Условия непрерывности функции максимума

Для того, чтобы исследовать условия непрерывности функции максимума, то есть, максимальной функции Гамильтона при зафиксированном управлении, нужно использовать многозначный анализ. Введем некоторые необходимые понятия.

Пусть дано многозначное отображение \(\mathcal{P}(\cdot)\). \(u(t)\) — селектор \(\mathcal{P}(\cdot)\), если \(u(t) \in \mathcal{P}(t), \forall t \in [t_0,t_1]\).

Функция Гамильтона - многозначное отображение, а функция максимума — ее селектор, максимизирующий функцию по управлению. Покажем, при каких условиях функция максимума непрерывна.

\(\mathcal{A} \in\) comp \(\mathbb{R}^n\) — непустой компакт в \(\mathbb{R}^n\).

\(h_+(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2) = \inf \{\varepsilon \geqslant 0 : \mathcal{Z}_1 \subseteq \mathcal{Z}_2 + \varepsilon \cdot \mathcal{B}_1(0)\}|\) — полуметрика Хаусдорфа.

\(h(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2) = \max \{h_+(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2), h_+(\mathcal{Z}_2,\mathcal{Z}_1)\}\) — метрика Хаусдорфа.

Лемма 1 (О непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным)

Пусть \(\mathcal{Z}: V \Rightarrow\) conv \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k\). \(Z\) непрерывно на \(V\). Следовательно, \(\rho(l|Z(V))\) непрерывна на \((l,V) \in \mathbb{R}^l \times V\).

Доказательство леммы

Пусть \((l^0,v^0) \in \mathbb{R}^l \times V\). Покажем, что \(|\rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0))| < \varepsilon\). \begin{equation} \rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0)) = \rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) = \rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) + \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0)) \end{equation} 1) \(\rho(l|\mathcal{Z}(v^0))\) выпукла по \(l \Rightarrow\) непрерывна по \(l \Rightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: \forall l, ||l - l^0|| < \delta \Rightarrow |\rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0))| < \frac{\varepsilon}{2}\).

2) \(\mathcal{Z}\) непрерывно как многозначное отображение \(\Rightarrow \forall \tilde\varepsilon > 0 \exists \tilde\delta(\tilde\varepsilon) > 0: \forall v \in \cup_\delta(v^0) \cap V, h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) < \tilde\varepsilon.\)

\begin{equation} h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) = \underset{||l|| = 1}{\sup} |\rho(l|\mathcal{Z}(v) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0). \end{equation}

\(\mathcal{Z}\) непрерывна по \(v\) тогда и только тогда, когда \(|\rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0))| < \tilde\varepsilon||l||, \forall l\).

Можно выбрать \(\tilde\varepsilon\) так, что:

\begin{equation} ||l^0|| - \delta = ||l|| \leqslant ||l^0|| + \delta \Rightarrow \tilde\varepsilon||l|| < \tilde\varepsilon(||l^0||+\delta) < \frac{\varepsilon}{2}. \end{equation}

Из этого следует: \begin{equation} \forall \varepsilon > 0, \exists \delta: ||l - l^0|| < \delta, \end{equation} \begin{equation} \forall \varepsilon > 0, \exists \tilde\delta: v \in \cup_\tilde\delta (v^0) \cap V, \end{equation} Что приводит нас к условию леммы. Лемма доказана.

Утверждение (Следствие из леммы о непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным)

Пусть

1) \(V \in \) comp \(\mathbb{R}^n\).

2) Выполнены условия Леммы о непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным:

a) \(\mathcal{Z}: V \Rightarrow \) conv \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k\)

b) \(\mathcal{Z}\) непрерывно на \(V\)

(То есть, по условию Леммы, \(\rho(l|Z(V))\) непрерывна на \((l,V) \in \mathbb{R}^l \times V\)).

Тогда, \(\exists R > 0: \forall v \in V, \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{B}_R(0) \subseteq \mathbb{R}^l\).

Доказательство утверждения

Пусть \(R = \max \{0, \underset{(l,v) \in \mathcal{B}_1(0) \times V}{max} \rho(l|\mathcal{Z}(v)\}, R \geqslant 0\).

\begin{equation} \forall l: ||l|| \leqslant 1 \Rightarrow \rho(l, \mathcal{Z}(v)) \leqslant R, \end{equation} \begin{equation} \forall l: ||l|| = 1 \Rightarrow \rho(l, \mathcal{Z}(v)) \leqslant R||l|| \geqslant 0. \end{equation}

Введем \(p = \alpha l\).

\begin{equation} R||p|| = \rho(p|\mathcal{B}_R(0) \Rightarrow \rho(p|\mathcal{Z}(v)) \leqslant R||p||, \forall p \Leftrightarrow \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{B}_R(0) \end{equation}

Утверждение доказано.

Лемма о непрерывности функции максимума

Пусть

1) \(z: V \Rightarrow\) comp \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k, z\) непрерывна и равномерно ограничена на \(V\). То есть, \(V \in\) comp \(\mathbb{R}^k\).

2) \(g: V \times \mathbb{R}^l \Rightarrow \mathbb{R}, g\) непрерывна по \((v,z) \in V \times \mathbb{R}^l\).

Тогда \(H(v) = \underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{\max} \{g(v,z)\}\) - непрерывна на \(V\).

Доказательство леммы

\(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \).

\(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)}\) непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta(\varepsilon) > 0\) такие, что \( \forall v', v'' \in V, ||v' - v''||< \delta, \forall z', z'' \in \mathcal{B}_{R(0)}, ||z'-z''|| < \delta\) верно: \(|g(v',z')-g(v'',z'')| < \varepsilon \).

Исследуем непрерывность \(H(v)\) при \(v = v^0 \in V\).

\(\mathcal{Z}\) непрерывна на V, следовательно, для данного \(\delta\) существует \(\tilde\delta(\delta(\varepsilon)) > 0\) такая, что \(\forall v \in V_{\tilde\delta}(v^0) \cap V, h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) < \delta\). Это верно тогда и только тогда, когда \[ \begin{cases} \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{Z}(v^0) + \delta\mathcal{B}_1(0),\\ \mathcal{Z}(v^0) \subseteq \mathcal{Z}(v) + \delta\mathcal{B}_1(0). \end{cases} \]

Выберем любое \(v\), такое, что \(||v - v^0|| < \delta\), и проверим, следует ли из этого \(|H(v)-H(v^0)| < \varepsilon\).

Пусть \(z^{0*} \in \) Argmax \( \{g(v^0,z^0) | z^0 \in \mathcal{Z}(v^0)\}, z^{*} \in\) Argmax \(\{g(v,z) | z \in \mathcal{Z}(v)\}, \) \[ \begin{cases} z^{*} \in \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{Z}(v^0) + \delta\mathcal{B}_1(0),\\ z^{0*} \in \mathcal{Z}(v^0) \subseteq \mathcal{Z}(v) + \delta\mathcal{B}_1(0). \end{cases} \]

Из этого следует, что: \[ \begin{cases} \exists z' \in \mathcal{Z}(v^0): ||z^* - z'|| < \delta,\\ \exists z'' \in \mathcal{Z}(v): ||z^{*0} - z'|| < \delta. \end{cases} \]

Тогда: \begin{equation} H(v) - H(v^0) = \underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{\max}g(v,z) - \underset{z^0 \in \mathcal{Z} (v^0)}{\max}g(v^0,z^0) \leqslant g(v,z^*) - g(v^0, z') < \varepsilon. \end{equation}

При этом, \begin{equation} H(v^0) - H(v) \leqslant g(v^0,z^{0*}) - g(v, z'') < \varepsilon. \end{equation}

Следовательно, \(H\) непрерывна. Лемма доказана.