Множество разрешимости линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Внутренние оценки

Внутренние оценки множества разрешимости позволяют аппроксимировать это множество "изнутри", а также на основе полученной аппроксимации построить его приближенный вид.

Если вместе со внутренними оценками использовать и внешние, то полученная аппроксимация будет точнее.

В данной статье рассматривается только случай линейной управляемой системы, заданной при помощи ОДУ, без помехи. Также можно рассмотреть систему с помехой.

Общий вид системы

Рассматривается линейная управляемая система дифференциальных уравнений без помехи: \begin{equation} \label{1} \begin{cases} \dot x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \\ x(t_0) \in \mathcal{X}_0, \\ u(t) \in \mathcal{P}(t), \end{cases} \end{equation} где \(A(t) \in \mathbb{R}^{n \times n}, \ B(t) \in \mathbb{R}^{n \times m}, \ t \in [t_0, t_1],\) а множества \(\mathcal{X}_0\) и \(\mathcal{P}(t)\) являются эллипсоидами: \[ \mathcal{X}_0 = \mathcal{E}(x_0, X_0) \subset \mathbb{R}^n, \] \[ \mathcal{P}(t) = \mathcal{E}(q(t), Q(t)) \subset \mathbb{R}^m. \] Тут \(x_0 \in \mathbb{R}^n, \ X_0 \in \mathbb{R}^{n\times n}, \ q(t) \in \mathbb{R}^m, \ Q(t) \in \mathbb{R}^{m\times m}\).

Некоторые сведения об эллипсоидах

В этом разделе приводятся некоторые сведения об эллипсоидах, которые требуются в дальнейшем. Более подробную информацию об этих объектах можно получить в основной статье.

Утверждение 1

\(A\mathcal{E}(q,Q) = \mathcal{E}(Aq, AQA')\).

Доказательство

Для доказательства равенства множеств, докажем равенство их опорных функций: \[ \rho(l\:|\:A\mathcal{E}(q,Q)) \stackrel{\text{св-во оп.ф.}}{=} \rho(A'l\:|\:\mathcal{E}(q,Q)) = \langle A'l,\,q \rangle + \sqrt{\langle A'l,\,QA'l \rangle} = \langle l,\,Aq \rangle + \sqrt{\langle l,\,AQA'l \rangle} = \rho(l\:|\:\mathcal{E}(Aq,AQA')). \]

Теорема 1

Для суммы эллипсоидов по Минковскому можно получить внутреннюю эллипсоидальную оценку следующего вида: \[ \sum\limits^n_{i=1} \mathcal{E}(q_i, Q_i) = \bigcup_{\parallel l \parallel = 1} \mathcal{E}_-(l). \]

Доказательство

Можно найти в статье про внутренние оценки суммы двух эллипсоидов.

Внутренняя оценка множества разрешимости

Построим внутреннюю оценку множества разрешимости в задаче \eqref{1}. Без ограничения общности будем полагать \(m=n\) (при \(m<n\) можно расширить вектор \(u\) и матрицу \(B\), дополнив их соответствующими нулями).

Для системы \eqref{1} справедлива формула Коши: \[ x(t,t_1,x_1) = X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)u(\tau)d\tau, \] где \(X(t,\tau)\) - фундаментальная матрица, удовлетворяющая системе: \[ \left\{\begin{aligned} & \frac{\partial X(t,\tau)}{\partial t} = A(t)X(t,\tau), \\ & X(\tau,\tau) = I. \end{aligned}\right. \]

Т.к. множества \(\mathcal{X}_1, \mathcal{P}(t)\)~--- эллипсоиды, то с учетом утверждения 1 получим: \[ \mathcal{W}[t] = X(t, t_1)\mathcal{X}_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)\mathcal{P}(\tau)d\tau =\mathcal{E}(X(t,t_1)x_1,\,X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)) - \int^{t_1}_t \mathcal{E}(X(t,\tau)B(\tau)q(\tau),\,X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau))d\tau. \]

Поскольку интеграл в полученном выражении представим как предел интегральных сумм \[ \lim_{N \rightarrow \infty} \sum^N_{i=1} \frac{t_1-t}{N} \cdot \mathcal{E} (X(t,\tau_i)B(\tau_i)q(\tau_i),\,X(t,\tau_i)B(\tau_i)Q(\tau_i)B'(\tau_i)X'(t,\tau_i)), \] то из теоремы 1 можно получить следующую эллипсоидальную оценку для множества разрешимости в направлении \(l\): \[ \mathcal{E}_- = \mathcal{E}\left(X(t,t_1)x_1 - \int^{t_1}_t X(t,\tau)B(\tau)q(\tau)d\tau,\,Q_-\right), \] где \(Q_- = Q'_*(t)Q_*(t)\), и матрица \(Q_*\) определяется следующим образом: \[ Q_*(t) = [X(t,t_1)X_1X'(t,t_1)]^\frac{1}{2} - \int^{t_1}_t S_t(\tau)[X(t,\tau)B(\tau)Q(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)]^\frac{1}{2}d\tau = X_1^\frac{1}{2}X'(t,t_1) - \int^{t_1}_t S_t(\tau)Q^\frac{1}{2}(\tau)B'(\tau)X'(t,\tau)d\tau. \]