \[ F'(p) = J(p) = \int\limits_0^{+\infty} (-t) f(t) e^{(\mu + i\omega)t} dt \]
Выберем произвольное положительное действительное число $$\mu_1$$ такое, что $$\mathrm{Re}\,p \ge \mu_1 > \mu_0$$. Тогда, в соответствии с признаком Вейерштрасса равномерной сходимости получаем, что
\[ |J(p)| \le \int\limits_0^{+\infty} t |f(t)| e^{-\mu_1 t} dt < A\int\limits_0^{+\infty} t e^{-(\mu_1-\mu_0)t} dt = \frac{A}{(\mu_1-\mu_0)^2} < \infty, \]
что и доказывает возможность дифференцирования интеграла \eqref{intLapl} по параметру $$p$$ в области $$\mathrm{Re}\,p \ge \mu_1 > \mu_0$$. В силу произвольности выбора $$\mu_1$$ мы доказали аналитичность изображения в области $$\mathrm{Re}\,p > \mu_0$$.