Условия непрерывности функции максимума: различия между версиями

Материал из sawiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
(\()
Строка 13: Строка 13:
 
\(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \).
 
\(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \).
  
−
\(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)}\) - непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, \(\forall \varepsilon > 0,  \exists \delta(\varepsilon) > 0: \forall v', v'' \in V, ||v' - v''||< \delta, \forall z', z'' \in \mathcal{B}_{R(0)}, ||z'-z''|| < \delta\) верно \(|g(v',z')-g(v'',z'')| < \varepsilon \)
+
\(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)}\) непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, \(\forall \varepsilon > 0,  \exists \delta(\varepsilon) > 0\) такие, что \( \forall v', v'' \in V, ||v' - v''||< \delta, \forall z', z'' \in \mathcal{B}_{R(0)}, ||z'-z''|| < \delta\) верно: \(|g(v',z')-g(v'',z'')| < \varepsilon \).
  
−
\[
+
Исследуем непрерывность \(H(v)\) при \(v = v^0 \in V\).
−
  <B^Tl^0, u^*> = \max_{u \in \mathcal{P}}<B^Tl^0, u>,
 
−
\]
 
  
−
 
+
\(\mathcal{Z}\) непрерывна на V, следовательно, для данного \(\delta\) существует \(\sim\delta(\delta(\varepsilon)) > 0\)
−
 
 
−
Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
 
−
\[
 
−
\begin{cases}
 
−
\dot x(t) = A(t)x(t) + c(t), \\
 
−
x(t_0) = x^0.
 
−
\end{cases}
 
−
\]
 
−
В оптимальном управлении в неоднородность включено еще и управление, то есть $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$.
 
−
 
 
−
Пусть $$X(t, \tau)$$ — [[фундаментальная матрица Коши]].
 
−
Тогда решение данного уравнения находится по '''формуле Коши''':
 
−
\[
 
−
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau,
 
−
\]
 
−
Причем $$t$$ может быть как больше, так и меньше $$t_0$$, вид формулы не меняется.
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
Рассмотрим, как на данное дифференциальное уравнение действует линейная замена переменных $$y(t) = F(t)x(t)$$,
 
−
где матрица $$F(t)$$ не вырождена в любой момент времени.
 
−
Тогда:
 
−
\[
 
−
\dot y(t) = \dot F(t)x(t) + F(t) \dot x(t) = \dot F(t) F^{-1}(t) y(t) + F(t) \left( A(t) F^{-1}(t) y(t) + c(t) \right) = \\
 
−
= \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t) y(t) + F(t) c(t).
 
−
\]
 
−
Заметим, что тогда $$y(t)$$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:
 
−
\[
 
−
\dot y(t) = \tilde A(t) y(t) + \tilde c(t),
 
−
\]
 
−
где $$\tilde A(t) = \left( \dot F(t) + F(t) A(t) \right) F^{-1}(t)$$ и $$\tilde c(t) = F(t) c(t)$$.
 
−
Тогда мы можем выбрать такую замену переменной, что $$\tilde A(t) \equiv 0$$.
 
−
Для этого должно выполняться:
 
−
\[
 
−
\dot F(t) = -F(t)A(t).
 
−
\]
 
−
Тогда положим $$F(t) = X(t_0, t)$$, чтобы также выполнялось $$y(t_0) = F(t_0)x^0 = x^0$$.
 
−
Таким образом, пришли к следующей задаче Коши для $$y(t)$$:
 
−
\[
 
−
\begin{cases}
 
−
\dot y(t) = X(t_0, t)c(t), \\
 
−
y(t_0) = x^0,
 
−
\end{cases}
 
−
\]
 
−
Причем правая часть не зависит от $$y(t)$$, а значит решением будет просто интеграл:
 
−
\[
 
−
y(t) = x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau.
 
−
\]
 
−
Возвращаясь к исходной переменной и используя полугрупповое свойство и его следствие $$\left( X(t_0, t)\right)^{-1} = X(t, t_0)$$, получаем формулу Коши:
 
−
\[
 
−
x(t) = F^{-1} y(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, t_0) X(t_0, \tau)c(\tau)\,d\tau =\\
 
−
= X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau)c(\tau)\,d\tau.
 
−
\]
 
−
В оптимальном управлении обычно $$c(t) = B(t)u(t) + f(t)$$, и формула Коши принимает вид:
 
−
\[
 
−
x(t) = X(t, t_0)x^0 + \int\limits_{t_0}^t X(t, \tau) \left[B(\tau)u(\tau) + f(\tau)\right]\,d\tau.
 
−
\]
 
−
 
 
−
== Обобщение на случай матричных ЛДУ ==
 
−
 
 
−
Рассмотрим следующую задачу Коши:
 
−
\[
 
−
\begin{cases}
 
−
\dot X(t) = A(t)X(t) - X(t)B(t) + C(t), \\
 
−
X(t_0) = X^0.
 
−
\end{cases}
 
−
\]
 
−
Тогда ее решением будет:
 
−
\[
 
−
X(t) = U(t,t_0) X^0 V(t_0,t)+\int\limits_{t_0}^t U(t,\tau)C(\tau)V(\tau,t)\,d\tau,
 
−
\]
 
−
где $$U(t, \tau)$$ и $$V(t, \tau)$$ — фундаментальные матрицы для задач Коши с матрицами $$A(t)$$ и $$B(t)$$ соответственно.
 

Версия 17:01, 18 декабря 2021

Лемма о непрерывности функции максимума

Пусть

1) \(z: V \Rightarrow\) comp \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k, z\) непрерывна и равномерно ограничена на \(V\). То есть, \(V \in\) comp \(\mathbb{R}^k\).

2) \(g: V \times \mathbb{R}^l \Rightarrow \mathbb{R}, g\) непрерывна по \((v,z) \in V \times \mathbb{R}^l\).

Тогда \(H(v) = \underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{max} \{g(v,z)\}\) - непрерывна на \(V\).

Доказательство леммы

\(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \).

\(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)}\) непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta(\varepsilon) > 0\) такие, что \( \forall v', v'' \in V, ||v' - v''||< \delta, \forall z', z'' \in \mathcal{B}_{R(0)}, ||z'-z''|| < \delta\) верно: \(|g(v',z')-g(v'',z'')| < \varepsilon \).

Исследуем непрерывность \(H(v)\) при \(v = v^0 \in V\).

\(\mathcal{Z}\) непрерывна на V, следовательно, для данного \(\delta\) существует \(\sim\delta(\delta(\varepsilon)) > 0\)

Источник — http://sawiki.cs.msu.su/index.php?title=Условия_непрерывности_функции_максимума&oldid=1410