Принцип максимума Л.С. Понтрягина для общей задачи оптимального управления: различия между версиями
Arkady (обсуждение | вклад) |
Arkady (обсуждение | вклад) |
||
Строка 9: | Строка 9: | ||
\end{gather} | \end{gather} | ||
Предпологается, что функции | Предпологается, что функции | ||
− | \[f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r \rightarrow \mathbb{R}, \quad g_i: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\] | + | \[f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r \rightarrow \mathbb{R}, \quad g_i: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\] |
и отображения | и отображения | ||
\[\varphi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r \rightarrow \mathbb{R}^n,\quad h_l: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{s_l} \quad (l = 1, 2)\] | \[\varphi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r \rightarrow \mathbb{R}^n,\quad h_l: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{s_l} \quad (l = 1, 2)\] |
Версия 18:05, 17 декабря 2021
Содержание
Общая задача оптимального управления
Постановка: \begin{gather} \mathfrak{J}(x(\cdot),u(\cdot)) = \int\limits_{t_0}^{t_1} f(t, x, u)\,dt \rightarrow \inf;\\ \dot x = \varphi(t,x,u),\\ u \in U,\\ h_0(x(t_0)) = h_1(x(t_1)) = 0,\\ g_i(t,x(t)) \leqslant 0,\quad t \in [t_0,t_1],\quad i = 1,\dots,k. \end{gather} Предпологается, что функции
\[f: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r \rightarrow \mathbb{R}, \quad g_i: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\]
и отображения \[\varphi: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^r \rightarrow \mathbb{R}^n,\quad h_l: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{s_l} \quad (l = 1, 2)\] непрерывны и непрерывно дифференцируемы по \(x\).
Level 2
Принцип максимума в гамильтоновой форме
Теорема. Пусть \( (x_*(\cdot), u_*(\cdot)) \) --- оптимальный управляемый процесс в задаче !!(ссылка на задачу с закрепленным временем)!!. Тогда существуют не равные одновременно нулю число \( \lambda_0 \), векторы \( l_0 \in \mathbb{R}^{s_0}, \ l_1 \in \mathbb{R}^{s_1},\) вектор-функция \( p(\cdot):[t_0, t_1] \to \mathbb{R}^n \) и неотрицательные регулярные меры \( \mu_i, i = 1, \dots, k, \) на \( [t_0, t_1] \), сосредоточенные соответсвенно на множествах