Условия непрерывности функции максимума

Введение и определения

Введем некоторые необходимые понятия.

\(\mathcal{A} \in\) comp \(\mathbb{R}^n\) — непустой компакт в \(\mathbb{R}^n\).

\(\mathcal{A} \in\) conv \(\mathbb{R}^n\) — непустой выпуклый компакт в \(\mathbb{R}^n\).

\(\mathcal{B}_{R}(a)\) — шар радиуса \(R\) с центром в точке \(a\).

\(h_+(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2) = \inf \{\varepsilon \geqslant 0 : \mathcal{Z}_1 \subseteq \mathcal{Z}_2 + \varepsilon \cdot \mathcal{B}_1(0)\}|\) — полуметрика Хаусдорфа.

\(h(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2) = \max \{h_+(\mathcal{Z}_1,\mathcal{Z}_2), h_+(\mathcal{Z}_2,\mathcal{Z}_1)\}\) — метрика Хаусдорфа [1].

О непрерывности опорной функции

Лемма 1 (О непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным)

Пусть \(\mathcal{Z}: V \rightarrow\) conv \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k\). \(\mathcal{Z}\) непрерывно на \(V\). Следовательно, \(\rho(l|\mathcal{Z}(v))\) непрерывна на \((l,V) \in \mathbb{R}^l \times V\).

Доказательство.

Пусть \((l^0,v^0) \in \mathbb{R}^l \times V\). Покажем, что \(|\rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0))| < \varepsilon\). \begin{equation} \rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0)) = \rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) + \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0)) \end{equation} 1) \(\rho(l|\mathcal{Z}(v^0))\) выпукла по \(l \Rightarrow\) непрерывна по \(l\) ([3], Теорема 1) \( \Rightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: \forall l, ||l - l^0|| < \delta \Rightarrow |\rho(l|\mathcal{Z}(v^0)) - \rho(l^0|\mathcal{Z}(v^0))| < \frac{\varepsilon}{2}\).

2) \(\mathcal{Z}\) непрерывно как многозначное отображение \(\Rightarrow \forall \tilde\varepsilon > 0 \exists \tilde\delta(\tilde\varepsilon) > 0: \forall v \in \cup_\delta(v^0) \cap V, h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) < \tilde\varepsilon.\)

\begin{equation} h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) = \underset{||l|| = 1}{\sup} |\rho(l|\mathcal{Z}(v) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0)|. \end{equation}

Формула (2) верна тогда и только тогда, когда \(\mathcal{Z}\) непрерывна по \(v\), и используя положительную однородность получаем, что это верно тогда и только тогда, когда \(|\rho(l|\mathcal{Z}(v)) - \rho(l|\mathcal{Z}(v^0))| < \tilde\varepsilon||l||, \forall l\).

Можно выбрать \(\tilde\varepsilon\) так, что:

\begin{equation} ||l^0|| - \delta = ||l|| \leqslant ||l^0|| + \delta \Rightarrow \tilde\varepsilon||l|| < \tilde\varepsilon(||l^0||+\delta) < \frac{\varepsilon}{2}. \end{equation}

Из этого следует: \begin{equation} \forall \varepsilon > 0, \exists \delta: ||l - l^0|| < \delta, \end{equation} \begin{equation} \forall \varepsilon > 0, \exists \tilde\delta: v \in \mathcal{B}_\tilde\delta (v^0) \cap V, \end{equation} Что приводит нас к условию леммы. Лемма доказана.\(\blacksquare\)

Утверждение 1 (Следствие из леммы о непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным)

Пусть

1) \(V \in \) comp \(\mathbb{R}^n\).

2) Выполнены условия Леммы о непрерывности опорной функции к многозначному отображению по обеим переменным:

• \(\mathcal{Z}: V \rightarrow \) conv \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k\)

• \(\mathcal{Z}\) непрерывно на \(V\)

(То есть, по условию Леммы, \(\rho(l|Z(v))\) непрерывна на \((l,V) \in \mathbb{R}^l \times V\)).

Тогда, \(\exists R > 0: \forall v \in V, \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{B}_R(0) \subseteq \mathbb{R}^l\).

Доказательство.

Пусть \(R = \max \{0, \underset{(l,v) \in \mathcal{B}_1(0) \times V}{max} \rho(l|\mathcal{Z}(v)\}, R \geqslant 0\).

\begin{equation} \forall l: ||l|| \leqslant 1 \Rightarrow \rho(l, \mathcal{Z}(v)) \leqslant R, \end{equation} \begin{equation} \forall l: ||l|| = 1 \Rightarrow \rho(l, \mathcal{Z}(v)) \leqslant R||l|| ; R||l|| \geqslant 0. \end{equation}

Условие непрерывности опорной функции необходимо, так как оно гарантирует, что максимум будет достигнут. Введем \(p = \alpha l\).

\begin{equation} R||p|| = \rho(p|\mathcal{B}_R(0)) \Rightarrow \rho(p|\mathcal{Z}(v)) \leqslant R||p||, \forall p \Leftrightarrow \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{B}_R(0) \end{equation}

Утверждение доказано.\(\blacksquare\)

О непрерывности функции максимума

Лемма 2 (О непрерывности функции максимума)

Пусть

1) \(\mathcal{Z}: V \rightarrow\) comp \(\mathbb{R}^l, V \subseteq \mathbb{R}^k, \mathcal{Z}\) непрерывна и равномерно ограничена на \(V\). То есть, \(V \in\) comp \(\mathbb{R}^k\).

2) \(g: V \times \mathbb{R}^l \rightarrow \mathbb{R}, g\) непрерывна по \((v,z) \in V \times \mathbb{R}^l\).

Тогда \(H(v) = \underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{\max} \{g(v,z)\}\) - непрерывна на \(V\).

Доказательство.

\(\mathcal{Z}(v) \in \mathcal{B}_R(0) \).

\(g|_{V \times \mathcal{B}_R(0)}\) непрерывна, следовательно, по теореме Кантора, \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta(\varepsilon) > 0\) такие, что \( \forall v', v'' \in V, ||v' - v''||< \delta, \forall z', z'' \in \mathcal{B}_{R}(0), ||z'-z''|| < \delta\) верно: \(|g(v',z')-g(v'',z'')| < \varepsilon \).

Исследуем непрерывность \(H(v)\) при \(v = v^0 \in V\).

\(\mathcal{Z}\) непрерывна на V, следовательно, для данного \(\delta\) существует \(\tilde\delta(\delta(\varepsilon)) > 0\) такая, что \(\forall v \in \mathcal{B}_{\tilde\delta}(v^0) \cap V, h(\mathcal{Z}(v), \mathcal{Z}(v^0)) < \delta\). Это верно тогда и только тогда, когда \[ \begin{cases} \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{Z}(v^0) + \delta\mathcal{B}_1(0),\\ \mathcal{Z}(v^0) \subseteq \mathcal{Z}(v) + \delta\mathcal{B}_1(0). \end{cases} \]

Выберем любое \(v\), такое, что \(||v - v^0|| < \delta\), и проверим, следует ли из этого \(|H(v)-H(v^0)| < \varepsilon\).

Пусть \(z^{0*} \in \) Argmax \( \{g(v^0,z^0) | z^0 \in \mathcal{Z}(v^0)\}, z^{*} \in\) Argmax \(\{g(v,z) | z \in \mathcal{Z}(v)\}, \) \[ \begin{cases} z^{*} \in \mathcal{Z}(v) \subseteq \mathcal{Z}(v^0) + \delta\mathcal{B}_1(0),\\ z^{0*} \in \mathcal{Z}(v^0) \subseteq \mathcal{Z}(v) + \delta\mathcal{B}_1(0). \end{cases} \]

Из этого следует, что: \[ \begin{cases} \exists z' \in \mathcal{Z}(v^0): ||z^* - z'|| < \delta,\\ \exists z'' \in \mathcal{Z}(v): ||z^{*0} - z'|| < \delta. \end{cases} \]

Тогда: \begin{equation} |H(v) - H(v^0)| = |\underset{z \in \mathcal{Z} (v)}{\max}g(v,z) - \underset{z^0 \in \mathcal{Z} (v^0)}{\max}g(v^0,z^0)| \leqslant |g(v,z^*) - g(v^0, z')| < \varepsilon. \end{equation}

При этом, \begin{equation} |H(v^0) - H(v)| \leqslant |g(v^0,z^{0*}) - g(v, z'')| < \varepsilon. \end{equation}

Следовательно, \(H\) непрерывна. Лемма доказана.\(\blacksquare\)

Список литературы

1) Комаров Ю. Лекции по курсу "Оптимальное управление", 2020/2021.

2) Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. "Математическая теория оптимальных процессов", М.: Наука, 1983.

3) Моисеев А.А. "Лекции по математическому анализу", 2021.