Условия непрерывности функции максимума

Лемма о непрерывности функции максимума

Пусть

1) \(z: V \Rightarrow\) comp \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k, z\) непрерывна и равномерно ограничена на \(V\). То есть, \(V \in\) comp \(\mathbb{R}^k\).

2) \(g: V \times \mathbb{R}^l \Rightarrow \mathbb{R}, g\) непрерывна по \((v,z) \in V \times \mathbb{R}^l\).

Тогда \(H(v) = \underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{max} \{g(v,z)\}\) - непрерывна на \(V\).

Доказательство леммы

\(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \).

\(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)}\) непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta(\varepsilon) > 0\) такие, что \( \forall v', v'' \in V, ||v' - v''||< \delta, \forall z', z'' \in \mathcal{B}_{R(0)}, ||z'-z''|| < \delta\) верно: \(|g(v',z')-g(v'',z'')| < \varepsilon \).

Исследуем непрерывность \(H(v)\) при \(v = v^0 \in V\).

\(\mathcal{Z}\) непрерывна на V, следовательно, для данного \(\delta\) существует \(\tilde\delta(\delta(\varepsilon)) > 0\) такая, что \(\forall v \in V_{\tilde\delta}(v^0) \cap V, h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) < \delta\). Это верно тогда и только тогда, когда \[ \begin{cases} \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{Z}(v^0) + \delta\mathcal{B}_1(0),\\ \mathcal{Z}(v^0) \subseteq \mathcal{Z}(v) + \delta\mathcal{B}_1(0). \end{cases} \]

Выберем любое \(v\), такое, что \(||v - v^0|| < \delta\), и проверим, следует ли из этого \(|H(v)-H(v^0)| < \varepsilon\).

Пусть \(z^{0*} \in\) Argmax \({g(v^0,z^0) | z^0 \in \mathcal{Z}(v^0)}, z^{*} \in\) Argmax \({g(v,z) | z \in \mathcal{Z}(v)}\)