Обобщенные функции

Обобщенные функции — один из удобных инструментов для работы с идеальными физическими моделями. Кратко проблему, которую они решают, можно поставить так: как выразить плотность материальной точки функцией от координат так, чтобы проинтегрировав ее, мы бы получали корректную массу? Объем материальной точки строго равен нулю, а значит, умножив объем на любую функцию плотности и проинтегрировав, получится так же 0. Значит, нужен некоторый более общий математический аппарат для работы с подобными объектами и моделями.

Определения

Носителем функции называется подмножество области определения функции, на котором она отлична от нуля.

Линейным непрерывным функционалом на линейном пространстве $$\mathscr{L}$$ называется отображение $$f \colon \mathscr{L} \mapsto \mathbb{R}\ \text{или}\ \mathbb{C}$$, для которого выполнено:

1. $$\forall x, y \in \mathscr{L}\quad f(x + y) = f(x) + f(y)$$
2. $$\forall x \in \mathscr{L}\quad \forall \alpha \in \mathbb{R}\ (\mathbb{C})\quad f(\alpha x) = \alpha f(x)$$
3. $$\forall {x_n}\colon\ \|x_n - x\| \rightarrow 0 \quad f(x_n) \rightarrow f(x)$$

Первые 2 пункта отвечают за линейность, а 3-й пункт отвечает за непрерывность.

Теперь рассмотрим некоторое линейное пространство $$\mathscr{L}$$. Тогда сопряженным к $$\mathscr{L}$$ называется пространство всех линейный непрерывных функционалов над $$\mathscr{L}$$.

Во многих линейных функциональных пространствах действие линейного функционала на элемент пространства (то есть на функцию) записывают как интеграл от произведения этой функции на какую-то другую, которая символизирует тот самый линейный непрерывный функционал. Например, рассмотрим пространство $$\mathscr{L}_1[0, 1]$$. Это пространство функций, для которых $$\int_0^1 \left| f(x) \right|\,dx < \infty$$. Сопряженным к нему называется пространство $$\mathscr{L}_\infty$$ таких функций $$g(\cdot)$$, что $$\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in [0, 1]} \left| g(x) \right| < \infty$$. И тогда запись $$\int_0^1 f(x) g(x)\,dx$$ символизирует результат действия функционала $$g$$ на функцию $$f$$. Также действие функционала записывают в угловых скобках (потому что в гильбертовых пространствах скалярное произведение можно рассматривать как действие функционала на элемент): $$\left< g, f \right>$$.

Теперь рассмотрим пространство $$\mathscr{D}$$ таких функций, что:

1. $$\mathscr{D} \in C^\infty(\mathbb{R})$$ — функции из $$\mathscr{D}$$ являются бесконечно дифференцируемыми.
2. $$\supp f(\cdot) \in \mathrm{comp}(\mathbb{R})$$ — носитель функции (множество точек, на которых она отлична от нуля) является компактом.

Это пространство будем называть пространством основных функций. Теперь дадим определение обобщенным функциям:

Обобщенной функцией называется линейный непрерывный функционал над пространством $$\mathscr{D}$$ основных функций.

Рассмотрим самую популярную из обобщенных функций: $$\delta$$-функцию. $$\delta$$-функцией называется обобщенная функция, такая что \[ \forall f(\cdot) \in \mathscr{D} \quad \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x)\,dx = f(0) \] Интеграл здесь на самом деле не является интегралом в смысле Римана или Лебега, такая запись лишь символизирует действие функционала на элемент пространства.

Дифференцирование обобщенных функций

Обобщенные функции можно не только интегрировать, но и дифференцировать, для этого запишем формулу интегрирования по частям для обобщенной функции $$g(\cdot)$$ и основной функции $$f(\cdot)$$: \[ \left< g', f \right> = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g'(x) f(x)\,dx = g(x)f(x) \bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g(x)f'(x)\,dx = -\left<g, f' \right>. \] Здесь первое слагаемое обнулилось, так как функция $$f(\cdot)$$ имеет компактный носитель, а значит $$f(-\infty) = f(+\infty) = 0$$.

Рассмотрим для примера функцию Хевисайда: \[ H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ 1, & x \geqslant 0. \end{cases} \] Тогда ее производная: \[ \left< H', f \right> = -\left< H, f' \right> = -\int\limits_{0}^{+\infty}f'(x)\,dx = f(0) - f(+\infty) = f(0) \] То есть в классе обобщенных функций существует производная у функции Хевисайда и это $$\delta$$-функция.

Это свойство можно использовать для описания распределений дискретных случайных величин. Если случайная величина $$\xi$$ принимает значения $$x_1, x_2, x_3, \ldots$$ с вероятностями $$p_1, p_2, p_3, \ldots$$, то ее функцию распределения можно записать через сумму функций Хевисайда: \[ \mathbb{P}(\xi < x) = \sum\limits_k p_k H(x - x_k). \] Продифференцировав в обобщенном смысле можно получить выражение для плотности \[ p_\xi(x) = \sum\limits_k p_k\delta(x - x_k). \]

$$\delta$$-образные последовательности

Последовательность функций $$g_n(x)$$ называется $$\delta$$-образной последовательностью, если для любой основной функции существует следующий предел: \[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} g_n(x) f(x)\,dx = f(0). \] Вот некоторые примеры:

1. $$ f_n(x) = \frac{n}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{x^2 n^2}{2}\right\}$$
2. $$ f_n(x) = n/2 \bigl[-1/n \leqslant x \leqslant 1/n\bigr]$$
3. $$ f_n(x) = \frac{\sin nx}{\pi x}$$