Фундаментальная матрица Коши

Фундаментальная матрица системы линейных однородных дифференциальных уравнений - матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений этой системы.

Определение

Фундаментальная матрица Коши $$X(t,\tau)$$ - решение задачи Коши \[ \left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau),\\ & X(\tau,\tau) = I. \end{aligned} \right. \]

$$X(t,\tau) = [x^1(t,\tau),\ldots,x^n(t,\tau)]$$, где $$x^j$$ - решение \[ \left\{ \begin{aligned} & \dot x(t) = A(t)x(t),\\ & x(t_0)=x^0. \end{aligned} \right. \]

Свойства

1. Полугрупповое свойство: $$X(t,\tau) = X(t,s)X(s,\tau)$$.
   $$\left\{ \begin{aligned} & \dot x(t)=A(t)x(t),\\ &x(\tau)=\xi. \end{aligned} \right.$$
   $$\qquad \Downarrow$$
   $$x(t)=X(t,\tau)\xi \Rightarrow \begin{aligned} & x(t) = X(t,s)x(s)\\ & x(s)=X(s,\tau)\xi \end{aligned} \Rightarrow X(t,\tau)\xi = X(t,s)X(s,\tau)\xi \quad \forall \xi.$$
2. $$\tau = t$$
   $$I=X(t,s)X(s,t)$$
   $$X(s,t)=X^{-1}(t,s)$$
3. Рассмотрим $$I=X(t,\tau)X(\tau,t)$$.
   Продифференцируем по $$\tau$$: $$0=\frac{\partial X(t,\tau)}{\partial\tau}X(\tau,t)+X(t,\tau)\frac{\partial X(\tau,t)}{\partial\tau}$$. При этом $$\frac{\partial X(\tau,t)}{\partial\tau} = A(\tau)X(\tau,t)$$.
   Отсюда следует, что $$\frac{\partial X(t,\tau)}{\partial\tau}=-X(t,\tau)A(\tau)$$.
4. $$S(t,\tau)=X^T(\tau,t)$$
   $$\frac{\partial S(t,\tau)}{\partial t}=-A^T(t)S(t,\tau)$$
   $$\frac{\partial X(\tau,t)}{\partial t}=-X(\tau,t)A(t)$$
   $$\Rightarrow S(t)=-A^T(t)S(t)$$ - сопряжённая система.