Обобщенные функции

Когда физикам перестает хватать существующего математического аппарата, они придумывают новый математический аппарат. Так было с Ньютоном, который придумал матан, так было с Фурье, который придумал раскладывать в тригонометрические ряды все подряд, так произошло и с обобщенными функциями. Кратко проблему можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу?

Определения

Носителем функции называется подмножество области определения функции, на котором она отлична от нуля.

Линейным непрерывным функционалом на линейном пространстве $$\mathscr{L}$$ называется отображение $$f \colon \mathscr{L} \mapsto \mathbb{R}\ \text{или}\ \mathbb{C}$$, для которого выполнено:

1. $$\forall x, y \in \mathscr{L}\quad f(x + y) = f(x) + f(y)$$
2. $$\forall x \in \mathscr{L}\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\ (\mathbb{C})\quad f(\alpha x) = \alpha f(x)$$
3. $$\forall {x_n}\colon\ \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad f(x_n) \rightarrow f(x)$$

Первые 2 пункта отвечают за линейность, а 3-й пункт отвечает за непрерывность.

Теперь рассмотрим некоторое линейное пространство $$\mathscr{L}$$. Тогда сопряженным к $$\mathscr{L}$$ называется пространство всех линейный непрерывных функционалов над $$\mathscr{L}$$.

Во многих линейных функциональных пространствах действие линейного функционала на элемент пространства (то есть на функцию) записывают как интеграл от произведения этой функции на какую-то другую, которая символизирует тот самый линейный непрерывный функционал. Например, рассмотрим пространство $$\mathscr{L}_1[0, 1]$$. Это пространство функций, для которых $$\int_0^1 \left| f(x) \right|\,dx < \infty$$. Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$. И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$. Также действие функционала записывают в угловых скобках (аллюзия на гильбертовы пространства): $$\left< g, f \right>$$.

Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:

1. $$\mathscr{D} \in C^\infty(\mathbb{R})$$ — функции из $$\mathscr{D}$$ являются бесконечно дифференцируемыми.
2. $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.

Это пространство будем называть пространством основных функций. Плавно подошли к самому главному определению:

Обобщенной функцией называется линейный непрерывный функционал над пространством $$\mathscr{D}$$ основных функций.

Рассмотрим самую популярную из обобщенных функций: $$\delta$$-функцию. $$\delta$$-функцией называется обобщенная функция, такая что \[ \forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0) \] Интеграл здесь на самом деле не интеграл, такая запись символизирует действие функционала на элемент пространства.

Дифференцирование обобщенных функций

Обобщенные функции можно не только интегрировать, но и дифференцировать, для этого запишем формулу интегрирования по частям для обобщенной функции $$g(\cdot)$$ и основной функции $$f(\cdot)$$: \[ \left< g', f \right> = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g'(x) f(x)\,dx = g(x)f(x) \bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)f'(x)\,dx = -\left<g, f' \right>. \] Здесь первое слагаемое обнулилось, так как функция $$f(\cdot)$$ имеет компактный носитель, а значит $$f(-\infty) = f(+\infty) = 0$$.

Продифференцируем для развлечения функцию Хевисайда: $$H(x) = [x \geqslant 0]$$. \[ \left< H', f \right> = -\left< H, f' \right> = -\int\limits_{0}^{+\infty}f'(x)\,dx = f(0) - f(+\infty) = f(0) \] То есть в классе обобщенных функций существует производная у функции Хевисайда и это $$\delta$$-функция.

Это свойство можно использовать для описания распределений дискретных случайных величин. Если случайная величина $$\xi$$ принимает значения $$x_1, x_2, x_3, \ldots$$ с вероятностями $$p_1, p_2, p_3, \ldots$$, то ее функцию распределения можно записать через сумму функций Хевисайда: \[ \mathbb{P}(\xi < x) = \sum\limits_k p_k H(x - x_k). \] Продифференцировав в обобщенном смысле можно получить выражение для плотности \[ p_\xi(x) = \sum\limits_k p_k\delta(x - x_k). \]